Kitobni o'qish: «Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей»

Научные редакторы Владимир Сурдин, канд. физ. – мат. наук, Сергей Нечаев, д-р физ. – мат. наук

Редактор Петр Фаворов

Издатель П. Подкосов

Руководитель проекта А. Шувалова

Ассистент редакции М. Короченская

Корректоры Е. Барановская, О. Петрова

Компьютерная верстка А. Фоминов

Художественное оформление и макет Ю. Буга

Фоторедактор П. Марьин

Иллюстрации О. Любчанская, П. Марьин

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

© Семихатов А., 2022

© ООО «Альпина нон-фикшн», 2023

* * *

Очень короткое предисловие

О читателе. Эта книга для тех, кому мысли об устройстве мира приносят больше радости, чем расстройства; для тех, кого они скорее интригуют, чем раздражают.

О содержании. Вообще-то самая интересная часть «устройства мира» вокруг нас – это мир людей, но книга не про это, а про то, в чем я понимаю немного больше: про устройство мира неодушевленного, но, впрочем, такого, который сделал возможным появление одушевленного. И интересует меня в этом устройстве, по существу, один-единственный мотив, зато такой, который связан со многими другими. Вселенная не просто находится в движении, но и в некотором роде существует через движение. В нем соединены пространство, время и материя. Открытие Вселенной началось с изучения движения и во многом продолжается так же: наблюдая за движением одних частей мира, мы делаем выводы о существовании и свойствах других.

О жанре. Жанр этой книги – прогулки. Прежде всего необременительные (хотя кое-где я все-таки переборщил), имеющие своей целью не рассказать обо всем, а скорее заинтересовать чем-то; всегда можно двигаться дальше, но при желании можно и слегка задержаться там, где что-то привлекло внимание¹. Не возбраняется и еще раз взглянуть на то, что мы уже видели, но с несколько другой стороны. В книге нет ни претензии, ни попытки излагать историю событий, или людей, или даже идей: несистематические исторические экскурсы – это просто элементы прогулки, а для тех, кого мне удалось заинтересовать, – приглашение к самостоятельному углублению в подробности. В ряде случаев подробности (или отступления, с которыми не удалось совладать) приведены в добавлениях к прогулкам. А в поисках читательского внимания я время от времени выношу на поля то, что хотелось бы особенно отметить. Да, и из-за рода моих занятий это прогулки в первую очередь по теоретическому знанию; практика и эксперимент составили бы отдельную книгу. Литературными комментариями в конце каждой прогулки я пользуюсь не только по их прямому назначению, но в ряде случаев и для того, чтобы сознаться в переупрощениях, неиспользовании стандартных терминов и других серьезных прегрешениях.

О дисциплине. Из-за многочисленных и разноуровневых связей идеи движения с другими темами мне следовало держать себя в руках и не отвлекаться на параллельные сюжеты. Полного успеха в таком самоограничении я не достиг. Пожалуй, только предисловие получилось по-настоящему коротким.

Благодарности

 
По прихоти судьбы – разносчицы даров —
в прекрасный день мне откровенья были.
Я написал роман «Прогулки фраеров»,
и фраера меня благодарили.
 

Б. Окуджава

Я благодарен времени за то, что оно нашлось. А оглядываясь на это время, я могу только удивляться, как немного сделал я-и-только-я, чтобы эта книга появилась. Первый вариант начальных глав, предвкушая живой отклик, я попросил прочитать Ивана Семенова; он был настолько деликатен, что не только ничего не ответил, но и ни разу впоследствии не дал заподозрить себя в знании, что я хоть что-нибудь написал. Сообразив, что так писать нельзя, я взялся кое-что переделывать – не совсем напрасно, если судить по его же откликам на финальный вариант последних глав. Неоценимыми для меня оказались тренировки по дехаотизации мышления, в которых наряду с другими участвовали Виктория Гинанова, Дмитрий Мамонтов, Василий Панюшкин, Анастасия Решетняк, Валерий Ройзен и Мария Усачева; наши совместные упражнения развивали способность смотреть на вещи, которые я намереваюсь рассказывать, со стороны не рассказчика (т. е. меня самого), а слушателя. Видную роль в качестве этого последнего играл Дмитрий Ликин: он задавал вопросы, а потом отказывался воспринимать мои безнадежно развернутые, ab ovo, объяснения, чем поначалу будил негодование в недрах моего «я». Заинтересованной критикой рождающегося текста – критикой, послужившей для меня источником здравомыслия, энергии, решимости и вдохновения, – я обязан Ксении Ануфриевой, Виктории Гинановой, Василию Панюшкину и Марии Попцовой; их замечания и предложения даже могли стать причиной заметных улучшений. Алексей Кондратов не только прочитал предварительный вариант (около девяти десятых – что, по-видимому, близко к абсолютному пределу), выказывая при этом удачную комбинацию снисходительности и скептицизма, но и написал блюз «Черная дыра»; возможно, вы уже где-то слышали его исполнение. Сергей Кондратов и Дмитрий Баюк – фактически мои соавторы в двух главах/прогулках (каждый в своей). Кроме более или менее регулярных причин, события, включая и написание книги, могут иметь еще и триггеры, которые косвенно способствуют их реализации; среди тех, кто решительно не ставил себе такой цели, но тем не менее спровоцировал меня на дополнительные усилия (помог, попросту говоря, преодолеть лень), – Ивар Максутов, Максим Карпов, Сергей Серегин, Елена Петровская, Алексей Шилов. Ряд сложных для меня вопросов я обсуждал с Аркадием Цейтлиным и Владимиром Лосяковым; книга, вероятно, была бы лучше, если бы я смог использовать все, о чем они говорили. Я благодарен за разъяснения Алексею Топоренскому и за призывы к стилистической дисциплине Валентину Кориневскому. Интеллектуальные провокации со стороны Михаила Аркадьева помогли мне яснее определить свое позиционирование в пространстве идей. Немало выгоды принесли мне семейные связи: разного рода вопросы и критику я получал от Ксении Семихатовой и ее бабушки (моей мамы) Ирины Красивской. И мне определенно повезло с тем, что предфинальный вариант согласились прочитать Владимир Сурдин и частично Дмитрий Казаков (которые вообще-то являются для меня примером того, как систематически и с вниманием к аудитории рассказывать об устройстве мира). Помимо конкретных исправлений, Сурдин внес несколько предложений, которые я беззастенчиво использовал, не всегда это оговаривая. Я благодарен моему издателю Павлу Подкосову за приглашение, содержавшее в себе не только мотивированный отказ издавать книгу наспех, но и предложение вместо этого подготовить издание с командой «лучших людей», по его выражению. Это предложение имело последствия, включая положительные: многими фрагментами, где мой слог попадает в интервал от приемлемого и выше, я обязан редактору этой книги Петру Фаворову. Он, правда, и не думал ограничиваться слогом и стилем, а принялся методически изводить меня пожеланиями, плавно переходящими в требования, внести смысл туда, где его наличие вызывало у него сомнения (совершенно обоснованные, как я раз за разом убеждался). Под его неослабным давлением пришлось сделать то, что обычно бывает при подготовке второго издания, если книга удостаивается такого отличия: исправить глупости и разобраться с немалым числом неоднозначных и путаных формулировок, временами граничивших с ошибками. Одним словом, я бессовестно сел на шею Фаворову, сделавшему для создания новой версии ничуть не меньше меня, и в результате читателю уже сейчас фактически предлагается второе, «дополненное, исправленное и существенно переработанное» издание. (Первое, благо было в дюжине экземпляров, быстро разошлось.) Последующее научное редактирование, за которое неожиданно согласился взяться Сергей Нечаев, имело благотворные результаты в виде освежающей критики и сопутствующей ей расстановки смысловых точек над «i», включая такие, о существовании которых я ранее и не подозревал; в результате я открыл для себя новые связи между вещами, а в тексте появилось несколько уточняющих и дополняющих пояснений. Помимо всех этих «непосредственных» факторов, неоспоримо влияние, которое на меня оказали полтора десятка лет развития отношений с книгами того сорта, к которому я надеюсь присоединить и эту: благодаря Д. Б. Зимину (1933–2021) я имел обязанность и привилегию каждый год читать две дюжины книг о науке для широкого читателя, а затем – удовольствие обсуждать их в компании заинтересованных людей, которым Зимин доверил ту же задачу и к которым со страстью присоединялся (наряду со многим другим, что он делал для поддержания читающей, интересующейся, думающей среды). А прочитанные при этом книги оставили мне лишь небольшую незанятую область в гиперпространстве смыслов, из-за чего я начисто избежал мучительных раздумий, про что же писать.

И при всей благосклонности судьбы, которую она, возможно, проявляла по сей момент к этому замыслу, она не смогла бы помочь мне без постоянной вдохновенной и вдохновляющей поддержки моей жены Наташи.

Часть 1
Космические прогулки

Прогулка 1
Движение по правилам

Маршрут: От качества к количеству. – Открытие Солнечной системы. – Относительность и инерция. – Законы движения. – Всеобщее притяжение. – Уравнения движения. – Больше чем Кеплер. – Движение как организация.

Главный герой: Иоганн Кеплер

От качества к количеству. Планеты – т. е. блуждающие среди звезд – сопровождали человечество со времени первых сколько-нибудь раздумчивых взглядов в ночное небо. Вид этого неба с тех пор несколько изменился, хотя и не сильно, но наша острота взгляда и способность делать выводы из наблюдений развились фантастически – хотя сказать так, пожалуй, является даже умалением. Процесс начал самоускоряться, когда от наблюдения за движением планет и вещей мысль обратилась к причинам движения; от констатации наблюдаемого – к предсказаниям того, какое движение должно наблюдаться. Сейчас на основе всего достигнутого нашей научно-технической цивилизацией мы в огромной мере разделяем уверенность, что искать фундаментальные причины и формулировать законы природы – предприятие не просто осмысленное, но и чрезвычайно полезное и что Вселенная познаваема, по крайней мере до некоторой степени. Но легко рассуждать задним числом, стоя на плечах гигантов. Греки были лишены подобной привилегии, и у них, по-видимому, не было ясного представления о таких законах: они не сформулировали четкого закона движения, например, для выпущенной из лука стрелы. Тела падают, потому что их место – на земле, и к этой «цели» все они и стремятся. Наблюдения над поведением вещей подытоживались рассуждениями Аристотеля, который различал «естественное движение», т. е. движение к естественному состоянию, и «насильственное движение», т. е. происходящее против естества (а для объяснения сложных случаев, таких как стрела, которая все же летит некоторое время вверх, хотя естественное место ее на земле, потребовалось и «смешанное движение»).

С нашим современным умением пользоваться законами природы и представлением, что они действуют «через причины», довольно трудно принять античную точку зрения, искавшую закономерности в математическом мире, но не предполагавшую их неотвратимого и однозначного действия в мире физическом. Согласно Аристотелю, движение вообще невозможно описывать математически и изучение природы – «физика» – может строиться только качественно; сама идея приписывать качествам какую-то численную меру появилась только в Средние века. Но что же и потом довольно долго мешало разглядеть, что стрела летит по математически строгой траектории, называемой параболой? Среди прочего – тот простой факт, что стрела не летит по параболе. Сопротивление воздуха «портит» параболу и превращает ее во что-то сложное – почти буквально «смешанное». В реально наблюдаемых нами процессах многие факторы путаются. Чтобы сформулировать принципы, которыми управляется происходящее, часто (да почти всегда) требуется отделить одно от другого (и от третьего, и от четвертого – влияний разного рода, как правило, много). В целом ряде сложных явлений мы сумели разобраться, выделив в них несколько факторов, каждый из которых действует относительно просто, и поняв, как эти разные факторы влияют друг на друга. Ключевая идея, таким образом, состоит в том, что некоторый главный эффект может до некоторой степени «портиться» всяческими дополнительными влияниями. Но, чтобы увидеть главный эффект во всей его полноте и строгости, иногда требуется проделать работу по реальному или воображаемому устранению этих влияний. Идеальные проявления законов природы могут поэтому оказаться абстракцией, но такие абстракции доказали свою полезность в практическом плане. Да, тело, запущенное под углом к горизонту, не летит по математически строгой параболе; но любой артиллерийский офицер эпохи Наполеоновских войн сказал бы, что пользы от «нереализуемой» параболы все равно много: она математически точна и проста, и, хотя она дает лишь некоторое приближение к реальности, для учета сопротивления воздуха в разных обстоятельствах и других эффектов имеются таблицы поправок при прицеливании. Такой подход к описанию реальности (заметно отличный от аристотелевского) колоссально расширил наше понимание Вселенной².

*****

Открытие Солнечной системы. Впечатляющий шаг к ключевой идее, что законы мироустройства можно извлечь из наблюдений, был сделан при рассмотрении «идеального», как все еще казалось тогда, мира небесных тел и потребовал точных наблюдений планет на небе. Их выполнил в последней трети XVI в. Тихо Браге, происходивший, как бы теперь сказали, «из олигархов», что (нисколько не умаляя его приверженности точным и систематическим наблюдениям) способствовало наличию у него лучших из имевшихся тогда – до изобретения телескопа! – приборов. К составленным им таблицам с данными наблюдений в конце концов получил доступ сильно желавший этого Иоганн Кеплер – человек определенно не аристократического происхождения, упорство и гениальность которого в итоге превратили колонки чисел в математические кривые. Орбиты планет, как смог усмотреть из таблиц Кеплер, представляли собой эллипсы, причем Солнце располагалось вовсе не в центре, а несколько в стороне, в одном из двух фокусов (рис. 1.1); картина не очень симметричная, потому что во втором фокусе ничего нет.

Рис. 1.1. Эллипс интереснее окружности. Он определен тем, что сумма расстояний от каждой его точки до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. Поэтому нарисовать эллипс проще всего, закрепив в этих точках концы нитки и держа карандаш так, чтобы нитка всегда была натянута. Показано расстояние 2a между двумя самыми удаленными друг от друга точками эллипса. Его половина, a, называется большой полуосью

Космический телескоп, запущенный в 2009 г. и вооруженный самыми современными технологиями для поиска планет у других звезд (иначе говоря, экзопланет), получил имя «Кеплер». При этом в мире Иоганна Кеплера звезды были огнями на самой дальней из твердых сфер – какие уж там планеты! – и даже в том, что касается Солнечной системы, он и не подозревал о существовании Урана и Нептуна. И уж тем более там не было места рукотворным изделиям, отправленным путешествовать теми же путями, что планеты. Подходящее ли это название для космического телескопа?

Задача, которую решал Кеплер в первые годы XVII в., – найти форму (и относительные размеры) орбиты каждой из планет – осложнялась тем, что наблюдения за движущимися планетами велись с Земли, которая сама тоже двигалась каким-то образом (как одна из планет, должен был рассуждать Кеплер; но как именно? Заранее неизвестное движение Земли требовалось некоторым образом «вычесть» из результатов наблюдений). В этом смысле таблицы Тихо Браге носили несколько «внутренний» характер, как если бы Аристотелю были доступны только видео летящей стрелы, снятые с других стрел. И даже хуже того: наблюдаемые «положения» планет – это не их положения в пространстве, пусть и относительно Земли, а только направления на эти их положения в пространстве. И на небе они ведут себя не самым регулярным образом, время от времени меняя направление своего перемещения на фоне звезд (рис. 1.2). Ответ же, данный Кеплером на вопрос о движении вокруг Солнца всех планет, включая и Землю, носит совершенно «внешний» характер: мы вслед за Кеплером рисуем эллипсы так, как будто видим Солнечную систему со стороны. По сей день ни один наблюдатель, ни один беспилотный космический корабль не смотрел на Солнечную систему извне, чтобы в течение достаточно долгого времени – скажем, пары десятков лет – как на картинке удостовериться, что планеты вычерчивают эллипсы. И тем не менее в этом нет ни малейших сомнений. Я с трудом могу вообразить, как такой взлет мысли – переход от «внутренней» перспективы к «внешней», казалось бы немыслимой в век, когда и Земля-то не вся была исследована, – вообще мог произойти в голове отдельно взятого человека в 1600–1609 гг.³ Словами Эйнштейна:

Он жил в эпоху, когда не было еще уверенности в существовании некоторой общей закономерности для всех явлений природы. Какой глубокой была у него вера в такую закономерность, если, работая в одиночестве, никем не поддерживаемый и мало понятый, он на протяжении многих десятков лет черпал в ней силы для трудного и кропотливого эмпирического исследования движения планет и математических законов этого движения!⁴

Больше того, Кеплер жил в эпоху, когда ему в течение нескольких лет приходилось всерьез заниматься защитой своей матери от обвинений в колдовстве; женщине реально грозил костер.

Кеплер сформулировал три высказывания. Они известны как три закона Кеплера.

1. Про эллипсы как таковые. Орбиты – эллипсы; Солнце – в одном из фокусов. Это был грандиозный успех, превращение наблюдений – сырых данных о движении планет по небу – в математическое высказывание и одновременно с этим колоссальный прорыв в соотнесении наших представлений об идеальном с реальностью. Ведь вполне естественно было думать, что «природа предпочитает совершенство» в виде сфер и круговых орбит, с Солнцем в центре, но, во-первых, Кеплер понял, что это не так, а во-вторых, сумел показать, как же все происходит на самом деле, причем это второе – с математической точностью (окружность – частный случай эллипса; в этом смысле орбиты могли бы быть и круговыми, просто они такими не оказались).

2. Про скорость движения по этим эллипсам. Она, оказывается, не постоянная. Кеплеру принадлежит ясная формулировка, из которой следует, в какой части эллипса планета движется быстрее и в точности во сколько раз быстрее, чем в какой-нибудь другой части. Закон так закон! – ему следуют все планеты, включая Землю. Чтобы его сформулировать, Кеплер снова приглашает нас посмотреть на орбиты со стороны и делает геометрические построения, проводя воображаемую линию от Солнца к планете и рассуждая о том, как эта линия поворачивается. Это довольно удивительно, если учесть, что никакой такой «линии» нет, но математические рассуждения с ее использованием позволяют сформулировать правило, описывающее реальные движения всех планет. Сравнивая положение планеты на орбите «сейчас» и, скажем, через день, Кеплер просит нас обратить внимание на площадь фигуры, образованной двумя радиусами и участком орбиты, который планета прошла за день. Второй закон Кеплера состоит в том, что площадь такого треугольника, заметаемого за выбранное время (скажем, день), – одна и та же вдоль всей орбиты. Там, где планета ближе к Солнцу, она движется как раз настолько быстрее, чтобы скомпенсировать меньшую высоту треугольника (расстояние от Солнца). Разница в скоростях вблизи Солнца и вдали от него велика для вытянутых эллипсов; для Земли же максимальная и минимальная скорости составляют 30,29 км/с и 29,29 км/с (соответствующие расстояния до Солнца при этом 147,09 млн и 152,10 млн километров). Земля ближе к Солнцу и движется быстрее, когда в Северном полушарии осень и зима, из-за чего этот прекрасный сезон формально оказывается укороченным на несколько дней. (Пять миллионов километров ближе или дальше от Солнца – далеко не первостепенный фактор, влияющий на климат.)

3. Про то, как размеры эллипсов, по которым движутся разные планеты, соотносятся с временем их полного оборота вокруг Солнца. Не только каждая планета сама по себе следует законам, но и каждая пара планет подчиняется строгой и одной для всех математике. «Размером» эллипса в данном случае является его большая полуось – расстояние от центра (а не от Солнца!) до точки наибольшего удаления. Для любой пары планет Кеплер предлагает поделить друг на друга их большие полуоси, а результат возвести в куб. В качестве второго действия нужно поделить друг на друга продолжительности года на каждой планете, а результат этого деления возвести в квадрат. Получится, говорит Кеплер, одно и то же. Чем дальше планета от Солнца, тем больше времени занимает ее полный оборот – не только из-за того, что орбита длиннее, но еще и из-за того, что скорость планеты меньше (в 4 раза дальше – в 8 раз дольше; в 9 раз дальше – в 27 раз дольше).

Кеплер начал с определения формы орбиты Земли, потом это сильно облегчило ему задачу найти форму всех других орбит. Но как же было подступиться к орбите тела, с которого были сделаны все наблюдения? Понадобилось третье, кроме Земли и Солнца, тело, а именно – Марс. Но, поскольку орбита Марса была равным образом неизвестна, Кеплер использовал его как источник некоторого набора отдельных точек («дискретной» информации). Ключ – момент, когда Солнце, Земля и Марс оказались на одной прямой. (Такое положение трех тел случается с неплохой точностью, потому что орбиты Земли и Марса лежат почти в одной плоскости; Земля при этом совершает один оборот вокруг Солнца быстрее, чем Марс.) Направление этой прямой относительно звезд следовало зафиксировать; оно сыграет «опорную» роль. А далее – вот источник дискретности в применяемой схеме! – требовалось знать продолжительность марсианского года (это отдельный вопрос, ответ на который у Кеплера был). Через один марсианский год Марс окажется снова на той же прямой, но Земля нет. Для наблюдателя с Земли Марс и Солнце будут видны под некоторым углом друг к другу. Этот угол, который можно непосредственно измерить, – полдела. Вторая половина – это линия «Солнце – Земля» в этот же момент: необходимо определить ее направление относительно звезд, что позволит найти угол, который она образует с «опорным» направлением. Принимая расстояние от Солнца до Марса в «опорном» положении за единицу, находим треугольник по стороне и двум углам. Мы определили (!) точку на земной орбите. После этого все вычисления надо повторить, найдя в таблице положение Марса и Солнца относительно звезд еще один марсианский год спустя, и еще один и так далее. Каждый раз таким образом появляется по точке; Кеплер сумел уложить все эти точки на слабо вытянутый эллипс (не поддавшись искушению заявить о круговой орбите в пределах точности вычислений!). Когда орбиты всех планет были найдены, настала очередь следующей задачи – угадывать законы движения планет по этим орбитам. Это означало делать какие-то допущения (с каких начать?!), проверять их, определяя с помощью таблиц пространственное положение планет в разные моменты времени, и если допущения не подтверждались, то придумывать и проверять другие. Перед нами одинокий человек в окружении пустоты и сферы звезд, вооруженный числовыми таблицами данных и одержимый страстным желанием своими силами разобраться в устройстве известного ему мира.

Кеплер не открыл для нас планеты – они были известны с доисторических времен. Но он в некотором роде открыл для нас Солнечную систему, показав, какова в ней система – какой порядок там действует. Сейчас все предсказания, скажем, взаимного расположения Земли и Марса, необходимые для планирования путешествий между ними, математически делаются на основе тех самых кеплеровых эллипсов (хотя и требуют на фоне главного эффекта учитывать ряд дополнительных факторов, с которыми у нас будет еще немало поводов познакомиться). Про орбиты планет, да и не только планет, часто говорят «кеплеровы». Космический телескоп «Кеплер» проработал (не без приключений) до 2018 г., исследовав в общей сложности 530 506 звезд и открыв 2662 экзопланеты. Небольшая выборка экзопланет, сравнимых с Землей по размеру и находящихся в зоне обитаемости⁵, приведена на рис. 1.3. Поиск таких объектов заведомо невозможен без знания о том, что искомые планеты – о существовании которых Иоганн Кеплер не мог и помыслить – движутся вокруг своих звезд по кеплеровым орбитам. По-моему, «Кеплер» – подходящее название для такого телескопа.

*****

Относительность и инерция. Современник Кеплера Галилей не бросал предметы с колокольни на Кампо-деи-Мираколи в Пизе, за возможным исключением незадокументированных случаев баловства⁶. Галилей первым всерьез направил телескопическую трубу в небо и совершил революционные открытия (включая спутники Юпитера, кольца Сатурна, горы на Луне, пятна на Солнце и фазы Венеры); однако среди тех многочисленных вещей, которые он постоянно был готов обдумывать, предметом его долгосрочного интереса было движение.

Для нас важны два глубоких свойства движения, осознание которых началось с Галилея: относительность и инерция. Галилей усматривает их в природе вещей с помощью того, что ему неизменно удавалось с блеском: он извлекает «идеальные» следствия не из идеальных, а вполне реальных опытов, а также применяет логический анализ путем постановки мысленных экспериментов. Успехи в таком подходе к исследованию природы, собственно говоря, и снискали ему титул основоположника научного метода (что, впрочем, известно нам сейчас, но не было известно ему самому). Если художник рисует натуру, находясь вместе с ней в каюте на корабле, который плавает в виду берега, то при идеальном состоянии моря, рассуждает Галилей, художник может забыть, что он находится не на берегу, а на корабле; ничто не будет мешать созданию картины. Но на взгляд людей, стоящих на берегу, рука художника участвует в движении, включающем движение самого корабля. Следовательно, если корабль не качается и не дергается, его движение не оказывает никакого влияния на происходящее в каюте. Отсюда происходят две идеи: одну впоследствии стали называть принципом относительности, а другая, важная для Галилея (и неизменно важная с тех пор), – независимость движений, т. е. движение кисти относительно холста и движение холста относительно берега независимы. Развивая именно этот тезис, Галилей стал первым, кто теоретически получил параболу для «стрелы» (тела, брошенного под углом к горизонту). Исходя из того, что горизонтальное и вертикальное движения независимы, он замечает, что горизонтальное движение равномерно, а вертикальное ускоренно; их сложение и дает параболу – вывод, который Галилей считал одним из главных результатов своей теории движения.

Галилею принадлежит и сама идея равноускоренного падения, причем одинакового для всех тел⁷. Доминировавшая до того точка зрения опиралась на представление о естественности равномерного движения; это, по-видимому, должно было означать, что после разжатия руки яблоко сразу приобретает ту скорость, с которой ударится о землю. Исходный же пункт рассуждений Галилея состоял в том, что падающие тела, когда им «ничто не мешает» (что тоже не так просто организовать), изменяют скорость по мере того, как падают. Но как меняется скорость? Галилей установил, что скорость увеличивается в течение всего падения и что тело последовательно проходит «через все градусы скорости» (этот подход, существенно расходящийся со взглядами Аристотеля, присутствует уже здесь, хотя и не принадлежит лично Галилею: приписывать качествам определенные «градусы» – не античная, а средневековая идея). Довольно долго он думал, что скорость увеличивается равными порциями через равные отрезки пути, но потом логическими рассуждениями отверг эту идею, а вместо этого показал, что скорость растет равными порциями за равные промежутки времени – пропорционально времени, как мы бы сейчас сказали. Я часто напоминаю себе, что все это происходило в отсутствие часов, хоть сколько-нибудь пригодных для точных измерений, и – что, может быть, даже более важно – до формализации понятия ускорения⁸. Три с половиной столетия спустя, 2 августа 1971 г., командир «Аполлона-15» Дейв Скотт, стоя на поверхности Луны перед своим лунным модулем, произнес, глядя в камеру:

Вот в левой руке у меня перо, а в правой – молоток. И можно сказать, что одной из причин, по которой мы сюда добрались, был джентльмен по имени Галилео, живший очень давно, который сделал довольно существенное открытие о падающих телах в гравитационных полях. И мы подумали: где найти лучшее место, чтобы подтвердить его результаты, как не на Луне? Так что мы решили, что попробуем это вам сейчас показать. ‹…› Я отпущу оба предмета, и, будем надеяться, они достигнут поверхности одновременно.

[Он разжимает перчатки – молоток и соколиное перо падают на лунную поверхность в согласии с ожиданиями.]

Как вам такое?!

Справедливости ради надо сказать, что Галилей развивал не идею притяжения, а тезис о естественности равноускоренного движения; тем не менее одинаковое ускорение для всех падающих тел в отсутствие сопротивления воздуха – его открытие.

Как тебе такое, Галилео Галилей?

Кроме того, Галилей смог усмотреть в свойствах движения то, что позднее стали называть инерцией (склонность движущихся тел сохранять свое состояние движения или в частном случае – покоя), хотя слова «инерция» сам Галилей не употребляет. Свойство каждого тела двигаться по инерции не вполне очевидно на первый взгляд, потому что мы воспринимаем разные свойства вещей одновременно: тела вокруг нас не сохраняют состояние своего движения из-за того, что на них действует сила трения или сила сопротивления среды. Не зная заранее всех действующих здесь факторов, не так легко выделить свойство инерции и объяснить, как оно проявляет себя, когда других факторов нет. Здесь снова в полной мере потребовалась способность Галилея логически доводить постановку эксперимента до некоторого предела – скажем, предела исчезновения трения, – добиться которого в реальности невозможно, но свойства которого тем не менее делались ясными исходя из шагов, приближающих реальную постановку к идеальной.

Галилею же принадлежит мысль, что книга природы написана языком математики:

Я распознал у Сарси твердое убеждение в том, будто при философствовании необычайно важно опираться на мнение какого-нибудь знаменитого автора ‹…› В действительности же, синьор Сарси, все обстоит не так. Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту⁹.

Вопрос о том, почему математика настолько эффективна в естественных науках, обсуждался многократно, и простого ответа на него нет, но рассуждения и примеры, приводимые различными авторами, читать интересно. Как бы то ни было, математика снабжает нас «движком» для того, чтобы делать выводы. Она особенно ценна в этом качестве, когда мы выходим за пределы области, где помощником может служить «здравый смысл». Это набор представлений, выработанных в рамках нашего ограниченного опыта, и они вполне могут отказывать (и отказывают!), когда этот опыт расширяется. Как следствие такого положения вещей математика скрыто присутствует почти везде на этих прогулках.

*****

Законы движения. Но почему три закона Кеплера таковы? Почему Солнце в фокусе? Почему планеты движутся именно так?

Ответ на каждое «почему» должен опираться на нечто, что принимается без объяснения, иначе никакое объяснение не останавливается и поэтому перестает быть объяснением. Ответы, которые удается дать довольно близко к тому уровню, где уже приходится разводить руками, называются фундаментальными. В момент формулировки законов Кеплера они сами, вероятно, считались бы фундаментальными, реши тогда кто-нибудь классифицировать подобные утверждения таким образом. Как-никак эти законы были приложимы ко всем известным планетам. Но 80 лет спустя уже нельзя было так думать, потому что фундаментальными оказались другие законы – Ньютона¹⁰. И это были законы совсем другого сорта. Из них следовало множество утверждений, включая и эллипс для планеты, и параболу для стрелы, не испытывающей сопротивления воздуха (и заодно – направление мысли, позволяющее как-то учесть это сопротивление). События начали разворачиваться стремительно, потому что фокус внимания сместился на причины.

Причины наблюдаемых движений Ньютон сформулировал в виде законов движения – утверждений совсем иного свойства, чем законы Кеплера. Законы Ньютона напрямую ничего не говорили о том, по какой траектории полетит стрела или планета! Вместо этого они предлагали всем заинтересованным лицам действовать более прогрессивным образом: определить траектории самостоятельно (!) на основе буквально нескольких принципов. Ключевой аспект всей схемы – универсальность этих принципов. Их меньше, чем пальцев на руке, но их можно применять снова и снова – и к явлениям уже известным, и к тем, которые могут нам встретиться когда-нибудь в будущем. Это довольно удивительно: ничем не похожие явления подчиняются одним и тем же общим принципам. Слово «принципы» здесь надо понимать в первую очередь как уравнения. Это не уравнения типа x³ + 3x² + 3x – 1 = 0, решением которых могут являться числа (например, как в данном случае, число, примерно равное 0,259921); вместо чисел неизвестным тут является поведение, или, чуть более технически, траектории. Всякое движущееся тело с течением времени описывает траекторию, и предложенная Ньютоном схема сводилась к поиску того, какова эта траектория, т. е. как именно координаты чего-то движущегося зависят от времени. Входные данные для этого состоят в воздействиях, которым подвергается то, что движется, – планета, или стрела, или что угодно. Выражаясь еще чуть более технически, требовалось решить уравнения, где неизвестными вместо чисел были зависимости от времени – функции. Слово «функция» в таком контексте означает не набор обязанностей, а именно характер зависимости: если ваш вклад в банке – возрастающая функция времени, это значит, что сегодня у вас больше денег, чем вчера; иногда становятся интересны и другие подробности, например, сколь быстро эта функция времени растет, меняется ли сама скорость роста и т. д.¹¹ Все то же самое можно спрашивать и про разные другие функции. Скорость самолета, разгоняющегося на взлетно-посадочной полосе, – тоже функция времени, и важная часть истории состоит в том, через какое время скорость достигнет значения, обеспечивающего отрыв от земли. Чтобы узнать это, необходимо понять причины.

Прежде всего, говорит нам Ньютон, движение «сохраняется», если то, что движется, предоставить самому себе, т. е. никак не воздействовать на него со стороны. Это факт, понятый уже Галилеем; Ньютон определенно действовал не на пустом месте¹². В воздушном хоккее шайба продолжает двигаться туда, куда вы ее направили, пока не испытает воздействия еще какого-то предмета (бортика или биты). Умение забивать голы в этой игре состоит в том, чтобы привести шайбу в движение устраивающим вас образом – направить ее в ворота, и после этого ничего больше делать не надо, потому что от вас уже ничего не зависит, пока шайба не испытает какое-то следующее воздействие, из-за которого изменит свое движение; в промежутке же она движется «сама», причем по прямой и с заданной скоростью¹³. В этом и состоит «сохранение движения» в отсутствие сил, оно же – закон инерции Галилея, и оно же – первый закон Ньютона. У инертности есть количественная мера: это масса.

Итак, если не воздействовать, то движение сохраняется. Как только этот факт полностью осознан, естественно предположить, что если как-то воздействовать, то движение изменится. Осталось только сказать как, и Ньютон примерно это и говорит, но только не вполне прямо, потому что природа отвечает на этот вопрос не прямо, а косвенно. Чтобы высказываться точнее, нам понадобятся средства. Одно из них – количество движения. Оно тем больше, чем быстрее нечто движется и чем больше его масса. Грузовик, весящий 10 тонн и движущийся со скоростью 30 км/ч, имеет то же количество движения, что и автомобиль весом 2 тонны на скорости 150 км/ч. Количество движения – это просто произведение массы на скорость, с тем только уточнением, что, кроме величины, оно имеет еще и направление – такое же, как у скорости; в общем, как и скорость, это стрелка (вектор). Когда говорят о сохранении (неизменности) таких стрелок, это означает, что не меняется ни их длина, ни направление (шайба в воздушном хоккее летит по прямой, пока на что-нибудь не натолкнется), а изменить стрелку означает изменить ее длину или направление (или и то и другое).

