Kitobni o'qish: «Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов»

1. Задачи сопротивления материалов

Твердые тела при воздействии на них с какой-либо силой могут изменять свою форму и размеры, т. е. деформироваться. Если после снятия нагрузки тело возвращает свое первоначальное состояние, то деформацию называют упругой. Если после снятия нагрузки тело остается деформированным, то говорят о пластической (остаточной) деформации.

На практике остаточные деформации, возникающие в элементах, говорят о нарушении нормальной работы конструкции. При создании машин и сооружений необходимо выбрать материал и размеры деталей таким образом, чтобы при воздействии внешних сил сооружения не подвергались разрушению и остаточной деформации, т. е. были достаточно прочными. Прочностью называют способность тел выдерживать воздействие внешних сил без разрушения и возникновения опасных последствий.

На практике все конструкции и сооружения испытывают на себе упругие деформации. Если при достижении некоторого критического значения внешних воздействий конструкция перестает нормально функционировать, хоть и обладает необходимой прочностью, то говорят о недостаточной жесткости такой конструкции. Следовательно, жесткость – это способность тела сопротивляться влиянию упругой деформации.

Также под воздействием внешних воздействий тела могут изменять свою форму и оставаться в таком положении. При проектировании необходимо подбирать размеры так, чтобы возникающие в элементах упругие перемещения не нарушали общей работы конструкции или сооружения. Способность тел сохранять устойчивое равновесие называют упругостью. Поэтому можно сказать, что основной задачей предмета «Сопротивление материалов» является расчет элементов конструкций и сооружений, обеспечивающий им прочность, жесткость и устойчивость.

Сопротивление материалов – расчетно-теоретическая дисциплина. Для определения внешних сил, действующих на элементы конструкций и детали машин в эксплуатации, используют методы теоретической механики, в основном статики, в которых рассматривается равновесие абсолютно твердого тела. Составляя уравнения равновесия, допустимо заменять одну систему сил другой, эквивалентной ей, переносить силы вдоль линии их действия или заменять силы их равнодействующими, но в некоторых случаях такие упрощения могут быть причиной ошибочных расчетов. Поэтому все основные положения сопротивления материалов подвергаются многократным экспериментальным исследованиям и дополнениям.

В некоторых случаях теоретический расчет оказывается настолько сложным, что приходится изготавливать модель проектируемой конструкции и подвергать ее испытаниям, чтобы получить данные о характере и величине деформаций.

2. Классификация сил

Любой элемент конструкции можно рассматривать как самостоятельный, если воздействие остальных элементов считать силами внешнего воздействия. К внешним силам относят как силы, действующие со стороны других элементов, так и реакции связей (опор). Действующую на тело систему сил принято называть нагрузкой.

Внешние силы принято делить на объемные, т. е. распределенные по всему объему, и поверхностные, действующие только на поверхность рассматриваемого элемента. Поверхностные силы в свою очередь подразделяются на сосредоточенные и распределенные по поверхности элемента или по длине элемента. Если сила передается на деталь по площадке, размеры которой пренебрежимо малы в сравнении с площадью всего элемента конструкции, силу считают сосредоточенной. Это упрощение служит для облегчения расчетов. Распределенные по поверхности нагрузки характеризуются давлением, т. е. отношением силы, действующей на элемент нормально к нему, к площади данного элемента. Распределенная по длине нагрузка характеризуется интенсивностью, выражаемой единицей силы, отнесенной к единице длины.

Сосредоточенные силы измеряются в ньютонах (H), распределенные по поверхности (давление) – в паскалях, распределенные по длине (интенсивность нагрузки q) – в ньютонах на метр (Н/м).

Также нагрузки подразделяются по характеру изменения во времени.

Статические нагрузки характеризуются постоянством во времени.

Динамические нагрузки, абсолютное значение, направление и место приложения которых изменяются во времени. Такие нагрузки могут быть кратковременными или действующими продолжительно и изменяющимися по какому-либо закону.

Укажем самые распространенные типы связи.

Односвязная опора (шарнирно-подвижная) изображена на Рис. 1.1. Реакция такой опоры всегда перпендикулярна опорной поверхности.

Двухсвязная опора (шарнирно-неподвижная) схематически изображена на Рис. 1.2.

Реакция этой опоры проходит через центр шарнира, ее направление зависит от действующих сил. Вместо отыскания числового значения и направления этой реакции удобнее найти две ее составляющие.

В трехсвязной опоре (жесткой заделке), изображенной на Рис. 1.3 возникают реактивная пара сил (момент) и реактивная сила, последнюю удобнее представлять в виде двух ее составляющих.

