Kitobni o'qish: «Основы регрессионного моделирования для психологов»

Введение

Разработка данного учебного пособия является следствием ряда формальных и содержательных проблем, которые имеют место в ходе изучения студентами-психологами такого раздела учебной дисциплины «Математическая статистика и математические методы в психологии», как «Регрессионное моделирование в психологии».

Во-первых, разработка компьютерных статистических пакетов для обработки эмпирических результатов в гуманитарных дисциплинах (SPSS, Statistica и др.) не только привела к целому ряду позитивных моментов в научно-исследовательской деятельности в психологии (например, значительно сократилось время статистической обработки эмпирических данных, появилась возможность вносить определенные коррективы в планирование самого эмпирического исследования с опорой на промежуточные статистические результаты и т. д.), но и породила некоторые негативные моменты. В частности, можно привести два таких момента. Первый связан с тем, что простота «нажатия кнопок по схеме» в компьютерных статистических пакетах, приводящего к конечному продукту статистического анализа (в Интернете в режиме свободного доступа достаточно много информационных источников, презентирующих эту схему), стала проявляться в том, что в научно-психологических исследованиях статистический анализ стали использовать «где надо» и «где не надо», забывая о том, что психология имеет весьма специфичный объект исследования. К примеру, многие в своих исследованиях пытаются найти некие статистические обобщения с применением компьютерных статистических пакетов (благо доступ к таким программам стал «беспроблемным») даже там, где с методологической точки зрения речь идет об уникальности бытия человеческой личности (понимающая методология). Особенно эта тенденция проявляется в исследовательских работах студентов-психологов, ориентированных на формальные требования к научно-исследовательским работам (требование использовать статистические методы). Второй связан с тем, что психолога-исследователя стали интересовать только «конечные распечатки» и он перестал обращать внимание на технологические аспекты математико-статистических расчетов, осуществляемых компьютером. Как следствие, абсолютно перестал учитываться тот факт, что в технологиях математико-статистического анализа для их проведения существует достаточно много формальных условий-требований, автоматически проявляющихся в «конечных распечатках», но выполнение которых не всегда возможно применительно к конкретной научной дисциплине, в частности к психологии.

Во-вторых, педагогический опыт показывает, что когда речь идет об изучении студентами-психологами продуктов моделирования в психологии по разным учебным дисциплинам, то приоритет отдается моделям, которые основаны на концептуальных взглядах автора модели, а не моделям, основанным на строгом статистико-математическом (мы специально используем связку в виде статистико-математический, а не математико-статистический, потому что в регрессионном моделировании математические расчеты осуществляются на основе статистических данных) анализе реальных эмпирических результатов (следствие – низкая объективность (научность) продуктов моделирования в нынешней психологии). Одна из причин такого положения вещей кроется в отсутствии у студентов понимания сути и технологических составляющих проведения регрессионного моделирования (основанного на строгом статистико-математическом анализе реальных эмпирических результатов) в психологических исследованиях.

Учитывая вышесказанное, в данном пособии мы попытались доступным для понимания языком представить содержание, которое синтезировало бы содержательные аспекты трех составляющих (компонентов):

1) методологических основ психологии как науки; 2) математических основ регрессионного анализа; 3) компьютерных технологий математико-статистического анализа эмпирических результатов.

Следуя этим путем, мы понимали, что создание такого «гибрида», как и любого гибрида, обязательно приведет и к негативным последствиям. В частности, он утратит часть содержательных аспектов каждого из своих «родительских» компонентов по сравнению с ситуацией, если бы мы рассматривали их в отдельности (чтобы снизить влияние этого фактора, в пособии в сносках приводится литература, которая позволит повысить знания в каждом из этих компонентов). Несмотря на это, как нам представляется, изучение содержания данного пособия студентами-психологами позволит решить две важные учебные задачи. Во-первых, будет способствовать развитию у них стратегического видения возможности применения регрессионного моделирования в реализации своих научно-исследовательских проектов (численное моделирование дает наиболее точную прогнозируемую оценку изучаемым явлениям). Во-вторых, будет способствовать развитию у них способности более качественно проводить регрессионное моделирование с технологической точки зрения.