Высказывание, что движение сохраняется, в точной формулировке звучит как «количество движения сохраняется» в отсутствие внешних воздействий (сил). Если же какие-то силы действуют, то количество движения меняется, и, главное, меняется быстро или медленно в зависимости от того, велика ли сила. У каждого изменения есть свой темп (если это не приводит к недоразумениям, можно говорить «скорость изменения»). И вот темп изменения количества движения как раз равен полной действующей силе, сообщает нам Ньютон. Просто равен. Нет никакой возможности сосчитать, сколько раз это высказывание применялось для описания мира. В нем содержится указание на причину: это сила. Сила тяги двигателей самолета, разгоняющегося для взлета, определяет, как быстро меняется количество движения самолета – что в салоне ощущается как эффект прижимания к спинке кресла; в горизонтальном направлении на самолет действуют еще и силы сопротивления (рис. 1.4), и полный баланс этих сил определяет изменение – нет, не скорости, а количества движения; именно поэтому столь важна взлетная масса («взлетный вес») самолета: одна и та же прибавка к количеству движения для самолета, в полтора раза более тяжелого, означает в полтора раза меньшее увеличение скорости. Сила, действующая здесь и сейчас, «не отвечает» за итог – за то, что получится, скажем, в конце взлетно-посадочной полосы. Она отвечает только за то, быстро или нет меняется количество движения здесь и сейчас.

Сила говорит количеству движения, как ему изменяться

Ньютон не мог думать о решении задачи про взлетающий самолет, как не мог думать и о решении своих уравнений на компьютере. Я затрудняюсь даже сказать, о какой из этих двух тем он «не мог думать в большей степени». Но современные компьютеры определяют, как будут развиваться события при взлете самолета или ракеты, действуя в точности так, как это наверняка представлял себе Ньютон: если в первую миллисекунду после старта действует определенная сила, то приобретенное количество движения – это и есть та самая сила, умноженная на прошедший малый интервал времени (ту самую миллисекунду). В следующую миллисекунду сила тяги может измениться, а кроме того, появляется сила сопротивления со стороны воздуха. Две силы действуют в противоположных направлениях, одну надо вычесть из другой, а результат умножить снова на выбранный интервал времени длиной в миллисекунду, и так мы узнаем, сколько же количества движения прибавилось за вторую миллисекунду. Потом мы точно так же поступаем с третьей миллисекундой и не забываем суммировать все накопленные прибавки к количеству движения. Если нам нужна особая точность (и уж во всяком случае, если речь идет о взлете ракеты), то надо вспомнить, что по мере израсходования топлива уменьшается масса, поэтому пересчет количества движения в набранную скорость надо производить внимательно, помня, что и масса меняется от миллисекунды к миллисекунде. Например, ракета-носитель «Сатурн V» сжигала – и выбрасывала из себя – 15 кг смеси из горючего и окислителя в миллисекунду, т. е. 15 тонн в секунду.

Поведение – результат сложения причин

Стратегия, позволяющая узнать, что получится, т. е. делать предсказания о том, что будет, состоит в суммировании накопленных прибавок. Компьютер буквально суммирует накопленное по малым интервалам времени, а Ньютон (изобрел и) широко применял математический метод такого суммирования. Он называется интегрированием и не требует, чтобы разбиение на малые интервалы времени выполнялось буквально: такое разбиение встроено в сам метод, причем наилучшим возможным способом. Дело в том, что если для самолета миллисекунда – это малый интервал времени в том смысле, что действующие силы (да и масса) практически не успевают измениться, то для других процессов (например, горения или взрыва) расчет с шагом в миллисекунду даст неправильный результат, потому что за это время многое успевает измениться, и интервал времени надо выбирать еще короче. Вся идея интегрирования состоит в том, что интервал «уже взят» меньше любого, который вы в состоянии назвать. Поэтому интегрирование как математическая процедура точнее любого вычисления на компьютере. Другое дело, что результат интегрирования далеко, далеко не всегда удается выразить в обозримых терминах (т. е. используя привычные функции): хотя задача поставлена математически точно, записать точный ответ мы часто оказываемся не в силах. В таких случаях или изобретают приближенные способы осуществить математическую процедуру, или, конечно же, «сажают задачу на компьютер», т. е. применяют одну из многочисленных программ, которые, да, суммируют малые накопления.

Промежуточный итог: Ньютон не считал (и с тех пор никто, в общем, не считает), что законы природы могут описывать картину целиком. Кеплер со своими тремя абсолютно верными законами, в которых констатировалось поведение в целом, остался в прошлом. Законы Ньютона говорят, как причины (силы) определяют темп изменения количества движения. А дальше уж что получится путем «накопления», то получится – или на компьютере, или с помощью специальной математической процедуры. Если не удается ни то ни другое, то это наша проблема, а не проблема природы, в которой все «само себя суммирует» по мере того, как течет время: разнообразные причины постоянно действуют, накапливаемые изменения, в свою очередь, рождают новые причины, которые снова влияют, и так далее; время – это и есть способ упорядочения действующих причин и накапливающихся следствий.

*****

Всеобщее притяжение. Причины изменений количества движения планет в Солнечной системе (и подоплека законов Кеплера) – притяжение. Это ключевой дополнительный постулат, без которого у Ньютона ничего бы не получилось. Все тела притягивают друг друга. Одни делают это сильнее, другие слабее. Мерой («гравитационным зарядом») является масса каждого тела – то, что мы обычно измеряем в килограммах. Никакие подробности касательно состава и других свойств тел не имеют значения. Странно, нет? Из всего многообразия свойств материи в данном случае важно только одно число¹⁴.

Масса – гравитационный заряд

Гравитационные заряды одного знака притягиваются, а масса любого тела может быть только положительной; никакие тела поэтому не отталкиваются. Это делает гравитацию всепобеждающей: нет возможности «закрыть» положительный гравитационный заряд отрицательным и тем самым спрятаться от действия гравитации (нельзя «заземлиться», давая зарядам стечь туда, где они скомпенсируются противоположными). Гравитация слаба (см. добавления к этой прогулке), но неостановима. Гравитация убывает с расстоянием, но делает это не слишком быстро – как обычно говорят, «по закону обратных квадратов». Я никогда не понимал, почему здесь появляется множественное число: в законе тяготения присутствует всего один квадрат всего одной величины – расстояния R между двумя маленькими кусками материи (любой материи, как уже было сказано) массами M¹ и M². Сила притяжения между ними равна

Буква G здесь обозначает постоянную, которая, собственно, и выражает интенсивность гравитационного взаимодействия; это одна из Мировых постоянных – величин, встроенных куда-то глубоко в устройство нашей Вселенной. Численное значение этой постоянной – не предмет рассуждений, а экспериментальный факт. При всех «разумных» единицах измерения, выбранных для других входящих в формулу величин, постоянная G весьма мала, из-за этого гравитационное взаимодействие и оказывается таким слабым. Ньютон угадал формулу (1.1) (пришел к ней на основе ряда вспомогательных рассуждений), а многие тысячи раз ее использования с тех пор привели к впечатляющему прогрессу в познании мира¹⁵. Ньютонова теория тяготения позволяет делать отличные предсказания о движении притягивающих друг друга тел; она описывает и падение яблока, и движение Луны вокруг Земли. Лабораторией для систематических проверок ее предсказаний стала Солнечная система; мы увидим несколько ее триумфов на следующих прогулках.

Постепенно (сильно не сразу), впрочем, выяснилось, что приведенная формула хорошо работает, пока нет быстрых движений, а сама гравитация не адски сильная. В случае «быстрых» и «сильной» приходится довольно радикально менять взгляды на устройство тяготения (прогулка 6), но в Солнечной системе мы окружены «медленными» и «слабой», за одним-единственным астрономическим исключением: это движение планеты Меркурий вокруг Солнца, которое очень немного, но все же отличается от предсказанного по Ньютону (и которое у нас будет еще много поводов обсудить). Эти отличия свидетельствуют, что закон тяготения в форме (1.1) все же не является точным. Средства наблюдений, имевшиеся во времена Ньютона, не позволяли заметить отклонения в движении Меркурия, но у Ньютона были независимые основания для некоторого беспокойства за свой закон тяготения, исходя из того, что мы сейчас бы назвали проблемой передачи информации. Предположим, что Солнце по какой-либо причине внезапно начинает двигаться с ускорением в направлении какой-нибудь выбранной звезды. (Реализовать такое крайне непросто, но это не запрещено законами природы, а физические законы должны корректно описывать явления вне зависимости от того, в людских ли силах эти явления осуществить.) Спрашивается, как скоро Земля почувствует изменения в силе притяжения со стороны Солнца? Каким образом Земле передастся информация о том, где Солнце? Проблема с законом тяготения в виде формулы (1.1) в том, что если продолжить применять ее «как написано» (а что еще делать?!) и в этом гипотетическом случае, то мы вынуждены будем заключить, что изменения силы притяжения передаются к Земле (и вообще куда угодно) мгновенно. Это называется «действие на расстоянии»: эффект мгновенно передается через пустоту. Действие на расстоянии определенно не нравилось Ньютону:

Тот факт, что гравитация должна быть внутренним, существенным образом присуща материи так, чтобы одно тело воздействовало на другое на расстоянии через пустоту без посредничества чего бы то ни было еще, способного передавать воздействие или силу от одного тела к другому, представляется мне таким колоссальным абсурдом, что, как я полагаю, никто со сколько-нибудь развитым пониманием философских вопросов в него не впадет. Гравитация должна вызываться каким-либо агентом, действующим постоянно и в соответствии с определенными законами; но вопрос о том, быть этому Агенту материальным или нематериальным, я оставил на Усмотрение моих читателей¹⁶.

Ньютон подозревал наличие Агента

Судя по этому фрагменту (который кажется мне гениальным из-за намека на совершенно неизвестную в то время форму материи – поле), Ньютон понимал, что отгаданный им закон не может быть последним словом в описании гравитации. Тем не менее ему пришлось постулировать закон природы, в котором говорится о силе гравитационного притяжения между двумя малыми кусками массы в зависимости от разделяющего их расстояния, но вообще ничего не сообщается о том, как гравитация распространяется через пространство – грубо говоря, как «движется» сама гравитация (в нашем изложении эта история тоже далеко впереди). Для всех тел Ньютон сформулировал закон движения, в котором ключевую роль играет изменение (количества движения) во времени, но в его законе гравитации не предусмотрена возможность какого-либо изменения гравитации во времени, потому что время вообще не участвует в формулировке этого закона (это статический закон). Ньютон не мог не видеть этого недостатка своей теории, но никаких данных, которые хотя бы отдаленно подсказывали, в каком направлении искать ответ, в то время не было. Hypotheses non fingo¹⁷.

*****

Уравнения движения. Закон природы «сила – это темп изменения количества движения» традиционно называется вторым законом Ньютона. Его еще часто называют уравнением движения или уравнениями движения. Вот как получается уравнение, например, для Марса. Солнце притягивает Марс с силой, которая зависит от расстояния между Марсом и Солнцем. Но оно-то и неизвестно, ведь задача как раз и состоит в том, чтобы узнать, как положение планеты зависит от времени. А как мы вообще применяем уравнения для решения задач? Мы делаем вид, что неизвестное нам известно, обозначаем его какой-нибудь буквой (например, но совершенно не обязательно, x) и стараемся переписать условие задачи, используя эту букву. В случае с Марсом мы поступаем точно так же, только буква кодирует не неизвестное нам число, а неизвестное нам поведение, т. е. функцию времени. (И таких букв/функций вообще-то три, когда движение происходит в трехмерном пространстве.) Условие задачи, которое надо использовать, чтобы составить уравнение, – это и есть второй закон Ньютона: мы совершаем с неизвестной функцией два разных действия, что дает две разные вещи, но их нужно приравнять. Во-первых, мы записываем выражение для силы; она зависит от расстояния, а потому и от искомого положения планеты по отношению к Солнцу. Во-вторых, мы берем темп изменения количества движения, в данном случае – темп изменения скорости планеты (умноженной на массу). Но сама скорость планеты – это темп изменения ее положения. Итак, мы выразили две разные величины через (пока неизвестное) положение планеты, изменяющееся со временем. Ньютон же говорит нам, что эти две разные величины равны друг другу. Все, что происходит в мире, происходит так, что они совпадают. Поэтому мы принимаемся за выяснение, как должно себя вести положение планеты в зависимости от времени, чтобы записанное равенство действительно было равенством. Это и выражают словами «решить уравнения движения».

Разумеется, не все стрелы летят по одной и той же параболе даже в отсутствие сопротивления воздуха, а планеты не сидят все на одной-единственной эллиптической орбите. Кроме собственно закона движения, важно и то, как я запустил стрелу (куда направил и с какой скоростью) и где именно находился и с какой скоростью двигался Марс, скажем, в 00:00:00 GMT 1 января 2000 г. Эти данные удачно называются начальными условиями. Они включают положения и скорости всего, что движется, в некоторый момент времени, который условно считается начальным. Решая уравнения движения для конкретных систем, мы каждый раз задаемся какими-то начальными условиями. Для разгоняющегося самолета это положение в начале полосы и нулевая скорость. Используя уравнения движения с учетом тяги, сопротивления воздуха в зависимости от скорости и подъемной силы в зависимости от скорости, мы можем определить, где и когда самолет оторвется от полосы.

Для сложных систем, как правило, ответ невозможно выразить в виде функции времени, записанной на бумаге обозримым образом. В таких случаях говорят, что «уравнения движения нельзя решить точно», но в этой фразе нет никакого глубокого философского смысла; это довольно технический момент, к тому же стимулирующий развитие как приближенных математических методов, так и компьютерных вычислений. Но для одинокой планеты, обращающейся вокруг звезды, по прекрасному математическому везению уравнения движения можно решить точно, и именно это Ньютон и проделал, с выдающимися последствиями.

Уравнения движения для одной планеты можно решить точно

*****

Больше чем Кеплер. Ко временам Ньютона законы Кеплера можно было воспринимать как экспериментальный факт, т. е. результат наблюдений. Привнесенные в эту историю Ньютоном математика и дополнительная догадка о том, как действует гравитация, воспроизвели эллипсы для планет. Три закона Кеплера перестали быть разрозненными высказываниями и приобрели логическую связь между собой: все три оказались следствиями закона движения и закона тяготения. Слово «следствие» здесь означает математическую неизбежность: если верны второй закон Ньютона и закон тяготения Ньютона, то никак по-другому планеты двигаться не могут¹⁸. Точнее говоря, могут, но только не совсем планеты (которые одни только и входили в предмет вычислений Кеплера), а тела, прилетающие извне Солнечной системы и улетающие куда-то прочь из нее. Здесь произошло очередное маленькое чудо: с помощью логического анализа (математики) познание вышло за текущие пределы наблюдений. Математический вывод законов Кеплера в большой степени поддержал уверенность в том, что и догадки по поводу законов неплохи, и математика выбрана правильно. А затем та же математика стала для нас проводником, указывая на новые, ранее не наблюдавшиеся виды движения. Для тел вблизи Солнца их оказалось три (вместе с эллипсами), если не считать движения по прямой точно в направлении Солнца¹⁹. И буква, и дух метода исследования мира по схеме «причина – следствие» говорят, что нет никакой возможности принять одни выводы и отказаться от других – неважно, что другие виды движения не наблюдались. Вот все виды движения под действием притяжения к центральному телу (рис. 1.5).

Эллипсы. Во-первых (Кеплер был абсолютно прав!), эллипсы: математически точные эллипсы. Движение в разных частях эллипса происходит быстрее или медленнее точно так, как это утверждал Кеплер, вот только после Ньютона это утверждение перестало быть отдельным законом природы, а стало следствием закона движения и закона тяготения. Точно так же и третий закон Кеплера потерял самостоятельность.

Для Кеплера имеющиеся орбиты планет были уникальными. Для Ньютона, получившего контроль над тем, как эти эллипсы вырастают из законов и начальных условий, очевидно, что эллипсы могут быть очень разными: сильнее или слабее вытянутыми («совсем не вытянутый» эллипс – это попросту окружность). Математически тот или иной эллипс, по которому движется планета, определяется начальными условиями: тем, в каком направлении и с какой скоростью планета двигалась в выбранный «начальный» момент. Чтобы предсказать поведение реальных планет, надо взять эти начальные условия из наблюдений (определить скорость может оказаться сложнее, чем определить положение; но нужно и то и другое). Решение уравнений движения с такими начальными условиями дает в точности те траектории, которым реальные планеты и следуют, и мы уверенно предсказываем, что с ними будет в будущем²⁰. Для воображаемой планеты начальные условия можно выбрать любыми, и эллипсы получатся самые разные: например, сильно вытянутые. Настоящие планеты в Солнечной системе таких вытянутых эллипсов не демонстрируют, но и здесь оказалось, что если математика показывает наличие решения определенного вида, то стоит поискать его в физическом мире. Кометы – это тела, которые движутся по сильно вытянутым орбитам (не каким-то, а именно эллипсам, пока они не портятся за счет прохождения вблизи массивных планет). При движении по вытянутому эллипсу тело проводит бо́льшую часть времени далеко от Солнца, где его не разглядеть, и лишь за короткое время и с высокой скоростью пролетает вблизи Солнца. Именно тогда комета становится видна с Земли (которая, не будем забывать, и сама достаточно близка к Солнцу – примерно в 10 раз ближе, чем Сатурн, самая дальняя из известных во времена Ньютона планет, и в 30 раз ближе, чем Нептун)²¹.

«Начала» Ньютона вышли в 1687 г., а в 1705-м его уравнения были использованы для предсказания, причем с размахом на полвека вперед: в 1758 г. будет наблюдаться комета. Эта комета сейчас называется 1P/Halley. В этом обозначении 1P указывает на ее порядковый номер (один!!) и ее «периодичность», а Halley – это в русской традиции Галлей, хотя точнее было бы Хэли или Холи. (Пример другой кометы: 67P/Churyumov – Gerasimenko; здесь пусть англоговорящие мучаются с тем, как произнести.) Галлей – современник Ньютона, сыгравший немалую роль в том, чтобы «Начала» вообще увидели свет, – не открыл свою комету, он «всего лишь» заявил, что кометы, наблюдавшиеся ранее, в частности в 1531, 1607 (при Кеплере!) и 1682 гг., – это одна и та же комета. Заявление не было произвольной догадкой, но подтверждалось результатами вычислений того, как большие планеты влияют на орбиты комет (как именно они портят те самые вытянутые эллипсы). На основе вычислений, пользуясь законами Ньютона, Галлей и предсказал следующее появление кометы в 1758 г. Сбывшееся предсказание означало бы, что в Солнечной системе есть по крайней мере одно тело, не являющееся планетой, которое обращается вокруг Солнца.

Галлей скончался за 16 лет до установленного им срока возвращения кометы и был лишен возможности переживать «в реальном времени», сбудется или не сбудется его предсказание, – а переживать было от чего. Указанный им 1758 год прошел без кометы, точнее, почти прошел: комета объявилась практически в последний момент, 25 декабря. Увидел ее 35-летний саксонский фермер и астроном-любитель Палич. Его жизненная стезя определялась унаследованными им обязанностями по ведению фермерского хозяйства, и в юности ему приходилось скрывать свою любовь к астрономии²². Вообще-то я не думаю, что Галлей хоть сколько-нибудь сомневался, что его комета вернется и будет возвращаться. После трех полных оборотов вслед за своим появлением в 1758–1759 гг. комета вернулась в 1986-м, но я упустил свою возможность ее увидеть. Она приблизилась к Солнцу, но оказалась по другую сторону от него, чем Земля, что создало худшие условия для ее наблюдения с Земли за последние 2000 лет. Надеюсь, многие из моих читателей используют свой шанс в 2061-м. Целый класс комет – с периодом обращения от 20 до 200 лет – называют кометами галлеевского типа; типичная такая комета появляется во внутренней области Солнечной системы один-два раза за одну человеческую жизнь.

1 января 1801 г. на небе обнаружилось неизвестное до того тело. Автор открытия (астроном Пьяцци, католический священник из Палермо) продолжал наблюдения до начала февраля, когда ему пришлось прервать их из-за болезни. К сентябрю, когда он опубликовал результаты своих наблюдений, новое небесное тело заняло на небе положение, близкое к Солнцу, из-за чего наблюдать его стало невозможно. Возможность наблюдений должна была вернуться в конце года, но для их возобновления требовалось с достаточной точностью знать, где новое тело к тому времени окажется. В его розыске принял участие 24-летний Гаусс (по мнению многих – величайший математик из всех когда-либо живших). Он разработал «быстрый алгоритм» восстановления орбиты по трем наблюдениям и с его помощью определил эллипс, на котором это тело должно было находиться. На основе его предсказаний потерянная планетка, названная Церерой, была успешно «возвращена» 31 декабря 1801 г.; едва ли какая-нибудь другая подобная история наблюдений укладывается точно в календарный год²³. Большая полуось эллипса, на котором пребывает Церера, – примерно 2,8 а.е. (астрономическая единица – среднее расстояние от Земли до Солнца, удобная мера длины в Солнечной системе); это между Марсом и Юпитером.

К решениям уравнений движения для планеты, притягиваемой Солнцем, следует относиться как к описанию всех возможных видов движения в такой системе. Несколько удивительно, что их так мало: кроме вышеупомянутых эллипсов, осталось только два.

Гиперболы. Если запускать тела из какой-нибудь суперпушки, находящейся на некотором расстоянии от Солнца, то при достаточно большой начальной скорости тело не попадет на замкнутую орбиту, а, «завернув» вокруг Солнца, улетит прочь. Решение уравнений движения говорит, что такое движение непременно происходит по математически точным кривым, которые называются гиперболами. Они родственны эллипсам, но, в отличие от замкнутого эллипса, гиперболы разомкнуты. Два конца гиперболы по мере удаления от ее «середины» делаются все больше похожими на прямые (что неплохо согласуется с нашим представлением о том, что, когда тело находится очень далеко от Солнца, солнечное притяжение почти не ощущается и тело летит почти по прямой). У гиперболы тоже есть фокус (специальная точка вне самой гиперболы); гиперболические траектории небесных тел таковы, что (как и в случае эллипса) Солнце сидит точно в фокусе. Движение по гиперболе, как говорят, «не финитно»: тело приходит откуда-то издалека, отклоняется Солнцем и, изменив направление, уходит куда-то в неопределенное далеко, причем скорость его, хотя и уменьшается по мере удаления, приближается к некоторому фиксированному значению, не равному нулю.

Предсказание гиперболических орбит (возможность которых Кеплер, очевидно, не мог и подозревать) – это демонстрация силы математических методов и самого подхода к познанию, основанного на причинах явлений. В течение трех сотен лет можно было не наблюдать в Солнечной системе ни одного тела, летящего по гиперболе, и тем не менее ни у кого не было сомнений, что такое возможно – что в Солнечную систему может залететь гость извне, побыть здесь недолго и распрощаться навсегда, с необходимостью следуя по какой-то гиперболе. Такой гость издалека был замечен 19 октября 2017 г. и вскоре наречен Оумуамуа (рис. 1.6). Сейчас этот астероид, когда-то, видимо, выброшенный из какой-то иной планетной системы, уже вычерчивает «уходящую» от нас часть гиперболы. 30 августа 2019 г. была открыта и межзвездная комета 2I/Borisov. Кроме того, пять рукотворных объектов сейчас движутся «вокруг» Солнца по гиперболам, это значит, что они покидают Солнечную систему. Это «Пионер-10» (запущен в 1972-м), «Пионер-11» (1973), «Вояджер-1», «Вояджер-2» (1977) и «Новые горизонты» (2006).

Параболы. Наконец, «между» эллипсом и гиперболой есть траектория еще одного типа. Она называется парабола. У нее тоже есть специальная точка, называемая фокусом, и несколько условно можно считать, что парабола – это «разомкнутый эллипс» (один из фокусов эллипса отодвинут неопределенно далеко, но по мере отодвигания эллипсу не давали стать слишком тонким). На первый же взгляд парабола больше похожа на гиперболу: у нее тоже уходят вдаль два конца, правда, «выпрямляются» они по мере удаления по другому закону, чем в случае гиперболы, да и улетающее тело движется по ним иначе: скорость движения делается все меньше и меньше, постепенно приближаясь к нулю.

Едва ли хоть одно тело вблизи какой-нибудь звезды летит по параболе, но причина не в нарушении соответствия между тем, что предсказывает математика, и тем, что может иметь место в реальности. Причина в сложности «тонких настроек». Если вы имеете в своем распоряжении космическую пушку, чтобы запускать тела в сторону Солнца, то, пока вы будете выстреливать тела с большой скоростью, Солнце не сможет оставить их в своей сфере влияния и траектории этих тел станут гиперболами. Если же вы понизите скорость выстреливания, то притяжения Солнца хватит на то, чтобы удержать тело при себе, а это значит, что траектория окажется эллипсом. При заданном расстоянии от Солнца лишь единственное значение скорости приведет к тому, что тело полетит по параболе. Стоит выстрелить чуть или сколь угодно быстрее – получатся гиперболы, а чуть или сильно медленнее – эллипсы. В этом смысле гипербол и эллипсов «много», а парабол «мало». В реальности параболы в качестве орбит не запрещены, а просто не случаются.

Вот, собственно, и все, что может произойти: эллипсы, гиперболы или в крайнем случае параболы. Никаких более замысловатых траекторий, если речь идет о движении под действием притяжения к одному центру. Никаких, например, вариантов «по спирали падает на Солнце» – что не может не радовать обитателей одной из планет, обращающихся вокруг Солнца.

Кеплер абсолютно правильно прочитал многостраничные таблицы с числами, но нечеловеческие усилия и озарение, необходимые для такого прочтения, оказались больше никому не нужны: знание о том, какими могут быть орбиты, стало доступным и первокурснику. «Особенно замечательным, – писал Эйнштейн в статье, посвященной 200-летию кончины Ньютона, – должно было казаться выяснение того факта, что причина движения небесных тел тождественна столь привычной нам из повседневной жизни силе тяжести»²⁴. И это не все. Принципы, один раз успешно выведенные из наблюдений (исторически – в ограниченной части Солнечной системы), наделили нас способностью делать выводы об устройстве мира и предсказывать поведение его частей далеко за пределами Солнечной системы. Мир Ньютона, полностью поглотивший мир Кеплера (и впитавший в себя относительность Галилея), постепенно распространялся на все шире приоткрывавшуюся Вселенную, не требуя для этого никаких изменений в своих фундаментальных положениях. Солнечная система отлично поддерживала единство теории и наблюдений: например, солнечные и лунные затмения известны на любой «мыслимый» момент времени в будущем или прошлом, и эти предсказания выполняются много точнее, чем расписание пригородных поездов. Простые принципы, заложенные в описание мира, работали, работали и работали; новые принципы не требовались. А если все, что происходит, случается в соответствии с законами движения, то все ли предсказуемо? Если знать положения и скорости всех тел в некоторый момент времени (упоминавшиеся уже начальные условия), то можно ли узнать будущее, просто решая уравнения движения? И вообще, в космосе все правда так просто? И есть ли границы, за которыми сформулированные законы теряют применимость?

Источник развития знания – несоответствия в имеющемся знании. Мощь ньютоновской картины мира, основанной на законах движения, определялась в том числе тем, что границы ее стали появляться в поле зрения не раньше чем через полтора столетия чрезвычайно плодотворного ее развития. Мы доберемся до этих границ гораздо быстрее, но еще до того нас ждут несколько шедевров ее использования, как в рукотворных ситуациях, когда требуется управлять движением ради достижения практических целей, так и для понимания устройства мира самого по себе.

*****

Движение как организация. Планеты, которые «бродят» по небу, а в действительности движутся по эллипсам, остаются в Солнечной системе, а не улетают прочь. Слово «система» подчеркивает привычку мыслить о нашем космическом окружении как о чем-то едином и заодно достаточно устойчивом. Причина такого положения дел в том, что существует вид движения под действием притяжения (да, эллипсы), участники которого не разбегаются в разные стороны. Открывая планеты у других звезд, мы тоже говорим о планетных системах и тоже, разумеется, рассуждаем в терминах эллипсов, по которым там летают планеты. На тех расстояниях, с которых мы их наблюдаем, ничего, кроме планет (и иногда значительных скоплений пыли), обнаружить не удается, но про свою Солнечную систему мы хорошо знаем, что в ней содержится множество разного, кроме планет; и все разнообразные ее обитатели летают вокруг Солнца тоже по эллипсам – в большей или меньшей мере искажаемым влиянием других обитателей. Я легко соглашусь с тем, что самое интересное из происходящего состоит как раз в этих взаимных влияниях, вызванных ими изменениях орбит и прочих драматических событиях, но тем не менее буду настаивать на том, что Солнечная система организована в нечто единое благодаря замкнутым траекториям. Ту же идею организации движущихся частей в нечто единое мы усматриваем в структурах большего масштаба: Солнечная система вместе с другими звездами, а также газом и пылью обращается вокруг центра галактики Млечный Путь, и все вместе они тоже составляют «систему»; другие галактики в дальнем космосе – основные структурные элементы, в терминах которых мы говорим об этом космосе. Движение в сочетании с законом притяжения – элемент организации и одновременно инструмент для проверки нашего понимания происходящего во Вселенной; ближе к дому это еще и возможность применить достигнутое понимание на практике. Движение как предмет для применения имеющихся знаний и способ получения новых – объект нашего внимания на следующих прогулках.

Добавления к прогулке 1

Об уравнениях. Волей-неволей нам предстоят прогулки в компании уравнений: их приходится упоминать и о них рассуждать, даже если сами они не присутствуют здесь во всей своей математической полноте. Нелишне сказать несколько слов об уравнениях вообще.

Если говорить одним словом, то уравнение – это задача. Сформулирована эта задача в виде двух различных математических выражений, соединенных знаком равенства. Как правило, требуется определить, каким должно быть неизвестное, чтобы это равенство действительно выполнялось (например, каким должно быть x, чтобы выполнялось равенство x² = 1). До конца этого абзаца будем считать, что неизвестное – это число или числа, «любые» или из какого-то класса (например, иногда бывают интересны целые числа или, скажем, положительные; к уравнению всегда прилагается или подразумевается информация о том, в каком классе следует искать неизвестное). Кроме неизвестного или неизвестных, уравнения содержат нечто известное или считающееся известным. В буквальном смысле известными (известнее не бывает) являются конкретные числа, но очень часто в качестве известных фигурируют и буквы. Смысл букв в том, что их можно заменять числами по нашему выбору, но желательно делать это, когда уравнение уже решено. Получить решение «в буквах» всегда здорово, потому что решение относится тогда не к одному-единственному уравнению с конкретными числами, а к семейству уравнений. Хрестоматийный пример – квадратное уравнение, в котором одна буква x обозначает неизвестное, а две или три другие буквы считаются известными. Такое уравнение можно действительно решить «в буквах», т. е. в общем виде, но это редкая ситуация – например, с уравнением пятой степени (содержащим x⁵ и более низкие степени) этого сделать нельзя, за исключением особых случаев, и приходится решать уравнение каждый раз заново с конкретными числами. Компьютер, как правило, неплохо справляется с уравнениями, в которых, кроме неизвестного, присутствуют только числа.

Но неизвестными могут быть не только числа, но и более сложные объекты – функции. Пример функции – поведение (зависимость от времени) какой-либо величины, скажем объема вашего вклада в банке. Данные о том, что каждый день вклад увеличивается на 0,001 своей величины, являются, по существу, уравнением, из которого можно найти это поведение – функцию времени – и, например, узнать размер вклада через 1000 дней. Часто (хотя и не всегда) в задачах про такое поведение нет «зернистости» в виде фиксированного отрезка времени («дня»): считается, что функция изменяется непрерывно, и формулировка уравнений к этому приспособлена (такие уравнения называются дифференциальными, что примерно означает «имеют дело с очень малыми изменениями»). Пример поведения – координаты тела, движущегося в пространстве; чтобы задать его траекторию, требуются три функции времени – по одной для каждой из координат. Когда тела движутся под действием каких-либо сил, эти функции не произвольны, а определяются уравнениями движения.

Уравнения, которые выражают законы природы, описывают точную (количественную) связь между какими-то величинами. Такие уравнения позволяют делать предсказания о поведении и свойствах изучаемых систем. Когда предполагается наличие в природе какой-либо связи, сопоставление предсказаний с наблюдениями служит для отбора тех уравнений, которые приводят к более точным предсказаниям. Несколько упрощая, можно сказать, что таким образом и формулируются работающие законы природы.

Конические сечения. Орбиты трех типов – эллипс (становящийся окружностью в частном случае), парабола и гипербола – объединены самим фактом того, что они и только они (кроме еще тривиального случая прямой линии) являются траекториями движения тел под действием притяжения одного центра. Они же объединены свойством совершенно иного типа: они и только они (и в специальном случае – прямая) возникают как пересечение плоскости и конуса. Конус – это поверхность, которая образуется, если свернуть в воронку лист бумаги, но с одним уточнением: математический конус продолжается по обе стороны от вершины, как видно уже на рис. 1.7a. Если теперь пересечь конус плоскостью, которая перпендикулярна оси симметрии, то в сечении получится окружность. Наклоняя плоскость, мы получаем в сечении разнообразные эллипсы – всё более вытянутые по мере того, как наклон плоскости увеличивается (рис. 1.7b), – до тех пор, пока наклон не станет таким же, как наклон образующей конуса. В этом случае (рис. 1.7c) в сечении получается парабола (в некотором роде, как мы говорили, эллипсов много, а парабола одна; здесь эта идея выражается в том, что парабола возникает при точно обозначенном угле). Наклоняя плоскость еще сильнее, получаем в сечении гиперболы – разные в зависимости от угла наклона (рис. 1.7d). Здесь требуется небольшое пояснение: каждая гипербола имеет две части, потому что плоскость задевает и верхнюю, и нижнюю половины конуса. Говоря о гиперболе как о траектории движения, имеют в виду одну ее половину (которую тогда тоже называют гиперболой).