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Рис. 1.3

3. Понятие о деформациях и напряжениях

Воздействие на тело внешних сил изменяет его внутренние силы. Деформация тела вызывает изменение расстояний между атомами, при этом возникающие дополнительные внутренние силы стремятся вернуть тело в первоначальное положение. Если неограниченно увеличивать действие внешних сил, то при определенном возрастании внутренних сил происходит разрушение тела. Чтобы произвести расчет на прочность, надо уметь определять внутренние силы, зная внешние. Для определения внутренних сил (или внутренних силовых факторов) используют метод сечения. Мысленно рассекаем твердое тело и отбрасываем одну из частей. Оставшаяся часть тела находится в положении равновесия под действием приложенных внешних сил и сил, приложенных к сечению (заменяющих воздействие отброшенной части тела). Теперь при помощи теоретической физики можно определить главный вектор действия внутренних сил по сечению (закон распределения этих сил установить сложно). Совмещая плоскость сечения с системой координат, имеем в сечении шесть силовых факторов: продольная сила N_z, пара поперечных сил Q_x,Q_y, изгибающие моменты M_x,M_y, крутящий момент M_z.

Соответственно видам внутренних силовых факторов различают четыре вида деформаций тела:

– если в сечении имеется только продольная сила – растяжение или сжатие;

– если в сечении возникают только поперечные силы – сдвиг;

– если в сечении возникают только изгибающие моменты – чистый изгиб, если кроме изгибающих моментов возникают поперечные силы – поперечный изгиб;

– если в сечении возникает крутящий момент – кручение.

Если в сечении действуют несколько силовых факторов, то возникает сложный вид деформации.

Как уже было сказано, при определении внутренних сил методом сечения считаем эти силы приложенными к центру тяжести сечения. На самом деле они распределены по всей поверхности сечения, и интенсивность внутренних силовых факторов может быть различной. Увеличение внешней нагрузки приводит к увеличению внутренней, заставляет возрастать интенсивность во всех точках сечения и может привести к разрушению элемента или возникновению остаточных деформаций. Таким образом, говоря о прочности тела, рассматривать надо не значение внутренних сил, а их интенсивность. Меру интенсивности внутренних сил характеризует напряжение. Для удобства математического и физического анализа напряжение рассматривают как совокупность двух компонент: вектора нормального напряжения и вектора касательно напряжения, являющихся соответственно его составляющими по нормали к сечению и касательно к его плоскости.

4. Вычисление напряжений по площадкам, перпендикулярным к оси стержня

Рассмотрим небольшую площадку сечения некоторого тела, действующую на нее; внутреннюю силу обозначим ΔF. Отношение внутренней силы к единице площадки определяет среднее значение интенсивности на площадке ΔA.

Если бесконечно уменьшать площадку ΔA, напряжение стремится к своему предельному значению и называется истинным напряжением.

Разложим вектор полного напряжения p на две составляющие: нормальное напряжение σ, направленное по нормали к сечению, и касательное напряжением τ, направленное по касательной к сечению. Между величинами p, τ, σ существует зависимость, которая выражается формулой:

Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы стремятся приблизиться или отдалиться. Когда частицы стремятся сдвинуться относительно друг друга в плоскости сечения. Касательное напряжение можно разложить на две составляющие: τ_zx и τ_zy. Первый индекс показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй – параллельно какой оси действует напряжение.

Напряжения в поперечных сечениях связаны с внутренними силовыми факторами, определенными зависимостями.

dN_z = σ_zdA; dQ_x = τ_zxdA; dQ_y = τ_zydA

Соответствующие элементарные моменты относительно координатных осей имеют вид:

dM_z = (τ_zxdA)y – (τ_zydA)x; dM_x = (σ_zdA)y;dM_y =(σ_zdA)x

Просуммировав бесконечно малые силы и моменты, действующие в сечении, получим выражения, связывающие внутренние силовые факторы с напряжениями.

Полученные выражения можно рассматривать как определения, выражающие физическую сущность внутренних силовых факторов. Также, при определенных методах сечения внутренних факторов, эти формулы могут использоваться для вычисления напряжений, если известны законы, по которым эти напряжения распределяются по сечению.

5. Деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука. Коэффициент поперечной деформации

Некоторые элементы конструкций и элементов подвергаются только продольным нагрузкам, что вызывает в них деформацию растяжения или сжатия. Длина стержня, подвергнутого растяжению, увеличивается, а площадь его поперечного сечения уменьшается. При сжатии наоборот – длина уменьшается, а площадь сечения увеличивается. При этом изменение длины называют линейной продольной деформацией, а изменение площади поперечного сечения – поперечной линейной деформацией. Для оценки интенсивности деформации применяют такие понятия, как относительная продольная ε и относительная поперечная ε' – деформации, приходящиеся на единицу длины или пощади сечения стержня.

где Δl – изменение длины стержня;

Δa – изменение площади сечения.