Автором предисловия и параграфов 1.1, 1.3, 2.2, 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 4.1, 4.3 и тестовых заданий для самопроверки является В. А. Дорофеев, автором параграфов 1.2, 2.1, 4.2 – Ю. А. Мочалова.

Тема 1. Методологические аспекты регрессионного анализа в психологии

1.1. Законы и закономерности в психологии и регрессионный анализ

Чтобы иметь статус науки, психология должна опираться на определенные законы и закономерности. В задачи данного пособия не входит рассматривать методологические аспекты наличия или отсутствия законов и закономерностей в психологии и соотношения между ними¹, только заметим, что в основе закона лежит связь между одним или несколькими явлениями (переменными) и другим или другими явлениями (переменными). Если следовать всем канонам требований к научности (объяснительности) результатов исследования, то разговор идет прежде всего о связи каузальной.

Что касается определения сущности каузальной связи, то стоит заметить, что единого подхода к пониманию этой сущности не существует и, как следствие этого, нет единого подхода к ее эмпирическому изучению².

С содержательной стороны построения регрессионных моделей, освещаемой данным пособием, важно заметить, что в определение каузальной связи может включаться или не включаться такой фактор, как время. Если фактор времени включить в определение, тогда каузальную связь можно определить следующим образом.

Каузальная связь (от лат. causa – причина) – одна из важнейших форм взаимосвязи и взаимообусловленности явлений и процессов бытия, выражающая такую генетическую связь между ними, при которой одно явление (процесс), называемое причиной, при наличии определенных условий неизбежно порождает, вызывает к жизни другое явление (процесс), называемое следствием (или действием).

При каузальной связи причина и следствие разнесены во времени (одна психологическая переменная (причина) появляется раньше другой (следствие), а не наоборот). Следствие не может быть раньше причины – причина и следствие связаны генетически.

Например, в психологии в конце 1930-х гг. была сформулирована ставшая впоследствии широко известной в психологической науке теория фрустрации – агрессии. Ее авторами являются Н. Миллер, Д. Доллард, М. Дуб, Д. Маурер и Р. Сиэрс.

Представители этого направления Н. Миллер и Д. Доллард следующим образом сформулировали гипотезу: наличие агрессивного поведения всегда предполагает существование фрустрации и, наоборот, существование фрустрации всегда ведет к некоторой форме агрессии. Таким образом, в данной модели ее авторы отразили каузальную связь, включающую фактор времени: сначала фрустрация → потом агрессия.

Однако экспериментальные данные в рамках вышеназванной теории показали, что только одной теории недостаточно для объяснения агрессивного поведения. Реальные экспериментальные исследования показали, что существуют явные и неявные переменные, которые не только искажают генетическую связь между фрустрацией и агрессией, но и нарушают универсальность каузальной (генетической) направленности такой связи.

Применительно к задачам и содержанию данного пособия заметим, что теория вероятностей и математическая статистика, которые в нем представлены, – лишь инструмент для изучения статистической зависимости между явлениями, но однозначно не позволяют установить наличие каузальной связи, включающей фактор времени. В психологии представления о генетически определяемой каузальной связи должны быть привнесены из некоторой другой теории, которая позволяет содержательно объяснить изучаемое явление.

Заметим, что психология как научная дисциплина в отношении включения фактора времени в регрессионные модели находится в весьма затруднительном положении по сравнению с другими дисциплинами (например, экономикой, биологией). В экономике и биологии в регрессионной модели фактор времени включается в моделирование в виде статистических данных, собранных на протяжении определенных предшествующих интервалов времени, чего практически не встретишь в психологии. Причин тому несколько. Например, одной из причин такого положения вещей (невозможность сформировать статистические базы данных на определенных периодах развития изучаемых явлений) является отсутствие в психологии надежного измерительного инструментария (за исключением психологии ощущения и восприятия (сантиметры, секунды)), позволяющего хотя бы отчасти сохранить объективность результатов измерений.

