Kitobni o'qish: «Математические игры с дурацкими рисунками: 75¼ простых, но требующих сообразительности игр, в которые можно играть где угодно»

Переводчик: Алексей Огнёв

Научный редактор: Константин Кноп

Редактор: Вячеслав Ионов

Издатель: Павел Подкосов

Руководитель проекта: Александра Шувалова

Ассистент редакции: Мария Короченская

Арт-директор: Юрий Буга

Корректоры: Ирина Астапкина, Лариса Татнинова

Верстка: Андрей Фоминов

Дизайн обложки: Headcase Design

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

© Ben Orlin, 2022

© Hachette Book Group, Inc, 2022

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2024

* * *

Посвящается Кейси – ты ежедневно учишь меня новым играм, и все они волшебные, а многие взрывают мозг

Вступление

Для начала вопрос на засыпку: чем вы, по сути, отличаетесь от шимпанзе?

Ответ: детеныш шимпанзе взрослеет, а вы так и остаетесь шимпанзенком.

Я серьезно. Посмотрите на себя: гладкая кожа, маленькая челюсть, огромный округлый череп – все эти характерные черты наши сородичи-обезьяны теряют с возрастом, а вы упрямо сохраняете. Не сочтите это за упрек – я и сам такой же, друзья. Мы, люди, ребячимся и во взрослой жизни, не расстаемся с «вечной молодостью», как говорил биолог Стивен Джей Гулд. Сохранение во взрослом состоянии признаков более ранних стадий развития, или по-научному педоморфоз, – своего рода наша визитная карточка, отличительная особенность среди приматов. Самое приятное – мы не просто выглядим как детеныши шимпанзе. Наше поведение тоже схоже: мы обезьянничаем, исследуем, ломаем голову – одним словом, играем.

Вот так, мои детсколицые читатели, мы и стали гениями в отряде приматов. Так мы возвели пирамиды, наследили на Луне и записали мультиплатиновый альбом Abbey Road. Отказываясь повзрослеть и перестать дурачиться. Секрет нашей даровитости в том, что мы не прекращаем учиться, а секрет нашей обучаемости в том, что мы не прекращаем играть.

Ну что, сыграем?

КАК ИГРАТЬ С ЭТОЙ КНИГОЙ

Что потребуется

1. Обычные вещи, которые легко найти дома. Я отдаю предпочтение играм, для которых требуется только карандаш и бумага, хотя для некоторых понадобится кое-что еще. Детали изложены в каждой главе и обобщены в сводных таблицах. (Не нужны даже настоящие игральные кости, просто введите в браузере запрос «бросить кости».)

2. Партнеры по играм. Множество математических книг предназначены для того, чтобы забавляться в одиночку. Но не эта. Я работал над ней в период «социального дистанцирования», после того как разразилась пандемия, поэтому неудивительно, что в итоге получилось признание в любви к общению. Так что, за исключением нескольких игр, вам потребуются компаньоны. И хотя моя целевая аудитория – великовозрастные шимпанзята, большинство игр оценит даже десятилетний ребенок, а многие подходят и для тех, кому всего шесть.

3. Здоровая толика педоморфоза. «В раннем возрасте многие животные играют и проявляют гибкость, – писал Стивен Джей Гулд, – но, повзрослев, следуют жестко запрограммированным шаблонам». Я преподаю математику и не буду отрицать: зачастую кажется, что школьные уроки математики рассчитаны на каких-то других созданий – из тех, кто слепо движется по колее. Возможно, на термитов? Неудивительно, что в школе проявляются худшие стороны нашего мышления: мы скованны, подавлены тревогой и лишены воображения. Читая эту книгу, похороните в памяти школьное прошлое и вспомните свою истинную природу. Пусть внутри вас проснется ребенок.

В чем цель? Выявить лучшее в человеческом мышлении.

Какие правила?

1. Эта книга – обзор забав, знакомых только людям: игр, иначе говоря, забав, где соблюдают правила. Игр на свете превеликое множество: от тех, где правил выше крыши (например, «Монополия»), до тех, где правило всего одно (например, «Пол – это лава!»); от тех, что строятся на беспощадной конкуренции (например, «Монополия»), до тех, где требуется тесная сплоченность (например, «Пол – это лава!»); от наихудших артефактов человеческой культуры (например, «Монополия») до наилучших (например, «Пол – это лава!»).

Для этой книги я подобрал такие игры, где простые, элегантные правила – залог изысканной и каверзной забавы. Как говорится, легко научиться, трудно достичь мастерства.

2. А что такое математические игры? Отличный вопрос. Первым его задал мне Вито Сауро, один из самых благодушных экспертов Миннесоты по настольным играм. Почти у всех настольных игр, заметил он, математическая суть просто под разными обличьями. Уж не хочу ли я объять необъятное?

Нет-нет, ответил я. Согласно моему определению, математической является игра, создающая впечатление, как бы это сказать, математичности, что ли.

Вито счел этот ответ (1) на редкость туманным и (2) вполне удовлетворительным. Как бы то ни было, я попытался собрать под одной обложкой неустаревающие игры, требующие логики, стратегического и пространственного мышления. Я руководствовался тремя критериями: игра должна быть (1) занятной, (2) необременительной и (3) пробуждающей математическое мышление¹.

3. Книга состоит из пяти частей: «Геометрические игры», «Числовые игры», «Комбинаторные игры», «Рисковые игры», «Информационные игры». Эта классификация довольно условна. Не воспринимайте ее как идеальную таксономию, где все экземпляры разложены по полочкам и на каждом наклеена бирка. Например, шахматы можно спокойно отнести к любой из пяти категорий – каждый раз вы увидите их под новым углом.

Каждая часть начинается с шутливого эссе о соответствующей области математики. Затем идут пять популярных игр, чья сложность последовательно возрастает (внутри части, а не по всей книге). Завершается часть кратким описанием разнородных игр (включая мои самые любимые).

4. Описание всех игр имеет одинаковую структуру. Во-первых, в разделе «Как играть» я рассказываю суть: количество игроков, необходимый реквизит, цель и правила.

Во-вторых, в разделе «Заметки дегустатора» я подробно описываю вкусовую гамму игрового процесса, неуловимое je ne sais quoi². Возможно, вы узнаете пару стратегических хитростей, но это не главное. Я стараюсь показать тонкие оттенки и нюансы математической игры, которые настолько изысканны, что вино по сравнению с ними похоже на прокисший виноградный сок³.

В-третьих, в разделе «Генеалогия игры» я излагаю то, что знаю о происхождении игр. Какие-то из них уходят корнями в глубину веков и неподвластны времени, другие – дурацкие и новомодные, а есть и ни то ни сё (не спрашивайте, как такое может быть, просто примите как данность).

В-четвертых, в разделе «Почему эта игра важна?» я рассказываю, почему игра выявляет лучшее в человеческом мышлении. Возможно, она воспроизводит квантовую структуру материи. Возможно, обнажает строгую красоту топологии или циничную логику предвыборных махинаций. Возможно, пробуждает вашего внутреннего гения или, того лучше, шимпанзе. Так или иначе, на мой взгляд, это суть главы и главная цель всей книги.

Наконец, в разделе «Вариации и родственные игры» я показываю заманчивые ответвления, которые вы можете исследовать. Иногда это незначительные видоизменения правил, иногда – совершенно новые игры, связанные с оригиналом исторически, концептуально или по духу.

5. Под занавес приведены сводные таблицы, обобщающие игры и общедоступная библиография, изложенная в форме ответов на часто задаваемые вопросы.

Да, и еще там я объясняю, откуда же взялось странное число 75¹/₄. Если вас мучает вопрос «Что такое четверть игры?», то не сомневайтесь, все не так просто.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА ОБ ЭТОЙ КНИГЕ

Вы вольны читать эту книгу как любую другую. Переворачивайте страницы. Вежливо улыбайтесь шуткам. Мурлычьте под нос: «Вау, ничего себе рисунки. Я не прогадал, что раскошелился». Двигаясь от главы к главе, от начала к концу, от игры к игре, вы прекрасно проведете время.

Но лишитесь настоящего удовольствия.

Эта книга предназначена для того, чтобы с ней играли. Человек, играющий с математикой, похож на слона, получающего удовольствие от своего хобота, птицу, получающую удовольствие от своих крыльев, или Бэтмена, который получает удовольствие от своего навороченного автомобиля. Ради этого они и родились. Ваша способность к математическому мышлению – дар такого масштаба, что ему нет аналогов в животном мире (его превосходит разве что кошачье искусство презрения). Пожалуйста, не оставляйте этот подарок эволюции нераспакованным. Достаньте его. Поиграйте с ним. Или по крайней мере уподобьтесь кошке и поиграйте с оберточной бумагой.

Большинство игр предназначено для нескольких игроков. Надеюсь, вы найдете компаньона, который разделит ваше любопытство и попробует вместе с вами освоить их. «Там, где царит соперничество, можно преподавать лишь мертвую математику, – сказала математик Мэри Эверест Буль. – Живая математика должна быть общим достоянием». На мой взгляд, даже состязательные игры – это совместные проекты, в которых умы объединяются, чтобы выстраивать необычные логические и стратегические цепочки. Давид Бронштейн называл это «мышлением на двоих». Карл Меннингер – «прогрессивной диффузией умов». Я предпочитаю говорить проще: «игра».

Как бы то ни было, это книга, и я очень надеюсь, что вы ее прочтете. Каждая игра высвечивает ту или иную истину о математике, от комбинаторного взрыва до теории информации. А эти математические истины проливают свет на игры. Кажется, что света слишком много? Не пугайтесь. Ваши глаза скоро привыкнут. Как однажды написал преподобный Чарльз Калеб Колтон, «изучение математики, подобно Нилу, начинается с малого и кончается великим».

ГЕНЕАЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИГР

Игры, о которых я рассказываю в этой книге, рождались в парижских университетах, японских школьных дворах, шумных игорных залах, редакциях аргентинских журналов, их авторы – скромные энтузиасты и бессовестные выскочки, подвыпившие профессора и озорные дети. Эти игры многогранны, ибо многогранна математика; несерьезны, ибо несерьезна математика. И они общедоступны, ибо математика общедоступна, что бы там ни говорили устрашающие формулы и язвительные профи.

Грубо говоря, я позаимствовал игры из четырех областей:

1. Традиционные детские игры, например «Морской бой», «Китайские палочки», «Точки-клеточки».

2. Игры для приятного времяпрепровождения, например «Тико», «Бокс на бумаге» и «Амазонки».

3. Концептуальные игры, придуманные математиками, например «Сим», «Ростки» и «Доминирование».

4. Необычные школьные игры, например «Соседи», «Из ряда вон», «101 – и тебе крышка».

Как появляются игры? Что зажигает математический огонь? Я сам придумал девять игр, и мне бы следовало знать. Но нет единого пути, нет общей родословной. Индия подарила нам шахматы, Китай – го, Мадагаскар – фанорону, а мой двухлетний племянник Скандер – пляски возле пазла с воплем «мовавававава».

Почему математические игры настолько универсальны? Честно говоря, не знаю. Возможно, потому что универсум настолько математичен.

Показательный пример: в 1974 году генетик Марша Джин Фалько начала рисовать символы на каталожных карточках. Это был инструмент исследования: каждая карточка означала собаку, а каждый символ – генетическую комбинацию. Но после перетасовки и перегруппировки карточек все детали отпали. Она увидела чистые комбинации, абстрактные модели. Игру логики. Логику игры. «Материя не привлекает внимания [математиков], – писал Анри Пуанкаре, – их интересует только форма». Ветеринар, заглядывая через плечо Марши, стал задавать вопросы и натолкнул ее на идею игры.

Так родилось любимое развлечение Стивена Хокинга, любимая тема исследований ведущих математиков и одна из популярнейших карточных игр XX века: «Сет».

