Kitobni o'qish: «Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий»

Переводчик Мария Прилуцкая

Научный редактор Сергей Парновский, д-р физ. – мат. наук

Редактор Александра Бачурина

Издатель П. Подкосов

Руководитель проекта И. Серёгина

Корректоры М. Миловидова, О. Петрова

Компьютерная верстка А. Фоминов

Дизайн обложки Ю. Буга

Иллюстрация на обложке Legion-Media

© Attilio Rigamonti, Andrey Varlamov, Jacques Villain, 2014

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2020

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

⁂

Издание подготовлено в партнерстве с Фондом некоммерческих инициатив «Траектория» (при финансовой поддержке Н.В. Каторжнова).

Фонд поддержки научных, образовательных и культурных инициатив «Траектория» (www.traektoriafdn.ru) создан в 2015 году. Программы фонда направлены на стимулирование интереса к науке и научным исследованиям, реализацию образовательных программ, повышение интеллектуального уровня и творческого потенциала молодежи, повышение конкурентоспособности отечественных науки и образования, популяризацию науки и культуры, продвижение идей сохранения культурного наследия. Фонд организует образовательные и научно-популярные мероприятия по всей России, способствует созданию успешных практик взаимодействия внутри образовательного и научного сообщества.

В рамках издательского проекта Фонд «Траектория» поддерживает издание лучших образцов российской и зарубежной научно-популярной литературы.

Благодарности

Авторы посвящают эту книгу своим внукам, которые вступают в мир, преображенный физиками; мир, значительно отличающийся от того, который в соответствующем возрасте открывался их бабушкам и дедушкам; мир более удобный, где куда сложнее заскучать, но где по-прежнему не так-то просто найти свое место и обрести счастье:

Маргерит Селене Строцци Ригамонти,

Матильде и Лукасу Шмитт,

Михаилу Варламову.

Наконец, мы благодарим всех, кто согласился критически прочесть нашу рукопись, и тех, кто, насколько это возможно, помог нам не потеряться среди повседневных проявлений физики и найти наш путь в сложнейшей науке, о которой не знают всего даже профессионалы.

В частности: Алена Аспекта, Джузеппе Балестрино, Себастьяна Балибара, Клода Бертье, Патрика Брюно, Марка де Буасьё, Александра Буздина, Элен Бушиа, Александра Валанса, Юрия Гальперина, Сильвию Герен, Юрия Ерина, Мориса Голдмана, Дениса Гратиаса, Изабель Грило, Гая Делавала, Роберта Дотрэ, Анн-Мари Казаба, Кристиана Кароли, Дэвида Кере, Жака Ламберта, Дмитрия Ливанова, Уильяма-Луи Мама, Валери Массон-Дельмот, Кейзо Мурата, Филиппа Нозьера, Сергея Парновского, Жан-Луи Потра, Пьера Пуна, Оливье Пьер-Луи, Реймонда Пьерумбера, Альберта Стасенко, И. Сайто, Сергея Салихова, Стефанию Тантони, Эрве Тис, Игоря Тралле, Стефана Фова, Жан-Пьера Халина, Кэтрин Хил, Алексея Чепелянского, Сергея Шарапова, Даниела Эстива.

Предисловие

Мы не всегда осознаем, насколько наша повседневная жизнь наполнена проявлениями физики. Эта книга адресована тем, кто хочет понять окружающие нас удивительные природные явления. Почему небо голубое? Как появляется радуга? Что вызывает приливы и отливы? Почему пивная и морская пена белого цвета? На эти и другие вопросы мы отвечаем в первой части.

Список физических явлений, с которыми мы сталкиваемся каждый день, значительно обогатил сам человек. Как работают микроволновая печь или индукционная плита? Как вырабатывается электрическая энергия? Окружающие нас изобретения стали предметом рассмотрения второй части этой книги.

Третья часть – гастрономическая. Она посвящена искусству наших друзей – поваров. Если один цыпленок в два раза больше другого, его нужно жарить в два раза дольше? Конечно, мы не собираемся учить поваров готовить, но, возможно, сумеем ответить на некоторые вопросы, возникающие в связи с их искусством, или, по крайней мере, предложим им интересное занятие на то время, пока очередное блюдо томится в духовке.

Четвертая, заключительная часть – наиболее амбициозная. В ней мы пытаемся прояснить некоторые из самых загадочных аспектов современной науки, объяснить, как в течение последнего столетия привычный взгляд на природу коренным образом изменился благодаря открытой в начале века новой области физики – квантовой механике; и как на пороге нового тысячелетия эти потрясения стали предметом непосредственных экспериментальных наблюдений.

Не слишком ли на многое мы замахнулись? Надеемся, что читатель, изучая первые три части, обретет вдохновение и усердие, необходимые для освоения четвертой части.

Мы предполагаем, что наш читатель обладает некоторой научной подготовкой – будет достаточно математического багажа бакалавра. Но, насколько это возможно, мы избегали сложностей и использовали простой язык. Точно так же мы по мере возможности старались обходиться без уравнений и формул, но иногда они упрощают восприятие. Когда опускаются целые страницы вычислений, то время от времени одно или два уравнения разбавляют монотонность научного текста и привлекают внимание там, где это необходимо. В любом случае наш читатель имеет большое преимущество по сравнению с работающим с учебником старшеклассником или студентом: он может пропустить отрывки, которые покажутся ему чересчур сложными или, наоборот, элементарными, и обратиться к другим главам, которые, как мы надеемся, придутся ему по вкусу.

Чтобы разбудить читателя, задремавшего за чтением, мы предлагаем несколько упражнений: задачи и несложные эксперименты.

Книга во многом навеяна работами выдающихся ученых, в том числе публикациями рано ушедшего из жизни замечательного физика и популяризатора науки Льва Асламазова. Главы 1, 4, 6 и 8 развивают темы, которым он посвятил ряд статей. Другие главы представляют темы, рассматриваемые ранее в книгах «Удивительная физика» А. Варламова и Л. Асламазова и «Чудесный калейдоскоп физики» (Rigamonti A., Varlamov A. Magico caleidoscopio della fisica. La Goliardica Paveze, 2007). Все они были дополнены и обновлены.

Часть 1
Физика вокруг нас

Согласно этимологии, физика – это наука о природе (др.-греч. φύσις) или, по меньшей мере, о природных явлениях. Действительно, созерцание этих явлений поставило перед людьми первые вопросы физики: среди них, например, приливы, поразившие марсельца Пифея, когда он направил свой корабль за пределы родного Средиземного моря; радуга, возникновение которой объяснил Декарт; видимое движение планет на небе, ошибочно описанное Аристотелем и стоившее многих неприятностей Галилею; форма капель и пузырей, интересовавшая Пьера-Симона Лапласа и Томаса Юнга. Многие из этих, казалось бы, простых вопросов нашли свои ответы только в XIX веке. И в прошлом столетии Альберт Эйнштейн все еще задавался вопросом о форме излучин реки… Некоторым из этих явлений мы и посвящаем первую часть книги.

Глава 1

Реки, меандры и озера

Течение воды в реке – сложный процесс, который происходит в неоднородной среде. Хотя наука не объясняет всех нюансов ее движения, она дает ключ к пониманию основных свойств этого явления.

Сколько раз, гуляя по тропе вдоль ручья или реки, мы задавались вопросом: почему поток вместо кратчайшего пути (прямой линии) петляет из стороны в сторону? Конечно, некоторые его части почти прямые – из-за особенностей рельефа местности или проложенного человеком русла. Однако, когда водный поток свободно распространяется по равнине, обычно он вырисовывает петли и изгибы. Иногда образующиеся петли повторяются относительно регулярно (илл. 1). Как объяснить появление этих излучин, или меандров?

Чаинки в чашке…

Одним из первых, кто задумался о причинах формирования этих изгибов, был Альберт Эйнштейн. В 1926 году он представил Прусской академии наук доклад без каких-либо уравнений, озаглавленный «Причины образования извилин в руслах рек и так называемый закон Бэра». В чем же суть этого знаменитого закона? Основываясь на наблюдениях выдающихся географов XIX века, естествоиспытатель Карл Бэр пришел к выводу, что в Северном полушарии, в равнинной местности, правый берег рек обычно более крут, чем левый, а в Южном полушарии все наоборот: левый берег круче правого.

Прежде чем перейти к изучению излучин рек и формы берегов, Эйнштейн предлагает поставить небольшой опыт, воспроизводящий повседневное привычное нам действие: размешать ложечкой сахар в чашке чая. В этом эксперименте Эйнштейна заинтересовало явление, которое на первый взгляд кажется противоречащим здравому смыслу: вызываемое ложкой вращение жидкости создает вертикальные вихри (илл. 2). Чтобы их увидеть, Эйнштейн добавляет в воду чаинки. При размешивании жидкости ложкой видно, что чаинки собираются в центре дна чашки (илл. 3). Предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно!

Вот как Эйнштейн объясняет это явление: в результате вращения на жидкость действует центробежная сила, отбрасывающая ее от оси вращения, и она тем сильнее, чем быстрее вращение (см. главу 4, «Еще одна фиктивная сила: центробежная»). У стенок чашки жидкость тормозится трением, поэтому вращается немного медленнее, чем в центре чашки. «В частности, – добавляет Эйнштейн, – угловая скорость вращения, а следовательно, и центробежная сила у дна чашки меньше, чем у краев. Таким образом возникает циркуляция жидкости, показанная на илл. 2, которая и заставляет чаинки собираться в центре чашки».

4. Циркуляция воды на изгибе реки по Эйнштейну. Центробежная сила, направленная от внутреннего берега к внешнему, действует в каждой точке жидкости. Но вблизи дна ее действие уменьшается из-за трения, и в основном потоке возникает вертикальная циркуляция. Она захватывает песок с внешнего берега и относит во внутреннюю часть меандра

Как меняется русло рек?

Теперь проанализируем движение воды в той части реки, где она образует излучину. Оно аналогично движению воды в чашке, отмечает Эйнштейн. Так же как жидкость в ходе эксперимента тормозилась стенками чашки, скорость потока уменьшается трением в непосредственной близости от дна: таким образом, центробежная сила, направленная наружу от поворота, здесь меньше, чем у поверхности. Таким образом, возникает вертикальная циркуляция, обращенная во внешнюю сторону излучины около поверхности и внутрь вблизи дна (илл. 4).

Это завихрение переносит внутрь изгиба землю и гальку, которые вымывает из внешнего берега. На внутреннем берегу образуется намыв точно так же, как возникал «нанос» чаинок в центре дна чашки в предыдущем опыте. В обоих случаях, когда вода поднимается и под действием силы тяжести оставляет все, что влекла за собой, происходит осаждение. Эрозия внешнего берега и намыв на внутреннем берегу постепенно превращают едва заметный изгиб в меандр с крутым внешним и пологим внутренним берегом. Вследствие продолжающейся эрозии русло реки, скорее всего, в конце концов сольется у начала и конца изгиба и возникнет остров (илл. 5 и 6).

Вышеизложенные соображения делают понятным различие между формой внешнего и внутреннего берегов в излучине, но это еще не все. Как объяснить закон Бэра, согласно которому формы правого и левого берегов различны не только на излучинах? И как объяснить наблюдения географов, которые указывают, что в Северном и Южном полушариях крутость берегов противоположна? Читатель уже догадывается, что здесь, вероятно, играет важную роль вращение Земли, мы вернемся к нему в главе 4, «Возвращение к закону Бэра».

Какую форму принимают меандры?

Форма русла реки во многом зависит от рельефа местности, по которой река протекает. В районе с неоднородным ландшафтом река петляет, избегая неровностей и выбирая путь с наибольшим уклоном. Но и на равнине прямолинейность русла не сохраняется. Небольшой обвал земли или падение дерева на берегу заставляют поток образовать изгиб, который может постепенно увеличиваться, образуя меандр в соответствии с описанным выше процессом.

Какую именно форму обычно принимают меандры реки, текущей по равнине? В 1960-х годах геологи пришли к выводу, что каждая извилина имеет специфическую форму – такую, которую принимает гибкий стержень, если его согнуть, приблизив концы друг к другу (илл. 7). Она представляет собой эйлерову кривую, названную так в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707–1783), который первым решил эту задачу. Работа Эйлера по-прежнему широко цитируется в руководствах о прочности балок – те начинают изгибаться, если слишком сильно надавить на их концы (см. врезку в главе 1, «Опыт с продольным изгибом»).

7. Форма, принимаемая упругим стержнем, концы которого зафиксированы в A и B, называется кривой Эйлера. Угол Ѳ между касательной и прямой AB позволяет определить кривизну dѲ/ds, производную от Ѳ относительно пути, пройденного по кривой. Эйлерова кривая минимизирует среднюю квадратичную кривизну стержня, то есть минимизирует интеграл ∫(dѲ/ds)²ds, где Ѳ – угол между касательной и некоторым выбранным направлением, а s – длина вдоль кривой. Интеграл берется вдоль всего стержня

Это заключение согласуется с ранее проведенными лабораторными экспериментами, в которых моделировался процесс эволюции русла реки «в идеальных условиях». Оказалось, что в изначально прямолинейном русле очень быстро образуются меандры, хорошо описываемые кривой Эйлера (илл. 8a). Очевидно, что в природе поведение русла реки существенно сложнее «лабораторного» русла (например, из-за неровной местности). И все же подобные структуры, обычно периодические, возникают естественным образом, когда река течет по равнине (илл. 8b). Как правило, чем шире река, тем больше на ней излучин.

Термин «меандры» породила очень извилистая турецкая река Большой Мендерес (тур. Büyük Menderes), название которой происходит от греческого Μαιανδροs («меандрос»). Помимо излучин реки, меандрами называют также извилистые потоки, которые образуются на поверхности ледников, или океанические течения, такие как Гольфстрим.

Для всех этих явлений, происходящих в однородных средах, случайные процессы способствуют образованию более или менее периодических излучин, однако причины их возникновения различны.

8. а. Меандры, появившиеся в лабораторных условиях в первоначально прямолинейном канале, проложенном в однородной рыхлой среде. Через несколько часов под действием эрозии он изгибается и появляются меандры. Соответствующая кривая Эйлера обозначена пунктиром.

b. Форма природной реки (Потомак в Поу-Поу, США) и ее приближение эйлеровой кривой (пунктирная линия)

Опыт с продольным изгибом

Возьмем плоскую пластиковую линейку, поставим ее на стол и надавим на верхний конец. Пока приложенная сила невелика, линейка остается прямой (см. илл. ниже). Но при определенном давлении линейка сгибается: это явление называется продольным изгибом. Оно возникает, когда сила, действующая на концы, превышает некоторый предел, который тем ниже, чем длиннее и гибче линейка. Очевидно, архитекторы и строители не должны превышать этот предел, когда, например, подпирают террасу металлическими опорами…

В нашем опыте, когда сила воздействия превысила этот предел, линейка согнулась вправо. Но с той же вероятностью она могла бы согнуться и влево! Эту ситуацию можно сравнить с выбором, стоящим перед путешественником, который оказался на незнакомой развилке. Физическое явление, которое открывает две равновероятные возможности изменения какого-либо параметра, ученые называют бифуркацией (от лат. bifurcus – «раздвоенный»).

Явление продольного изгиба

a. До тех пор, пока вертикальная сила F, прилагаемая к линейке, остается меньше предела F₀, линейка не деформируется.

b. Как только F > F₀, линейка начнет сгибаться (и даже может сломаться, если сила станет слишком большой).

c. Изменение угла Ѳ₀, который образует вертикальная линейка в зависимости от величины силы F. Когда последняя достигает величины F₀, линейка может изогнуться вправо (Ѳ₀ > 90˚) или влево (Ѳ₀ < 0): кривая изменения угла Ѳ₀ имеет две ветви, которые создают бифуркацию

Озера и реки

В большое озеро обычно впадает много водных потоков. Например, в Женевское озеро втекает не только Рона, но и небольшие реки, такие как Дранс на юге и Вёвеж на севере. А вытекает из него одна Рона. И это общее утверждение: независимо от количества впадающих в озеро рек, из него никогда не вытекает более одной! Как это объяснить?

Причина заключается в том, что вода из озера вытекает по самому глубокому (низкому) руслу, которое она находит. Если не принимать во внимание исключительные случаи паводков, то обычно поверхность воды в озере находится на уровне самого низкого из возможных мест вытекания, поэтому из него выходит только один поток. Даже если из озера в данный момент вытекает несколько рек, такая ситуация будет нестабильной: ее можно наблюдать только на недавно сформировавшихся озерах. Действительно, самый глубокий поток с более быстрым течением вызовет и более сильную эрозию. В результате его пропускная способность будет увеличиваться, что приведет к снижению уровня озера. Поэтому другие русла будут постепенно мелеть и в конце концов заполнятся грязью. Таким образом, из всех вытекающих из одного озера рек «выживает» только самая глубокая.

Аналогичными свойствами обладают и реки. Хорошо известно, что реки способны сливаться (когда одна впадает в другую), в то время как разветвляются они очень редко. Поток воды повсюду следует по пути с наибольшим уклоном, и маловероятно, что в каком-то месте этот путь раздвоится. Лишь одна специфическая область является исключением: это устье реки, то есть место ее впадения в море, водохранилище, озеро или другую реку. Здесь река иногда разделяется на несколько рукавов, образуя дельту (илл. 9). Дело в том, что вдали от моря поток выстраивает свой путь через складки местности, которые формировались долгие миллионы лет. В дельте же, напротив, река сама формирует свои берега, при этом вынося песок в море и перекрывая этими отложениями свой путь.

Итак, река добралась до моря, и эта глава подходит к концу! Мы еще вернемся на морской берег в главе 5, чтобы обсудить другое удивительное природное явление – прилив.

Глава 2

Искусственные и природные волноводы

Каким чудом звук, порожденный вблизи австралийского побережья, достигает Бермудских островов в десятках тысяч километров от него? Чтобы это понять, проведем параллель между распространением звука и света, для описания которого мы привыкли использовать понятие «луч». Затем мы погрузимся в океан в поисках таинственного волновода, который может передавать звук на огромные расстояния.