Иногда в литературе можно обнаружить исследования, в которых психологи-исследователи для нахождения каузальной связи используют дисперсионный анализ (ANOVA, MANOVA). Но дисперсионный анализ позволяет определить статистическую достоверность влияния одной (нескольких) переменной на зависимую (зависимые) переменную (проявляется в мере дисперсии зависимой переменной), однако наличие статистически достоверного влияния является необходимым, но еще далеко не достаточным условием генетически обусловленной связи между явлениями.

Таким образом, выделим первый важный аспект регрессионного анализа: он не позволяет устанавливать связь каузальную, понимаемую как связь генетическая между явлениями и процессами. Например, установить факт того, что наличие состояния фрустрации всегда приведет к агрессии.

Тогда возникает вопрос: какую же связь позволяет находить регрессионный анализ?

В ответе на этот вопрос дадим характеристику той связи, с которой имеет дело психолог-исследователь после проведения эмпирического исследования, когда выполнены все требования к технологиям сбора эмпирических результатов и соблюдены требования к объему статистической выборки.

Если выполнены вышеназванные условия (соблюдены требования к технологиям сбора эмпирических результатов и к объему статистической выборки) и полученные эмпирические результаты нанесены на двумерный график, то мы столкнемся с тем, что всегда одним и тем же значениям одной переменной будут соответствовать разные значения другой переменной.

На рис. 1.1 представлены два возможных варианта графического представления такой ситуации.

Связь, которая представлена на рис. 1.1, называется вероятностной (стохастической).

Стохастическая связь – связь, при которой каждому значению одной переменной значение других переменных соответствует не однозначно, а с определенной долей вероятности.

Рис. 1.1. Варианты диаграмм совместного рассеивания точек (каждая точка – испытуемый) в двумерном исследовании

Количественным выражением такого вида связи является коэффициент корреляции.

При стохастической связи переменные как случайные величины заданы совместным распределением вероятностей величины.

Не вдаваясь в объяснение статистических технологий решения задачи о нахождении количественного выражения данного вида связи (коэффициента корреляции)³, охарактеризуем основной недостаток стохастической связи для объяснительного (научного) подхода в исследовательской деятельности.

Он заключается в том, что у нас нет никакой возможности даже с определенной долей вероятности спрогнозировать конкретную количественную выраженность одной переменной при условии, что вторая переменная будет также принимать конкретные количественные значения.

Для того чтобы решить эту задачу, необходимо перейти к другому виду выражения этой связи – математическому, позволяющему отражать эту связь в виде определенной математической функции (функциональная связь).

Функциональная связь – связь, при которой каждому значению одной переменной соответствует одно и только одно значение другой переменной, и эта связь выражается какой-либо математической функцией.

Таким образом, выделим второй важный аспект регрессионного анализа: он позволяет устанавливать связь между переменными, выражаемую определенной математической функцией, что дает возможность спрогнозировать конкретную количественную выраженность одной переменной при условии, что вторая переменная будет также принимать конкретные количественные значения.

Мы обращаем внимание на тот факт, что когда разговор идет о функциональной связи, подразумевается, что она выражается определенной математической функцией. Различные виды математических функций, которые используют в регрессионном анализе, будут приведены ниже.

В таких рамках регрессионный анализ направлен на поиск ответов на два макровопроса.

Первый – определение возможного наличия связи между переменными, которую можно выразить математической функцией на базе вероятностной (стохастической) связи и которая всегда имеет место в психологии при достаточном объеме эмпирической выборки.

Второй: если эта связь существует, то какой вид математической функции ее отражает?

Поясним на примере. В психологии давно общепризнана закономерность, которая получила название закона Йеркса–Додсона и которая гласит: «По мере увеличения интенсивности мотивации качество деятельности изменяется по колоколообразной кривой: сначала повышается, затем, после перехода через точку наиболее высоких показателей успешности, постепенно снижается». Графически, в самом общем виде, это выглядит как перевернутая парабола (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Кривая, отражающая закон Йеркса–Додсона

Как показывает опыт преподавания в вузе, подавляющее число студентов, когда видят эту кривую, не совсем понимают, что представлен вариант кривой, на которой отражена лишь усредненная тенденция изменения значений показателя качества деятельности (зависимая переменная) при изменении значений интенсивности мотивации (независимая переменная).