В том же самом, 1974, году один венгерский архитектор поставил перед собой конструкторскую задачу: можно ли сделать большой куб из маленьких кубиков, которые двигаются независимо друг от друга? Он попытался. И у него получилось. А потом ему взбрело в голову приклеить цветную бумагу на грани кубиков и покрутить их. Это был поворотный момент его жизни. «Парад красок приятно ласкал взгляд, – вспоминал он позже, – но в конце концов я решил, что настала пора возвращаться, как после отменной обзорной экскурсии… и привести кубики в порядок».

Он попытался. Но не тут-то было. Как азартный человек, он увлекся. Спустя месяц куб удалось, наконец, вернуть в исходное состояние. Так Эрнё Рубик стал создателем самой продаваемой игрушки в истории человечества.

«Сет» и кубик Рубика демонстрируют нам два фундаментальных пути математической мысли. Вы можете начать с реальности, как Марша, и отыскивать ее абстрактную структуру или начать с абстрактной структуры, как сделал Эрнё, и искать ее смысл в реальности. В этом плане «Сет» и кубик Рубика не просто позволяют играть другим; они сами являются плодами игры воображения, праздного искусства гениальных приматов, которые никогда не перестают учиться.

ПОЧЕМУ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ ВАЖНЫ

Потому что они выявляют лучшее в человеческом мышлении.

В 1654 году некий азартный игрок написал двум математикам с просьбой решить головоломку. Представьте, что двое играют в орлянку. Первый, кто наберет семь очков, выигрывает сотню долларов. Но когда счет был 6:4, игра прервалась. Как честно разделить приз?

Два математика, Блез Паскаль и Пьер Ферма, решили задачу⁴, более того, благодаря их решению началось математическое изучение неопределенности, которое мы сейчас называем теорией вероятностей.

Это фундаментальное орудие современности появилось на свет благодаря простой головоломке, связанной с игрой случая.

А вот еще одна история из жизни. Воскресными днями в 1700-е годы жители Кёнигсберга (ныне Калининград), прогуливаясь по четырем районам родного города, пытались пройти по всем семи мостам (Кузнечному, Рабочему, Зеленому, Лавочному, Деревянному, Высокому и Медовому), но только один раз. Успеха не добился никто. А в 1735 году математик Леонард Эйлер доказал, что это невозможно. Такого маршрута попросту не существовало. Его доказательство легло в основу теории графов – исследования сетей, охватывающего все на свете, от соцсетей и поисковых алгоритмов в интернете до эпидемиологии. Google и битва против COVID-19 берут свое начало в праздном времяпрепровождении пруссаков XVIII века.

Хотите еще пример? Почтим память Джона Хортона Конвея, великого математика, – он покинул наш мир, когда я работал над этой книгой. Конвей исследовал самые разные области математики, от клеточных автоматов до абстрактной алгебры. А кроме того, он вновь и вновь возвращался к играм. Его любимым открытием были сюрреальные числа, которые кодировали структуру игр для двух игроков в числовую систему. Его самое известное (и, следовательно, наименее любимое) открытие показало, как вселенская сложность может возникнуть из нескольких простых правил; он придумал игру под названием «Жизнь».

«Я был поражен тем, какую роль его идеи об играх сыграли в работе над решетками, кодами и упаковками… Какие шансы у математика, который любит игры, обнаружить, что игры подспудно лежат в основе других областей, которые он изучает?» – пишет математик и поклонник этой игры Джим Пропп.

Я мог бы и продолжить – например, еженедельная вечерняя партия в покер вдохновила Джона фон Неймана на создание теории игр, чьи стратегические выводы сейчас пронизывают экологию, дипломатию и экономику, – но в мои планы не входит воспевание пользы математики для народного хозяйства. По правде говоря, мне дела нет до того, что математическая игра помогла кому-то заработать миллиарды или сколотить триллионы долларов. По-моему, это случайный побочный продукт математической игры.

Когда вы отрываетесь от игры и обнаруживаете, что невольно изменили ход человеческой истории, то понимаете – это игра с огнем, причем с особым.

«Все хорошие идеи – это игра», – пишет Мейсон Хартман. Она имеет в виду, что наш разум исследует идеи так, как детеныш шимпанзе исследует лес, свободно и самозабвенно. Это не игра в «Парчизи», где каждый ход направлен на победу; скорее, это игра воображения, игра «а что, если…», эстафета поколений, неугасимый факел. «Игра, имеющая конец, ведется ради победы, – писал Джеймс Карс, – бесконечная игра – ради самой игры».

Мы часто воспринимаем математику как набор игр, имеющих конец, – вопросов, требующих ответа; головоломок, которые предстоит решить; теорем, которые необходимо доказать. Но все вместе они образуют необозримую и нескончаемую игру, захватывающую мысли любой разумной обезьяны. «Я люблю математику, – сказала математик Роза Петер, – потому что человек вдохнул в нее дух игры, и она дала ему его величайшую игру – умопостижение бесконечности».

По моему скромному мнению, величайшая игра человечества – «Пол – это лава!», но время от времени я все же приобщаюсь к умопостижению бесконечности. Сердечно приглашаю и вас присоединиться к этому.

I
Геометрические игры

Здесь вы познакомитесь с пятью играми, действие которых разворачивается в непохожих пространствах. Надеюсь, вы вынесете отсюда как минимум то, что есть разные виды пространства.

Игра в «Точки-клеточки» напоминает вычерчивание градостроительного плана на миллиметровке. «Ростки» расползаются по змеящемуся, зыбкому пейзажу. «Супер-крестики-нолики» представляют собой фрактальный мир микрокосмов, макрокосмов, повторов. «Одуванчики» – игра продуваемых ветрами равнин и суровых векторов. Наконец, «Квантовые крестики-нолики» обитают в сверхъестественном пространстве, которое и на пространство-то почти не похоже. Охватите эти игры взглядом, и вы поймете, почему математики полагают, что геометрий много, что есть совершенно разные способы концептуализации пространства и его содержимого. «Одна геометрия не может быть более истинной, чем другая, – писал математик Анри Пуанкаре, – она может быть лишь удобнее».

Тем не менее у всех этих игр есть одна общая черта: они разворачиваются на плоскости. Приключения в двумерном мире позволяют пролить свет на трехмерный, словно в театре теней наоборот.

Быть современным человеком здорово. Наши предки, словно Тарзан, перепрыгивали с ветку на ветку, а я, словно Джейн⁵, перепрыгиваю из книги в книгу, со страницы на страницу, с одного листа бумаги на другой. Мой мозг создан для трехмерного мира, в котором есть глубина и объем, а я нацелился на мир двумерных документов и экранов, тонких ломтиков толстенной реальности.

Что ж, если нельзя вернуть обезьяну в джунгли, то геометрические игры позволяют сделать кое-что покруче: вернуть джунгли обезьяне. Они придают плоскости глубину, превращают двумерное в трехмерное.

Объясню, что я имею в виду, на примере трех быстрых игр.

Первая: классическая аркада 1979 года «Астероиды», где вы управляете стреловидным космическим кораблем, бороздящим просторы экрана. Этот экран – целая вселенная: долетев до края, выныриваешь с противоположной стороны. Вы будто бы живете на поверхности шара: куда ни двигайся, вернешься в исходную точку.

Однако на самом-то деле это не сфера. Вначале, «склеив» левую и правую стороны экрана, разработчики игры создали своего рода цилиндрический мир. Затем, «склеив» верхний и нижний края экрана, они соединили торцы цилиндра. В результате получилась не сфера, а бублик. Любители математики знают, что по-научному его называют тор⁶.

Астероиды заполонили тороидальную вселенную. Эй, кто-нибудь, оповестите NASA!

Для нашей второй игры обратимся к математику Ингрид Добеши. «Когда мне было восемь или девять лет, – вспоминает она, – больше всего я любила играть в куклы, шить им одежду. Меня завораживало то, что, сшивая плоские куски ткани, можно сделать нечто абсолютно неплоское, имеющее изогнутые поверхности».

Спустя десятилетия ее работа над вейвлетами продвинула вперед технологию сжатия изображений. В некотором роде это одна и та же игра: плоскостность и кривизна, сплошность и поверхность, глубина и сжатие.

Геометрия, на мой взгляд, не что иное, как старинное математическое искусство кройки и шитья нарядов для кукол.

Последняя двумерно-трехмерная игра – произведения художника Морица Эшера. Вы наверняка видели его работы: две руки, рисующие друг друга, мозаика из птиц и рыб, иллюзорная лестница, ведущая вверх по спирали в бесконечность. Математики любят его творчество, потому что оно напоминает их науку: легкомысленная игра глубоких идей. «Мне доставляет удовольствие, – писал художник, – сознательно смешивать двумерное и трехмерное, плоское и пространственное, высмеивать гравитацию».

«Все мои работы – это игры, – любил повторять он. – Серьезные игры».

На мой взгляд, нет ничего лучше для исследования различных геометрических миров, чем игры и головоломки. Они дают нам, по словам математика Джона Уршела, «представление о возможных направлениях мышления». Мы получаем яркие образы кардинально разных реальностей.

В глубине души мы с вами – обезьяны. Мы не можем отказаться от пространственного мышления. Поэтому хорошо, что есть тысячи видов пространства, на любой вкус, одно чудеснее и удивительнее другого.

Точки-клеточки

ИГРА КВАДРАТОВ

Математик Элвин Берлекамп во введении к 130-страничной книге «Точки-клеточки: непростая детская игра» назвал ее лучшей «из всех игр для детей, популярных, сложных и математически насыщенных». Сразу и не поймешь, что он имел в виду! Сложная игра для популярных детей? Популярная игра для сложных детей? Или игра для сложных и популярных детей, по горло сытых математикой? Как бы то ни было, общий смысл ясен: она ошарашивает.

Я не смогу изложить исчерпывающую теорию «Точек-клеточек» в одной короткой главе. Однако вас ждет кое-что получше: полное математическое исследование из первых рук, от ученого, который первым опубликовал правила этой игры.

Станете ли вы после прочтения этой главы популярным, сложным и насыщенным математикой ребенком? Трудно сказать. Так что просто читайте и двигайтесь дальше.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Двое.

Что потребуется? Два карандаша разных цветов и поле с рядами точек. Рекомендую поле 6 × 6 точек, но в принципе подойдет любое прямоугольное поле.

В чем цель? Начертить больше квадратов, чем противник.

Какие правила?

1. Поочередно соединяйте соседние точки вертикальными или горизонтальными линиями.

2. Тот, кто дочертит квадрат, набирает одно очко, помечает этот квадрат (например, своими инициалами) и делает следующий ход.

Это правило позволяет вам дочертить целую вереницу квадратов, прежде чем противник дождется своего хода.

3. Играйте, пока не соедините все точки. Кто наберет больше очков, тот и победил.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Впервые я сыграл в эту игру в детстве, в подвале с полками, набитыми видеокассетами, под аккомпанемент тяжелой поступи динозавров. Нам с братьями не хватало стратегического мышления: в основном мы действовали наобум, стараясь просто не рисовать третью сторону квадратов (чтобы противник не нарисовал четвертую) и волей-неволей рассредоточивали свои линии⁷. Рано или поздно безопасных ходов не оставалось. Тогда-то и наступала самая напряженная стадия игры.

Теперь жертвы становились неизбежными, хотя и не все были равноценными. Некоторые ходы позволяли противнику набрать лишь одно или два очка, а другие – заполонить своими квадратами практически все поле. Я всегда старался жертвовать самыми маленькими областями, надеясь отвоевать те, что покрупнее.

Годы спустя, работая над этой книгой, я освоил важную стратегию, незамысловатую, но позволяющую обыгрывать 99 % новичков: двойной крест. Идея в том, что вы ломаете противнику весь кайф, когда он уже нацелился сделать триумфальный ход. Просто сократите свой ход, не начертив предпоследнюю линию. Таким образом, рисуя одну линию, вы жертвуете двумя квадратами, которые получит ваш противник (поэтому крест двойной). В обмен вы завладеете всей областью, на которую положил глаз ваш оппонент.

За пределами этой стратегии всё становится сложным и неясным. Детали вы можете почерпнуть из трудов великого Элвина Берлекампа. Он скончался, когда я работал над этой книгой, и навсегда останется в нашей памяти как ненасытное дитя математической сложности.

