Kitobni o'qish: «Высшая математика. Шпаргалка», sahifa 2

4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линией n–порядка.

Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х² + у² = R², если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:

(х – а)² + (у – b)² = R².

Чтобы уравнение Ах² + Вх + Ау² + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х² и у² были равны, чтобы В² + С² – 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).

Координаты центра окружности, описанной уравнением Ах² + Вх + Ау² + Су + D = 0 и ее радиус: a = –B / 2A, b = –C / 2A, R² = (В² + С² – 4АD) / 4A².

Эллипс – сжатая окружность (рис. 3).

Рис. 3

Прямая АА₁ называется осью сжатия, отрезок АА₁ = 2а – большой осью эллипса, отрезок ВВ₁ = 2b – малой осью эллипса (a > b) точка О – центром эллипса, точки А, А₁, В, В₁ – вершинами эллипса. Отношение k = b / a коэффициент сжатия величина α = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.

Каноническое уравнение эллипса: x² / a² + y² / b² = 1.

Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F₁ имеет одно и то же значение 2а (F₁M + FM = 2a) (рис. 4).

Рис. 4

Точки F и F₁ называются фокусами эллипса, а отрезок FF₁ – фокусным расстоянием, обозначается FF₁ = 2с, причем с < а. Эксцентриситет эллипса ε – это отношение фокусного расстояния к большой оси ε = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем: k² = 1 – ε².

Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F₁ имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F₁M – FM| = 2a. Точки F, F₁ называются фокусами гиперболы, расстояние FF₁ = 2c – фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.

Каноническое уравнение гиперболы: х² / а² + у² / (а² – с²) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx / a и y = – bx / a (b² = c² – a²).

Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у² = 2рх.

Рис. 5

5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость

Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.

Общее уравнение плоскости: Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.

При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 – плоскость xOz, Ax = 0 – плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1. Расстояние от точки М (х₁, у₁, z₁) до плоскости:

Пусть имеются две плоскости А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0. Угол φ между этими плоскостями:

Условие равенства двух плоскостей: А₁ / А₂ = В₁ / В₂ = С₁ / С₂ = D₁ / D₂. Условие параллельности плоскостей: А₁ / А₂ = В₁ / В₂ = С₁ / С₂. Условие перпендикулярности плоскостей: А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М (х₁, у₁, z₁) параллельно плоскости, заданной уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0: А(х – x₁) + В(у – y₁) + С(z – z₁) + D = 0. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ (х₁, у₁, z₁), М₂ (х₂, у₂, z₂), М₃ (х₃, у₃, z₃):

Уравнение плоскости, проходящей через две точки М₁(х₁, у₁, z₁) и М₂(х₂, у₂, z₂) перпендикулярно к плоскости, заданной уравнением A_x + B_y + C_z + D = 0:

Уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (х₁, у₁, z₁) перпендикулярно двум непараллельным плоскостям А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0, имеет вид:

Имеем три плоскости, заданные общими уравнениями:

6. Прямая в пространстве

Всякая прямая определяется в пространстве системой двух уравнений

Канонические (симметричные) уравнения прямой: (x – x₀) / m = (y – y₀) / p = (z – z₀) / q, прямая проходит через точку M₀ (x₀, y₀, z₀). Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями:

Условие параллельности двух прямых: m₁ / m₂ = p₁ / p₂ = q₁ / q₂. Условие перпендикулярности двух прямых: m₁m₂ + p₁p₂ + q₁q₂ = 0.

Пусть имеются прямая (x – x₀) / m = (y – y₀) / p = (z – z₀) / q и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0. Условие параллельности прямой и плоскости: Am + Bp + Cq = 0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: A / m = B / p = C / q. Условие принадлежности прямой плоскости:

Если прямая задана параметрически x = x₀ + mt, y = y₀ + pt, z = z₀ + qt, то координаты точки пересечения этой прямой и плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 определяются по параметрическим уравнениям прямой при подстановке значений t, определенных (Am + Bp + Cq)t + Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0. Уравнение прямой, проходящей через точки М₁ (х₁, у₁, z₁) и М₂ (х₂, у₂, z₂):(х – х₁) / (х₂ – х₁) = (у – у₁) / (у₂ – у₁) = (z – z₁) / (z₂ – z₁). Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) перпендикулярно прямой (x – x₁) / m = (y – y₁) / p = (z – z₁) / q, имеет вид: m(x – x₀) + p(y – y₀) + q(z – z₀) = 0. Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) перпендикулярно плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, имеет вид: (х – х₀) / А = (у – у₀) / В = (z – z₀) / C. Уравнение плоскости, проходящей через М₀(х₀, у₀, z₀) и (x – x₁) / m = (y – y₁) / p = (z – z₁) / q, не проходящую через М₀:

Уравнение плоскости, проходящей через М₀ (х₀, у₀, z₀) и параллельной двум прямым:

Уравнение плоскости, проходящей через (x – x₁) / m₁ = (y – у₁) / p₁ = (z – z₁) / q₁ и параллельной (x – x₂) / m₂ = (y – y₂) / р₂ = (z – z₂) / q₂ имеет вид:

Уравнение плоскости, проходящей через (x – x₁) / m₁ = (y – y₁) / p₁ = (z – z₁) / q₁ перпендикулярно Ах + Ву + Сz + D = 0;