Можно предполагать, что когда реальные экспериментальные данные наносились на график, в котором по оси абсцисс откладывалось значение такого параметра, как уровень мотивации (в эксперименте – независимая переменная), а по оси ординат – значение такого параметра, как качество деятельности (в эксперименте – зависимая переменная), то график в действительности имел приблизительно следующий вид (на графике отражена тенденция – одному и тому же значению интенсивности мотивации соответствует несколько значений качества деятельности – это получается в силу того, что на один и тот же стимул разные испытуемые показывали разные результаты) (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Модель варианта реальных экспериментальных данных в законе Йеркса–Додсона

В реальности связь между двумя переменными носила не функциональный характер, который отражен квадратичной функцией (параболой), а стохастический, выраженный графиком, по форме напоминающим параболу. И только в результате аппроксимации регрессией реальных данных была получена параболическая функциональная зависимость, показывающая, как изменяется в среднем (выделяем специально) качество деятельности (зависимая переменная) при изменении на одну единицу мотивации (независимой переменной).

Аппроксимация регрессией – приближенное аналитическое (формульное) выражение регрессии по ряду пар значений.

Обращаем внимание на две существенные детали.

Первая деталь не связана с методологическими аспектами науки психологии, а характерна для регрессионного анализа в любой научной дисциплине (технике, экономике, социологии и т. д.). Она заключается в том, что, усредняя значения зависимой переменной в результате проведения регрессии, мы потеряли какую-то часть информации, которая отражена в стохастической связи, но приобрели что-то очень важное – возможность численно моделировать зависимую переменную по значениям независимой переменной.

Вторая деталь, как следствие первой, связана с методологией психологии. В психологии существует несколько направлений, которые опираются на идею абсолютной уникальности каждого человека, и, следовательно, усреднения, получаемые в результате регрессионного анализа, вообще бессмысленны. В частности, на уровне усредненных значений зависимой переменной по всей выборке мы можем наблюдать рост усредненных значений зависимой переменной при повышении значений независимой переменной, а на уровне отдельного испытуемого значения зависимой переменной могут не только не изменяться, но даже уменьшаться.

1.2. Регрессионные модели и математические модели

Термин «регрессия» был предложен Ф. Гальтоном в конце XIX в. Он обнаружил, что дети родителей с высоким или низким ростом обычно не наследуют выдающийся рост, и назвал этот феномен «регрессия к посредственности». Сначала этот термин использовался исключительно в биологическом смысле. После работ К. Пирсона его стали использовать и в статистике. Регрессионный анализ – метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и одной или нескольких независимых переменных (объясняющей переменной). Исследование зависимости случайных величин приводит к моделям регрессии и регрессионному анализу на базе выборочных данных.

Регрессионная модель f(w, x) – это семейство математических функций, задающее отображение f: W × X → Y,

где: w ϵ W – пространство параметров;

x ϵ X – пространство независимых переменных;

Y – пространство зависимых переменных.

С точки зрения возможности формализации закономерностей, в том числе и в психологии, необходимо различать математические модели и регрессионные модели.

Математическая модель предполагает участие аналитика в конструировании функции, которая описывает некоторую известную закономерность. Математическая модель является интерпретируемой – объясняемой в рамках исследуемой закономерности. При построении математической модели сначала создается параметрическое семейство функций, затем с помощью измеряемых данных выполняется идентификация модели – нахождение ее параметров. Известная функциональная зависимость объясняющей переменной и переменной отклика – основное отличие математического моделирования от регрессионного анализа. Недостаток математического моделирования состоит в том, что измеряемые данные используются для верификации, но не для построения модели, вследствие чего можно получить неадекватную модель. Также затруднительно получить модель сложного явления, в котором взаимосвязано большое число различных факторов⁴.