Почему три вида кривых, и только они, оказались решением двух столь различных задач (задача Кеплера и конические сечения) – вопрос, который нельзя было не задать некоторое число раз за те триста с лишним лет, как этот факт выяснился (конические сечения как таковые были известны в Древней Греции). Эллипс, кроме того, геометрически полностью симметричен относительно двух фокусов, что видно уже из построения с ниткой, показанного на рис. 1.1; но в Солнечной системе нет никакой «нитки», которая указывала бы планете, как двигаться, а сила действует на планету всегда и только в сторону одного из фокусов. Как же геометрия возникает из закона тяготения? Самый простой ответ: она получается как решение уравнений. Этот ответ, однако, никак не проясняет механизм, а из-за того, что уравнения здесь дифференциальные, он не относится к числу «элементарных». Есть ли элементарное решение, т. е. такое, которое позволяет перевести одну задачу (нахождение орбиты) в другую (построение конического сечения), причем делает это «непосредственно» и без использования математических средств типа дифференциального исчисления? Такое элементарное решение известно; в частности, ему посвящена «забытая» лекция Фейнмана – забытая на фоне других, прочитанных им в Калтехе и вошедших в «Фейнмановские лекции по физике». Однако Фейнман предваряет рассуждения таким предупреждением:

Элементарное вовсе не означает легкое для понимания. Элементарное означает, что для понимания не требуется почти никаких предварительных знаний, кроме бесконечно развитых умственных способностей.

Две «разные» параболы. Параболы оказались ответами в двух задачах: «планета» (частный случай движения вокруг центра притяжения, скажем Солнца) и «стрела», или, выразительнее, «камень» (движение, начинающееся под углом к горизонту вблизи земной поверхности). Одна и та же математическая кривая вполне может оказаться решением уравнений, записанных для различных систем, при разных предположениях. В задаче «планета» предполагается, что сила притяжения убывает при увеличении расстояния – «обратные квадраты», как это записано в (1.1). Парабола может тогда получиться в качестве решения при тщательно подобранных начальных условиях. В задаче «камень» предполагается другое: вблизи земной поверхности сила притяжения практически постоянна; поэтому можно спокойно пренебречь тем, как она убывает по мере подъема над поверхностью. В такой постановке задачи траектория брошенного тела – всегда парабола (разумеется, если убрать весь воздух – например, перенести эксперимент на Луну и там от души пострелять из рогатки), за очевидным исключением случаев бросания строго вверх и строго вниз. Если все же проявить дотошность и решить задачу про камень, не забывая, что притяжение ослабевает с высотой (и меняет направление по мере смещения вдоль земной поверхности!), то траектория от старта до падения окажется частью очень вытянутого эллипса – очень коротким отрезком его дуги вблизи его верхней части. На рис. 1.8 изображена часть эллипса, вытянутого несравненно слабее, чем тот, на который можно запустить камень любыми подручными средствами, но рисунок передает идею: небольшая дуга эллипса практически совпадает с параболой. Траекторией является только та часть каждой кривой, которая находится над поверхностью Земли, и, пока максимальная высота подъема мала по сравнению с радиусом планеты, участок эллипса неотличим от параболы. Поэтому вблизи поверхности Земли можно считать, что брошенные под углом к горизонту тела летят по параболе. Это Галилей и установил.

Рис. 1.8. Часть эллипса (светло-серая линия) и часть параболы (темно-серая линия), которые неразличимо близки около вершины. Широкой линией показана поверхность Земли. Только участки кривых, которые лежат выше нее, могут быть траекториями брошенных тел, а в этой части эллипсы очень похожи на параболы, пока они достаточно близки к поверхности

Точная парабола возникает в задаче о стрельбе с поверхности Земли, когда притяжение Земли учитывается «по-настоящему», в соответствии с законом тяготения Ньютона, а скорость имеет строго определенное значение. Если вы стреляете из суперпушки, расположенной на поверхности, то при достаточной скорости снаряда, посланного под углом к горизонту, он отправится путешествовать вокруг Земли, описывая эллипс. Если скорость выстрела еще увеличить, то наступит момент, когда снаряд уйдет от Земли неопределенно далеко. Минимальную скорость, при которой это происходит, называют второй космической скоростью или параболической скоростью. Это минимальная скорость освобождения: та скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно преодолело гравитацию, например, Земли и улетело «совсем». Движение тогда происходит по параболе! (Разумеется, если запустить снаряд быстрее, то он тем более улетит от Земли – но уже не по параболе, а по гиперболе.)

Парабола – траектория самого неторопливого расставания

Гравитация и заряды. Царица Вселенной – гравитация – это самая слабая из четырех фундаментальных сил. И одна из двух дальнодействующих. Вторая дальнодействующая – электромагнетизм, и, чтобы оценить, во сколько раз одна сильнее или слабее другой, можно сравнить силу, с которой два расположенных на определенном расстоянии электрона отталкивают друг друга электрически, и силу, с которой они притягиваются гравитационно. Гравитационное притяжение слабее электрического отталкивания примерно в 4 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 раз. Это большое число раз, независимо от вашего определения слова «много». Намеки на эту огромную разницу повсюду вокруг нас: когда я держу в руках груз весом 10 кг, сила химических связей между молекулами в моем теле (которые в основе своей электромагнитные, но в заметно «ослабленном» варианте по сравнению с взаимодействием одиночных электрических зарядов) позволяет мне с успехом противодействовать притяжению целой планеты. И тем не менее на больших масштабах Вселенную структурирует гравитация, а вовсе не электромагнетизм, за которым остался весь мир сред, материалов и вещей вокруг нас. Причина в том, что электрические заряды встречаются в двух разных видах: положительные и отрицательные, и в зависимости от этого они могут и притягиваться, и отталкиваться. Положительные и отрицательные заряды распределены вокруг нас поровну, так что окружающие тела в целом электрически нейтральны, т. е. не имеют электрического заряда (хотя глубоко внутри с зарядами происходит много интересного). Ничего похожего не происходит с гравитационными зарядами – т. е. массами – окружающих тел: при всей слабости гравитации тела заведомо не являются гравитационно нейтральными.

Телескоп «Кеплер». «Кеплер» занимался поиском случаев периодического ослабления света от звезды из-за прохождения планеты по ее диску, наблюдаемому с Земли, – что-то вроде крошечной, микроскопической пылинки на фоне прожектора. Это наш основной источник знаний об экзопланетах на данный момент, хотя такой метод их поиска и имеет некоторый перекос: чаще открываются более близкие к своей звезде планеты, чем далекие, потому что при небольшом наклоне плоскости орбиты планеты к лучу зрения близкая к своей звезде планета скорее окажется на фоне диска этой звезды, чем далекая (а перекос хорошо осознается, и разрабатываются меры по его преодолению для оценки планетного «населения» в галактике Млечный Путь).

Телескоп «Кеплер» работал не на околоземной орбите, а летал (и сейчас летает, только срок службы уже закончился) вокруг Солнца, близко к земной орбите и собственно к Земле, но несколько отставая от нее. Его пришлось убрать подальше, чтобы избежать ненужных затмений части неба близкой Землей, влияния света, отражаемого от Земли, а также влияния лунной гравитации на его орбиту (из-за обращения Луны вокруг Земли – влияния переменного, что и составляет проблему). Оборот вокруг Солнца «Кеплер» совершает за 372,5 суток, что означает отставание от Земли на 26 млн километров за год. Через примерно 25 лет «Кеплер» окажется с противоположной стороны от Солнца по отношению к Земле, а лет через 50 снова приблизится к нам. Быть может, тогда будет не очень дорого снять его с орбиты и поставить в музей.

Признания и литературные комментарии

Количество движения (в простейшем случае – произведение массы на скорость) имеет и более короткое название – «импульс», и этот термин можно было бы выучить и использовать, но я предпочел вариант, звучащий несколько более значаще. Для системы, на которую ничто не действует извне, суммарное количество движения всех ее частей – сохраняющаяся (не меняющаяся с течением времени) величина. В эквивалентной форме этот факт известен как самый, наверное, популярный – третий – закон Ньютона, на котором я не стал специально останавливаться (но о законах сохранения сказано еще немного в приложении Б).

Высказывание Эйнштейна о Кеплере взято из статьи "Albert Einstein über Kepler", впервые напечатанной в газете Frankfurter Zeitung в ноябре 1930 г.; русский перевод под названием «Иоганн Кеплер» включен в сборник статей Эйнштейна²⁵. Там же – его статья «Механика Ньютона и ее влияние на формирование теоретической физики», написанная к 200-летию кончины Ньютона, из которой я также привожу цитату. Разнообразные подробности о жизни и трудах Тихо Браге, Кеплера, Галилея и Ньютона (и не только их) можно найти в энциклопедической книге²⁶. Труды и жизнь Галилея в период его противостояния с инквизицией, представленные на фоне эпохи, интриг и растущего научного знания, – предмет захватывающего чтения в²⁷. На Дейва Скотта, бросающего предметы на Луне, можно посмотреть по ссылке https://youtu.be/Oo8TaPVsn9Y. Цитата из самого Галилея взята из издания²⁸.

В связи с появлением у Кеплера некруговых орбит Владимир Сурдин отмечает определенный элемент «психологической подготовки»: уже в Птолемеевой геоцентрической системе мира Земля располагалась не в центре главной окружности (деферента), а была смещена от центра; в противоположную сторону от центра был смещен эквант – точка, при наблюдении из которой движение планеты выглядит равномерным. По поводу того, что «Ньютон угадал закон тяготения», стоит отметить, что Ньютон не действовал в вакууме, а был участником обмена идеями; развитие событий от переписки Ньютона с Гуком до появления «Начал» ясно и выразительно описано в книге²⁹ (чем ее содержание далеко не исчерпывается); я благодарен Дмитрию Баюку за обсуждение этих вопросов. Несколько упрощенное, но тоже интересное изложение истории, приведшей к появлению «Начал», имеется в книге³⁰. Там же (помимо всего другого) рассказано и о Галлее. Научная и общественная биография Ньютона систематически исследуется в книге³¹. Интересно, насколько задержалось бы развитие науки в Новом времени, если бы (в гипотетической параллельной Вселенной) уравнения движения для планет не позволяли обозримым образом выразить точное решение и на основе постулатов Ньютона не удалось бы продемонстрировать явного быстрого успеха?

«Забытой» лекции Фейнмана посвящено блестящее изложение каналов minutephysics и 3Blue1Brown: https://youtu.be/xdIjYBtnvZU. Заодно стоит посмотреть рассказ в том же стиле от 3Blue1Brown, почему из конических сечений возникают именно эллипсы: https://youtu.be/pQa_tWZmlGs. «Незабытые» «Фейнмановские лекции по физике»³² много раз переиздавались на русском, но я продолжаю пользоваться своими томиками, вышедшими в 1976 г. (это было уже третье русское издание). Как мне кажется, не потерял своей актуальности рецепт по-настоящему заинтересованного знакомства с физикой: читать первый том «Фейнмановских лекций…» до состояния потери понимания, и к тому моменту как раз станет понятно, выстраиваются ли ваши отношения с этой формой знания. Воспользуюсь случаем и порекомендую еще одну (тоже несчетное число раз переиздававшуюся) книгу Фейнмана³³, которая остается универсально актуальной – в частности, актуальной для большинства этих прогулок.

По поводу «зоны обитаемости», о которой говорят в связи с экзопланетами. Владимир Сурдин считает важным напоминание, что так называется диапазон расстояний от звезды, в пределах которого температура на поверхности планеты позволяет существовать там жидкой воде, и ничего сверх того не предполагается; сам Сурдин, однако, предпочитает название «зона жизни». Рисунок 1.3 взят с сайта NASA https://exoplanets.nasa.gov/resources/131/lining-kepler-habitable-zone-planets-up, где приведен с целью проиллюстрировать сравнительные размеры потенциально обитаемых планет, открытых с помощью телескопа «Кеплер». Никакие подробности о том, как они на самом деле выглядят, нам, конечно, неизвестны. Достаточно условно и изображение Оумуамуа на рис. 1.6, взятое с сайта https://solarsystem.nasa.gov/asteroids-comets-and-meteors/comets/oumuamua/in-depth/, где оно приведено со ссылкой на Европейскую южную обсерваторию (European Southern Observatory, ESO) и дизайнера Мартина Корнмессера. Главное в нем – крайне необычное для астероида соотношение (около 10: 1) его большого и малых размеров.

На восходящий к Галилею вопрос о причинах, определяющих эффективность математики в науках, Тегмарк³⁴ отвечает максимально последовательно с минимальным, как мне кажется, числом дополнительных гипотез и построений: потому что Вселенная и есть математика. Я бы, несомненно, согласился с этим заявлением в еще большей степени, чем согласен сейчас, если бы лучше понимал, что в точности оно значит. Среди немалого числа высказываний о роли математики в науках название статьи³⁵ стало мемом, она вошла и в сборник³⁶; в этих изданиях переводчики почему-то сократили имя автора, Юджин, до буквы Е.

Прогулка 2
Танец с небесами

Маршрут: От Земли к Луне и обратно. – Центр масс. – Кто за рулем. – Космические парковки XVIII века. – Гало-орбиты. – Греки и троянцы. – Полет из пращи. – Где прибавить ходу. – Рандеву. – Танец с небесами.

Главный герой: Майкл Коллинз

От Земли к Луне и обратно. Прекрасные в своем совершенстве кеплерово-ньютоновы эллипсы могут навевать скуку – ведь это всего лишь эллипсы. В действительности же движение в космосе в бесконечное число раз разнообразнее. Дело просто в том, что математическая задача, которую решил Ньютон, была задачей про одну планету, притягиваемую Солнцем; в качестве траекторий действительно получились только эллипсы³⁷. Однако планет у Солнца в действительности несколько, еще больше – их лун (спутников), а закон гравитации, как Ньютон же его и придумал, универсальный: все притягивается ко всему. При наличии многих тел задача сразу меняется, а движение оказывается практически бесконечно разнообразным. Правда, математические трудности на пути точного решения задачи многих тел, притягивающих друг друга, непреодолимы – во времена Ньютона, в общем, в той же мере, что и сейчас. Проблема, конечно, в том, что каждое тело движется в зависимости от того, как оно притягивается к другим, а это притяжение зависит от того, какое тело где находится. Записать уравнения движения – легче легкого, а вот решить их в обозримом виде (т. е. в виде небольшого числа формул, из которых «виден ответ») невозможно. Оказываемся ли мы снова беспомощными перед лицом Вселенной, желая на основе законов движения предсказать, куда и с какой скоростью что-то полетит? И да и нет.

Движение под действием двух центров притяжения – предмет существенного интереса с точки зрения путешествия с Земли на Луну. Масса космического корабля настолько незначительна по сравнению с массой обоих тел, что не оказывает влияния на их орбиты; зато движущиеся друг относительно друга Земля и Луна влияют на космический корабль так, что его реальная орбита может оказаться где-то в интервале от «слегка некеплеровой» до «совершенно некеплеровой». И в этой задаче нельзя действовать так, как действовал Кеплер: попытаться сразу сказать, какой же траектории будет следовать корабль. Да и Ньютону было бы не под силу коротко определить эту траекторию: для нее нет не только понятного названия типа «эллипс», но и единой формулы, которая полностью и точно описывала бы ее в одну или хотя бы в несколько строк. Ньютон, правда, вовсе не занимался расчетами полетов космических кораблей к Луне – хотя, кто знает, если бы эта задача была поставлена перед ним королем (как она была поставлена советским руководством перед М. В. Келдышем в конце 1950-х), он мог бы этим загореться и посвящать меньше времени другим своим увлечениям и административным обязанностям (Келдыш между тем был президентом Академии наук СССР).

Точно учесть совместное влияние Земли и Луны непросто

Первой земной вещью, которую удалось отправить на Луну, предварительно проделав все необходимые вычисления (и, само собой, преодолев многие технологические сложности), была «Вторая космическая ракета», как она тогда называлась, – аппарат, задним числом переименованный в «Луну-2». «Первая космическая ракета» (в установившейся позднее терминологии – «Луна-1»), стартовавшая с территории СССР в самом начале 1959 г., промахнулась мимо Луны больше чем на три лунных радиуса из-за слишком поздней команды на выключение разгонного двигателя. Ошибки были учтены, и уже в сентябре «Луна-2» попала в цель. Расстояние от центра Земли до центра Луны – 110 с небольшим лунных диаметров; при этом Луна не стоит на месте, а движется относительно Земли со средней скоростью около 3680 км/ч. И да, притягивает космический аппарат с силой, мало существенной на большей части пути, но все возрастающей по мере приближения к Луне, – тогда как притяжение Земли ослабевает по мере удаления. Корабль/ракету при этом именно запускают, почти как шар в боулинге: траектория в основном задается тем, как сработал двигатель при старте с околоземной орбиты, а далее движение происходит под действием одного только тяготения; хорошо, когда по дороге есть возможность небольшой коррекции. Отправить людей к Луне и благополучно вернуть их обратно удалось ценой напряженных целенаправленных усилий только через девять с лишним лет после полета «Луны-2».

Первые предметы доставлены на Луну в 1959 г.

Первым (после, конечно, «Из пушки на Луну») транспортным средством, на котором люди отправились к Луне, был «Аполлон-8» в конце декабря 1968 г. Задача состояла в том, чтобы туда добраться (преодолев примерно 384 000 км), выйти на орбиту вокруг Луны, а затем, наоборот, уйти с нее и вернуться домой. За словами «выйти» и «уйти», как и «добраться» и «вернуться», стоят концентрированные смыслы и сложные технологические решения. Когда три ступени ракеты «Сатурн V» вывели «Аполлон-8» (вместе с третьей ступенью, которой предстояло еще поработать) на низкую околоземную, почти круговую орбиту, все системы корабля были проверены на предмет дальнейшего путешествия к Луне. Действия, необходимые для перехода на курс к Луне, надлежало выполнить в строго определенном месте траектории, которое на рис. 2.1 обозначено буквами TLI, что означает Trans Lunar Injection («переход на траекторию полета к Луне»). Сама «инъекция» состояла в точно дозированном включении двигателя третьей ступени при строго определенной ориентации корабля.

Рис. 2.1. Схема полета «Аполлона-8» к Луне. Размеры Земли и Луны указаны не в масштабе, соответствующем расстоянию между ними. Расстояние от центра Земли до центра Луны примерно в 30 раз превышает диаметр Земли и в 110 раз – диаметр Луны (а Земля «шире» Луны в 3,7 раза). Большой эллипс в действительности вытянут гораздо сильнее

За некоторое время перед этим из центра управления должна была поступить разрешающая команда. На связи с астронавтами был Майкл Коллинз, который в момент времени T + 002:27:22 (т. е. через 2 часа 27 минут и 22 секунды после старта) произнес: «Отлично, "Аполлон-8", есть готовность к переходу на траекторию к Луне, прием» (All right, Apollo 8. You are go for TLI, over). Это довольно техническая, сухая фраза, которую он к тому же многократно тренировался произносить (не ради улучшения своей дикции, а как часть тренировки в центре управления, где систематически моделировались всевозможные неисправности и отрабатывались действия по их диагностике и преодолению). Но она произвела на Коллинза впечатление, сравнимое с впечатлением от его собственного полета к Луне семь месяцев спустя:

И вот наступил серьезный момент. Пока мы вели обратный отсчет до включения двигателя [третьей ступени], чтобы выполнить TLI, безмолвие охватило центр управления. Из-за TLI этот полет отличался от предшествовавших ему шести полетов проекта «Меркурий», десяти «Джемини» и одного «Аполлона», отличался от любого путешествия, когда-либо предпринимавшегося людьми на каком бы то ни было транспортном средстве. Впервые в истории человек собирался ускорить себя до скорости освобождения, разорвать хватку гравитационного поля Земли и, как никто никогда не делал раньше, вылететь накатом в открытый космос. После TLI в Солнечной системе должны были появиться трое людей, которых следовало учитывать отдельно от остальных миллиардов, – трое, находящихся в другом месте, движение которых подчиняется другим правилам и среду обитания которых надо считать отдельной планетой. Они могли оглядывать Землю, а Земля могла глядеть на них, и каждая из сторон видела бы другую впервые. Люди в центре управления все это понимали; но не нашлось никаких специально написанных слов, чтобы выразить этот факт. Вместо них была только тонкая зеленая линия, показывающая, как «Аполлон-8» карабкается вверх, набирает скорость и исчезает, оставляя всех нас, застрявших на этой планете, в благоговении оттого, что мы, человечество, в конце концов получили возможность выбора – улететь или не улететь – и выбрали первое.

Я слышу здесь те же мотивы, что, видимо, подсказали название «Первая космическая ракета» ее создателям. Хотя к моменту ее запуска (январь 1959 г.) в космосе уже побывало четыре искусственных спутника Земли, уход от Земли, будь то к Луне или дальше, воспринимался, вероятно, как полет в «настоящий космос».

Включение двигателя «Аполлона-8» было рассчитано так, чтобы корабль перешел на вытянутую эллиптическую орбиту. После 5 минут и 17,72 секунды работы двигателя законы Ньютона вступили в свои права без усложнений со стороны реактивной тяги: движением управляла гравитация. Луна находилась в этот момент еще в удалении от места дальнейших главных событий. Если бы ее не было вовсе, вытянутый эллипс таковым бы и остался: «Аполлон-8» прошел бы его целиком (а потом снова и снова, пока не включил бы двигатель). Однако все мероприятие было затеяно ради встречи с Луной, которая сама не стоит на месте, а движется по орбите вокруг Земли.

*****

Центр масс. Строго говоря, Луна обращается не точно вокруг Земли (а Земля, в свою очередь, – не точно вокруг Солнца), даже если понимать «обращается вокруг тела X» как «движется по эллипсу, в фокусе которого находится центр тела X».

Земля и Луна в своем взаимном движении обращаются вокруг определенной точки, которая по факту находится внутри Земли, но не совпадает с ее центром. Она называется центром масс и для двух тел одинаковой массы находится точно посередине отрезка, соединяющего эти тела; для неодинаковых тел центр масс смещен из середины в сторону более массивного тела. Для примерно сферических тел, таких как Луна, планеты и звезды, все расстояния надо вычислять до центра каждого тела. Из-за того что Земля в 81,6 раза массивнее Луны, их общий центр масс расположен близко к центру Земли – настолько близко, что оказывается внутри Земли, на расстоянии около 4600 км от центра (тогда как радиус Земли – 6378 км).

Центр вращения – центр масс

Если бы у Земли было два спутника – Луна и, скажем, Селена, то все три обращались бы вокруг общего центра масс. В зависимости от массы и удаления Селены от Земли и (меняющейся) конфигурации всей системы трех тел он вполне мог бы выходить за пределы Земли. То же самое происходит в Солнечной системе: там всё обращается вокруг общего центра масс. Из-за того что Солнце во много раз массивнее, чем все планеты, вместе взятые, центр масс находится вблизи или внутри Солнца. Поскольку планеты в разное время располагаются по разным сторонам от Солнца, положение центра масс меняется, если смотреть с Солнца. Когда две самые массивные планеты, Юпитер и Сатурн, находятся примерно на одном радиусе, проведенном от Солнца, центр масс заметно сдвигается в их сторону; но когда они расположены по противоположным сторонам, их вклады в сдвиг центра масс по отношению к центру Солнца почти компенсируют друг друга. Самый большой вклад в сдвиг центра масс от центра Солнца дает Юпитер. Центр масс системы Солнце – Юпитер находится даже не внутри, а снаружи Солнца, хотя и близко к его поверхности – на расстоянии немного меньшем, чем четыре диаметра Земли; от центра Солнца это 744 196 км. А центр масс системы Солнце – Земля сдвинут от центра Солнца всего на 450 км. Вращение Солнца вокруг центра масс Солнечной системы – если какой-то далекий наблюдатель его зафиксирует – возможность установить наличие у Солнца планет при взгляде со стороны какой-нибудь другой звезды.

*****

Кто за рулем. Пока «Аполлон-8» летит к Луне, а двигатель выключен, корабль падает – находится в состоянии свободного падения, главный признак которого – невесомость³⁸. Чтобы встреча с Луной произошла как запланировано, в программу полета входила коррекция траектории этого свободного падения к Луне. Для этого надо было точно определить параметры того «большого» эллипса, которому следовал корабль после TLI, вычислить необходимую поправку, превратить ее в точное время включения и выключения двигателя и передать эти данные экипажу/бортовому компьютеру. Коррекция, проведенная почти точно через 11 часов после старта, оказалась очень незначительной: двигатель включили всего на две секунды.

На второй день полета – когда скорость корабля уменьшилась в несколько раз, как и полагается при движении по вытянутому эллипсу (что чувствовал бы Кеплер!..), – расстояние от корабля до Луны стало сокращаться, из-за чего ее притяжение постепенно вступало в силу и «большой эллипс» все заметнее переставал быть эллипсом; для успеха всего путешествия требовалось хорошо понимать, как и насколько. Математически записать точное решение для такой траектории невозможно, но человечество не сидело 250 лет после «Начал» Ньютона сложа руки, а разработало набор способов получать приближенные формулы, а за два десятилетия, предшествовавшие полету, более того, научилось поручать вычисления в каждом конкретном случае компьютеру – развив для этого специальные схемы вычислений.

Через 55 часов и 38 минут полета «Аполлон-8» оказался в точке, где притяжение Земли и притяжение Луны равны по величине. Из-за разницы масс Земли и Луны происходит это там, откуда до Луны в раз ближе, чем до Земли³⁹. После этого Луна стала забирать корабль себе. Если бы притяжение Земли вдруг волшебным образом исчезло, то окололунной орбитой (как она видится наблюдателю на Луне) стала бы в точности гипербола (прилетел – отклонился – улетел), а в реальности получалось что-то вроде гиперболы, несколько испорченной влиянием Земли⁴⁰. Но в любом случае оставаться на ней не было частью плана. Задание состояло в том, чтобы перейти на низкую, почти круговую окололунную орбиту. Для этого сначала провели небольшую промежуточную коррекцию траектории, а затем, в момент T + 068:04:07, экипаж получил одобрение на LOI (Lunar Orbit Insertion) – включение двигателя для вывода корабля на окололунную орбиту. Здесь требовалось притормозить – уменьшить скорость свободного падения мимо Луны.

Разгоняться и тормозить в открытом космосе – действия совершенно одного порядка, потому что оба выполняются путем включения двигателя, и именно время этого включения (и, разумеется, тяга двигателя в соотнесении с массой корабля) определяет изменение скорости, которое в результате получится. Не имеет никакого значения, с какой скоростью двигался космический корабль до того. Если мы с вами летим рядом параллельными курсами на двух посудинах в открытом космосе и я включаю двигатель на 10 секунд, а вы нет, то я удалюсь от вас на одно и то же расстояние независимо от того, в направлении какой звезды я пожелал двигаться. Если эта звезда у вас впереди по курсу, то вы скажете, что я разогнался, если же сзади по курсу – то затормозил⁴¹. Мне же и разгон, и торможение, как и уход в любую сторону с одним и тем же по величине изменением скорости, стоят одинаковых затрат топлива.

Разгон и торможение в открытом космосе – одно и то же

Однако эффект, который производит на орбиту корабля приобретение им фиксированной прибавки к скорости, зависит от степени приближения к главному на текущий момент телу – тому, вблизи которого корабль движется. Для эффективного расхода страшно дорогого топлива (дорогого, разумеется, не из-за стоимости аэрозина и окислителя как таковых, а из-за расходов по их доставке к месту использования) маневр LOI – торможение – требовалось выполнить в точке наибольшего приближения к Луне. Но эта точка орбиты располагалась за Луной, где корабль был лишен связи с Землей. Центр управления оставался в неведении относительно успеха или неуспеха маневра до момента появления корабля из-за Луны – по правильной (в случае успеха) или неправильной траектории. Двигатель включился в момент T + 069:08:20,4 и проработал 4 минуты и 6,9 секунды. В центре управления прекрасно знали, что если двигатель сработал правильно, то связь не просто восстановится, но и произойдет это в рассчитанный заранее момент. Поэтому уже само появление «Аполлона-8» в эфире в момент T + 069:33:52 говорило, что двигатель отработал штатно. Сначала корабль вышел на эллиптическую орбиту вокруг Луны, которую чуть позже «циркуляризировали» – превратили в почти круговую путем десятисекундного включения двигателя. Таким образом, преодолев около 384 000 км до Луны, «Аполлон-8» поместил себя на орбиту всего в 110 км над поверхностью этой движущейся мишени – неплохое достижение с учетом того, что за все 66 часов после TLI свободное падение прерывалось включением двигателя в общей сложности не более чем на пять минут.

Потеря и восстановление связи, по наблюдениям экипажа, происходили точно в те моменты, когда их ожидали согласно информации из центра управления. Надо ли говорить, что такое предвидение – просто еще один результат расчетов по Ньютону. Участники событий прекрасно это понимали. Описывая уже свой собственный полет к Луне, через семь месяцев после того, как дорогу туда проложили Борман (командир), Андерс и Ловелл на «Аполлоне-8», Коллинз вернулся мыслями к тому времени, когда сам он был связным между центром управления и тремя только что упомянутыми астронавтами «Аполлона-8». Текущее же время в рассказе – первый день Коллинза вместе с Армстронгом и Олдрином на «большом» эллипсе на пути к Луне; дел не очень много, а напряжение велико.

Помню, как в прошлом декабре, во время полета «Аполлона-8», мой пятилетний сын задавал один и только один, но весьма конкретный вопрос: а кто у них за рулем? Не его ли это друг мистер Борман? Как-то вечером, когда в центре управления было тихо, я переадресовал его вопрос на борт, и Билл Андерс сразу ответил, что нет, за рулем не Борман, а Исаак Ньютон. Нельзя дать более верного и более четкого описания полета между Землей и Луной. Солнце притягивает нас, Земля притягивает нас, Луна притягивает нас – точно так, как это предсказал Ньютон. Откликаясь на эти центры притяжения, наша траектория отклоняется от своих начальных направления и скорости, полученных после TLI. На данный момент продолжает доминировать притяжение Земли, но к концу завтрашнего дня ее заменит Луна, и наша скорость снова начнет увеличиваться. До того нам необходимо слегка скорректировать наш маршрут, поскольку все это время после TLI мы медленно дрейфовали в сторону. На три короткие секунды включения двигателя служебного модуля Майк Коллинз сменит за рулем сэра Исаака Ньютона. Всего-то на три секунды! Я поражаюсь точности нашего путешествия, которое не перестают сравнивать с путешествием Колумба. Насколько я помню, по мере того как его экипаж выказывал все больше нетерпения из-за того, что земля никак не появлялась, и возрастало давление, чтобы повернуть назад, Колумб вроде бы подправил корабельный журнал так, чтобы из него следовало, будто «Нинья» ушла не так уж далеко, и поэтому вполне естественно, что земля еще не появилась в виду. Попробуйте представить себе, как я подправляю наш полетный план в случае, если бы Луна оказалась дальше, чем на расстоянии трехдневного путешествия. Что бы я сообщил компьютерам в Хьюстоне?

Рис. 2.2. «Восход Земли», видимый с борта «Аполлона-8». Фотография сделана Биллом Андерсом, по настойчивой просьбе которого Джим Ловелл быстро нашел цветную пленку. Ориентация корабля оказалась благоприятной для такого вида на четвертом по счету выходе из-за Луны. Один из запечатленных на фотографиях кратеров на поверхности позднее получил название «Андерсовский восход Земли» (Anders' Earthrise)

События на лунной орбите «Аполлона-8» по-своему замечательны, но не являются здесь предметом нашего интереса (см., впрочем, рис. 2.2). Все это время драматическим вопросом было предстоящее возвращение. Для этого двигатель должен был снова включиться в точности в нужный момент, на нужное время и при нужной ориентации корабля – и снова за Луной, в период отсутствия связи с Землей. Экипаж получил рутинное напоминание о предстоящем включении двигателя, хотя этот маневр не относился к разряду «центр управления решит по обстоятельствам, выполнять или нет», – маневр Trans Earth Injection, переход на траекторию возвращения к Земле, нужно было выполнить. Двигатель должен был проработать под управлением бортового компьютера точно 3 минуты и 23,7 секунды. Полученная прибавка к скорости должна была заставить корабль уйти от Луны (перейти на гиперболическую траекторию, если говорить только о Луне) и вернуться в область доминирующего притяжения Земли. Маневр был несколько более ответственным, чем попадание на скоростном шоссе на нужную полосу, которая на следующей развязке уведет вас на запад, а не на юг. Запасного двигателя не было, как не было и никакого плана Б; никакая «Пинта» или «Санта-Мария» не пришла бы на помощь потерявшей ход «Нинье», и никакие ветра не прибили бы ее к берегу. Включение произошло в момент T + 089:19:16,6, но знали об этом только три человека, лишенные возможности с кем бы то ни было этим поделиться. В центре управления и в домах астронавтов в вынужденном полном бездействии 15 минут ждали возобновления связи и информации о том, как сработал двигатель.

