Kitobni o'qish: «Как ломаются спагетти и другие задачи по физике»

Редактор Антон Никольский

Издатель П. Подкосов

Руководитель проекта И. Серёгина

Ассистент редакции М. Короченская

Корректоры О. Петрова, С. Чупахина

Компьютерная верстка А. Грених

Макет и дизайн обложки Ю. Буга

Иллюстратор К. Панфёрова

Задачи, вошедшие в сборник, были опубликованы на сайте «Элементы» (elementy.ru). Издательство благодарит редакцию сайта за активное участие в подготовке сборника к изданию и Фонд развития теоретической физики и математики «Базис» – за предоставление прав на публикацию задач.

Фонд «Базис» основан в 2016 году. Миссия Фонда – системная поддержка и развитие фундаментальной науки, прежде всего физики и математики, в России, поддержка и повышение уровня образования в этих областях, содействие международному научному сотрудничеству российских ученых, повышение интереса молодежи к науке.

© Фонд развития теоретической физики и математики «БАЗИС», 2022

© Иванов И., 2022

© ООО «Альпина нон-фикшн», 2022

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

* * *

СЕРИЯ «НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ»

Вот уже больше десяти лет каждую неделю на сайте «Элементы» выходит новая задача – по физике, математике, лингвистике, биологии, химии или даже по астрономии, экономике, археологии. В понедельник публикуется условие, в среду – одна или несколько подсказок, в пятницу – решение и научно-популярное послесловие. Эту структуру мы оставили и в книге, прибегнув к небольшим хитростям, чтобы подсказка и решение не попались вам на глаза раньше времени.

Ради послесловия – рассказа о том, как затронутые в задаче вопросы решаются в науке и в жизни, – и был придуман этот жанр. Послесловие превращает задачу в научно-популярную статью – и уже не так важно, удалось ли вам ее решить, вы получите удовольствие в любом случае.

Серию открывают сборники задач по физике и лингвистике. Готовятся к выходу математика и биология. А на elementy.ru/problems вас всегда ждет свежая задача.

Увлекательного вам чтения!

Редакция «Элементов»

Благодарности

Для меня было огромным удовольствием работать над этой книгой вместе с командой великолепных специалистов: редактором Джейн Эванс и выпускающим редактором Ханной Снетсингер из издательства Jessica Kingsley Publishers, иллюстраторами Дженнифер Уитни (картинки к упражнениям для самопомощи) и Амандой Уэй (оформление цитат в конце каждой главы), благодаря которым эта работа стала такой яркой и замечательной. Я благодарю мужа, детей, маму, брата и золовку, которые дарили мне любовь и поддержку, и кошку, которая постоянно топталась на моем ноутбуке. Большое спасибо подруге и наставнику Эрзе Уэрб за то, что направляла меня на протяжении всей работы над книгой. Спасибо Эрике Кертис, Мэгги Линч, Майку Сонксену, Стивону Льюису, Эндрю Лоустону и Иден Бирн за их безграничный оптимизм. Спасибо прекрасным клиентам и студентам, с которыми мне посчастливилось встретиться. Все разработанные мной приемы самопомощи они испытывали на себе, делились наблюдениями и помогали определить, что из этого реально работает. Спасибо подписчикам в Instagram (@risawilliamstherapy), которые читали мои советы, а также Кэтрин Килти из Breathe Magazine и Шиван Чхве, которые публиковали мои статьи по психологии. Отдельное спасибо Тит Нат Ханю, Джозефу Кэмпбеллу, Марисе Пир, Джен Синсеро, Эстер Хикс, Брене Браун, Экхарту Толле, Мари Кондо, Мартину Селигману, Дэвиду Бернсу, Уэйну Дайеру и Виктору Франклу за их вдохновляющие книги. Я благодарю судьбу за то, что они оказали такое влияние на мою жизнь, и надеюсь, моя работа тоже привнесет в мир немного добра и света.

Предисловие

В средних классах школы во мне странным образом уживались два разных отношения к физике. Школьную физику я учил более-менее хорошо, на твердую четверочку, но никакого воодушевления она у меня не вызывала. Грузики на наклонной плоскости, пружинки жесткости k, сообщающиеся сосуды, провода с током… Даже если иногда приходилось решать задачи «со звездочкой», задачи повышенной трудности, это были все те же грузики и пружинки, только более запутанные. Зато дома я зачитывался литературой по элементарным частицам, черным дырам, космосу и термоядерному синтезу. Вот это реальная физика, настоящая, восхитительная – ожившая научная фантастика! А школьная физика – так, пыль.

Затем была новосибирская физматшкола с ее уникальными, совершенно нескучными курсами физики. Шикарные лекции по физике нам читал Михаил Алексеевич Могилевский, а параллельно шли факультативные курсы по физике полупроводников, квантовой механике, элементарным частицам. И я, тогдашний школьник, с удивлением осознал, что некоторые вопросы из современной физики я способен постигать количественно, через решение задач, специально адаптированных для продвинутых школьников. Конечно, до настоящей исследовательской науки было еще очень далеко. Но тот разрыв между школьной и современной физикой, который раньше ощущался как безбрежная и бездонная пропасть, вдруг стал обозримым.

Методы и закономерности современной физики перестают казаться таинственными чудесами, если сам способен сосчитать что-то оттуда, пусть даже совсем элементарное и с подсказками. Я уверен, что любой человек, интересующийся современной физикой, пусть и без специального физического образования, имеет право и возможность совершить этот прыжок. Искренне надеюсь, что собранные в этой книжке задачи помогут вам испытать интеллектуальное удовольствие.

Перед вами – задачи не повышенной трудности, а повышенной интересности. Они не натренируют вас на сдачу ЕГЭ или на решение олимпиадных задач. Они подарят удовольствие от более тесного знакомства с окружающей физической реальностью, позволят вам «пощупать руками» современную физику. Некоторые из них очень простые, другие посложнее, отдельные задачи – трудные; уровень задач отмечен звездочками. Но все их объединяет одно: они опираются на школьный багаж знаний, дополненный иногда научно-популярными материалами, и при этом так или иначе касаются реальных научных исследований.

Типы заданий тут самые разные. Есть задачи вычислительные: они, хоть и выглядят технически как школьные задачки, по сути представляют собой упрощенный анализ какой-то реальной ситуации из современной физики. Есть также целый класс задач-оценок. В них не требуется получить точный ответ; более того, какого-то единственного, абсолютно правильного ответа может и не оказаться. В них надо лишь найти главные зависимости между величинами – и именно это будет считаться решением задачи, что, между прочим, в современной физике встречается сплошь и рядом. Наконец, есть задачи на «подумать», в которых вообще не требуется что-то вычислять. Вся суть таких задач – разобраться с явлением и получить удовлетворяющий вас самих ответ.

Каждая задача – миниатюра, выстроенная вокруг одного физического вопроса. Задача начинается со вступления, которое обрисовывает тему, дает нужные сведения и, постепенно подводя вас к проблеме, завершается формулировкой вопроса. Затем следуют подсказки разной степени детализации. Потом – авторское решение, которое не всегда является единственно верным путем к ответу. И завершает сюжет послесловие: в нем тема развивается чуть дальше и приводятся ссылки на реальные исследования и публикации.

Тематическая группировка задач довольно условна. Скажем, в задачах из блока «Механика» встречаются и элементарные частицы, и гравитационные волны. Но и что из того? Это не учебник и не задачник для контроля усвоенного материала. Тут не скажешь: «Мы этого не проходили!» Это, скорее, ваш «туристический путеводитель» по избранным тропам современной физики – и то, как вы пройдете по каждой тропе, зависит от вашего любопытства и готовности преодолевать сложности. Конечно, задачи можно просто читать одну за другой, не затрудняя себя их решением, – и я надеюсь, что даже в таком режиме книжка окажется очень полезной. Но вы получите куда более полное впечатление, если все же остановитесь на несколько минут и попробуете самостоятельно справиться с задачей – а потом задержитесь еще раз, прочитав подсказки. В конце концов, и настоящее путешествие запоминается куда ярче, если вы весь маршрут проделаете пешком, а не промчитесь в автомобиле.

Так что – в путь, и удачи и удовольствий вам!

Игорь Иванов

Механика

1. Оптимизируйте коллайдер

Большой адронный коллайдер (БАК) – самый сложный научный прибор, построенный человеком. В нем протоны, разгоняясь до очень больших энергий, врезаются друг в друга, в результате чего рождаются новые необычные частицы, разлетающиеся в разные стороны из точек столкновений. Многометровые детекторы, словно гигантские микроскопы, разглядывают этот процесс: регистрируют частицы, измеряют их свойства и по ним восстанавливают картину соударений. Через такие столкновения мы и выясняем, из чего состоит и как функционирует Вселенная на самом мельчайшем масштабе. Мы задаем природе четко поставленные вопросы, и она, не в силах отвертеться, выдает свои фундаментальные секреты один за другим.

И хотя это, безусловно, самая передовая физика, мы начинаем книгу с задачи про коллайдер! И она будет вам по силам – потому что даже в сложнейших процессах встречаются очень простые явления. Признаемся по секрету: для решения этой задачи не требуется даже знание законов физики, поможет самая обыкновенная смекалка.

Задача

Но давайте сначала познакомимся с устройством коллайдера. На рис. 1 очень схематично изображено основное кольцо БАК. Реальное его устройство, конечно, сложнее, но для этой задачи мы намеренно упрощаем ситуацию. По кольцу навстречу друг другу циркулируют протонные пучки. На самом деле они летают в двух близких вакуумных трубах, но для простоты будем считать, что все происходит в одной трубе. Каждый пучок состоит из отдельных компактных облачков (сгустков) протонов.

Рис. 1. Схема коллайдерного кольца с восемью точками пересечения встречных пучков

Будем считать, что в восьми точках вдоль кольца, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга, траектории встречных пучков пересекаются, и там протоны могут сталкиваться друг с другом – если, конечно, сгустки пролетят сквозь эту область одновременно! Впрочем, даже если сгустки пересеклись, то это вовсе не значит, что все протоны из одного облачка столкнулись с протонами из другого. Они очень разреженные, так что подавляющее большинство протонов ни с кем не сталкивается, соударения испытывают только несколько протонов из многих миллиардов. Поэтому сгустки в целом просто проходят друг сквозь друга, продолжая лететь по своей траектории, и готовы встречаться на каждом обороте снова и снова.

А теперь представьте себе, что вы сидите в пультовой коллайдера и управляете запуском пучков в ускорительное кольцо. Вы можете послать в него несколько сгустков, причем не обязательно поровну в обоих направлениях. Считается, что все сгустки летят с одинаковой скоростью, но то, как именно они будут размещены на кольце, зависит только от вас! Ваша задача – сделать так, чтобы столкновения происходили во всех восьми точках.