За последние 20 лет огромное, постоянно растущее количество данных перемещается с одного континента на другой благодаря оптоволоконным кабелям, пересекающим океаны (илл. 1). На илл. 2 показан путь сообщения, отправленного с вашего компьютера или телефона американскому или японскому коллеге. Конечно, эти световые волны слабеют во время пути, но затухание относительно невелико, а необходимое количество промежуточных станций удивительно мало.

Распространение звуковых волн

Оказывается, что океан способен выступать в качестве акустического волновода. Это удивительное явление обнаружили советские и американские ученые в 1940-х годах: звуковые волны, распространяющиеся в океане, иногда обнаруживаются в тысячах километров от их источника! В одном из самых впечатляющих экспериментов звук подводного взрыва у побережья Австралии обогнул половину земного шара и был зарегистрирован на уединенном архипелаге Атлантического океана – Бермудских островах. Звуковой сигнал прошел под водой более 19 600 км – абсолютный рекорд!

Интенсивность звукового сигнала падает по мере удаления от источника. Действительно, излучаемая источником энергия распределяется равномерно во всех направлениях. При этом в отсутствие затухания общая энергия звуковой волны остается неизменной. На расстоянии R от источника эта энергия распределяется по площади сферы, пропорциональной R². Таким образом, интенсивность звука при удалении от источника падает по закону 1/R² (илл. 3). И это еще не учитывая рассеивающих явлений, поглощения и диффузии в среде, где распространяется звук!

Чтобы австралийский взрыв был услышан на Бермудских островах, интенсивность дошедшей туда волны должна оказаться достаточно заметной. А для этого необходимо, чтобы излучаемая источником волна была направлена на архипелаг и не рассеивалась в других направлениях. Чтобы волна распространялась соответствующим образом, нужно, чтобы у волновода были полностью отражающие стенки: непроницаемые и не поглощающие звук.

На каком же принципе основывается этот «акустический волновод» в океане? Можно предположить, что он аналогичен принципу оптических волноводов, который предполагает полное внутреннее отражение волн от стенок (см. главу 2, «Отражение и преломление световых волн»). Значит, происходит полное отражение акустических волн на границе между водой и воздухом? Нет! Скорость звука в воде намного выше, чем в воздухе (в холодном Гренландском море она составляет в среднем 1411 м/с, в теплом Средиземном море – 1554 м/с, в то время как скорость звука в воздухе при нормальных условиях равна 335 м/с). Это означает, что вода для звука является средой гораздо менее «плотной», чем воздух, – ситуация, прямо противоположная случаю распространения света.

Отсюда следует, что условия полного отражения для звуковой волны, распространяющейся из воды в воздух, не соблюдаются. Когда исходящая от дна моря звуковая волна доходит до поверхности, всегда возникают преломленная и отраженная волны. Еще одно следствие: в случае акустической волны преломленный луч не отклоняется от вертикали, а, наоборот, приближается к ней.

Значит, предположение, что поверхность океана может быть отражающей поверхностью, неверно? Не так быстро! Фактически доля энергии, которая преломляется на границе между водой и воздухом, во многом зависит от угла падения и соотношения скоростей между средами. В случае очень разных скоростей, как в нашей ситуации, интенсивность преломленной (вышедшей в воздух) волны невелика вне зависимости от угла падения. Таким образом, на поверхности океана отражение почти полное: доказано, что не более 1 % интенсивности падающей звуковой волны, распространяющейся почти горизонтально, проходит из воды в воздух. Следовательно, поверхность океана, похоже, способна хорошо отражать звук из глубин…

Так что же, мы, наконец, нашли объяснение распространения звука на большие расстояния в океанах? Увы, нет – по двум причинам. Во-первых, часть энергии все равно теряется каждый раз, когда звуковой луч попадает на поверхность океана. Во-вторых, она почти всегда неровная, что препятствует отражению звуковой волны. В конечном счете поверхность океана, за исключением случаев штиля, не может сформировать верхнюю границу природного океанического волновода, который мы пытаемся разыскать. Что касается дна океана, то оно еще меньше подходит для образования такой границы. Донные отложения не отражают звук, а, наоборот, склонны поглощать его. Таким образом, стенки океанического проводника звука должны находиться где-то между дном и поверхностью… именно здесь мы их и обнаружим! Чтобы продолжить наше расследование, давайте подробнее рассмотрим процесс распространения звука в океане.

Скорость звука в морской воде

В такой жидкости, как морская вода, скорость звука зависит от ее свойств, которые неодинаковы в разных частях океана. Здесь и находится ключ к решению нашей задачи! В зависимости от содержания соли, температуры и давления воды, скорость звука варьирует от 1400 до 1540 м/с. Например, давление на глубине возрастает, что, как правило, делает звук быстрее. Также звук распространяется быстрее при более высокой температуре. Но более плотная холодная вода опускается на дно океана. Эти два противодействующих эффекта объясняют изменение скорости звука в зависимости от глубины (илл. 5). В непосредственной близости от поверхности резкое понижение температуры сначала приводит к постепенному уменьшению скорости звука c. На больших глубинах изменение температуры не так ощутимо, преобладает эффект увеличения давления, и это приводит к возрастанию c по мере приближения ко дну. Глубина z_m чаще всего составляет от 1000 до 1200 м, но может достигать и 2000 м на низких широтах, где теплым остается более толстый слой воды. В высоких широтах, наоборот, z_m может составлять всего 500 или даже 200 м, или еще меньше в полярных регионах. Изменение солености в зависимости от глубины, как правило, незначительно и не оказывает заметного эффекта.

Отражение и преломление световых волн

Напомним свойства отражения и преломления в случае оптики. Если луч света из среды 1 попадает на границу (предположительно плоскую) со средой 2, часть света отражается в среду 1, а другая часть проходит в среду 2 (см. илл. а): это явление преломления. Угол преломления α₂ связан с углом падения α₁ законом Снеллиуса:

где c₁ и c₂ – скорости света соответственно в средах 1 и 2.

Эту формулу можно также написать, используя индексы преломления сред 1 и 2, соответственно n₁ = c/c₁ и n₂ = c/c₂, где c – скорость света в вакууме.

Если световой луч попадает на поверхность с достаточно большим углом падения α₁, то величина становится больше 1, и не существует такого значения угла α₂, которое соответствовало бы приведенной выше формуле. Таким образом, преломление луча оказывается невозможным, и происходит полное внутреннее отражение (см. илл. b). Это явление используется в оптических волноводах: луч претерпевает целый ряд отражений внутри проводника, и поэтому свет распространяется по нему с минимальными потерями. Самый известный пример оптического волновода – оптоволокно.

Как и световые волны, звуковые волны могут отражаться и преломляться. Формула Снеллиуса остается применимой и к описанию поведения «звуковых лучей», но c ₁ и c ₂ в этом случае, очевидно, представляют собой скорости звука, а не света.

Преломление и отражение светового луча (красные стрелки), выходящего из воды (показатель преломления равен 1,33) в воздух (показатель преломления близок к 1,0)

Опыт с лазерными указками демонстрирует явление полного отражения на границе между водой и воздухом. Луч, падающий на поверхность воды под небольшим углом α (зеленый), подвергается лишь частичному отражению: часть энергии покидает воду с преломленным лучом, и на экране появляется световое пятно. Скользящий луч (красный) испытывает полное внутреннее отражение

Когда звук распространяется зигзагами

Теперь рассмотрим звуковой луч, источник которого находится на глубине z_m. Независимо от того, пойдет ли он вверх или вниз, в области, в которой он оказывается, скорость звука выше, чем на оси. Таким образом, в результате последовательного прохождения слоев воды на своем пути звуковой луч постепенно искривляется, вплоть до скользящего падения под таким углом, для которого происходит полное отражение (см. врезку). Тогда он начинает искривляться в направлении увеличения (или уменьшения) глубины, пока снова не достигнет глубины z_m, где изменение скорости звука меняет знак. Таким образом, луч движется по зигзагообразной траектории между двумя плоскостями (илл. 6).

Эти две плоскости эквивалентны верхней и нижней границам волновода, у которого нет боковых стенок. Тем не менее благодаря описанному явлению звук способен распространяться в океане на большие расстояния. Наконец-то мы закончили расследование!

Эффективность океанического волновода

Не все исходящие из источника звуковые лучи попадают в этот «океанический волновод». Первоначально звук из источника распространяется во всех направлениях, и превращение его в «звуковой луч» зависит от угла, образующегося между ним и вертикалью. Если этот угол достаточно велик, то звуковой луч распространяется безгранично. Если же угол слишком мал, звуковой луч достигнет поверхности или дна океана. Но дно океана неровное, и оно, как и поверхность (кроме редких моментов, когда она совершенно спокойна), рассеивает звук. Таким образом, море, как правило, может послужить волноводом только для звуковых лучей, которые не достигают ни поверхности, ни дна океана. На практике существуют «акустические каналы», по которым звук передается на большие расстояния, и «теневые зоны», куда звук никогда не попадает.

Звуковые волноводы, созданные человеком

Распространение звука в газах или жидкостях представляет собой возмущение, периодически изменяющее в пространстве и времени плотность частиц, эту среду составляющих. Любой выделенный объем жидкости локально подвергается периодической череде сжатий и расширений.

Скорость звука в жидкостях и твердых телах, вообще говоря, выше, чем в газах. Это и не удивительно, ведь в вакууме звук не распространяется вообще, а разреженный газ имеет плотность промежуточную между вакуумом и конденсированным веществом. Однако если скорость звука в двух средах сильно отличается, то передача звука из одной в другую может быть затруднена. Это явление используется в стетоскопе – инструменте, который доносит в ухо врача звуки из грудной клетки пациента. Первоначально он представлял собой простую деревянную трубку.

Другой пример волновода, основанного на явлении полного отражения, которое возникает при переходе звука из воздуха в твердое тело, – это старинная система акустических труб, соединяющая различные уровни на кораблях. Сделанная обычно из меди или латуни, она передает приказ с капитанского мостика в машинное отделение. В таком волноводе волна практически одномерна – это означает, что интенсивность звуковой волны остается постоянной по всей длине трубы, даже на удалении от источника. Затухание звука в воздухе настолько низкое, что, если бы можно было построить прямую трубку длиной 750 км и избежать поглощения звука стенками, она послужила бы телефоном между Парижем и Марселем. К сожалению, скорость звука в воздухе составляет всего 340 м/с, так что слова из Парижа в Марсель добирались бы более получаса…

Изучение распространения звука в океанах серьезно интересовало британских и американских ученых во время Второй мировой войны. Тогда речь шла об обнаружении немецких подводных лодок раньше, чем они подплывут достаточно близко, чтобы атаковать американские или английские суда. Акустическое обнаружение подводных лодок с помощью сонаров сыграло важную роль в битве за Атлантику: в 1943 году, после тяжелых потерь, союзники сумели уничтожить значительное количество немецких подлодок, установив тем самым свое превосходство на море.

6. Акустический луч (красный), излучаемый на глубине z_m, проходит между двумя плоскостями, от которых он полностью отражается. Зависимость скорости звука от глубины c (z) в океане представлена зеленой кривой. Значения z₁ и z₂ (считаем, что глубина равна 0 на поверхности) зависят от угла падения луча на глубине z_m и определяются законом Снеллиуса: c (z₁) = c (z₂) = c_m/sin α (z_m)

Простая модель

Интересно рассмотреть случай, когда скорость звука c – простая функция глубины z. Например, функция, имеющая минимум в z_m: c (z) = c (z_m) + k (z – z_m) ², где k – константа. В этом случае кривая, иллюстрирующая изменение скорости звука в зависимости от глубины (зеленая на илл. 5 и 6), является параболой. На самом деле это приближение почти всегда справедливо для глубин z, близких к z_m. Звуковой луч, немного отклоняющийся от горизонтали, следует по синусоиде, период которой не зависит от угла падения, так что все звуковые лучи в одной вертикальной плоскости сходятся в точках оси z = z_m (илл. 7). Эти точки аналогичны фокусам оптических приборов, таких как линзы, в которых сходятся падающие световые лучи, поэтому наблюдается явление фокусировки звуковых волн. Параболическая форма кривой хорошо описывает изменение скорости звука в зависимости от частоты в глубинах океана. Однако, поскольку кривая c (z) на практике не является параболой, то фокусировка звука не идеальна.

Заключение

Когда звук излучается на соответствующей глубине в море, значительная часть звуковой энергии оказывается заперта в «акустических каналах». Достаточное ли это объяснение для прохождения звука от Австралии до Бермудских островов? Попробуем подсчитать. Хотя рассмотренный нами механизм описывает именно распространение звука в океане, остаются возможными еще два направления. Звуковая волна, излучаемая в середине океана, проходит в течение времени t расстояние R порядка с_зв. t, где с_зв. – средняя скорость звука в воде, скажем, 1500 м/с. Даже если предполагается, что потери равны нулю, энергия звуковой волны должна распределяться по всей, примерно цилиндрической, поверхности зоны 2πRh, где разница в глубине h между верхней и нижней границами канала может достигать глубины океана. Таким образом, интенсивность звука уменьшается как 1/R по мере удаления от источника. Это происходит не так резко, как затухание, пропорциональное 1/R² звука в воздухе (илл. 3), но и оно едва ли оставляет надежду на то, что звук, раздавшийся в Австралии, будет услышан на Бермудах. Однако если приемник звука находился в точке фокуса, где сходятся звуковые лучи (илл. 7), а величина h невелика, то в принципе отголосок взрыва мог быть услышан. Кроме того, можно допустить, что колебания солености и температуры в толще океана на пути звуковых лучей создают и вертикальные отражающие стенки, препятствующие рассеянию энергии звуковой волны. И все же удивительно, что звук достигает Бермудских островов в обход мыса Доброй Надежды, учитывая дополнительное поглощение энергии, например, пузырьками воздуха или планктоном.

8. Пример миража в Ливийской пустыне. По мере приближения к раскаленному песку солнечные лучи встречают все более горячий воздух (и, следовательно, среду с уменьшающимся показателем преломления): таким образом, они, как и звуковые лучи на илл. 7, все сильнее отклоняются вплоть до отражения. Наблюдателю кажется, что в продолжении этих отраженных лучей он видит воду

Распространение звука в естественных подводных каналах – не единственный случай волновода, созданного природой. Еще несколько примеров связаны со спецификой распространения электромагнитных волн. Наиболее эффектны миражи, которые возникают из-за непрямолинейного распространения света в очень неравномерно нагретой атмосфере (илл. 8). Кроме того, можно вспомнить короткие радиоволны, которые распространяются на большие расстояния благодаря отражению в ионосфере – верхней области атмосферы на высоте от 60 до 800 км. При определенных условиях радиоприемник может принимать радиопередачи из других стран.

Глава 3

Цвета моря и неба

Когда стоит хорошая погода, днем небо голубое, а в сумерках – алое. Через несколько часов опускается ночная тьма, и на черном небе вспыхивают мириады звезд. Днем облака белые или сероватые. В дождливую погоду иногда появляется радуга… Какие физические принципы объясняют все эти цвета? Ответ вы найдете в этой главе. И поскольку речь идет о небесах, мы поговорим и об их крылатых обитателях– птицах и насекомых.

Море и небо дарят нам разнообразные цвета, вдохновившие многих художников. Аркадий Рылов воспроизвел эти цвета на картине, выставленной в Третьяковской галерее в Москве (илл. 1). Белые хмурые облака плывут по небу всех оттенков синего. Поверхность моря более темная, подошвы волн – почти черные, а гребни местами образуют белые «барашки».

Цвет моря и сила ветра

Количество «барашков» и высота волн зависят от скорости ветра. Эта информация имеет важное значение для моряков: для определения скорости ветра они пользуются эмпирической таблицей, которую разработал британский адмирал сэр Фрэнсис Бофорт (1774–1857) (см. главу 2). На картине Рылова наличие небольшого количества «барашков» свидетельствует о ветре 12–19 км/ч, то есть 7–10 морских узлов. Такой ветер считается слабым и соответствует силе в 3 балла по шкале Бофорта.

Шкала Бофорта

Представление о скорости ветра можно получить не только с помощью шкалы Бофорта, но и по контрасту между яркостью моря и неба. Они одинаковы, когда на море штиль, а горизонт едва различим. Как правило, легчайшего ветра достаточно, чтобы встревожить поверхность воды и создать контраст: небо ярче моря, горизонт выглядит как четкая линия. Это явление было изучено несколько десятилетий назад российскими учеными на борту исследовательского судна «Дмитрий Менделеев»

Яркость морской поверхности зависит от угла наблюдения. Действительно, луч света, падающий на поверхность моря, как частично преломляется, так и частично отражается (см. главу 2, «Отражение и преломление световых волн»). Интенсивность отраженного луча зависит, в частности, от показателя преломления воды и угла падения. Чем острее угол, тем сильнее отражение. Поэтому поверхность моря кажется более яркой у горизонта, чем вблизи наблюдателя.

А что насчет его цвета? Цвет поверхности практически непредсказуем, так как зависит от многих факторов, таких как глубина моря, положение солнца, цвет неба, наличие взвешенных частиц и водорослей и т. д. Все эти факторы влияют на отражение света от поверхности, его рассеяние и поглощение в воде. И все же море чаще всего синее. Причина в том, что вода поглощает меньше света в диапазоне между 400 и 500 нм (синего), чем в остальной части видимого спектра (см. ниже). Да, вода поглощает мало синего! Стакан воды выглядит совершенно прозрачным. Но начиная с толщины в несколько метров вода начинает заметно поглощать свет.

