Kitobni o'qish: «Высшая математика. Шпаргалка», sahifa 4

Shrift:

10. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Последовательность {а_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого n a_n ≤ M (a_n ≥ m). Число М (m) называется верхней (нижней) границей последовательности {a_n}.

Последовательность {а_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Теорема. Последовательность {а_n} ограничена тогда и только тогда, когда существует число r > 0 такое, что |a_n| < r для всех n.

Теорема. Свойства ограниченности последовательности сверху, снизу и с двух сторон не нарушатся при отбрасывании (добавлении) конечного числа членов последовательности.

Теорема. Сумма двух ограниченных последовательностей есть ограниченная последовательность.

Последовательность {а_n} называется бесконечно малой, если для любого положительного ε существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_n| < ε.

Последовательность {а_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного Р существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_n| < Р.

Предел бесконечно большой последовательности при n > ∞ равен ∞.

Бесконечно большая последовательность не ограничена и, следовательно, расходится.

Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей. Для того чтобы последовательность {а_n} была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {b_n} b_n = 1 / а_n была бесконечно малой.

Теорема. Если {а_n} – бесконечно большая последовательность, а {b_n} – сходящаяся последовательность, не являющаяся бесконечно малой, то их произведение есть бесконечно большая последовательность.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) предел бесконечно малой последовательности равен нулю: ;

2) стационарная последовательность с, с, …, с, … является бесконечно малой тогда, когда с = 0;

3) свойство последовательности быть бесконечно малой не нарушится, если отбросить (прибавить) конечное число членов;

4) пусть {b_n} – бесконечно малая последовательность и для всех n справедливо а_n ≤ b_n, тогда последовательность {а_n} тоже является бесконечно малой;

5) бесконечно малая последовательность ограниченна;

6) сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

7) пусть {а_n} – бесконечно малая последовательность, {b_n} – ограниченная последовательность, тогда их произведение есть бесконечно малая последовательность;

8) пусть {а_n} – бесконечно малая последовательность, а с – любое действительное число, тогда последовательность {са_n} тоже бесконечно мала;

9) произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

11. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Предел последовательности

Последовательность {а_n} называется сходящейся, если существует такое вещественное число А, что последовательность {а_n – А} является бесконечно малой. Число А будет пределом последовательности: .

Сходящуюся последовательность можно представить в виде {a_n} = {A + γ_n}, где {γ_n} – бесконечно малая последовательность.

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися с пределом, равным нулю, бесконечно большие – расходящимися (сходящимися к бесконечности).

Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности, если в любой ее ε–окрестности содержится бесконечно много элементов данной последовательности.

Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1) всякая сходящаяся последовательность имеет один предел;

2) сходящаяся последовательность {a_n} ограниченна;

3) пусть последовательности {a_n} и {b_n} сходятся и , тогда сходятся и последовательности {cx_n} (c = const) {a_n ± b_n} {a_n× b_n} {a_n / b_n} (в случае частного B ≠ 0, b_n ≠ 0, n = 1, 2, …). И их пределы вычисляются по общим правилам.

Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}. Тогда если последовательности {a_n}, {b_n} таковы, что a_n ≤ (≥) b_n, то (данное утверждение неверно для строгих неравенств).

Теорема (принцип двустороннего ограничения). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}, {c_n}. Тогда если a_n ≤ b_n ≤ c_n и последовательности {a_n} и {c_n} сходятся к одному и тому же пределу В, то последовательность {b_n} тоже сходится к тому же пределу: .

Следствия:

1) если все члены сходящейся последовательности {a_n} не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное), ;

2) если все элементы сходящейся последовательности {a_n} находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности {a_n} лежит на данном отрезке, ;

3) если все члены сходящейся последовательности {a_n} a_n ≤ (і) В, то , где В – некоторое число.

Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность {a_n}, ограниченная сверху (снизу) сходится. Иначе для того чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.

12. Ряд. Сумма ряда. Сходимость ряда. Арифметические действия над рядами. Ряды с положительными членами

Числовым рядом называется выражение a_i = а₁ + а₂ +…+ а_n +…, где a_i (i= 1, 2…, n…) – вещественные или комплексные числа.

Частичной суммой ряда (n–ой частичной суммой) называется число S_n = а₁ + а₂+…+ а_n = a_i.

Из частичных сумм можно образовать последовательность S₁ = a₁, S₂ = a₁ + a₂, S₃ = a₁ + a₂ + a₃ и т. д. Если существует предел последовательности частичных сумм ряда, то ряд называется сходящимся, а сам предел называется суммой ряда, обозначается . Если такового предела не существует, то ряд называется расходящимся.

Теорема. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Если ряд сходится, то его n–ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е. . Пусть даны два ряда a_n и b_n. Тогда в результате сложения этих двух рядов получится ряд (a_n + b_n), при умножении получается ряд , произведением ряда a_n на число с будет ряд ca_n (с – вещественное или комплексное число).

Теорема. Пусть даны два ряда, имеющие соответствующие суммы a_n= S₁ и b_n = S₂. Тогда справедливо: (a_n +b_n) = S₁ +S₂, , ca_n= cS₁ (где с – число).

Теорема (принцип сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами a_n и b_n. Если ряд a_n сходится и a_i ≥ b_i (i = 1, 2…, n), то и ряд b_nb_n сходится, причем a_n ≥ b_n.