Выясните, какое минимальное число сгустков надо запустить в кольцо коллайдера и как именно их расположить относительно друг друга, чтобы этого добиться.

Подсказка

Пожалуй, единственное, что можно здесь сказать, – эту задачу вполне решают обыкновенные школьники средних классов.

Решение

Первым делом подмечаем, что любая встречная пара сгустков, движущихся с одинаковой скоростью, будет встречаться на кольце ровно два раза в диаметрально противоположных точках. Если мы хотим задействовать таким образом восемь точек, то минимальное количество встречных пар – четыре.

Рис. 2. Оптимальная последовательность сгустков в кольце

Четыре встречные пары можно организовать двумя способами. Первый вариант: один сгусток в одну сторону, а четыре – в другую; всего пять сгустков. Второй вариант: в обе стороны летят по два сгустка – всего четыре. Значит, второй вариант более оптимальный.

Осталось подобрать взаимное расположение сгустков так, чтобы все четыре попарных комбинации встречались в указанных местах. Пример такого расположения показан на рис. 2. Это и есть решение задачи.

Послесловие

У решения есть одна неожиданная особенность: оно менее симметрично, чем постановка задачи. Никакого глубокого вывода отсюда не следует, но, как показывает опыт, бывает так, что эта несимметричность становится препятствием при поиске ответа: мозг подсознательно ожидает, что решение будет столь же симметричным, как и условие.

Любопытно, что и в реальности, на самых первых этапах запуска и отладки БАК применялась примерно такая схема. В настоящем кольце этого коллайдера столкновения происходят не в восьми, а в четырех точках (с номерами 1, 2, 5, 8), вокруг которых построены крупные детекторы ATLAS, ALICE, CMS и LHCb. Но расположены они все равно в вершинах правильного восьмиугольника. Благодаря этому при запуске коллайдера можно было проверить работоспособность всех детекторов с минимальным количеством сгустков в пучках. А уже затем, когда техники убедились в стабильности пучков и надежности аппаратуры, они начали планомерно повышать интенсивность. В пике интенсивности в каждом пучке циркулируют более 2000 сгустков. Они следуют друг за другом с интервалом 25 наносекунд, то есть на расстоянии примерно восемь метров друг от друга, и заполняют практически все кольцо. Но подчеркнем, что даже при такой плотной загрузке столкновения происходят только в тех четырех местах, где две вакуумные трубы пересекаются.

Дополнительная информация

Подробную информацию на русском языке об устройстве и научных задачах Большого адронного коллайдера, а также связанную с ним ленту новостей можно найти в специальном проекте на сайте «Элементы»: elementy.ru/LHC.

БАК – крупнейший, но далеко не единственный научный проект ЦЕРНа, Европейской организации ядерных исследований. О других научных исследованиях, технических разработках и образовательных мероприятиях ЦЕРНа можно узнать на его сайте: home.cern.

2. Хоккейная задача

В прошлой задаче мы сразу нырнули в самую современную физику. А теперь давайте вынырнем и обратимся к повседневной жизни, поговорим о спорте. Спорт – это движение, а значит, в нем тоже можно углядеть интересные и подчас неожиданные физические явления. Возьмем, например, хоккей. При кистевом броске хоккеисты часто закручивают шайбу, так что она одновременно скользит по льду и вращается. Если движение шайбы не ограничивать размерами хоккейной коробки, то рано или поздно и вращение, и скольжение остановятся из-за трения о лед. Но что прекратится раньше?

Этот вопрос может удивить: неужели тут есть какие-то общие закономерности?! Да, есть, и мы сейчас их разберем.

Задача

Рассмотрим слегка упрощенную задачу. Пусть вместо шайбы у нас будет однородное узкое и плоское кольцо. Его запускают скользить по горизонтальной поверхности, придав некоторую начальную скорость и некоторое вращение (рис. 1). Между кольцом и поверхностью действует обычное сухое трение: сила трения пропорциональна прижимающей силе, не зависит от модуля скорости проскальзывания и направлена в противоположную от скорости сторону.

Рис. 1. Вращающееся тонкое кольцо скользит по горизонтальной поверхности (вид сверху)

Выясните, что остановится раньше – скольжение или вращение кольца.

Подсказка

Задача может показаться неприступной из-за того, что в условии практически ничего не задано. Нет ни размеров колечка, ни начальных скоростей скольжения и вращения, ни коэффициента трения. На самом деле, когда задача формулируется таким образом, это обычно служит намеком на то, что ответ не будет зависеть от конкретных параметров. Поэтому при решении вы сами можете взять какие-то значения для этих величин, но должны проследить, что они действительно исчезнут из ответа.

Кольцо участвует сразу в двух движениях: скользит и вращается. Из-за векторного сложения поступательного и вращательного движения разные части кольца движутся относительно поверхности в разные стороны (нарисуйте колечко, представьте, как оно движется, и убедитесь, что разные участки действительно в данный момент скользят по поверхности в разных направлениях). Поэтому выберите вначале какой-то маленький участок на кольце и сосчитайте силу трения, действующую именно на это место. Подумайте, как влияет эта сила на вращательное и поступательное движение, и попытайтесь усреднить эти два влияния по всему кольцу.

После этого проанализируйте формулы для трех случаев: когда скорости вращения и движения совпадают, а также когда скорость вращения очень мала или, наоборот, очень велика по сравнению с поступательным движением. Это наведет вас на мысль, как ответить на вопрос задачи.

Решение

Рассмотрим участок кольца, который находится под углом α к направлению движения (рис. 2). Пусть в данный момент времени скорость центра масс кольца равна v, а скорость вращения обода u = ωR, где ω – угловая скорость вращения в данный момент, а R – радиус кольца. Этот кусочек кольца участвует в поступательном и вращательном движении. Его скорость относительно поверхности показана на рисунке серой стрелкой. Она составляет угол β с направлением поступательного движения, причем

Рис. 2. Скорости и силы на маленьком участке кольца

Эти выражения выглядят громоздкими, но они получаются из обычных формул сложения двух векторов скоростей.

Сила трения, действующая на этот участок, по модулю равна F = μmg (здесь m – масса участка кольца) и направлена в противоположную от скорости сторону. У этой силы есть проекция на направление поступательного движения, – F cos β, и проекция на касательную к кольцу, которая притормаживает вращение, – F sin (β – α). Не стесняясь, подставим сюда выражения для синуса и косинуса угла β, а также учтем, что sin (β – α) = sin β cos α – cos β sin α:

У этой силы есть также проекция вбок, то есть перпендикулярно поступательному движению, но при усреднении по всему кольцу эта проекция обнулится. В этом можно убедиться математически, если рассмотреть второй участок, находящийся под углом π – α. Для него построение аналогичное, две притормаживающие проекции будут такими же, а сила вбок – ровно противоположная.

Для того чтобы посчитать эффект для всего кольца в целом, надо сложить эти силы по всему кольцу, то есть учесть элементы кольца, расположенные под всеми углами α. Это даст нам два ускорения, притормаживающих поступательное движение и вращение:

Угловые скобки обозначают усреднение по всем углам α; это последствие того, что мы общую силу поделили на общую массу. При желании его можно выразить через интегралы, но это не обязательно.

Заметьте интересную особенность полученных формул: при замене u на v выражения для a_u и a_v превращаются друг в друга. Такая «дуальность» задачи автоматически означает, что если бы начальные скорости u и v были равны, то ускорения a_u и a_v тоже были бы одинаковые и, значит, соотношение u = v выполнялось бы всегда, до самой остановки. А это, в свою очередь, означает, что вращение и скольжение в данном случае прекратятся одновременно. Смотрите, произошло математическое «чудо»: мы, просто глядя на формулы, вдруг получили ответ для нашей задачи, по крайней мере для одного начального состояния!

А что изменится, если начальные скорости u и v различаются? Тогда ускорения тоже будут отличаться, и, казалось бы, заранее не понятно, что будет замедляться быстрее. Чтобы выяснить, может ли при этом вращение остановиться раньше скольжения, рассмотрим ситуацию, когда скорость вращения u много меньше скорости поступательного движения v. Тогда для поступательного ускорения мы получим примерно a_v = −μg, словно вращения и не было. Для вращательного ускорения a_u получим маленькую величину порядка −μg·u/v, поскольку «большой» вклад, пропорциональный синусу, обнулился после усреднения по всем углам (более точное выражение см. в послесловии). Иными словами, если вращение очень медленное, то оно и замедляется намного медленнее, чем скольжение. Можно сказать и так: относительное замедление вращения (a_u/u) пропорционально относительному замедлению скольжения (a_v/v). Отсюда и следует, что скольжение и вращение не могут прекратиться в разные моменты времени.

Выше мы отметили, что задача математически симметрична относительно замены поступательного движения на вращательное. Поэтому мы совершенно аналогичным способом получаем и второй вывод: если поступательное движение намного медленнее вращения, то и замедляться оно будет намного медленнее вращения. Соответственно, и в этом случае нет никакой возможности остановить скольжение раньше вращения.

Итак, ответ: вращательное и поступательное движение прекратятся одновременно вне зависимости от того, каковы были их начальные скорости.

Послесловие

Анализ формул можно немного продолжить. Когда u много меньше v, усреднение надо произвести более аккуратно, разложив знаменатель дроби в ряд по малому параметру u/v. Ответ для ускорения вращения окажется вдвое меньше той оценки, которую мы привели в ходе решения. Эти два ускорения можно поделить друг на друга и получить простое выражение:

Коэффициент 1/2 имеет вполне осязаемые последствия. Он меньше единицы, и отсюда получается, что отношение u/v, пусть поначалу очень маленькое, будет увеличиваться с течением времени. А поскольку задача математически симметрична относительно замены поступательного движения на вращательное, отсюда можно заключить, что если отношение u/v очень велико, то с течением времени оно будет уменьшаться. Мы приходим к простому выводу: какими бы ни были начальные скорости u и v, в процессе движения они будут не только синхронно уменьшаться (это мы уже установили в ходе решения), но и все больше приближаться друг к другу.

Для тех, кто знаком с дифференциальными уравнениями, отметим, что нечувствительность ответа к конкретному соотношению между начальными скоростями вращения и скольжения имеет простое математическое объяснение: уравнение для отношения u/v имеет «устойчивую неподвижную точку» при u/v = 1. Это значит, что, каким бы ни было начальное значение u/v, за счет взаимного влияния вращения и скольжения система сама стремится к этому значению в ходе эволюции во времени.