Продольную деформацию растяжения обычно считают положительной, деформацию сжатия – отрицательной. Продольная и поперечная деформации связаны соотношением

μ – коэффициент поперечной деформации, который имеет свое значение для разных тел (в пределах упругого деформирования). Этот коэффициент называют коэффициентом Пуассона.

В пределах упругого деформирования экспериментально была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε.

σ = Eε

Это соотношение носит название закона Гука, а коэффициент пропорциональности E называется модулем упругости первого рода. Модуль упругости – это величина, постоянная для каждого материала. Из соотношения видно, что при постоянном напряжении деформация меньше при большем модуле упругости.

Если рассматривать участок длиной l, на котором продольная сила и площадь поперечного сечения постоянны, закон Гука можно представить в виде:

Произведение EA называется жесткостью сечения.

При растяжении или сжатии стержня его сечения перемещаются. Осевое перемещение сечений друг относительно друга равно изменению длины стержня между этими сечениями. График, на котором изображены перемещения всех сечений относительно одного, принятого за неподвижное, называется эпюром перемещений.

6. Механические характеристики свойств материала

Для правильного побора материала при расчетах машин и сооружений надо знать механические свойства подбираемых материалов, к которым относятся:

– прочность – способность материала выдерживать воздействие внешних сил без разрушения и возникновения опасных последствий;

– пластичность – способность материала накапливать пластические деформации до разрушения;

– упругость – способность материала восстанавливать свою форму и размеры после удаления нагрузки;

– жесткость – способность тела противостоять упругой деформации и разрушению при воздействии.

Все детали перед введением в эксплуатацию подвергаются механическим испытаниям, что позволяет определить характеристики свойств материалов. Наиболее распространенным испытанием является растяжение. На начальном этапе растяжения абсолютные деформации пропорциональны нагрузке, а относительные деформации пропорциональны напряжению, т. е. справедлив закон Гука. Пределом пропорциональности σ_пц называется максимальное напряжение, при котором выполняется закон Гука. При достижении нагрузкой некоторой величины в образце появляются остаточные деформации. Пределом упругости σ_0,05 называют максимальное напряжение, при котором не возникают остаточные деформации. Принято считать за максимальное то напряжение, при котором в испытуемом образце появляются деформации 0,05 %. Предел пропорциональности, предел упругости, модуль упругости и коэффициент поперечной деформации характеризуют упругие свойства материала. Предел текучести материала σ_m – это наименьшее напряжение, при котором деформация увеличивается без заметного увеличения нагрузки. Если после возникновения текучести продолжать увеличивать действие нагрузки, наступает разрушение. Пределом прочности (временным сопротивлением) σ_в называют напряжение, соответствующее максимальной нагрузке, предшествующей разрушению образца. Пределы текучести и прочности характеризуют прочность материала. Также существуют две величины, характеризующие пластичность материала: относительное остаточное удлинение δ (отношение изменения длины к начальной длине образца) и относительное остаточное сужение ψ (отношение изменения сечения к первоначальной площади сечения).

Испытания на сжатие для пластичных тел в начале дают результаты, похожие на растяжение, но при нарастании нагрузки пластичные тела не разрушаются, а сплющиваются. Поэтому целесообразнее таким испытаниям подвергать хрупкие тела с малым относительным остаточным удлинением при разрыве. Как правило, в таких испытаниях определяется предел прочности σ^с_в – максимальное напряжение, соответствующее максимальной нагрузке.

7. Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

Статистически неопределимые задачи – это задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений статистики. Недостающие уравнения составляются исходя из условия совместности деформаций. Для примера рассмотрим систему, представленную на Рис. 2.1.

Рис. 2.1

Пусть крайние стержни, имеющие равные площади поперечных сечений (F₁ = F₂) – стальные, средний стержень площадью F₃ – медный. Длина среднего стержня – ℓ₃, крайних – ℓ₁ = ℓ₂; допускаемые напряжения для стали – [σ_c], для меди – [σ_м]. Определить размеры поперечных сечений стержней под действием подвешенного груза Q. Установим силы, действующие на каждый из трех стержней. Считаем их растягивающими. Для их определения рассмотрим равновесие точки А. Схема действия сил на рисунке 2.2.