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Сегодня в «Точки-клеточки» играют практически везде: на черных, белых и зеленых школьных досках, в желтых блокнотах юристов, на ресторанных салфетках или за неимением лучшего на собственных ладонях⁸. Впервые правила игры опубликовал математик Эдуард Люка в 1889 году. Он называл ее Pipopipette. По словам Эдуарда, игру придумали его бывшие студенты из престижной парижской Политехнической школы.

Странно, не правда ли? Зачем серьезным студентам тратить время на придумывание детской игры? И почему такой уважаемый ученый решил опубликовать статью о ней?

Ответ прост: потому что серьезная математика часто рождается именно из детских игр.

Мы видим эту закономерность даже в карьере Эдуарда. Пожалуй, он наиболее известен своим исследованием последовательностей наподобие чисел Фибоначчи, где каждое следующее число – сумма двух предыдущих. (Классическая последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8 и так далее.) Числа Фибоначчи кажутся глупой забавой до тех пор, пока вы не начнете подсчитывать лепестки маргаритки, семена подсолнуха или ананаса. Тогда вы убедитесь, что в эту глупую игру играют не только дети (и неповзрослевшие взрослые), но и сама природа.

Вот еще одна любимая задача Эдуарда: головоломка с пушечными ядрами. Суть в том, чтобы найти число пушечных ядер, из которых можно сложить идеальный квадрат и идеальную пирамиду. Задача выглядит пустяшной. Однако она дьявольски сложна. Эдуард предположил, что известное решение (4900 пушечных ядер) – единственное.

Десятилетия спустя исследование эллиптических функций доказало его правоту.

Но самое знаменитое изобретение Эдуарда – «Ханойская башня». Наверняка вы видели такие игрушки. Башня состоит из трех стержней и набора дисков разного диаметра, образующих пирамиду. Цель состоит в том, чтобы перенести пирамиду с одного стержня на другой, перемещая по одному диску за раз и никогда не укладывая больший диск поверх меньшего.

На первый взгляд башня, как бы это сказать помягче, детская забава. Тем не менее у нее множество практических применений. Психологи используют ее для проверки когнитивных способностей; преподаватели информатики – для обучения рекурсивным алгоритмам; инженеры-программисты – в качестве схемы ротации при резервном копировании данных.

Почему праздное времяпрепровождение с легкостью превращается в научное исследование? Почему граница между работой и досугом такая зыбкая и проницаемая?

Честно говоря, не знаю. Подозреваю, Эдуард тоже не знал. Можно сказать лишь одно: простые математические предпосылки приводят к глубоким выводам. Вот что такое математика на самом деле: сложное взаимодействие простых идей. Эдуард так говорил о «Точках-клеточках»: «Несмотря на всю свою незамысловатость, на практике эта игра преподносит сюрприз за сюрпризом».

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что бесполезная игра часто рождает наиполезнейшие идеи.

В первой публикации, посвященной «Точкам-клеточкам», Эдуард Люка пространно рассуждает о ценности чистого любопытства. Он приводит множество исторических примеров и утверждает, что мы должны задавать вопросы спонтанно, какими бы глупыми они ни казались, поскольку неизвестно, насколько глубокие истины можно раскрыть.

Его стиль довольно витиеватый, однако все равно я процитирую⁹:

Каждый математик хочет вскрыть глубокие связи между несопоставимыми идеями. Вопрос в том, как этого добиться. Напряженно работать? Возможно. Терпеливо вычислять? Не повредит. Подсмотреть ответ в конце задачника? Простите, не угадали. Позволить воображению резвиться?

А вот здесь есть о чем поговорить.

Эдуард верил, что глубина возникает из игры, наука – из дуракаваляния. И он был не одинок. Элвин Берлекамп научился играть в «Точки-клеточки», когда ему было 6 лет, и спустя 70 лет все еще не утратил интереса к ним. Он играл на протяжении всей жизни. И где-то посредине странствия земного, когда он изучал электротехнику в Массачусетском технологическом институте, его осенило: можно использовать математику, чтобы создать «дуальную игру», которую он окрестил «Нити и монеты».

Как выглядит эта альтернативная версия? Нарисуйте монеты, соединенные нитями. Один конец каждой нити приклеен к какой-либо монете, а другой – либо к соседней монете, либо к столу. Игроки поочередно разрезают нити ножницами. Если монета высвобождается, она достается вам, и вы зарабатываете право на еще один ход. Игра длится до тех пор, пока игроки не разберут все монеты. Побеждает тот, у кого больше монет.

Никаких квадратиков – лишь монеты. Никаких отрезков – лишь натянутые нити. Но, по сути, игра та же самая. Не меняя принципиальную структуру, Элвин вывернул «Точки-клеточки» наизнанку.

Зачем? Да просто так. Забавы ради. «Пусть мыслители мыслят, а мечтатели мечтают, – писал Эдуард Люка, – не тревожась о том, что иногда занимаются чем-то несерьезным или бесполезным, ибо, по словам мудреца Анаксагора, во всём есть часть всего».

Эта философия вдохновляла математические изыскания на протяжении тысячелетий, и она прослужит нам еще тысячелетия. Пусть мыслители мыслят. Пусть мечтатели мечтают. Пусть студенты чертят закорючки на полях конспектов лекций. Не проводите границу между практичным и непрактичным, полезным и бесполезным, пустым и идеальным. Это области одного и того же необитаемого континента, одной и той же прекрасной девственной земли, которую мы лишь начали изучать.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Шведская доска. Границы поля уже нарисованы.

Точки-треугольнички. Правила те же, но вы играете на треугольном поле и сражаетесь за равносторонние треугольники. На мой взгляд, это делает игру красивее (к тому же треугольники легче начертить). Идеальное решение, если вас утомил классический вариант игры, а курьер с пиццей еще не прибыл.

Назарено. В этом усовершенствованном варианте игры из книги Андреа Анджолино «Отточенный карандаш и игры на бумаге» меняются два правила. Во-первых, вы можете проводить прямую линию любой длины, если она не пересекает уже начерченные линии. (Таким образом, вы можете дорисовать несколько квадратов сразу.) Во-вторых, если вы дорисовали квадрат, то не получаете дополнительный ход.

Если новое правило в «Точках-треугольничках» меняет вид знакомой игры, то в «Назарено» все наоборот: в знакомой игре открываются новые горизонты.

Квадратный полип. Свихнувшийся визионер Уолтер Джорис в книге «Сто стратегических игр с карандашом и бумагой» предлагает несколько игр, напоминающих «Точки-клеточки». Моя любимая – 90-я по счету: «Квадратный полип». Участвуют два игрока. Понадобятся цветные карандаши.

1. Нарисуйте поле 9 × 9 точек (или поменьше, если вы новичок; или побольше, если вы знаток) и по очереди рисуйте квадратные полипы. Это квадраты с двумя ответвлениями, например:

2. Стремитесь захватить как можно больше квадратов. Каждый полип автоматически занимает квадрат 1 × 1, но умелый игрок может получить области покрупнее и более причудливой формы.

3. Линии не должны пересекаться¹⁰. Это правило позволяет сорвать планы противника, выпустив одно-единственное смертоносное щупальце (но будьте осторожны: противник может настолько же легко сорвать ваши планы).

4. Играйте до тех пор, пока не останется ни одного хода. Выигрывает тот, кто занял наибольшую часть поля.

Ростки

ИГРА С «ЛЮБОПЫТНЫМ ТОПОЛОГИЧЕСКИМ КОЛОРИТОМ»

Из школьной геометрии мы выносим одну пренеприятную истину: размер имеет значение. И в самом деле, размер – одно из основополагающих свойств в материальном мире. Углы бывают острыми, прямыми или тупыми. Фигуры имеют длину, площадь или объем. Порция мокко с соленой карамелью может быть большой, маленькой или средней. Так или иначе все сводится к размеру. Черт возьми, само название школьного предмета недвусмысленно об этом говорит: в переводе с древнегреческого оно означает «землемерие».

Вас раздражает такая зацикленная на размере философия? Тогда вам понравится топология. Там фигуры растягиваются, словно резина, податливы, словно пластилин, раздуваются, словно воздушные шары. Не фигуры, а трансформеры! В этом текучем мире лавовых ламп размер не имеет значения. По сути, о размерах там не идет и речи.

Топология ищет более глубокие истины.

Хотите узнать какие? Для первого знакомства лучше всего подойдет игра «Ростки». Какие точки можно соединить? Сколько областей возникнет? В чем разница между «внутри» и «снаружи»? Придержите свои шляпы – или их топологические эквиваленты – и наслаждайтесь игрой, правила которой легко поймет любой ребенок, но перебрать варианты развития событий не под силу ни одному суперкомпьютеру.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Двое (или больше).

Что потребуется? Разноцветные карандаши и бумага. Вначале нарисуйте несколько точек. На первое время ограничьтесь тремя-четырьмя.

В чем цель? Побеждает тот, кто сделает последний ход в игре, не оставив противнику ни одного варианта.

Какие правила?

1. Во время каждого хода рисуйте одну линию (прямую или кривую), соединяющую две точки либо возвращающуюся к исходной точке, и ставьте новую точку где-нибудь на этой линии.

2. Всего два ограничения: (1) линии не могут пересекать себя или друг друга; (2) из каждой точки может исходить не более трех линий.

3. В конце концов все возможности будут исчерпаны. Выигрывает тот, кто сделает последний ход.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Прелесть «Ростков» в гибкости линий. Неважно, какие они: прямые, плавные кривые или витиеватые спирали; значение имеют только соединяемые точки. Можете даже изобразить свою подпись. Шестиклассница Анджела так и поступила, когда мы попробовали сыграть, и, хотя в принципе она нарушила правило (линии самопересекались), это настолько впечатляло, что я не возражал.

Такая гибкость отражает суть топологии: вещи могут быть совершенно непохожими друг на друга, но иметь одинаковый функционал.

Рассмотрим вариант, где вначале на игровом поле всего одна точка. Первый игрок волей-неволей рисует петлю и ставит новую точку на ней. Второй игрок должен соединить две точки. Кажется, возможны два варианта: нарисовать линию внутри петли или снаружи.

Но погодите-ка. Представьте, что вы чертите линии на сфере. Особо ничего не меняется, но теперь неважно, рисуете ли вы вторую линию «внутри» или «снаружи». С точки зрения топологии эти два хода идентичны. Таким образом, в действительности у второго игрока нет выбора.

А как насчет игры, которая начинается с двух точек? У первого игрока есть лишь два варианта: соединить эти две точки или нарисовать петлю. Неважно, будет ли вторая точка «внутри» или «снаружи» петли. Топологически нет разницы.

Неужели топологи не замечают различий и все вещи для них на одно лицо? «Победа» топологически равноценна «поражению»? «Хорошо» топологически то же самое, что «плохо»? Кошка топологически эквивалентна рыбке и в аквариум нужно поставить маленький кошачий лоток?

Решайте сами, если у вас есть домашние питомцы. Но, играя в «Ростки», не стоит беспокоиться. Не все ходы эквивалентны. По сути дела, когда все начинается с двух точек, уже ко второму ходу возникает шесть топологически разных вариантов. Свободы становится все больше.

В «Точках-клеточках» мы имели дело с жесткой, прямолинейной геометрией, подобной градостроительному плану. «Ростки», напротив, свободолюбивая игра, похожая на хаос карнавального шествия.

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Место и время рождения «Ростков» точно известны: Великобритания, Кембридж, вторая половина дня во вторник 21 февраля 1967 года.

Родители игры, кибернетик Майк Патерсон и математик Джон Конвей, рисовали закорючки на листе бумаги, пытаясь изобрести новую игру. Майк предложил правило с добавлением новой точки, Джон предложил название. Так родились «Ростки»¹¹. Они поделили честь открытия в соотношении 60/40 в пользу Майка: эта честная и точная пропорция впечатляет не меньше, чем само рождение игры.