Если бы мы вместо кольца взяли однородный плоский диск, то вывод о существовании устойчивой неподвижной точки остался бы в силе, но ее значение сдвинулось бы и составило примерно 1,53. А если бы вместо плоского диска мы взяли выпуклую или вогнутую форму («чашку», поставленную прямо или вверх дном), то устойчивая неподвижная точка вообще исчезла бы, и тогда вращение и скольжение прекращались бы в разные моменты времени.

Любопытно, что эта довольно простая по постановке задача была проанализирована в деталях совсем недавно. Первые подробные расчеты были опубликованы в 1985 г., причем статья так и называлась: «К вопросу о движении хоккейной шайбы»¹. Анализ более сложных случаев был проведен уже в 2000-х гг., и тогда же были поставлены прямые эксперименты, которые подтвердили расчеты². Эта система оказалась неожиданно богата на явления, как с точки зрения математических законов (взаимное влияние поступательной и вращательной степеней свободы), так и возможных прикладных аспектов.

Дополнительная информация

Популярный рассказ о современных исследованиях этой простой на вид задачи можно найти в новостной заметке автора «Физики изучают удивительные законы скольжения вращающихся тел», «Элементы», 04.01.2006: elementy.ru/link/slide.

3. Бесконечно длинный маятник

Один из самых простых школьных примеров колебаний – колебания математического маятника (см. рис. 1). Математический маятник – это просто точечная масса, подвешенная в поле тяжести на нерастяжимой нити длины L. Если его отклонить от вертикали на небольшой угол и отпустить, то он начнет колебаться туда-сюда с периодом

Как заметил еще Галилей, период колебаний не зависит от их амплитуды, по крайней мере до тех пор, пока эта амплитуда мала.

Из выписанной формулы следует, что чем длиннее маятник, тем больше период, то есть тем медленнее происходит колебание. Но может ли оно стать сколь угодно медленным?

Задача

Давайте рассмотрим совершенно гипотетическую, даже фантастическую постановку задачи: имеется математический маятник, длина его подвеса безумно велика и во много раз превышает радиус Земли. Сам точечный грузик при этом находится в лаборатории на уровне земли, но только точка подвеса унесена далеко – даже так: сколько угодно далеко – в космос! Для простоты будем считать, что Земля и точка подвеса – неподвижны. Это, конечно, слегка безумная и совершенно нереализуемая на практике ситуация, но мы имеем право рассмотреть такой мысленный эксперимент.

Рис. 1. Математический маятник в поле тяжести Земли. Пунктиром показано положение равновесия, сплошной линией – отклонение от него. Сила натяжения нити F_Н и сила тяжести mg, складываясь, порождают возвращающую силу, которая и заставляет маятник колебаться

Вычислите период малых колебаний такого математического маятника бесконечной длины. Какой еще известный вам процесс имеет тот же период? Объясните, почему эти два совершенно разных типа движения имеют одинаковый период.

Подсказка 1

Ясно, что бесконечность подставлять в формулу нельзя, поскольку при выводе этой школьной формулы не предусматривалась такая экстремальная ситуация, которую мы предложили в задаче. Значит, надо формулу вывести еще раз – но только с учетом того, что радиус Земли много меньше длины маятника, а не наоборот.

Подсказка 2

Тут есть два подхода: стандартный метод расчета и маленькая хитрость.

Стандартный метод вычисления периода колебаний таков. Рисуем положение равновесия и положение с небольшим горизонтальным отклонением x от него. Выясняем, откуда берется возвращающая сила. Убеждаемся, что возвращающая сила линейно зависит от отклонения, и возникший коэффициент пропорциональности называем жесткостью: F = − kx. Жесткость, деленная на массу грузика, дает частоту ω в квадрате. Период – это 2π/ω.

Маленькая же хитрость заключается в том, что когда вы начнете следовать этой процедуре, то догадаетесь, что задача в некотором смысле эквивалентна исходной. И тогда вы сразу сможете написать ответ без вычислений.

Так или иначе, начните с рисунка исходного положения бесконечно длинного маятника, положения при отклонении от равновесия, нарисуйте силы и найдите возвращающую силу.

Решение

На рис. 2 изображен наш бесконечно длинный маятник. Пунктирной линией показано положение равновесия, сплошной – отклонение от него. Обратите внимание, что смещение вбок – строго горизонтальное, а не по дуге, как на рис. 1, поскольку расстояние до точки подвеса считается неограниченно большим.

Рис. 2. Бесконечно длинный маятник в поле тяжести Земли

Если бы поле тяжести было строго однородным, то есть всегда направленным вниз, как на рис. 1, то никакой возвращающей силы при строго горизонтальном смещении не возникло бы. Сила вбок возникает на рис. 2 потому, что реальное поле тяжести – неоднородное; сила тяжести направлена в каждой точке не строго вниз, а к центру Земли. При смещении грузика направление на центр отклоняется от вертикали, и именно отклонение от вертикали порождает возвращающую силу.

Обратите внимание, как поменялись ролями две силы! В обычной задаче (рис. 1) сила тяжести всегда направлена вниз, а сила натяжения нити в колеблющемся маятнике отклоняется от вертикали. Здесь все наоборот: направление нити, а значит, и сила ее натяжения все время остаются вертикальными, а отклоняется от вертикали уже сила тяжести. При этом, чтобы сила тяжести не изменялась по абсолютной величине, надо, чтобы угол отклонения был мал, то есть чтобы амплитуда колебания была много меньше радиуса Земли.

Эта неожиданная параллель между двумя ситуациями открывает нам короткий путь к ответу. Возвращающая сила возникает из-за горизонтального дисбаланса двух сил, то есть из-за ненулевого угла отклонения одной силы относительно другой. Этот угол точно такой же, как был бы в исходной школьной задаче с маятником в строго однородном поле тяжести и с длиной, равной радиусу Земли. Мы просто поменяли местами две силы, и задача теперь выглядит стандартной, но только с L = R. А это значит, что мы сразу пишем ответ: что после подстановки чисел дает примерно 85 минут.

Это выражение точь-в-точь совпадает с периодом движения спутников по круговой орбите вокруг Земли. И это, конечно, не случайность, как мы сейчас увидим.

Послесловие

В принципе, интуитивно понятно, что эти два вида движения – малые колебания туда-сюда бесконечно длинного маятника над поверхностью Земли и свободное движение спутника вокруг Земли – должны быть как-то связаны. В обоих случаях все определяется притяжением к Земле, да и размер в нашем распоряжении только один – ее радиус. Но все же для пущей убедительности хочется увидеть, как именно эти два движения связаны друг с другом, почему у них одинаковый период.

Эта связь проиллюстрирована на рис. 3. Суть в том, что при исследовании маятника нам надо выйти из «зоны комфорта», то есть из плоскости рисунка, и рассмотреть трехмерное движение. У математического маятника в трехмерном мире есть два направления колебаний с одинаковыми периодами. Поэтому можно запустить маятник так, чтобы он не колебался вперед-назад, а двигался по кругу. При таком круговом движении возвращающая сила играет роль центростремительной силы, которая и обеспечивает круговую траекторию. И период его, повторимся, точь-в-точь совпадает с периодом колебания туда-сюда, поскольку движение по кругу – это, по сути, два наложившихся друг на друга линейных колебания.

Рис. 3. Переход от колебания бесконечно длинного маятника к вращению вокруг Земли

Представьте, что мы такое круговое движение небольшой амплитуды запустили сначала по маленькому кругу над полюсом. Потом расширяем круг и одновременно смещаем грузик так, чтобы плоскость его движения рассекала Землю, а сам грузик по-прежнему двигался прямо над ее поверхностью (рис. 3). При таком смещении радиус круговой орбиты растет, но пропорционально ему растет и возвращающая сила. А если возвращающая сила линейно растет с отклонением, то и период колебаний не будет зависеть от амплитуды отклонения (снова вспоминаем Галилея). Значит, и в нашем случае такого кругового колебания маятника, опоясывающего Землю, период остается тем же. С другой стороны, с ростом охвата сила натяжения нити ослабевает, поскольку вертикальная (вдоль нити) компонента силы тяжести уменьшается. Наконец, когда мы сместимся к экватору, сила натяжения нити исчезнет, и мы как раз получим свободное движение по орбите вокруг Земли. А период движения останется ровно тем же, с которого мы и начинали.

В этой задаче можно увидеть связь еще с одним механическим явлением. Зададимся вопросом: какие, собственно, силы играют роль возвращающих в нашей задаче? Ответ прозвучит несколько неожиданно – это приливные силы со стороны Земли. Приливные силы как раз и возникают из-за неоднородности притяжения со стороны массивного объекта. Стандартное рассмотрение показывает, что эти силы действуют на тело (протяженное, не точечное!) так: они его растягивают вдоль направления на Землю и сплющивают – поперек. В нашем случае направление на Землю не важно, там все ограничено нитью. А вот сплющивание в горизонтальной плоскости как раз и порождает возвращающие силы. Обратите внимание, что приливные силы ощущаются не в фиксированной точке, а в ее окрестности. Именно поэтому приливные силы влияют на колеблющийся маятник, который в своем движении как бы прощупывает протяженную область пространства вблизи положения равновесия.

И напоследок – резкий прыжок на передний край физики, к недавно открытым гравитационным волнам. Когда гравитационная волна проходит сквозь тело, то она вызывает ровно такие же деформации, как и приливные силы. Условно говоря, гравитационные волны – это волны приливных деформаций, оторвавшиеся от источника и улетевшие прочь. Эта аналогия основывается на том, что поле деформаций метрики в гравитационной волне описывается ровно теми же компонентами тензора Римана, что и приливные силы от статического гравитационного поля. И тогда еще более наглядным становится тот факт, что гравитационные волны невозможно зарегистрировать в точке; для их регистрации нужен именно протяженный объект.

4. Как ломаются спагетти?

Даже в повседневных явлениях может скрываться нетривиальная физика. Один из примеров, ставший широко известным благодаря Ричарду Фейнману, – загадка ломающихся спагетти. Если взять тонкую спагеттину и аккуратно согнуть ее в дугу, не зажимая слишком сильно концы, а просто медленно сводя их друг с другом, то в какой-то момент спагеттина сломается. Странность заключается в том, что практически всегда она ломается не на две, а на три части (рис. 1), а иногда и больше. Концы обычно остаются в руках, а центральный кусочек, вращаясь, улетает прочь. Более того, если заснять этот процесс на скоростную камеру, выдающую тысячу кадров в секунду, мы увидим, что спагеттина ломается в двух или более местах практически одновременно. На одном кадре спагеттина еще целая, а на следующем мы уже видим все разломы.