Рис. 2.2

Точка А в результате деформации переместится в точку А₁. Отрезок АА₁ – удлинение среднего стержня Δℓ₃. Отрезки АВ₂ и АС₂ – удлинения первого стержня ∆ℓ₁ и второго – ∆ℓ₂ соответственно. Определим удлинения стержней ∆ℓ₁, ∆ℓ ₂, ∆ℓ₃ по закону Гука

Найдя из чертежа зависимость между этими удлинениями, получим дополнительное уравнение совместности деформаций. Из треугольника А₁АВ₂ имеем:

АВ₂ = АА₁cosα или ∆ℓ₁ = ∆ℓ₃cosα

Подставляя значения ∆ℓ₁ и ∆ℓ₃ в это уравнение, получим:

Из треугольника АВД получаем ℓ₃ = ℓ₁cosα, тогда

Подставляем значение N₁ в уравнение равновесия и получаем:

По величинам этих усилий и допускаемым напряжениям определим F₁ и F₃ из условий:

8. Напряжения, возникающие при изменении температуры

В статически неопределимых системах возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок не только от неточности изготовления и сборки, но и от изменения температуры. Возьмем стержень, защемленный неподвижно концами при температуре t₁. Длина стержня ℓ, площадь поперечного сечения F, модуль упругости Е. Определить напряжения при изменении температуры до t₂. Выясним, какие силы будут действовать на стержень, если температура повысится от t₁ до t₂. Стержень стремится удлиниться и будет распирать опоры А и В. Со стороны этих опор будут действовать реакции, они и вызовут сжатие стержня. Их величины нельзя найти из уравнений статики, так как единственное условие равновесия дает нам, что реакции опор в точках А и В равны по величине и прямо противоположны. Задача статически неопределимая.

R_A = R_B

Для составления дополнительного уравнения мысленно отбросим одну из опор, например, опору В и дадим стержню деформироваться в зависимости от температуры на величину ∆ℓ_t. По законам физики

∆ℓ_t = αℓ(t₂ – t₁),

где α – коэффициент линейного расширения материала. Но так как длина стержня, закрепленного концами, остается и при нагревании неизменной, вернем опору В в первоначальное положение. Стержень укоротится на величину

∆ℓ_RB = ∆ℓ_t

Это и есть условие совместности деформаций; оно указывает на то, что при изменении температуры длина стержня не изменилась, он не оторвался от неподвижных опор. По закону Гука

Приравнивая обе деформации, получаем:

откуда R_B = α×(t₂-t₁)×EF;

Напряжение, вызванное изменением температуры в стержне постоянного сечения с жестко защемленными концами, зависит лишь от материала, коэффициента линейного расширения, разности температур и не зависит от его длины и площади поперечного сечения.

9. Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении и сжатии (линейное напряженное состояние)

Вычислим напряжения, действующие по какому-либо наклонному сечению. Возьмем призматический стержень, растянутый силами Р (Рис. 3.1).

Рис. 3.1

Разделим его на две части сечением mn, составляющим угол α с поперечным сечением mk, перпендикулярным к оси. За положительное направление угла возьмем направление против часовой стрелки. Площадь сечения mk обозначим F₀, площадь сечения mn обозначим F_α. Для определения напряжений применим метод сечений. Мысленно отбросим верхнюю часть и заменим ее действие на нижнюю напряжениями S_α. Для равновесия нижней части напряжения S_α должны уравновешивать силу Р и быть направлены параллельно оси стержня. Предполагая, как и раньше, что напряжения S_α равномерно распределены по площади сечения, найдем: S_α·F_α = P, отсюда . Но, так как  – нормальное напряжение по площадке mk, следовательно, S_α=σ₀ cosα. Для того чтобы при любом угле наклона α иметь дело с одними и теми же видами напряжений, разложим напряжение S_α на две составляющие: в плоскости mn и перпендикулярно к ней (Рис. 3.2).

Рис. 3.2

Таким образом, напряжение S_α заменяем двумя взаимно перпендикулярными напряжениями: нормальным напряжением σ_α и касательным напряжением τ_α. Величины этих двух напряжений будут меняться в зависимости от изменения угла α между нормалью к площадке и направлением растягивающей силы.

Из Рис. 3.2 имеем:

σ_α = S_α·cosα = σ₀ cos²α;

τ_α=S_α · sinα = σ₀ sinα · cosα = ½σ₀ sin2α.

Принимаем правило знаков: растягивающие напряжения σ_α, т. е. совпадающие с направлением внешней нормали, будем считать положительными; нормальные напряжения обратного направления – сжимающие – будем принимать со знаком минус. Касательное напряжение считается положительным, если оно дает момент по часовой стрелке относительно центра рассматриваемого сечения, отрицательным, если оно дает момент против часовой стрелки. Наличие этих двух видов напряжений соответствует наличию двух видов деформаций: продольной деформации и деформации сдвига. Для проверки прочности необходимо установить наибольшие значения σ_α и τ_α в зависимости от положения площадки mn. Из Рис. 3.2 понятно, что σ_α достигает своего наибольшего значения, когда cos²α будет равен единице и угол α = 0. Максимум τ_α получится при sin 2α = 1, т. е. при 2α = 90° и α = 45°. Величины этих наибольших напряжений будут равны:

10. Понятие о главных напряжениях. Виды напряженного состояния материалов

Чтобы рассчитать прочность бруса при деформациях, нужно определить его напряжение в поперечном сечении. Если деформация сложная, то говорят о необходимости установить напряженное состояние в точке. Чтобы найти напряжение в точке, через эту точку нужно провести сечение. Через точку можно провести бесконечное множество сечений, следовательно, и напряжений в точке бесконечно много. Совокупность всех этих напряжений называется напряженным состоянием в точке.