Цветовое зрение

Различные области электромагнитного излучения и их применение. Узкая область между 400 и 800 нм (то есть на частотах между 800 и 400 ТГц) соответствует видимому спектру. Каждое излучение, или «спектральный цвет», обладает своей длиной волны λ, которая связана с частотой υ отношением λ = c/υ, где c – скорость света в вакууме

Человеческий глаз чувствителен к электромагнитному излучению волн длиной от 400 до 800 нм (см. илл.). Объекты кажутся цветными, либо когда они излучают свет, будучи достаточно нагретыми (как кусок раскаленного железа), либо когда они освещены и «рассеивают» (иными словами, возвращают) часть полученного света извне. Свет, попадающий в глаза, обычно полихроматичен, то есть содержит излучения с различными длинами волны в разных пропорциях. Эта композиция и определяет воспринимаемый нами цвет. Таким образом, объект, поглощающий все световое излучение, кажется черным; объект, излучающий электромагнитное излучение всех длин волн от 400 до 800 нм с сопоставимой интенсивностью, выглядит белым.

В глазу цветовое восприятие обеспечивается клетками, называемыми колбочками, которые выстилают заднюю поверхность сетчатки. Существует три типа колбочек (см. илл.), передающих сигналы в мозг, который интерпретирует их и получает визуальное ощущение цвета. Воспринимаемые цвета не ограничиваются цветами радуги или «спектральными цветами», которые возникают вследствие разложения белого света. Пурпурный, например, получается путем объединения красного (около 680 нм) и синего (около 480 нм) света. Кроме того, один и тот же воспринимаемый цвет может соответствовать свету самых разных композиций. Например, объект может казаться желтым, когда он излучает монохроматический свет длиной волны около 580 нм, или излучает свет видимого диапазона, лишенный своей сине-фиолетовой части, или даже комбинацию красного и зеленого светов.

Чувствительность трех типов колбочек в зависимости от длины волны

Цвет неба в хорошую погоду

В то время как предсказать цвет моря непросто, цвет неба в хорошую погоду легко объясняется физическими принципами, выявленными английским физиком лордом Рэйли (Рэлеем) (1842–1919). В отсутствие облаков цвет неба определяется результатом взаимодействия солнечного излучения с компонентами атмосферы Земли, а именно с неоднородностями (флуктуациями) плотности молекул азота и кислорода.

Как эти молекулы ведут себя, попав в поле солнечного излучения? Рассмотрим монохроматический свет, обладающий заданной длиной волны λ. Он представляет собой колеблющиеся в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения света, с частотой υ магнитное и электрическое поля. Под действием колеблющегося электрического поля электроны в молекулах также колеблются с частотой υ. В результате и сама молекула становится маленьким излучателем, испуская свет той же частоты, что и падающая волна. Это похоже на то, как излучает электромагнитные радиоволны теле- или радиоантенна. В случае молекул и солнечного света длина его волны оказывается много большей размера молекул, и такое рассеяние называется «рассеянием Рэлея». Расчеты показывают, что интенсивность рассеянного света оказывается пропорциональной четвертой степени частоты υ⁴ (или 1/λ⁴). Это утверждение называется законом Рэлея – Джинса (илл. 2).

2. Рассеяние света молекулами и закон Рэлея. Под воздействием падающего монохроматического света (a) молекулы переизлучают свет той же длины волны во всех направлениях. Синему цвету соответствует длина волны около 450 нм, а красному – около 650 нм. (b) Согласно закону Рэлея, четвертая степень отношения 650/450 равна 4,3, то есть интенсивность рассеяния синего примерно в 4 раза выше, чем красного

Как все это связано с цветом неба? Согласно закону Рэлея, рассеяние электромагнитных волн оказывается значительно интенсивнее для высоких частот по сравнению с низкими. Это означает, что молекулы атмосферы сильнее рассеивают синий цвет, чем красный, зеленый или желтый. Таким образом, наших глаз преимущественно достигают именно световые лучи синего цвета. Вот почему небо синее! Следуя этому рассуждению, можно было бы предположить, что небо должно быть фиолетовым, так как фиолетовое излучение обладает более высокой частотой, чем синее. В действительности в спектре солнечного излучения доля фиолетового меньше, чем синего. Кроме того, и максимальная чувствительность человеческого глаза находится в области зеленого (555 нм). В результате фиолетовая часть спектра солнечного излучения оказывается подавленной в восприятии человеческого глаза, и небо видится синим (см. главу 3, «Цветовое зрение»).

Небо на закате… и после

На закате небо над горизонтом принимает красивый розовый оттенок (илл. 3). Этот цвет также обусловлен рассеянием солнечного света в атмосфере. Поскольку свет распространяется во всех направлениях, то до нас доходит лишь его часть, а остальное возвращается в пространство. Часть солнечной энергии, возвращающаяся за пределы земной атмосферы, невелика, однако для некоторых явлений она может оказаться существенной (илл. 4). В видимом излучении разница между энергией, получаемой поверхностью земли и верхними слоями атмосферы, обусловлена прежде всего рассеянием. Так, мы видим, что в дневное время энергия, получаемая на земле, меньше падающей на верхние слои атмосферы примерно на 25 % в синем и на 10 % – в красном диапазонах. На закате эти пропорции изменяются, поскольку свету приходится преодолевать гораздо большую толщу атмосферы (илл. 5). Таким образом, синий свет почти целиком рассеивается, и наблюдатель на земле видит в основном красный.

Как только солнце исчезает за горизонтом, постепенно наступает ночь. Цвет неба в ночное время – совсем иной вопрос (см. главу 3, «Тайны безлунной ночи»).

Цвет облаков

Как можно увидеть на картине Рылова (см. илл. 1 в главе 3), облака бывают белые, серые или черноватые, в зависимости от их толщины и места, откуда их наблюдают. В любом случае они непрозрачны: солнце не видно сквозь облака, а солнечный свет оказывается более или менее интенсивным в зависимости от их толщины. Он доходит до нас, рассеянный каплями воды, из которых состоит облако. Такое рассеяние намного более интенсивно, чем рассеяние на флуктуациях плотности молекул кислорода и азота, которое мы описали выше. Почему?

4. Световая энергия, получаемая верхними слоями атмосферы (желтый) и на уровне моря (красный) в дневное время с учетом рассеяния и поглощения. Отметки «H₂O» и «O₂» обозначают диапазон поглощения воды и кислорода соответственно. Энергия, отложенная по оси ординат, выражается в ваттах на кв. м поверхности, в то время как длины волн на оси абсцисс измеряются в нанометрах

Причина в том, что большие объекты рассеивают свет намного сильнее, чем маленькие. Например, если капля воды содержит миллион молекул (и имеет диаметр около 0,04 мкм), она рассеивает свет почти в миллион миллионов раз интенсивнее, чем миллион отдельных молекул! Получается, что если в капле миллиард молекул, то она рассеивает свет в миллиард миллиардов раз больше, чем такое же число изолированных молекул? Нет! Диаметр этой капли составляет порядка 0,4 мкм – величина существенная по сравнению с длиной волны видимого света. Закон «голубого неба» Рэлея в этом случае неприменим, поскольку переизлучение света каждой из молекул воды, находящейся в капле, случайно по фазе. Последнее обстоятельство приводит к ослабляющей интерференции этих вторичных волн – явлению, о котором мы поговорим чуть позже. Расчет интенсивности рассеяния электромагнитного излучения на сфере произвольного радиуса R был впервые выполнен немецким физиком Густавом Ми в 1908 году. Точный результат представляется бесконечной суммой слагаемых. Для небольшой капли (R << λ) в этой сумме можно сохранить лишь первое слагаемое, которое и соответствует рассеянию Рэлея. Чем больше капля, тем больше количество слагаемых, которые следует учитывать. При R >> λ расчет упрощается: в этом случае применяется геометрическая оптика. Согласно очевидным геометрическим соображениям, количество энергии света, падающей на сферу, пропорционально ее сечению, то есть R². Таким образом, на большую каплю падает больше энергии, чем на меньшую; в меру квадрата своего радиуса она больше света и переизлучает. Кроме того, оказывается, что общая интенсивность света, рассеиваемого большой каплей, не зависит от длины падающей волны. Именно это и объясняет тот факт, что при падении на систему капель белого света и рассеянный свет также оказывается белым. Итак, облака белые, потому что белым является освещающий их солнечный свет!

5. Испускаемое Солнцем излучение с большими длинами волн в красной части спектра рассеивается меньше, чем излучение с короткими длинами волн в синей части. Поэтому в сумерках падающий под малым углом синий луч сильно рассеивается в атмосфере и доходит до Земли приглушенным, в отличие от красного. Днем же все цвета солнечного излучения достигают земной поверхности. (Пропорции не соблюдены.)

Тайны безлунной ночи

Без Луны ночное небо черное, с разрозненными звездами. Это кажется нормальным. Но в небе колоссальное количество звезд, может быть, даже бесконечное. Бесконечное число звезд должно производить бесконечное сияние. Что, если черное небо – признак конца Вселенной? Именно это предположил немецкий ученый Иоганн Кеплер в начале XVII века. В XIX веке другой немец, Генрих Ольберс, заметил, что ближайшие звезды, вероятно, скрывают более далекие, поэтому, даже если Вселенная бесконечна, ее светимость будет не бесконечной… но все же очень большой! На сегодняшний день объяснение этого парадокса заключается в том, что Вселенная имеет конечный возраст. Она появилась в результате Большого взрыва, характеризующегося высокой плотностью и температурой и произошедшего 13,8 миллиардов лет назад. После этого Вселенная начала расширяться. В результате длина световых волн, излучаемых далекими галактиками, смещается к красному концу спектра. Кроме того, при наблюдении за отдаленными объектами из-за конечности скорости света мы «обгоняем время»: галактики предстают перед нами в том состоянии, в котором они были, когда миллиарды лет назад испускали свет, который до нас доходит сейчас. Начиная с определенного расстояния мы возвращаемся к эпохе, очень близкой к Большому взрыву, когда первые галактики еще не родились и Вселенная была темной: мы достигаем «космологического горизонта» – границ наблюдаемой Вселенной. Таким образом, мы не можем наблюдать всю Вселенную, будь она конечной или бесконечной, и ночное небо кажется черным.

На самом деле оно не совсем черное, а наполнено электромагнитным излучением гораздо большей длины волны, чем видимый свет (порядка миллиметра вместо микрометра). Это низкочастотное излучение, невидимое для глаз, улавливается достаточно чувствительным радиотелескопом (см. илл.). Его непреднамеренное открытие в 1964 году принесло американцам Арно Пензиасу и Роберту Уилсону Нобелевскую премию по физике в 1978 году. Речь идет о «микроволновом реликтовом излучении», которое излучается не звездами. Из-за расширения Вселенной его длина волны со временем увеличивается.

Первая «карта» Вселенной, или микроволновое реликтовое излучение, около 14 миллиардов лет назад. Карта отображает колебания температуры в разных точках Вселенной через 380 000 лет после ее рождения, которые соответствуют местам зарождения будущих галактик. С момента экспериментального подтверждения существования реликтового излучения в 1964 году оно изучается с помощью приборов, установленных на спутниках или в люльках под аэростатами. Приведенная здесь первая детальная карта построена по данным со спутника Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

Интерференция и когерентность

Явление интерференции света было доказано в начале XIX века историческим опытом английского физика Томаса Юнга. Ученые той эпохи спорили о природе света: его интерпретировали или как волновое явление, что, казалось, подтвердил опыт Юнга, или как поток частиц. В четвертой части этой книги (см. главу 22) мы увидим, что все они были правы.

Устройство Юнга (илл. 6) содержит точечный источник монохроматического света S, расположенный перед непрозрачной пластиной, в которой на расстоянии нескольких миллиметров друг от друга проделаны два отверстия чрезвычайно малого диаметра (порядка 0,1 мм). Свет, проходящий через отверстия, достигает экрана. И мы видим на нем – удивительно! – не сплошное пятно света, а пятно, демонстрирующее чередование темных и светлых полос. Как так получается?

Интенсивность света, наблюдаемая в точке M экрана, является результатом наложения волн, исходящих из отверстий A и B. Это явление алгебраического суммирования волн, приходящих из разных точек, называется интерференцией. Оно может привести и к нулевой или низкой общей интенсивности (это означает деструктивную интерференцию), и к более высокой интенсивности (так называемая конструктивная интерференция). Конструктивный или деструктивный характер интерференции зависит от смещения волн относительно друг друга, или фазового сдвига, в момент их попадания на экран (илл. 7).

На оси SO волны, исходящие из A и B, находятся в фазе: наблюдается светлая полоса. По мере отклонения от этой оси, в зависимости от точки на экране, волны преодолевают различные расстояния (оптические пути) от отверстий. Их фазы расходятся, и в результате наблюдается периодический ряд светлых и темных полос. Существует деструктивная интерференция (темная полоса), когда разница в длине оптического пути равна половине длины волны, или нечетному числу длин полуволн. Есть и конструктивная интерференция (светлая полоса), когда разница в длине оптического пути кратна длине волны.

Для видимого света длина волны λ – порядка микрометра, что примерно в десять раз меньше диаметра волоса. Однако расстояние между полосами на экране значительно возрастает, если этот экран находится на достаточном расстоянии d от отверстий. Размер OM = x полос может быть найден из условия AM – BM = nλ, где n – целое число. Если a = AB – расстояние между отверстиями, то расстояние между полосами равно λd/a. Приняв λ = 0,5 мкм, d = 3 м и a = 0,5 см, находим, что расстояние между полосами составляет 0,3 мм. Таким образом, становится понятно, почему нам удается увидеть интерференционные полосы невооруженным глазом, хотя это и не всегда просто. При практических работах по интерференции сегодняшние студенты часто сталкиваются с трудностями. Поэтому нам остается лишь восхищаться Юнгом, который сумел поставить этот опыт два века назад.

А что будет, если вместо освещения двух отверстий одним и тем же источником света использовать два точечных источника монохроматического света? Оказывается, что в этом случае эксперимент потерпит неудачу! Интерференция возможна только для когерентных источников, фазовый сдвиг которых постоянен во времени. Два же случайных источника, если не принять каких-либо особых мер, не удовлетворяют этому условию.

Трудность наблюдения за интерференцией света может навести на мысль, что это довольно экзотическое явление. Вовсе нет! Хорошим примером интерференции служат радужные переливы на мыльных пузырях (см. главу 6, «Мыльные пузыри»). В этом случае интерференция происходит между светом, отраженным от передней и задней границ мыльной пленки. Поскольку наблюдения обычно производятся при белом свете, то волны, находящиеся в противофазе, гасят друг друга, и полученный свет выглядит разноцветным. Видимый цвет пленки зависит от ее толщины и от положения наблюдателя относительно пузыря. Подобные интерференционные переливы цвета можно увидеть на крыльях бабочек, в оперении колибри, а также на наружном покрове некоторых насекомых.

Цвета радуги

Радуга возникает из-за взаимодействия солнечного света с каплями воды, взвешенными в атмосфере (илл. 8). Эти капли размером порядка 0,1 мм значительно больше, чем длина световой волны. В результате путь световых лучей в каждую каплю может быть описан геометрической оптикой, то есть преломлением на входе и на выходе. Между этими преломлениями внутри капли может произойти одно или несколько отражений. Основная радуга, часто единственная видимая, соответствует одному промежуточному отражению, а иногда появляющаяся вторичная радуга создана лучами, которые претерпели два отражения в каплях воды (илл. 9). Для данной длины волны отклонение светового луча каплей воды зависит от того, в какой точке он в нее попадает, и определяется законами преломления. Однако угол между входящим и выходящим из капли лучами не может принимать любое значение. В случае основной радуги он лежит в диапазоне от 0° примерно до 42°, в чем читатель может убедиться, если не боится вычислений. Отклонения, превышающие 42°, допустимы, но максимальная интенсивность достигается в непосредственной близости от 42°. Для вторичной радуги этот угол составляет около 51°. Поворачиваясь к солнцу спиной, мы наблюдаем две яркие дуги. Между ними появляется темный участок: действительно, никакой луч не появится между двумя критическими углами после одного или двух отражений в каплях воды, и потому эта область выглядит темнее, чем остальная часть неба.

Снелл, Декарт и Ферма

Давайте вспомним закон, названный во Франции законом Снелла – Декарта или просто законом Декарта, а в других странах – законом Снеллиуса (см. главу 2, «Отражение и преломление световых волн»). Декарт, по-видимому, первым опубликовал его в трактате «Диоптрика» в 1637 году, но закон уже был открыт голландским математиком Виллебрордом Снеллом, или Снеллиусом (1580–1626), а до него – персидским ученым Ибн Салемом в конце X века.

Снелл, вероятно, основывался на экспериментальных работах, в то время как Декарт утверждал, что открыл этот закон, приравняв луч света к траектории пули. Это не слишком понятное доказательство было раскритиковано Пьером де Ферма в работе, опубликованной в 1662 году под названием «Сумма о преломлениях» (Synthèse pour les réfractions). Принцип Ферма, изложенный в этом тексте, гласит, что свет проходит по пути, который позволяет ему скорейшим образом перейти от точки А к точке В (см. илл.). Предоставим читателю вывести закон Снеллиуса из принципа Ферма, что не составит труда при наличии некоторого знания тригонометрии и дифференциального исчисления. Просто найдите точку C, которая минимизирует время, затраченное светом, чтобы пройти по пути ABC, – это время равно (AC/c) + (BC/v), где c – скорость света в воздухе и v = c/n – его скорость в воде.

Если доказательство Декарта любопытно скорее с исторической стороны, то принцип Ферма сохраняет определенный интерес и для современной физики. Кроме того, именно Декарт первым объяснил появление двух радуг и рассчитал соответствующие углы отклонения.