Рис. 1. Изогнутая спагеттина ломается не в одном месте, а сразу в нескольких местах, причем эти разломы происходят практически одновременно. По фотографиям из популярной статьи³

Как так получается? Предположение, что это просто случайное совпадение двух разломов по времени, конечно, отметается. Вероятность такого точного совпадения для независимых событий очень мала. Да и к тому же если совпадение неизменно повторяется от раза к разу – то это уже закономерность, которая отражает некоторый физический процесс в ломающейся спагеттине и потому требует объяснения.

Кроме того, если взглянуть на правую схему на рис. 1, можно заметить, что средний обломок расположен относительно двух крайних кусочков спагеттины несимметрично: с одной стороны зазор намного шире, чем с другой. Это тоже не случайность; такая картина регулярно повторяется от раза к разу, а значит, тоже должна иметь объяснение.

Задача

Объясните, как получается, что изогнутая спагеттина ломается почти одновременно в двух или более местах. Глядя на рис. 1, выясните, какой из двух разломов произошел раньше, а также в какую сторону вращается центральный обломок.

Предостережение. Эта задача довольно известная, и в интернете можно найти немало страниц и видеороликов с объяснениями. Но поскольку она рассчитана на физическое чутье, а не на ваши поисковые способности, мы предлагаем подумать над ней самостоятельно. Даже если вы уже когда-то читали про нее, постарайтесь, никуда не заглядывая, построить достаточно убедительное для себя объяснение и с его помощью ответить на второй вопрос.

Подсказка 1

В описании задачи и в схемах на рис. 1 уже можно углядеть два намека.

Если два разлома не могут произойти независимо, значит, они как-то связаны друг с другом. Могут ли удаленные друг от друга части неподвижной спагеттины перед разломом заранее «договориться» в духе «Ломаемся тут и тут на счет раз-два-три!»? Нет, не могут, поскольку нагрузка статична. Поэтому то, что мы видим, – это результат динамического, быстро развивающегося во времени процесса. Разлом первоначально происходит в каком-то одном месте, там, где спагеттина оказывается наиболее хрупкой на изгиб. А вот сразу после этого запускается некий механический процесс, который каким-то образом порождает второй разлом. Вот этот процесс вам и надо описать.

Второй намек содержится в схемах. Видно, что обломки не просто разошлись друг от друга, они выпрямились, что, конечно, совершенно естественно. Может быть, именно в этом распрямлении кроется отгадка?

Подсказка 2

Возьмем на вооружение предыдущую подсказку и представим себе описанную в ней ситуацию (рис. 2). На изогнутой спагеттине произошел первый разлом. Произошел он не посередине, а где-то сбоку, там, где спагеттина наименее прочна на излом – ведь никто не гарантирует, что механические свойства спагетти будут совершенно одинаковы по всей длине и что первой поддастся именно середина. Две части, которые раньше составляли единую спагеттину и по которым передавалось механическое напряжение, теперь потеряли механический контакт друг с другом. Они оказались в очень неустойчивом изогнутом состоянии, но никто эту изогнутость не поддерживает с одного конца. Распрямляясь, оба конца начинают выходить из неустойчивого состояния.

Рис. 2. Сразу после первого разлома две неравные части спагеттины начинают выпрямляться, каждая в свою сторону

Подумайте, как именно будет протекать это распрямление на первых порах, какие этапы будут быстрые, а какие – медленные. Это поможет вам догадаться, как будет меняться с течением времени форма более длинного куска спагеттины и откуда берется второй разлом.

Решение

Чтобы понять, как будет распрямляться изогнутый кусок спагеттины, надо «вжиться в его роль» – почувствовать те внутренние напряжения, которые действуют на стержень при изгибе. В таком состоянии в его толще возникают деформации: во внешней части это растяжение, во внутренней – сжатие материала. Эти напряжения тем сильнее, чем больше кривизна стержня. Они действуют так, что стремятся уменьшить кривизну, выпрямить стержень. И самое важное, что эти выпрямляющие напряжения действуют не в каком-то одном месте стержня, а распределены по всей его длине. Распрямиться хочет каждый кусочек изогнутого стержня.

Пока спагеттина цельная, эти напряжения передаются по всему стержню, держатся друг за друга и, в конечном счете, упираются в пальцы, в концевые опоры. После первого разлома у каждой половинки появляется свободный конец, к которому никаких компенсирующих усилий не прикладывается. Но внутри стержня выпрямляющие напряжения по-прежнему действуют. Раз им никто уже не противоборствует, они, собственно, и начинают выпрямлять стержень, разворачивая его части друг относительно друга.

Если бы деформация была локализована только в одном месте, она бы разворачивала один конкретный участок стержня (рис. 3, слева). Чем короче торчащий кусок стержня, тем быстрее шло бы распрямление (причем зависимость эта кубическая). Но в реальной ситуации деформация распределена в стержне повсюду. Все эти выпрямляющие усилия действуют одновременно, но разворачивают они участки стержня разной длины, а значит, и справляются с этой задачей за разное время (рис. 3, справа). Быстрее всего выпрямляется (и продолжает колебаться туда-сюда) самый кончик, а следом идут более длинные участки и так далее – в общем, спагеттина не просто распрямляется, она деформируется.

Рис. 3. Слева: упрощенный пример, в котором выпрямляющие напряжения присутствуют только в основании и разворачивают стержень фиксированной длины. Справа: реальная ситуация, при которой напряжения присутствуют сразу везде и действуют на участки стержня разной длины

Совокупный эффект от всего этого движения выглядит примерно так. В самые первые мгновения после исходного разлома, стартуя со свободного конца, по спагеттине бежит волна характерной изгибной деформации, волна распрямления. Дальние части спагеттины еще не успели особо повернуться, у них кривизна какой была, такой почти и осталась, да и весь распрямившийся кусочек тоже пока не сдвинулся. Наложение этих движений – волны́ распрямления без существенного сдвига и неизменной кривизны вдалеке – приводит к тому, что на спагеттине появляется, движется и все сильнее очерчивается бугорок повышенной кривизны (рис. 4). В какой-то момент кривизна бугорка превышает предел прочности материала и в этом месте образуется вторая трещина.

В принципе, разницу по времени между первым и вторым разломом можно сосчитать, но это уже будет серьезное исследование. В качестве совсем грубой оценки можно прикинуть, что длина центрального кусочка составляет несколько сантиметров, а скорость деформационных волн с такой длиной волны примерно на порядок меньше скорости звука в веществе (то есть порядка сотни метров в секунду). Поделив одно на другое, получаем время заметно меньше миллисекунды, что соответствует экспериментальному наблюдению.

Рис. 4. Самопроизвольная деформация более длинной половинки спагеттины после первого разлома. Самый кончик быстро распрямляется, дальние участки еще не успевают существенно сдвинуться, и в результате появляется бугорок с большой кривизной, на месте которого и возникает второй разлом. Все деформации на этом рисунке преувеличены для наглядности

Что касается движения и вращения центрального кусочка, то тут соображения такие. При первом разломе два свободных края расходятся наружу примерно с одинаковой скоростью (см. рис. 2). Это движение – результат распрямления с силой обоих концов. При возникновении второго разлома два края находятся в неравноправных условиях. Центральный распрямляющийся участок уже не испытывает таких напряжений, которые подбрасывали бы второй конец вверх. Зато этот кусочек, распрямляясь, отталкивает наружу противоположный край. Поэтому края второго разлома расходятся намного быстрее, чем первого, несмотря на то, что он начался чуть-чуть позже. Центральный кусочек движется первым разломом наружу, а вторым – вовнутрь. На рис. 1 первый разлом – справа, а второй – слева, поэтому вращается центральный кусочек по часовой стрелке. Это подтверждают и снимки последующих этапов этого эксперимента (рис. 5).

Рис. 5. Последующие этапы эксперимента, показанного на рис. 1. По фотографиям из популярной статьи⁴

Послесловие

По воспоминаниям Дэниела Хиллиса, приведенным в книге о жизни Ричарда Фейнмана «Необыкновенный гений» (No Ordinary Genius), знаменитый физик несколько часов искал объяснение загадке ломающихся спагетти, ставил эксперимент за экспериментом, но так и не пришел к удовлетворившей его теории явления. В общем-то, это действительно сделать очень трудно, не решая численными методами уравнения и не «подсматривая» за процессом на сверхскоростном видео.

Долгое время серьезно за эту задачу не брались. Лишь относительно недавно, в 2005 г., вышла научная статья⁵, в которой приводились результаты теоретического расчета и экспериментальные данные, полученные с помощью видео-камеры, делавшей 4000 кадров в секунду. Забавно, что эта работа была отмечена в 2006 г. Шнобелевской премией, хотя физика здесь совершенно настоящая и очень интересная.

Хотя результаты моделирования, изложенные в этой статье, вполне сходятся с экспериментом, предложенное там качественное объяснение все же не вполне удовлетворяет физическое любопытство. Основной аргумент статьи 2005 г. таков: после первого разлома по остаткам спагеттины начинают гулять изгибные волны и, накладываясь друг на друга, могут в каком-то месте привести к слишком большой кривизне, которая и порождает второй разлом. Кажется, что такая формулировка частично перекладывает объяснение на фразу «ну вот так вот сложились колебания».

В нашем решении мы заменили эту недосказанность механизмом распрямления, конкретным и интуитивно понятным откликом спагеттины на появление свободного конца. Это объяснение не оригинально; оно, с некоторыми изменениями, позаимствовано из совершенно шикарного видеоролика, который создал и выложил на YouTube инженер и энтузиаст-популяризатор Дестин Сандлин. Правда, чтобы разобраться в этих тонкостях, ему пришлось снимать весь процесс на сверхскоростную видеокамеру Phantom v1610, выдававшую 250 000 (!) кадров в секунду. Обязательно посмотрите это видео: оно отлично дополняет приведенное решение и наглядно демонстрирует, что в повседневной жизни встречаются явления, динамика которых разворачивается на микросекундном масштабе времен.

Дополнительная информация

Доступный рассказ об исследовании 2005 г. (Breaking Spaghetti. Short story) можно найти на странице авторов статьи: elementy.ru/link/spaghetti.

Если вы знаете немецкий язык, то можете прочитать популярную заметку о Ричарде Фейнмане и загадке ломающихся спагетти: elementy.ru/link/Feynman.

Видео Дестина Сандлина: elementy.ru/link/Sandlin.

5. Форвард-детектор для коллайдера

В экспериментах на Большом адронном коллайдере частицы разгоняются до очень большой энергии, сталкиваются лоб в лоб и порождают множество вторичных частиц, разлетающихся в разные стороны. Вокруг точки столкновения установлены гигантские многослойные детекторы; они регистрируют прохождение частиц, измеряют их характеристики и по этой информации выясняют, что же там произошло в момент столкновения.

