Kitobni o'qish: «Высшая математика. Шпаргалка», sahifa 3
7. Матрицы и действия над ними
Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица вида:
или А = (aij), где i = 1, 2…, m; j = 1, 2…, n. Числа aij – называются элементами матрицы. Если m = 1, а n > 1, то матрица является матрицей–строкой. Если m > 1, а n = 1, то матрица является матрицей–столбцом. Если m = n, то матрица называется квадратной, а число ее строк (или столбцов) называется порядком матрицы.
Две матрицы А и В называются равными, если их размер одинаков и aij = bij. Нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы равны нулю.
Единичной матрицей называется квадратная матрица:
Матрицей, транспонированной к матрице А размерности m х n называется матрица Ат размерности n х m, полученная из матрицы А если ее строки записать в столбцы а столбцы – строки.
Матрицы одинакового размера (однотипные) можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на число.
Суммой (разностью) двух однотипных матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме или разности cij = aij ± bij. При сложении справедливы:
А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), А + 0 = А.
Произведением матрицы А на число р называется матрица, элементы которой равны рaij.
Справедливы свойства:
α(βA) = (αβ)А;
(А + В)α = αА + αВ;
(α + β)А = αА + βА.
Произведением двух квадратных матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i–ой строки и k–го столбца, является суммой парных произведений элементов i–ой строки первой матрицы на элемент k–ой строки второй матрицы С = АВ. То же правило распространяется на умножение прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы–множимого равно числу строк матрицы–множителя.
Матрицы, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими.
Справедливы свойства:
1) ЕА = АЕ = А;
2) А(ВС) = (АВ)С;
3) a(АВ) = (aА)В = А(aВ);
4) (А1 + А2)В = А1В + А2В, А(В1 + В2) = АВ1 + АВ2;
5) А0 = 0А = 0;
6) (АВ)т = АтВт.
При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.
8. Определители. Обратная матрица. Вырожденная и невырожденная матрицы. Система линейных уравнений
Определителем второго порядка, соответствующим матрице 
, называется число, равное
Свойства определителя:
1) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами или если к элементам какой–либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число;
2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;
3) определитель будет равен нулю, если элементы какого–либо столбца (или строки) равны нулю или элементы двух строк (или столбцов) соответственно равны.
Минором Mik элемента aik определителя IАI называется определитель полученный из А вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит этот элемент.
Алгебраическим дополнением Aik элемента a определителя |A| называется его минор, взятый со знаком (–1)i+k, A = (–1)i+kMik.
Определителем n–порядка, соответствующим квадратной матрице n–го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой–либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Теорема. Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями |A| и |B|, то определитель матрицы С = АВ равен: |C | = |A| |B|.
Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица А–1, которая удовлетворяет условиям АА–1 = А–1А = Е. Матрица А называется вырожденной, если ее определитель |A| равен нулю.
Теорема. Матрица
где Aik – алгебраическое дополнение элемента aik невырожденной матрицы А, является обратной для А.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
9. Числовые последовательности, арифметические действия над ними. Предел последовательности
Если каждому значению n из натурального ряда чисел – 1, 2, n – ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число а, то множество занумерованных вещественных чисел – а1, а2, аn – называется числовой последовательностью (последовательностью), числа аn называются элементами или членами последовательности.
Числовая последовательность:
{an},an = f(n),
где n = 1, 2, 3… – номер члена последовательности.
Cпособы задания последовательностей:
1) аналитический (с помощью формулы n–члена);
2) рекуррентный (путем задания первого члена или нескольких членов и формулы для определения любого члена по известным членам);
3) словесный.
Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {xn} и {yn} называются соответственно следующие последовательности: {xn + yn}, {xn – yn}, {xn × yn}, {xn / yn}, в случае частного yn ≠ 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.
Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется условие: an+1 > an (an+1 < an). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется условие: an+1 ≤ an (an+1 ≥ an).
Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.
Последовательность {an} называется сходящейся, если существует такое число А, что для любого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N, что при всех n > N |an – A| < ε. Если последовательность не сходится, то она называется расходящейся.
Число А называется пределом последовательности {an}, если для ε > 0 существует такое натуральное число N, что при всех n > N |an– A| < ε. Обозначение предела последовательности: 
.
Теорема. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Для подпоследовательностей справедливо:
1) если последовательность сходится к пределу А, то и ее подпоследовательность сходится к пределу А;
2) если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу и к нему же сходится исходная последовательность.
Теорема. Предел суммы (разности), произведения и частного равен сумме (разности), произведению и частному пределов, т. е., если 
, то:
, где с – постоянная;