Для нахождения напряженного состояния в точке тела возьмем элементарный параллелепипед с длинами сторон dx, dy, dz, при уменьшении этих длин сторон параллелепипед стягивается в точку. На грани этого параллелепипеда действуют напряжения, указанные на Рис. 4.1. (Имеется в виду, что указанные напряжения действуют на все грани). При поворотах параллелепипеда его напряжения изменяются, и можно подобрать такое положение, в котором все касательные напряжения будут равны нулю (Рис. 4.2). Площадки, на которых действуют только положительные напряжения, называют главными, соответственно, нормальные напряжения на этих площадках также называются главными и обозначают σ₁, σ₂, σ₃. Наибольшее из напряжений обозначается σ₁, наименьшее – σ₃. Необходимо учитывать знаки: напряжения растяжений считаются положительными, напряжения сжатия – отрицательными. Если известны напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, то напряжение в точке тоже считается известным.

Главные напряжения могут быть как положительными, так и отрицательными и действовать по всем направлениям координатных осей.

Если напряжение действует только в направлении одной из осей, то оно называется одноосным или линейным.

Если напряжение действует в двух направлениях, то оно называется двухосным, или плоским.

Если напряжение действует по всем направлениям координатной оси, то такое напряжение называют трехосным, или объемным.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

11. Плосконапряженное состояние материалов

В сопротивлении материалов чаще всего встречаются задачи, когда напряжение действует в двух направлениях, т. е. является плоским. Рассмотрим такое состояние.

Возьмем произвольную точку тела и рассмотрим элементарный параллелепипед с длинами сторон dx, dy, dz в ее окрестности. Рассечем этот параллелепипед плоскостью, перпендикулярной плоскости zy (Рис. 5.1).

Рис. 5.1

Рис. 5.2

На Рис. 5.2 изображены напряжения на поверхности полученной призмы. Из условий равновесия треугольной призмы через проекции сил, действующих на грани, на оси y’ и z’, можно найти напряжения на наклонной грани призмы.

s_αdA – σ_zdA_zcosα – σ_ydA_ysinα – τ_zydA_zsinα – τ_yzdA_ycosα = 0

τ_αdA+ σ_zdA_zsinα – σ_ydA_ycosα – τ_zydA_zcosα + τ_yzdA_ysinα = 0

Учитывая, что dA_z = 1dy = dAcosα, dA_y = 1dz = dAsinα, записанные отношения в результате тригонометрических преобразований примут вид:

σ_α = σ_zcos²α + σ_ysin²α + τ_zy sin2α

Если совместить оси координат z, y c направлениями главных напряжений, то соотношения примут вид:

Из последнего уравнения следует, что при α = 45° касательные выражения принимают свои экстремальные значения в точке.

τ_max = ½(σ_z – σ_y)

Частный случай плоского напряженного состояния: при σ_x = σ_y τ_α =0, на всех проведенных через точку площадках касательные напряжения равны нулю, т. е. все площадки – главные с нормальными напряжениями σ_α = σ_y = σ_z = σ. Примером такого состояния может служить стенка воздушного шара, находящаяся под давлением.

При σ_x = – σ_y = σ на грани элемента действуют численно равные сжимающие и растягивающие напряжения. Экстремальные касательные напряжения равны главным, а нормальные напряжения равны нулю. Такой частный случай носит название чистого сдвига.

12. Графическое определение напряжений (круг Мора)

По известным напряжениям, действующим на площадках, взаимно перпендикулярных друг другу и проходящих через заданную точку, можно определять напряжения по другим площадкам. Это осуществляется графическим способом, который был предложен немецким физиком О. Мором.

Запишем формулы для определения нормальных и касательных напряжений для площадок, проходящих через заданную точку, в виде:

σ = σ_xcos²α + σ_ysin²α + τ_xsin2α

τ = (σ_x – σ_y)sin2α – τ_xcos2α

Преобразуем первое выражение:

σ = ½σ_x(1 + cos2α) + ½σ_y(1 – cos2α) + τ_xsin2α

После тригонометрических преобразований формулы для напряжений запишутся в виде:

τ = (σ_x – σ_y)sin2α – τ_xcos2α

Обе части этих выражений возведем в квадрат, а затем сложим:

Сопоставим полученное 2 уравнением окружности (x – a)² + (y – b)² = R².