Чтобы получить как можно более полную картину столкновения, желательно зарегистрировать все рожденные частицы, не важно, в каком направлении они вылетают. Но ясно, что полный телесный угол детекторы все равно не смогут покрыть – хотя бы потому, что в каком-то направлении из детектора выходит вакуумная труба, по которой движутся частицы, и их-то нам точно нельзя ловить! Поэтому если частица при столкновении отклонилась на очень маленький угол, то центральный детектор ее просто не сможет поймать (рис. 1, левая часть).

Однако на многих современных коллайдерах – и БАК тут не исключение – предусмотрены специальные форвард-детекторы, то есть детекторы, отлавливающие частицы в направлении «вперед». В противовес огромным аппаратам типа ATLAS или CMS, форвард-детекторы – миниатюрные датчики размером несколько сантиметров. Они созданы по технологии Roman Pots и вдвигаются прямо внутрь вакуумной трубы, вплотную к пучку протонов (рис. 1, правая часть). Конечно, вставать прямо на пути протонного пучка эти детекторы не должны: ведь пучок способен прожечь насквозь многие метры бетона, и для него тонкая пластинка форвард-детектора – пустяк. Поэтому для того, чтобы быть пойманной, частица должна выйти из основного пучка и отклониться вбок хотя бы на несколько миллиметров. Поскольку форвард-детекторы устанавливаются далеко от места столкновения (которое, напомним, происходит внутри крупного детектора), они могут зарегистрировать частицы, вылетающие под очень маленьким углом к оси пучка.

Рис. 1. Обычно частицы, рожденные в столкновениях на коллайдере, регистрируются центральным детектором. Однако, если после столкновения частица вылетает под очень малым углом к оси пучка, она «улетает в трубу» и не оставляет следа в центральном детекторе. Такие частицы можно засечь на большом расстоянии от точки столкновения с помощью форвард-детекторов, которые вдвигаются прямо внутрь вакуумной трубы вплотную к пучку частиц (горизонтальная стрелка)

Более того, оказывается, эти детекторы способны отловить даже те протоны, которые после столкновений вылетают строго вперед, под нулевым углом к оси пучка! В нашей задаче мы предлагаем вам разобраться в этом эффекте и обсчитать его.

Задача

Пусть протон на БАК потерял после столкновения 1 % своей энергии, но при этом продолжает лететь строго вперед. На каком расстоянии от точки столкновения нужно поставить форвард-детектор, чтобы он смог зарегистрировать такой протон? Будем считать, что детектор поймает протон, отклонившийся вбок от траектории пучка на 1 см. Для простоты предположим, что протонный пучок летает внутри БАК по кольцевой траектории с радиусом 4 км в однородном магнитном поле.

Подсказка 1

На первый взгляд формулировка задачи содержит противоречивые условия: сначала говорится, что протон после столкновения продолжает лететь строго вперед, а потом утверждается, что он все-таки отклонится вбок. Отгадка таится в том, что протоны в коллайдере летят не по прямой, а по окружности. Подумайте, как изменится траектория протона, если в какой-то момент он потеряет небольшую долю своей энергии. Учтите также, что протоны на БАК ультрарелятивистские, то есть движутся со скоростями, очень близкими к скорости света. Поэтому если энергия уменьшится на 1 %, то и импульс тоже уменьшится на тот же 1 %.

Подсказка 2

Протоны летают по круговой траектории не по своей воле; их удерживает на окружности магнитное поле специально рассчитанной напряженности. Чем меньше энергия протона, тем меньше его импульс и тем круче то же самое магнитное поле поворачивает траекторию. Поэтому для начала нарисуйте траекторию протонов с номинальной энергией и с энергией на 1 % меньше. Поскольку в обоих случаях движение происходит в однородном магнитном поле, то отсюда можно найти соотношение между радиусами орбит в этих двух случаях. После чего несложные геометрические вычисления приведут к ответу.

Решение

Когда заряженная частица попадает в магнитное поле напряженностью B, она начинает двигаться по круговой траектории с радиусом R = p/qB.

Здесь p – импульс частицы, а q – ее заряд. Эта формула годится и для нерелятивистских частиц, и для частиц, движущихся с околосветовыми скоростями. Для ультрарелятивистских частиц импульс примерно равен энергии, поделенной на скорость света. Поэтому если энергия протона уменьшается на 1 %, то и импульс, а значит, и радиус траектории уменьшаются примерно на столько же.

Теперь надо выяснить, как расходятся две круговые траектории, касающиеся друг друга, и, в частности, на каком расстоянии от точки касания расстояние между ними достигает 1 см. Для начала заметим, что в диаметрально противоположной точке эти траектории расходились бы на 0,01 ∙ 8 км = 80 м. Нам же нужно отклонение всего в 1 см. Понятно, что такое отклонение будет достигнуто на маленькой дуге, то есть на расстоянии от точки столкновения намного меньшем, чем радиус окружности. А это позволяет вместо точного уравнения окружности использовать упрощенные формулы.

Пусть ось x направлена вдоль касательной к окружности в точке столкновения, а ось y – направлена радиально (рис. 2). Тогда при x << R круговая траектория с радиусом R будет отходить от касательной приблизительно на y = x²/2R.

Рис. 2. Участки двух круговых траекторий со слегка отличающимися радиусами

Нам требуется найти, как расходятся друг относительно друга две траектории с радиусами, отличающимися на 1 %:

Отсюда расстояние x получается приблизительно равным . При подстановке чисел это дает примерно 90 м.

Послесловие

Такой тип столкновений, когда протоны не разваливаются и не отлетают вбок при столкновении, а лишь теряют небольшую долю своей энергии и продолжают лететь вперед, взят вовсе не с потолка. Он действительно регулярно происходит и представляет большой интерес для физиков. Во время такого столкновения жестко соударяются не сами протоны, а их «сильновзаимодействующие тени», помероны (рис. 3). Померон – это особый динамический объект, состоящий из глюонов, который, условно говоря, может на время испустить протон очень большой энергии. Помероны – это словно незримые сопровождающие быстро летящего протона, и потому два встречных протона могут столкнуться своими «померонными облаками». Само название «померон» – это дань уважения выдающемуся советскому физику-теоретику Исааку Померанчуку, который еще задолго до возникновения кварк-глюонного описания сильных взаимодействий догадался, что такой объект должен возникать при столкновении протонов очень больших энергий.

Рис. 3. Рождение нового мезона в слиянии двух померонов при протонных столкновениях

В подобных процессах открывается дополнительная грань физики сильных взаимодействий, которая не видна в жестких столкновениях кварков или глюонов. Эти процессы называются дифракционными, потому что во многом напоминают дифракцию света, только здесь она происходит не со светом, а с самими протонами. Собственно, дифракция протонов – то есть небольшое отклонение от исходной траектории при упругих столкновениях – как раз и происходит через обмен помероном. Главный научный вопрос здесь – разобраться во всех деталях, как отдельные глюоны складываются в такой коллективный объект, померон.

В столкновении померонов могут рождаться разнообразные частицы, включая и хиггсовский бозон. В отличие от обычного рождения бозона Хиггса, такой механизм рождения очень «чистый», в нем нет многочисленных «частиц-осколков» протона, а значит, его удобно исследовать экспериментально.

На LHC для изучения этого и других подобных процессов действительно установлены форвард-детекторы. В рамках эксперимента TOTEM один набор детекторов Roman Pots расположен на расстоянии 147 м, а другой – 220 м от точек столкновения. Планируется установка еще одной партии таких детекторов на расстоянии 420 м. Однако для надежного опознания событий столкновения двух померонов эти детекторы должны не просто регистрировать протоны, но и определять время их попадания в детектор с очень высокой точностью, с погрешностью не более 10 пикосекунд – и достичь такого временного разрешения ох как непросто.

Дополнительная информация

Устройство, научные задачи и результаты детектора TOTEM подробно описаны на сайте этого эксперимента: totem-experiment.web.cern.ch, а также на русском языке на сайте «Элементы», в разделе, посвященном Большому адронному коллайдеру: elementy.ru/link/TOTEM.

Популярный рассказ о помероне и адронной дифракции можно найти в блоге автора: elementy.ru/link/difr1 и elementy.ru/link/difr2. Сводку результатов БАК по адронной дифракции также можно найти на сайте «Элементы»: elementy.ru/link/difr.

6. Куда девался эксцентриситет?

Февраль 2016 г. принес выдающееся астрофизическое открытие: после десятилетий поисков были напрямую зарегистрированы гравитационные волны. Более того, по форме всплеска, пойманного гравитационно-волновой обсерваторией LIGO, исследователи смогли узнать, что родились эти волны при слиянии двух черных дыр, и даже умудрились оценить их массы и вращение. По сути, в одной короткой статье ученые сделали сразу два открытия нобелевского уровня: подтвердили предсказание Эйнштейна 1916 г. и положили начало гравитационно-волновой астрономии. Нобелевский комитет не заставил себя ждать: премия трем физикам, стоявшим у истоков этого успеха, была присуждена в следующем же году.

Гравитационные волны – открыты! elementy.ru/link/gvo

Если сам факт регистрации гравитационных волн – это чисто инженерный подвиг, то второе достижение – восстановление характеристик черных дыр по их гравитационно-волновому «звучанию» – опирается на общую теорию относительности. Дело в том, что слияние черных дыр однозначно рассчитывается теоретически. Зная массы и вращение двух исходных черных дыр, а также параметры их орбит, теоретики могут предсказать профиль гравитационно-волнового всплеска. Выполнив расчеты для разных параметров и сравнив результаты с формой пойманного в детекторе всплеска, физики находят самый подходящий профиль и отсюда узнают, слияние каких объектов его породило (рис. 1).

Изучение гравитационных волн: elementy.ru/link/gvo2

Рис. 1. Теоретически восстановленная форма гравитационно-волнового всплеска для события GW151226. Изображение из статьи⁶

Вооружившись этой информацией и прочитав внимательно научно-популярные новости об открытии, ссылки на которые приведены на полях, дотошный читатель может заметить одну странность – в сообщениях не говорится про форму орбиты. Физики тщательно учитывают массы черных дыр и их вращение вокруг своей оси, но вот орбиту, по которой две черные дыры двигались перед слиянием, они считают круглой. Возникает ощущение, что исследователи забыли школьную физику. Ведь еще Иоганн Кеплер четыре века назад установил, что тела могут двигаться в поле тяжести не только по кругу, но и по эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр притяжения, а точнее, центр масс двух тел.