В «Ростки» просто играть, но сложно перебрать все варианты. Анализ игры, начинающейся с шести точек, занял у Дениса Моллисона 47 страниц. Никто не превысил эту планку до 1990 года, когда компьютер Bell Labs перебрал все варианты игры, начинающейся с 11 точек. На момент написания этой главы перебраны все варианты для игры, начинающейся с 40 точек, хотя Конвей перед кончиной в 2020 году скептически высказался на сей счет: «Вы поверите, услышав, что кто-то изобрел машину, которая может сочинить пьесу, достойную пера Шекспира? Это слишком сложно».

Отпугнула ли эта сложность игроков-любителей? Ничуть.

«На следующий день после того, как проросли "Ростки", – пишет Конвей, – в них стали играть все подряд. За чаем и кофе небольшие компании не могли взгляда оторвать от нелепых или фантастических вариантов развития игры… Общему поветрию поддались и секретари… Рисунки с "Ростками" можно было обнаружить в самых неожиданных местах… Даже мои дочки, которым три и четыре года, играли в них, хотя обычно я выигрывал».

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что среди разделов современной математики топология – одна из наиболее (1) динамичных, (2) причудливых, (3) полезных и (4) красивых.

Эпитетов много, так что разберем их по порядку.

Топология динамична. Топологи живут в изменчивом мире растягивающейся резины, расплавленного металла и тающего мороженого. Они постоянно ищут инварианты: свойства, которые остаются неизменными, несмотря на все перипетии.

Наиболее известный инвариант – эйлерова характеристика. Для «Ростков» все сводится к простому уравнению (это заметил Эрик Соломон): точки + области = линии + фигуры.

Это уравнение верно на любом этапе игры для всех возможных сценариев, от простейшего до сложнейшего, независимо от того, начинаете ли вы с двух точек или с двух миллионов. В любой ситуации количество точек плюс количество замкнутых областей будет равно количеству линий, соединяющих точки, плюс количество отдельных фигур¹².

Это типично для топологии: в необузданно меняющемся мире мы находим стройные закономерности.

Топология причудлива. Вот забавное открытие Джона Конвея. Если количество ходов минимально, то в конце концов вы получите (грубо говоря) одну из этих фигур:

В классическом пособии «Выигрышные стратегии математических игр» объясняется, что окончательная конфигурация «будет представлять собой одно из этих насекомых (возможно, вывернутое наизнанку), к которому присосалось произвольное количество вшей (к некоторым вшам могут присосаться другие)».

В общем, вшей довольно много. Причем одни конфигурации, по замечанию Конвея, «вшивее» других.

Топология полезна. Несмотря на балаган с уховертками и вшами, топология помогает разобраться с самыми разными вещами, от запутанности ДНК до запутанности социальных сетей, не говоря уже о космологии и квантовой теории поля.

Рассмотрим знаменитую топологическую проблему: изоморфизм графов. Мы уже знаем, что две конфигурации в «Ростках» могут выглядеть по-разному, но быть структурно одинаковыми. Как определить, различаются ли две сети или они идентичны, хотя на первый взгляд непохожи?

Этот вопрос тревожит инженеров, сопоставляющих электрические схемы, компьютерщиков, кодирующих визуальную информацию, и химиков, ищущих соединения в базах данных. По сути дела, все эти серьезные люди играют в свои версии «Ростков».

Топология красива. Для многих знакомство с топологией начинается с ленты Мёбиуса. Возьмите полоску бумаги, перекрутите ее и склейте концы.

У ленты Мёбиуса всего одна поверхность: нет дихотомии «внутри» и «снаружи». Если вы решите использовать ее в качестве браслета и попытаетесь покрасить внутреннюю сторону в синий, а внешнюю в красный, ничего не получится. И это лишь одна из странностей. Что будет, если разрезать ленту Мёбиуса вдоль? А если попытаться разрезать ее на три части?

Математик Дэвид Ричесон в книге «Жемчужина Эйлера» подсчитал, сколько медалей Филдса (самая престижная награда в области математики) досталось топологам. «Из 48 лауреатов, – пишет он, – примерно треть были награждены за работы в области топологии, и еще больше – за вклад в тесно связанные с ней области».

Если красота – дочь сложности и простоты, то «Ростки» – настоящее дитя любви.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Сорняки. Автор – Владимир Игнатович. Игроки могут рисовать на своей линии одну точку, две или ни одной.

Набери очки. Автор – Уолтер Джорис. Правила те же, что в «Ростках», но ведется подсчет очков. Если в результате вашего хода образуется замкнутая область, пометьте ее инициалами или цветом и подсчитайте количество точек на границе области (одна точка – одно очко). Рисовать новые линии внутри этой области запрещено. Когда все ходы будут исчерпаны, побеждает тот, у кого больше очков¹³.

Брюссельская капуста. Эта скверная сестра-близнец «Ростков» на первый взгляд кажется такой же многовариантной и требующей стратегического мышления. Но это не так. Скорее это не игра, а какая-то пародия.

Вначале нарисуйте несколько крестиков. Соединяйте любые два свободных конца и ставьте черточку на новой линии, чтобы получилось еще два свободных конца. Линии не должны пересекаться. Выигрывает тот, кто делает последний ход, когда больше ходов не осталось.

Почему пародия? Дело в том, что исход игры предрешен независимо от действий игроков. Если в начале было нечетное число крестиков, выигрывает первый игрок; если четное – второй. Можете выстраивать какие угодно хитроумные стратегические схемы, всем им грош цена. С тем же успехом можно воображать себя гонщиком «Формулы-1», вращая руль игрушечного автомобиля.

Как это получается? Обратите внимание на то, что количество свободных концов не меняется. Каждый ход уменьшает их на два, а новая черточка добавляет два. Меняется лишь количество областей. После каждого хода, за малым исключением, появляется новая область. В игре с n крестиками на n – 1 ходу нельзя создать ни одну область, соединяя несвязанные крестики.

Игра заканчивается, когда количество областей становится равно количеству свободных концов. Для этого требуется 4n – 1 ходов, создающих новые области, плюс n – 1 ход, не увеличивающий количество областей, то есть всего 5n – 2 хода.

Разыграйте приятеля: предложите сыграть на поле с двумя, четырьмя и шестью крестиками, каждый раз великодушно уступая право первого хода. Когда противник почует подвох и потребует, чтобы вы ходили первым, незаметно переключитесь на игру с тремя или пятью крестиками. Конечно, обманывать нехорошо, особенно друзей… Но пошутить-то можно.

Супер-крестики-нолики

ИГРА С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

В 2013 году, узнав о существовании этой игры на пикнике математиков с нашего факультета, я написал краткий пост в своем блоге. Он вызвал настоящий ажиотаж в интернете, угодив в топ сайта Hacker News¹⁴ и на главную страницу Reddit¹⁵, а кроме того, породил целый букет приложений для смартфонов¹⁶. Поскольку взлет моей карьеры в немалой мере связан с этой игрой, я много размышлял о том, что делает ее особенной. Элегантность правил? Легкость измышления стратегических идей? Подсознательная ассоциация с «Суперфрисби»?

Но лишь спустя годы меня осенило – это фракталы. Странно, что я не додумался до этого раньше.

Мы живем среди фракталов, они всюду: от облаков до береговых линий и ветвей деревьев. Возможно, именно поэтому «Супер-крестики-нолики» кажутся такими естественными. Обычные крестики-нолики всегда стремились эволюционировать в этом направлении.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Двое.

Что потребуется? Карандаши и бумага. Нарисуйте крупно поле для крестиков-ноликов, а затем по одному мини-полю внутри каждого квадрата.

В чем цель? Выиграть на трех мини-полях, выстроенных в одну линию.

Какие правила?

1. По очереди ставьте крестик или нолик в маленьких квадратах. Первый ход можно сделать где угодно; после этого мини-поле, на котором вы будете играть, определяется предыдущим ходом противника. В зависимости от клеточки, которую он выбрал, вы должны сделать ход на определенном мини-поле.

2. Поставив три крестика или нолика на одной прямой на мини-поле, вы выигрываете там. Это мини-поле замораживается, а игрок, которому выпадает ход на нем, выбирает любое другое.

3. Побеждает тот, кто выиграет на трех мини-полях на одной линии.

Альтернативные условия победы перечислены в разделе «Вариации и родственные игры».

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Однажды майским днем 2018 года я заглянул на сайт политических новостей FiveThirtyEight и с удивлением прочел: «Трамп играет не в трехмерные шахматы, а в "Супер-крестики-нолики"», – гласил заголовок статьи Олли Рейдера.

В те годы многие из нас пытались понять действия президента Трампа. Он ввязывался то в одну, то в другую политическую авантюру, непредсказуемо меняя повестку дня. Что это было: продуманный план или просто импульсивность? «Он не игрок в трехмерные шахматы», – часто язвили критики.

Олли Рейдер тоже так думал. Он полагал, что Трамп играет в совершенно другую игру.

В шахматах всего одно поле битвы, а в «Супер-крестиках-ноликах» – много. «Эти игровые поля взаимосвязаны сложным и странным образом, – писал Олли. – Даже продуманная игра выглядит бессистемной, скороспелой и просто идиотской». Это игра «изменчивых, меняющихся целей», основанная «на отвлекающих маневрах, промедлении, обманных движениях, затягивании и импровизации». Именно такой была медиастратегия Трампа.

Хорошая политика? Наверное, нет. Хорошая игра? Бесспорно. Более того, это отличная концепция пространства: фрактальное ви́дение, когда в решениях тесно связаны малый и большой масштабы.

Так и возникает внутреннее напряжение. Хороший, казалось бы, ход на мини-поле (например, захват центральной клеточки) может оказаться стратегической ошибкой (ибо позволяет вашему противнику разгуляться на центральном мини-поле). Для победы вы должны найти баланс двух уровней, выполнив завет политических активистов: «Думайте глобально, действуйте локально».

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Самая ранняя из известных мне версий – настольная игра 1977 года под названием «Десятикратные крестики-нолики». Более поздняя версия под названием «Тик-так-ку» получила в 2009 году премию в области настольных игр Mensa Select. У нее несколько иные правила: побеждает тот, кто выиграл на пяти мини-полях из девяти¹⁷. Электронная версия под названием «Тик-так-тен» появилась спустя несколько лет. Новое правило ускоряет процесс игры: выигрывая на одном мини-поле, вы сразу становитесь победителем.

Так или иначе, именно мой пост в блоге вызвал всплеск популярности этой игры.

У нее много названий. В «Википедии» упоминаются «Стратегические крестики-нолики», «Мета-крестики-нолики», «Крестики-тактики-нолики», «Крестики-нолики в квадрате». Я слышал еще два: «фрактальные крестики-нолики» (мое самое любимое) и «инцептуальные крестики-нолики» (самое нелюбимое). Как бы то ни было, вариант «Супер-», похоже, прижился. Я невероятно горд, ибо его придумали мои ученики в Оклендской школе. Вперед, матадоры!

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что мы живем во фрактальном мире.

Фракталы имеют одинаковую структуру на разных уровнях. Неважно, увеличиваете вы масштаб или уменьшаете. Посмотрите на ветви деревьев, где каждый отросток – миниатюрная версия большого. Или взгляните на изгибы береговых линий, внутри которых другие изгибы, но меньшего масштаба. Даже неосязаемая архитектура облаков фрактальна.

Неслучайно все это кажется нам прекрасным. Простая структура, повторяющаяся в разных масштабах, создает очаровательную сложность. Джеймс Глейк, автор книги «Хаос», назвал это «колышущейся, раскачивающейся, ожившей гармонией».

Фракталы появились на математической тусовке в XIX веке как незваные и отчасти нежеланные гости. Эти новые фигуры имели неправильную форму. Изобразить их было непросто. Математики называли их «патологическими», потому что они нарушали геометрический этикет.