Аналогия с проблемой спасателя

Спасатель (А), которому нужно как можно скорее спасти пловца (B), бежит по пляжу быстрее, чем плывет в море. Самый краткий путь, прямой (1), не будет самым быстрым: спасатель потеряет много времени в море. Если же он максимально сократит время плавания (3), то значительно увеличит путь по пляжу. В итоге самый быстрый путь (2), проходящий через C, – тот, который отвечает закону Снеллиуса

Так объясняется появление световых дуг, но не их цветов… На самом деле точное значение угла отражения зависит от цвета, так как показатель преломления воды n увеличивается, когда длина волны уменьшается. Итак, для фиксированного угла падения i угол преломления увеличивается с длиной волны, то есть двигается от синего к красному. Это значит, что отклонение на входе и выходе капли сильнее для синего, чем для красного. Таким образом, с внешней стороны дуги появляется красный цвет. Все наоборот во вторичной радуге, цвета которой расположены в обратном порядке: красный внутри. Эти вытекающие из геометрии и законов преломления странности – примеры сюрпризов, что порой несут нам научные расчеты.

А птицы?

Рассматривая картину Рылова, мы еще не обсудили птиц, которые составляют неотъемлемую часть обаяния морских берегов. Давайте исправим это упущение такой задачей: как часто птице заданной массы нужно взмахивать крыльями, чтобы лететь? Возможно, читателю трудно будет увидеть связь между этими величинами, и он решит, что авторы играют с ним как кошка с мышкой.

Пусть m – масса птицы, S – общая площадь крыльев, v – средняя скорость крыла, t – продолжительность удара крыла и ρ – плотность воздуха. Во время взмаха крылом птица перемещает воздушную массу, равную M = ρSvt, и сообщает ей скорость v, что соответствует среднему ускорению v/t, поэтому сила F = Mv/t = ρSv² должна сбалансировать вес mg птицы, где g – ускорение свободного падения. Так,

Скорость v крыла пропорциональна количеству взмахов крыльев в секунду υ и длине крыла, которая также пропорциональна Предполагая (довольно произвольно), что коэффициент пропорциональности равен 2π, находим:

Для серой цапли (илл. 10) масса m составляет порядка 1 кг. Размах ее крыльев – около 2 м, и можно предположить, что площадь S ≈ 0,2 м². При приблизительных значениях ρ = 1 кг/м³ и g = 10 м/с² скорость крыла будет составлять порядка 3 взмахов в секунду, что вполне соответствует реальности между 2 и 3 взмахами в секунду в машущем полете.

Пойдем дальше и предположим, что все птицы имеют тело той же формы и плотности. Площадь крыльев S в таком случае пропорциональна m^2/3, и из предыдущей формулы следует, что количество взмахов крыльев в секунду обратно пропорционально m^1/6. Действительно, υ уменьшается при увеличении массы птицы: воробей (масса которого составляет порядка 20–30 г) совершает 13 взмахов в секунду, голубь (масса около 500 г) – до 8–9 взмахов, а сарыч (масса примерно килограмм) – до 3.

А насекомые? На картине Рылова их не видно, так как они слишком малы. У насекомых частота взмахов крыла значительно выше, чем у птиц, что соответствует нашей формуле. Предельный случай – комары, которые совершают примерно 400 взмахов в секунду. Ударяя воздух с такой частотой, насекомое производит слышимый человеком звук, чем предупреждает о своих атаках! Зная, что масса комара составляет 2 мг, и предполагая, что крылья имеют площадь поверхности S порядка 10 мм², можно заключить, что фактическая частота примерно в 10 раз выше, чем значение, получаемое по нашей формуле. В этом нет ничего удивительного, формула действительно очень приблизительна, и скорее следует удивляться тому, что она дает разумные значения частот взмахов крыльями для крупных птиц и насекомых.

Мог ли художник Рылов, когда писал свою картину, предполагать, что затронет так много законов физики?

Глава 4

Маятник Фуко и сила Кориолиса

В начале XIX века все были уверены, что Земля шарообразна и вращается вокруг своей оси, но экспериментальных свидетельств этому не имелось. Первым неоспоримым доказательством этих фактов стал известный опыт Леона Фуко.

Вращение Земли вокруг своей оси объясняет многие явления, например из области метеорологии и океанографии. Чтобы понять природу этих явлений, нужно научиться их описывать теоретически. Для этого физики прибегают к использованию фиктивной силы, называемой именем Гаспара-Гюстава де Кориолиса.

В 1851 году парижский Пантеон стал местом проведения эксперимента, осуществленного физиком Леоном Фуко (1819–1868). К верхней части купола, на подвесе длиной 67 м, он прикрепил шар массой в 28 кг, создав таким образом маятник (илл. 1), аналогичный балансиру часов наших прабабушек и прадедушек. В отличие от маятника часов, который способен двигаться только в определенной вертикальной плоскости, маятник Фуко мог свободно колебаться в любых направлениях. Эксперимент предполагал отклонить маятник от равновесного положения (вертикального), а затем отпустить и позволить ему свободно колебаться. Поскольку трение крайне мало, маятник может очень долго колебаться без затухания. Что же наблюдали экспериментаторы? При первых колебаниях маятник, казалось, оставался в вертикальной плоскости, определенной осью маятника и начальным отклонением. Именно так, как читателя и учили в средней школе. Через несколько минут, однако, ученые заметили, что плоскость качания маятника начала постепенно поворачиваться! При этом поворачивалась она всегда в одном и том же направлении. Давайте поймем, в каком именно.

2. Доказательство вращения Земли с помощью маятника Фуко.

a. Первоначальное положение маятника на Северном полюсе и наблюдателя на Земле.

b. Спустя час Земля относительно звезд повернулась вокруг себя на восток (в направлении фиолетовой стрелки), повернулась и стойка, но плоскость колебаний маятника осталась неподвижной. В то же время для наблюдателя на Земле стойка выглядит сохранившей свое первоначальное положение, а плоскость колебаний маятника кажется повернувшейся

Маятник Фуко на Северном полюсе

Почему же плоскость качания маятника поворачивается? Опыт Фуко легче понять, проведя его для начала на Северном (или Южном) полюсе. Представим себе маятник, равновесное положение которого совпадает с проходящей через полюс земной осью. Отклоним его от начального положения (илл. 2a). Для наблюдателя, неподвижного относительно Солнца и звезд (допустим, что относительное положение звезд не зависит от времени), маятник качается в фиксированной вертикальной плоскости (илл. 2b). Однако это совсем не так для наблюдателя, находящегося на Земле, так как последняя вращается вокруг своей оси, совпадающей в данном случае с вертикалью, на которой находится точка крепления маятника. Таким образом, наблюдатель поворачивается вместе с Землей относительно плоскости колебаний маятника на восток. Не чувствуя, что вращается вместе с планетой, такой наблюдатель считает, что это плоскость колебаний маятника поворачивается, и маятник для него отклоняется к западу (вспомните: для нас Солнце встает на востоке и движется по небосклону на запад. На самом же деле, как мы сегодня хорошо знаем, это земной шар вращается на восток, а Солнце остается почти неподвижным).

Из нашего рассуждения понятно, что на Южном полюсе маятник отклонится к востоку. На полюсе плоскость колебаний маятника выполняет полный оборот за 24 часа¹. В Париже же этот процесс занимает значительно больше времени. Разберемся почему.

Сила Кориолиса

Представлять наблюдателя, неподвижного по отношению к звездам, чтобы понять, что видит его коллега, вращающийся вместе с Землей, неудобно. Проще было бы рассуждать только с точки зрения земного наблюдателя, предполагая, что на шар воздействует некая сила, которая заставляет его отклоняться к западу… И мы действительно можем так поступить! Для этого нужно рассматривать движение маятника Фуко в системе координат, или системе отсчета, связанной с Землей. Чтобы учесть вращение Земли вокруг своей оси, следует принять, что на шар, помимо сил веса и реакции нити (подвеса), воздействует еще одна сила. Ее назвали силой Кориолиса в честь французского математика Гаспара-Гюстава де Кориолиса (илл. 3).

Чтобы двигаться дальше, давайте пока оставим в стороне маятник Фуко, колебания которого усложняют необходимые для дальнейшего рассуждения, и вместо него рассмотрим пулю массой m, выпущенную из ружья. Чтобы еще больше облегчить задачу, предположим, что пуля движется по прямой линии, и мы при изучении ее траектории учитываем только влияние вращения Земли. Это предположение является всего лишь искусственным приемом для упрощения дальнейших рассуждений.

Представим, что стрелок находится на Северном полюсе, в точке N (илл. 4), и выпускает в направлении цели C, движущейся вместе с Землей, пулю P с начальной скоростью v. Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Ω, равной одному обороту в день. Таким образом, через некоторое время t она провернется на угол Ωt, и цель сдвинется вместе с ней. Тем не менее, с точки зрения стрелка, стоящего на Северном полюсе и глядящего на цель, все происходит так, будто бы последняя осталась на месте, а пуля отклонилась от заданной им траектории NC. Расстояние от P до линии NC в момент t составляет приблизительно произведение угла Ωt на пройденное пулей расстояние vt, то есть Ωvt². В этом рассмотрении мы считаем промежуток времени достаточно коротким, а угловую скорость Ω – измеренной в радианах в секунду.

4. Отклонение пули под действием силы Кориолиса в системе отсчета, связанной с Землей. Пуля, выпущенная из ружья на Северном полюсе N в направлении цели C, отклоняется к западу от цели. Для наблюдателя вне Земли траектория пули – прямая линия (фиолетовая). Для наблюдателя, связанного с Землей, траектория представляется красной кривой (ее кривизна здесь сильно преувеличена): действующая на пулю сила Кориолиса придает ей ускорение Г^→_CO, показанное на рисунке в два разных момента

Таким образом, для достаточно малых промежутков времени пуля относительно Земли будет равномерно двигаться в направлении NC со скоростью v и в то же время равноускоренно двигаться вправо, в направлении, перпендикулярном отрезку NC (если бы стрельба производилась на Южном полюсе, то пуля отклонилась бы влево). При этом ускорение, называемое Кориолисовым, оказывается равным 2Ωv (вторая производная по времени от пройденного расстояния Ωvt²). В соответствии со вторым законом Ньютона (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), это означает, что на пулю воздействует сила величиной 2Ωvm, сонаправленная ускорению Кориолиса. Это и есть сила Кориолиса.

Ускорение Кориолиса всегда перпендикулярно мгновенной скорости (илл. 4). Напомним, что в рассматриваемой задаче, благодаря действию силы тяжести, имеется еще и вертикальное ускорение, которое мы (в отличие от артиллеристов!) здесь не учитывали.

Уточним, что сила Кориолиса – сила «фиктивная», или, как часто говорят, сила инерции, потому что она не вызвана физическим воздействием одного тела на другое. При описании движения тела во вращающейся системе координат сила Кориолиса должна учитываться всегда, когда скорость тела не направлена вдоль оси вращения.

Прикинем, действительно ли стрелок промахнется мимо цели, если он не учтет силу Кориолиса? Предположим, что цель расположена на расстоянии d = 100 м, а скорость пули составляет v = 1000 м/с. Время, необходимое пуле для достижения цели, t = d/v = 0,1 с. Скорость вращения Земли составляет Ω = 2π радиан/день, что составляет около 0,7∙10^–4 радиан/с. Тогда вызванное силой Кориолиса отклонение есть y = Ωvt² = 0,7 мм. Таким образом, стрелок в рассматриваемом случае не промахнется. Он даже не поймет, что его цель двигалась относительно траектории пули. Можно также вычислить ускорение Кориолиса, равное 2Ωv: оно составляет 0,14 м/с².

Ньютоновская механика

В начале XVII века итальянский ученый Галилео Галилей (1564–1642) сделал первый шаг в понимании законов движения и гравитации. Он показал, что находящийся в свободном падении объект равномерно ускоряется, а также сформулировал принцип инерции: «Тело, которое не подвергается никакому воздействию, сохраняет свое движение по прямой линии с постоянной скоростью, если оно уже находится в движении, или остается неподвижным, если изначально находилось в состоянии покоя». Это утверждение кажется очевидным. Тем не менее со времен Аристотеля считалось, что для движения тела необходимо наличие внешнего воздействия. Вскоре, после Галилея, немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) сформулировал законы, объясняющие движение планет. Первый из этих законов гласит, что планеты в своем движении вокруг Солнца описывают эллипсы, причем Солнце находится в одном из фокусов соответствующего эллипса. Позже англичанин Исаак Ньютон (1643–1727) заложил основы классической механики, основываясь на нескольких простых предположениях.

В качестве первого он принял принцип инерции Галилея. Второе предположение, или второй закон Ньютона, который часто называют основным законом динамики, гласит, что ускорение a^→ = dv^→/dt, приобретаемое материальной точкой и умноженное на ее массу m, равно сумме воздействующих на эту точку внешних сил F^→:

Σ F^→ext = ma^→.

Этот закон дает нам основное уравнение движения и позволяет предсказать положение и скорость материальной точки в любой момент времени при условии, что мы знаем, где она находилась и какая у нее была скорость при t = 0.

Казалось бы, из второго закона Ньютона вытекает и первый, достаточно положить нулем сумму приложенных сил. Однако, принцип инерции имеет свой глубокий смысл, который придает ему статус закона. В современной формулировке он звучит так: «Существуют определенные системы отсчета, называемые галилеевыми, по отношению к которым движущийся объект сохраняет постоянную скорость, когда на него не действуют никакие силы, или сумма внешних сил равна нулю». Другими словами, первый закон Ньютона позволяет выбрать такие системы отсчета, в которых будут справедливы второй и третий законы.

Третий закон Ньютона, или принцип действия и противодействия, гласит: «При воздействии одного тела на другое первое испытывает ответное воздействие со стороны второго той же силы, но направленной противоположно».

И наконец, Ньютон сформулировал закон всемирного притяжения (или тяготения). Он научил будущие поколения, что два массивных тела притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними (см. главу 5, «Ньютон – основатель современной физики»).

Законы механики Ньютона и сформулированный им закон всемирного тяготения с высокой точностью объяснили все проблемы механики, существовавшие в его время. Например, падение яблока на землю (см. илл. 2 в главе 5) и движение планет вокруг Солнца! Эти законы успешно применялись в астрономии для расчета траектории движения спутников вокруг планет и предсказали возвращение кометы Галлея в 1759 году. К сожалению, многие реальные проблемы часто настолько математически сложны, что возможно только их приблизительное решение. Это относится, например, к задаче о движении трех тел (скажем, Солнца, Земли и Луны) под воздействием взаимного гравитационного притяжения – ее точного решения просто не существует.

Титульный лист журнала Philosophiae Naturalis Principia Mathematica («Математические начала натуральной философии»), опубликованного в 1687 году, в котором Ньютон представил свои фундаментальные законы механики

В метеорологии, которая имеет дело с гораздо меньшими скоростями и намного большими расстояниями, для описания движения воздушных и водных масс сила Кориолиса должна учитываться обязательно. Действительно, вызванное силой Кориолиса отклонение y = Ωvt², введя пройденное расстояние x = vt, можно переписать как y = Ωх²/v. Если расстояние x составляет порядка ста километров, а скорость течения – около 20 км/ч, то отклонение y будет того же порядка, что и x. Например, отклонение из-за силы Кориолиса морского течения, скорость которого v = 6 м/с (около 22 км/ч), составляет порядка 10 км после пройденных 100 км в направлении начальной скорости! Далее в этой главе мы еще вернемся к этому вопросу.

Вдали от полюсов

До сих пор мы предполагали, что наши опыты осуществляются на полюсе. Что произойдет, если удалиться от него?

В нескольких строках уравнений в учебнике механики показано, что сила Кориолиса, действующая на снаряд массой m, движущийся со скоростью v^→ по отношению к Земле, – это вектор, перпендикулярный оси вращения Земли и скорости v^→. При этом его модуль равен

FCO = 2mΩvsinϕ,

где ϕ – угол между осью вращения и скоростью v^→. Направление вектора F^→CO определяется по правилу левой руки (см. главу 4, врезку «Смысл силы Кориолиса и векторное произведение»).

У силы Кориолиса имеется горизонтальная составляющая, которая заставляет поворачиваться плоскость колебаний маятника Фуко и обычно отклоняет движущиеся объекты вправо в Северном полушарии и влево – в Южном. Но у силы Кориолиса есть и вертикальная составляющая, параллельная вектору силы веса предмета. Этой составляющей чаще всего можно пренебречь, потому что для обычных скоростей она, по сравнению с весом тела, мала. Для пули, двигающейся со скоростью 1000 м/с, вертикальная составляющая ускорения Кориолиса составляет максимум 0,14 м/с², что почти в 70 раз меньше ускорения свободного падения g. При полете куда более медленного теннисного мяча вертикальная составляющая ускорения Кориолиса оказывается меньше g уже в тысячи раз!

Смысл силы Кориолиса и векторное произведение

Сила Кориолиса, действующая на объект массой m, может быть удобно выражена в виде векторного произведения его скорости v^→ и вектора угловой скорости Ω^→:

F^→CO = 2mv^→ × Ω^→.

Напомним, что Ω^→ – вектор, характеризующий вращающееся тело (в нашем случае – Земля). Этот вектор параллелен оси вращения, а его модуль равен угловой скорости Ω.

Что означает понятие векторного произведения? Векторное произведение двух векторов v^→ и Ω^→, направленных под углом α, представляет собой третий вектор, ортогональный первым двум, с модулем Ωvsinα. При этом его направление определяется по правилу левой руки (см. илл.).

Векторное произведение используется при описании многих физических явлений, включая электромагнетизм.

Правило левой руки используют, чтобы определять направление векторного произведения F^→ = v^→ × Ω^→. Левая рука помещается перпендикулярно вектору Ω^→ так, чтобы он был направлен в ладонь, в то время как указательный палец должен совпадать с направлением вектора v^→. Отставленный большой палец тогда укажет направление вектора F^→.

a. Случай, где v^→ перпендикулярен оси вращения.

b. Общий случай.