Для удобства обсуждения напомним, что вытянутость эллипса характеризуется эксцентриситетом e. Он равен расстоянию между двумя фокусами, поделенному на большую ось эллипса (рис. 2). Для круглой траектории e = 0, для умеренно вытянутой – несколько десятых, для экстремально вытянутой – близок к единице. Так вот, когда ученые восстанавливали параметры черных дыр по данным LIGO, они почему-то не учли, что у орбиты может быть ненулевой эксцентриситет.

Рис. 2. Эксцентриситет эллипса равен расстоянию между двумя фокусами, деленному на длину большой оси. Здесь показан эллипс с эксцентриситетом e ≈ 0,8

Конечно, речь тут не идет ни о каком «грубом просчете». Физики вовсе не забыли об эксцентриситете орбиты. На основании некоторых аргументов они посчитали, что его учитывать не нужно. И в нашей задаче, по сути, требуется восстановить эти аргументы.

Для простоты картины мы предполагаем, что все внешние воздействия на пару гравитационно связанных черных дыр отсутствуют: нет ни межзвездного газа, ни пролетающих мимо других объектов. У нас чистая задача двух тел – правда, с учетом излучения гравитационных волн.

Задача

Объясните, почему физики в анализе данных LIGO не стали учитывать эксцентриситет орбиты сливающихся черных дыр.

Примечание. Для сомневающихся читателей подчеркнем: чтобы решить задачу, не требуется быть физиком и уметь рассчитывать слияние черных дыр. Достаточно чувствовать обычные законы небесной механики и внимательно разобраться с новостями про LIGO.

Подсказка 1

Если вы поначалу подумали, что эксцентриситет не влияет на форму гравитационно-волнового всплеска, спешим вас заверить: влияет, и еще как! Теоретики рассчитали профили гравитационно-волнового всплеска, который пришел бы от двух объектов звездных масс, если бы в последние мгновения перед слиянием они двигались по круговой или сильно вытянутой орбите. Оказалось, что разница огромная (см. графики на рис. 3). Так почему же физики не приняли его в расчет?

Рис. 3. Теоретически рассчитанная форма гравитационно-волнового всплеска для орбит с разными параметрами

Подсказка 2

Из предыдущих замечаний следует единственный вывод: у физиков есть убедительные аргументы в пользу того, что эксцентриситет пренебрежимо мал, то есть что орбиты двух черных дыр в последние мгновения перед слиянием были очень круглые. Но позвольте, мы же не знаем, как эта пара черных дыр образовалась! Вполне могло получиться так, что за миллионы лет до этого две черные дыры, объединившись в гравитационно связанную пару, «сели» на очень вытянутую орбиту.

С этой возможностью никто не спорит: исходный эксцентриситет вполне мог быть большим. Физики лишь утверждают, что непосредственно перед слиянием орбита уже может считаться круглой. Значит, должен существовать какой-то способ «устранить» лишний эксцентриситет, округлить орбиту в процессе эволюции. И способ этот должен быть «железобетонным» и не зависящим от каких-то внешних условий.

Подумайте теперь, почему в процессе вращения друг вокруг друга две черные дыры не просто сближаются, но и выходят на все более круглую орбиту.

Подсказка 3

Единственный процесс, способный, в условиях нашей задачи, влиять на параметры орбиты, – это само излучение гравитационных волн. Представьте себе два компактных объекта на сильно вытянутой орбите друг вокруг друга. Для динамики движения совершенно несущественно, что это две черных дыры; вам достаточно лишь почувствовать и применить обычные законы небесной механики. Поглядывая на графики всплеска (рис. 1 и 3), попытайтесь понять, в какой момент орбитального движения гравитационные волны испускаются сильнее всего. Затем остается сделать последний шаг – понять, почему потеря энергии преимущественно в эти моменты приводит к округлению орбиты. И для этого опять достаточно лишь чувствовать общие законы небесной механики.

Решение

Все закономерности, которые мы обсуждаем ниже, могут быть записаны в точных формулах, и с этим в состоянии справиться и студент-физик. Но поскольку наша задача – на качественное понимание явления, мы специально будем избегать формул, напирая на физическую интуицию.

Динамику тела на сильно вытянутой эллиптической орбите хорошо иллюстрируют многочисленные и всем известные примеры движения тел в Солнечной системе. Притягивающее тело (а точнее, центр масс двух тел) находится в фокусе эллипса. Когда тело приближается к нему, оно ускоряется, проскакивает перицентр на максимальной скорости, затем, удаляясь, замедляется, в апоцентре (на максимальном удалении) ползет медленнее всего, а после, ускоряясь, возвращается.

Приведенный на рис. 1 график гравитационно-волнового всплеска ясно говорит о том, что чем теснее пара, то есть чем быстрее движутся друг относительно друга две черные дыры, тем сильнее излучение (обратите внимание на усиление непосредственно перед слиянием). Это значит, что при движении на очень вытянутой орбите самый сильный выброс гравитационного излучения происходит в перицентре, когда два тела пролетают близко друг к другу на максимальной скорости и резко разворачиваются. Те узкие пики, которые видны на рис. 3, как раз отвечают этим событиям. На дальних участках траектории телá движутся медленно, разворачиваются неторопливо, и, даже несмотря на длительное время, проведенное вдали друг от друга, вклад в излученную энергию волн там незначителен.

Сделаем следующий шаг. Излучая гравитационные волны, пара черных дыр теряет энергию. Для круговой орбиты, когда излучение идет равномерно, общий эффект простой: пара сближается и ее вращение ускоряется. Кинетическая энергия возрастает, потенциальная – уменьшается вдвое быстрее, поэтому полная энергия тоже становится все более и более отрицательной.

Рис. 4. Резкая потеря в перицентре энергии на излучение гравитационных волн приводит к тому, что на следующем витке апоцентр приблизится

Но при сильно вытянутой орбите картина меняется. Энергия теряется не равномерно, а как бы импульсами, в момент прохождения перицентра. Результат такого импульсного излучения – потеря скорости в этот момент. Тела снова разлетаются, но уже чуть медленнее. А это значит, что на следующем витке апоцентр уже лежит ближе, чем раньше. Перицентр почти не изменился, апоцентр – приблизился, следовательно, эксцентриситет уменьшился. И так происходит потихоньку, круг за кругом, а точнее, эллипс за эллипсом. Конечно, потеря энергии происходит не строго рывками, она просто то усиливается, то ослабляется, но качественный результат будет такой же: пара сближается, ее траектория округляется, черные дыры словно «притираются» друг к другу. Так продолжается миллионы лет, и за это время любая траектория успевает превратиться почти в идеальную окружность.

Послесловие

Конечно, все эти рассуждения требуют количественного подтверждения. Процесс излучения гравитационных волн при движении двух гравитационно связанных тел по эллиптической орбите был аккуратно вычислен во всех деталях Питерсом и Мэтьюсом в 1963 г.⁷. Они вычислили мощность, которая тратится на излучение гравитационных волн, и сравнили случаи эллиптической орбиты с большой полуосью a и эксцентриситетом e и круговой орбиты (то же значение a, только e = 0). Оказалось, что от эллиптической орбиты излучение идет куда более мощное, причем чем ближе эксцентриситет к единице, тем больше усиление. Затем они сосчитали темп сближения (то есть среднюю по периоду скорость уменьшения большой полуоси) и темп округления (скорость уменьшения эксцентриситета). Оказалось, что одно связано с другим, и приближенно эта зависимость выглядит так:

a·e^12/19(1−e²)≈const.

Иными словами, даже если пара черных дыр в начальный момент находилась на орбите с большим эксцентриситетом, то по мере их сближения эксцентриситет тоже уменьшается, примерно пропорционально a^19/12. Если за время эволюции пары, с момента образования и до слияния, размер орбиты уменьшился, например в 10 раз, то эксцентриситет уменьшится почти в 40 раз и орбита станет практически круглой.

Рис. 5. Время жизни пары до слияния в зависимости от начального эксцентриситета (e₀) орбиты по сравнению со временем жизни пары с круглой орбитой такого же размера. Изображение из статьи⁸

Эти расчеты, правда, опирались на предположение, что скорости тел остаются малыми по сравнению со скоростью света. В момент слияния черные дыры достигают уже релятивистских скоростей, так что к самым последним мгновениям их совместной жизни такие результаты не применимы. В этом случае придется моделировать сам процесс слияния с помощью сложнейших численных расчетов, которыми занимаются многие исследовательские группы по всему миру. Но для предыдущих миллионов лет эволюции результаты Питерса и Мэтьюса отлично описывают динамику сближения пары.

Раз эксцентриситет сильно влияет на гравитационное излучение, значит, он уменьшает время жизни пары до слияния (рис. 5). Это очень важная информация для астрофизиков. Скажем, они могут промоделировать динамику компактных объектов в большом звездном скоплении и оценить, как часто черные дыры или нейтронные звезды объединяются в пары. Но, если время жизни пары до слияния очень большое, мы никогда не дождемся от них гравитационно-волнового всплеска. Приведенные выше вычисления показывают, что, оказывается, очень важно знать не только начальный размер пары, но и эксцентриситет – он может менять время жизни на порядки.

Ну и последний момент. Формулы, приведенные выше, показывают, что орбита округляется не сама по себе, а по мере сближения пары. Круглая или не очень будет орбита в конце – зависит не только от начального эксцентриситета, но и от того, во сколько раз орбита успела сжаться до слияния. Чисто теоретически может оказаться так, что две черные дыры сразу оказались на очень тесной и сильно вытянутой орбите и уже почти готовы к слиянию. Тогда у них не будет времени для долгого процесса сближения, а значит, эксцентриситет не успеет погаситься. Вот тогда гравитационно-волновой всплеск действительно будет нести на себе отпечаток вытянутой орбиты. Дело лишь в том, что, согласно современной картине образования парных черных дыр звездных масс, такой вариант весьма маловероятен. Тем не менее физики при анализе данных LIGO все же проверили, нет ли в них указаний на сильный эксцентриситет, – и убедились, что таких свидетельств нет.

Дополнительная информация

Подробный рассказ об открытии гравитационных волн и первых шагах гравитационно-волновой астрономии читайте в популярных новостях «Гравитационные волны – открыты!» («Элементы», 11.02.2016: elementy.ru/link/gvo) и «LIGO поймала новые всплески гравитационных волн» («Элементы», 20.06.2016: elementy.ru/link/gvo2); см. также ссылки в конце этих новостей.

О поисках гравитационных волн и истории создания гравитационно-волновых детекторов рассказывает популярная новость автора «Нобелевская премия по физике – 2017», «Элементы», 13.10.2017: elementy.ru/link/npf17.