Будем считать ось абсцисс осью нормальных напряжений, а ось ординат – осью касательных напряжений, график зависимости между этими напряжениями представляет окружность, центр которой находится в точке с координатами  и радиусом, определяемым формулой . График этой окружности называется кругом напряжений, или кругом Мора.

Пример напряженного состояния и построенного для него круга Мора приведен на Рис. 6.1. Координаты каждой точки этого графика представляют собой напряжения по одной из площадок, проходящих через точку тела, для которой построен график напряженности.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

При помощи круга Мора также определяются главные напряжения и положения главных площадок (Рис. 6.2), а также экстремальные касательные напряжения.

13. Объемно-напряженное состояние материала

Для изучения объемно-напряженного состояния материала выберем произвольную точку тела, находящегося в напряженном состоянии, и выделим в окрестности этой точки элементарный кубик, по граням которого действуют главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃.

Проведем сечения, параллельные каждому из главных напряжений, и определим значение нормальных и касательных напряжений на этих площадках (Рис 7.1, Рис. 7.2, Рис. 7.3).

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Из условий равновесий составленных для отсеченных участков кубиков следует, что действующие на наклонных площадках напряжения не зависят от того из главных напряжений, параллельно которому эти площадки проведены. Обозначим угол наклона площадки α, применив принцип независимости действия сил, нормальные и касательные напряжения рассмотрим как сумму действия напряжений от σ₁ и σ₂.

σ_α = σ₁cos²α + σ₂cos²(α + 90°)

τ_α = 0,5σ₁sin2α + 0,5σ₂sin2(α + 90°)

Выполнив математические преобразования, запишем соотношения в виде:

σ_α = σ₁cos²α + σ₂sin²α

τ_α = 0,5(σ₁ + σ₂)sin2α

Полученные формулы определяют нормальные и касательные напряжения в случае объемно-напряженного состояния материала, они же соответствуют двухосному плоско-напряженному состоянию.

Максимальное касательное напряжение при объемном напряженном состоянии материала существует на площадке, параллельной напряжению σ₂, нормаль к площадке составляет угол в 45° и определяется по формуле:

τ_max = 0,5(σ₁ – σ₃)

14. Деформации при плоском и объемном напряженных состояниях (обобщенный закон Гука)

В пределах упругого деформирования была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε, носящая название закона Гука.

σ = Ee

Для нахождения деформации нужно выбрать одну из точек исследуемого тела и мысленно рассмотреть элементарный кубик в ее окрестности, на который действуют главные напряжения. Деформация кубика происходит во всех трех направлениях главных напряжений σ₁, σ₂, σ₃. Такие деформации называются главными деформациями и обозначаются ε₁, ε₂, ε₃. Совокупность главных деформаций в точке тела определяет деформированное состояние в точке.

Чтобы определить главные деформации объемного напряженного состояния, сначала определим деформации, связанные с отдельными главными напряжениями и сложим результаты. Деформация ε₁ напряжения σ₁ в том же направлении, что и σ₁ из закона Гука равна:

Тогда деформация от всех главных напряжений в направлении σ₁

Таким же образом определяются деформации в направлении других главных напряжений.

В результате получим следующую систему уравнений, представляющую собой закон Гука в общем виде:

Эти уравнения можно записать для линейного и плоского напряженного состояния материалов, если убрать соответствующие слагаемые.

Из полученной системы уравнений видно, что, зная главные напряжения, можно найти напряженное и деформированное состояния в точке, причем эти состояния могут не совпадать.

15. Потенциальная энергия при сложном напряженном состоянии

При возникновении деформации внешние силы совершают работу, связанную со смещением точек приложения этой силы. Элементарная работа dA внешней силы F определяется по формуле:

dA = Fdl’

где dl’ – перемещение точки приложения силы.

Из закона Гука известно:

В этом соотношении l – длина рассматриваемого участка до деформации;

dl – изменение длины;

a – площадь поперечного сечения тела.

Таким образом,

dA = Eadl’dl / l

Проинтегрировав полученное равенство от нуля до окончательного значения перемещения l’, найдем полную работу силы.

При воздействии на тело внешних статических сил работа этих сил определяется как половина произведения окончательного значения силы на конечное значение перемещения точки приложения этой силы.

A = F’l’ / 2

При воздействии на тело постоянных внешних сил работа этих сил определяется как произведение значения этой силы на конечное значение перемещения точки приложения этой силы.

A = F’l’

Внутренние силы направлены противоположно перемещению, поэтому считается, что работа внутренних сил при нагружении отрицательна. Элементарная работа внутренних сил рассчитывается аналогично работе внешних сил.

dA_вн = Ndl / 2

где N – продольная сила (внутренне усилие).