Теперь, когда мы обогатили наши знания, вернемся к маятнику Фуко и к периоду поворота его плоскости колебаний. По формуле FCO = 2mΩvsinϕ можно вычислить горизонтальную составляющую силы Кориолиса, которая составит F^'CO = 2mΩvsinα, где α – широта места проведения эксперимента. Эта составляющая максимальна на Северном полюсе, где sin α = 1; там подтверждается и уже известный нам результат: плоскость колебаний маятника осуществляет свой полный оборот за 24 часа. На экваторе α = 0, и плоскость колебаний маятника Фуко не поворачивается вообще. В других точках Земли период оборота плоскости колебаний таков, каким бы он был на полюсах, если бы период вращения Земли вокруг оси был умножен на sin α, другими словами, если бы продолжительность суток была умножена на 1/sinα. Это означает, что период оборота маятника Фуко, выраженный в часах в зависимости от широты места проведения эксперимента, равен 24/sinα. На 45-й параллели, которая проходит примерно через Женеву, Монреаль и Краснодар, и маятник Фуко поворачивается в раз медленнее, чем на полюсе: вместо 24 часов он совершает полный оборот за

Фуко, Галилей и Аристотель

Среди всех маятников Фуко, существующих в мире, один заслуживает специального упоминания: маятник, находившийся с 1931 по 1986 год в Исаакиевском соборе в Ленинграде. Этот собор был превращен в музей атеизма. Какова же связь между маятником Фуко и религией?

Присутствие маятника Фуко в антирелигиозном учреждении намекало на осуждение Галилея инквизицией в 1633 году (см. илл.). Галилей утверждал, что на самом деле Земля движется вокруг Солнца и поворачивается вокруг своей оси за один день. Кардиналы же уверяли, что, согласно Библии, Иисус некогда остановил вращение Солнца вокруг Земли, но не вращение Земли вокруг своей оси. Также они вынесли следующий приговор: «Вследствие рассмотрения твоей вины и сознания твоего в ней присуждаем и объявляем тебя, Галилей, за все вышеизложенное и исповеданное тобою под сильным подозрением у сего Св. судилища в ереси, как одержимого ложною и противною Священному и Божественному Писанию мыслью, будто Солнце есть центр земной орбиты и не движется от востока к западу, Земля же подвижна и не есть центр Вселенной».

После этого обвинения Галилей должен был отречься от своей теории. Впрочем, провозглашая, что Земля обращается вокруг своей оси, он на самом деле не имел доказательств. Он только обобщил наблюдения Коперника и Кеплера, которые заметили, что астрономические движения описываются проще, если предположить, что Земля вращается! Проведенный в 1851 году опыт Фуко дал прямое доказательство вращения Земли вокруг своей оси и поставил точку в споре, который начался 24 веками раньше, когда Аристотель описал совершенную и вечную Вселенную, в центре которой находится Земля.

На самом же деле Фуко не был первым, кто экспериментально доказал вращение Земли. В 1833 году немецкий ученый Фердинанд Райх бросая камни в шахту глубиной 158 м, констатировал их отклонение после падения от вертикали на 28 мм, что соответствовало последующим результатам применения теории Кориолиса. А в 1661 году, спустя некоторое время после смерти Галилея, знаменитый флорентийский ученый Винченцо Вивиани провел опыт, аналогичный опыту Фуко. Но он его никак не объяснил – либо потому что объяснения не имел, либо из-за страха перед инквизицией.

Галилей на суде инквизиции

Где увидеть маятник Фуко?

Маятник Фуко – настолько занимательный экспонат, что читатель наверняка захочет увидеть его своими глазами (илл. 1). В Париже маятник Фуко был возвращен в Пантеон в 1995 году и доступен для обзора всем желающим, если только не находится в ремонте; еще один можно увидеть в Музее искусств и ремесел².

Почему бы не изготовить собственный маятник Фуко? Это не лучшая идея, так как здесь кроется множество затруднений. Прежде всего, маятник должен быть длинным, чтобы колебания были медленными, что позволит снизить роль трения. Маятник в Ленинграде был самый большой в истории – длина проволоки 98 м! Следовательно, надо иметь очень высокую точку подвеса и суметь надежно прикрепить к ней маятник. Резко отпущенный маятник может начать извиваться, что увеличивает трение. Еще серьезнее другое препятствие: вместо того чтобы оставаться в плоскости, которая медленно поворачивается, маятник может начать описывать вытянутый конус. Научные сотрудники Университета Гренобля, установившие для студентов маятник Фуко в 2013 году, на собственном опыте оценили степень всех этих трудностей.

Еще одна фиктивная сила: центробежная

Еще одной «фиктивной» силой инерции является центробежная сила, проявления которой нам знакомы куда лучше, чем примеры воздействия силы Кориолиса. Она появляется в системе отсчета, вращающейся по отношению к неподвижным звездам, и стремится отбрасывать неподвижные в этой системе отсчета телá от центра вращения. В повседневной жизни эта сила позволяет нам, к примеру, отжимать белье в стиральной машине: вода выбрасывается наружу через дырки барабана. Мы ощущаем ее воздействие также при езде на мотоцикле (илл. 5) или в автобусе, когда он совершает крутой поворот и нас отбрасывает к внешней стороне виража, на соседа.

Чему эта центробежная сила равна? Для нахождения соответствующей формулы давайте рассмотрим ребенка, катающегося на ярмарочной карусели радиусом R, которая крутится с угловой скоростью ω. Ребенок роняет плюшевого медведя, и, если пренебречь силой тяжести, он улетает по касательной со скоростью v = Rω по отношению к земле (из определения угловой скорости). При этом медведь относительно ребенка движется с ускорением, равным v²/R = ω²R. Это ускорение возникает потому, что мы рассматриваем движение медведя во вращающейся системе отсчета. Согласно основному закону динамики (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), раз в этой системе у медведя массой m имеется ускорение ω²R, то на него действует сила F^→, равная по модулю mω²R и направленная от центра карусели по радиусу. Это и есть центробежная сила!

Как на ребенка и плюшевого медведя на карусели, на всех нас постоянно действует центробежная сила, вызванная вращением Земли. К счастью, она приблизительно в 300 раз меньше нашего веса, поэтому ее мы почти не замечаем. Из-за воздействия центробежной силы диаметр Земли на экваторе на 43 км больше, чем расстояние от одного полюса до другого, но эта разница составляет примерно 0,3 % и особых последствий не влечет.

С другой стороны, центробежная сила, вызванная вращением Земли, на движение связанных с ней объектов (например на ветер, который является движением воздуха по отношению к почве) не влияет. Действительно, центробежная сила действует и на воздух, и на почву одинаково и зависит только от расстояния до центра вращения. Напротив, сила Кориолиса ничтожна для объекта, связанного с почвой в наземной системе отсчета, однако воздействует на движущийся воздух. В итоге, как мы сейчас увидим, она играет важную роль в метеорологии.

Метеорологические проявления силы Кориолиса

Важным результатом воздействия силы Кориолиса является образование вихрей определенного направления вокруг любой зоны низкого или высокого давления (илл. 6). Можно было бы предположить, что воздушные массы напрямую движутся в зоны низкого давления (такие зоны называются «депрессией» и часто отмечаются буквой D на метеорологических картах). Однако на самом деле под действием силы Кориолиса ветры отклоняются. В Северном полушарии они закручиваются вокруг зоны низкого давления против часовой стрелки. В случае возникновения антициклонов (отмечаемых A) с зонами высокого давления в центре, ветры циркулируют по часовой стрелке. При этом в природе они никогда не образуют вихрь, полностью соответствующий изображенному на илл. 6; и все же мы можем утверждать, что в Северном полушарии ветры имеют низкое давление слева и высокое давление справа (илл. 7). В Южном же полушарии все происходит наоборот (см. главу 5, врезку «В раковинах Южного и Северного полушарий»).

6. Ветер вокруг области пониженного давления с центром D в Северном полушарии. Перепад давления (показанный оранжевым цветом) провоцирует приток воздуха в область пониженного давления (ветер, представленный красными стрелками). Этот ветер отклоняется силой Кориолиса (голубой) и таким образом приближается к центру D, закручиваясь против часовой стрелки (зеленый). Черные стрелки: примерное направление ветра при равновесии между силой Кориолиса и силой, вызванной перепадом давления

Другое проявление силы Кориолиса это направление пассатов – ветров, которые постоянно дуют к западу между 30-й параллелью южной и 30-й параллелью северной широты. Первопричина этих ветров – явление конвекции (см. главу 7, «Температура Земли»): теплый экваториальный воздух поднимается вверх и уступает место прохладному воздуху, происходящему из более высоких широт. Таким образом, на поверхности рождаются ветры, направленные с севера на юг в Северном полушарии и с юга на север в Южном, их называют пассатами. Сила Кориолиса отклоняет эти ветры к западу (илл. 8).

7. Ураган Айрин, приближающийся к Багамским островам (в Северном полушарии) в августе 2011 года, вид со спутника. (a) Закручивание воздушных масс вокруг центральной области низкого давления осуществляется в направлении, противоположном вращению часовой стрелки; (b) наблюдавшаяся в феврале того же года обратная ситуация в Южном полушарии показана на примере циклона Бингиза близ Мадагаскара

Сила Кориолиса действует не только на ветры: она влияет еще и на морские течения и приливы (см. главу 5, «Температура Земли»). Действие вращения Земли на передвижение водных масс было замечено Пьером-Симоном Лапласом еще в XVIII веке, задолго до Кориолиса. Но Лаплас для их объяснения не стал изобретать фиктивные силы инерции.

Идеи Кориолиса же были приняты не без сомнений. Один из членов Французской академии наук в 1859 году писал: «Эти фиктивные силы приводят к правильному результату; однако именно потому что они фиктивные, такое рассмотрение, по-видимому, не способно дать нам четкое представление о природе этого явления путем анализа действительных причин». Это замечание выдвигает на первый план яркий новаторский характер введенного Кориолисом понятия, польза которого сегодня неоспорима.

В раковинах Южного и Северного полушарий

Каждый наблюдал возникновение водоворота при стоке воды из раковины. В каком направлении он закручивается? Широко распространено ошибочное мнение, что в Северном полушарии вода всегда закручивается против часовой стрелки (илл. 7), в то время как в Южном – наоборот. Конечно, сила Кориолиса влияет на слив воды, но нужен куда больший масштаб, чтобы ее воздействие стало определяющим.

Соответствующий опыт был поставлен Ашером Шапиро в Массачусетском технологическом институте (США) в 1962 году. Он использовал бак примерно двухметрового диаметра и глубиной около 15 см. Бак опустошался за 20 минут, и водоворот (наблюдаемый благодаря плавающему предмету) через 15 минут действительно закручивался против часовой стрелки.

Что касается наших раковин, которые намного меньше и опустошаются быстрее, направление водоворота объясняется скорее деталями геометрического характера (неровностями раковины, изначально полученным водою импульсом и т. д.). Поэтому возможны оба направления закручивания независимо от полушария, в котором вода уходит из раковины!

Закручивание воды при стоке из раковины. Вопреки распространенному мнению, направление вращения не зависит от того, в каком полушарии Земли оно происходит

Возвращение к закону Бэра

Согласно закону Бэра, правый берег рек круче левого в Северном полушарии, противоположный эффект наблюдается в Южном. Это наблюдение было сделано для сибирских рек, Нила, Дуная… Объяснение этого явления связано с силой Кориолиса, которая заставляет течение реки отклониться к правому берегу (илл. 9). Из-за трения у берегов поток быстрее на поверхности, чем у дна реки, и, следовательно, сила Кориолиса также больше на поверхности. Это приводит к вертикальной циркуляции воды, которая способствует эрозии правого берега и появлению наносов на левом берегу. Процесс несколько напоминает механизм образования меандров (см. главу 1, «Как меняется русло рек?»). Однако при оценке воздействия силы Кориолиса мы обнаружим, что оно незначительно. По этой причине данную проблему, которая была предметом доклада Эйнштейна, а также многонедельного спора во Французской академии наук в 1859 году, все еще нельзя рассматривать как решенную.

Заключение

Для решения проблем механики у исследователей есть выбор между двумя методами. Астрономы чаще всего предпочитают невращающуюся систему координат, установленную относительно самых далеких, условно неподвижных звезд. Другой метод состоит в том, чтобы использовать систему координат, связанную с Землей, что обязывает вводить мнимые силы: силу Кориолиса и центробежную силу. Так поступают в метеорологии: неудобство несущественно, ведь большую часть сил (вес, трение и т. д.) было бы слишком трудно учитывать в системе отсчета, связанной со звездами. И все же не всегда легко принимать в расчет силу Кориолиса в вычислениях, поэтому необходимо проверять их опытным путем. В этом цель платформы Кориолиса, установленной в Гренобле. Это вращающаяся платформа диаметром 13 м, на которую устанавливаются бассейны различной формы и размеров, выдерживает вес вплоть до 300 т и совершает до четырех оборотов в минуту (илл. 10).

Глава 5

Морские приливы и отливы

Говорят, что мореплаватель Пифей из Массалии (нынешний Марсель) в IV веке до нашей эры уже подозревал, что основная причина приливов – Луна: он заметил, что ритм приливов соответствует ее обращению вокруг Земли. Сегодня известно, что это явление действительно обусловлено воздействием на водоемы гравитационных сил Луны и Солнца. В этой главе мы подробно опишем движение вод при приливах и отливах.

Прилив – впечатляющее явление. В некоторых местах, например на берегах Ла-Манша (илл. 1), порой прилив может оказаться опасным для тех, кто рискует отправиться на прогулку по океанскому пляжу.

Благодаря Ньютону (см. главу 4, «Ньютоновская механика») мы знаем, какой закон физики лежит в основе приливов: вскоре после открытия закона всемирного тяготения Ньютон показал, что приливы – одно из его проявлений. Луна притягивает воду океана, которая, таким образом, становится выпуклой. Эта выпуклость остается обращенной к Луне, в то время как Земля продолжает вращаться вокруг своей оси. Когда эта избыточная масса воды доходит до берега, начинается прилив. Затем, по мере дальнейшего движения Луны, ее влияние переносится на сушу, избыточный водный шлейф возвращается в океан – происходит отлив. Это описание, однако, не бесспорно. Первое возражение: Земля обращается вокруг себя за 24 часа, Луна почти не двигается в течение этого времени (ей требуется приблизительно 27 дней, чтобы совершить оборот вокруг Земли). Следовательно, можно ожидать одного прилива в день. Но их происходит два! Второе возражение: почему роль Луны в явлении прилива столь значительна, в то время как Земля с куда большей силой притягивается Солнцем?

Ответы на эти вопросы мы найдем, ознакомившись более подробно с явлением гравитации, законы которой также были открыты Ньютоном.

Ньютон – основатель современной физики

Легенда гласит, что Ньютон открыл закон всемирного тяготения, когда отдыхал под яблоней и увидел падающее яблоко (илл. 2). Это, сказал он себе, доказательство того, что Земля воздействует на яблоко некоей силой притяжения. Очевидно, подобная сила действует не только на яблоко, но и на все находящиеся рядом с Землей объекты. Но почему только рядом с Землей? Ньютона посетила гениальная догадка: притяжение должно быть универсальным и, следовательно, осуществляться также между Солнцем и планетами, и – более общо – между всеми обладающими массой объектами!

Падение яблока и движение планет объяснимы, если допустить, что два тела массой M и m, находящиеся на расстоянии D, притягивают друг друга (илл. 3) с силой, равной

где G – константа, называемая гравитационной постоянной. Согласно основному закону динамики (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), плод под воздействием силы притяжения, с которой Земля действует на яблоко, падает на Землю с ускорением. Именно это, бросая камни с Пизанской башни, и наблюдал чуть ранее Галилей (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»). При этом ускорение яблока оказывается равным g = GM_З/R_З², где M_З – масса Земли, а R_З – ее радиус. Этот радиус (около 6400 км) был известен со времен Античности, и ускорение свободного падения g (приблизительно равное 10 м/с²) было измерено экспериментально. Предполагая, что плотность Земли примерно одинакова, Ньютон смог оценить и порядок величины массы M_З, а уже зная ее, – вычислить константу G.

Точное значение G, известное сегодня, составляет 6,674∙10^–11 м³∙кг^–1∙с^–2. Оно невелико! Гравитационное притяжение между протоном и электроном незначительно по сравнению с электростатическим притяжением, которое также обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Для крупного же объекта, такого как Земля, сила притяжения достаточна, чтобы удерживать нас на поверхности планеты… и чтобы мы потирали ушибы, упав с дерева.

Небо падает нам на голову

В отличие от яблока, Луна не падает на Землю, а Земля – на Солнце. Почему? Ведь закон всемирного тяготения работает также и в этих случаях. Чтобы понять причину, достаточно простого расчета, но, очевидно, этот парадокс казался невероятным многочисленным современникам Ньютона. Он остается немного удивительным и для нас; давайте вспомним, как он объясняется.

Если бы действие гравитационного притяжения Солнца на Землю внезапно прекратилось, то она, согласно принципу инерции (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), продолжила бы свой путь, равномерно удаляясь от Солнца по касательной к своей прежней орбите. Следовательно, именно притяжение Солнца не позволяет Земле удалиться от него, но этой силы недостаточно, чтобы заставить Землю на него «упасть». Эту ситуацию проще всего проанализировать с помощью понятия центробежной силы (см. главу 4, «Еще одна фиктивная сила: центробежная»), которая возникнет при применении основного принципа динамики к описанию движения тел во вращающейся системе. Если система вращается с угловой скоростью Ω вокруг неподвижного центра O, то центробежная сила, действующая на тело массой m на расстоянии D от центра, есть

F = mΩ²D.

Эта сила направлена по радиусу в направлении от центра круговой траектории. В случае Земли, вращающейся вокруг Солнца, центробежная сила F^→₂ точно компенсирует гравитационную силу F^→₁, с которой ее притягивает Солнце, и поэтому планета на него не падает. При этом Земля двигается вокруг Солнца по кругу радиусом D_С с угловой скоростью

где M_С – масса Солнца. На самом деле Земля описывает вокруг Солнца не окружность, а эллипс³.