Регрессионное моделирование – активно развивающийся класс методов. Они находятся на стыке анализа данных и моделирования явлений. Корень регрессионного моделирования – нахождение уравнения регрессии.

Уравнение регрессии – математическая функция, которая выражает связь между усредненными значениями одной зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными.

Регрессионная модель объединяет широкий класс универсальных функций, которые описывают некоторую закономерность. При этом для построения модели в основном используются измеряемые данные, а не знание свойств исследуемой закономерности. Такая модель часто малоинтерпретируема, но более точна. Это объясняется либо большим числом моделей-претендентов, которые используются для построения оптимальной модели, либо большой сложностью модели.

Нахождение параметров регрессионной модели называется обучением модели.

Недостатки регрессионного анализа по сравнению с математическим моделированием:

– модели, имеющие слишком малую сложность, могут оказаться неточными;

– модели, имеющие избыточную сложность, могут оказаться переобученными.

Примерами регрессионных моделей являются: линейные функции, алгебраические полиномы, ряды Чебышёва, нейронные сети без обратной связи (например, однослойный персептрон Розенблатта), радиальные базисные функции и т. д.

Примерами математических моделей являются: математические модели на основе теории игр, модель «хищник – жертва», модель маятника и т. д.

1.3. Зависимая и независимая переменные и регрессионный анализ

Студенты-психологи при формулировке эмпирических гипотез научного исследования достаточно часто выдвигают предположение об одностороннем влиянии одной переменной на другую. В самой гипотезе это проявляется в выражениях типа: «переменная х является причиной переменной у», или «переменная х определяет переменную у», или «переменная х является основанием для переменной у».

Но в проверке такого рода гипотез допускают две методологические ошибки. Во-первых, забывают о том, что проверка такого рода гипотез возможна только через эксперимент.. В научных исследованиях изучить влияние одной переменной на другую, определить наличие каузальной связи и попытаться найти ее количественное выражение можно только с помощью одного метода – эксперимента. Изучение методологии, границ применимости и технологии проведения эксперимента в психологии составляет задачу другой дисциплины – экспериментальной психологии. Мы только заметим, что сегодня в психологии, в отличие от конца XIX – начала XX в. (тогда в психологии господствовал эксперимент), проводится достаточно мало экспериментальных исследований, и те, как правило, имеют статус квазиэксперимента. В реальности же в эмпирических исследованиях (особенно в студенческих научных исследованиях) имеют место одномоментные тестовые срезы двух или нескольких переменных с последующей статистической обработкой.

Во-вторых, степень влияния одной переменной на другую связывают с проведением корреляционного анализа и последующей интерпретацией коэффициента корреляции. Следует всегда помнить, что корреляция показывает взаимосвязь, но не влияние.

Можно ли в такой ситуации однозначно определить каузальную (генетическую) связь на основе статистической обработки данных? Ответ – категорическое нет. Но меры влияния одной переменной на другую статистическими методами определить можно. И, сравнив между собой эти меры, можно с определенными оговорками определиться, какую переменную лучше использовать в качестве объясняющей (независимой), а какую – в качестве объясняемой (зависимой).

Мы предлагаем три варианта решения данной задачи. Заметим, что в основе первых двух лежит один и тот же статистический механизм, который определяется отношением вариативности зависимой переменной, отраженной в дисперсии, обусловленной воздействием независимой переменной (фактора), к общей вариативности зависимой переменной, также отраженной в дисперсии. Третий метод, который предложен Чамберсом и который он назвал «метод корреспондирующей регрессии», также связан с оценкой дисперсии, но в отличие от двух первых еще предполагает и применение корреляции.

Первый вариант решения этой задачи, который мы представляем в данном пособии, осуществляется посредством сравнения отношений условной и безусловной дисперсии переменных через расчет коэффициента детерминации (η²). Коэффициент детерминации (иногда его называют корреляционным отношением⁵) позволяет определить долю дисперсии, обусловленную воздействием одной из переменных на другую в общей дисперсии переменной, и наоборот, и тем самым определить меру влияния одной переменной на другую.