Примеры расчета профиля гравитационных волн от слияния двух компактных объектов с различными орбитальными параметрами можно найти на сайте Sounds of Spacetime: soundsofspacetime.org/elliptical-binaries.html. Адаптированные графики с этого сайта были использованы в нашей задаче.

Физика земли

7. Чувствительность спутника GRACE

Рис. 1. Два спутника GRACE на околоземной орбите

В 2002 г. на орбиту вокруг Земли был запущен исследовательский зонд GRACE. Наматывая круги вокруг Земли, он методично, год за годом занимался одной-единственной задачей – с исключительно высокой точностью измерял силу земного притяжения прямо над тем местом, над которым пролетал. И делалось это для того, чтобы таким способом, через неравномерности земной гравитации, «прощупать» распределение масс на поверхности и под ней, почувствовать то, что скрыто от глаз. Неслучайно название миссии расшифровывается как «Гравитационное восстановление и климатический эксперимент» (Gravity Recovery And Climate Experiment): данные, полученные зондом, позволяют отследить медленные климатические изменения.

Технически зонд GRACE состоит из двух идентичных спутников, которые летят друг за другом по одинаковой орбите в нескольких сотнях километров над землей и на расстоянии примерно 220 км друг от друга. Эти два аппарата назвали «Том» и «Джерри», чтобы подчеркнуть, что один из них как бы постоянно убегает, а второй – догоняет.

GRACE измеряет силу земного притяжения исключительно простым способом. Во время полета расстояние между двумя аппаратами непрерывно отслеживается с очень высокой точностью. Если бы Земля была однородным шаром, то сила тяжести была бы одинаковой во всех точках круговой орбиты. Спутники бы тогда двигались со строго постоянной скоростью, и расстояние между ними всегда оставалось бы неизменным. Однако реальная Земля обладает профилем – горами, долинами, океанами, а также теми неоднородностями земной коры, которые скрываются под поверхностью. Они тоже оказывают гравитационное воздействие на спутники, а значит, и слегка влияют на их движение. Дополнительное гравитационное воздействие приводит, в частности, к небольшим изменениям расстояния между спутниками.

Задача

Оцените по порядку величины, с какой погрешностью надо измерять расстояние между спутниками, чтобы, пролетая над горным массивом высотой 1 км и размером 100 на 100 км, гравитационно «засечь» его.

Подсказка 1

Первым делом подчеркнем, что в этой задаче не требуется вычислить абсолютно точное число. Нужно лишь приблизительно оценить тот уровень погрешности, с которым необходимо измерять расстояние между спутниками. Поэтому все вычисления можно делать по порядку величины, улавливая основные зависимости между величинами, но не стараясь аккуратно отслеживать все численные коэффициенты.

Чтобы понять, как подступиться к задаче, надо, условно говоря, представить себя этим спутником. Вы летите вокруг Земли с некоторой скоростью (эта скорость, кстати, легко вычисляется и даже имеет собственное название) и вдруг чувствуете, что вас что-то начинает дополнительно тянуть вперед и вниз. Это, разумеется, придает вам небольшое ускорение вперед – вплоть до того момента, когда вы пролетаете непосредственно над источником дополнительной гравитации. После этого вас начинает слегка тянуть назад, и вы испытываете замедление. А теперь вспомните, что у нас есть два спутника, которые по очереди проходят такой цикл ускорения и замедления.

Подсказка 2

В результате описанного выше гравитационного маневра скорость спутника вначале чуть-чуть возрастает, а потом возвращается к исходному значению. Оба аппарата, пролетая над горным массивом, испытывают цикл ускорения и замедления по очереди: вначале первый, затем – второй. В результате на короткое время расстояние между ними чуть-чуть увеличивается. Именно это увеличение и надо вычислить, связав его с параметрами горного массива. Погрешность измерения должна быть меньше этого значения.

Увеличение расстояния можно оценить просто: дополнительную скорость, которую приобретает спутник, помножить на примерное время осуществления этого маневра. Дополнительную скорость можно найти из закона сохранения энергии, а характерное время вы оцените, просто представив себе этот маневр с учетом реальных расстояний.

Решение

Обозначим через M и R массу и радиус Земли, через h – высоту орбиты над Землей, через m – массу горного массива. Средняя скорость движения по орбите – это первая космическая скорость на орбите заданного радиуса

Строго говоря, в эту формулу надо подставлять не радиус Земли, а радиус орбиты спутника с учетом ее высоты над поверхностью Земли. Но, поскольку высота реальной орбиты существенно меньше радиуса Земли, этим отличием можно пренебречь.

Для вычисления дополнительной скорости в момент пролета над горным массивом запишем полную энергию спутника вдали от горы и непосредственно над ней:

Здесь μ – масса спутника, U₀ – потенциальная энергия взаимодействия со всей Землей, кроме горы (которую можно считать одинаковой в обоих случаях, если поблизости никаких других гор нет). Последнее слагаемое – явно записанная потенциальная энергия гравитационного взаимодействия с горой. Для простоты оценки мы написали формулу так, как если бы гора была сферически симметричным телом. В реальности это, конечно, не так, из-за чего истинный гравитационный потенциал горного массива отличается от этой формулы. Но отличие состоит лишь в численном множителе порядка единицы, а мы такими множителями договорились пренебрегать. Тогда дополнительная скорость при пролете над горным массивом составит примерно

Здесь было учтено, что изменение скорости очень мало по сравнению с самóй средней скоростью.

Осталось оценить время маневра. Хотя разгоняющая сила из-за гравитационного притяжения горного массива нарастает при подлете к нему постепенно, можно выделить участок орбиты длиной примерно в одну-две высоты, на котором и происходит основное ускорение (рис. 2).

Рис. 2. Участок основного разгона при подлете к горе по порядку величины равен высоте орбиты h. Стрелками показана сила гравитационного притяжения горы, причем чем ярче стрелка, тем больше сила

Поэтому время маневра примерно равно t ≈ h/υ.

Еще раз отметим, что за численными коэффициентами порядка единицы-двойки следить не обязательно. Подставляя все в формулу для приращения расстояния, получаем:

Поскольку плотности горных пород не слишком отличаются от средней плотности Земли, можно вместо масс написать объемы Земли и горного массива. Тогда для конкретных чисел, данных в задаче, получается ответ: Δx ≈ 10 см.

Итак, для того чтобы гравитационно засечь горный массив с исходными параметрами, расстояние между спутниками – а оно, напомним, примерно равно 220 км – надо отслеживать с точностью как минимум в несколько сантиметров!

Послесловие

На самом деле реальная погрешность измерения на спутнике GRACE не превышает 10 микрон. Это меньше, чем толщина волоса! Такой поразительной точности удается добиться с помощью системы микроволнового измерения расстояния: каждый спутник посылает своему компаньону импульсы микроволнового излучения с длиной волны около 1 см, а тот их ловит и «смотрит», в какой фазе приходит к нему этот сигнал.

Стоит подчеркнуть, что задача восстановления гравитационного профиля Земли по колебаниям расстояния между спутниками очень непроста. В нашей задаче был рассмотрен элементарный пример: одно-единственное возмущение на фоне ровной сферической поверхности. В реальности на спутники постоянно действуют дополнительные гравитационные силы с самых разных сторон, из-за чего маневры разгон/торможение накладываются друг на друга. Поэтому «сырые» данные GRACE мало о чем расскажут непосвященному человеку; для того чтобы увидеть в них гравитационную карту Земли, требуется провести довольно серьезную математическую обработку данных.

Благодаря столь точному измерению расстояния между спутниками, зонд GRACE, конечно, без труда может зафиксировать горный массив с указанными параметрами. На самом деле он способен чувствовать и гораздо более тонкие явления – собственно, для этого он и был создан. Особенно впечатляющие результаты получаются при долгом непрерывном мониторинге какого-то участка Земли. Многократно измеряя его гравитацию на протяжении длительного времени, зонд не только добивается намного меньшей погрешности, чем при однократном измерении, но и способен наблюдать медленные изменения, происходящие на поверхности Земли.

Например, GRACE замечает сезонные перераспределения вод на масштабе отдельного континента или даже в бассейне отдельных крупных рек. Причем GRACE чувствует не только повышение уровня воды в реках, но и подъем грунтовых вод за счет их подземного движения. Сравнение данных GRACE с наземными наблюдениями позволяет ученым улучшить модели гидрологического цикла.

Другой пример – изменение массы антарктических ледников. Долгое время было непонятно, что именно происходит с ледниковой шапкой, которая многокилометровым слоем покрывает Антарктиду. С одной стороны, в условиях слегка теплеющего климата ледники должны быстрее сползать в океан вблизи берега, но с другой стороны, из-за увеличения осадков в Антарктиде ледовая шапка может нарастать в центре континента. Какое из этих явлений пересиливает, долгое время было непонятно – разные измерения давали разные результаты. Однако данные спутника GRACE за 2002–2009 гг. надежно показали, что в целом объем антарктических ледников все-таки уменьшается. Темп потери льда был оценен в 190 ± 77 гигатонн в год, из которых 132 ± 26 гигатонн в год приходится на Западную Антарктику.

Интересно, что спутник GRACE может замечать как очень медленные, так и очень резкие изменения на поверхности Земли. Например, он чувствует постледниковое всплытие континентов. Начавшись примерно 10 000 лет назад, после завершения последнего цикла оледенения, оно продолжается до сих пор: отдельные континентальные плиты, придавленные ранее ледниковыми щитами, поднимаются со скоростью в десятые доли миллиметра в год. А в 2004 г., сразу после разрушительного землетрясения на Суматре, GRACE почувствовал слабое, но резкое изменение гравитационного поля, вызванное вертикальным смещением литосферных плит.

24 декабря 2017 г., после 15 лет исключительно плодотворной работы, спутниковая миссия GRACE была завершена. А полгода спустя на орбиту была выведена новая пара спутников: GRACE-FO, миссия-преемник спутников GRACE. Благодаря использованию лазеров вместо микроволнового излучения, они способны измерять разделяющее их расстояние в 20 раз точнее и тем самым смогут еще надежнее отслеживать гидрологические циклы Земли и поведение ледниковых массивов.

На разобранное в этой задаче явление можно взглянуть с общечеловеческой точки зрения. Разделение науки на фундаментальную и прикладную – во многом условность. Природа такого разделения не знает, и в ней все процессы взаимозависимы. Спутник GRACE и его программа исследований являет собой пример очень удачного использования этой взаимосвязи – аккуратно измеряя такую фундаментальную характеристику нашего мира, как гравитация, мы добываем прикладные знания о гидросфере и климате Земли, которые трудно получить иными способами.