*****

Космические парковки XVIII века. Один из двух последних (на момент написания книги и, боюсь, еще на какой-то период) людей на Луне, геолог Харрисон «Джек» Шмитт (первый астронавт NASA, не бывший профессиональным летчиком), одно время агитировал за посадку на обратной стороне Луны. Мы помним о невозможности радиообмена с теми, кто закрыт Луной. Для связи с кораблем пришлось бы запустить ретрансляционный спутник. Куда и как? Можно ли запустить космический аппарат так, чтобы он, не тратя или почти не тратя топлива, все время находился вблизи Луны, но не обращался бы вокруг нее (ведь иначе сам он периодически не будет видеть место посадки)?

Временно забудем про удобство радиосвязи и спросим себя: «Можно ли, не тратя топлива, летать на постоянном расстоянии от Луны, но не обращаясь вокруг нее?» Уже законы Кеплера (и, само собой, законы Ньютона) говорят, что тут есть проблема: чем больше радиус орбиты, тем больше времени занимает оборот вокруг Земли. Если запустить космический аппарат по орбите большего радиуса, чем орбита Луны, то он будет отставать от Луны; если поместить его на более близкую орбиту, то он будет убегать вперед. И в том и в другом случае получатся космические догонялки – расстояние между кораблем и Луной будет меняться с течением времени.

Оказывается тем не менее, что в околоземном пространстве есть пять орбит, по которым космические аппараты могут (или почти могут, как мы сейчас увидим) летать вокруг Земли, оставаясь неподвижными относительно Луны! Они называются точками (не орбитами, а именно точками) Лагранжа. За 185 лет до первого искусственного спутника Земли их описал Жозеф Луи Лагранж (родившийся в Турине и звавшийся от рождения Джузеппе Лодовико Лагранджиа) в своей математической статье о задаче трех тел. Три точки из этих пяти были открыты ранее Эйлером. Эти точки – все возможные ответы на поставленный выше вопрос. Вот подсказка к решению: попробуем сначала поместить космический аппарат на одну линию с Землей и Луной. Различных вариантов расположения Земли, Луны и спутника тогда три: ЗЛС, ЗСЛ и СЗЛ. Вариант ЗЛС означает, что спутник расположен на одной линии с Землей и Луной, но за Луной, если смотреть с Земли (точка L² на рис. 2.3). При этом Луна тянет спутник точно в ту же сторону, что и Земля, и, пока спутник остается точно на линии, соединяющей Землю и Луну, ничего другого Луна для него не делает: она работает как усилитель притяжения к центру масс (который тоже находится на линии, соединяющей Землю и Луну). А по законам Ньютона более сильное притяжение означает, что спутник движется по орбите быстрее, чем если бы действовало только притяжение Земли. Это отличная идея, если только удастся двигаться ровно настолько быстрее, чтобы все время оставаться на заветной линии Земля – Луна: такое расположение будет поддерживать то самое «усиленное» притяжение к центру масс, благодаря которому спутник может лететь так быстро, чтобы все время оставаться за Луной, благодаря чему продолжать испытывать более сильное притяжение к центру масс… Эта «история про курицу и яйцо» выражается уравнениями, решение которых и нашли сначала Эйлер (1760), а потом Лагранж (1772): точка L², где все складывается так удачно, существует! На ней и основано решение проблемы ретрансляционного спутника – с небольшим уточнением, которое будет сделано чуть ниже.

Другой интересный вариант – ЗСЛ, что означает спутник между Землей и Луной. На этот раз Земля и Луна тянут спутник в разные стороны: с точки зрения спутника это означает, что притяжение к центру масс слабее, чем если бы его притягивала одна только Земля. А это, в свою очередь, означает, что он летит по орбите выбранного радиуса медленнее, чем полетел бы в отсутствие Луны. Снова появляется надежда на успех, потому что «медленнее, чем обычно» – это как раз то, что требуется, ведь и спутник находится ближе к центру вращения, чем Луна. Мы снова ищем такую точку, где разность двух сил притяжения позволяет, находясь ближе к Земле, чем Луна, не обгонять Луну, а оставаться на линии Земля – Луна, из-за чего две силы притяжения продолжают вычитаться, из-за чего скорость движения по орбите меньше, чем если бы Луны не было, из-за чего тело все время остается на линии Земля – Луна, из-за чего оно испытывает настолько меньшую силу притяжения к центру, что движется ровно настолько медленнее, чтобы… Эта «самозацикливающаяся» фраза снова описывает уравнение. Математический факт с непосредственным приложением к космонавтике состоит в том, что решение у этого уравнения есть, и оно определяет единственную точку между Землей и Луной – точку L¹ на рис. 2.3. Это – подходящее место для космической базы: прекрасные условия радиосвязи и с Землей, и с Луной плюс определенные удобства путешествия к обоим телам. Это, собственно говоря, перевалочная точка: имея целью Луну, но долетев с Земли сначала на L¹, мы дополнительно потратимся на эту «остановку» очень незначительно. Поэтому отсылать, например, грузы в L¹ и хранить их там до момента, когда они понадобятся на Луне, можно практически без лишних затрат топлива по сравнению с прямой доставкой, но имея при этом преимущество в логистике.

L¹ – перевалочная точка

Наконец, вариант СЗЛ означает, что спутник находится с противоположной стороны от Земли, чем Луна. И Земля, и Луна притягивают его в сторону центра масс системы Земля – Луна, т. е. в сторону центра вращения; притяжение Луны при этом сказывается слабо из-за большого расстояния до нее, но все же немного добавляет к притяжению в сторону центра масс (и главное – не утягивает спутник куда-то в сторону). Опять-таки требуется решить уравнение, говорящее, что совместное притяжение Земли и Луны позволяет обращаться вокруг Земли синхронно с Луной; этим однозначно определяется расстояние от центра масс (а потому и от центра Земли). Это точка L³ на рис. 2.3. Она оказывается совсем немного дальше от центра масс (примерно в 1,017 раза дальше), чем Луна, но немного ближе к центру Земли, чем расстояние от него до Луны.

Разумеется, точки Лагранжа имеются не только в системе Земля – Луна. Неважно, как называются два массивных тела, – математика одна и та же, только относительные расстояния от центра до L¹, L² и L³ несколько различаются в зависимости от соотношения масс двух больших тел. В системе Солнце – Земля практически важны две точки Лагранжа: уже знакомая нам L² (дом для космических телескопов, как мы очень скоро увидим) и L¹ между Солнцем и Землей (рис. 2.4). Из точки L¹ в системе Солнце – Земля открывается ничем не затемняемый постоянный вид на Солнце с одного и того же расстояния, и там работают приборы, которые именно в этом и нуждаются. Среди них – космическая обсерватория по наблюдению Солнца SOHO (Solar and Heliospheric Observatory Satellite). Другой аппарат, ACE (Advanced Composition Explorer), использует особенности этой точки Лагранжа, пожалуй, в еще большей мере: находясь «вверх по течению» от Земли вдоль потока солнечного ветра, он в реальном времени передает данные о магнитном поле и о потоке частиц, летящих от Солнца, что позволяет уточнять прогнозы космической погоды – влияния Солнца на околоземное пространство (магнитосферу и ионосферу). На смену этому ветерану точки L¹ уже запущен аппарат DSCOVR (Deep Space Climate Observatory), по совместительству – автор известных фотографий, показывающих прохождение Луны на фоне Земли.

Точка L³ в системе Солнце – Земля (см. рис. 2.4) не нашла себе практических применений (и правда, чего ради стоило бы тащиться в такую даль?), но оказалась богатой темой для фантастических нарративов разного рода; не счесть замышляющих что-то инопланетян или других заговорщиков, желающих там обосноваться. Впрочем, трудно оспорить высказывание, что если какая-то развитая цивилизация [существует и] имеет цель не просто присутствовать в Солнечной системе, но еще и пребывать на фиксированном расстоянии от Земли и если при этом они желают оставаться на своем корабле, не высаживаясь на поверхность, но не хотят тратить много топлива, – то лучшего места, чем лагранжевы точки, не найти. Но на меня производит, пожалуй, большее впечатление не предполагаемый галактический заговор, а тот факт, что к моменту начала космических полетов они (эти зеленые человечки), без сомнения, открыли бы все пять этих точек, уж не знаю, как они там у них называются.

Впрочем, мы еще не знаем, что такое точки L₄ и L₅, у нас открытые Лагранжем в дополнение к первым трем, известным Эйлеру. Определить их положение, когда ответ уже известен, легче легкого: измеряем расстояние от Солнца до Земли и воображаем равносторонний треугольник, одна из сторон которого как раз и соединяет Солнце и Землю (см. рис. 2.4). У равностороннего треугольника все стороны равны, поэтому расстояния от его третьей вершины до Солнца и до Земли одинаковы. Это важно! В этой вершине притяжение Солнца во столько раз сильнее, чем притяжение Земли, во сколько раз Солнце массивнее. А дальше следует несложное упражнение в геометрии: две такие силы притяжения складываются так, что в итоге тело в точке L₄ испытывает суммарную силу, направленную в точности к центру масс системы Солнце – Земля, а по величине эта сила ровно такая, чтобы поддерживать обращение вокруг этого центра масс на заданном расстоянии – на том самом, которое определяется из нашего треугольника. С точкой L₅ все то же самое, только если L₄ опережает Землю в ее движении вокруг Солнца, то L₅ отстает. Обе – на один и тот же угол в 60°.

Точки Лагранжа – это некеплеровы орбиты

Итог про точки Лагранжа: это такие положения в системе двух тел, где совместное притяжение этих тел способно поддерживать синхронное обращение малого третьего тела. Это ответ на заданный выше вопрос, но слово «точка», как мы видим, понимается тут несколько вольно: каждая из точек Лагранжа вообще-то задает орбиту, потому что вся картинка на рис. 2.4 вращается как единое целое; это буквально точка только для наблюдателя, который сам обращается вокруг общего центра масс – скажем, сидя на Земле, если мы говорим о системе Солнце – Земля. И еще я забыл сказать, что вся схема работает хорошо, когда орбиты в системе двух тел близки к круговым. И конечно, помещать на эти орбиты следует тела малой массы; такое условие означает, что притяжение этого третьего тела не должно оказывать обратного воздействия на два больших тела (Солнце и Землю в данном случае). И наконец, пояснения требует слово «поместить»: все тела, помещенные в какую-либо точку Лагранжа, должны быть разогнаны до необходимой скорости для движения по орбите, которую описывает выбранная точка Лагранжа, когда конфигурация, изображенная рис. 2.4, вращается как целое. Этого разгона совместное тяготение двух больших тел совсем никак не обеспечивает – но оно обеспечивает ровно такое притяжение к центру вращения, при котором тела, получившие подходящую скорость, могут оставаться на этой орбите.

*****

Гало-орбиты. Идея высадиться на обратной стороне Луне в начале 1970-х реализована не была, Сернан и Шмитт прилунились на «Аполлоне-17» на видимой стороне Луны и три дня ездили там на ровере; но китайский аппарат «Чанъэ-4», который в самом начале 2019 г. доставил луноход «Юйту-2» на обратную сторону Луны (рис. 2.5), вел связь через спутник «Цюэцяо», заблаговременно отправленный к той самой точке L² системы Земля – Луна, в каких-то 64 500 км за Луной. Здесь наконец пора дать обещанное уточнение про ретрансляционный спутник. Каждый раз, когда мы слышим про космический аппарат «в точке Лагранжа», надо представлять себе что-то вроде орбиты вокруг точки Лагранжа.

Дело в том, что с точками Лагранжа все-таки есть проблема: L¹, L² и L³ неустойчивы⁴². Карандаш может некоторое время стоять вертикально на вашем столе, но рано или поздно упадет по той или иной причине, например если вы откроете окно или из-за какой-то еще флуктуации. Для космического аппарата, помещенного в точку Лагранжа, причин для подобных флуктуаций – нарушений точного баланса положения, скорости и сил притяжения – хоть отбавляй (притяжение других тел в Солнечной системе оказывает воздействие, орбиты отличаются от круговых, скорость оказывается не идеально точной для пребывания в точке Лагранжа и т. д.). В результате аппарат начинает «сползать» – удаляться от математически определенной точки Лагранжа. Хотя события и будут развиваться намного медленнее, чем при опрокидывании карандаша, неустойчивость означает, что по мере сползания на космический аппарат действуют силы, уводящие его только дальше⁴³. Поэтому начавшееся по любой причине сползание не исправится само; если там оказался астероид, то он со временем сдвинется куда-то прочь, а если мы (или инопланетяне) желаем, чтобы там оставалось какое-то устройство, то потребуются включения корректирующего двигателя. Да, некоторое количество топлива тратится, но очень небольшое – именно из-за того, что дело происходит вблизи точки равновесия с достаточно вяло проявляющей себя неустойчивостью. Космический аппарат, который время от времени заботится о своем положении, может поэтому описывать вокруг точки Лагранжа что-то вроде орбиты, но это орбита не в кеплеровском смысле, поскольку в сторону самой точки Лагранжа нет силы притяжения, а скорее контролируемый дрейф – сначала сползание в одну сторону, затем короткое включение двигателя для изменения направления движения, последующее сползание в несколько иную сторону и так далее. Китайский ретрансляционный спутник летал вокруг L² по такой орбите, чтобы Луна не загораживала ему вид на Землю. При взгляде с Земли эта орбита проходит снаружи от лунного диска, нигде не заходя за него, – как «гало» вокруг Луны. Поэтому такие орбиты иногда называют гало-орбитами.

Вариация на тему гало-орбит предполагается и для Лунной орбитальной платформы (Lunar Gateway) – международной космической станции «вблизи» Луны, создание которой планируется при ведущей роли NASA. Станция должна находиться на вытянутой гало-орбите, «чувствительной» к наличию обеих точек Лагранжа L¹ и L², с максимальным приближением к поверхности Луны на 3000 км (что несколько меньше диаметра Луны) и максимальным удалением 70 000 км. Станция будет приближаться к Луне над ее северным полюсом, а уходить далеко – над южным, что на взгляд с Земли можно изображать как под южным: орбита «свисает вниз», почти перпендикулярно плоскости, в которой сама Луна обращается вокруг Земли, и уходя сильно ниже этой плоскости. Это одна из южных орбит в отношении Луны, южный полюс которой тоже «смотрит вниз», и в течение почти всего времени, за исключением коротких периодов прохода над северным полюсом, станция будет находиться в прямой (радио)видимости от предполагаемого места высадки на Луну вблизи ее южного полюса. Для периодических «исправлений» орбиты потребуются включения двигателя, сообщающие станции суммарное изменение скорости всего на 10 м/с за год.

Если говорить про систему Солнце – Земля, то окрестности точки L² оказываются идеальной «движущейся парковкой» – площадкой для астрономических наблюдений. Эта точка Лагранжа расположена на расстоянии 1,5 млн км от Земли – что в сто раз меньше расстояния от Земли до Солнца, но все же в четыре раза дальше, чем находится от нас Луна. Именно из L² системы Солнце – Земля изучали реликтовое излучение (космический микроволновой фон) аппараты WMAP и «Планк»⁴⁵. Относительно недавно там же поселился и «Спектр-РГ» – российско-германская астрофизическая обсерватория; аппарат, запущенный в июле 2019 г., за 100 дней добрался до окрестностей L², а к середине апреля 2020 г. выполнил один оборот по орбите, которая проходит на расстоянии до 400 000 км от L², перпендикулярно линии Солнце – Земля (рис. 2.6). Контроль за дрейфом в сторону от точки Лагранжа требует краткосрочных включений двигателя каждые 40–70 дней. В результате космический аппарат будет делать что-то вроде полного оборота в течение примерно полугода, поднимаясь над плоскостью земной орбиты и опускаясь под нее; траектория образует не очень аккуратный «моток» вокруг L², мало похожий на строгий и совершенный эллипс⁴⁶.

Туда же, в окрестность точки L² системы Солнце – Земля, в январе 2022 г. добрался преемник знаменитого космического телескопа «Хаббл» – JWST⁴⁷. Его задачи – наблюдать самые далекие от нас объекты во Вселенной (интересные нам в первую очередь из-за эффекта «машины времени», который мы обсуждаем на прогулке 5), следить за формированием звезд и планет, а также получать прямые изображения планет (и отдельно – взрывающихся звезд). Телескоп требуется держать очень холодным, и совокупность предъявляемых требований и определила положение для его устойчивого размещения внутри «круговорота» Солнечной системы. Для него выбрана гало-орбита, проходящая на расстоянии от 250 000 до 832 000 км от точки L². Чтобы его солнечные батареи постоянно освещались, аппарат не должен попадать в тень, отбрасываемую Землей. При этом, однако, давление солнечного света на щит, защищающий телескоп от нагревания Солнцем, становится фактором воздействия, уводящим аппарат в сторону. Телескоп будет подправлять свое положение каждые три недели. Суммарное годовое изменение скорости, которое необходимо обеспечить, включая двигатель, составит от 2 до 4 м/с. Это чепуховые поправки по сравнению со скоростью движения самой L² вокруг Солнца, которая близка к скорости Земли в 30 000 м/с, и их малость определяется именно близостью аппарата к точке Лагранжа. То же самое верно, конечно, и в отношении аппаратов, наблюдающих за Солнцем и солнечным ветром «из точки» L¹: ценой очень скромных затрат топлива они описывают вокруг этой точки Лагранжа несколько нерегулярные орбиты с характерными радиусами в несколько сотен тысяч километров.

*****

Греки и троянцы. Лагранж умер за 144 года до запуска первого искусственного спутника Земли, и не исключено, что он рассматривал пять специальных точек в системе двух тел как (всего лишь) математическое упражнение. Но нам, забравшимся на плечи гигантов, теперь видно, что интересная математика, возникающая при описании какой-либо реальной физической системы, – это почти гарантия обнаружения физического эффекта, в котором математическая достопримечательность тем или иным способом себя проявляет. И действительно, спустя более столетия после рассуждений Лагранжа астрономы начали открывать троянцев!

Если для замышляющих что-то зеленых человечков точки Лагранжа – это хорошие места для парковки, то для космических обломков и мусора точки L₄ и L₅ оказываются тихими закутками, где они оседают. В этих точках Лагранжа собираются астероиды, потому что там иная картина с устойчивостью, чем в трех других точках Лагранжа. С первого взгляда, правда, ситуация даже хуже, потому что баланс сил притяжения таков, что при выходе из точки Лагранжа в любом направлении возникает сила, которая побуждает уходить дальше. Но это только если смотреть на то, как работают силы притяжения. Кроме притяжения, в дело вступает движение. Сама точка Лагранжа движется по окружности, а в этом случае есть вот какая новость: при движении относительно вращающейся системы тело испытывает действие дополнительной силы⁴⁸. Это не совсем обычная сила, потому что у нее нет физического источника, она ощущается только во вращающейся системе и связана с довольно простым обстоятельством: если вы уже стоите на вращающейся карусели-платформе, то, значит, вы приобрели ту же скорость, что и пол у вас под ногами. Но разные участки пола движутся с разными скоростями! Те, которые близко к центру, движутся медленно, а те, что у края, – быстро или очень быстро. Когда вы начнете двигаться – скажем, захотите перейти от края карусели к центру, – вы обнаружите, что, делая каждый следующий шаг, вы ставите ногу на участок пола, движущийся медленнее, чем тот, где вы только что находились. В вашем восприятии это будет выражаться в некоторой силе, действующей на вас со стороны пола и направленной поперек вашего движения. То же самое происходит в «гравитационной карусели» в окрестности (для определенности) точки L₄: по мере удаления от L₄ уходящее тело набирает скорость относительно этой точки Лагранжа. Но, поскольку все происходит во вращающейся системе, движущееся тело испытывает дополнительное воздействие по мере набора скорости. Результат оказывается приятным сюрпризом: баланс всех факторов в окрестности L₄ таков, что при развитии сползания тело не уходит прочь, а, набрав некоторую скорость, отправляется по орбите вокруг точки L₄. Все то же самое происходит и в окрестности L₅. Точки L₄ и L₅ оказываются устойчивыми, если, как показывает математика, более массивное из двух больших тел тяжелее другого в раза или больше. Это условие выполнено для пары Земля – Луна и с большим запасом выполнено для всех пар Солнце – планета.

Раз оказавшись вблизи L₄ или L₅ в системе Солнце – планета, астероиды имеют тенденцию там и оставаться. Сильнее всего этот эффект проявляется, разумеется, в самой гравитационно сильной паре тел в Солнечной системе. Это Солнце и Юпитер (который в 317 раз массивнее Земли; рис. 2.7). В точках Лагранжа L₄ и L₅ системы Солнце – Юпитер собралось, по оценкам, около 1 млн астероидов, превышающих 1 км в диаметре (возможно, примерно столько же, сколько их в поясе астероидов между Марсом и Юпитером). Они названы именами участников Троянской войны и даже разбиты по лагерям:

L₄. Это лагерь греков. Застрявшие там астероиды носят, в частности, имена (начиная с тех, которые должны звучать хоть сколько-нибудь знакомо, если никуда не подглядывать): Ахилл, Нестор, Агамемнон, Одиссей, Аякс, Менелай, Филоктет, Неоптолем; а еще – Идоменей, Протесилай, Талфибий, Менесфей, Подалирий и многие другие. Но там же и Гектор – астероид, названный именем жителя Трои еще до того, как пробила себе дорогу идея номенклатурного разделения этих небесных тел на два враждующих лагеря, между которыми лежит треть орбиты Юпитера (больше полутора миллиардов километров).

L₅. Здесь совсем другая картина – это лагерь защитников Трои. Среди прочих тут обитают Приам, Эней, Главк, Сарпедон, Лаокоон, Парис, если снова начинать со знакомо звучащих имен, а кроме того, Алкафой, Пандар, Пулидам, Ифидам, Сергест, Астеропей и еще многие. Единство защитников Илиона тоже нарушено, еще до появления коня: к ним присоединился Патрокл.

Гектор и Патрокл. Пребывание Гектора и Патрокла в «чужих» станах в парадоксальном смысле логично: именно Гектор убил Патрокла («Нет великого Патрокла! Жив презрительный Терсит!»), и только поэтому Ахилл вернулся на поле боя – где и сразил Гектора⁴⁹.

Разумеется, ни греки, ни троянцы не сосредоточены все в одной точке, а занимают некоторый участок вдоль траектории Юпитера. Происходит все это довольно далеко от Земли (рис. 2.8), поэтому открыты они были совсем не сразу. Слово «троянцы» используют также в отношении астероидов, скапливающихся вблизи точек L₄ и L₅ других пар Солнце – планета; поскольку Солнце – это всегда Солнце, говорят просто о троянцах, например, Нептуна или Сатурна. Слово относится и к опережающим, и к отстающим; одного эпизода Троянской войны на Солнечную систему достаточно.

*****

Полет из пращи. Путешествия к астероидам и планетам – это относительно далекие путешествия, оказывающиеся долгими при доступных нам скоростях. Разогнаться быстрее нелегко: топлива хватает только на что-то вроде TLI – единовременный разгон при старте с околоземной орбиты; хорошо, если потом остается еще немного на маневры. Дефицит топлива определяется трудностью его доставки к месту использования. Реактивная тяга основана на том, что, выбрасывая что-то «назад», реактивный аппарат движется «вперед»; здесь важна скорость, с которой некоторый «агент» выбрасывается назад (в подавляющем большинстве реально существующих реактивных двигателей это горячий газ). Реактивный аппарат несет с собой источник энергии для этого «выбрасывания» – в современных ракетах это горючее (например, керосин или метан) и окислитель. Их соединение обеспечивает горение, при котором и выделяется энергия. И вот здесь скрыт ключевой момент: необходимость с самого старта нести с собой все топливо (горючее и окислитель), в том числе и тот запас, который понадобится на более поздних этапах полета. Не только «полезную нагрузку», но и это топливо необходимо разогнать на более ранних этапах движения, а для этого разгона требуется дополнительное топливо, которое, в свою очередь, необходимо разогнать, для чего нужно еще сколько-то топлива, и так далее. Это удручающее положение дел математически выражается формулой Циолковского – соотношением, которое на основе законов движения Ньютона говорит, какой должна быть стартовая масса ракеты, чтобы разогнать желаемую «полезную» массу до заданной скорости, выбрасывая продукты горения с заданной скоростью относительно ракеты. Удручающим здесь является характер этой зависимости: увеличение конечной скорости достигается колоссальным увеличением массы ракеты – т. е. количества топлива – при старте.

Формула Циолковского не очень оптимистична

Но пока наши топливные возможности существенно ограничены, в дальнем путешествии можно заметно увеличить скорость, отобрав совсем ничтожную часть количества движения у встреченной по дороге планеты. Для этого действия иногда употребляют звучное название «гравитационная праща» (есть и более технический термин: «гравитационный маневр»). Это остроумный способ извлечения пользы – разгона или, когда это нужно, торможения – из совместной игры гравитации и движения⁵⁰. Первым космическим аппаратом, исполнившим гравитационную пращу, была «Луна-3», полетевшая в космос в 1959 г. как «Автоматическая межпланетная станция». Она не только впервые выполнила этот маневр, но и впервые сфотографировала обратную сторону Луны, что вызвало колоссальный интерес и было огромным достижением, несмотря на никудышное по современным стандартам качество успешно присланных 17 (из 29 сделанных) фотографий. Пытаясь представить себе ощущение чуда от первого за всю историю человечества взгляда на то, чего увидеть «нельзя», я думаю, что качество фотографий было не самым главным в общественном восприятии этого события. (Первыми же людьми, посмотревшими на обратную сторону Луны своими глазами, был экипаж «Аполлона-8».) Луна направила станцию обратно к Земле, а из-за движения самой Луны при встрече изменилась плоскость орбиты станции: она повернулась примерно вокруг линии Земля – Луна, проведенной в момент облета Луны (рис. 2.9). «Луна-3» ушла от Луны таким образом, чтобы при возвращении к Земле пролететь над Северным полушарием и передать фотографии на станции связи на территории СССР (что оказалось непросто из-за слабости сигнала). Она вообще не имела маршевого двигателя, и весь этот полет требовалось рассчитать заранее (расчетами по Ньютону занималась команда под руководством Келдыша).

С тех пор гравитационный маневр применяли множество раз. «Вояджер-1», запущенный в 1977 г. (на 16 дней позже «Вояджера-2»), получил прибавку к скорости, позволяющую ему сейчас, когда вы это читаете, покидать пределы Солнечной системы с рекордной скоростью – около 61 000 км/ч, приобретенной в основном у Юпитера и Сатурна (рис. 2.10). В пересчете на космические масштабы это около 3,6 а.е./год. Без помощи планет «Вояджеры» не пролетели бы и полпути до своих положений на настоящий момент. 25 августа 2012 г. «Вояджер-1» стал первым искусственным аппаратом, вышедшим в межзвездное пространство, если проводить границу там, где попутный солнечный ветер наконец оказывается слабее встречного галактического ветра. Потребуются тем не менее еще сотни лет, чтобы он достиг расстояний, на которые уходят от Солнца наиболее далекие из идентифицированных тел Солнечной системы, такие как 2013 SY₉₉, Лелеакухонуа (первоначально известная как Гоблин) и 2014 FE₇₂.

Главное действующее лицо в истории про гравитационную пращу – гипербола (см. главу «прогулка 1»). Представим себе, что космический аппарат – скажем, запущенный с Земли – подлетает к Юпитеру достаточно быстро, со скоростью, которая не позволит Юпитеру оставить этот аппарат в зоне своего притяжения. Если временно забыть про притяжение Солнца, а кроме того, смотреть на происходящее, сидя на Юпитере, то картина хорошо известна: космический корабль приходит издалека по ветви гиперболы, отклоняется и уходит прочь. Приходящая и уходящая ветви гиперболы симметричны, и даже скорость движения при прощании с Юпитером такая же по величине, как скорость при сближении с Юпитером на том же расстоянии от него. Но это если смотреть с Юпитера! А если смотреть с Солнца, то движется не только сам аппарат, но и Юпитер, и скорость их сближения – это результат несложного математического действия со скоростями каждого. В начале всего эпизода мы пересчитываем скорость аппарата относительно Солнца в скорость сближения с Юпитером. В конце эпизода мы выполняем обратное действие: скорость удаления от Юпитера пересчитываем в скорость аппарата относительно Солнца. Казалось бы, это два взаимно противоположных действия: сколько сначала добавили, столько потом и вычли? Нет! Суть дела в том, что корабль повернул вокруг планеты: его скорость изменила направление. Поэтому скорость Юпитера, учитываемая на входе, и она же, учитываемая на выходе, не сокращают друг друга. Направлениями можно распорядиться так, что относительно Солнца корабль ускорится в результате пролета мимо Юпитера. В этом и состоит идея гравитационной пращи. Чуда в том, что корабль ускорился, «просто» пройдя мимо планеты, нет: дополнительная энергия движения относительно Солнца получена из энергии движения Юпитера; а сам он такого комариного укуса вообще не заметит (в расчетах с любой точностью можно считать, что скорость Юпитера не изменяется). Совсем наглядно происходящее видно из рис. 2.11, где, впрочем, ради этой наглядности пришлось кое-чем пожертвовать. Там предполагается, что космический корабль поворачивает вокруг планеты на 180°, чего не случается при движении по гиперболе: ее ветви расходятся все-таки под некоторым углом и никогда не бывают параллельными. Об изображенном на рисунке можно думать как о случае, к которому можно приблизиться, выбирая все более экстремальные гиперболы. Зато там все совсем просто со скоростями. Скорость корабля относительно Солнца v, а скорость планеты ему навстречу U, а тогда скорость сближения (скорость относительно Юпитера) равна v + U; после поворота на 180° она осталась численно равной v + U, но направлена в противоположную сторону – и это по-прежнему скорость относительно Юпитера. Однако теперь, после разворота корабля, Юпитер «несет» его по своей орбите, где сам имеет скорость U. Относительно Солнца скорость корабля получается равной v + U + U = v + 2U. Как видим, корабль приобрел две скорости Юпитера – как будто Юпитер был упругой стенкой, от которой корабль отразился, как теннисный мяч от приближающегося поезда. На реальных траекториях выигрыш меньше, да и к направлению вылетания из «пращи» надо относиться внимательно, если не все равно, куда потом лететь, но идея работает.

Гравитационная праща – обмен энергией движения с планетой

Аппарат «Кассини»⁵¹, имевший целью работу на орбите Сатурна, был слишком тяжел, чтобы любая из имевшихся ракет-носителей могла отправить его сразу к цели. Стартовав в октябре 1997 г., «Кассини» сначала направился к Венере. Там в апреле 1998-го он получил прибавку в целых 7 км/с к скорости. В декабре того же года привезенное с собой топливо частично пошло на полуторачасовое включение двигателя для торможения на 450 м/с, что позволило аппарату в июне 1999-го второй раз пройти вблизи Венеры, которая направила его к Земле! Уже в августе 1999 г. родная планета встретила своего ускорившегося сына, подарив ему еще 5,5 км/с. С ними «Кассини» и отправился во внешнюю часть Солнечной системы, где сначала прошел мимо Юпитера, который еще немного «подтолкнул» его к цели, а 1 июля 2004 г. наконец вышел на орбиту Сатурна. (Дальнейшие приключения в ходе этой сверхуспешной миссии включали в себя посадку аппарата «Гюйгенс» на Титане, рискованные прохождения между кольцами и эпическое погружение вглубь планеты-гиганта 15 сентября 2017 г.)

Рис. 2.11. Предельный (нереальный, но наглядный) случай гравитационной пращи. Нереальность состоит в предположении, что космический корабль разворачивается вокруг планеты на 180°, тогда как гиперболические траектории позволяют развернуться только на угол, меньший 180°. В изображенном предельном случае космический корабль приобретает две скорости планеты, как если бы он упруго отразился от движущейся стенки

Распоряжаясь направлениями при исполнении гравитационной пращи, можно и уменьшить скорость аппарата относительно Солнца. Это тоже бывает нужно, например, чтобы запустить космический аппарат к Меркурию или «прямо на Солнце». Сделать это с Земли крайне непросто из-за скорости, с которой планета движется по орбите вокруг Солнца; эту скорость надо каким-то образом погасить, и один из способов – «праща наоборот» (в этом случае более сдержанно говорят о «гравитационном маневре») у Венеры. Правда, одного захода может не хватить, а это сильно удлиняет путешествие. Аппарат «Солар орбитер», запущенный к Солнцу Европейским космическим агентством 10 февраля 2020 г., будет двигаться к расчетной орбите вокруг Солнца около трех с половиной лет, совершая один за другим гравитационные маневры у Венеры и Земли (а затем Венера поработает еще и для того, чтобы наклонить плоскость его орбиты с целью лучшего обзора полюсов Солнца). И кроме того, гравитационный маневр около Земли выполняется в фильме «Марсианин».