4. Притяжение, осуществляемое небесным телом (Солнцем или Луной) на предмет на Земле. В центре Земли O гравитационная сила уравновешена центробежной силой. В точке A гравитационная сила больше, чем центробежная. В точке B гравитационная сила слабее центробежной. Равнодействующая F^→ этих двух сил обозначена красной стрелкой. Таким образом, вода в океанах притягивается небесным телом в точке A, а отталкивается в точке B

Заметим, что эту же величину угловой скорости можно было бы найти и исходя из второго закона Ньютона, записанного для тела, движущегося под действием силы тяготения Солнца и в инерциальной системе отсчета. Однако вычисления в этом случае оказались бы значительно сложнее.

Закон всемирного тяготения, как заметил Ньютон, объясняет движение Земли вокруг Солнца и движение Луны вокруг Земли. Он показал, что этим законом объясняются и приливы.

Происхождение приливов

Для изучения приливов нужно учитывать взаимодействие между Землей, Луной и Солнцем, что требует чересчур сложных вычислений. Поэтому мы начнем с гипотетической ситуации, будто Луны не существует (чрезмерное допущение в случае приливов, но оно упростит объяснение), и рассмотрим Землю и Солнце как два отдельных тела.

Мы уже выяснили, что действующие на Землю центробежная и гравитационная силы уравновешивают друг друга. Это действительно так в центре Земли, но не на ее поверхности. В точке, наиболее близкой к Солнцу (точка A на илл. 4), расстояние D до Солнца наименьшее, следовательно, притяжение Солнца (пропорциональное 1/D²) сильнее, в то время как центробежная сила (пропорциональная D) слабее. Таким образом, равнодействующая сила направлена к Солнцу. Вода, находящаяся в точке A, притягивается к Солнцу – происходит прилив!

В точке, наиболее удаленной от Солнца (точка B), расстояние D до Солнца наибольшее, и его гравитационное притяжение оказывается слабее, в то время как центробежная сила оказывается большей, чем в точке А. Равнодействующая сила отбрасывает водные массивы от Солнца, и там тоже происходит прилив! Если бы Солнце было единственным небесным телом, вызывающим приливы, они происходили бы дважды в день: один в солнечный полдень, когда преобладает гравитационное притяжение, другой – в полночь, когда максимальна центробежная сила. В результате, если бы Земля была покрыта водой со всех сторон, она приняла бы форму удлиненного эллипсоида (как мы увидим, совсем немного удлиненного) или, как порой говорят, мяча для игры в регби (илл. 4). Удлинение вершин эллипсоида ограничено гравитационным притяжением водных масс самой Землей, которое, очевидно, сильнее, чем притяжение Луны и Солнца.

Борьба за влияние между Солнцем и Луной

Данные для Земли, Луны и Солнца. Расчеты, приведенные в четвертом и пятом столбцах, позволяют сравнить удельные веса гравитационных сил, с которыми Солнце и Луна притягивают Землю, и действие этих небесных тел на приливы

Луна или Солнце – какое небесное тело сильнее влияет на приливы?

Чтобы упростить объяснение, ограничимся рассмотрением наиболее близкой к притягивающему небесному телу точки A (илл. 4) и наиболее удаленной от него точки B – таких, что в них обе силы F^→₁ (гравитационная) и F^→₂ (центробежная) лежат на прямой Земля – Солнце или Земля – Луна. В таком случае мы можем оперировать только их модулями и не учитывать направления векторов. Пусть M – масса небесного тела и D – расстояние до Земли. Вычислим силу, с которой небесное тело действует на тело массой δm в точке A или B. Между центром Земли O и точкой A или B расстояние до небесного тела претерпевает относительное изменение, равное R_З/D, где R_З – радиус Земли. Относительное изменение обеих сил F₁ и F₂ между точкой O и точкой A или B пропорционально этой величине. Итак, в точке O модули обеих сил равны GMδm/D². Изменение этой величины при перемещении в точку A или B, следовательно, пропорционально GMδmR_З/D³. Соответственно, пропорциональным GMδmR_З/D³ оказывается и модуль равнодействующей силы F^→ = F^→₁ + F^→₂, называемой приливной силой (силы в A и B направлены в противоположные стороны). Точное вычисление показывает, что коэффициент пропорциональности оказывается равным 3.

Соответственно, если небесное тело – Солнце, то результирующая сила в точках A или B будет равна GM_СδmR_З/D_Л³, а в случае Луны – GM_ЛδmR_З/D_Л³. Из приведенной выше таблицы видно, что сила воздействия Луны на поверхности Земли примерно в два раза больше силы воздействия Солнца.

Напротив, сила гравитационного притяжения Земли Луной намного слабее притяжения Земли Солнцем, поскольку сила, осуществляемая массой M на расстоянии D, пропорциональна M/D², а отношение M_С/D_С² почти в 200 раз больше отношения M_Л/D_Л² (см. таблицу). А что можно сказать о влиянии Солнца на движение Луны? Для этого надо сравнить M_С/D_С² и M_З/D_Л², где M_З – масса Земли. Это величины одного порядка (см. таблицу). Следовательно, воздействием Солнца на движение Луны пренебрегать нельзя⁴.

Луна, жемчужина ночного неба, породила множество верований и суеверий. Мы знаем, что она действительно ответственна за приливы, а вот ее влияние на подъем сока в растениях или на наше настроение (а также на облик оборотней) представляется сомнительным

7. Последствие задержки приливов для движения Луны. Земля (З) и Луна (Л) рассматриваются наблюдателем, находящимся над Северным полюсом. Луна поворачивается в том же направлении, что и Земля, с меньшей угловой скоростью (приблизительно один оборот в месяц). Наземные приливы сдвинуты на угол φ (здесь преувеличенный) относительно движения Луны. Из-за этой задержки сила притяжения Луны Землей имеет малую составляющую f^→, направленную перпендикулярно оси (ЛЗ), которая постепенно отдаляет Луну от Земли

Объяснение, приведенное для Солнца, действительно и для Луны: водные массивы, наиболее близкие к Луне, притягиваются ею, а наиболее удаленные – отталкиваются. Тогда какое небесное тело воздействует сильнее: Солнце или Луна? Чтобы ответить на этот вопрос, придется провести небольшой расчет (см. врезку). Из него следует, что сила, притягивающая воду в точке A, наиболее близкой к воздействующему небесному телу (Солнцу или Луне), пропорциональна M/D³, где M – масса этого небесного тела и D – расстояние до Земли. Итак, отношение M_С/D_С³ приблизительно в два раза меньше, чем M_Л/D_Л³. Значит, влияние Луны на приливы примерно в два раза сильнее, чем влияние Солнца! Так как Луна вращается вокруг Земли не очень быстро, за 24 часа происходит почти два прилива. Таким образом, из-за движения Луны между ними проходит чуть больше 12 часов (а именно 12 часов и 25 минут).

При этом воздействие Солнца на приливы нельзя считать незначительным. Когда три небесных тела выстраиваются в ряд, что происходит чуть чаще раза в месяц (илл. 5), действие Луны усиливает действие Солнца – и приливы особенно сильны. Эти квадратурные приливы приходятся на полнолуние или новолуние. А в первой или в последней лунной четверти происходят слабые сизигийные приливы (илл. 6). С другой стороны, приливы особенно сильны в дни равноденствия, когда Солнце оказывается в одной плоскости с земным экватором.

Высота приливов и их прогнозирование

Гениальная и простая, теория приливов Ньютона все же неспособна правильно предсказать их амплитуду. Их высота (разница уровня воды между приливом и отливом), согласно теории создателя классической механики, должна составлять всего несколько десятков сантиметров. В действительности же высота прилива на океанском побережье обычно достигает десятка метров. Кроме того, она значительно варьирует в зависимости от места, что нельзя объяснить теми аргументами, которые мы приводили ранее. Дело оказывается в том, что Ньютон предполагал поверхность океана всегда пребывающей практически в равновесии и смиренно повинующейся действующим на нее силам. Почти веком позже французский математик и физик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) показал, что правильная теория должна быть динамической. Выяснилось, что важную роль в этом процессе играет явление резонанса: высота прилива в данный момент времени и в данной точке зависит от силы приливов в предыдущие дни и, в свою очередь, оказывает влияние на амплитуду следующих приливов. Сила Кориолиса также играет роль, отклоняя движение водных массивов, поэтому изменение уровня воды во время прилива на берегах Ла-Манша достигает десятка метров с французской стороны, но практически на четыре метра меньше на английских берегах!

Энергия приливов

Приливы несут ценную энергию, которую было бы заманчиво получить. Для этого были изобретены приливные электростанции (см. илл.), которые для производства электроэнергии используют приливные течения или связанные с ними перепады высоты воды. Однако действительно ли энергия приливов неисчерпаема, как солнечная или ветровая? Как мы уже упоминали, потери энергии во время приливов приводят к замедлению вращения Земли. Так что использование энергии приливов, вполне вероятно, может усилить это замедление…

Давайте сначала оценим энергию, которую человек может максимально извлечь из каждого прилива. Дадим очень грубую оценку, предполагая, что прилив ежедневно поднимает на высоту h = 1 м площадь воды, равную R_З². Получается энергия порядка gρR_з²h², где ρ – плотность воды, то есть около 10¹⁸ Дж в день. Это значение огромно и близко ко всему мировому потреблению энергии, которое в 2008 году составило около 5 ∙ 10²⁰ Дж. Теперь давайте сравним его с кинетической энергией вращения Земли. Она определяется формулой для энергии вращающегося шара: (1/5) M_зR_з²ω². Подставляя в нее массу Земли M_з = 6 ∙ 10²⁴ кг, ее радиус R_З = 6,37 ∙ 10⁶ м и угловую скорость ω – один поворот в день, то есть около 7 ∙ 10^–5 радианов в секунду, находим, что кинетическая энергия вращения Земли составляет примерно 2,4 ∙ 10²⁹ Дж. Разделив этот результат на 5 ∙ 10²⁰ Дж, мы увидим, что, даже если человечество научилось бы полностью извлекать всю энергию приливов (что технически кажется неосуществимым), Земля продолжит вращаться еще на протяжении полумиллиарда лет.

В Рансе, на севере Бретани, приливная электростанция успешно работает с 1967 года. Плотина (которая также служит мостом) работает при движении воды в обоих направлениях: турбины действуют во время как прилива, так и отлива. Таким образом предприятие использует вызванное приливом изменение уровня воды для выработки электроэнергии

Высота приливов определяется не только расположением Луны и Солнца по отношению к Земле, но и очертаниями берегов и подводным рельефом. Вычисления крайне сложны, и проделать их не представляется возможным. К счастью, предсказать свойства приливов с очень большой точностью можно, принимая уровень моря в данной точке за сумму синусоидальных функций времени Σ a_isin(ω_it − α_i). В такой сумме достаточно учесть десяток слагаемых. Частоты ω_i хорошо известны, а коэффициенты ω_i, так же как фазовые сдвиги α_i, в каждой точке берега определяются экспериментально.

Все более долгие дни… и все более далекая Луна

Наблюдения показывают, что приливы по отношению к видимому движению Луны задерживаются примерно на 12 минут. Моделируя Землю и ее водные массивы в виде удлиненного эллипсоида, находим, что его бо́льшая ось направлена не точно на Луну, а составляет с направлением Земля – Луна угол φ порядка 3° (илл. 7). Действительно, вода из-за торможения ее движения трением о дно океанов и о берега не успевает в каждый момент времени занять самое энергетически выгодное положение. Это трение приводит к превращению части кинетической энергии вращения Земли в тепло. То есть приливы тормозят вращение Земли! Следовательно, увеличивается и протяженность дня. Об этом первым догадался в XIX веке английский физик лорд Кельвин. В дальнейшем скорость этого замедления удалось оценить с высокой точностью: исследователи изучили найденные в Индийском океане окаменевшие кораллы и нашли в них кольцевые образования, отражающие чередование дня и ночи. Возраст кораллов был оценен в 400 млн лет. Подсчитав эти кольца, ученые установили, что календарный год, то есть время, которое Земля затрачивала на полный оборот вокруг Солнца, составлял в ту эпоху 395 дней. То есть день длился всего 22 часа!

«Запаздывание» приливов имеет и другие следствия: Земля принимает форму мяча для игры в регби, чья ось все больше отклоняется от оси Земля – Луна. Сила притяжения между Землей и Луной направлена не точно к центру Земли, а имеет небольшую составляющую, перпендикулярную оси Земля – Луна. И эта компонента силы приводит к удалению Луны от Земли на 3,8 см в год… все больше разделяя нас и наших лунных соседей!

Глава 6

Капли и пузыри

Пузыри и капли завораживают детей… и больших детей – ученых. «Выдуйте мыльный пузырь и посмотрите на него. Вы могли бы провести всю свою жизнь, изучая его, не переставая извлекать из него уроки физики», – писал упомянутый выше лорд Кельвин. Поэтому мы не сумеем охватить всю эту тему в одной главе. Но мы поймем, почему капли и пузыри принимают сферическую форму, как получить пузыри в форме цилиндра или лошадиного седла… и даже как сделать микрофон с помощью текущего крана!

Почему дождь идет каплями?

Вода часто принимает форму капель диаметром приблизительно в один миллиметр. Достаточно внимательно понаблюдать за дождем, чтобы в этом убедиться. Почему так? Почему вода, помещенная в капельницу, выходит из нее только под действием небольшого давления и в виде почти идеально круглых капель четко определенного диаметра?

Минимизация потенциальной энергии и поверхностное натяжение

Любая система стремится минимизировать свою потенциальную энергию, то есть энергию, которой она обладает из-за своего положения в пространстве и внешних воздействий. В соответствии с этим принципом бильярдные шары падают в лунки, так же как иногда люди падают на льду: таким образом они уменьшают свою потенциальную энергию в гравитационном поле Земли. Капля же стремится принять форму, которая определяется минимизацией не только ее потенциальной энергии в гравитационном поле, но и поверхностной энергии. Каково же происхождение последней? Дело в том, что молекулы, находящиеся на поверхности жидкости, пребывают в особой ситуации по сравнению с молекулами в объеме: они имеют плотную среду подобных соседей только с одной стороны, с другой с ними соседствуют молекулы гораздо более разряженного воздуха. Молекулы жидкости притягиваются друг к другу, их потенциальная энергия отрицательна. А вот молекулы на поверхности лишены половины таких дружественных соседей и в результате находятся в неблагоприятном энергетическом состоянии.

1. На пленку мыльной воды воздействует сила 2F (у пленки две поверхности) со стороны подвижного стержня. Если стержень перемещается на длину x, то работа силы 2Fx равна уменьшению потенциальной энергии 2σLx пленки. Следовательно, коэффициент поверхностного натяжения σ равен отношению силы к длине F/L

Таким образом, увеличение поверхности жидкости требует затрат энергии (вот почему яичные белки нужно именно взбивать!). Эта энергия, отнесенная к единице поверхности, называется коэффициентом поверхностного натяжения. Коэффициенты поверхностного натяжения для разных видов жидкости сегодня точно измерены (см. таблицу ниже) и обычно выражаются в джоулях на квадратный метр. Коэффициент поверхностного натяжения можно также трактовать и на языке сил – его величина соответствует силе, действующей на единицу длины границы поверхности, – и выражать в ньютонах на метр (убедитесь, что эта величина эквивалентна джоулю на квадратный метр). Эффект поверхностного натяжения можно продемонстрировать с помощью простого эксперимента (илл. 1). Возьмем металлическую прямоугольную рамку, одна сторона которой представляет собой подвижный стержень длины L. Погрузим ее в мыльную воду, а затем аккуратно поднимем, чтобы получить прямоугольную мыльную пленку. Под влиянием поверхностного натяжения пленка начнет сжиматься, смещая подвижный стержень.

Аналогично поверхностному натяжению возникает и межфазное натяжение между двумя несмешивающимися жидкостями или между твердым телом и жидкостью.

Форма капли в состоянии равновесия и в пренебрежении силой тяжести, согласно вышесказанному, является такой, которая минимизирует поверхностную энергию, то есть формой, которая для данного объема минимизирует площадь поверхности. А этому условию соответствует именно сфера! Поэтому капли воды или любой другой жидкости часто сферические (илл. 2). Однако, как мы увидим далее, под воздействием различных факторов эта форма может изменяться.

2. Капли воды на паутине. Сферическую форму принимают все капли, кроме самых крупных, которые сильнее подвержены воздействию силы тяжести

Размер капель

Равновесная форма капли воды в отсутствие внешних сил – сфера. А что нам известно о ее форме в реальных условиях?

Почему капли дождя не растут

a. Форма, принимаемая падающей каплей воды в зависимости от ее размера. Сверху вниз: капли диаметром D соответственно меньше, примерно равны и больше капиллярной длины. (E. Reyssat, F. Chevy, A. L. Biance, L. Petitjean, D. Quéré, Europhysics Letters 80, 34005 (2007)).

b. Форма «мешка», которую во время падения принимает изначально сферическая капля радиусом около 18 мм. Капля постепенно наполняется воздухом и в конечном итоге разорвется. (Там же)

Почему дождь не падает крупными каплями? Группа физиков в Париже изучила этот вопрос, сбрасывая капли воды различного диаметра с высоты 8–12 м и фотографируя их форму в полете (см. илл.). Маленькие капли остаются сферическими. Более крупные капли сплющиваются, а начиная с определенного размера принимают форму мешка. Видно, что в этот «мешок» во время падения капли попадает воздух, который в конечном итоге каплю разрывает. Таким образом, капля, превышающая критический размер, просто не долетает до земли неповрежденной. Благодаря этому во время дождя нас не бьют по голове капли диаметром в сантиметр!