И если переменные х и у неравноправны (одна больше влияет на другую), то это может быть основанием для того, чтобы одну из них рассматривать как объясняющую (независимую) переменную, а другую – как объясняемую (зависимую) переменную.

Решение вышеназванной задачи на статистическом уровне связано с так называемыми условными средними, образованными вариативностью одной переменной при воздействии другой переменной.

Условное среднее – среднее арифметическое нескольких наблюдаемых значений одной переменной при одном и том же значении другой переменной.

Заметим, что в психологии, если мы в эмпирических результатах не имеем условных средних в зависимой переменной, это является не следствием реального положения вещей, а следствием действия двух причин.

Причина первая связана с тем, что объем выборки слишком маленький, и для появления условных средних необходимо просто увеличить объем выборки.

Причина вторая связана с размерностью шкалы, которую мы использовали в измерении каких-либо психологических переменных (при замере переменных по интервальной шкале). Например, если переменная будет измерена по 5-балльной шкале, то вероятность появления условных средних будет значительно выше, чем в ситуации, когда переменная измерена по 30-балльной шкале.

Практическими примерами разной размерности могут служить две общеизвестные методики изучения личности – Кеттелла и MMPI.

Формула для расчета коэффициента детерминации (η²):

где: SS_общая – сумма квадратов отклонений y от общего среднего по y (определяет общую вариативность признака под влиянием всей совокупности факторов, обусловливающих эту вариативность);

SS_внутри – сумма квадратов отклонений y от среднего для y по каждому значению признака x (определяет вариативность результативного признака, обусловленную влиянием неучтенных факторов, которая не зависит от признака-фактора).

Из формулы следует, что чем меньше влияние на дисперсию результативного признака неучтенных факторов, тем выше дисперсия, обусловленная действием самой независимой переменной и, соответственно, тем выше значение η².

Покажем на примере решение этой задачи.

Пример 1.1. В студенческой группе было проведено исследование уровня агрессивности (тест-опросник Басса–Дарки) и уровня субъективного ощущения студентами своего одиночества (тест-опросник Д. Рассела, Л. Пепло, М. Фергюсона), в результате которого были получены данные, отраженные в табл. 1.1 (x – агрессивность, y – чувство одиночества).

Таблица 1.1

Данные исследования

Если немного поразмыслить по поводу ответа на вопрос, что же, (агрессивность или одиночество) больше влияет друг на друга, то логика может быть такова. Может ли агрессивность быть объяснением чувства одиночества? Пожалуй, да. Может ли чувство одиночества быть объяснением агрессивности? Пожалуй, тоже да.

Решим эту задачу на основе эмпирических результатов через расчет коэффициента детерминации (η²).

Определим меру влияния агрессивности на чувство одиночества (). Для удобства проведения расчетов влияния х на у составим таблицу:

Когда составили таблицу, проведем расчеты .

Вначале рассчитаем SS_общую:

Рассчитаем SS_внутри:

Подставим полученные значения в основную формулу:

Вывод: 71 % общей дисперсии чувства одиночества определяет агрессивность и 29 % – те факторы, о которых мы не знаем (случайные переменные).

Определим меру влияния чувства одиночества на агрессивность (). Для удобства проведения расчетов влияния у на x составим таблицу:

Когда составили таблицу, проведем расчеты .

Вначале рассчитаем SS_общую:

Рассчитаем SS_внутри:

Подставим полученные значения в основную формулу:

Вывод: 68 % общей дисперсии агрессивности определяет чувство одиночества и 32% – те факторы, о которых мы не знаем (случайные переменные).