*****

Где прибавить ходу. В последнее время к Луне часто летают «более долгой дорогой», экономя при этом самый дорогой ресурс – топливо (или, что то же самое, достигая большей скорости при заданном расходе топлива). Сочетание законов движения и гравитации предоставляет такую возможность при условии, что вы добираетесь до Луны постепенно, по траектории, представляющей собой букет из нескольких все более вытянутых эллипсов. Вместо одного TLI – включения двигателя на достаточное время, чтобы забросить корабль на траекторию полета к Луне, – корабль сначала, после недолгого включения двигателя, переходит на эллипс, вытянутый еще не сильно, и делает по нему полный оборот. В точке наибольшего приближения к Земле двигатель ненадолго включается снова, и корабль переходит на более вытянутый эллипс, снова делает полный оборот и снова включает двигатель вблизи Земли и так далее. Так, например, летала китайская миссия в 2007 г., индийская в 2008-м и израильская в 2019-м – все беспилотные. Экономия топлива по сравнению с «классическим» TLI требует времени на вычерчивание всех промежуточных эллипсов, что делает такой маршрут непригодным для пилотируемых полетов, поскольку экипажу в течение всего этого времени требуются кислород, вода, пища и тепло, а главное – многовитковая траектория многократно пересекает радиационные пояса Земли. В конце октября – начале ноября 2008 г. индийский аппарат «Чандраян-1» примерно за две недели перешел с орбиты с максимальным удалением от Земли 22 860 км на орбиту с максимальным удалением 380 000 км, включая для этого двигатель несколько раз, когда возвращался в точку наибольшего сближения с Землей (рис. 2.12). По итогам первого включения на 18 минут аппарат перешел на эллипс с максимальным удалением, которое оказалось на 15 040 км больше, чем у его орбиты до включения двигателя; при следующем сближении с Землей двигатель включили на 16 минут, что добавило к максимальному удалению на новом витке заметно больше – 36 815 км; но затем 9,5 минуты работы двигателя принесли целых 89 885 км, после чего всего 3 минуты подняли орбиту еще на 102 400 км, и, наконец, 2,5 минуты включения – еще на 113 000 км. Если «эффективность одной минуты включения» грубо измерять в терминах прибавки к максимальному удалению от Земли на витке «нового» эллипса, то эта эффективность растет с каждой следующей попыткой: от 15 040/18 = 836 до 113 000/2,5 = 45 200 км удаления на минуту работы двигателя. Цифры эти надо воспринимать лишь ориентировочно, потому что притяжение Земли слабеет с расстоянием и подняться с 207 000 до 307 000 км проще, чем с 7000 до 107 000; кроме того, при каждом следующем запуске двигателя ракета оказывается легче, а потому сильнее разгоняется при той же тяге. Но, как бы то ни было, тенденция ясна. Называется это явление эффектом Оберта, а сам маневр, состоящий в том, чтобы нырнуть к планете и включить двигатель в момент наибольшего сближения, – маневром Оберта. Выглядит все это с первого взгляда чуть подозрительно, потому что один и тот же двигатель, работающий одно и то же время, дает, конечно, одну и ту же прибавку к скорости – неважно, с какой скоростью двигался космический корабль перед включением двигателя, и вне зависимости от наличия или отсутствия планеты поблизости. Чтобы понять, откуда все же берется выигрыш, который хорошо виден на примере маневров «Чандраяна-1», надо сначала ясно выразить, в чем этот выигрыш.

Это выигрыш в энергии. Когда какой-нибудь снаряд запущен прочь от Земли, им ежесекундно управляет, да, сэр Исаак Ньютон посредством законов движения. Но сэр Исаак не возражает и против замечательно экономного способа сравнивать два разных состояния движущегося тела. Этот экономный способ состоит в учете энергии – которая всегда сохраняется. Правда, если работает двигатель, то надо учитывать энергию, выделяемую при сгорании топлива, а также отдаваемую выброшенным газам. Но мы обойдемся без этого, потому что будем смотреть на ракету в два ключевых момента времени: сразу после выключения двигателя на участке сближения с Землей и в точке наибольшего удаления от Земли. Вблизи Земли больше скорость, а потому больше энергия движения; а вдали от Земли скорость меньше, энергия движения меньше, зато больше энергия в поле притяжения. Сумма двух видов энергии одна и та же, но их вклады различны: вклад энергии движения велик сразу после разгона и делается заметно меньше (в характерных примерах – в значительное число раз меньше) в точке максимального удаления. Всю убыль энергии движения компенсирует увеличение энергии в поле притяжения. Итог: максимальное удаление чувствительно к тому, какую энергию имела ракета сразу после разгона. И вот здесь происходит то, чего совсем не наблюдается для привычных нам транспортных средств. Да, включение стандартного двигателя на некоторое стандартное время дает одну и ту же прибавку к скорости Δv («дельта вэ»). Но прибавка к энергии движения зависит и от этой Δv, и от скорости перед включением! Разгон на одну и ту же Δv сообщает космическому кораблю тем больше энергии, чем с большей скорости этот разгон начинается. А как мы только что видели, бóльшая прибавка к энергии движения на малом расстоянии от Земли позволит «забраться повыше» – оказаться дальше от Земли в самой удаленной части эллипса. Поэтому получение одной и той же прибавки к скорости закидывает прочь от Земли тем эффективнее, чем больше была скорость в момент включения двигателя.

Ускоряться на орбите выгодно там, где и так быстро

Маневр Оберта – это, в двух словах, нырок к планете для того, чтобы энергия движения ракеты была максимальной прямо перед выделением химической энергии от сгорания топлива и последующим перераспределением энергии между ракетой, несущей меньше топлива, и сгоревшим топливом, выброшенным назад. Мне почему-то не приходит на ум ни один фантастический фильм, где герои, которых ничто уже, казалось бы, не может спасти, внезапно вспоминают про эффект Оберта и благодаря рискованному (!) сближению с планетой в конце концов достигают такой далекой орбиты, где главный негодяй пребывает в полной беспечности. Возможно, проблема в том, насколько трудно вложить в уста «чудака-умника» такое объяснение этого эффекта, чтобы в режиме реального времени суть дела уловили не только другие хорошие парни, но и зрители (или я невнимательно смотрел «Звездный путь», он же Star Trek)⁵².

*****

Рандеву. Едва ли у Кеплера было даже подобие причины задумываться о том, как перебраться с одного эллипса на другой. Открытые им орбиты планет должны были выглядеть уникальными (к чему мы еще вернемся) и никак не располагающими к самой постановке вопроса о «переходе с эллипса на эллипс». Но задача сближения космических кораблей не просто «располагает», а требует понимания таких маневров – и здесь обнаруживается кое-что неожиданное. Если, для начала, вы летите на своем корабле позади моего по той же самой – да еще и круговой – орбите, то что вы будете делать, желая догнать меня? Включите двигатель, чтобы ускориться? Если бы мы летели не по орбите, а по прямой на удалении от притягивающих масс, то двигатель добавил бы энергии движения вашему кораблю, а это значит, что возросла бы скорость и ваш маневр по сближению оказался бы успешным. Но законы движения в поле притяжения таковы, что поддерживают определенный баланс между энергией движения и энергией в поле притяжения. После включения двигателя энергия, получаемая от сгорания топлива, перераспределяется между этими двумя видами энергии. Перераспределение произойдет таким образом, что ваш корабль окажется на более высокой орбите. Но высокая орбита – это более медленная орбита, и, оказавшись там, вы будете все сильнее отставать от моего корабля, несмотря на то что пытались меня догнать. В результате закачки энергии, казалось бы, в движение вашего корабля энергия движения стала даже меньше; вся прибавка к энергии досталась энергии в поле притяжения⁵³. Правильный способ действий состоит в том, чтобы включить двигатель против движения – уменьшить полную энергию, что приведет к переходу на более низкую орбиту, движение по которой «со времен Кеплера» (один из его законов!) происходит с большей скоростью. Несмотря на уменьшение полной энергии, баланс изменился так, что за счет уменьшения энергии в поле притяжения энергия движения возросла, а потому возросла и скорость – вы станете меня догонять, двигаясь по более низкой орбите. Там вам предстоит провести некоторое время, чтобы обогнать меня по угловой координате, после чего вы сможете начать маневр по переходу обратно на мою орбиту. Парадоксальное проявление эффекта «торможение вызывает увеличение скорости» – контакт космического аппарата на низкой круговой орбите с верхними слоями атмосферы. Трение об атмосферу забирает энергию у аппарата, из-за чего его скорость увеличивается, а сам он переходит на более низкую орбиту, где атмосфера плотнее, трение более сильное, космический аппарат ныряет еще глубже – и быстро распадается и сгорает в атмосфере.

Сближение на орбите (и последующая стыковка) – неотъемлемый элемент современной космонавтики. Теоретически Ньютон рулит здесь последние 300 лет и будет рулить и дальше: из закона движения он без труда вывел бы точное поведение космических кораблей при маневрах, которые начали выполнять в середине 1960-х. Но практически научиться этому в условиях постоянного дефицита топлива оказалось не так просто. В августе 1962 г. корабли «Восток-3» и «Восток-4» приблизились друг к другу на шесть с половиной километров, но не за счет орбитальных маневров, а благодаря сверхточному выведению на близкие орбиты; основные же сложности по тесному сближению оставались впереди. Два корабля по-настоящему сблизились (до 30 см) только в декабре 1965 г.; это были «Джемини-7» и «Джемини-6А», а предыдущая попытка в июне того же года, по сближению «Джемини-4» и отработавшей ступени ракеты-носителя, не удалась по ряду причин, включая как раз особенности орбитальной механики. Вслед за этим стало возможным завершать сближение стыковкой – сначала с непилотируемыми аппаратами, а в январе 1969 г. сблизились и состыковались два пилотируемых корабля, «Союз-4» и «Союз-5». Сближения и стыковки стали ключевой частью схемы высадки на Луну и возвращения на Землю: они происходили во всех полетах кораблей «Аполлон» после восьмого (кроме тринадцатого) – начиная с марта 1969 г., когда эта техника была сначала отработана на околоземной орбите. Базз Олдрин – второй человек, ступивший на Луну, – защитил диссертацию по теме стыковки. (И, как отмечали некоторые его коллеги-астронавты, едва мог поддерживать беседу на какую-либо другую тему; его прозвали «мистер Рандеву», по английскому слову для сближения в космосе.)

Один из огорчительных факторов на орбите – практически полная невозможность поворачивать. Ракета, летящая по низкой околоземной орбите со скоростью около 8 км/с (28 800 км/ч), разогналась до этой скорости почти наверняка благодаря работе двух ступеней ракеты-носителя, изначально полностью залитых топливом и все это топливо потративших для достижения этой цели. Увы, поворот, например, на 60° требует практически такого же количества топлива – которое взять решительно неоткуда (и которое вообще не доставить на орбиту теми двумя ступенями). Поэтому для сближения и стыковки орбиты двух кораблей должны лежать как можно более точно в одной плоскости. Это обстоятельство определяло серьезные требования к схеме возвращения с Луны. После взлета лунного модуля с лунной поверхности требовалась его стыковка с командным модулем, который обращался вокруг Луны, и было критически важно, чтобы их орбиты лежали в одной плоскости. Если бы орбита лунного модуля оказалась выше или ниже расчетной, средства справиться с этим имелись, но не в случае существенного рассогласования плоскостей. Впрочем, найти друг друга даже в пределах одной плоскости на орбите длиной более 11 000 км – тоже довольно содержательная задача. Стандартный экономный способ перехода между орбитами, лежащими в одной плоскости, но разделенными некоторым радиальным расстоянием, – гомановские (Hohmann) траектории, эллипсы, касательные к двум орбитам (рис. 2.13). Маневр требует двух включений двигателя для изменения скорости: для приобретения Δv в начале и еще раз в конце маневра. Эта схема придумана на удивление давно – хоть и не во времена Ньютона, когда вопрос о включениях двигателя звучал бы не совсем понятно, но определенно в докосмическую эру⁵⁴. Армстронг и Олдрин, стартовавшие с Луны в лунном модуле, сначала выходили на круговую орбиту. После корректировки легких неточностей в совмещении плоскости двух орбит (примерно по завершении одного оборота вокруг Луны) включение двигателя переводило лунный модуль на слабо эллиптическую орбиту, приближавшую его к орбите командного модуля. После еще двух коррекций лунный модуль оказывался ниже и впереди командного модуля, и ему оставалось только ускориться, чтобы перейти на более высокую орбиту и позволить командному модулю догнать себя. Пилот командного модуля Коллинз, по его собственным словам, пребывал в постоянной готовности, все время прокручивая в голове, какое «зеркальное» действие (притормозить и догнать лунный модуль на более низкой орбите) потребуется сейчас от него, если по каким-то причинам лунный модуль перестанет маневрировать. Начиная с «Аполлона-14» возросшая уверенность в надежной работе систем лунного модуля позволила заметно «спрямить» процедуру сближения⁵⁵. С тех пор сближение и стыковка (правда, на околоземной орбите) стали в целом достаточно рутинным, хотя и ответственным маневром при каждом полете к любой космической станции (сейчас – МКС).

Рис. 2.14. Штернфельдова (биэллиптическая) траектория перехода между двумя орбитами требует трех включений двигателя, последнее из которых – для торможения. Если радиусы двух круговых орбит различаются в несколько раз (не как показано на рисунке), то такая траектория может быть экономнее гомановской в зависимости от того, насколько большим выбрано максимальное удаление в ходе маневра

Такие же гомановские переходные траектории «соединяют» орбиты Земли и Марса. Именно такой дорогой до Марса добрался и марсоход «Персевиранс», совершивший посадку 18 февраля 2021 г. На девять и восемь дней раньше до Марса долетели аппараты «Аль-Амаль» и «Тяньвэнь-1», но они, включив двигатели, поместили себя на орбиту Марса (подобно тому, как «Аполлоны» выполняли LOI для выхода на орбиту Луны). В отличие от них, «Персевиранс» с ходу вошел в разреженную марсианскую атмосферу и перешел к посадке; от этого маневра требовалась высокая точность, для чего предварительно были сделаны необходимые коррекции траектории с целью оптимального «контакта» с Марсом. Чего, пожалуй, не следует делать в межорбитальных маневрах – это доверять земной интуиции. Например, при большом радиальном расстоянии между двумя орбитами сэкономить топливо позволит другой маршрут, несмотря на требуемые для него три включения двигателя, – маршрут по половинкам двух эллипсов, выходящих довольно далеко за более высокую орбиту (рис. 2.14); такой маневр позволяет обойтись меньшим полным значением Δv, но занимает большее время; и он тоже был придуман задолго до того, как мог стать реальностью⁵⁶. Переход через удаленную точку дает также несколько более экономный способ изменить плоскость орбиты.

*****

Танец с небесами. «Аполлон-8» все-таки не совсем разорвал хватку земного тяготения: не было необходимости разгонять его до такой скорости, чтобы он в принципе смог стать спутником Солнца⁵⁷. Коллинз допустил художественную вольность, чтобы передать свои чувства. В том, что это именно так, едва ли стоит сомневаться в отношении человека, в обязанности которого входили ключевые маневры, включая умение довести «Аполлон-11» от Луны до входа в земную атмосферу под нужным углом в том случае, если по каким-то причинам будет потеряна связь с центром управления. В одном интервью, данном в уже очень почтенном возрасте, Коллинз сетовал, что в NASA наловчились превращать все высказывания в рутинные, и именно так в его устах звучала фраза «Есть готовность к переходу на траекторию к Луне», обращенная к экипажу «Аполлона-8». А потом глаза его загорелись, и он сказал:

Мне бы так хотелось снова пережить этот момент, потому что тогда я бы крикнул им: «"Аполлон-8", покинь мрачный плен Земли и танцуй с небесами. "Аполлон-8", вперед, танцуй с небесами!»

По-видимому, каждый американский военный летчик тех лет знал стихотворение 19-летнего пилота Джона Гиллеспи Мэги-мл., служившего в Военно-воздушных силах Канады и погибшего в декабре 1941 г. Это стихотворение летчика, но начинается оно так:

Покинув мрачный плен Земли,

Я с небом танцевал на крыльях радости,

Взбираясь к Солнцу…

(Oh! I have slipped the surly bonds of Earth

And danced the skies on laughter-silvered wings;

Sunward I've climbed…)

Добавления к прогулке 2

Легко ли прицелиться в Луну. Аналогия с боулингом, вскользь упомянутая ранее в главе, не очень корректна (как и большинство аналогий), в первую очередь из-за того, что на движение шара в боулинге влияют силы сопротивления / трения, а на космический корабль, летящий от Земли к Луне, – постепенно слабеющее притяжение Земли и (ближе к финальной части пути) возрастающее притяжение Луны, которая к тому же движется. Из-за всего этого скорость корабля непостоянна – она заметно уменьшается до момента попадания в окрестности Луны, после чего несколько увеличивается. Тем не менее я хочу продолжить эту аналогию с целью передать масштаб (который, как я уже говорил, совсем не выдержан на рис. 2.1). Я собираюсь уменьшить все расстояния в 10 000 раз – разумеется, выполняя вычисления довольно приближенно, – и посмотреть на то, что получится, как если бы это был боулинг.

Итак, у вас в руке маленький шар для боулинга (если – что не так важно – размер космического корабля тоже делить на 10 000, то диаметр шара будет порядка миллиметра, но вполне можно представлять себе что-то более приближенное к реалиям боулинга). Вы отпускаете шар от себя со скоростью 1 м/ с. Мишень, в которую шар(ик) должен попасть, движется, причем в десять раз медленнее – со скоростью всего 10 см / с. Мишень вроде бы большая – это шар (или диск, как вы его видите) радиусом 170 м, но попасть именно в него ни в коем случае нельзя, потому что это означало бы жестко разбиться (задача для «Луны-1», решенная затем «Луной-2»). Требуется послать ваш маленький шар так, чтобы он оказался на расстоянии 10 метров от края мишени, с точностью, скажем, до одного метра. Все бы ничего, но расстояние до мишени – 38 километров.

Реальная Луна еще и притягивает к себе. Определенно необходим сэр Исаак Ньютон за рулем.

Еще о космическом музее будущего. В продолжение темы о телескопе «Кеплер»: кандидат в музей искусственных гелиоцентрических объектов – первый искусственный спутник Солнца. Это станция «Луна-1», летающая вокруг звезды с 1959 г. Поместить ее в музей будет намного труднее, чем телескоп «Кеплер», из-за большой неопределенности с ее орбитой. Всего же вокруг Солнца обращается несколько десятков рукотворных (made on Earth by humans, «сделанных на Земле людьми», как сформулировали в SpaceX) изделий, часть из которых оказалась там относительно случайно, например из-за потери связи на пути к Венере или Марсу, часть – по «техническим» причинам, как, например, третьи ступени ракет «Сатурн V», использованных при запуске некоторых из кораблей «Аполлон», и даже один лунный модуль – другой очевидный кандидат на то, чтобы когда-нибудь быть выловленным. Там же – исследователи комет и астероидов, инфракрасный телескоп «Спитцер» и родстер Tesla (рис. 2.15).

Экстремальный маневр Оберта. Выигрыш в энергии, который достигается при маневре Оберта, зависит от того, насколько глубоко удается нырнуть в «гравитационный колодец»: степень сближения с планетой определяет, до какой скорости разгонится космический корабль к моменту включения двигателя, а потому и влияет на энергию движения, которую он приобретет в результате этого включения. Схема, которую рассматривал сам Оберт, состояла в том, чтобы, начав с высокой круговой орбиты, включить двигатель против скорости, спуститься как можно ближе к планете, а на участке максимального приближения включить двигатель «по ходу» и в результате уйти от планеты с впечатляющей скоростью. Предельно возможное сближение – радиус планеты (хотя если речь идет о полноценной планете с атмосферой, то эта последняя является ограничителем, потому что взаимодействие даже с ее верхними слоями может произвести эффект, далекий от желаемого). Вот если бы планета той же массы была меньше в размерах! Делая радиус планеты все меньше и меньше, но сохраняя ее массу неизменной, мы черпали бы из гравитационного колодца все бóльшую и бóльшую прибавку к энергии движения. Но что значит уменьшить радиус, а массу оставить прежней? Это значит сделать тело (планету, звезду, …) более плотным. Известны несколько стадий уплотнения материи далеко за пределы представимого: белый карлик и нейтронная звезда. Ни то ни другое решительно невозможно создать по нашему желанию, однако в космосе эти сверхплотные объекты существуют и дают о себе знать. В случае еще более сильного уплотнения материя в известных нам формах исчезает, оставляя вместо себя область пустого пространства с чрезвычайно сильной гравитацией. Такая область пространства называется черной дырой (они ждут нас на нескольких последующих прогулках).

Что, если бы вместо Луны по той же самой орбите вокруг Земли летала черная дыра той же массы, что и Луна? Это было бы прискорбно для влюбленных и, возможно, для некоторых организмов с ночным образом жизни, однако с точки зрения тяготения на Земле ничего не изменилось бы: например, происходили бы практически точно такие же приливы и отливы (о них мы подробнее говорим ниже, на прогулке 4). Движение Земли вокруг общего центра масс Земля – Черная Луна тоже не изменилось бы. Но Черная Луна имела бы радиус около 0,1 мм против 1 737 400 000 мм для Фактической Луны. Формулы ньютоновой механики для выигрыша энергии (согласно которым отношение 1 737 400 000: 0,1 превращается в увеличение энергии более чем в сто тысяч раз) применять вблизи черной дыры уже нельзя, да и подлетать к самому горизонту черной дыры – не очень хорошая идея, как мы увидим на прогулке 7, но, как бы то ни было, наличие черной дыры вместо Луны, вероятно, позволило бы нам отправлять Настоящие Космические Ракеты за пределы Солнечной системы с по-настоящему высокими скоростями. Вернуться, правда, они бы не могли, если только где-то близко к месту назначения для них не был бы обеспечен запас черных дыр, подходящих для гравитационных маневров.

Штернфельдовы биэллиптические траектории. Переходные траектории, изображенные на рис. 2.14, рассчитал пионер космонавтики (и изобретатель самого слова «космонавтика», как и слова «космодром») Штернфельд в своей работе «О траекториях полета к центральному светилу со стартом с определенной кеплеровской орбиты»⁵⁸ (в авторском переводе ее заглавия с французского). В заметке⁵⁹ Штернфельд приводит, в частности, такие подробности об этой работе:

Доклад «О траекториях полета…» нашел широкий отклик в английской, французской и немецкой научной прессе. Хорошего мнения о нем был Герман Оберт. Вальтер Гоман направил мне письмо (от 22 марта 1934 г.), в котором он оценил мой доклад как «интересную работу о наиболее выгодных кеплеровских траекториях для достижения областей, близких к центральному небесному телу». Эту работу, а также мой предыдущий доклад, представленный Французской академии наук, я послал К. Э. Циолковскому, с которым меня уже несколько лет связывала дружеская переписка.

Удивительные «предкосмические» времена! В конце 1930-х гг. Королев приглашал Кондратюка к совместной работе, но тот отказывался (возможно, опасаясь ареста за использование поддельных документов).

Признания и литературные комментарии

«Энергия в поле притяжения» – это потенциальная энергия (да, в поле притяжения). Она имеется всегда, когда два тела притягивают друг друга. В поле притяжения Земли она зависит от массы тела и расстояния до центра Земли (и от того, насколько массивна сама Земля, но тут уж что есть, то есть).

Путешествия к Луне – предмет статей, собранных в книге⁶⁰ с изображением ракеты «Сатурн V» на обложке, и отчасти – тема более «визуальной», в смысле иллюстраций и оформления, книги⁶¹. В обеих книгах много подробностей, которые я оставил в стороне. Астронавт, по совместительству обладающий литературным даром, написал прекрасную книгу⁶², впервые вышедшую в 1974 г. и переиздававшуюся к 40-летнему и 50-летнему юбилею полета «Аполлона-11». Оттуда я взял все цитаты Коллинза, кроме той, что приведена в самом конце главы – она прозвучала в одном из данных им интервью, и этот фрагмент присутствует на нескольких ресурсах, например https://www.pbs.org/video/how-nasas-apollo-8-left-earths-orbit-asi5z6/. Хронология полета «Аполлона-8» представлена на сайте NASA: https://history.nasa.gov/SP-4029/Apollo_08i_Timeline.htm. Выходя после радиомолчания из-за Луны на «Аполлоне-8», успешно помещенном на траекторию возвращения, Ловелл успокоил центр управления фразой «Имейте в виду, Санта-Клаус существует» (дело было 25 декабря). С начальными элементами космонавтики (включая гравитационную пращу) в современном изложении можно познакомиться по популярным лекциям ⁶³, где, впрочем, космонавтика только одна из многих затронутых тем. Дополнительные возможности, предоставляемые анимацией, да и не только они, использованы в лекциях https://scfh.ru/lecture/kosmonavtika/. Оттуда же взяты рис. 2.10 и рис. 2.12. Более подробно традиционные вопросы космонавтики освещены в книге ⁶⁴; «классическое», но существенно более продвинутое изложение имеется в книге⁶⁵. Использование звезд, белых карликов и нейтронных звезд для ускорения космических аппаратов («межзвездных зондов») обсуждается в ⁶⁶. Жизнь астероидов затрагивается среди прочего в книге⁶⁷. Орбита космического телескопа JWST описана по ссылке https://jwst-docs.stsci.edu/jwst-observatory-characteristics/jwst-orbit. Жизнеописания Кондратюка и Штернфельда заслуживают того, чтобы познакомиться с ними по доступным в интернете источникам.

Движение на прогулках 1 И 2

Из наблюдений за движением планет и смелой идеи, что причина движения и Луны, и падающего яблока одна и та же, выросло понимание тяготения – силы, которая организует всю «большую» Вселенную. Возникшее до появления первой паровой машины, это понимание уже в век первых компьютеров позволило совершать действия, которые незадолго до того были предметом фантастики: например, отправить тело в такое движение, чтобы оно без дальнейшего вмешательства облетело Луну и повернуло к Земле; высадиться на Луне и вернуться на Землю; использовать планеты для разгона космических аппаратов. Как ни для чего другого, для движения космических аппаратов актуальны теоретические представления, накопленные за десятилетия и даже столетия до того, как они понадобились в практическом плане. Предсказанные за 150 лет до первого искусственного спутника Земли специальные траектории в системе двух тел, движущихся одно вокруг другого, сейчас используются как космические парковки для телескопов и других аппаратов со специальными задачами наблюдения. Маневры с целью тем или иным образом изменить характер орбитального движения – упражнение по преодолению «само собой разумеющихся», очевидных представлений; основные идеи на их счет были сформулированы еще в первой половине XX в., а во второй его половине космонавтов и астронавтов пришлось специально обучать схеме «контринтуитивных» действий. Примерно такой же отрезок времени разделяет идею и реализацию в случае гравитационной пращи и эффекта Оберта. Одна из составляющих космонавтики – теоретическое знание, развивавшееся в ответ на старые вопросы о причинах и характере движения планет в Солнечной системе.

Прогулка 3
Невидимое – из движения видимого

Маршрут: Тысячи планет из движения. – Планета как объяснение. – Гармония целых чисел. – Тайна девятой планеты. – Тайна первой планеты. – Несогласное вращение.

Главный герой: невидимые причины

Тысячи планет из движения. Вода довольно капризна: она не желает оставаться жидкостью ни в вашем морозильнике, ни в кипящем чайнике – интервал температур между которыми совершенно чепуховый по космическим меркам. Как бы мало мы ни знали о механизмах, благодаря которым зародилась жизнь даже в единственном известном нам варианте, особенно трудно представить себе, как она могла бы возникнуть где-то еще, кроме планеты, похожей на Землю в первую очередь наличием воды. Тут требуется не просто изрядное число молекул H²O, а именно жидкая фаза. Однако весь наш опыт с планетами до относительно недавнего времени ограничивался Солнечной системой, и не было никакой возможности оценить их распространенность за ее пределами. Задача увидеть планету у другой звезды – маленький и тусклый объект рядом с большим и ярким – представляется довольно безнадежной. А как можно говорить о подходящих для жизни планетах, когда неясно, насколько часто вообще встречаются хоть какие-нибудь планеты?

Способом увидеть невидимое оказалось движение. Взаимность движения притягивающихся тел может быть ключом к тому, чтобы догадываться о существовании доселе неизвестных частей мира. Ситуации, когда «что-то движется не так», – ситуации несоответствия между теоретической картиной мира и наблюдаемыми фактами – могут означать наличие скрытой от глаз причины, но могут, конечно, указывать и на недостаток наших знаний о законах, которым подчинено движение. В одном случае надо искать какую-то невидимую часть мира, а в другом – приводить теоретическое знание в соответствие с миром. Эта дилемма никогда не дает расслабиться.

Если у звезды имеется планета или планеты, то может оказаться, что из-за движения вокруг общего центра масс звезда то приближается к нам, то удаляется от нас, т. е. перемещается вдоль луча зрения (никакого движения вдоль луча зрения мы не обнаружим в том случае, когда смотрим на звезду с планетами перпендикулярно плоскости их орбит; что ж, не повезло с этой звездой, попробуем с другими). Дело в том, что когда звезда движется по направлению к нам, ее свет прибывает несколько более синим – смещенным в синюю часть спектра – по сравнению с тем, какой был испущен, а когда источник удаляется, приходящий от него свет, наоборот, краснеет. Это дает способ обнаружения планет, которые движутся, может, и быстро, но сами практически не видны, через движение звезд, которые «едва ерзают», но зато видны хорошо.

Планеты выдают себя через движение своих звезд

Поскольку звезды во много раз массивнее планет, их движения действительно сравнительно малы; но метод определения скорости по спектру позволил добиться впечатляющей точности. «Более синий» свет означает чуть меньшую длину волны по сравнению с той, что была испущена, а «более красный» – наоборот, несколько бóльшую. Уже в начале 1990-х по изменению длин волн можно было определять скорости до 7 метров в секунду – меньше, чем у бегуна на стометровке. Наблюдая звезду, мы интересуемся тем, как с течением времени изменяется длина волны приходящего от нее света, и таким образом узнаем, не ведет ли она себя так, как полагается звезде с планетой (или планетами). Чем планета массивнее (и чем ближе к звезде), тем сильнее она заставляет шевелиться свою звезду, поэтому легче всего удается обнаружить признаки существования массивных планет типа Юпитера⁶⁸. Первая планета, которую открыли таким способом, и оказалась так называемым горячим юпитером – юпитером из-за своих размеров, а горячим из-за близости к своему светилу (в отличие от нашего Юпитера, который никак не назовешь горячим; существование – и, как со временем выяснилось, в избытке – горячих юпитеров стало неожиданностью для наивных землян, которые до того могли рассуждать о планетных системах только на основе своего единственного опыта знакомства с таковыми). Половину Нобелевской премии по физике 2019 г. получили ученые, внесшие определяющий вклад в развитие этого метода и еще в 1995-м открывшие с его помощью первую экзопланету у звезды типа Солнца. В известном смысле это была премия за умение использовать движение и извлекать из него информацию, чтобы узнать о ранее неизвестных частях мира. Планеты, видимые глазом на нашем небе, названы словом с греческим корнем, обозначающим блуждания, но и те, которые находятся в миллионы раз дальше, тоже выдают себя движением – хотя их самих не видно даже в телескоп. Движение буквально рассказывает нам об устройстве Вселенной в самой, пожалуй, «практической» части – в том, что касается мест, потенциально пригодных для обитания.

Техника определения скоростей звезд совершенствовалась и совершенствуется, и спектрограф (прибор, который точно фиксирует спектры, на основе чего вычисляется скорость) в обсерватории Ла-Силья в Чили (рис. 3.1), заработавший в 2003 г., определяет скорости уже с точностью до 30 сантиметров в секунду – грудной ребенок быстрее машет кулачками. И это не предел, причем совершенствуется как технология получения данных, так и методы их обработки, а именно алгоритмы, по которым из изменений скорости мы делаем выводы о числе планет и некоторых их характеристиках. Эта задача – восстановление характера движения по путаным данным наблюдений – достойный XXI столетия вариант той задачи, которой занимался Иоганн Кеплер четыре века назад.

*****

Планета как объяснение. Даже в нашей собственной Солнечной системе не все имеющиеся планеты были известны всегда. Солнце, Меркурий, Венера, Луна, Марс, Юпитер и Сатурн – вот и все (не считая эпизодически появляющихся комет) странники по небосводу, известные нам до времени, когда всерьез развились систематические наблюдения неба в телескоп. Кеплер стремился понять не только каковы орбиты планет по форме, но и чем определяется размер каждой орбиты – расстояния от планет до Солнца. Он, более того, желал ответить на вопрос, почему их шесть (Меркурий Венера Земля Марс Юпитер и Сатурн ). Число планет, обращающихся вокруг Солнца, казалось фундаментальной данностью, для которой так соблазнительно было найти объяснение. Отражения совершенства небес Кеплер искал в нетленном – в математике. Он надеялся, что пять последовательных соотношений между орбитами шести планет определяются тем, что существует в количестве пяти и только пяти, – правильными многогранниками. Кроме всем известного куба, это еще тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр; других нет и никогда не будет (и про планеты тоже, казалось, следовало так считать!). Если один из этих многогранников описать вокруг сферы и одновременно вписать в другую сферу, то отношение радиусов большой и малой сфер окажется однозначно фиксированным (рис. 3.2). Можно ли разместить правильные многогранники в такой последовательности, чтобы они воспроизводили относительные размеры орбит, по которым движутся все шесть планет? После Кеплера едва ли многие занимались подобными геометрическими упражнениями, и даже число планет оказалось в действительности не равным шести. Седьмая планета, сейчас известная как Уран, робко появлялась в поле зрения наблюдателей несколько раз начиная, во всяком случае, с конца XVII в., но четко зафиксированное наблюдение движущегося по небу объекта принадлежит Гершелю (1781), который, правда, воспринял этот объект как комету и некоторое время продолжал считать его кометой, даже когда другие астрономы, извещенные об открытии, стали склоняться к тому, что это нечто «подобное планете» – да, собственно, и есть планета⁶⁹.

Через несколько десятков лет после своего открытия Уран (интересный и сам по себе, что мы здесь полностью игнорируем) стал трамплином – можно сказать, батутом – для дальнейшего познания Солнечной системы. Однако способ, каким это случилось, был, видимо, не совсем привычен современникам (зато к нашему времени обрел практически бесконечную популярность, не в последнюю очередь из-за своей относительной дешевизны). У этой планеты есть два массивных соседа, Сатурн и Юпитер, которые не могут не влиять на ее движение. К 1821 г., как раз когда все большее распространение получало название «Уран», движение этой планеты стало предметом значительного внимания. Бувар по результатам своих вычислений опубликовал таблицы орбиты Урана на годы вперед. Это значит, что он решил задачу о движении Урана с учетом притяжения не только к Солнцу, но и к двум большим планетам; такое решение требует начальных условий (см. главу «прогулка 1»), которые Бувар фиксировал по результатам имеющихся наблюдений. Идея вычислений состояла в том, чтобы последовательно находить отклонения от кеплерова эллипса из-за влияния соседей, которые при этом сами не стоят на месте. Со времен «Начал» Ньютона прошло 130 лет, в течение которых методы таких вычислений непрерывно совершенствовались, и не было никаких причин сомневаться, что Уран будет с течением времени виден на небе именно там, где ему «велел» находиться Бувар. Уран, однако, не стал этого делать. Разумеется, он двигался примерно по кеплерову эллипсу, но отклонения не точно соответствовали тем, которые предсказал Бувар. В частности, Уран ускорялся в своем движении сильнее, чем ожидалось.