Тем не менее на протяжении десятилетий их не рассматривали как единый класс объектов. Это была просто разрозненная совокупность уродливых игрушек. Затем, уже в XX веке, математик Бенуа Мандельброт объединил ее под общим названием «фракталы» и увидел в них не болезнь, а лекарство. Лекарство от чего? Ну, от старой глупой идеи о том, что действительность состоит из треугольников, квадратов, пирамид… По мнению Бенуа, по-настоящему патологическая геометрия – та, которой учат в школах. «Облака – не шары, – писал он, – горы – не конусы, береговые линии – не дуги окружностей, кора деревьев – не гладкая, а молния – не прямая».

Природа – не евклидова. Она фрактальная.

Платон был бы расстроен. Древнегреческий философ твердо верил в безупречную евклидову геометрию и в одном из своих диалогов утверждал, что вселенная состоит из треугольников, точнее говоря, из двух типов прямоугольных треугольников, вызывающих кошмары у изучающих тригонометрию.

Милый Платон, да взгляни же на свой любимый блог с пейзажами в Instagram¹⁸. Сколько треугольников с углами 30º, 60º и 90º ты видишь?

А теперь поищи фракталы. Их чуть побольше, не правда ли?

Природа – это сад фракталов. Горы – ступенчатые нагромождения камней, увенчанные нагромождениями камней поменьше, над которыми возвышаются еще более мелкие нагромождения камней. Трахея в ваших легких разветвляется и разветвляется, в среднем 23 раза, пока не превращается в крошечные похожие на пузырьки альвеолы, насыщающие кровь кислородом. Короче говоря, вы дышите фрактально. Задолго до того, как возникла фрактальная геометрия, геологи заметили, что крошечные русла рек на фотографиях похожи на каньоны, и поэтому для сопоставления масштабов стали помещать в кадр крышку объектива или молоток.

Любая малая вещь – микрокосм, любая большая вещь – макрокосм, а любой масштаб – отголосок другого масштаба.

Конечно, дерево за окном моего офиса не ветвится до бесконечности. Ну разве что раз восемь. Тем не менее этого достаточно, если верить книге «Фрактальные миры» математика Майкла Фрейма и поэтессы Амелии Урри. «Фракталом» мы называем фигуру, самоподобную по крайней мере на трех уровнях. «Супер-крестики-нолики», где поле представляет собой квадратную сетку квадратных сеток, соответствуют этому критерию. Хотите подняться еще на один уровень и сыграть на поле с 729 клеточками?¹⁹ В добрый путь!

Не буду отрицать, что «Супер-крестикам-ноликам» не хватает драматизма раздвоенной молнии. Это такой же рукотворный фрактал, как и конденсаторы, пьесы Тома Стоппарда и картины Сальвадора Дали. Тем не менее, как и все плоды человеческой изобретательности, «Супер-крестики-нолики» уходят корнями в бездонный кладезь природы, до краев наполненный фракталами.

«Фрактальные структуры наблюдаются всюду, от планковского масштаба до масштаба всей Вселенной, – пишут Майкл и Амелия, – и, возможно, масштаба бурлящей и ветвящейся мультивселенной. Насколько нам известно, превысить этот масштаб уже невозможно».

Не исключено, что мои ученики подразумевали это, когда наделяли фрактальные крестики-нолики приставкой «супер».

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Ускоренная победа. Выигрывает тот, кто первым одержит победу на одном мини-поле.

Чем больше, тем лучше. Вы должны завоевать больше мини-полей, чем ваш противник. Важно лишь их количество, а не то, как они расположены.

Общая территория. В обычной игре мини-поле на отшибе, которое не укладывается в линию, не учитывается. Но, если хотите, можете засчитать его двум игрокам одновременно (и, таким образом, помочь им выстроить три мини-поля в ряд).

Супердроп три. Эту идею подсказал мне Бен Исеке: приятное сочетание «Супер-крестиков-ноликов» и «Четырех в ряд». Играют так же, как в «Супер-крестики-нолики», но ваш крестик или нолик «опускается» до предела на каждой вертикали мини-поля. Завоевав одно мини-поле, вы одерживаете победу. (Альтернатива – выиграть три мини-поля на одной линии.)

При каждом ходе есть лишь три варианта: слева, по центру, справа. В итоге получается более напряженная, стесненная игра, но все равно достаточно сложная.

Супер-крестики-нолики наизнанку. По правилам ход вашего противника определяет мини-поле, на котором вы играете. В игре, вывернутой наизнанку, всё наоборот. Здесь ход вашего противника определяет клеточку, где вы должны поставить крестик или нолик, а выбор мини-поля за вами.

Вот метафора: в обычных «Супер-крестиках-ноликах» вы попадаете в один из девяти городов, а затем выбираете район; в этой же версии вы вправе выбрать город, а район в нем уже предопределен.

Это тяжелая игра. Мне с трудом удается планировать что-то дальше следующего хода. Следите за самым последним ходом; здесь легко заблудиться!

Одуванчики

ИГРА С ПРОСТРАНСТВОМ, ВРЕМЕНЕМ И ПРОЧЕЙ ЧЕПУХОЙ

Я знаю, о чем вы мечтаете, читатель. Вы хотите превратиться в одуванчик, мыслящую пушинку, подхваченную ветром и летающую над полями…

Нет-нет, постойте. Я неверно прочел ваши мысли. Вы хотите стать ветром, сдувающим пух с одуванчиков, несущим его вдоль…

Или вы хотите быть… и одуванчиком, и ветром одновременно?

А, ну тогда предлагаю вам сыграть в эту игру.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Двое. Один – одуванчик, другой – ветер.

Что потребуется? Бумага и карандаши. Нарисуйте «луг» 5 × 5 клеточек и розу ветров.

В чем цель? Одуванчик стремится засеять своими семенами весь луг. Ветер стремится, чтобы хотя бы одна клеточка осталась пустой.

Какие правила?

1. Одуванчик делает первый ход, выращивая цветок в любой клеточке (пометьте ее, например, звездочкой).

2. Следующий ход делает ветер, выбирая направление, в котором полетят семена одуванчика. Семена (пусть это будут точки) попадают во все клеточки с подветренной стороны. Пометьте выбранное направление на розе ветров: оно не должно повторяться на протяжении игры.

3. Продолжайте. Первый игрок выращивает новый одуванчик (или в пустой клетке, или в клетке, куда упало семя)…

…а ветер дует в новом направлении, разнося семена одуванчиков по игровому полю. Обратите внимание: семена не дают новых семян.

4. Игра заканчивается через семь ходов, когда ветер исчерпает все направления кроме одного. Если одуванчики и их семена заняли все игровое поле, первый игрок победил.

Если осталась хотя бы одна пустая клетка, побеждает ветер.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

«Эта игра дарит радость, словно поле желтых одуванчиков и, надеюсь, будет распространяться так же резво, как эти цветочки», – пишет Эмили Деннет, одна из моих верных тестировщиц.

«Одуванчики» принадлежат к великолепному и обширному семейству асимметричных игр, где у игроков принципиально разные возможности²⁰. Они особенно хороши тем, что со временем у вас меняется мнение о том, на чьей стороне преимущество. Например, в «Одуванчиках» многим новичкам кажется, что легче победить, играя за ветер, но знатоки склонны придерживаться противоположной точки зрения.

У «Одуванчиках» есть особенность, несвойственная этому жанру игр: игроки невольно помогают друг другу, единственное, что они могут сделать, это попытаться минимизировать помощь противнику. «Игрок, который хочет занять территорию, не может ее занять, а игрок, который хочет этому воспрепятствовать, не может воспрепятствовать», – заметила тестировщица Джесси Эрлейн.

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Вообще-то я работал над игрой «Пейнтбомба», но мой приятель Бен Дикман убедил меня отказаться от воинственных наклонностей. Первое, что пришло в голову, когда я стал думать в миролюбивом ключе, были «Одуванчики». Это название не годилось для старой игры (теперь она называется «Брызги»), но подошло для совершенно новой: той, где ветер колышет луговые цветы, а сотрудничество и соперничество неразрывно связаны.

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что каждая игра в пространстве – это еще и игра во времени.

Когда я только начал осваивать «Одуванчики», ветер всегда побеждал. Казалось, что заполнить все клеточки невозможно. Затем я уловил одну хитрость: когда на поле уже растут два одуванчика, вы гарантированно получаете определенные клеточки. Например, если ветер еще не дул в южном и восточном направлении, то рано или поздно семя упадет в квадрат к югу от одного одуванчика и к востоку от другого, хочет ветер того или нет.

Постепенно я научился распознавать клеточки, чья судьба предрешена, а затем – что сложнее – не брать их в расчет. Лучше сосредоточиться на клеточках, за которые можно побороться. Новая стратегия требовала терпения и, более того, особого чувства времени. Необходимо было мысленно стереть границу между прошлым и будущим, отождествить «уже засеяно» и «обязательно будет засеяно».

Мое понимание игры изменилось. Например, стало ясно, что начальные одуванчики оказывают большее влияние на результат, ведь семена первого из них разносятся семью порывами ветра, а последнего – всего одним.

С ветром все наоборот. Более поздние порывы разносят меньше семян, поэтому, казалось бы, первые порывы важнее. Но это поверхностный взгляд. Первый порыв ветра разносит семена одного одуванчика, а последний – семи. Поздние порывы ветра более существенны.

Эта игра требует особого восприятия пространства, но на более тонком уровне – еще и особого восприятия времени. То же самое можно сказать о шахматах и го: несмотря на всю геометрическую сложность, их часто уподобляют длительной беседе, потому что два человека обмениваются идеями. Возможно, то же самое относится к самой геометрии; она невозможна без мышления, а мышление невозможно вне времени.

«Одуванчики» – «быстрая игра, требующая пространственного мышления, – написал тестировщик Джонатан Бринли, – где вы пытаетесь предвидеть долгосрочные последствия цепочки бесповоротных решений». Для этого требуется обратить время вспять.

Рассмотрим вариант игры, где одуванчики и ветер действуют заодно, стремясь охватить как можно бóльшую часть поля. Как лучше всего концептуализировать эту задачу? Изменив направление времени.

Мы воспринимаем пространство и время как абсолютные категории. Пространство – коробка, где хранятся игрушки Вселенной. Время – тикающие часы на стене.

Но игры помогают нам увидеть другие взаимоотношения, другие союзы между пространством и временем. В «Одуванчиках» прошлое переплетается с будущим. Время и пространство играют друг с другом, словно ветер и одуванчики: неравные партнеры, заполняющие луг своим ярко-желтым потомством.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Соблюдение баланса. В асимметричной игре часто кажется, что у одной из сторон есть преимущество. Для того чтобы увеличить шансы ветра на победу, играйте на лугу побольше (например, 6 × 6 клеточек). Чтобы увеличить шансы одуванчика, пусть во время первого хода он высаживает два цветка, а ветер пусть дует дважды после того, как высажен седьмой одуванчик.

Подсчет очков. Сделайте поле еще больше (предлагаю 7 × 7), чтобы одуванчику было сложно заполнить его целиком, а затем ходите по очереди. Ветер набирает очко за каждую незаполненную клеточку. Выигрывает тот, кто наберет больше очков.

Случайные посадки. Этот сольный вариант предложил Джо Кисенветер. Играйте на поле 6 × 6 клеточек. Одуванчик прорастает на случайной клетке. Ее координаты определяет бросок двух игральных костей. Играйте в роли ветра, стремясь засеять как можно бóльшую часть луга.

Соперничающие одуванчики. Идея принадлежит Энди Джуэллу. Играйте на большом лугу (не меньше, чем 8 × 8 клеточек). В течение одного хода одуванчики (пусть они будут разных цветов) высаживают оба игрока: вначале первый, потом второй; во время следующего хода – в обратной очередности. В одной клеточке может разместиться лишь один одуванчик или одно семя.

После того как оба игрока сделали ход, ветер дует в произвольном направлении, которое определяется с помощью восьмигранной игральной кости (если ее нет под рукой, просто введите в браузере запрос «бросить кости онлайн»).

Выигрывает тот, кто займет больше клеточек.