Вновь воспользовавшись законом Гука, имеем:

dA_вн = –N²dl / 2Еa

Интегрируя соотношение по длине рассматриваемого участка, получим полную работу внутренних сил:

Потенциальной энергией деформации называется величина, равная модулю работы внутренних сил, она представляет собой энергию, которая накапливается телом при деформации.

U = Eal² / 2(l + dl)

При расчетах различных конструкций и сооружений в случае деформации широко используются свойства механической энергии.

Если под воздействием нагрузки тело переходит в деформированное состояние, то сумма работ внутренних и внешних сил равна нулю. Это свойство энергии носит название закона сохранения механической энергии.

Действительное напряженное состояние равновесия упругого тела отличается от всех других состояний тем, что в этом состоянии потенциальная энергия деформации минимальна. Это свойство справедливо для тел, подчиняющихся закону Гука, и называется принципом наименьшей работы.

16. Проверка прочности материала при сложном напряженном состоянии

При неограниченном нагружении материал конструкции или сооружения проходит несколько стадий своего состояния:

– упругую стадию, когда в материале под воздействием небольших нагрузок происходят упругие деформации;

– пластическую стадию, когда под влиянием увеличивающейся нагрузки в материале происходят пластические деформации;

– стадию разрушения, когда под воздействием больших нагрузок тело покрывается трещинами.

В случаях линейного напряженного состояния проверка на прочность довольно проста и осуществляется путем растяжения (сжатия). В случае сложного напряженного состояния (плоскостного или объемного) количество вариантов напряженных состояний велико, и опытным путем осуществить проверку практически невозможно. Для оценки прочности при сложном напряженном состоянии используют гипотезы прочности, которые проводить расчеты на прочность по известным характеристикам прочности. Наиболее широко используются три гипотезы, кратко рассмотрим их.

Гипотеза максимальных касательных напряжений: два напряженных состояния считаются равноопасными в том случае, если максимальные касательные напряжения для них равны. Предполагается, что сложное напряженное состояние можно заменить равноопасным одноосным растяжением с условием, что максимальные касательные напряжения для них равны.

Для пластичных материалов, у которых характеристики прочности одинаковы при растяжении и сжатии, эта теория хорошо подтверждается. Условие прочности записывается в виде:

σ_экв = σ₁ – σ₃ ≤ [σ_p]

Если известны не главные напряжения, а нормальное и касательные напряжения в поперечном сечении, условие прочности имеет вид:

Энергетическая гипотеза прочности: два напряженных состояния равноопасны, если их равны их удельные потенциальные энергии формоизменения. Эта гипотеза предполагает замену сложного напряженного состояния эквивалентным одноосным напряжением при условии равенства их удельных потенциальных энергий формоизменения.

Для пластичных материалов, у которых характеристики прочности одинаковы при растяжении и сжатии, эта теория хорошо подтверждается. Ее преимущество перед гипотезой максимальных касательных напряжений состоит в том, что она включает все три главных напряжения.

Условие прочности, если известны главные напряжения, выглядит следующим образом:

Если известны нормальное и касательное напряжения в поперечном сечении бруса, условие прочности принимает вид:

Гипотеза прочности Мора. Немецким физиком О. Мором предложена гипотеза, учитывающая различия в сопротивлении материалов растяжения и сжатия. Условие прочности имеет вид:

σ_экв = σ₁ – kσ₃ ≤ [σ_p]

Для пластичных материалов коэффициент , для хрупких . Если известны нормальное и касательные напряжения, условие прочности записывается в следующем виде:

17. Понятие о сдвиге. Расчет заклепок на перерезывание

На практике напряженное состояние складывается из возникающих нормальных и касательных напряжений. Если касательные напряжения в сравнении с нормальными невелики, ими пренебрегают и рассматривают сжатие (растяжение) тела. Наоборот, если нормальные напряжения незначительны, то их отбрасывают и определяют прочность исходя из наибольших касательных напряжений поперечного сечения, т. е. говорят о чистом сдвиге.

Если в поперечном сечении возникает только один силовой фактор – поперечная сила Q, такой вид деформации называется срезом.

Условие прочности на срез имеет вид:

В этой формуле τ_s – касательные напряжения среза, A_s – площадь среза, R_s – расчетное сопротивление срезу, γ_c – коэффициент условий работы.

Расчет заклепочных соединений на срез предполагает два допущения: несущая способность соединения пропорциональна количеству поставленных заклепок; усилие, возникающее в соединении, распределяется между заклепками равномерно. На практике, находясь в упругой стадии, крайние заклепки в заклепочном соединении подвержены большей нагрузке, чем средние, но при переходе в пластическую стадию усилие перераспределяется и становится равномерным за счет текучести. Тогда условие прочности при расчете заклепок на срез имеет вид:

где Q = N / n – поперечная сила, приходящаяся на одну заклепку;

ΣA_s = nn_sπd²_ef / 4 – суммарная площадь сечения, по которым срезается одна заклепка;

N – эквивалентная расчетной нагрузке на соединение продольная сила;

n – количество заклепок в заклепочном соединении;

n_s – число плоскостей среза одной заклепки;

d_ef – расчетный диаметр;

R_s – расчетное сопротивление материала заклепок;

γ – коэффициент условий работы заклепочного соединения;

γ_s – коэффициент условий работы соединяемых элементов.