Соседние планеты слегка искажают кеплеровы эллипсы

Как всегда в таких случаях, возможны варианты; о них легко рассуждать задним числом, когда вы дочитали детектив до конца, но участники расследования (в данном случае – ученые) не могут подсмотреть в конец книги и вынуждены угадывать причину несоответствия, которая вообще-то может оказаться какой угодно. Это могут быть ошибки в вычислениях (а такие ошибки иногда оказываются довольно тонкими, и их нелегко выловить). Вариант более серьезный – используемая теория не совсем правильна. Наконец, вспомним, что познание мира после «Начал» Ньютона было нацелено на причины. Какая причина может приводить к несогласию между предсказанным и наблюдаемым поведением планеты, когда влияния всех известных планет уже учтены? Влияние неизвестной.

Бувар скончался в июне 1843 г. Запущенная им цепочка событий – выразительная иллюстрация того, как работает наука: она публична и открыта, приглашая каждого воспользоваться ее результатами в меру сил (и, не будем наивными, в меру квалификации). Бувар подозревал наличие неизвестного тела довольно значительной массы, которое находилось где-то (точнее говоря, двигалось как-то) и оттуда влияло на Уран. Полезно представлять себе пространственный масштаб: оно могло находиться на расстоянии от трех до пяти миллиардов километров от нас. За математическую охоту на это тело с начала 1840-х гг. со всей серьезностью принялся Адамс, которому тогда едва исполнилось 20 лет (основные участники событий представлены на рис. 3.3). Адамсу нужны были не только таблицы Бувара, но и максимально точные данные наблюдений Урана. Сравнивая табличные значения и данные наблюдений, он надеялся решить обратную задачу: не по известным причинам определить движение, а, наоборот, по наблюдаемому движению восстановить недостающую причину (я думаю, Ньютон должен был бы испытывать полнейший восторг). Адамс написал королевскому астроному сэру Джорджу Эйри, который попросил ответных разъяснений, так что дело шло не быстро. В конце концов Адамс получил некоторые данные и к 1846 г. высказал предположение (собственно, несколько уточняющих друг друга предположений) о том, где может находиться неизвестная «планета X».

Наука приглашает к решению проблемы всех заинтересованных и при этом не замыкается в одной стране: независимо от Адамса француз Леверье проделал вычисления с той же целью – узнать, как могла бы двигаться неизвестная планета, чтобы ее влияние отвечало в точности за «аномалии» в движении Урана. Когда французские (!) коллеги отнеслись к его идеям прохладно, Леверье написал директору Кембриджской обсерватории Чэллису. Примерно в этот момент на сцене появляется Джон Гершель, сын первооткрывателя Урана, который с энтузиазмом поддержал необычную идею, что планету можно открыть математически, и убедил Чэллиса приняться за наблюдения, что тот и сделал в августе 1846 г. «Найти» планету на фоне многочисленных звезд означает зафиксировать ее наличие там, где ее определенно не было некоторое время назад. Это не единовременный акт «взглянул, увидел, открыл», и новостей от Чэллиса не поступало. Наука же не только интернациональна, но и конкурентна. Леверье написал еще и директору Берлинской обсерватории Галле, рядом с которым в обсерватории случился быть, выражаясь современным языком, аспирант, предложивший не откладывать дело в долгий ящик, а сравнить сделанную ранее карту ключевого участка неба с тем, что видно в телескоп прямо сейчас. Они вдвоем – Галле и д'Арре – открыли планету (известную нам как Нептун) ночью того же дня, когда Галле получил письмо, 23 сентября 1846 г. Она обнаружилась в 1° в стороне от положения, которое предсказал для нее Леверье, и в 12° от предсказания Адамса. Наука и правда делится своим результатами для того, чтобы их можно было развивать: через 17 дней после открытия планеты Лассел открыл ее спутник (который много позднее получил имя Тритон).

Нептун – планета, предсказанная в вычислениях

Восьмая планета выдала себя движением, но не своим собственным, а чего-то другого, что видно лучше, – почти так же, как сейчас выдают себя экзопланеты, только способом, доступным для технологий XIX в. Постфактум выяснилось, что с «вычислением» Нептуна повезло: большую часть времени между открытием Урана в 1781 г. и серединой следующего столетия Уран и Нептун находились почти максимально близко друг к другу, из-за чего влияние Нептуна и оказалось столь заметным. Если бы ситуация была противоположной – две планеты располагались по разные стороны от Солнца, то никаких заметных аномалий в движении Урана не обнаружилось бы и пришлось бы ждать открытия Нептуна каким-то менее регулярным образом; оно, несомненно, состоялось бы, ведь как опять-таки стало ясно в ретроспективе, его наблюдал (и оставил запись, приняв за неподвижную звезду) уже Галилей, когда изучал Юпитер в свой телескоп. Да и Чэллис, как оказалось, дважды видел Нептун в начале августа 1846-го, но не «открыл» его из-за сочетания двух факторов: у него не было подходящих звездных карт для сравнения, а голова была занята текущим интересом – исследованием комет. Вычисления, проделанные Адамсом и Леверье, позволили неплохо предсказать положение Нептуна на небе, несмотря на то что рассчитанные ими орбиты новой планеты заметно отличаются от истинной, как мы теперь знаем. Из рис. 3.4 видно, что оба вычисления давали близкие к действительности результаты для орбиты в той ее части, где планета находилась в тот период, но неверно оценивали, насколько вытянут эллипс (и, чего не видно из рисунка, ошибались в предсказании массы планеты, причем эта ошибка некоторым образом коррелировала с ошибкой в форме орбиты, что и давало близкое к верному текущее положение планеты). В открытии нового важнее не идеальность с первой же попытки, а сам факт того, что выбранный подход привел к результату.

Рис. 3.4. Орбиты Урана и Нептуна с отмеченными положениями планет в выбранные годы. Уран движется по своей меньшей орбите быстрее, чем Нептун. В первой половине XIX в. две планеты находились в достаточной близости друг от друга. Дополнительно показаны орбиты, построенные по вычислениям Адамса и Леверье, а также предсказанные каждым из них положения новой планеты летом 1846 г.

Наука интернациональна как предприятие, но национальна по действующим лицам: постфактум разгорелось франко-британское соперничество за признание первенства в предсказании новой планеты. Название же установилось относительно быстро, хотя и не с первой попытки: Галле предложил Янус, Чэллис – Океан. Леверье был бы рад названию Леверье (из-за чего во Франции было вспомнили, что Уран – это Гершель), но в конце концов предложил вариант Нептун, и название закрепилось⁷⁰.

«Вояджер-2», запущенный 20 августа 1977 г., после промежуточной коррекции траектории приблизился к Нептуну в августе 1989-го. (Перед тем аппарат получил прибавки к скорости за счет гравитационной пращи у Юпитера, Сатурна и менее значительную – у Урана.) Курс был проложен так, чтобы заодно наблюдать и Тритон (рис. 3.5). Для этого потребовалось пройти над северным полюсом Нептуна, из-за чего гравитационная праща вывела «Вояджер-2» из плоскости эклиптики (плоскости земной орбиты, вблизи которой лежат и орбиты большинства планет), поэтому сейчас его скорость относительно Солнца меньше, чем скорость «Вояджера-1». «Вояджер-2» открыл кольца и новые спутники Нептуна. Эти спутники (все – маленькие) получили имена божеств, связанных с водой: Наяда, Таласса, Деспина, Галатея, Ларисса, Протей и т. д. Кольца оказались сильно разреженными и поэтому с трудом различимы с Земли. Тем не менее они есть, и их несколько. Среди присвоенных им имен – Адамс, Лассел, Леверье и Галле. Больше вблизи Нептуна никто не был. В последние полтора десятка лет название «нептуны» стали использовать для экзопланет примерно такой массы, чтобы отличать их от более массивных юпитеров.

*****

Гармония целых чисел. Притяжение соседей заметно отличает реальную Солнечную систему от набора идеальных эллипсов, а в молодости отличало еще сильнее: эволюция под действием взаимного притяжения происходила так, что серьезные участники событий (планеты) успокоились, только расположившись на подходящих орбитах – таких, которые тем или иным способом обеспечивают подобие стабильности. У каждого своя орбита, на которой больше нет сколько-нибудь крупных и даже средних по размеру тел, кроме как, возможно, в точках Лагранжа L₄ и L₅, а влияние соседних планет никогда не делается слишком сильным. Те комбинации орбит, на которых оно делалось «слишком сильным», перестраивались до тех пор, пока конфликт соседей тем или иным образом не разрешался. Планеты мигрировали, иногда захватывая с собой и тех, кто напрямую в конфликте не участвовал.

Самое наивное решение для прекращения перестройки орбит – разведение планет на достаточное расстояние. Сила притяжения убывает по мере удаления, и орбиты в большинстве случаев действительно разделены значительными расстояниями. Например, минимальное расстояние между легкими Землей и Марсом – 55,76 млн километров, а между массивными Юпитером и Сатурном – 655 млн километров; при этом планеты редко сходятся на эту минимальную дистанцию, а большую часть времени пребывают заметно дальше друг от друга (максимальное расстояние от Юпитера до Сатурна – 2,21 млрд километров). Но есть и менее наивное решение. Орбиты, периоды обращения по которым соотносятся как небольшие целые числа (например, 3: 2), могут быть устойчивыми даже несмотря на тревожащую близость. Орбиты Плутона и Нептуна (рис. 3.6) почти пересекаются: планеты могли бы приблизиться друг к другу на 2 а.е. (астрономическая единица – исторически принятое среднее расстояние от Солнца до Земли, около 149,6 млн километров), но в действительности никогда не сходятся ближе чем на 16 а.е. из-за установившегося резонанса – отношения периодов обращения 3: 2. В их «невстрече» играет роль и наклон орбиты Плутона, но главное – это резонанс. Это в данном случае не музыкальный термин, описывающий, например, возникновение стоячей волны в корпусе скрипки, а именно отношение периодов обращения, выражаемое целыми числами. Внутри скрипки, впрочем, целые числа тоже некоторым образом присутствуют, потому что между стенками должно помещаться как раз целое или полуцелое число звуковых волн; вполне можно сказать поэтому, что резонанс между орбитами – определенный вид гармонии.

Резонанс – целочисленная гармония между орбитами

Рис. 3.6. Орбиты Нептуна и Плутона. Слева: орбита Плутона более вытянута, чем орбита Нептуна, и заметно (на 17°) наклонена к плоскости эклиптики. Справа: в проекции орбита Плутона заходит внутрь орбиты Нептуна. Одни и те же цифры около точек, отмеченных на орбитах, указывают положения планет в один и тот же момент времени

Для Нептуна и Плутона целые числа 2 и 3 работают вот как. Когда какие-то две планеты оказываются примерно на одной линии с Солнцем по одну сторону от него, внутренняя планета тянет внешнюю в сторону Солнца, т. е. прибавляет свое притяжение к притяжению Солнца. Если расстояние между планетами при этом невелико, то внешняя планета может и не остаться на своей орбите. Можно ли избежать выстраивания в линию там, где орбиты близки друг к другу? На первый взгляд нет. Быстрая гоночная машина раз за разом обгоняет медленную на разных участках кольцевой трассы, и если подождать достаточно долго (а для Солнечной системы терпение – не вопрос), то какой-то очередной обгон случится наконец прямо напротив трибун. То же самое и с планетами: если «сейчас» внутренняя обгоняет внешнюю там, где их орбиты заметно разнесены, то в следующий раз это случится в другом угловом положении и так далее, а рано или поздно произойдет там, где расстояние между орбитами мало и планеты могут «зацепиться» друг за друга своим притяжением. Повторение таких встреч приведет к заметной перестройке орбит. Но положение спасают резонансы. Картина в случае резонанса 3: 2 становится ясной при разглядывании рис. 3.6. Одни и те же цифры около точек, отмеченных на орбитах, указывают положения планет в один и тот же момент, а единицей времени выбрана половина периода обращения Нептуна. В момент 0 планеты действительно находятся на одной линии с Солнцем, но там и расстояние между орбитами максимальное, и удаление каждой планеты от Солнца тоже максимально. А когда Нептун подходит ближе всего к Солнцу (моменты 1, 3, 5), Плутон оказывается то впереди, то позади него на изрядном расстоянии. Картина относительного положения двух планет повторяется с периодом 6 в выбранных единицах – каждые два оборота Плутона и три оборота Нептуна; публика понимает, что обгон неизменно происходит в скучной части трассы, и расходится.

Устойчивость близких орбит поддерживается резонансами

«Встраивание» целых чисел в орбиты планет – не знак предустановленной гармонии, а результат эволюции. Орбиты деформировались до тех пор, пока не происходило одно из двух: планеты расходились или периоды их обращения устанавливались в подходящем соотношении. Какие именно резонансы установятся (и установятся ли) в сложной системе нескольких тел, сказать заранее крайне трудно. Сэр Исаак Ньютон управляет этим процессом, так сказать, из-за кулис: и само существование резонансных состояний, и возможная (вовсе не обязательная, конечно) эволюция к одному из них – это следствия все тех же законов движения и тяготения, только ход эволюции крайне чувствителен к деталям текущего состояния, пока оно еще не стало устойчивым. Три из четырех открытых Галилеем спутников Юпитера – Ио, Европа и Ганимед – находятся в резонансе 1: 2: 4. Спутники Нептуна Таласса и Наяда, уже упоминавшиеся чуть выше, быстро обращаются вокруг планеты (три с лишним раза за земной день) и находятся в редком резонансе 73: 69, благодаря которому им удается удерживаться на очень близких орбитах. Две их практически круговые орбиты наклонены под углом 5° друг к другу и «почти пересекаются». Если бы оба небесных тела одновременно оказались вблизи одной из «точек пересечения», то их взаимное притяжение увело бы их с этих орбит. Но резонанс решает задачу невстречи: они проходят опасные точки на расстоянии около 1850 км по радиусу (Наяда внутри) и спасительных 2800 км в направлении, примерно перпендикулярном плоскости орбит. И никогда не подходят друг к другу ближе этого⁷¹.

На какие еще ухищрения способны движение и притяжение, выразительно демонстрируют спутники Сатурна Янус и Эпиметей. Они занимают предельно близкие друг к другу орбиты, которые по радиусу разделяет всего 50 км (!), причем без сколько-нибудь заметного относительного наклона: орбиты буквально лежат рядом на всем своем протяжении, а просвет между ними меньше диаметра каждого из спутников (которые вообще-то небольшие: более крупный Янус – это кусок 203 × 185 × 152,6 км). Поскольку движение по внутренней орбите происходит быстрее, чем по внешней, столкновение кажется неминуемым (поистине безрассудные спутники!). Столкновению, однако, препятствует орбитальная механика – та самая, которую мы обсуждали в главе «прогулка 2» в связи с маневрами космических кораблей. В случае естественных спутников в ней есть дополнительный элемент – взаимное притяжение. Из-за притяжения Янус и Эпиметей, сближаясь, никогда не подходят друг к другу ближе чем на 10 000 км – что выглядит парадоксально, потому что при приближении быстрого к медленному взаимное притяжение начинает тянуть каждый спутник в сторону другого. Сейчас столкнутся? Даже раньше, чем если бы притяжения между ними не было? Смотрим внимательнее: из-за притяжения друг к другу более быстрый – догоняющий – приобретает дополнительную скорость, а более медленный ее теряет. Лучше говорить даже не о скорости, а о количестве движения – это произведение скорости на массу, что в данном случае существенно, потому что один из спутников (Янус) в четыре раза массивнее другого. Два спутника обмениваются количеством движения: сколько прибавляется у одного, столько же вычитается у второго⁷². Если бы это были автомобили с растянутой между ними пружиной, которая норовит сжаться, то столкновение произошло бы только скорее, чем без пружины. Но на орбите все ровно наоборот. Прибавка количества движения у быстрого спутника означает прибавку к энергии, а мы помним, что добавленная на орбите энергия не идет в энергию движения. В действительности энергия движения делается даже меньше, а увеличивается энергия в поле притяжения. Из-за этого более быстрый (догоняющий) спутник переходит на более высокую орбиту и замедляется, не успев догнать своего компаньона. Тот же, наоборот, отдав некоторое количество движения, а потому и энергии, переходит на более низкую орбиту и ускоряется, убегая «вперед» от своего преследователя. Нестрого можно сказать, что два спутника меняются орбитами, – нестрого потому, что массы у них все-таки разные и орбита более легкого изменяется сильнее (если бы их массы были одинаковы, они бы буквально менялись орбитами)⁷³. Понятно, что происходит потом: тот, который стал более быстрым, рано или поздно начинает подбираться «сзади» к более медленному и обмен орбитами повторяется (или происходит в обратном направлении, если вам так больше нравится). Интересно было бы наблюдать такое в земном небе – мифология разных народов наверняка интерпретировала бы эту картину очень изощренными способами.

Чемпион по резонансам – не Солнечная система, а звезда TRAPPIST-1 и ее планеты. Эта звезда – ультрахолодный красный карлик, имеющий пять планет размером почти как Земля и еще две несколько меньшие, хотя и превосходящие по размеру Марс (рис. 3.7). Все эти планеты находятся существенно ближе к своей звезде, чем наш Меркурий к Солнцу, но из-за того, что звезда светит очень слабо, целые три планеты (e, f и g) расположены в зоне, потенциально пригодной для жизни⁷⁴. При этом самая близкая к звезде планета обращается вокруг звезды за время около полутора земных суток, а самая дальняя – за неполные 19 суток, так что картина в небе каждой из планет выглядит оживленно. Планеты b и c обращаются по таким близким орбитам, что одна должна быть практически постоянно видна с другой, временами становясь даже больше, чем Луна в земном небе. И все вместе – это пир резонансов: планеты c, d, e, f, g, h находятся с самой внутренней планетой b в резонансах 8: 5, 8: 3, 4: 1, 6: 1, 8: 1 и 12: 1. Гармонии в этом оказалось достаточно для того, чтобы положить ее на музыку (см. литературные комментарии к этой прогулке).

Командовать естественными спутниками нам не под силу, но мы в состоянии распорядиться целочисленными отношениями для собственной пользы, если речь идет об орбитах космических аппаратов в системе нескольких тел. 18 апреля 2018 г. ракета «Фалькон-9» компании SpaceX вывела в космос сменщика «Кеплера» в деле поиска экзопланет – космический телескоп TESS⁷⁵. Он отправился к ранее никогда не использовавшейся орбите в резонансе 2: 1 с Луной. Для этого телескоп сначала дождался свидания с Луной, летая по сильно вытянутым эллипсам (рис. 3.8). Лунная гравитационная праща отправила его на переходную орбиту, откуда он в конце концов перебрался на орбиту вокруг Земли с периодом обращения 13,7 суток – это ровно половина периода обращения Луны; такая пара орбит и называется резонансной в отношении 2: 1. Максимальное удаление от Земли на этой орбите на 11 000 км меньше среднего расстояния до Луны. Неконтролируемого (различного от витка к витку) влияния Луны удается в этом случае избежать потому, что в момент наибольшего удаления телескопа от Земли Луна при взгляде с земной поверхности находится под углом 90° к нему. Начав с этого положения, стоит попробовать «анимацию для бедных»: поводить пальцами по рис. 3.8, следя за правилом 2: 1 – делая два оборота спутника на каждый оборот Луны вокруг Земли (у меня это получилось в варианте «половина оборота Луны на каждый полный оборот спутника»). Картина полностью повторяется с каждым следующим оборотом Луны – ничего нового не происходит, чего, собственно, и хотелось. Как видно, половину своего периода обращения Луна находится по одну сторону от орбиты TESS, а половину – по другую, в результате чего ее усредненное влияние на орбиту телескопа оказывается близким к нулю. И заодно диск Луны не мешает наблюдениям.

TESS ищет планеты в основном не дальше 200 световых лет – намного ближе, чем это делал «Кеплер», который обнаружил основную массу своих планет на расстояниях от 300 до 3000 световых лет (пожалуй, чем ближе, тем интереснее). В начале января 2020 г. TESS, счет которого на планеты к этому моменту уже перевалил за 1500, обнаружил свою первую планету, близкую по размеру к Земле (лишь немного ее превосходящую) и, главное, обращающуюся на таком расстоянии от своей звезды, что там может существовать жидкая вода (правда, год там примерно в десять раз короче нашего – звезда тусклая, из-за чего подходящий температурный режим и оказался возможным на планете, обращающейся совсем близко к звезде). Находится этот мир (TOI 700 d) всего в сотне световых лет отсюда. По итогам первых трех лет работы, подведенным в январе 2022 г., телескоп обнаружил пять с лишним тысяч кандидатов в экзопланеты; мы ждем от него новых экзопланет земного типа еще ближе к нам.

*****

Тайна девятой планеты. Резонанс – не обязательно демократическое мероприятие с примерно равными партнерами (скажем, двумя планетами или двумя спутниками). Большие планеты во главе с Юпитером командуют тем, в каком резонансе с ними двигаться более мелким телам – в первую очередь астероидам; примеров в Солнечной системе в избытке. Юпитер, собственно говоря, не дал сформироваться планете там, где сейчас находится пояс астероидов (это не обломки того, что когда-то развалилось, а строительный материал, который не пошел в дело). Но что, если «подчиненное» положение нескольких тел усмотреть можно, а причины его не видно? «Нептун наших дней» то ли угадан, то ли нет по признакам более тонким, чем несоответствие кеплерову эллипсу. Наоборот, потребовалось несколько эллипсов. Эта детективная история развивается в той области, которая была открыта и осознана как неотъемлемая и интересная часть Солнечной системы только в конце XX в.

Солнечная система состоит не только из планет и вовсе не заканчивается последней планетой – Нептуном, находящимся на расстоянии около 30 а.е. от Солнца. Далеко за его орбиту простирается мир из тысяч каменно-ледяных кусков разного размера, которые неспешно летают вокруг Солнца и все вместе называются транснептуновыми объектами. (Еще дальше расположено – строго говоря, гипотетическое – облако Оорта, о котором мы говорить здесь не будем.) Подавляющее большинство из них значительно меньше километра в диаметре, но есть и карликовые планеты; впрочем, статус некоторых объектов может меняться по мере их изучения, которое в целом представляет собой сложную задачу из-за того, что они и достаточно малы, и далеко находятся, и медленно движутся (последнее означает трудности с определением их орбит). Самые большие из идентифицированных транснептуновых тел показаны на рис. 3.9. «Вояджер-1» и «Вояджер-2» не исследовали это собрание, потому что о его существовании перед их стартом еще не подозревали. На рис. 3.10 показано, как космический телескоп «Хаббл» видит некоторые карликовые планеты.

Те транснептуновые объекты, на движение – т. е. на орбиты – которых тем или иным способом повлияла последняя из планет (Нептун, разумеется), относят к так называемому поясу Койпера. Некоторые из этих замерзших кусков состоят в разнообразных резонансах с Нептуном. Те, которые устроились в резонансе 3: 2, называются плутино (мн. ч.) по той причине, что именно в таком резонансе с Нептуном пребывает и сам Плутон, который относится не к «настоящим», а к карликовым планетам и по характеру своего движения тоже представляет собой плутино (ед. ч.). По мере удаления от Солнца встречаются тела и в других резонансных соотношениях, наиболее широко из которых представлены 5: 3 и (еще дальше от Солнца) 2: 1. А между ними (в интервале больших полуосей примерно от 42 до 48 а.е.) лежат орбиты большинства нерезонансных обитателей пояса Койпера: они «просто» летают, не приближаясь слишком сильно к Нептуну, который поэтому оказывает на них эпизодическое, нерегулярное воздействие. По этой причине параметры их орбит – если смотреть на весь этот класс в целом – распределены довольно хаотическим образом. А из-за того, что суммарная масса объектов пояса Койпера очень невелика – всего около 2 % массы Земли, друг на друга они влияют слабо. В целом в транснептуновом мире картина орбит, большие полуоси которых лежат в пределах 100 а.е., понятна в том отношении, что так или иначе отражает известное нам влияние больших планет Солнечной системы.

Тела на орбитах, проходящих еще дальше от Солнца, за пределами пояса Койпера, распределены более редко и составляют так называемый рассеянный диск; они максимально приближаются к Солнцу на расстояния в интервале от 30 до 38 а.е., но их наибольшее удаление составляет многие десятки и первые сотни астрономических единиц. Карликовые планеты, кстати, встречаются в разных категориях: например, Хаумеа и Макемаке относятся к поясу Койпера, Эрида – представитель рассеянного диска, а Седна лежит в отдельном подклассе «обособленных объектов» – тех, которые даже при своем максимальном приближении к Солнцу остаются на расстоянии не менее 40 а.е. от него. Кроме обособленных объектов, имеется и «смешанный класс» тел, названных по этому поводу кентаврами: их орбиты сильно вытянуты, из-за чего они время от времени ныряют в область влияния планет (на расстояния около 30 а.е. от Солнца), но потом надолго уходят очень далеко, до расстояний, измеряемых первыми тысячами астрономических единиц. Эти обособленные и «почти обособленные» объекты – встречающиеся, хотя и не очень широко распространенные в далекой занептунщине – и оказались главными свидетелями в развивающейся детективной истории.

Обособленные объекты и отчасти кентавры имеют «незагрязненные» орбиты: воздействие Нептуна на них слишком слабо и для того, чтобы установить резонансы, и для того, чтобы «хаотизировать» общую картину орбит, которые в резонанс не попали. Поэтому если в орбитах обособленных объектов удается усмотреть какую-то регулярность, то стоит задуматься о ее причине. В 2016 г. – когда гипотезы о неизвестных телах, оказывающих влияние на занептунщину, уже несколько лет обсуждались научным сообществом – Браун (среди прочего первооткрыватель Седны) и Батыгин собрали вместе несколько наблюдаемых примеров таких регулярностей и предложили им единое объяснение. Вообще-то все эти орбиты имеют только один гарантированно общий элемент – Солнце в фокусе – и при этом раскиданы в пространстве самыми разными способами: они вовсе не лежат в плоскости эклиптики, линии пересечения орбит с плоскостью эклиптики имеют различные ориентации, а каждый эллипс в большей или меньшей степени «повернут на бок» в своей плоскости по отношению к плоскости эклиптики. Однако шесть транснептуновых объектов (Седна, 2012 VP₁₁₃, 2004 VN₁₁₂, 2010 GB₁₇₄, 2007 TG₄₂₂ и 2013 RF₉₈) – достаточно далеких, летающих по вытянутым эллипсам с большими полуосями не менее 250 а.е. – демонстрируют интригующую согласованность: если плоскость каждой орбиты мысленно совместить с плоскостью эклиптики, поворачивая вокруг линии пересечения двух плоскостей, то неожиданно близкими друг к другу окажутся направления от Солнца на перигелии – точки максимального приближения каждого тела к светилу. И это не все! Эллипсы, по которым летают объекты из частично другой шестерки (Седна, 2012 VP₁₁₃, 2004 VN₁₁₂, 2010 GB₁₇₄, 2000 CR₁₀₅ и 2010 VZ₉₈), сходны в том, в какой степени они «повернуты на бок» по отношению к плоскости эклиптики: двигаясь от точки пересечения с эклиптикой до перигелия, каждое из этих тел совершает поворот на примерно один и тот же угол, если смотреть от Солнца. Конечно, никто еще не видел эти объекты в перигелиях (для этого пришлось бы ждать сотни или даже тысячи лет), но, как только несколько последовательных наблюдений позволяют определить эллипс, большого выбора не остается – мы знаем про этот эллипс все, в том числе и скорость движения по нему. Имеются, кроме того, и другие признаки сходства между рядом орбит, включая их наклонение к плоскости эклиптики.

Некоторые транснептуновые орбиты организованы неожиданно регулярно

Беспричинные совпадения такого рода не просто маловероятны; например, концентрация направлений на перигелии не может сохраняться даже в течение времени в одну десятую возраста Солнечной системы: за такой период времени перигелии «разбредутся» кто куда по всем 360 градусам из-за прецессии. Прецессия орбиты – это (медленный) поворот самого эллипса, в данном случае вызванный наличием больших планет в Солнечной системе. Да, планеты оказывают на обособленные объекты только усредненное воздействие, но создаваемая ими добавка к притяжению Солнца, пусть численно и небольшая, качественно меняет движение: кеплеровы эллипсы начинают поворачиваться⁷⁶. Скорость поворота каждого эллипса зависит от того, каков в точности этот эллипс, поэтому для каждого тела скорость «ухода» перигелия получается своя собственная, и за время существования Солнечной системы от концентрации перигелиев, если она когда-то и имела место, не останется и следа – если только тут нет какого-то постоянно действующего механизма, поддерживающего эту концентрацию. И еще одна загадка обособленных тел связана с их орбитами как таковыми: как они, эти орбиты, получились такими «обособленными»? Наши представления об образовании и эволюции Солнечной системы подсказывают, что сформироваться эти тела должны были не там, где они находятся сейчас, а ближе к Солнцу, но в таком случае какое-то гравитационное взаимодействие должно было «закинуть» их на такие далекие орбиты, а Нептун на эту роль не подходит именно из-за того, насколько далеко за орбитой Нептуна находятся их перигелии.

Рис. 3.11. Орбиты нескольких транснептуновых тел и возможная орбита Планеты 9, которая их «выстраивает» (P9, показана более толстой линией). Полезно представлять себе масштаб: характерное расстояние от Солнца до Планеты 9 превышает расстояние от Солнца до Земли в полтысячи раз; орбиту Земли показать здесь в масштабе невозможно. Максимальное удаление объекта 2015 KG₁₆₃ от Солнца – около полутора тысяч расстояний от Земли до Солнца

Браун и Батыгин предложили механизм для ответа на весь этот набор вопросов в виде неизвестной планеты (рис. 3.11), которая определила особенности этих орбит своей гравитацией. Она – ничем более не известная Планета 9 – должна для этого улетать на максимальное расстояние от 400 до 800 а.е. от Солнца и иметь массу около пяти масс Земли. «Предложили» означает построили компьютерную модель, внутри которой сэр Исаак Ньютон распоряжается совместным поведением группы тел в далекой области Солнечной системы, из чего в результате видно, что при некоторых предположениях об орбите Планеты 9 ее гравитационное влияние примерно так и выстраивает орбиты этих тел, даже если вначале они были распределены каким-то случайным образом. Орбита самой «девятки» извлекается отсюда в довольно приблизительном описании; а в какой части этой орбиты планета находится сейчас, не может быть известно в принципе – поэтому неизвестно, куда смотреть, чтобы ее обнаружить. Этим ситуация, развивающаяся на наших глазах, отличается от истории с открытием Нептуна. Отличаются, кроме того, постановка задачи и метод рассуждений: ищется не причина аномалии, а, наоборот, причина «повышенной регулярности». И доверие к математическому подходу для поиска причины несравнимо с тем, которое только пробивало себе дорогу во времена Леверье: гипотеза Брауна и Батыгина широко обсуждается, предлагаются (как и полагается в науке, где скепсис – основа долгосрочного здоровья) альтернативные модели разной степени успешности, а планету тем временем ищут. Слабость отраженного света, испускаемого таким небольшим телом на столь большом расстоянии от Солнца, делает задачу его нахождения на фоне звезд поистине сложным испытанием для инструментов и методов наблюдательной астрономии. Дальнейшие вопросы возникнут, когда (если) Планету 9 найдут: каким образом такая планета смогла оказаться на такой далекой орбите? Как/где она сформировалась, притом что строительного материала в такой далекой области, судя по всему, недостаточно? (Пришла от другой звезды? Мигрировала из внутренних областей Солнечной системы? …?) На вопросы о причинах различных совпадений придется отвечать как-то иначе, если Планету 9 так и не найдут. И ее, наверное, перестанут активно искать, если появится радикально лучшая гипотеза, объясняющая «излишнюю упорядоченность» далеких орбит.

Мне бы хотелось, чтобы Планета 9 была обнаружена примерно в момент выхода этой книги из печати.

*****

Тайна первой планеты. Не все аномалии или другие особенности в наблюдаемом движении объясняются влиянием гипотетических новых тел, таких как Нептун или Планета 9. Очередное расхождение между наблюдениями и теорией возникло в середине XIX в. не на дальних рубежах Солнечной системы, а в непосредственной близости к Солнцу. В 1859 г. не кто иной, как Леверье, анализируя наблюдения за прошедшие полтора века, заметил, что Меркурий – первая планета от Солнца – движется по кеплерову эллипсу с небольшой неувязкой: сам этот эллипс медленно поворачивается, как это с огромным преувеличением показано на рис. 3.12. Причина или причины? Некоторые были известны Леверье: влияние других планет и несферичность Солнца. Самый точный, какой только был возможен, учет этих факторов сократил неувязку, но не убрал ее. Оставались лишние – никак не объясненные – 43′′ (угловые секунды) в столетие. Я боюсь и пытаться вообразить, как должен был себя чувствовать человек, чуть более десяти лет перед тем уже выследивший неизвестную планету на самом краю (как тогда считалось) Солнечной системы, когда теперь ему в руки верно шла еще одна, на этот раз в тесном соседстве с Солнцем; с каким замиранием сердца он должен был проверять свои вычисления, по которым предстояло обнаружить планету Вулкан! По удивительному стечению обстоятельств такие вычисления хорошо «сходятся» к вполне определенному результату, подсказывая массу планеты около трех масс Земли и период ее обращения вокруг Солнца в трое суток. Быстрая и горячая планета⁷⁷.