Сотрудничество. Ветер и одуванчики работают в паре, стремясь покрыть все игровое поле. Нарисуйте луг побольше (например, 8 × 8 клеточек). Чтобы усложнить задачу, Гийом Дувиль предложил отказаться от обсуждения общей стратегии. Можно даже ввести правило играть в полной тишине.

На достаточно больших игровых полях можно выращивать восемь одуванчиков, а ветер пусть дует восемь раз.

Этот вариант игры – еще и головоломка. Каков предельный размер поля, которое можно заполнить целиком? Когда поле больше этого предела, какое максимальное число клеточек вы можете заполнить?

Квантовые крестики-нолики

ЗАПУТАННАЯ ИГРА ДЛЯ ЗАПУТАННОЙ ВСЕЛЕННОЙ

«Те, кто не был ошарашен, впервые познакомившись с квантовой теорией, – полагал физик Нильс Бор, – возможно, так и не поняли ее». Пусть эти слова послужат предупреждением: квантовые крестики-нолики – самая сложная игра в этой книге. Вам понадобится терпение, чтобы усвоить идею недовоплощенного крестика (или нолика). Еще больше терпения понадобится, чтобы освоить процесс «коллапса», когда ваш крестик оказывается в определенной клеточке. И сверхчеловеческое терпение понадобится, чтобы выстоять под натиском таких пугающих терминов, как «запутанность», «суперпозиция» и (самое загадочное) «состояние».

Поверьте, оно того стоит. Вас ждут стратегические повороты, удивительные нюансы, а самое главное – озарение, благодаря которому вы постигнете квантовый мир.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Двое.

Что потребуется? Цветные карандаши и пачка бумаги.

В чем цель? Как и в обычных крестиках-ноликах: расположить свои запутанные частицы так, чтобы после коллапса получить три крестика или нолика на одной линии.

Ну, ладно, пожалуй, не совсем как в обычных крестиках-ноликах…

Какие правила?

1. По очереди ставьте квантовые крестики и нолики. Нарисуйте крестики в двух клеточках сразу и соедините их тонкой линией. Эти клеточки (теперь они считаются «запутанными») необязательно должны быть соседними. Ваша частица впоследствии окажется либо в одной клеточке, либо в другой. Где именно? Пока ответ окутан мраком неизвестности.

В процессе игры в одной клеточке могут столпиться несколько квантовых частиц. Но это временная ситуация. В конечном счете в каждой клеточке окажется только один «классический» крестик или нолик.

2. В какой-то момент запутанности образуют петлю: например, одна клеточка оказывается запутанной с другой, которая запутана с третьей, а та, в свою очередь, запутана с первой.

В это мгновение частицы коллапсируют, обретая окончательное местоположение. Возможны два сценария: все зависит от того, где окажется последняя нарисованная вами частица. В любом случае она вытесняет соседей в другие клеточки. Процесс вытеснения продолжается до тех пор, пока каждая частица в петле не займет свое место.

Если в трех взаимосвязанных клеточках есть другие частицы, не входящие в петлю, они тоже вытесняются.

3. Кто-то должен выбрать один из сценариев. Эта роль выпадает не тому, кто замкнул петлю²¹. Когда частицы найдут свое место, игровое поле превратится в месиво, поэтому перерисуйте его и продолжайте.

4. Обратите внимание: клеточки, где находятся «классические» частицы, уже заняты: там больше нельзя рисовать новые. Побеждает тот, кто выстроит три классических частицы в одну линию!

Не исключено, что после коллапса у обоих игроков три частицы окажутся на одной линии. Тогда выигрывают оба. Это не ничья. Это общая победа. Таковы странности квантовой жизни!

Но если восемь из девяти клеточек заняты классическими частицами и никто не одержал победу, то это уже ничья.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Один из тестировщиков похвалил правила за «инопланетную элегантность». Все верно – они отражают инь и ян игры. Кто-то считает ее элегантной; кто-то – инопланетной. В любом случае, если вы решитесь проложить путь сквозь туман, начнут проявляться возможные стратегии.

Одна хитрая стратегия заключается в том, чтобы создавать короткие петельки крестиков (или ноликов). Обычно замыкать петлю рискованно, поскольку квантовый коллапс контролирует ваш противник, но беспокоиться не о чем, если петля целиком состоит из ваших символов. Просто квантовые частицы становятся классическими.

Угроза возникновения такой петли часто заставляет вашего противника действовать на опережение, замыкая петлю и оставляя контроль над квантовым коллапсом за вами. Таким образом, это мощная стратегия. Тем не менее гораздо интереснее выстраивать длинные цепочки квантовой запутанности. Вы с соперником можете договориться и сплести петлю из девяти клеточек, после чего квантовый коллапс (под руководством того, кто рисует нолики) обеспечит драматический финал.

Как и в обычных крестиках-ноликах, очевидное преимущество у того, кто ходит первым. Рекомендую сыграть несколько раундов, меняясь ролями, и посмотреть, кто наберет больше очков. Засчитывайте 2 очка тому, у кого получились две линии символов одновременно.

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Эту игру придумал инженер-программист Аллан Гофф. «После того как меня осенило, – пишет он в статье 2002 года (у нее еще два соавтора), – понадобилось всего полчаса, чтобы сформулировать правила. Это больше напоминало открытие, а не изобретение».

Моя любимая фраза в этой статье: «Крестики-нолики – классическая детская игра, укрепляющая наши предубеждения в отношении классической реальности». Я слышал много хулы в адрес крестиков-ноликов (слишком скучно, слишком просто, слишком велики шансы на ничью), но это что-то новенькое: «…укрепляет наши предубеждения в отношении классической реальности». Это прекрасно иллюстрирует цель квантовой игры: стать удобным учебным пособием, помогающим понять контринтуитивные концепции квантовой физики.

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что так устроена Вселенная.

Я предвижу возражения и, черт возьми, согласен с ними. Эта квантовая игра ломает наши представления о пространстве, ставит под вопрос понятие времени, да и не только его – само значение слов «крестик» и «нолик». Иногда меня охватывает отчаяние, и кажется, что это вовсе не игра, а головная боль. Не хотелось бы мне, чтобы Вселенная была устроена именно так.

Но космос не оставляет места для сомнений. Он хочет, чтобы мы играли по квантовым правилам.

Если космос не кажется нам квантовым, то потому, что наш рост не 0,000 000 01 метра. В мире большего масштаба классическое описание реальности (с твердыми телами, тикающими часами и частицами, похожими на бильярдные шары) довольно хорошо отражает реальность. Однако при меньших масштабах правила резко меняются.

Например, в квантовой физике у частиц нет определенного местоположения. Электрон ни здесь, ни там. Электрон здесь и там одновременно, он размазан по пространству, это своего рода вероятностное облако. У классических объектов есть позиция, у квантовых – суперпозиция; они будто бы находятся в нескольких местах сразу.

Почему мы никогда не замечаем это двойственное поведение частиц? Потому что, как ни странно, сам наблюдатель меняет квантовое поведение. В тот момент, когда вы проводите измерение, частицы ведут себя как непослушные дети при появлении директора школы. Хаос внезапно заканчивается, вероятности исчезают, каждая частица занимает определенное место.

Распространенный пример: кот Шрёдингера. В этом мысленном эксперименте мы представляем кота в коробке с хитрым устройством. Оно определяет момент распада одного радиоактивного атома. Если атом распадается, то распыляется яд, убивающий кота. Если нет, кот остается в живых.

До того, как мы откроем коробку, за системой никто не наблюдает. Таким образом, атом находится в состоянии суперпозиции: он распался и не распался одновременно в соответствии с вероятностной логикой квантовой механики.

Следовательно, кот и мертв, и жив одновременно до тех пор, пока мы не откроем коробку и не произойдет квантовый коллапс.

В квантовых крестиках-ноликах «наблюдение» происходит, когда вы замыкаете петлю. Квантовая странность заканчивается, и клеточки заполняются обычными крестиками-ноликами. Нереализованные возможности бесследно улетучиваются.

Или нет?

Этот вопрос беспокоил физиков и философов на протяжении столетия. Одна из точек зрения – «многомировая интерпретация» – заключается в том, что так называемый квантовый коллапс на самом деле никогда не происходит. Частица занимает одну позицию в нашей вселенной, а другую – в параллельной. В одной реальности кот мертв, в другой – жив. В одной вселенной ваш крестик воплощается в угловой клеточке, в другой вселенной – в центральной клеточке. Существование – фейерверк параллельных вселенных, безмерно разветвляющихся каждую наносекунду²².

Квантовые крестики-нолики показывают еще одну загадочную особенность квантового мира: нелокальность. Допустим, две клеточки находятся в состоянии квантовой запутанности. Когда вы точно понимаете, какой символ стоит в одной («Так это крестик!»), то немедленно получаете исчерпывающую информацию о другой («Эй, здесь должен быть нолик!»). Каким-то образом, без временной задержки и физического контакта, причина и следствие сосуществуют одновременно, будто бы далекие звездные системы мгновенно обмениваются сообщениями²³.

К концу игры квантовая странность исчезает. В финале на игровом поле остаются классические частицы, обычные крестики и нолики. Это наш заключительный урок по квантовой физике.

При достаточно больших масштабах квантовый мир не проявляет свои квантовые свойства.

Строго говоря, вы и ваш пес состоите из кварков и электронов. Но этих кварков и электронов так много, что вы совершенно не квантовые существа. Вы не находитесь в нескольких местах одновременно²⁴. Ваши физические свойства не меняются, когда за вами наблюдают. Причина не порождает следствие со сверхсветовой скоростью.

Так же дело обстоит и с квантовыми крестиками-ноликами. Гигантское игровое поле (скажем, 1000 × 1000 клеточек) к миттельшпилю переживет столько квантовых коллапсов, что издалека будет выглядеть абсолютно классическим. Вы сможете выявить странную квантовую структуру лишь при большом увеличении.

Именно так устроена физическая реальность. Классическая издалека, квантовая вблизи.

Все мы знаем крестики-нолики – короткую нехитрую игру. Возможно, чересчур простую. Возможно, чересчур короткую. Однако именно такой масштаб подходит, чтобы исследовать тайны квантовой механики, тайны, окружающие нас, тайны, живущие внутри нас, тайны, которые становятся заметны лишь тогда, когда мы обращаем внимание на простейшие и мельчайшие атрибуты нашего существования.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Многомирье. Этот вариант предложил Бен Блумсон. «Когда возникает петля, – объясняет он, – частицы становятся классическими, как предписывают правила, но реализуются оба варианта, и вы продолжаете играть на двух полях сразу. Выигрывает тот, кто одержит победу в большинстве ответвлений».

Когда игрок выигрывает на одном из полей, ветвь пресекается. Поскольку победы на ранних этапах ценнее, пусть победа на каждом поле приносит (1/2)ⁿ очков, где n – количество развилок.

Вариант попроще: пусть игроки делают одинаковые ходы на всех полях. Таким образом, все поля будут переживать квантовый коллапс одновременно, а каждый коллапс – удваивать количество полей (если только петля не состоит из одинаковых символов, тогда количество полей остается неизменным).

Турнир. Играйте на поле 4 × 4 и не останавливайтесь, пока не заполните все клетки. Три символа в ряд приносят одно очко. Четыре символа в ряд приносят два очка, поскольку это две линии по три символа внахлест. Выигрывает тот, кто наберет больше очков. Отличный апгрейд, когда вы осваиваетесь с правилами. Об этом варианте мне рассказал Джо Кисенветер. В него играли на соревнованиях CodeCup 2012.

Квантовые шахматы. От игры в полноценные квантовые шахматы наши мозги взорвались бы словно попкорн, поэтому в данном варианте игры (мне рассказал о нем Франко Баседжио) квантовая логика действует лишь для одной фигуры: короля. Партия разворачивается по обычным правилам, пока чей-нибудь король (например, ваш) не сделает первый ход. Не двигайте фигуру, а положите по монете на каждое поле, куда может пойти король. Он больше не занимает определенное место на доске, а находится в облаке возможных местоположений.