Оказывается, что критический размер капли определяется величиной найденной нами капиллярной длины. Это утверждение может удивить, так как роль сопротивления воздуха явно имеет важное значение в проведенных экспериментах, однако оно никак не учитывалось при выводе формулы (1) в главе 6. Дело в том, что когда капля падает с высоты всего лишь 10 м, то она уже достигает постоянной скорости в несколько метров в секунду (около 9 м/с для самых больших капель, несколько м/с для самых маленьких). Величина этой скорости определяется равенством двух сил – силы тяжести с одной стороны и силы сопротивления воздуха с другой. Таким образом, сила, обусловленная сопротивлением воздуха, по величине оказывается равной весу капли, даже если ее распределение по поверхности капли отличается от силы тяжести, распределенной по объему.

Да, дождь не падает крупными каплями… Но, к сожалению, бывает крупный град! Размер градин значительно увеличивается, если они попадают в несколько последовательных восходящих течений. В настоящее время мало что можно сделать, чтобы предотвратить их образование; идея засеивать облака частицами, предназначенными активизировать образование капель, оказалась неудачной.

При возникновении капли в земных условиях ее росту больше некоторого критического размера препятствует гравитация. Рассмотрим, например, формирование капли в капельнице (илл. 3). При достаточном давлении на насадку из капельницы вытекает вода. Форма образующейся при этом капли отличается от сферы, однако во всех направлениях имеет один и тот же характерный размер R (илл. 3a). Таким образом, ее масса оказывается порядка ρR³ (где ρ – плотность жидкости), а вес – порядка gρR³ (где g – ускорение свободного падения). Поверхностная энергия капли, как мы уже видели выше, при этом имеет порядок σR², где σ – поверхностное натяжение жидкости. В некоторый момент времени под действием силы тяжести капля начинает отрываться от капельницы (илл. 3b). Пройдя путь порядка R, капля уменьшает гравитационную потенциальную энергию примерно на gρR⁴ (изменение потенциальной энергии силы тяжести между двумя точками равно весу объекта, умноженному на разницу высот). Но в ходе этого процесса капля растянулась, ее поверхность увеличилась, и, соответственно, возросла примерно на σR² ее поверхностная энергия. Капля под действием силы тяжести оторвется от капельницы только тогда, когда выигрыш в потенциальной энергии капли в поле тяжести превысит увеличение поверхностной энергии, то есть при условии, что радиус капли R превысит так называемую капиллярную длину R₁:

Капля меньшего радиуса от капельницы не оторвется. Отвлекаясь от нашего эксперимента с капельницей, можно утверждать, что капиллярная длина является той гранью, за которой роль гравитации становится преобладающей по сравнению с поверхностной энергией. Например, если поместить совсем небольшое количество жидкости на ровную поверхность, то образуется капля, свободная поверхность которой будет практически сферической. Но если радиус зоны контакта с поверхностью приближается к величине R₁, то капля деформируется и принимает все более плоскую форму. В заключение скажем, что радиус капель обычно не превышает значение R₁ (см. врезку на пред. с.). Для воды, при g = 9,8 м/с² и ρ = 1000 кг⋅м³, капиллярная длина составляет порядка 3 мм.

Мыльные пузыри

Бывают капли воды в воздухе и пузырьки воздуха в воде (см. главу 15, «Возникновение первых пузырьков»). Но можно создать и воздушные пузыри в воздухе – с помощью мыльного раствора воды! Он образует весьма устойчивые пузыри, которые невозможно было бы получить, используя чистую воду (илл. 4).

Молекулярная структура мыльной пленки – сама по себе урок физики. Мыло содержит так называемые поверхностно-активные вещества, молекулы которых характеризуются гидрофильной («любящей воду») головкой и гидрофобным («боящимся воды») хвостом. Чтобы удерживать головку в воде и хвосты вне воды, эти молекулы скапливаются у поверхности и выстраиваются перпендикулярно ей (илл. 5). Таким образом, присутствие молекул поверхностно-активного вещества в воде уменьшает коэффициент поверхностного натяжения раствора. Равновесная форма мыльного пузыря такая же, как и у небольшой капли. Это сфера, которая минимизирует поверхностную энергию системы. Поэтому неудивительно, что небольшие пузыри, как и маленькие капли, оказываются сферическими. Однако, в отличие от капель, сферическими часто могут быть даже большие пузыри. Дело в том, что мыльная пленка тонкая и чрезвычайно легкая, и поэтому воздействие гравитации на пузырь оказывается незначительным. Таким образом, мыльные пузыри отлично подходят для изучения поверхностного натяжения и его эффектов. Если бы размер пузыря регулировало только поверхностное натяжение, то оно бы неограниченно уменьшало его поверхность, пузырь становился бы все меньше и меньше и в конечном итоге исчезал. Но поскольку внутри пузыря находится воздух, то уменьшение диаметра приводит к росту давления внутри него, и, когда последнее достигает величины суммы атмосферного давления и дополнительного давления Лапласа стенок пузыря, устанавливается баланс сил.

5. Схема мыльной пленки. Молекулы поверхностно-активного вещества уменьшают поверхностное натяжение воды и тем самым препятствуют уничтожению мыльного пузыря. Гидрофильная головка обычно обладает электрическим зарядом и поэтому сильнее взаимодействует с молекулой воды, которая обладает электрическим дипольным моментом (см. главу 16, илл. 5)

Формула Лапласа

Откуда же берется избыточное давление ΔP, отличающее давление внутри мыльного пузыря от атмосферного? Для сферического мыльного пузыря радиусом R расчет прост. Поверхностная энергия равна произведению площади поверхности на поверхностное натяжение: Sσ’ = 4πR²σ’, где σ’ = 2σ, то есть вдвое превышает поверхностное натяжение мыльной жидкости, так как пленка имеет две стороны. Небольшое увеличение радиуса пузырька δR приводит к изменению поверхности на величину 8πRδR и, следовательно, к изменению энергии поверхности на 8πσ’RδR (илл. 6). Это изменение энергии должно компенсироваться работой сил давления, приложенных к стенкам пузырька при увеличении его радиуса (работа силы равна энергии, переданной системе этой силой в процессе перемещения). Эта работа равна избыточному давлению ΔP, умноженному на изменение объема пузыря, то есть 4πR²δRΔP. Поэтому мыльный пузырь радиусом R пребывает в равновесии тогда, когда давление воздуха внутри превышает атмосферное на

ΔP = 2σ’/R. (2)

Это соотношение называется формулой Лапласа, в честь физика, который вывел его в 1806 году (см. главу 5, «Высота приливов и их прогнозирование»). Избыточное давление ΔP тем больше, чем меньше пузырь. Вы легко можете проверить его справедливость, соединив два пузырька разного размера тонкой трубочкой: маленький пузырь тут же станет расти, а большой – уменьшаться!

Для миллиметрового пузыря значение избыточного давления составляет порядка одной тысячной от атмосферного. Для пузырька газа в воде σ’ = σ, и избыточное давление оказывается в два раза меньше, чем в мыльном пузыре того же радиуса.

Соприкасающиеся пузыри и пена

Воспользовавшись формулой Лапласа, мы можем предсказать, какую форму примет система из нескольких пузырьков в пене. Рассмотрим два пузыря радиусом R₁ и R₂ соответственно (илл. 7). Избыточное давление внутри каждого из них равно соответственно ΔP₁ = 2σ’/R₁ и ΔP₂ = 2σ’/R₂. Мыльная пленка, разделяющая два этих пузырька, является сферической поверхностью, изгиб которой должен уравнивать разность давлений ΔP₂ и ΔP₁. Таким образом, радиус R₃ определяется формулой (2), с R = R₃ в знаменателе и ΔP = ΔP₂ – ΔP₁:

7. Соприкосновение двух пузырей. Плоскости, касательные к поверхностям двух пузырьков, должны иметь между собой и плоскостью, касательной к перегородке Γ, углы 120°, а радиусы пузырьков – удовлетворять соотношению 1/R₃ = 1/R₂–1/R₁, где R₂ – радиус меньшего пузыря. В таком случае устанавливается равновесие между воздействующими на поверхность силами поверхностного натяжения F₁ и F₂ и силой поверхностного натяжения, возникающей на внутренней перегородке между пузырьками

Капля на поверхности

Какую форму принимает капля на твердом теле? В отличие от случаев контакта между двумя пузырями, где работает только поверхностное натяжение σ, сегодня ученые различают три типа межповерхностных натяжений: σ_жг, σ_жт, σ_тг, которые соответствуют границам между жидкостью и газом, жидкостью и твердым телом, а также между твердым телом и газом. В зависимости от значений этих трех параметров капля в большей или меньшей степени растекается по поверхности. Степень этого «растекания» измеряется углом α между касательной к поверхности капли и плоскостью, на которой она лежит, в точке их соприкосновения (см. илл.).

Капля жидкости частично смачивает твердую поверхность

На общей для всех трех сред границе Γ на единицу ее длины действуют три силы: две из них, σ_жт и σ_тг, параллельны поверхности, третья, σ_жг, направлена по касательной к поверхности капли (все они обозначены на иллюстрации красным цветом). Граница Γ должна оставаться на поверхности опоры. Поэтому для равновесия достаточно, чтобы сумма проекций сил на плоскость опоры была равна нулю, то есть:

σ_тг = σ_жгcos α + σ_жт.

Это так называемое уравнение Дюпре – Юнга. Косинус угла контакта может изменяться от 1 до –1, что соответствует условию – σ_жг < σ_тг – σ_жт < σ_жг. При выполнении этого условия говорят, что имеет место частичное смачивание. Капля при этом образует сферический купол.

В случае когда σ_тг – σ_жт > σ_жг, капля растекается до тех пор, пока это возможно, образуя при этом очень тонкую пленку. Это так называемый случай полного смачивания.

Если же σ_тг < σ_жт – σ_жг, то капля отделяется от опоры, не смачивая ее совсем. Возможно, читателю приходилось видеть капельки ртути на столе около разбитого термометра (см. илл.) или скатывающиеся по перьям утки капельки воды – это примеры отсутствия смачивания.

Капли ртути не смачивают поверхность. Маленькие капли имеют четкую сферическую форму, большие – сплющены силой тяжести

Однако одного этого соотношения оказывается недостаточно для описания геометрической формы обоих пузырьков и границы между ними.

Недостающее геометрическое соотношение можно вывести, если вспомнить, что силы поверхностного натяжения, действующие в любой точке A окружности Γ, ограничивающей поверхность, должны уравновешивать друг друга (то есть их векторная сумма должна быть равна нулю). Этих сил всего три, каждая направлена по касательной к одной из сфер (1, 2 или 3), и они стремятся сжать соответствующие шаровые сегменты. Все три силы равны по модулю (который составляет отношение σ’ к единице длины). Таким образом, для достижения равновесия они должны попарно составлять между собой углы в 120° (илл. 8). Аналогичное рассуждение позволяет определить и форму капли на твердой плоскости (см. главу 6, врезку «Капля на поверхности»).

Пена образуется из очень большого количества пузырьков, однако ее структура определяется из тех же условий, которые мы использовали выше для двух пузырей.

Необычные мыльные пузыри

Необычные формы, которые могут принимать мыльные пузыри, далеко не ограничиваются одной сферой. Если мыльная пленка не свободна, а натянута на некоторую рамку, то она порой образует удивительные, кажущиеся невозможными фигуры! Давайте начнем с погружения двух одинаковых колец в мыльную воду. Приложив толику усердия и аккуратности, мы можем получить пузырь в форме цилиндра, накрытый с обеих сторон сферическими «шапками» (илл. 9). Перепад давления ΔP внутри и снаружи пузыря связан с радиусом цилиндра R по формуле, аналогичной формуле Лапласа, но без коэффициента 2:

ΔP = σ’/R. (3)

«Шапки» пузыря при этом являются сферическими сегментами радиуса 2R, который определяется формулами (2) и (3). А что произойдет, если они лопнут? При этом исчезнет перепад давления внутри и снаружи мыльной пленки. В результате пленка между двумя кольцами, для того чтобы минимизировать поверхностную энергию, перестает быть цилиндрической и деформируется (илл. 10). Получающаяся в результате такой деформации поверхность приобретает форму лошадиного седла и называется катеноидом. С математической точки зрения это поверхность, которая формируется вращением цепной линии вокруг оси (цепная линия, в свою очередь, – это кривая такой формы, какую принимает подвешенная между двумя точками цепочка, например колье). При изменении формы рамки, независимо от ее геометрии, поверхность, принимаемая пленкой, всегда будет соответствовать минимуму ее площади (такая поверхность называется минимальной) (см. главу 6, врезку «Кривизна, средняя кривизна, цепочка и катеноид»).

Капающий кран

Оставим мыльные пузыри и вернемся к каплям, а точнее – ко всем знакомой ситуации: неплотно закрытый кухонный кран подтекает, роняя капли через регулярные промежутки времени (илл. 11). Их падение происходит очень быстро, и мы невооруженным глазом не можем различить детали – они доступны только высокоскоростной камере. Однако, и не имея такой камеры, бельгийский физик Жозеф Плато (1801–1883) в XIX веке сумел подробно проанализировать форму этих капель. Опытный экспериментатор решил устранить действие силы тяжести – тогда падающие капли будут двигаться достаточно медленно и за ними можно будет проследить невооруженным глазом. Вместо того чтобы ронять капли воды в воздухе, он использовал другую, не смешиваемую с водой, жидкость с плотностью, близкой к плотности воды (см. главу 6, врезку «Два эксперимента по следам Плато»). В этом случае действующая на капли выталкивающая сила Архимеда (глава 15) почти полностью компенсирует их вес. И все происходит так, как будто капли освободились от действия гравитации.

Таким образом, Плато смог наблюдать образование капель на выходе из крана. Оказалось, что между формирующейся каплей и краном образуется жидкая нить, которая постепенно становится все тоньше, и утончается до тех пор, пока капля не отделится. Интересно, что при этом на нити образуется сопроводительная вторичная капля, видимая, например, на последней фотографии на илл. 3. Этот «спутник», систематически возникающий при образовании капель, стал открытием Плато. Опишем еще одну его находку.

При вытекании из крана тонкой струи видно, что она остается непрерывной и цилиндрической только в верхней части. Ниже струя теряет свою регулярную форму, и человеческий глаз не в состоянии различить, что с ней происходит далее (см. главу 6, врезку «Два эксперимента по следам Плато»). Но мы можем догадаться. Цилиндрическая форма соответствует относительно большой поверхностной энергии струи. Следовательно, в целях минимизации своей поверхностной энергии струя рассыпается на множество небольших капель (илл. 11). Цилиндрическая струя оказывается неустойчивой! Это явление называется «неустойчивость Рэлея – Плато», поскольку его теория была разработана лордом Рэлеем (см. главу 3, «Цвет неба в хорошую погоду»).

Кривизна, средняя кривизна, цепочка и катеноид

В каждой своей точке кривая (при определенных условиях непрерывности, дифференцируемости и т. д.) характеризуется радиусом кривизны R. Последний определяется как радиус окружности, наилучшим образом приближающей эту кривую в выбранной точке. Соответственно, в каждой точке кривой можно определить и величину ее кривизны γ = 1/R.

В свою очередь, поверхность в любой точке A (см. илл.) характеризуется двумя радиусами кривизны: R₁ и R₂. Они соответствуют минимальным и максимальным значениям радиуса кривизны при сечении поверхности в этой точке плоскостью, проходящей через нормаль. Радиус кривизны считается положительным, если кривая в сечении выпуклая, и отрицательным, если она вогнутая (на рисунке R₂ < 0 и R₁ > 0). Среднюю кривизну γ определяют посредством отношения 2γ = 1/R₁ + 1/R₂.

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы поверхность была минимальной, оказывается требование, чтобы ее средняя кривизна в любой точке поверхности была равной нулю, то есть два основных радиуса кривизны должны быть равными по модулю, но иметь противоположные знаки.

Существует большое разнообразие минимальных поверхностей. Однако особую роль среди них занимают катеноиды. Читатель, обладающий некоторыми знаниями о дифференциальном исчислении, без особого труда докажет, что уравнение цепной линии определяется выражением y = αch (kx). Вращение цепной линии вокруг оси x порождает катеноид, который имеет нулевую среднюю кривизну. Можно также доказать, что именно эта поверхность соответствует устойчивой форме мыльной пленки, заключенной между двумя параллельными кольцами, при условии что они находятся достаточно близко друг к другу (илл. 10). Если же их развести достаточно далеко, то катеноид лопнет и останется два диска внутри колец.

Если же давление по обе стороны мыльной пленки оказывается разным, то она образует поверхности со средней кривизной, равной во всех точках, но отличной от нуля. Скажем, таковы мыльные пузыри, возникшие на проволочной раме и удерживающие воздух. Простым примером такой поверхности является замкнутый двумя сферическими «шапками» цилиндрический пузырь (илл. 9): его средняя кривизна γ везде равна 1/(2R), где R – радиус колец.

Геометрия минимальной поверхности (форма мыльной пленки, находящейся под равными давлениями со всех сторон). В любой точке A такой поверхности лежащие на ней кривые либо вогнуты (красная кривая), либо выпуклы (зеленая кривая). Красная кривая соответствует минимальной кривизне линии, уходящей вверх (вогнутой), а зеленая – минимальной кривизне линии, загибающейся вниз (выпуклой). Для минимальной поверхности обе кривизны 1/R₁ и 1/R₂ должны быть равны по модулю

Распаду струи предшествует появление выпуклостей и сужений, которые увеличиваются вплоть до отделения капель. Сверхбыстрая фотосъемка показывает, что между двумя каплями нормального размера образуется небольшая капля, подобная уже известному нам «шарику Плато». Действительно, прежде чем отделиться, большие капли разделяются длинным и тонким цилиндром, который после окончательного отделения капель и образует «шарик Плато». Поведение струи во времени оказывается довольно сложным. Капли становятся то удлиненными, то сплющенными, проходя промежуточную сферическую форму. Эти колебания можно изучать либо с помощью метода скоростной фотосъемки, либо куда более давним, изобретенным Плато методом стробоскопии, при котором движущийся объект освещается периодически, однако лишь в течение кратких мгновений.