Орбита Меркурия – не эллипс, а поворачивающийся эллипс

Но испытанный прием – невидимая масса, которая сама движется таким образом, что вызывает наблюдаемую аномалию в движении Меркурия, – не сработал. Ничего похожего на планету или даже на рассеянные в близкой окрестности Солнца более мелкие тела обнаружено не было. Но что еще может портить прекрасную общую картину лишь для одной планеты, причем без внешнего вмешательства? Откровенно говоря, далее я рассуждаю не очень честно – задним числом, зная ответ. И тем не менее: самая близкая к Солнцу планета автоматически и самая быстрая, и в качестве виновницы аномалии можно было бы заподозрить скорость – достаточно большую, чтобы закон тяготения Ньютона требовал каких-то поправок. Правда, данных маловато. Если бы быстрых планет в Солнечной системе было несколько, то, вероятно, можно было бы сопоставить скорости поворота их эллипсов и скорости движения самих планет и отсюда сделать какое-то предположение о характере зависимости одного от другого. Получилось бы что-то вроде законов Кеплера – выжимка из наблюдений без углубления в механизмы, говорящая, что в зависимости от скорости планеты эллипс поворачивается вот на столько. Удалось ли бы внести зависимость от скорости в формулу собственно закона тяготения – большой вопрос. Как бы то ни было, других быстрых планет в Солнечной системе не нашлось, а никакие иные эксперименты по быстрому движению в гравитационном поле доступны не были. Разрешение загадки пришло не из наблюдений, а из очень концентрированных рассуждений, в результате которых ньютоновский закон тяготения (1.1) подвергся модификации, причем серьезной. Это случилось через 40 лет после смерти Леверье, для которого тайна Меркурия так и осталась неразгаданной. Новая, более изощренная теоретическая схема называется «общая теория относительности» (она же – теория гравитации Эйнштейна). Мы отложим подробности до позднейших прогулок; сейчас нам важно, что Меркурий, в отличие от Урана, нельзя было «спасти» неизвестным Вулканом и вместо этого пришлось серьезно модифицировать наши представления о том, как работает гравитация.

*****

Несогласное вращение. Идея о наличии во Вселенной невидимого вещества, которое выдает себя движением видимого, заявляла о себе на протяжении большей части XX в., только от нее долго отмахивались. На этот раз речь идет о расстояниях, в миллионы раз превышающих размер Солнечной системы, да и масштабы происходящего – не пара планет. Невидимая материя присутствует не в каком-то одном месте, а практически везде, где есть что-то видимое, причем неведомой и невидимой материи раз в пять больше, чем ведомой и видимой. Это поучительный момент в истории нашего открытия мира. Первые наблюдения в телескоп (Галилей) обнаружили подробности устройства небес, до того даже не предполагавшиеся (спутники Юпитера, например). Инерция человеческого восприятия и деления явлений на «естественные» (понятные) и «неестественные» (непонятные) даже породила в тот момент дискуссии, в какой степени наблюдаемое в телескоп можно отнести к свойствам самого телескопа. Далее выяснилось (Ньютон), что и яблоко, и Луна – вещь обыденная и вещь небесная – подчиняются одним и тем же законам движения и тяготения. После этого средства наблюдений за «небом» (Вселенной, как с этого момента лучше говорить) безостановочно совершенствовались, сообщая нам о многообразии структур и явлений, которые иногда не видны в обычный оптический телескоп, но ярко проявляют себя в других частях электромагнитного спектра. Дискуссии о том, до какой степени наблюдаемое с помощью радиотелескопа «является свойством радиотелескопа», уже не затевались, даже в связи с широко распространившейся «фотографией» черной дыры (рис. 3.13)⁷⁸. Казалось бы, мы научились неплохо видеть, что происходит во Вселенной, и при этом нам в общем понятно, чем она наполнена; в результате трехсотлетнего развития науки вся Вселенная выглядит доступной наблюдению и изучению (про сложные объекты в ней понятно, конечно, далеко не все, но по крайней мере ясно, что это за объекты и в каком направлении надо их изучать дальше). И тем не менее Вселенная в подавляющей степени состоит из того, что увидеть нельзя в принципе. «Небесное» в основной своей массе состоит не из того же, что и вещи вокруг нас, и даже не из того, что звезды или более диковинные, но так или иначе видимые объекты.

По крайней мере, мы так думаем, пытаясь объяснить движение того, что наблюдать можно и что мы научились наблюдать. Ключ к происходящему – галактики. Та материя, которую мы в состоянии видеть в телескопы (включая радио- и другие виды телескопов), не распределена во Вселенной равномерно, а собрана гравитацией в гигантские острова – галактики. В нашей галактике Млечный Путь находится Солнце; кроме него, там еще сотня (или несколько сотен) миллиардов звезд. Все это образование имеет плоскую форму (с разнообразными подробностями, которые мы опускаем) и в первом приближении представляет собой диск диаметром около 100 000 световых лет. Стоит представить себе, во сколько раз это больше Солнечной системы. Если провести границу Солнечной системы не там, где «Вояджер-1» недавно вышел из сферы доминирования солнечного ветра в спину и начал встречать галактический ветер в лицо, а взять, например, расстояние, на которое уходит от Солнца орбита транснептунового тела 2014 FE₇₂ – куда «Вояджеру-1» лететь еще 700 лет, – то Галактика окажется больше Солнечной системы примерно в миллион раз.

Галактик много. Сравнительно близкая Андромеда находится от нас на расстоянии 2,5 млн световых лет, а одна из очень далеких – галактика MACS0647-JD – на расстоянии 13,3 млрд световых лет. Число галактик в наблюдаемой Вселенной оценивается в два триллиона (примерно десятая часть которых в принципе доступна наблюдению с помощью космического телескопа типа «Хаббл»). Среди галактик есть дисковые (их больше всего) – те, в которых в качестве основной структуры усматривается относительно плоский диск. Дисковые галактики не обязательно спиральные, как наша, бывают еще линзовидные (рис. 3.14). Но как бы то ни было, в дисковых галактиках звезды «организованным образом» обращаются вокруг центра масс всей галактики. С этим-то и проблема.

Как всегда, чтобы что-то обращалось вокруг центра, а не улетало прочь, требуется сила, направленная к центру. В космосе нет других вариантов для такой силы, кроме гравитации – в данном случае притяжения ко всему тому веществу (звездам и газу), которое в галактике имеется. Для какой-нибудь выбранной звезды или группы звезд притяжение «к центру» примерно обеспечивают все остальные звезды, находящиеся ближе к центру/оси вращения, чем данная звезда. Величина этой силы на разных расстояниях от центра определяется поэтому распределением вещества по галактике. Не сразу, но постепенно в течение XX в. появились средства измерения двух разных величин: скоростей, с которыми звезды участвуют во вращении, и количества вещества в галактиках на разных расстояниях от центра. Определяя их независимо, разумно проверить, всё ли сходится с законами Ньютона: действительно ли массы столько, что ее суммарного притяжения как раз хватает, чтобы поддерживать обращение с наблюдаемой скоростью. Результат: не сходится, причем сильно. Звезды движутся слишком быстро. Можно еще сказать, что наблюдается «нехватка гравитации»: ее недостаточно для поддержания наблюдаемого движения. И происходит это не в одной или нескольких галактиках, исследуемых на одном и том же телескопе (где могли бы закрасться какие-то систематические ошибки), а во множестве галактик. И не только внутри галактик: еще до того, как появилась возможность сопоставлять одно с другим внутри галактик, наблюдались слишком большие скорости самих галактик в скоплениях – слишком большие в том же смысле, что для поддержания такой скорости недостаточно видимого вещества. Движение в космосе упорно демонстрирует аномалию.

Звезды в галактиках обращаются быстрее, чем это могут обеспечить видимые причины

Со времен аномалии Урана наука стала более искушенной в оценке возможных способов разрешения таких ситуаций, но базисных вариантов все равно три: неправильные наблюдения, невидимые части мира, неправильная теория. Временно назовем эти варианты «ошибка», «нептун» и «меркурий». С «ошибкой» все понятно. В отношении обращения звезд вокруг центров галактик слишком много независимых данных говорит не просто о несоответствиях, но и о том, что они наблюдаются повсеместно, и возможную ошибку в наблюдениях уже несколько десятилетий едва ли кто обсуждает. Вариант «нептун» – это разрешение аномалии за счет угадывания того, какая часть или особенность мира, доселе невидимая или неизвестная, является ее причиной. В данном случае речь идет не об одной пропущенной планете в одной звездной системе, а о чем-то, проявляющем себя систематически и повсюду. Поэтому требуется угадать такое неизвестное, которое широко распространено, но – вот же чудо! – никак иначе себя не проявляет. Наконец, вариант «меркурий» – это признание неадекватности теории. Ведь в данном случае мы усматриваем несоответствие, не просто сравнивая наблюдения, одно из которых говорит, что предмет синий, а другое – что он красный; нет, сопоставляя наблюдения разных величин, мы опираемся на теоретическое знание о связи между ними. Что, если это знание требует уточнения?

Вообще-то, как уже было сказано мимоходом, на смену закону тяготения Ньютона пришла более общая схема – общая теория относительности. Но некоторая ирония состоит в том, что построенная там теория гравитации практически неотличима от ньютоновской для таких гравитационных полей, которые создаются совокупной массой галактики ближе к ee периферии, где и наблюдаются основные несоответствия. В тех физических условиях, которые применимы к обращению звезд в галактиках, закон гравитации Ньютона не подвергся сколько-нибудь значимому уточнению в рамках общей теории относительности. Если с теорией гравитации все-таки предстоит что-то сделать для разрешения проблемы со скоростями звезд в галактиках, то это будет заход с несколько иной стороны, чем общая теория относительности.

Выбор между двумя возможностями для приведения знаний в соответствие с наблюдениями – новая, неизвестная материя или модификация теории гравитации на больших расстояниях – не решен «окончательно окончательно», но все более склоняется в сторону неизвестной материи. С одной стороны, модификация теории гравитации оказалась делом сложным – и вообще сложным, и особенно сложным ввиду того, что в масштабе Солнечной системы, от Меркурия до облака Оорта, никакая починка имеющихся воззрений не требуется; наоборот, надо оставить все как есть, потому что там ничего не сломано – все работает очень хорошо. Улучшать же работающую теорию непросто, потому что делать это надо систематически (подправленная теория не может по нашему выбору действовать в этих двух галактиках и не действовать в трех других), но при этом нельзя испортить колоссальное число случаев, где никакого улучшения не требуется⁷⁹. С другой стороны, свидетельства в пользу неизвестной материи изобильны. С этой гипотетической материей имеется, по существу, только одна, но зато серьезная проблема: она должна из чего-то состоять и это что-то должно быть обнаружено напрямую – не по косвенным данным обо всех наблюдаемых аномалиях, а примерно так, как обнаруживают элементарные частицы, рождающиеся в ускорителях или космических лучах. Этого сделать пока не удается. Мы продолжаем считать, что эта неизвестная материя сложена из принципиально иных типов элементарных частиц, чем все нам известные.

Темная материя отделена от света

Она получила название «темная материя» – не самое удачное, но тут уж ничего не поделаешь. Смысл названия не в том, что она «имеет черный цвет», а в том, что эта материя (если угодно, вещество) не взаимодействует со светом. Она не поглощает и не излучает (и тем самым не отражает) свет. Скорее можно было бы назвать ее «прозрачной», хотя о прозрачном на бытовом уровне мы думаем как о чем-то, что в целом видно, но хорошо пропускает свет. Впрочем, я подозреваю, что многие хоть раз наталкивались на стеклянную дверь или стену; но на темную материю и натолкнуться нельзя, потому что твердость твердых тел вокруг нас имеет электромагнитную природу, а как раз в электромагнитном взаимодействии темная материя не участвует. Темная материя полностью «отвязана» от света – ее ни в каком смысле, кроме гравитационного, не «видно» и не «ощущается». Слегка парадоксально, но ближайший пример чего-то хорошо известного, что ведет себя похожим образом, – это сам свет. Два луча света проходят один сквозь другой не взаимодействуя (если не рассматривать случаи колоссальной интенсивности, которые все-таки представляют собой некоторую экзотику). Нельзя посветить прожектором и по отраженному или поглощенному свету узнать, что луч по дороге пересек луч другого прожектора или, скажем, радиоволну. В точности та же ситуация – никакого отклика – имеет место, если вместо луча второго прожектора в пространстве находится темная материя.

Кстати, что она делает, когда где-то «находится»? Только что приведенную аналогию со светом (смысл которой был в отсутствии взаимодействия) не надо воспринимать буквально: частицы темной материи не летают как свет. Судя по ряду косвенных данных, их скорости (относительно видимого вещества) сравнительно невелики. На своем жаргоне физики выражают это словом «холодная». Именно модель эволюции Вселенной, в которой с очень ранних пор имеется холодная темная материя, лучше всего объясняет, как происходило развитие от плотной горячей расширяющейся Вселенной (Большой взрыв) к современному состоянию. «Холодная» – это жаргон в квадрате, потому что темная материя, по всей видимости, как раз лишена возможности остывать. Когда облака обычного газа в космосе нагреваются – скажем, от гравитационного сжатия или внутреннего трения, – они могут остывать, излучая свет (электромагнитные волны), буквально как любая железка, которую вы захотите нагреть докрасна или даже добела на огне. Материя, оказавшаяся достаточно близко к черной дыре, разогревается за счет трения и светится (рис. 3.13 – это картина радиоволн, испущенных такой нагретой материей). Но то обычная материя. Темная же материя, по-видимому, лишена возможности тереться сама о себя и соединяться в какие-либо структуры, потому что все эти процессы основаны на взаимодействиях, в которых она не участвует. Заодно с «отвязанностью» от электромагнитных волн/света она, скорее всего, лишена и сколько-нибудь значимого взаимодействия сама с собой – кроме, разумеется, гравитационного. Темная материя – это облака проходящих друг через друга частиц, собранных вместе собственным притяжением. Частицы долетают до периферии облака, пока его общая гравитация не возвращает их обратно. Картина получается малоинтересной для нас, избалованных разнообразным структурированием материи (протоны и нейтроны, атомные ядра, атомы и бесчисленные их соединения), но, как выясняется, она совершенно необходима для существования структур, милых нашему глазу. Каждая (почти каждая) галактика, светящаяся в оптическом, и/или радио-, и/или рентгеновском диапазоне, окружена сферическим «облаком» примерно в десять раз большего размера, состоящим из темной материи. Это облако обеспечивает притяжение, позволяющее звездам в галактиках обращаться вокруг центра с должной быстротой. Оно называется гало темной материи. Для ряда галактик даже удается экспериментально определить форму гало, например степень его эллиптичности. Гало изображено на рис. 3.15; я хочу подчеркнуть, что этот рисунок по смыслу (и, само собой, по предмету) существенно отличается от рис. 3.13: там невидимое глазом восстановлено по результатам (радио)наблюдений, здесь же изображено то, чего нельзя увидеть в принципе ни радио-, ни оптическим, ни рентгеновским телескопом (а то, что можно увидеть, – светлое вещество галактики, наоборот, показано лишь условно).

Организация темной материи определяется движением и гравитацией

Изменение наших взглядов на состав Вселенной оказалось вполне драматическим: основными элементами, из которых «собрана» наблюдаемая Вселенная, являются не видимые галактики – космические острова из гигантского числа протонов, нейтронов и электронов в виде звезд или газа, а именно гало темной и, по-видимому, бесструктурной материи, подчиняющейся только одному – гравитации. Когда мы говорим о предстоящем столкновении Млечного Пути и Андромеды, и не просто говорим, а пытаемся моделировать процесс этого столкновения, мы, конечно, принимаем в расчет темную материю, которая движется вместе с каждой из галактик. Еще правильнее постепенно привыкать высказываться так, чтобы сначала называть главное: это два скопления темной материи движутся навстречу друг другу, прихватив с собой немного видимого вещества; по этому последнему мы и определяем скорость любой галактики относительно нашей.

Существенная поддержка идеи о наличии темной материи пришла из нашего понимания эволюции Вселенной. Как и всё во Вселенной, галактики существовали не всегда, а собрались под действием притяжения – по сути, собственного притяжения: случавшиеся неоднородности в виде скоплений вещества притягивали к себе больше вещества, отчего притягивали сильнее и т. д. Увы – или, наоборот, не увы, – моделирование такого процесса не очень согласуется с наблюдаемой картиной: для собирания обычной, светлой материи в галактики просто недостаточно времени, прошедшего после Большого взрыва. Для того чтобы за отведенный срок галактики успели собраться примерно так, как это наблюдается, необходима «лишняя» материя в дополнение к той, которую мы тем или иным образом видим. Более того, чтобы «уложиться в график», эта дополнительная материя должна начать гравитационное «кучкование» еще до того, как видимую материю перестало распирать высокое давление (как удачно, что темную материю ничто не распирает!). Обычная материя затем «падает» в гравитационные ямы, уже подготовленные темной материей, – собирается к центрам притяжения, заодно дополнительно усиливая их притяжение.

Без темной материи не успели бы сформироваться галактики

И это еще не все. Не только вещество (как мы только что выяснили: видимое и невидимое) не распределено во Вселенной равномерно, а собрано в галактики, но и галактики не распределены равномерно: скопления галактик собраны в «нити» длиной в несколько сотен миллионов световых лет. Их разделяют самые уединенные места во Вселенной – гигантские пустоты, где почти нет галактик. Нити (красивее звучит калька с английского «филаменты») – это факт наблюдательной астрономии⁸⁰, но их образование неплохо моделируется в рамках имеющихся представлений о холодной темной материи. Наши идеи об организации Вселенной на самых больших масштабах представлены на рис. 3.16, и темная материя играет определяющую роль в формировании изображенной там структуры. Если все же окажется, что причина немалого числа явлений, указывающих на наличие темной материи, – не какая-то неизвестная материя, то я бы ожидал сопутствующую этому радикальную смену парадигмы (научную революцию, сравнимую с появлением специальной и общей теории относительности). Обычно такие изменения в фундаменте нашего понимания природы начинаются откуда-то «сбоку». Но в любом случае эта история погружения в глубину мира (вот уж буквально в невидимое) началась с наблюдения за движением.

Добавления к прогулке 3

Кеплер и вселенные. Сейчас мы знаем, что «четвертого закона Кеплера», который определял бы размеры орбит планет в Солнечной системе, не просто нет, но и быть не может. Но Кеплер встретился лицом к лицу с Солнечной системой в тот момент, когда не вполне ясны были сами правила игры: какие из наблюдаемых свойств мира непосредственно отражают первопринципы и потому подлежат угадыванию, а какие нет? Успехи человечества в поиске законов природы опираются среди прочего на способность людей видеть закономерности даже там, где их нет; иначе не найти те, которые есть. Кеплер пытался протянуть нить от математики к известному ему миру, начав с пяти правильных многогранников (рис. 3.17). Взятые в каком-то порядке и вписанные между шестью сферами, они задают относительные радиусы этих сфер по неоспоримым, неотменяемым математическим причинам (см. рис. 3.2). Не проявляют ли себя эти же причины – некоторая математическая гармония, находящая свое выражение в существовании Пяти платоновых тел, – в орбитах Шести планет?

В действительности конкретные расстояния от планет до Солнца и соотношения между этими расстояниями не определяются напрямую фундаментальными принципами, а устанавливаются под действием многих случайных факторов в ходе эволюции планетной системы. Со времен Кеплера довольно сильно сместилась граница между «проявлением фундаментальных первопринципов» и (в том или ином варианте) «игрой случайностей». Сейчас она проходит в нескольких местах, одним из которых стал вопрос, почему мировые константы – скорость света (см. главу «прогулка 5»), постоянная Планка (см. главу «прогулка 9»), гравитационная постоянная (см. главу «прогулка 1»), заряд электрона и другие – именно таковы, а массы элементарных частиц в точности такие, как наблюдаются (этот вопрос «слегка некорректен» в отношении размерных величин, вроде только что перечисленных, но никак уже нельзя придраться к постановке того же вопроса про их безразмерные комбинации). Существует ли математика – посложнее платоновых тел, но в некотором роде такая же, – которая могла бы их фиксировать? Или их значения – дело случая в том смысле, что они как-то распределены по очень большому числу разных вселенных, а мы просто возникли в одной из них? Напрашивается параллель с временами Кеплера: пока познание было заперто в пределах одной планетной системы, а действующие в ней механизмы причин и следствий были неясны, все ее отличительные черты можно было принимать за единственно возможные. Однако взгляд «наружу» (как и взгляд «вглубь», в причины и следствия) быстро показывает, что детали каждой из планетных систем достаточно случайны и не могут однозначно определяться фундаментальными законами природы. Но эта аналогия небезобидна, ведь мы заперты внутри одной-единственной вселенной, и способов выглянуть из нее наружу и познакомиться с другими вселенными не просматривается. Аргументы, вовлекающие другие вселенные, при всей своей способности будоражить воображение, опасно близки к традиционно понимаемым границам науки, которая имеет дело с тем, что воспроизводимо, и выводы которой должны допускать принципиальную возможность опровержения при столкновении с наблюдениями. За неимением взгляда «наружу» остается взгляд «вглубь», в теоретические построения по поводу самых фундаментальных механизмов, но состояние наших знаний на данный момент не позволяет прийти к сколько-нибудь однозначным выводам; интерпретации теоретических схем неизбежно смешиваются тут с некоторым философским выбором.

Орбиты-подковы. Механизм обмена количеством движения, который с завидным постоянством демонстрируют Янус и Эпиметей, должен был проявлять себя в молодой Солнечной системе, пусть и не с установившейся регулярностью, но в ситуациях иного масштаба и с намного более серьезными последствиями: большие планеты могли исходно сформироваться не на тех орбитах, которые они занимают сейчас, а потом мигрировать, обмениваясь количеством движения. Для небесных тел сравнимой массы изменения их орбит при этом взаимны; но если подобное происходит с двумя телами, одно из которых массивное, а другое – очень легкое, то вся «суета» выпадает на долю легкого.

Наша собственная планета, например, управляется своей гравитацией с несколькими астероидами, заставляя их менять орбиту. Происходящее иногда описывают словами «подковообразная орбита»; такая орбита показана на рис. 3.18. Хотя орбита такого астероида, очевидно, некеплерова, из рисунка ни в коем случае не следует заключать, что он летает вокруг Солнца «то вперед, то назад», реально описывая контур подковы. Всю картину надо рассматривать так же, как рис. 2.4: она вращается против часовой стрелки вокруг Солнца. Астероид догоняет Землю, находясь на орбите меньшего радиуса вокруг Солнца, и в точке A притяжение Земли делается существенным, из-за чего, как мы уже не раз обсуждали, астероид переходит (B) на более далекую от Солнца орбиту (C) и замедляется. При этом, конечно, он продолжает вращение вокруг Солнца и никогда не движется буквально в радиальном направлении A – C: радиальным это направление выглядит только с точки зрения астронома на Земле, в действительности же, пока астероид добирался из A в C, вся картинка повернулась как целое и астероид вместе с Землей пролетел заметный участок орбиты вокруг Солнца. Выбравшись на более далекую орбиту, астероид начинает отставать от Земли: оба продолжают, разумеется, вращаться вокруг Солнца, но астроном на Земле видит, что астероид удаляется от него, пройдя точку C и отставая все сильнее: его расстояние от Земли увеличивается, что с точки зрения астронома выглядит как возвратное движение по подкове. Это удаление от Земли происходит медленно, потому что оно определяется разностью двух скоростей, и оба тела успеют сделать немало оборотов вокруг Солнца (другими словами, успевает пройти много лет), пока астероид отстанет на почти полный оборот. Астроном на Земле (или, скорее, его внук) обнаружит астероид в точке D, начиная откуда события будут развиваться противоположно тому, как это описано в мемуарах деда: Земля, в действительности догоняя астероид, тянет его к себе, отчего тот переходит на более близкую к Солнцу и более быструю орбиту и, пройдя точку E, получает прибавку в скорости и начинает удаляться от Земли. Скорость удаления – это снова разность скоростей астероида и Земли. Обгоняя Землю в ее движении, астероид в конце концов обгонит ее почти на целый оборот, сменившиеся поколения астрономов обнаружат его в точке A относительно Земли, и история повторится.

Рис. 3.18. Подковообразная орбита астероида. Такой она выглядит для астронома с Земли, который решил считать себя неподвижным. Вычерчивание астероидом всей подковы может занять пару сотен лет. Параметры подковы показаны с огромным преувеличением по сравнению с расстоянием от Солнца до Земли: в действитель-ности внутренний и внешний радиусы подковы различаются на несколько тысячных долей радиуса земной орбиты

Подкова описывает переходы между более внешней и более внутренней орбитами

Подобное движение может оказаться более сложным, если орбита астероида наклонена по отношению к плоскости орбиты Земли и/или если эллипс, по которому пытается лететь астероид, пока в дело не вмешивается Земля, более вытянут, чем (почти круговая) орбита Земли; движение определенно оказывается более сложным из-за притяжения Венеры, ведь значительную часть времени астероид находится далеко от Земли, предоставляя соседней планете все возможности влиять на себя настолько, насколько она дотянется своей гравитацией. В результате тела на подобных орбитах могут демонстрировать поведение, которое сочетает несколько элементов и в целом оказывается не очень устойчивым: пробыв на «подкове» какое-то время, астероид может перестать исполнять этот танец. Выявление же небесных тел, реально движущихся подобным образом, – непростая задача, не только наблюдательная, но и вычислительная: не желая ждать пару сотен лет, пока какое-то тело без спешки догонит (или не догонит) Землю на орбите, а потом начнет (или не начнет) отставать, мы просим компьютер узнать, как же будут развиваться события, предварительно сообщив ему (компьютеру) все подробности, которые нам самим известны о ключевых участниках событий. Но для успеха ньютоново-компьютерных предсказаний требуется не только учет притяжения Венеры или даже Марса и Юпитера, но и точные измерения дуги текущей траектории, по которой движется тот или иной астероид. Тел, движущихся по орбитам, близким к земной, известно около двух десятков. Например, астероид 2015 XX₁₆₉ (камень с поперечником едва ли в 20 метров) после своего максимального сближения с Землей в декабре 2015 г. в течение не менее одного года менял свою орбиту в сторону увеличения и собирается совершить обратный переход примерно через 130 лет – неспешная манера рисовать подкову. Заниматься этим он будет, скорее всего, еще несколько тысяч лет. Этот астероид, собственно говоря, «не может определиться» между двумя классами орбитального поведения близких к Земле тел, пересекающих орбиту Земли. Сейчас он переходит в класс тех, чьи орбиты имеют большую полуось, несколько превосходящую земную, но, наоборот, подходят ближе к Солнцу, чем Земля, в точке максимального приближения. Представителем этого класса было и тело, ставшее челябинским метеоритом 15 февраля 2013 г.

Пояс Койпера и мифология. Первый открытый транснептуновый объект, не считая Плутона и Харона, долгое время фигурировал под рабочим названием 1992 QB¹, которое присвоили ему первооткрыватели (энтузиаст исследования занептунщины Дэвид Джуитт и его аспирантка Джейн Лу, работавшие в Обсерватории Мауна-Кеа на Гавайях). Та часть имени, которая идет после года открытия, читается примерно как «кьюбиван»; нерезонансные транснептуновые объекты иногда называют «кьюбивано» (мн. ч.) – cubiwano, что несколько созвучно с Оби-Ваном (Кеноби). Большинство идентифицированных транснептуновых тел фигурируют под обозначениями типа 2002 TX₃₀₀, которые ближе к C3PO, чем к «настоящему» имени, но некоторые получают и полноценные имена, такие как Хаумеа. Для нерезонансных объектов из пояса Койпера по быстро установившейся традиции имена стали заимствоваться из мифологии коренных народов; например, Квавар (первоначально известный как 2002 LM₆₀) – это бог-творец мира у народа тонгва, исходно обитавшего в районе современного Лос-Анджелеса; Хаумеа происходит из гавайской мифологии, Макемаке – с острова Пасхи. Первый кьюбиван 1992 QB¹ получил также название Альбион по имени изначального (!) человека в мифологии Уильяма Блейка. Все время хочется проделать параллельный экскурс в этнографию. Это упражнение можно превратить в совсем сумасшедшее, если попробовать связать общим сюжетом богов самых разных народов – с довольно разными, наверное, характерами и историями деяний, – руководствуясь тем, что они летают где-то по соседству друг с другом. Троянцы и греки поблекнут.

Признания и литературные комментарии

Видимая материя во Вселенной, в противовес темной, называется барионной, что несколько неуклюже напоминает о том, что ее массу почти целиком составляют протоны и нейтроны. Написание фамилии Эйри, а не чуть более приближенное к английскому звучанию Эри отражает мое воспитание: «функция Эйри» Ai постоянно на слуху. Впрочем, редакторам русского перевода книги ⁸¹ точно такая же осведомленность о функции Ai не помешала проявить принципиальность, и у них везде [сэр Джордж] Эри. После системы звезды TRAPPIST-1 был найден еще один замечательный пример резонансных орбит: пять из шести планет TOI-178 движутся в резонансе 12: 9: 6: 4: 2⁸² (это, кстати, одно из дополнений, сделанных научным редактором Владимиром Сурдиным, который заодно решительно не одобряет моего «Эйри»). Взаимоотношения Януса и Эпиметея обсуждались в статье⁸³, а Талассы и Наяды – в⁸⁴. Астероид 2015 XX₁₆₉, орбита которого близка к орбите Земли, описан вместе с двумя другими астероидами в⁸⁵. Рисунок 3.15 взят с сайта https://medium.com/starts-with-a-bang/dark-matter-rises-to-its-biggest-challenge-6aa4991572f6, где он приведен со ссылкой на NASA, ESA, T. Brown and J. Tumlinson (STScI). Уникальный набор резонансов, установившихся среди планет TRAPPIST-1, положен на музыку, которую можно услышать здесь: https://youtu.be/WS5UxLHbUKc (а на сайте https://system-sounds.com можно найти музыкальные интерпретации и других частей Вселенной). Схема на рис. 3.4 позаимствована из⁸⁶. Из той же работы взято замечание о массе и периоде обращения Вулкана, на которые мог бы указывать поворот перигелия Меркурия.

Наблюдательные данные о прецессии перигелия Меркурия, приведенные в⁸⁷, показывают, что полный эффект составляет 574,10′′ ± 0,65′′ (угловых секунд) в столетие. Из них 532,3035′′ и в самом деле удается объяснить влиянием других планет, 0,0286′′ – несферичностью Солнца и небольшие –0,0020′′, как известно сейчас, но не в XIX в., – эффектами специальной теории относительности. Не хватает упрямых 43 угловых секунд (42,9799′′). Они и описываются теоретическим выражением, которое нельзя вывести из ньютоновской теории (см., например,⁸⁸, где не только приведен вывод, но и обсуждаются разнообразные сопутствующие аспекты): за один оборот планеты ее эллипс поворачивается на

Здесь v – скорость планеты в точке максимального приближения к Солнцу, c – скорость света, а ε – эксцентриситет орбиты, равный для Меркурия 0,2056. Числовая дробь (третий множитель) поэтому равна 2,064. Скорость v составляет 58,98 км/с, так что отношение скоростей в квадрате дает не очень большое число 3,87 × 10^–8. Чтобы найти поворот орбиты за один земной год, надо еще умножить все выражение на 4,15 – отношение периодов обращения Земли и Меркурия. Когда Эйнштейн получил из теории в точности ту поправку, которой и не хватало, он, по его собственным словам, «несколько дней был вне себя от восторга».

Движение на прогулке 3

Движение видимых частей Вселенной – способ систематического получения информации о невидимых и неизвестных частях. Планета Нептун в Солнечной системе была предсказана, а затем открыта в середине XIX в. исходя из аномалий в движении известной планеты – Урана. В XXI в. планеты у других звезд открывают по наблюдаемому движению самой звезды, вызванному существованием планет; из этого движения иногда удается узнать даже о существовании планет, похожих на Землю.

Обращение звезд вокруг центра масс своих галактик во множестве случаев оказалось аномально быстрым для наблюдаемого в этих же галактиках количества вещества, притяжение которого должно обеспечивать движение звезд. Наблюдения такого рода привели к идее о существовании во Вселенной невидимого вещества (темной материи) в количестве, в несколько раз превышающем количество известной материи. Предположительные гало темной материи в несколько раз превосходят по размерам видимую часть галактик и образованы частицами, связанными между собой только гравитационно. Прямое обнаружение частиц, из которых состоит темная материя, или какой-либо другой способ разрешения загадки вращения звезд в галактиках – один из современных вызовов, стоящих перед наукой о Вселенной.

Планеты, карликовые планеты, астероиды и кометы, движущиеся вокруг Солнца, испытывают воздействие наиболее массивных участников этого движения. Из-за этого возникают регулярности в организации ряда орбит: они оказываются в резонансе друг с другом, т. е. периоды обращения по ним соотносятся как целые числа. Резонансы возникают и в орбитах ряда спутников больших планет; спутники, кроме того, могут периодически «обмениваться» орбитами. Резонансы в организации планетных систем обнаруживаются и у других звезд. Набор регулярностей (корреляций) в орбитах, по которым движутся некоторые транснептуновые тела в Солнечной системе, весьма вероятно, служит указанием на ранее никак не предполагавшееся существование Планеты 9, движущейся по неожиданно далекой от Солнца орбите.

Прогулка 4
Прочь от Кеплера: размер, форма и беспорядок

Маршрут: Ничто не идеально. – Размер имеет значение. – От прилива до разрыва. – Движение откликается на форму. – Спасение эллипсов поцелуями. – Борьба всех со всеми. – Драма для троих.