Если вы снова ходите королем, положите по монете на каждую клетку, куда король мог бы пойти с полей, где уже лежат монеты. Но если вы хотите взять королем чужую фигуру, поместите его на соответствующую клетку и уберите с доски все монеты.

Если ваш противник делает шах клетке, где лежит монета, у вас есть два варианта: (1) защищать ее и (2) убрать монету и покинуть клетку. Это не считается ходом, а просто означает, что короля там не было с самого начала.

Когда у короля не остается мест для отступления, ему объявляется шах и мат.

Плеяда геометрических игр

В огромной галактике геометрических игр мы посетили пять планет. По моим подсчетам, остается еще невообразимое множество. Из-за нехватки места (оцените мою экономность) я вижу три возможности: (1) исследовать еще одну игру со всеми ее интересными и занудными деталями; (2) галопом по Европам рассказать еще о пяти играх; или (3) описать 5000 игр микроскопическим шрифтом.

Что ж, рискуя показаться приземленным бесхарактерным центристом, предлагаю пойти по безопасному среднему пути. Идет?

Гроздь винограда

ИГРА ГОЛОДНЫХ МУХ

В большинстве игр, где требуются карандаш и бумага, игровое поле в конце концов покрывается какой-то тарабарщиной, но здесь борьба за территорию (придуманная Уолтером Джорисом) превращает лист бумаги в страницу из книжки-раскраски, пеструю, ласкающую взгляд и достаточно вкусную на вид, так что хочется съесть ее.

Для начала нарисуйте виноградную гроздь. Четко обозначьте общие границы виноградин. Затем игроки помечают виноградины, откуда стартуют их «мухи» (например, ставят цветные точки). Тот, кто поставил вторую точку, делает первый ход. За один ход муха съедает одну виноградину (окрасьте ее в свой цвет), а затем перемещается на соседнюю. Проигрывает тот, кому некуда двигаться дальше.

Вначале мне показалось, что игра скучна и предсказуема: всякий раз лучший ход очевиден. Однако выяснилось, что она полна сюрпризов и щекочущих нервы моментов. Все из-за виноградин: разные по размеру, хаотично расположенные и непохожие друг на друга, они обманывают взгляд и не дают правильно оценить доступное пространство. Гроздь винограда – по-настоящему геометрическая игра, целиком сводящаяся к восприятию пространства (верному и неверному). Лучше всего играть, закусывая виноградом.

Нейтрон

ИГРА БРОСКОВ ТУДА-СЮДА

Заглавный персонаж, нейтрон, – это нейтральная частица, которую соперники перебрасывают туда-сюда как эдакую абстрактную хоккейную шайбу. Но в этой игре ни один хоккеист не может остановиться, и вы стремитесь забить гол в свои собственные ворота²⁵.

Вам понадобится игровое поле 5 × 5 клеточек и 11 фигур: по пять у каждого игрока и одна ничейная (сам нейтрон). Цель: поместить нейтрон в свой начальный ряд.

За один ход вы перемещаете вначале нейтрон на одну клетку в любом направлении (как шахматного короля)²⁶, а затем одну из ваших фигур, тоже в любом направлении, но до упора (словно шахматную королеву без тормозов, которая не останавливается, пока не уткнется в препятствие). Исключение – первый ход, когда игрок перемещает одну из своих фигур, а нейтрон остается на месте.

Вы выигрываете в двух случаях: (1) нейтрон достиг вашего начального ряда; (2) вы поймали нейрон в ловушку, так что противнику больше некуда его двигать.

Вы сразу увидите, насколько глубока эта игра: словно входишь в море, и внезапно дно уходит из-под ног. Я кайфую, когда удается вынудить соперника сдвинуть нейтрон ко мне поближе (или, того лучше, если победу приносит чужой ход, когда сопернику приходится передвигать нейтрон в мой начальный ряд). А вот поймать нейтрон в ловушку сложно, если преимущество не на вашей стороне. Когда защищаешься, у тебя меньше безопасных ходов и захлопнуть ловушку сложнее.

Порядок и хаос

ИГРА ПРОТИВОБОРСТВУЮЩИХ СТИХИЙ

Впервые мир узнал об этой игре в 1981 году из публикации Стивена Снидермана в журнале Games. Эта игра для двух игроков – воплощение древнего конфликта: борьбы созидателей и разрушителей, эволюции и деградации, отцов и детей, Берта и Эрни из «Улицы Сезам».

Одним словом, борьбы порядка и хаоса.

Игровое поле – 6 × 6 клеточек. Один игрок (на стороне порядка) стремится выстроить пять символов в ряд; другой (на стороне хаоса) всячески ему мешает. Игроки по очереди ставят в клеточках любой из символов (крестик или нолик) по своему выбору.

Порядок побеждает, выстроив пять одинаковых символов в ряд: по вертикали, горизонтали или диагонали.

Хаос побеждает, если у Порядка больше не остается шансов²⁷.

Восхитительно, что игроки сражаются не только друг с другом, но и с самими собой. Прежние ходы Порядка могут стать помехой на его пути к победе, а Хаос может невольно помочь ему выстроить пять символов в ряд. Баланс сил под вопросом: новичкам часто кажется, что преимущество на стороне Хаоса, но эксперты склоняются к противоположной точке зрения.

Попробуйте сыграть несколько раундов, меняясь ролями и подсчитывая очки. Победитель набирает 5 очков плюс по 1 очку за каждую пустую клеточку.

Энди Джуэлл предлагает забавный вариант игры: один раз Порядок может поставить особый символ (крестиконолик), а Хаос – ■ (ни крестик, ни нолик). Я решил назвать эти символы «драгоценностями» в честь изобретателя²⁸. Если вы решите, что силы неравны, конфискуйте драгоценность Джуэлла у игрока, на чьей стороне преимущество.

Брызги

ИГРА С РАЗБРЫЗГИВАНИЕМ КРАСКИ

Играют двое. Понадобится прямоугольное поле любого размера. В начале игры оно поровну заполнено каплями разных цветов. При быстром варианте пусть один игрок окропит поле по своему усмотрению, а другой выберет цвет и решит, чьи это капли (или наоборот). При медленном варианте игроки сначала выбирают цвета, потом поочередно роняют по капле в пустые клеточки.

Теперь при каждом ходе разбрызгивайте по одной оставленной в клеточках капле. Капля может испачкать либо только свою клеточку либо еще и соседние. Заштрихуйте испачканные клеточки: они выбывают из игры. Пропускать ход нельзя. Побеждает тот, у кого осталась одна неразбрызганная капля.

Темп игры неравномерен. Иногда хочется ускорить ход событий, забрызгав как можно больше клеточек, иногда – придержать вожжи, забрызгивая по одной клеточке, чтобы выгадать дополнительные ходы.

Есть разновидность игры посложнее. Добавьте еще два варианта разбрызгивания: диагональный (на северо-запад, северо-восток, юго-запад и юго-восток) и ортогональный (на север, юг, запад и восток). В этих случаях четыре соседних клеточки не забрызгиваются.

Трехмерные крестики-нолики

ИГРА, ИМЕЮЩАЯ ДЛИНУ, ШИРИНУ И ВЫСОТУ

Если вы открыли эту книгу не в прекрасном будущем с его превосходной технологией виртуальной реальности, то для отображения третьего измерения в этой игре потребуется хитрость. (Рад, что там у вас еще читают книги.) Вместо куба нарисуйте его срезы: четыре квадрата 4 × 4 клеточки.

Поочередно ставьте крестики и нолики. Побеждает тот, кто первым выстроит четыре символа в ряд. Следите за вертикальными комбинациями. Иногда их сложно заметить, а потом становится слишком поздно.

Для продумывания стратегии оцените, сколько победных комбинаций проходит через каждый квадрат. Вот как это выглядит для обычных крестиков-ноликов:

Если применить тот же метод к трехмерной игре, обнаружится интересная закономерность. Лучшими являются угловые клеточки верхнего и нижнего слоя и центральные клеточки слоев посередине.

Вот забавная метаигра: какие еще двумерные игры можно сделать трехмерными? С некоторыми особых затруднений не возникает (например, трехмерный «Морской бой»). В других (например, трехмерные «Точки-клеточки») несложно сформулировать правила (точки расположены на кубическом каркасе), но трудно визуализировать (попробуйте нарисовать линии между слоями). А в-третьих (например, «Ростки»), невозможно перейти к трехмерному варианту (в пространстве линии больше не образуют отдельных областей, так что игра становится бессмысленной и предопределенной, как «Брюссельская капуста»).

Предлагаю начать с превращения трехмерных крестиков-ноликов в трехмерные «Четыре в ряд» с фигурами, которые «опускаются» в низ каждой колонки, просто чтобы символ находился или в нижнем слое, или на один слой выше существующей метки.

Удачи!

II
Числовые игры

Приготовьтесь, сейчас вы получите неопровержимое философское доказательство того, что все числа интересны.

Все числа. Без исключений.

Я бы с удовольствием воздал хвалу всем числам по очереди: единица – самая одинокая, двойка – единственное четное простое число, тройка – номер лучшей части «Истории игрушек»… Но на это не хватить ни сил, ни времени. Поэтому давайте предположим, что рано или поздно нам все же попадется неинтересное число.

Итак, мы идем по восходящей: от 12 (количество фигур в пентамино) до 19 (столько ячеек в единственном магическом шестиугольнике из последовательно идущих натуральных чисел) и дальше, до 561 (наименьшее абсолютное псевдопростое число). Каждое число неповторимо, словно ребенок, и незабываемо, словно шербет. И вдруг нам встречается скучное число. Мы возводим его в куб. Разлагаем на множители. Просим рок-группу Three Dog Night провозгласить его числом года. Тщетно. Это убогое числецо не похоже ни на одно предыдущее. Нам впервые попалось неинтересное число. Но разве это не удивительно? Даже… сногсшибательно? Иначе говоря… постойте, слово вертится на языке…

Интересно?

Если есть неинтересные числа, это – первое из них. Первое неинтересное число? Крайне интересно! Мы пришли к логическому парадоксу. Следовательно, все числа интересны.

Как говорят профи, что и требовалось доказать.

«Википедия» называет это доказательство «полуюмористическим» – жестокое клеймо по ее меркам. Однако, на мой взгляд, оно математическое по духу. Числа влекут меня по той же причине, по которой миллионы измученных, загруженных делами людей выкраивают четверть часа по утрам на судоку: не ради того, чтобы стол ломился от яств или карманы были набиты биткоинами, а просто ради удовлетворения собственного интереса к закономерностям, вплетенным в ткань чисел. «Боги по ту сторону стены играют с числами», – говорил архитектор-модернист Ле Корбюзье.

Чтобы присоединиться к их игре, нужно лишь немного воображения.

Наглядный пример: вот нечто вроде игры, которая сейчас не выходит у меня из головы. Она начинается с совершенных чисел. В чем же их совершенство? Да в том, что если разложить число на множители и сложить их, то и получается то же самое число.

Ну и что в них такого? Да ничего. Несмотря на возвышенный эпитет, совершенные числа бесполезны в теории и еще бесполезнее на практике. Мы просто дали им милое определение и обеспечили хороший имидж. «Совершенные числа никогда не приносили пользу, но и особого вреда от них не было», – сказал математик Джон Литлвуд. Как говаривал мой школьный друг Джулиан о чистой математике: «…как минимум она не дает праздно слоняться по улицам».

Поясню: обычное число несовершенно. Сумма его делителей либо меньше, чем оно само (назовем такое число «недостаточным»), либо больше (назовем такое число «избыточным»).

Совершенные числа неуловимы, как и все совершенное. Древние греки знали только четыре таких числа. Исмаил ибн Фаллус, египтянин, живший в XII веке, нашел еще три. В 1910 году было известно девять совершенных чисел. Даже сейчас, когда наши суперкомпьютеры настолько мощны, что могут сфабриковать видео с экс-президентом, исполняющим рэп, нам известно лишь 51 совершенное число – скудный итог 2500-летней охоты на тайны математики.