Физики-музыканты

Первые наблюдения за распадом струи жидкости под влиянием звука были выполнены французским физиком Феликсом Саваром (1791–1841), чьим именем впоследствии была названа единица измерения, используемая для оценки высоты музыкальных нот. Ученый заметил, что возбуждение вблизи струи музыкального звука подходящей частоты усиливает ее фрагментацию: цилиндрическая часть струи практически исчезает, она начинает делиться на капли с самого верха. Согласно Савару, будущие капли начинают формироваться в струе уже сразу после ее выхода из крана. Поначалу это простые выпуклости, становящиеся все более и более выраженными по мере падения жидкости до точки, где они полностью разделяются. Эти близкие друг к другу выпуклости (илл. 12) производят слабый, но четко определенной частоты звук. Ученый предположил, что музыкальная нота, звучащая в унисон с этими колебаниями, оказывает особое влияние на струю и разрывает ее на вереницу капель!

Британский физик Джон Тиндаль (1820–1893) продолжил опыты Савара с прозрачной цилиндрической струей 27-метровой высоты – такая струя под воздействием звука органной трубы становилась мутной и распадалась на множество капель. Тиндаль лил воду в широкий сосуд, располагая его на разной высоте, выше или ниже точки, в которой струя мутнела. Вот что он обнаружил: «Когда нисходящая струя пересекает поверхность жидкости выше “точки перерыва”, причем давление не слишком сильно, то она входит в нее молча; но когда эта поверхность пересекается со струей ниже точки перерыва, то слышится журчание и появляется множество пузырьков».

Два эксперимента по следам Плато

Приглашаем вас, дорогие читатели, провести два эксперимента на вашей кухне (необязательно доводя их до совершенства, как Плато; см. главу 6, «Капающий кран»).

Опыт 1

Устранение действия гравитации на капли

Наполните маслом узкий стакан высотой не менее 10 см, затем влейте в него с помощью пипетки или коктейльной соломинки спирт, смешанный с водой (не менее 70 % спирта), предварительно его подкрасив. Маленьким каплям потребуется несколько секунд, чтобы достичь дна, более крупным – чуть меньше секунды, но вам хватит времени, чтобы проследить за ними. Как заметил Плато, вы получите довольно большие капли (диаметром около сантиметра) сферической формы, в то время как капли воды того же размера в воздухе оказались бы сильно деформированными силой тяжести. Это и неудивительно: если ввести характеризующую такие капли капиллярную длину, определяемую формулой (1), то в знаменателе последней для капли, пребывающей в масле, следует заменить плотность воды на разницу плотностей спиртового раствора и масла. Понятно, что такая капиллярная длина окажется намного больше, чем вычисленная для воды. Кроме того, вы можете оценить и скорость падения капель. Сравните ее с величиной, полученной по формуле Стокса, о которой мы поговорим в главе 15, «Движение пузырьков и турбулентность».

Опыт 2

Демонстрация неустойчивости Рэлея – Плато

Медленно, как можно более плавно откройте кран. Из него начнут падать капли. Откройте его чуть сильнее, так, чтобы получить очень тонкую и непрерывную струю воды. Для того чтобы продемонстрировать распад струи из-за неустойчивости Рэлея – Плато, возьмите одну из пластиковых карт, которые в таком количестве вторглись в современную жизнь, и вставьте ее в струю воды на достаточном расстоянии от крана. При этом вы услышите звук падающих капель, а ваши пальцы, держащие карту, почувствуют легкое дрожание! Эти явления исчезнут, если подставить карту под верхнюю часть струи (см. илл.).

Цилиндрическая струя воды через несколько сантиметров от истока распадается на капли

Это подтолкнуло американского изобретателя Александра Белла (1847–1922) к созданию водного микрофона (илл. 13). Его струя была намного меньше 27 м в высоту и падала на резиновую мембрану вместо поверхности жидкости. Мембрана была натянута в верхней части трубки, в которую была вставлена другая трубка в виде воронки. В соответствии с экспериментами Тиндаля, нижняя часть струи воды делилась на капли и при достижении мембраны производила звук. Благодаря резонатору, которым являлись трубка и воронка, стук капель усиливался. Камертон, вибрировавший рядом с тонкой струей воды, вызывал головокружительный «капельный хор»; звук поднесенных к струе часов становился слышным во всей комнате. В конце XIX века немецкий популяризатор науки Донат утверждал, что он пробовал использовать такое устройство для передачи своего голоса. Струя действительно «заговорила», но так нечетко и столь хриплым и неприятным голосом, что все помощники ученого разбежались.

Водный микрофон не самое известное изобретение Александра Белла, прославившегося созданием телефона. Впрочем, следует заметить, что авторство на изобретение телефона ему, по-видимому, следует разделить с Элишей Греем (1835–1901) и Антонио Меуччи (1808–1889). Через много лет после конфликта из-за патента на это изобретение потомкам осталось известно преимущественно имя Белла.

Глава 7

Климат: почему лето становится жарче?

С течением времени на Земле установился климат, благоприятствующий для зарождения и дальнейшего существования жизни. Это заслуга и согревающего ее своими лучами Cолнца, и естественного парникового эффекта, и сложного динамического равновесия между океанами и атмосферой. В этой главе мы рассмотрим основные физические механизмы поддержания на земной поверхности температур, комфортных для человеческого организма. Однако производственная деятельность человека приобрела такие масштабы, что она уже не проходит бесследно для природы…

Какая погода устанавливается в той или иной точке Земли, определяется главным образом протеканием разнообразных физических явлений, хотя на ее формирование оказывают свое действие также химические и биологические процессы. Для предсказания погоды на ближайшие дни метеорологи применяют соответствующие законы физики. И, как нам хорошо известно, порой они ошибаются! Как же так, ведь они располагают уравнениями, которые, казалось бы, должны позволять предсказывать будущее, если хорошо известно «настоящее»? Дело, оказывается, в том, что «настоящее» никогда не известно в полном объеме, и сложнейшие уравнения, описывающие состояние атмосферы, решаются только приблизительно, с большей или меньшей точностью. При этом они оказываются крайне чувствительными к малейшей ошибке в начальных данных. Часто говорят (преувеличивая), что один взмах крыла чайки, изменяя совсем чуть-чуть состояние атмосферы, может повлечь радикальное изменение погодных условий и, например, стать косвенной причиной бури на другом краю света… Такая крайняя чувствительность к погрешностям в измерении начальных условий в метеорологии называется детерминистическим хаосом.

2. Спектры излучения (вверху) и поглощения (внизу) паров ртути, полученные путем пропускания излучаемого ими света через призму. Как и каждая из порождающих радугу капель воды, призма преломляет падающее на нее излучение. Показатель преломления света зависит от длины его волны (см. главу 2, «Отражение и преломление световых волн»). Спектр излучения, испускаемого возбужденным (например, нагретым) одноатомным газом, состоит из дискретного набора линий (линейный спектр). Изучая его, ученые судят о химической природе конкретного вещества

Задача климатолога в некотором смысле кажется более простой, чем задача метеоролога. Если климатолог делает прогнозы, то они должны быть применимы для довольно обширных регионов и в течение длительных периодов времени. Так, в климатологии делаются прогнозы климата, который установится и через 50, и через 100 лет. Выходит, на климат детерминистический хаос не оказывает влияния? Едва ли. Однако не хаос является главным противником климатолога – прежде всего он должен учитывать сложные, разнообразные и взаимозависимые физические явления, формирующие климат. Эти явления происходят в различных – вплоть до космических – масштабах, в очень разных временны́х интервалах (они могут длиться дни, месяцы, века, тысячелетия – см. илл. 1). Те или иные существенные для формирования климата процессы могут протекать на любых высотах атмосферы, на любой глубине морей и т. д.

3. Физик Николя Леонар Сади Карно (1796–1832) в форме Политехнической школы. Из семьи Карно вышло много известных людей: Лазар Карно (1753–1823) – военный министр времен Первой Республики, математик; его внук, Мари-Франсуа Сади Карно – президент Франции в 1887–1894 годах; брат последнего – химик Мари-Адольф Карно (1839–1920), в честь которого назван минерал карнотит

Радиационный баланс Земли

В климатологии температура оказывается наиболее просто прогнозируемой физической величиной. Температура Земли зависит в первую очередь от тепла, которое она получает от Солнца и которое приводит в движение все механизмы формирования климата. Это тепло до нас доходит в виде электромагнитного излучения, частóты которого в основном находятся в видимой области спектра (см. илл. в главе 3, врезке «Цветовое зрение»). Часть этого тепла Земля, излучая, в свою очередь, электромагнитные волны, возвращает обратно в космическое пространство. Однако ввиду того, что температура Земли гораздо ниже температуры Солнца, частóты излучаемых ею электромагнитных волн оказываются гораздо меньшими. Это – инфракрасное – излучение человек без специальных приборов не видит, и жить оно ему никак не мешает.

Поскольку электромагнитное излучение играет важную роль в нашем рассказе, то, прежде чем углубиться в исследования климата, давайте обсудим его свойства.

От спектров атомов до спектра абсолютно черного тела

Все нагретые тела излучают электромагнитные волны. Излучение, испускаемое каким-то телом с заданной температурой, характеризуется своим спектром, то есть зависимостью мощности излучения, приходящейся на единичный интервал длин волн (или частот), как функцией величины длины волны λ (или частоты υ = c/λ). Простой способ визуализировать спектр испускаемого телом света состоит в том, чтобы поставить на его пути призму и спроецировать полученное изображение на экран; при этом белый свет разделится на различные цвета, его составляющие (см. главу 3, «Цветовое зрение»).

Спектр излучения того или иного тела зависит от его химической природы, температуры и агрегатного состояния: газ ли это, жидкость либо твердое тело.

Атомарный газ (например, пары ртути) при низком давлении испускает излучение определенных частот, его спектр состоит из четких линий (илл. 2). Этот факт выражает собой фундаментальное свойство атомов: порции энергии, которые атомы могут излучать или поглощать, дискретны (объяснение ему дает квантовая механика, см. главу 22). Каждая линия спектра излучения соответствует переходу атома из состояния с энергией E₁ в другое состояние, с более низкой энергией E₂. Такой переход сопровождается испусканием излучения частоты υ = (E₁ – E₂)/h, где h = 6,6⋅10^–34 Дж⋅c – постоянная Планка. Единичный акт такого излучения соответствует испусканию «кванта света», или фотона (см. главу 22, «Спектр излучения атомов – ключ к атомной структуре»). Напротив, если атом помещается в поле монохроматического излучения частоты υ, то он способен его поглотить только при условии, что в его спектре существует два энергетических состояния, такие, что для них E₁ – E₂ = hυ. Следовательно, атом поглощает только такое излучение, которое способен излучать. Таким образом, спектр поглощения нагретого газа очень походит на спектр его излучения: ярким линиям излучения в последнем соответствуют темные линии в спектре поглощения.

Вышесказанное верно для газа, образованного атомами. А что можно сказать о свойствах молекулярных газов, таких как образующие земную атмосферу кислород (O₂) и азот (N₂)? Оказывается, что здесь ситуация принципиально схожа с описанной выше: молекулярные газы поглощают или излучают свет только определенных частот. Однако в определенных интервалах частот разрешенные энергетические состояния молекул оказываются весьма близкими друг к другу, так что форма спектра излучения молекулярного газа, как мы увидим далее, может весьма существенно отличаться от формы спектра газа атомарного.

А что делается в твердых телах и жидкостях? Оказывается, что и их спектры имеют «запрещенные» диапазоны частот, в которых тела не поглощают и не испускают свет. Зато для остальных частот спектр излучения (и спектр поглощения) непрерывен, с чередованием максимумов и минимумов интенсивности, образующим сложную кривую.

Физики XIX века, в частности в Германии, расходились во мнениях по поводу всего этого разнообразия. Им хотелось бы иметь излучатель света с простыми свойствами – например, тело, которое поглощало бы все излучение, которое на него падает! Понятие такого идеального объекта, «абсолютно черного тела», в физику ввел немецкий ученый Густав Кирхгоф (1824–1887). Название соответствовало сущности: действительно, если предмет поглощает излучение во всей видимой области, то он кажется черным. Ниже мы увидим, что Солнце, подобные ему звезды и в некоторой степени планеты могут рассматриваться как абсолютно черные тела.

Формула Планка

Абсолютно черное тело кажется черным только при низких температурах. Когда оно нагревается, то испускает свет. Какого же цвета при этом «абсолютно черное тело» становится? Чтобы ответить на этот вопрос, следует определить зависимость мощности его излучения при температуре T, приходящейся на единичный интервал длин волн от самой величины длины волны. Такова была задача, поставленная Кирхгофом в 1859 году.

Вообще говоря, совсем не очевидно, что эта задача имеет решение: можно подумать, что сам вопрос в своей постановке абсурден. Действительно, а вдруг существует тело, поглощающее все падающее на него излучение и ничего не излучающее? Поместив такое тело вблизи абсолютно черного тела, излучающего электромагнитные волны, можно было бы создать холодильную машину, не требующую никаких энергетических затрат: абсолютное черное тело остывало бы, отдавая тепло другому телу посредством излучения. Увы, существование такой «вечной» холодильной машины противоречило бы важному физическому принципу, сформулированному Сади Карно в 1824 году (илл. 3). Согласно ему, чтобы создать функционирующую холодильную машину, то есть передавать тепло от холодного объекта горячему, необходимо расходовать механическую, электрическую или химическую энергию.

Демонстрация свойств абсолютно черного тела

Давайте представим себе два абсолютно черных тела A и B одинаковой температуры. Поместим их в теплоизолированную закрытую камеру с отражающими стенками (см. илл.: два абсолютно черных тела здесь изображены красными, так как они должны быть достаточно горячими – около 800 К, или 500 °C). Согласно принципу Карно, в отсутствие произведенной внешними силами работы теплопередача всегда идет от более горячего тела к менее нагретому. Поскольку оба тела имеют одну и ту же температуру, то суммарной теплопередачи от одного к другому не происходит, что означает, что энергия, получаемая телом A от тела B, равна энергии, излучаемой телом А в направлении тела B. Поэтому, если мы заменим одно из абсолютно черных тел, например A, абсолютно черным телом C той же формы, но другой химической природы, оно должно будет излучать столько же энергии, сколько и тело A, поскольку получает столько же. Получается, что количество энергии, излучаемой с единицы поверхности в секунду при заданной температуре (то есть мощность излучения), для любого абсолютно черного тела C будет таким же, что и для абсолютно черного тела A. Таким образом, мощность излучения с единицы поверхности для всех абсолютно черных тел определяется только температурой.

Теперь поместим между двумя абсолютно черными телами цветной фильтр (например, зеленый, см. илл.), который пропускает только свет с длинами волн, близкими к определенному значению λ. Те же рассуждения, что и в случае отсутствия фильтра, показывают, что мощность излучения при заданной температуре в заданном диапазоне длин волн (тех, которые фильтр пропускает) одинакова для всех абсолютно черных тел. Кроме того, понятно, что полная излучаемая мощность излучения пропорциональна площади поверхности тела. Поэтому можно сделать вывод о том, что мощность L (T, λ) dλ, излучаемая единицей площади абсолютно черного тела в интервале длин волн dλ, зависит только от температуры T и выбранной длины волны λ (функция L (T, λ) называется спектральной плотностью мощности излучения). Эта мощность при равенстве температур примерно одинакова и для угольного блока, и для вольфрамовой проволоки, так как оба этих объекта с некоторым допущением можно рассматривать как абсолютно черные тела.

a. Два абсолютно черных тела в равновесии имеют одинаковую температуру, что означает, что каждое получает столько же энергии, сколько излучает. Если одно из абсолютно черных тел заменить абсолютно черным телом той же формы, но другой химической природы, оно поглотит ту же энергию и, следовательно, должно излучать ту же энергию. Таким образом, энергия, испускаемая абсолютно черным телом данной формы при данной температуре, не зависит от его природы. b. Если добавить цветной фильтр, рассуждения остаются в силе. Таким образом, энергия, излучаемая в заданной частотной полосе абсолютно черным телом данной формы при данной температуре, не зависит от его природы

Исходя из принципа Карно, который в переформулированном Рудольфом Клаузисом (1822–1888) виде приобрел статус «второго начала термодинамики», Кирхгоф пришел к выводу, что все абсолютно черные тела испускают свет одинаково (см. врезку выше). Точнее, количество энергии, излучаемой в интервале длин волн между λ и λ + dλ участком поверхности площади dS абсолютно черного тела, имеющего температуру T, равно величине L(T, λ) dSdλ, каким бы оно ни было.

Зная, что все абсолютно черные тела эквивалентны, удобно изучать их свойства на примере простейшей модели – прямоугольной коробки, заполненной стоячими электромагнитными волнами, или, на языке квантовой физики, фотонами. В одной из стенок коробки сделаем маленькое отверстие, через которое фотоны могут ее покинуть. Немецкий физик Макс Планк (1858–1947) изучил свойства такого излучения и пришел к выводу, что спектральная плотность его мощности определяется формулой:

где c = 3⋅10⁸ м/с – скорость света в вакууме, h = 6,67⋅10^–34 Дж⋅с – постоянная, называемая сегодня постоянной Планка, и k_Б = 1,38⋅10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Эту знаменитую формулу Планк вывел в 1900 году. С ее появлением была не только разрешена трудная задача, над которой совместно работали немецкие теоретики и экспериментаторы, но и было положено начало квантовой механике – области физики, описывающей свойства микромира (см. главу 22). Действительно, чтобы получить эту формулу, Планк вынужден был выдвинуть гипотезу о том, что энергия излучения может принимать только дискретные значения, кратные некоей минимально возможной ее величине, названной Планком «квантом». Именно эта гипотеза впоследствии позволила Эйнштейну, вернувшись к ньютоновским корпускулам, ввести понятие светового кванта (позднее названного фотоном). Использовав последнее, он предложил объяснение загадочного явления фотоэффекта, за которое в 1921 году получил Нобелевскую премию по физике.

Историческая значимость понятия абсолютно черного тела огромна.