Дополнительная информация

Информацию о спутниковых миссиях GRACE и GRACE-FO и их научные результаты можно найти на сайте NASA: grace.jpl.nasa.gov и gracefo.jpl.nasa.gov.

Пример климатических результатов, полученных с помощью зонда GRACE, описан в популярной новости Алексея Гилярова «Гренландия все быстрее теряет свой лед», «Элементы», 26.09.2006: elementy.ru/link/grenlandia.

Библиография

Chen J. L., Wilson C. R., Blankenship D. & Tapley B. D. Accelerated Antarctic ice loss from satellite gravity measurements // Nature Geoscience, 2009, vol. 2, pp. 859–862. DOI: 10.1038/ngeo694.

Han S.-C., Shum C. K., Bevis M., Ji C., Kuo C.-Y. Crustal Dilatation Observed by GRACE After the 2004 Sumatra-Andaman Earthquake // Science, 2006, vol. 313, pp. 658-662. DOI: 10.1126/science.1128661.

8. Землетрясение, климат и продолжительность суток

Как ни удивительно это может поначалу звучать, крупные климатические изменения или другие наземные процессы влияют на продолжительность земных суток. Более того, это изменение надежно регистрируется современными приборами, и его изучение позволяет узнать много интересного о климатических и геофизических процессах. В этой задаче предлагается оценить изменение длительности суток, вызванное двумя типами эффектов – сильным землетрясением и сезонным изменением скорости ветров.

Крупные землетрясения происходят, когда механические напряжения, накопившиеся в земной коре во время медленного движения тектонических плит, достигают критической точки. Тогда происходит одномоментный сдвиг плит и резко высвобождается запасенная в напряжениях энергия. Во время самых крупных землетрясений смещение плит происходит на большой площади размером в сотни километров. Плиты при этом сдвигаются не только горизонтально, но и вертикально; случается даже, что в результате землетрясения заметно поднимается морское дно и на мелководье образуются новые острова.

Землетрясения происходят непосредственно в земной тверди, а климатические процессы связаны лишь с атмосферой и гидросферой Земли. В планетарном масштабе циркуляция атмосферы не беспорядочна; на разных широтах и высотах она формирует характерные ячейки и порождает устойчивые воздушные течения (рис. 1).

Рис. 1. Основные зоны атмосферной циркуляции для идеализированной модели Земли

В экваториальной зоне с востока на запад дуют пассаты, а в высоких широтах с запада на восток – западные ветры. Наблюдения показывают, что при глобальном усреднении западные ветры пересиливают восточные, так что в среднем атмосфера вращается на восток, по направлению вращения Земли, но при этом обгоняя сушу. Сезонные вариации солнечного потока приводят к изменению скоростей ветров, а также к смещению границ атмосферных ячеек. Из-за этого средняя по планете скорость вращения атмосферы относительно суши меняется регулярным образом.

Задача

Оцените, насколько изменится длительность суток:

1) после крупного землетрясения, поднявшего морское дно на 1 м на площади 1000 × 1000 км,

2) во время сезонного усиления западных ветров, которое увеличивает среднюю скорость вращения атмосферы на экваторе на 1 м/с.

Подсказка 1

Первым делом надо четко понять, почему при этих процессах вообще может измениться длительность суток, то есть скорость вращения Земли. Вспомните формулы для описания вращения тела, вспомните вращательные явления, сопровождающие изменение формы тела (стандартная иллюстрация: вращающийся фигурист на льду прижимает руки к телу) и постарайтесь сосчитать эти изменения для двух предложенных явлений. Напомним, что для оценок по порядку величины не требуется гнаться за высокой точностью; погрешность оценки в два-три раза вполне допустима.

Подсказка 2

Если обычное линейное движение описывается скоростью и импульсом (произведением скорости на массу), то вращательное движение – угловой скоростью ω, моментом инерции J и их произведением – моментом импульса L = Jω. Угловая скорость описывает быстроту вращения (она связана с периодом вращения: ω = 2π/T), а момент импульса характеризует «вращательную инертность» тела и различается для тел разной формы. Например, для однородного шара массой M и радиусом R момент инерции составляет J = 2MR²/5; для тонкостенной сферы той же массы и того же радиуса J = 2MR²/3, а для тонкого обруча с этими же параметрами J = MR².

Законы механики гласят, что в отсутствие внешних сил, влияющих на вращение, неизменным остается именно момент импульса: L = const. И если в силу каких-то причин момент инерции тела изменился (а именно это и происходит при землетрясении) – изменится и угловая скорость вращения. Эти соображения помогут справиться с первой частью задачи.

Для решения второй части обратите внимание, что момент инерции тут не меняется, зато всю Землю можно условно разделить на две подсистемы: атмосферу и «твердую Землю». Их суммарный момент импульса неизменен, но относительный вклад может меняться. Значит, изменится скорость вращения «твердой Земли» и, как следствие, длительность суток, измеряемая именно по ее вращению.

Решение

Рис. 2. К расчету изменения скорости вращения Земли. Слева: поднятие участка земной коры изменяет момент инерции Земли, справа: изменение скорости вращения атмосферы в силу закона сохранения полного момента импульса влияет и на скорость вращения Земли

Для решения первой части задачи мысленно выделим из всей толщи Земли участок плиты площадью S и толщиной d (и, значит, массой m = ρSd), который приподнимается вверх на высоту h. Момент инерции этого участка раньше составлял mR² (мы для простоты полагаем, что этот участок находится не слишком близко к полюсам Земли, поэтому расстояние от него до оси вращения Земли будем считать близким к радиусу Земли R), а теперь составляет m(R + h)². Момент инерции оставшейся части Земли не изменился, поэтому полный момент инерции вырос примерно на ΔJ = 2mRh. Относительное изменение момента инерции всей Земли получается равным

В последнем переходе мы подставили формулу для объема шара и избавились от численных коэффициентов порядка единицы.

Теперь подставляем числа: S = 1 млн км², h = 1 м, R = 6000 км, а для оценки d возьмем типичную толщину океанической коры (порядка 10 км). Тогда относительное увеличение момента инерции планеты составит по порядку величины 10⁻¹¹. Поскольку момент импульса остается неизменным, то увеличение момента инерции сопровождается таким же по относительной величине уменьшением скорости вращения, а значит, таким же увеличением продолжительности суток. Итак, при выбранных параметрах землетрясения длительность суток скачкообразно увеличивается на ΔT ≈ 10⁻¹¹ сут. ≈ 1 микросекунда.

Для решения второй части задачи представим атмосферу в виде сферы массой m = 4πR²dρ₀, где ρ₀ – плотность воздуха, а d – толщина тропосферы (10 км). Атмосфера вращается с запада на восток, по направлению вращения Земли. Ускорение вращения атмосферы на величину v = 1 м/с (на экваторе) приводит к увеличению момента импульса, запасенного в атмосфере, на ΔL = JΔω = Jv/R = 2mvR/3. По закону сохранения полного момента импульса на столько же уменьшится и момент импульса всей оставшейся части Земли. Относительное уменьшение момента импульса твердой Земли (и, следовательно, относительное увеличение длительности суток) составляет

где u = ωR ≈ 500 м/с – экваториальная скорость вращения земной поверхности. Подставив числа и умножив на длительность суток, получаем изменение продолжительности суток на ΔT ≈ 3·10⁻⁹ сут. ≈ 0,2 мc.

Послесловие

Колебания продолжительности суток в долю миллисекунды, конечно, не заметны в повседневной жизни, однако хорошо отслеживаются современными приборами. Существует специальная организация – Международная служба вращения Земли (МСВЗ), которая обрабатывает данные по вращению Земли и представляет их в виде временнóй зависимости специально определенных параметров.

Экспериментально измеренная продолжительность суток за 1981–2012 гг. приведена на рис. 3. На графике явно видно, что длительность суток действительно меняется в пределах нескольких миллисекунд и что в этом изменении прослеживаются периодические компоненты разных периодов. Самые плавные изменения, с масштабом более 2000 дней, наложены прямо на черный график; они вызваны астрономическими и геофизическими причинами, например взаимодействием между мантией и внешним ядром. Вслед за ними показаны многолетние, затем очень регулярные сезонные и, наконец, совсем высокочастотные колебания (последние вызваны, прежде всего, приливными силами).

Рис. 3. Результаты измерения длительности суток за 1981–2012 гг. Сверху показаны непосредственно данные, ниже – компоненты периодичности в разных диапазонах периодов (значения периода в днях приведены во вставке)

Любопытно заметить, что пики на графике многолетних колебаний не произвольны, а попадают на те годы, когда наблюдалась очень сильная фаза Эль-Ниньо – одного из самых масштабных циклических явлений в земном климате. Оно усиливается раз в несколько лет, длится месяцами и затрагивает всю экваториальную часть Тихого океана от побережья Южной Америки до островов Юго-Восточной Азии. Во время активной фазы Эль-Ниньо температура океана в этой области повышается, и это сказывается на средней температуре на всей планете. Кроме этого, искажаются ячейки атмосферной циркуляции, изменяется средняя скорость вращения атмосферы и, в соответствии с результатами нашей задачи, изменяется длительность суток. Аналогичный эффект был отмечен и в 2015–2016 гг., во время очередного сильного эпизода Эль-Ниньо.

Возвращаясь к геофизике, стоит отметить, что в 2013 г. было обнаружено, что небольшие, но резкие скачки в длительности суток совпадают с моментами столь же резких изменений геомагнитного поля. Естественно предположить, что причины обоих скачков связаны друг с другом и вызваны электромеханическими процессами взаимодействия между мантией и внешним ядром. Если это так, то сопоставление временны́х зависимостей двух столь разных величин позволит по-новому изучать то, что происходит в глубинных недрах Земли.

Дополнительная информация

Сайт Международной службы вращения Земли содержит подробную техническую информацию по измерению нерегулярностей земного вращения: www.iers.org. Там же можно найти многочисленные таблицы и графики, описывающие параметры вращения и ориентации Земли, причем приводятся как ежедневные значения с 1962 г., так и долговременные измерения, простирающиеся в прошлое до середины XIX в.

Библиография

1. Сидоренков Н. С. Природа нестабильностей вращения Земли // Природа, 2004, № 8, с. 8–18: elementy.ru/link/unstable.

2. Na S.-H. Earth Rotation – Basic Theory and Features // Chapter 9 in Geodetic Sciences Observations, Modeling and Applications, 2013, Intech Open, pp. 285–327. DOI: 10.5772/54584.

3. Holme R. & de Viron O. Characterization and implications of intradecadal variations in length of day // Nature, 2013, vol. 499, pp. 202–204. DOI: 10.1038/nature12282.