Трудно представить, что футбол обрел бы популярность, если бы за всю его историю забили лишь 51 гол²⁹. Так что такого уж веселого в поисках совершенных чисел? Зачем играть в игру, где почти никогда не выигрываешь?

Эх вы, циники. Неужели вы забыли, что все числа по-своему интересны?

Не будем зацикливаться на совершенстве. Возьмем любое старое доброе число, найдем его собственные делители, сложим… а затем проделаем то же самое с полученным числом. Постепенно получится аликвотная последовательность.

Эта игра раскрывает сеть секретных связей. Каждое число отсылает к новому числу, словно агент в шпионской сети. Мы идем от числа к числу, словно детективы в фильме-нуар, по цепочке выуживая сведения у информаторов: число 20 отсылает к 22, а оно, в свою очередь, сообщает о 14, которое приводит нас к 10, которое предлагает поговорить с 8…

В процессе игры возникает естественный вопрос. Раз аликвотная последовательность имеет начало, то где ее конец?

Скажем, простые числа отсылают вас прямиком к единице (потому что у них нет других собственных делителей). Совершенные числа образуют бесконечный цикл: 28 отсылает к 28, а оно – снова к 28. А некоторые числа образуют пары: 220 отсылает к 284, а оно обратно к 220. У таких дуэтов есть прекрасное название: «дружественные числа».

Математики уже не одно столетие ищут эти счастливые пары. Интересно, что вторую пару (1184 и 1210) оказалось не так просто обнаружить. Такие великие умы, как Декарт, Ферма и Эйлер, упустили ее из виду, а честь открытия принадлежит 16-летнему школьнику. Сегодня известно больше миллиарда пар дружественных чисел.

И это все варианты окончания аликвотной последовательности? Вовсе нет! Есть циклы, где повторяется одно число (например, 6 → 6 → 6 → 6 →…), два числа (1184 → 1210 → 1184 → 1210 →…), а есть и более длинные циклы. Заядлые игроки называют входящие в них числа «компанейскими». Вот два примера:

Когда я сварганил компьютерную программу для поиска этих циклов, она раскрыла ошеломляющий заговор: цепочку из 28 компанейских чисел. Я набрел на самый длинный цикл, известный на данный момент, и не верил своей удаче, как и множество математиков до меня. Вот чудесное доказательство того, что каждое число интересно: как выясняется, почти три десятка заурядных и, казалось бы, ничем не связанных обывателей образуют тайное общество, эдакую масонскую ложу целочисленного мира.

Я могу еще долго болтать об этой игре и написать о ней целую книгу. Знаете ли вы, что некоторые числа (например, 2 и 5) никогда не появляются в цепочках? Это трагическое состояние называют «неприкасаемость». Вы заметили, что в некоторых последовательностях числа взмывают до небес, а затем падают наземь? Например, 138 воспаряет до 179 931 895 322, а затем низвергается, словно Икар. Задумывались ли вы о том, могут ли какие-то числа разорвать узы гравитации и вечно лететь ввысь? Возможно, такое не исключено; пока что мы не знаем этого. Судьба некоторых небольших чисел (например, 276) до сих пор неизвестна: нам не под силу вычислить их аликвотные последовательности целиком, они будто самолеты, уходящие за горизонт, причем пилоты не оповестили нас, когда вернутся, да и вернутся ли.

Появится ли когда-нибудь у этой игры практическое применение? Не похоже. Впрочем, математик Годфри Харолд Харди утверждал, что изучение простых чисел никогда не принесет практической пользы, а сейчас на них построена система безопасности в интернете. Хотя теория чисел начинается с игры, она нередко приводит к глубоким результатам.

Не исключено, что когда-нибудь наша бесцельная игра с аликвотными последовательностями превратится в плодотворную, прибыльную отрасль науки. Так алхимия дала начало химии: трансмутация почище алхимических штучек. А пока я расскажу о пяти играх, которые позволят совершить прогулку по числовому полю, поупражняться на площадке с бесконечными циклами, неприкасаемыми числами и загадками, которые предстоит разгадать очередному 16-летнему подростку.

Китайские палочки

ПАЛЬЧИКОВАЯ ИГРА С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ЧИСЛАМИ

Я узнал об этой игре в начале 2020 года, пришел в восторг и решил поделиться со своими учениками в школе. Они восприняли это так, словно я пытался обучить их рукопожатию. Игра была не просто старой, а настолько древней, что я смахивал на идиота, пытаясь преподнести ее как новинку. Потом я понял, что все дело в разнице поколений. Для тех, кто родился после 1995 года, игра была хорошо знакомой, а те, кто родился до 1990 года, ничего о ней не слышали. Как со стационарными телефонами, только наоборот.

Как же «Китайские палочки» смогли так быстро и неоспоримо завоевать детские сердца? Что ж, если вы этого не знаете, мой седобородый друг, то вас ждет истинное удовольствие.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Как минимум два двуруких.

Что потребуется? Ничего. Начните так:

В чем цель? Добиться, чтобы противник разогнул все пальцы.

Какие правила?

1. По очереди касайтесь одной рукой любой руки противника. Он при этом должен разогнуть еще столько же пальцев, столько разогнуто у вас.

2. Если разогнуты все пальцы на руке, она «выбывает» из игры, и ее нужно сжать в кулак.

3. Если нужно разогнуть больше, чем пять пальцев, то рука остается в игре: нужно разогнуть на пять пальцев меньше, чем получается в сумме.

4. Во время хода вы можете вместо прикосновения к руке противника перераспределить количество разогнутых пальцев у себя. Так можно вернуть в игру выбывшую руку или вывести из нее действующую.

5. Если обе руки «выбыли» из игры, вы проиграли. Побеждает тот, кто остался в игре.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Существует 15 сочетаний разогнутых и согнутых пальцев на двух руках. Таким образом, теоретически в игре с двумя участниками есть в общей сложности 15 × 15 = 225 вариантов³⁰.

Анализ такого рода игр с математической точки зрения может дать два результата: (1) подсказать гарантированную стратегию, с помощью которой один игрок может выиграть, или (2) продемонстрировать, что такой стратегии нет, и достаточно опытные игроки всегда будут играть вничью.

К какой разновидности относятся «Китайские палочки»? Как это нередко бывает, ко второй. Но в отличие от крестиков-ноликов, где после девяти ходов на поле не остается ни одной пустой клеточки, идеальная партия в «Китайские палочки» может длиться вечно, войдя в бесконечный цикл, и прикосновение будет следовать за прикосновением, пока кто-нибудь не допустит ошибку, Солнце не поглотит Землю или – разница невелика – не прозвенит звонок на урок.

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Эта игра родилась в Японии пару десятков лет назад. Точнее сказать сложно.

В онлайн-опросе игроков нескольких поколений (в основном из США) лишь один респондент сообщил, что был знаком с этой игрой до 2000 года. Ориол Риполл, автор восхитительной книги «Играй с нами: 100 игр со всего света», рассказал мне, что на его родине, в Каталонии, игра стала популярной в начале нулевых, когда начала распространяться по миру.

У «Китайских палочек» много названий: «Пальчиковые шахматы», «Мечи», «Волшебные пальчики», «Сплит». (Мои ученики в Сент-Поле, штат Миннесота, называют ее просто «Палочки».) Есть версия, что игра называется так, потому что настоящие палочки для еды выпадут, если разжать руки³¹.

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что безвестные дети, придумавшие «Китайские палочки», ухитрились заново изобрести один из основополагающих принципов теории чисел.

Из школьной программы мы знаем, что числам несть конца. Независимо от того, насколько велико число (миллиард, триллион, квинтильон), всегда найдется еще большее. Но в суровом мире «Китайских палочек» есть одно непревзойденное число: исполинское, вошедшее в «Книгу рекордов Гиннесса» как наибольшее из всех чисел.

Я имею в виду четверку.

Сколько будет четыре плюс четыре? Не спешите отвечать «восемь». В мире «Китайских палочек» такого числа нет. С тем же успехом можно сказать, что сумма четырех и четырех – «пригоршня ушедших дней» или «хлопья завтрашнего пепла». Нет, любой ребенок от Барселоны до Киото скажет вам истинный ответ: 4 + 4 = 3.

Запутались? Не переживайте. Вот удобная таблица сложения:

Это не просто таблица сложения. Это таблица всех сумм, которые возможны в «Китайских палочках»³². Больше нечего вычислять. Если вы начинающий ученый, вам лучше выбрать другую тему для исследований.

Ну а что там с умножением? С учетом того что произведение – это результат многократного сложения (например, 4 × 3 означает 4 + 4 + 4), Исчерпывающая таблица умножения в мире «Китайских палочек» выглядит так³³:

Математики придумали для арифметики «Китайских палочек» специальное название: модулярная арифметика. В нашем случае – арифметика вычетов по модулю пять.

Идея проста: замените каждое число модулем разности с предыдущим числом, кратным пяти.

«Китайские палочки» – закольцованная игра, поскольку модулярная арифметика – это закольцованный мир, вселенная бесконечных циклов, где существует всего пять вариантов. «На пять больше, чем число, кратное пяти»? Это всего-навсего на ноль больше, чем следующее число, кратное пяти. «На единицу меньше, чем число, кратное пяти»? Это всего-навсего на четыре больше, чем предыдущее число, кратное пяти.

0, 1, 2, 3, 4: вот и все, что вам нужно.

Модулярная арифметика используется повсеместно. Например, когда вы называете международный номер банковского счета (IBAN), как определить, что номер подлинный? Может быть, вы поменяли местами две цифры, ошиблись или просто набрали на клавиатуре случайное сочетание цифр, надеясь задарма срубить бабла. Слишком сложно вести учет всех IBAN. Каким же образом компьютер понимает, что ваш номер подлинный?

Легко: любой подлинный IBAN при делении на 97 дает остаток 1. Если вы допустили опечатку (или ввели тарабарщину), остаток будет другим. Этот изящный трюк работает не только с IBAN: точно так же защищены кредитные карты, национальные идентификационные номера и даже коды на кассовых чеках в ресторанах быстрого питания.

Но самое распространенное приложение модулярной арифметики знакомо всем: исчисление времени.

Наши часы отсчитывают время на основе арифметики вычетов по модулю 12. Девять часов вечера плюс семь часов – не 16 часов, как скажет 20-палый инопланетянин, а четыре часа утра. Та же история с календарями. Наверняка на какой-нибудь вечеринке вам показывали фокус с вычислением в уме, на какой день недели приходится случайно выбранная дата в далеком прошлом или будущем. Так вот, он основан на арифметике вычетов по модулю семь (потому что в неделе семь дней).

Перстам времени несть числа. Но нам, смертным, легче представить закольцованное время, время бесконечно повторяющихся циклов. Мы перекроили бесконечную игру времени на свой лад, чтобы совладать с ней.³⁴

«Китайские палочки» родились на японском школьном дворе и перебирались с континента на континент благодаря детям, которых больше интересовало, как весело провести время, а не как его отсчитывать. Лишь после того как весь мир насладился этой игрой, взрослые спохватились и поняли, что изобретательные и непоседливые дети самостоятельно постигли древнюю и фундаментальную истину о закольцованности чисел.

А кроме того, эта игра облегчает запоминание таблицы умножения.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

«Китайские палочки» по модулю N. Играйте так, будто у вас не пять пальцев, а шесть, семь или 99. Понадобятся карандаш и бумага!

Порог. Никакой модулярной арифметики. Когда нужно разогнуть больше пяти пальцев, рука автоматически выбывает из игры.

Мизер. Все наоборот: вы выигрываете, если обе руки выбывают из игры.

Один палец – проиграл. Если одна рука выбывает из игры, а на другой разогнут один палец, вы проиграли. Если обе руки выбывают из игры, вы, естественно, тоже проигрываете.

Солнца. Разогните вначале сразу четыре пальца, а не один. Что интересно, эта игра никогда не возвращается в исходную позицию.

Зомби. Если в игре принимают участие больше двух человек и обе ваши руки «выбыли», продолжайте играть одной рукой с одним разогнутым пальцем. Вы можете касаться других игроков, но никто не может коснуться вас.