Общий вывод: если сравнивать = 0,713 и = 0,676 по численным значениям, то по формальным аспектам агрессивность статистически выше влияет на чувство одиночества, нежели наоборот, и есть смысл определить агрессивность как независимую переменную, а чувство одиночества – как зависимую. Но есть один существенный момент: разница между и составляет всего 0,037 и вполне может измениться при увеличении эмпирических замеров. Поэтому в данной задаче лучше сделать такой вывод: статистический анализ не позволяет нам однозначно соотносить между собой агрессивность и чувство одиночества как зависимую и независимую переменные, а в гипотезе исследования отказаться от понятий «влияет» или «определяет».

Второй вариант решения вышеназванной задачи возможен посредством использования дисперсионного анализа (ANOVA, MANOVA), который позволяет определить статистическую достоверность влияния одной (нескольких) переменной на другую (другие) переменную⁶. Но следует всегда помнить, что для проведения дисперсионного анализа необходимо выполнение целого ряда требований, без наличия которых мы получим не совсем валидные выводы. В частности, к этим требованиям относятся следующие: количество разрядов фактора (независимой переменной) должно быть не менее трех, распределение результативного признака по каждой градации фактора не должно отличаться от нормального, должно соблюдаться условие равенства дисперсий результативного признака (зависимой переменной) по каждому разряду фактора. Когда эти требования невыполнимы и зависимая переменная неочевидна, так как переменные находятся в сложных связях, решить задачу о влиянии переменных друг на друга с использованием дисперсионного анализа (ANOVA, MANOVA) невозможно.

Третий вариант решения вышеназванной задачи, который мы представляем в данном пособии, – метод Чамберса (метод «корреспондирующей регрессии»)⁷. Чамберс наблюдал, что каузальность может выводиться из соответствия дисперсий в зависимых переменных. Используя имитацию, он продемонстрировал, что высокие значения зависимой переменной вытекают из высоких значений независимых переменных, низкие значения – из низких значений, однако умеренные значения зависимой переменной могут вытекать из различных уровней независимых переменных, поскольку высокие и низкие значения независимых переменных нейтрализуют друг друга. Он также показал, что ограничение независимых переменных умеренными значениями в целом приводило к умеренным значениям зависимой переменной. Основываясь на этих наблюдениях, он показал, что дисперсия зависимых переменных, корреспондирующая со случаями с умеренными оценками независимых переменных, ниже, чем дисперсия независимых переменных, корреспондирующая со случаями с умеренными оценками зависимых переменных. Эта асимметрия используется для определения каузальной направленности.

Впоследствии Чамберс предложил способ определения каузальности на основе корреспондирующих регрессий (corresponding regressions). Возьмем двумерную регрессию y на х, где существует неопределенность в отношении того, не может ли подобная каузальная направленность оказаться противоположной. В корреспондирующих регрессиях y регрессируется на х, и абсолютные отклонения (прогнозируемые минус действительные значения y – остатки (см. параграфы 4.1–4.3)) рассматриваются как измерение крайности ошибок предсказания. Затем берутся отклонения значений х от среднего значения х для получения измерения крайности значений предиктора. Эти два столбца отклонений коррелируются, давая корреляцию отклонения для y, именуемую rde(y). Такая корреляция отклонения будет негативной, поскольку, когда значения предиктора оказываются крайними, ошибки должны быть меньше, так как высокие значения предиктора приводят к высоким значениям зависимой переменной, а низкие значения – к низким значениям. Далее та же процедура повторяется в отношении регрессии x на y, давая rde(x).

Когда истинно независимая переменная служит предиктором, должна наблюдаться более высокая корреляция, чем когда истинно зависимая переменная служит предиктором.

То есть значение rde выше, когда истинно независимая переменная служит предиктором. Это происходит по причине того, что умеренные оценки предиктора (измеряемые низкой крайностью значений предиктора) должны ассоциироваться с умеренными оценками зависимой переменной (измеряемыми крайностью ошибок) лишь в том случае, когда истинная независимая переменная используется как предиктор истинной зависимой переменной:

Chambers`D = rde(y) – rde(x)

Когда истинно независимая переменная является х, а истинно зависимая y, D будет негативным. То есть только если х является истинно независимой переменной, а y истинно зависимой, rde(y) будет более негативным, чем rde(x).