Для нахождения необходимого числа заклепок неравенство преобразуют:

Расчет на срез не гарантирует заклепочного соединения. При недостаточной толщине соединяемых элементов возникающее между заклепками и стенками отверстий давление способно привести к их смятию; если расстояние между заклепками мало, под воздействием давления элемент может расколоться.

18. Проверка заклепок на смятие и листов на разрыв

Смятие – пластические деформации на месте соединения элементов. Напряжение смятия (в данном случае термином «напряжение» обозначают интенсивность не внутренних сил, а внешних сил давления элементов друг на друга) определяется:

σ_р = N / A_p

Расчет на смятие достаточно условен по причине того, что напряжения смятия распределяются по поверхности контакта неравномерно. Он предполагает, что давление распределяется равномерно перпендикулярно поверхности контакта. Условие прочности выглядит таким образом:

где A_p = nd_ef Σt_min – условная расчетная площадь смятия одной заклепкой;

N – эквивалентная расчетной нагрузке на соединение продольная сила;

n – количество заклепок в заклепочном соединении;

n_s – число плоскостей среза одной заклепки;

d_ef – расчетный диаметр;

Σt_min – минимальная суммарная толщина элементов, сминаемых с одной стороны стержня заклепки;

R_p – расчетное сопротивление смятию соединяемых деталей;

γ – коэффициент условий работы заклепочного соединения;

γ_с – коэффициент условий работы соединяемых элементов.

Для того чтобы найти необходимое число заклепок, неравенство преобразуется:

Помимо расчетов заклепок на смятие и разрыв, также проводится проверка прочности соединения на осевое усилие сечений, через которые проходят отверстия для заклепок. Условие прочности записывается как:

где A_нет = A – kd₀t – площадь нетто опасного поперечного сечения;

A = bt – площадь брутто сечения;

N – эквивалентная расчетной нагрузке на соединение продольная сила;

k – количество отверстий в сечении;

d₀ – диаметр отверстий;

t и b – толщина и ширина элемента соответственно;

R – расчетное сопротивление сжатию соединяемых материалов.

Минимальные расстояния между центрами заклепок должны быть не менее 3d₀, а от краев листа не менее 2d₀.

19. Расчет сварных соединений

Самый распространенный способ соединения стальных конструкций – это сварка.

Существует несколько видов сварных соединений, но наиболее часто используются стыковой и нахлесточный.

Стыковое соединение заключается в том, что пространство между соединяемыми элементами заполняется расплавленным металлом. При таком соединении предполагается, что напряжение равномерно распределяется по всей длине шва. Прочность определяется следующим неравенством:

где σ_w – нормальное напряжение в шве;

N – расчетная продольная сила в соединяемых элементах;

A_w – площадь продольного сечения шва;

t_min – толщина более тонкого элемента;

l_w – расчетная длина шва;

R_wy – расчетное сопротивление растяжению (сжатию);

γ_с – коэффициент условий работы соединяемых элементов.

Прочность стыка на растяжение уступает прочности основных соединяемых элементов, так как если качество сварки недостаточно велико, в шве могут появиться дефекты (поры, включения). Поэтому на практике часто встречается косой стык, который увеличивает длину шва. Экспериментально установлено, что если угол стыка α ≤ 67°, то такой шов почти не уступает в прочности основному материалу соединяемых частей. Проверка прочности при косом стыке проводится по нормальным и касательным напряжениям.

При нахлесточном соединении соединяемые поверхности располагаются под углом друг к другу, полученный угол заливается расплавленным металлом. Расположенные перпендикулярно к действию усилия швы называются лобовыми, расположенные параллельно – фланговыми. Предполагается, что напряжение среза равномерно распределяется по расчетному сечению углового шва. Условие прочности выглядит следующим образом:

В этом неравенстве ΣA_wf – расчетная площадь среза угловых швов в соединении, β_f – коэффициент глубины провара шва, k_f – толщина углового шва, Σl_w – расчетная сумма длин угловых швов соединения, R_wf – расчетное сопротивление соединения условному срезу, γ_wf – коэффициент условий работы шва (обычно принимается равным единице).

Применение легирования для упрочнения швов порой приводит к тому, что несущая способность соединения определяется основным металлом, прочность которого меньше, чем у шва. Проводится дополнительный расчет на прочность:

Приведенные формулы справедливы как для лобовых, так и для фланговых швов.