Главный герой: приливы

Ничто не идеально. Окружности, сферы и шары – идеальные формы идеальных, как когда-то считалось, небес; Кеплер заменил окружности эллипсами, а Ньютон подтвердил вычислениями, что Кеплер угадал все правильно. Но и для Ньютона сферы и шары оказались важными. До сих пор, не всегда произнося это вслух, мы предполагали, что все небесные тела идеально круглые: имеют форму шара или же находятся настолько далеко друг от друга, что их можно считать точками. Именно тогда для одинокой планеты в качестве траекторий движения получаются математически строгие эллипсы (а сама постановка вопроса, как мы уже отмечали, называется задачей Кеплера). В действительности же движение под действием притяжения больших и неровных тел, как и движение крупных тел под действием притяжения любых других, – уже не вечная и идеальная «музыка эллипсов», а меняющийся мир довольно жестких реалий. Земля не идеальный шар, и, хотя на больших расстояниях от нее на это можно не обращать большого внимания, нарушения сферичности заметно проявляют себя в самом ближнем космосе – как раз там, где через два с лишним века после смерти Ньютона в избытке появились разнообразные летающие объекты. Реальная орбита искусственного спутника Земли имеет вид вроде показанного на рис. 4.1. Приходится признать, что это не сильно похоже на эллипс. Форма имеет значение – и в данном случае форма Земли разрушает кеплеровы эллипсы. Но это еще не все. Размер тоже имеет значение – но не для той стороны, которая действует, а для той, которая подвергается действию притяжения. Этот факт имеет два хорошо известных проявления, заметных невооруженным взглядом на берегу океана и при прогулках по Луне.

С размера и начнем.

*****

Размер имеет значение. В лунном небе Земля не восходит и не заходит – висит над путником, гуляющим по Луне, постоянно в одном и том же месте. В качестве компенсации, правда, смотреть на нее не скучно, потому что она вращается вокруг своей оси. Если вы находитесь на Луне, Земля для вас делает полный оборот вокруг своей оси за 24 часа 50 минут, так что вы можете разглядеть ее всю, если вам хватит терпения, тепла и кислорода (и не забудьте запастись всем этим на «лишние» 50 минут). Для вашего удобства она «застыла» неподвижно в одной точке неба. К такому положению вещей вообще-то все давно привыкли – но только наблюдая его с противоположного конца: в земном небе Луна видна всегда повернутой одной стороной⁸⁹. Эта кажущаяся неподвижность – «застывшая» Земля и «не поворачивающаяся» Луна – есть результат движения в «гравитационных объятиях». Сила таких объятий занятным образом зависит от (массы обнимающего и) размера обнимаемого. И объятия взаимны; на Земле они проявляют себя в виде приливов.

Взаимность начинается с взаимности обращения: Земля и Луна, как мы говорили в главе «прогулка 2», движутся вокруг общего центра масс; центр Земли при этом описывает окружность (эллипс, очень близкий к окружности) радиусом около 4600 км. (Полный оборот занимает примерно лунный месяц; это движение никак не связано с вращением Земли вокруг своей оси, про которое временно можно даже забыть.) Но для движения по окружности требуется постоянно тянуть то, что движется, к центру – иначе улетит прочь. Землю и все, что на ней, в данном случае тянет, конечно, Луна. Притяжение Луны сообщает ускорение каждому камню, каждой песчинке и каждой капле воды – всему, что есть на Земле, причем точно такое же ускорение, как если бы камень, песчинка и капля падали на Луну. Падения в буквальном смысле не происходит именно из-за взаимного обращения Луны и Земли; с учетом притяжения самой Земли как раз и получается движение вокруг общего центра масс, но нам сейчас важны подробности того, как действует именно притяжение Луны. Если бы Земля была размером с автомобиль или даже астероид, дальше рассказывать было бы нечего, потому что предмет такого размера притягивается Луной как единое целое. Однако Земля довольно большая и из-за этого притягивается к Луне уже не совсем как единое целое: становится заметным, что разные части Земли находятся на различном удалении от Луны. Ньютонов закон тяготения (1.1) – правило «обратных квадратов» – сообщает нам, что камень, лежащий на ближней к Луне стороне Земли, притягивается с силой примерно на 3,4 % большей, чем притягивается «камень» той же массы в центре Земли, а на дальней от Луны стороне Земли такой же камень притягивается к Луне с силой почти настолько же (на 3,2 %) меньшей, чем в центре.

Эти проценты берутся от силы, которая и сама по себе не слишком велика: в среднем лунное притяжение, ощущаемое на поверхности Земли, примерно в 300 000 раз слабее земного: во столько же раз ускорение в направлении Луны меньше земного ускорения свободного падения g – того самого, которое делает нежелательными прыжки даже со второго этажа, да и подпрыгнуть вверх сколько-нибудь серьезно не позволяет. В действительности влияние Луны на зрелищность прыжков даже еще слабее: когда вы находитесь на Земле и видите Луну у себя над головой, ее вклад в ваш отрыв от поверхности при подпрыгивании определяется разницей в ускорениях, которые Луна сообщает лично вам и центру Земли (Луна норовит оттащить вас подальше от центра Земли). Аналогичная картина имеет место и в том случае, когда вы тренируетесь на противоположной от Луны стороне Земли: там ваше личное ускорение в направлении Луны меньше, чем ускорение центра Земли в том же направлении, и вам тоже немного легче подпрыгивать (центр Земли норовит «уйти к Луне» из-под ваших ног). Ни в том ни в другом случае, однако, у вас нет шансов это почувствовать: чтобы найти разницу между ускорениями, надо взять те самые три с небольшим процента от одной трехсоттысячной, что дает эффект «облегчения» на одну десятимиллионную долю (а одна десятимиллионная от веса человека – это сотая доля грамма; пылинка на одежде может весить больше). Мы не становимся сколько-нибудь заметно легче ни в лунные, ни в полностью безлунные ночи.

Но это не конец истории: Земля достаточно большая еще и для того, чтобы направления на Луну не совпадали в различных точках земной поверхности. До сих пор мы пытались подпрыгивать в подлунной точке и в противоположной ей, «антилунной» точке; силы притяжения к Луне там различаются по величине, но не по направлению. Однако и направления, под которыми Луна видна из различных точек земной поверхности, различаются – сильнее всего для точек на «ободе», проходящем посередине между подлунной и антилунной точками. На рис. 4.2 показаны две такие точки; направление на Луну в каждой из них – не строго «вбок», по касательной к поверхности; оно имеет и небольшую (чуть более полутора процентов) составляющую, направленную внутрь Земли, вдоль радиуса. Из-за этого разбросанные там камни дополнительно прижаты к поверхности Земли – на величину даже меньшую одной десятимиллионной номинальной силы земного притяжения.

В разных частях Земли притяжение Луны различно и по величине, и по направлению

Итак, кроме того, что с подлунной и антилунной сторон имеется эффект «облегчения», посередине между ними возникает эффект «прижимания» к поверхности. Оба – ничтожные, но погодите буквально минуту. Самое главное происходит в переходных областях, где дополнительное «лунное» ускорение, которое получают тела на земной поверхности относительно центра Земли, меняет свое направление с «к центру» на «от центра» (рис. 4.3). На значительном участке земной поверхности камни, песчинки и капли воды испытывают ускорение почти вдоль поверхности – появляется нечто вроде эффекта «поглаживания». Оно очень слабое и не имеет никакого значения ни для отдельного камня, ни для песчинки, ни для капли воды. Но малые эффекты могут складываться в нечто значимое, если воды много: передача давления от одних областей к другим создает эффект «насоса», накачивающего воду в сторону подлунной и антилунной областей, забирая ее из «срединных» областей. Вода – не в озерах или даже морях, которые слишком малы для этого, а в Мировом океане – испытывает силу, толкающую ее вдоль поверхности, по стрелкам на рис. 4.3. Получается почти буквально насос: на двух противоположных сторонах Земли вода нагнетается в горб (прилив), а между ними возникает впадина (отлив).

Один горб обращен к Луне, а другой – в противоположном от Луны направлении. Теперь, наконец, самое время вспомнить, что Земля вращается вокруг своей оси, поворачиваясь к Луне разными сторонами по очереди. Стрелки на рис. 4.3 сохраняют свою ориентацию относительно направления на Луну, но нарисованная под ними окружность вращается, просто потому что Земля вращается вокруг своей оси. Она делает полный оборот за 23 часа 56 минут (и 4 секунды), но это – относительно звезд; Луна же не стоит на месте относительно Земли, делая полный оборот за 27,3 суток, из-за чего Земля поворачивается к Луне в точности одним и тем же образом в среднем каждые 24 часа 50 минут и 28 секунд (Луна и в самом деле восходит каждый день примерно на 50 минут позже, чем накануне). Эти 24 часа и 50 (с половиной) минут составляют период вращения Земли вокруг своей оси для жителей базы на Луне, и за это же время на земной поверхности два приливных горба совершают путешествие вокруг Земли (или, если вам так больше нравится, Земля полностью проворачивается под деформированной поверхностью океана). Примерно два прилива и два отлива в сутки (рис. 4.4)⁹⁰.

Луна обнимает Землю океанскими приливами, и эти объятия тормозят вращение Земли вокруг своей оси⁹¹. За последние примерно 100 лет точных астрономических наблюдений сутки увеличились примерно на одну семисотую долю секунды. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока приливные горбы не перестанут путешествовать, огибая Землю, а для этого продолжительность суток должна вырасти до периода обращения Луны вокруг Земли. Луна тогда будет видна постоянно над одной и той же точкой земной поверхности. Такой «захват» Земли лунным притяжением, впрочем, имеет шанс наступить настолько нескоро, что еще до того на Земле исчезнут океаны из-за возросшей энергии солнечного излучения, а то и погибнет Солнечная система. Но аналогичный захват Луны земным притяжением уже произошел! Все причины возникновения приливов, которые действуют применительно к Земле, действуют и в отношении Луны, только там они сильнее из-за того, что источник этих эффектов – Земля – намного массивнее. Замедление вращения Луны вокруг ее оси происходило до тех пор, пока Луна не перестала поворачиваться «под» двумя приливными горбами, т. е. пока ее вращение вокруг своей оси не синхронизировалось с обращением вокруг Земли. Для этого хватило того времени, пока на Луне имелась жидкая, расплавленная фаза. С тех пор «лунные сутки» и установились равными времени ее обращения вокруг Земли. Луна, другими словами, полностью захвачена гравитационным объятием Земли. Поэтому для того чтобы наблюдать восход Земли – появление ее из-за лунного горизонта, как это делали Борман, Андерс и Ловелл (см. рис. 2.2), требуется лететь вокруг Луны; «сама по себе» Земля над Луной не восходит и не заходит.

Примеры гравитационного захвата наблюдаются в разных местах Солнечной системы. (Карликовая) планета Плутон и ее спутник Харон (рис. 4.5) – не совсем обычный пример планеты и спутника: их радиусы различаются всего в два раза, что несколько приближает эту пару к двойной планете⁹². Это позволило обоим телам гравитационно захватить друг друга. Сутки на каждом сравнялись с периодом обращения (6,387 земных суток – где-то между сутками на Земле и на Луне), и каждое всегда повернуто к другому одной стороной. Полное отсутствие сюжета в 5,9 млрд километров от Солнца; вся пьеса уже сыграна, а мы определенно опоздали на представление.

Юпитер превосходит свой спутник Ио (который сам несколько больше Луны) в 38 раз по размеру (и в двадцать с лишним тысяч раз по массе) и тоже держит его «лицом к себе». Другой спутник Юпитера, Европа (слегка меньше Луны – процентов на десять по размеру и в полтора раза по массе), судя по ряду признаков, имеет под ледовой корой жидкий океан, причем наличие жидкой фазы в отсутствие солнечного тепла объясняется приливным трением в условиях сильного притяжения Юпитера. Время от времени обсуждается идея поискать в этом океане жизнь. Имеется жидкая вода, кое-какие химические элементы и источник тепла – надо ли что-то еще? Возможно, через некоторое время мы узнаем – планы отправить к Европе исследовательский зонд постепенно принимают все более четкие очертания.

*****

От прилива до разрыва. Земля убедительно распорядилась Луной, синхронизовав два вида ее движения. Но возможны и более радикальные решения, примеры которых мы видим у больших (гравитационно сильных) планет в Солнечной системе: они окружены не только спутниками, но и кольцами. Мы тоже могли бы наслаждаться видом колец вместо Луны, если бы она оказалась слишком близко к Земле. Телу относительно большого размера нельзя подходить к другому массивному телу ближе, чем на некоторое критическое расстояние. Да, гравитация только притягивает; но она же, несколько парадоксальным образом, может и разрывать – из-за того что одни части тела (для повышения драматизма будем говорить о Луне) притягиваются сильнее, чем другие. Ближняя к Земле часть Луны испытывает более сильное притяжение к Земле, чем центр Луны, а дальняя часть – более слабое. Спрашивается, почему они не отрываются от центра? Конечно, потому, что Луна держит себя вместе своей собственной гравитацией. Так и происходит с Луной там, где она сейчас находится. Но по мере (воображаемого) приближения к Земле возрастает не только общая сила притяжения к Земле – возрастает еще и разница между притяжением ближних и дальних частей достаточно протяженного тела. На некотором расстоянии от Земли эта разница превосходит собственную гравитацию Луны, что и означает конец Луны как чего-то целого и круглого, превращение ее в обломки, которые летают по отдельности, образуя кольца, если смотреть на все это с должного удаления. Критическое расстояние опасного приближения называется пределом – или радиусом – Роша. Его численное значение можно определить, развив только что высказанные соображения (и вовсю пользуясь законом тяготения Ньютона). Естественный спутник Земли, имеющий размер Луны, если он, как и настоящая Луна, твердый, не может приблизиться к Земле ближе чем на примерно 9500 км и остаться единым целым. Это расстояние и есть предел Роша для системы Земля – Луна. Отсюда видно, что Луне ничего не грозит, потому что летает она на расстоянии в сорок раз большем. Предел Роша для жидкой Луны (а она ведь когда-то была такой) примерно в два раза больше, чем для твердой, но все равно текущая орбита Луны проходит на расстоянии, примерно равном 21 «жидкому» пределу Роша. Луна в полной безопасности!

Гравитация может разорвать на части

Жидкое тело поддается разрыву на большем удалении от центра притяжения, чем твердое: «жидкий» предел Роша больше «твердого» по причине, которую можно выразить фразой «Чем быстрее начинаешь поддаваться, тем скорее проигрываешь». Жидкое тело деформируется, вытягиваясь вдоль направления на притягивающую массу (в точности так, как вода в земных океанах). Но чем больше вытянут спутник в направлении притягивающей планеты, тем заметнее различие между силами притяжения самой близкой и самой далекой его частей. Другими словами, начавшееся удлинение только способствует увеличению разрывающего усилия! Все те тела, которые мы наблюдаем в Солнечной системе в виде тел, а не колец, так или иначе предотвратили свой разрыв, но следы происходивших битв заметны в приливных выступах, которые имеют некоторые спутники, например Харон (см. рис. 4.5): они испытывали приливную деформацию, пока были жидкими, все-таки избежали разрыва благодаря достаточной дистанции от планеты, но сохранили деформацию – приливные горбы, после того как застыли.

В Солнечной системе есть и пары, приближающиеся к рискованному радиусу. Спутники Сатурна, носящие имена Пан, Атлас, Прометей, Пандора, Эпиметей и Янус (два последних мы уже встречали на прогулке 3, когда они без устали менялись орбитами), имеют орбиты, лежащие внутри «жидкого» предела Роша. Даже в сравнении с «твердым» пределом Роша они находятся не слишком далеко от планеты: от менее полутора для Пана до примерно двух пределов Роша для Эпиметея и Януса. Наяда – спутник Нептуна – выделяется орбитой, проходящей в среднем на расстоянии всего 1,39 «твердого» предела Роша (и заведомо внутри «жидкого»). А вот кольца Сатурна (рис. 4.6), традиционно обозначаемые буквами D, C, B, A, F, G и E,⁹³ находятся внутри или (G и E) очень близко снаружи предела Роша для жидких тел, а D и C – даже внутри предела Роша для твердых тел. Если кольца Сатурна не есть результат разрыва когда-то существовавших тел, то это, во всяком случае, ясное свидетельство того, что пребывание ниже предела Роша или вблизи него не позволяет – и никогда не позволит – отдельным кускам собраться вместе под действием своей собственной гравитации, как когда-то собрались имеющиеся планеты и их спутники.

Иногда мне кажется, что астрономы (да и астрофизики) излишне самоуверенны – смело рассуждают не только о вещах далеких и, в общем, не слишком хорошо видных (иначе зачем столько современных ухищрений?), но и о причинах того, что с этими вещами происходит. Но в такие моменты я спрашиваю себя: а как же не стать самоуверенным, если вычисления на бумаге способны предсказать правила игры для самых далеких космических объектов? Предел Роша был вычислен теоретически (в 1848 г.!) исходя из закона тяготения и ряда предположений, но это не «бумажная декларация». Он работает. В июле 1992 г. комета Шумейкеров – Леви 9 пересекла предел Роша, неосмотрительно приблизившись к Юпитеру, и в самом деле была расчленена на несколько фрагментов. Через два года эти фрагменты снова приблизились к Юпитеру, но на этот раз упали на него, что было первым наблюдаемым столкновением (естественных) тел в Солнечной системе. Скорость попадания была высока – близка ко второй космической скорости для Юпитера (59,5 км/с), что сделало событие не только крайне интересным для изучения Юпитера, но и ярким. К сожалению, фрагменты врезались в Юпитер на той его стороне, которая в этот момент не была видна с Земли, и наблюдать моменты удара мог только космический аппарат «Галилео» (который как раз направлялся к Юпитеру, но все еще находился от него на расстоянии большем, чем полтора расстояния от Земли до Солнца). Впрочем, Юпитер быстро поворачивается вокруг своей оси (примерно за 10 земных часов), и места попадания стали доступны наблюдению со стороны Земли буквально через несколько минут⁹⁴. Этот случай привлек внимание к возможной роли Юпитера в поддержании жизни на Земле: гравитационно мощная планета-гигант защищает Землю от астероидов и комет, приходящих из более дальних областей Солнечной системы, перенаправляя их или забирая себе, а затем поглощая (комета Шумейкеров – Леви 9, вероятно, попала в объятия Юпитера и сделалась его спутником за 20–30 лет до своей кончины). Спокойствие на Земле (пусть даже относительное спокойствие, если вспомнить про столкновение, по всей видимости приведшее к вымиранию динозавров) требует наличия довольно мощного «вышибалы», курсирующего на подходящем расстоянии.

На одну комету меньше из-за тесного сближения

В январе 2019 г. космический телескоп TESS (см. рис. 3.8) зафиксировал последствия нарушения предела Роша на расстоянии 375 млн световых лет от нас. Там черная дыра с массой, равной 6 млн масс Солнца, расправилась со звездой предположительно сравнимого с Солнцем размера. Процесс превращения звезды в подобие кольца – яркий диск, вращающийся вокруг черной дыры, – наблюдался в течение 41 суток (этот временной отрезок и характер свечения в первую очередь послужили указанием на то, что причина выделения энергии – не сверхновая)⁹⁵.

*****

Движение откликается на форму. Движение естественных и искусственных спутников, залетевших в гости комет и астероидов, да и чего угодно вблизи планеты (скажем, Земли) определяется тем, как именно эта планета притягивает. Но закон тяготения Ньютона ничего не говорит о том, как притягивает конкретная планета. Собственно, закон тяготения сообщает, как притягивают друг друга две точки, волшебным образом содержащие в себе массы M¹ и M² и разделенные расстоянием R. Таких точек в природе существовать не может: любое количество вещества всегда занимает какой-то объем, а в геометрическую точку нельзя запихнуть никакую массу. По некотором размышлении начинаешь удивляться, что закон тяготения вообще работает, несмотря на настолько нефизическое допущение в его формулировке. В действительности ньютоновский закон тяготения для таких «волшебных точек» работает вместе с предписанием о суммировании. Требуется представить планету, со всеми ее внутренностями, как собрание несметного числа малых кусков – настолько малых, чтобы каждый несильно отличался от точки. Каждый из них находится на своем расстоянии от (например) искусственного спутника, которым мы интересуемся. Притяжения от всех кусков, с учетом массы каждого и расстояния от него до спутника, надо затем сложить. Если все куски достаточно малы, получится неплохое приближение к точному ответу на вопрос о силе притяжения со стороны всей планеты в целом. Если требуется действовать точнее, надо разбивать планету на еще большее число кусков. Точность растет по мере уменьшения размеров всех кусков и одновременного увеличения их количества в разбиении. Такое разбиение и суммирование выполняются практически буквально, когда мы решаем задачу на компьютере; правда, ответ в этом случае получается все равно до некоторой степени приближенным (его точность может нас устраивать, но в принципе ее всегда можно улучшить). Ньютон изобрел математическую процедуру, в рамках которой «уже выполнено» разбиение на такие куски, которые меньше любых, какие можно себе вообразить, а получающийся ответ – точный. Эта процедура – интегрирование, уже встречавшееся нам в главе «прогулка 1». Математические правила игры при этом полностью определены, и единственная (зато большая) проблема состоит в том, что совсем не часто результат можно записать «в обозримом виде» – конечной формулой, непосредственно выражающей ответ.

Закон тяготения прост только для воображаемых точек

Однородная сфера притягивает точно к своему центру

Автор закона всемирного тяготения математически выяснил, что шар, равномерно заполненный веществом, притягивает максимально простым образом: так, как если бы вся его масса была сосредоточена строго в центре. Достаточно даже, чтобы по каждому сферическому слою вещество было распределено равномерно. Для Земли это означало бы, что она не просто имеет форму шара, но и на любой выбранной глубине (скажем, 8,2 км или 3587 км – любой) кубический сантиметр объема содержит одну и ту же массу и под Чукоткой, и под Кубой, и под Северным полюсом – везде. Тогда Земля и притягивала бы в точности как одна «волшебная точка», в которой непостижимым образом уместилась вся масса планеты; такова математика. Но даже беглый взгляд на раскраску глобуса показывает, что Земля неоднородна: для начала на ней есть океан и не-океан. По крайней мере поверхностный слой толщиной в несколько десятков километров неоднороден. Да Земля и не имеет формы шара! Не могу удержаться, чтобы не процитировать Азимова:

Земля – не сферическая

Когда люди думали, что Земля плоская, они ошибались. Когда люди думали, что Земля – шар, они ошибались. Но если вы считаете, что считать Землю шаром ошибочно в той же мере, в какой ошибочно считать ее плоской, то вы совершаете большую ошибку, чем те две ошибки, вместе взятые.

Рис. 4.7. Относительные отклонения земной поверхности от сферы преувеличены здесь в 10 000 раз. Выпуклости и вдавленности дополнительно показаны цветом. На черно-белом изображении оттенки красного (выпуклости) неотличимы от оттенков синего (вдавленности); см. цветное изображение: https://en.wikipedia.org/wiki/Figure_of_the_Earth#/media/File: Geoid_undulation_10k_scale.jpg

Отклонения Земли от сферичности и имеющиеся внутри нее неоднородности сказываются на ее притяжении: оно не такое же, как если бы вся масса Земли находилась точно в центре. Различия небольшие, но они радикально меняют движение искусственных спутников. Задача о движении спутников в реальности не является задачей Кеплера. Ни одну орбиту нельзя рассчитать на хотя бы десяток витков вперед, заменяя Землю точкой в ее центре, где сосредоточена вся масса Земли.

Орбиты спутников чувствительны к форме Земли

А как надо действовать?

Если бы Земля имела пресловутую форму чемодана или, скажем, подчеркнуто грушевидной груши, то для описания движения малых тел под действием ее притяжения не было бы никаких средств, кроме таблиц, составляемых компьютерами, и визуализации этих таблиц в виде рисунков. Совершенная простота закона тяготения для «волшебных точек» дает сложные результаты, когда эти точки не распределены равномерно по сферическим слоям. Влияние же реальной формы Земли удается учитывать, делая последовательные приближения. Это означает, что отклонения от сферичности принимаются во внимание по очереди в зависимости от того, сколь масштабный эффект они вызывают: от «скособоченности» в целом к более мелким «выступам» и «впадинам». Это оказывается возможным потому, что Земля все-таки больше похожа на шар, чем на чемодан; она, более того, ближе по форме к мячу для футбола, чем к мячу для регби. Форма Земли с сильно преувеличенными отклонениями от сферичности показана на рис. 4.7.

Форма и неоднородности Земли – не фундаментальный факт природы, а случайность, особенности конкретной планеты, и для их описания надо придумать, как соединить конкретные данные с фундаментальными принципами. Отправная точка последовательных приближений – идеализированное предположение, приводящее к кеплеровой картине движения; здесь все понятно, и предмет нашего интереса – дальнейшие уточнения, но для единообразия явно сформулируем это предположение.

• Идеально круглая и однородная Земля: зависимость притяжения от расстояния 1/R², зависимости от направления нет.

А теперь учтем самый главный эффект, отличающий Землю от идеального шара: сплюснутость у полюсов, или, что то же, выпуклость («вздутие») вблизи экватора. От центра Земли до полюса на 21 км ближе, чем от центра до экватора. Это около 0,335 % радиуса Земли, что, в общем, совсем мало для практически всего, кроме спутников. Наладить производство реалистичных глобусов, передающих такие детали формы Земли, довольно проблематично: если радиус глобуса равен метру (что не так мало для интерьера – два метра в диаметре), то полюс надо дополнительно приблизить к центру на три с небольшим миллиметра, и это едва ли многие заметят. Но в этом же масштабе высота орбиты, скажем, МКС (практически равная расстоянию между Москвой и Нижним Новгородом) – около 6 см над поверхностью глобуса. Это близко, и если «один бок» Земли притягивает несколько сильнее, чем другой, то орбита живо на это откликается; «три миллиметра» (21 км) оказываются очень существенными для низких околоземных орбит. Чтобы описать, как эти 21 км проявляют себя, мы заменяем реальную Землю специальной математической фигурой, учитывающей только реальные значения полярного и экваториального радиусов. Она (эта фигура) называется эллипсоидом вращения, но главное не название, а то, что она передает одно знание о форме Земли: разницу между полярным и экваториальным радиусами. На полюсах и на экваторе мы совмещаем эту воображаемую поверхность и реальную поверхность Земли как можно более точно, а в остальном – что получится, то получится: поверхность воображаемого эллипсоида проходит где-то чуть выше, а где-то чуть ниже реальной земной поверхности; о точном совпадении мы прямо сейчас не заботимся. Эллипсоид же прекрасен именно тем, что это строго определенная математическая фигура, для которой можно (хоть и не без некоторых усилий) выполнить требуемую процедуру суммирования притяжений от «волшебных точек». Делая это, надо вспомнить, что мы уже учли притяжение идеально круглой Земли и поэтому сейчас интересуемся только тем, что еще надо добавить к силе притяжения.

И вот главное: добавка к силе притяжения, которая математически выводится для эллипсоида, составлена из многих компонентов, которые с разной быстротой ослабевают по мере удаления от Земли. Тот вклад в притяжение, который ослабевает медленнее других, зависит от расстояния как 1/R⁴ (происхождение именно такой зависимости обсуждается в добавлениях к этой прогулке). Это значит, что при увеличении расстояния в два раза такая сила притяжения уменьшается в 16 раз. Это, конечно, заметно быстрее, чем убывание «по закону обратных квадратов» (в два раза дальше – в четыре раза слабее), но все же медленнее всех остальных компонентов, которые в совокупности точно описывают притяжение эллипсоида вращения. А поскольку Земля не имеет в точности форму эллипсоида вращения, увлекаться математическими подробностями про притяжение этой фигуры совершенно ни к чему, и из всего притяжения эллипсоида мы оставляем только один компонент – этот самый, который ослабевает как 1/R⁴. Кроме того, математика определяет для этого вклада вполне конкретную зависимость от направления. В данном случае это зависимость только от широты, и она однозначно фиксирована. Подведем итог первого шага по переводу формы Земли в силу притяжения.

• Сплюснутость у полюсов: дополнительная зависимость притяжения от расстояния 1/R⁴, но еще и с определенной зависимостью от широты.

Широта – это угол, отсчитываемый от экватора (математически – положительный в Северном полушарии и отрицательный в Южном). Зависимость только от широты, но не от долготы означает, что спутник испытывает одинаковое притяжение, находясь на одной и той же высоте над Кабулом и над Осакой (которые расположены почти на одной широте). Помимо того что от широты зависит сила притяжения, направленная по радиусу к центру Земли, автоматически появляется и составляющая силы, направленная вдоль меридианов, – что неудивительно, потому что экваториальное «вздутие» притягивает спутник к себе. Математике при этом неважно, как называется сплюснутое у полюсов тело, которое мы захотели примерно описать как эллипсоид вращения. Точно такую же зависимость притяжения от широты мы получили бы для сплюснутого у полюсов Юпитера. Все, что остается от конкретной планеты (кроме ее массы), – это одно число, а именно коэффициент, с которым вся наша добавка, содержащая 1/R⁴ и вполне определенную зависимость от широты, прибавляется к «закону обратных квадратов». Это небольшое число выводится из упомянутых выше 0,335 % (а также массы, среднего радиуса и угловой скорости вращения Земли).

Вперед – к груше! Образ груши отражает тот факт, что Северное полушарие реальной Земли слегка отличается от Южного. Действуем в том же духе: заменяем реальную форму Земли со всеми ее многочисленными подробностями специальной фигурой, более сложной, чем эллипсоид вращения, но все еще относительно простой математически, и вычисляем добавку к уже найденной силе притяжения. Здесь тоже получаем силу, составленную из многих компонентов, которые убывают по мере удаления еще быстрее, чем те, которые мы уже учли. Из всего нового оставляем только ту часть, которая уменьшается медленнее других при увеличении расстояния.

• Неодинаковость Северного и Южного полушарий: дополнительная зависимость притяжения от расстояния 1/R⁵, снова с определенной зависимостью от широты.

Такая зависимость означает, что при удвоении расстояния притяжение оказывается уже в 32 раза слабее. Математика снабжает этот вклад в притяжение вполне конкретной зависимостью от направления (и получающаяся сила притяжения опять оказывается направленной не строго по радиусу). Связь с реальной планетой Земля состоит в том, что все получившееся надо умножить на экспериментально установленный коэффициент – второе (очень небольшое) число, описывающее неидеальность формы Земли.

И таких чисел в развитых современных схемах – тысячи. Все больше подробностей реальной формы Земли и распределения массы внутри нее находит отражение в добавках к силе притяжения, зависящих от расстояния как 1/R⁶, 1/R⁷, …, – каждая со своей зависимостью от направления. При этом дело не ограничивается зависимостью от широты, имеются вклады в силу притяжения с зависимостью и от долготы – тоже с математически определенными выражениями и с экспериментально найденным числом для каждого. Первый вклад с зависимостью от долготы имеет вид дополнительной силы, ослабевающей с расстоянием как уже фигурировавшее выражение 1/R⁴ (но с существенно меньшим коэффициентом), и отражает тот факт, что сам экватор – не совсем окружность! Главное отличие от окружности – разница в 70 метров между двумя перпендикулярными диаметрами, больший из которых упирается одним концом в меридиан 15° западной долготы. Этот меридиан, если двигаться по нему с севера на юг, проходит через восточную оконечность Гренландии, Исландию и западную оконечность Африки (Западную Сахару, Мавританию, Сенегал, Гамбию, снова Сенегал, Гвинею-Бисау и принадлежащий просто Гвинее остров Тристан – но уже не заходя в Сьерра-Леоне). С противоположной стороны меридиан 165° восточной долготы проходит через Чукотский АО, Камчатский край, вблизи атолла Бикини в цепи Маршалловых островов, а также через Новую Каледонию. Вот там-то Земля и «выпуклая». На несколько десятков метров.

Добавляя все новые – и все более разнообразно устроенные математически – компоненты силы притяжения, мы все более точно описываем реальное притяжение Земли, уже необязательно задаваясь вопросом о том, какая именно скособоченность в каком направлении или повышенная плотность планеты где-то внутри описывается именно данным слагаемым в общей сумме. Математика заботится о том, какими могут быть возможные зависимости от направления (широты и долготы) для каждого слагаемого с заданной скоростью убывания по мере удаления, и остается только правильно определить коэффициент перед каждым из них. Здесь-то и вступает в дело вторая часть всей схемы: связь между силой притяжения (со всеми ее разнообразными зависимостями от расстояния и направления) и орбитами. Какое-то уже установленное выражение для силы притяжения – скажем, из пяти слагаемых – определяет, какими были бы орбиты, если бы Земля притягивала в точности как сумма этих пяти слагаемых (такие орбиты можно найти с помощью компьютера). Затем точно измеряют орбиты реальных спутников, чтобы узнать, где они отклоняются от предсказаний. Теперь требуется решить обратную задачу: определить, какие дополнительные вклады в силу притяжения отвечают за такое отклонение, и добавить их с такими коэффициентами, чтобы вычисляемая орбита совпала с реально наблюдаемой. Точность всех последующих предсказаний орбит тем самым повысится, а затем процесс повторяется для все более тонких уточнений. «Все более тонкие» означает эффекты, вызванные неоднородностями все меньшего масштаба: не общая скособоченность Земли, а что-то вроде «чуть более сильного притяжения» со стороны какой-то относительно небольшой области. Модель земного притяжения в виде набора коэффициентов, каждый для своего математического выражения из известного набора, дает наиболее полное выражение нашего знания о том, как притягивает к себе наша планета.

Движение – способ узнать форму Земли и распределение массы внутри нее

Численные значения коэффициентов определяются из наблюдения за движением; наилучшие имеющиеся представления о форме Земли – это результат исследования движения в ее окрестностях. Все то же самое относится и к другому небесному телу, изученному в достаточных подробностях, – к Луне. Особенности ее гравитации, определяемые по движению искусственных спутников Луны, стали предметом интереса в середине 1960-х как часть подготовки к высадке человека на ее поверхность⁹⁶. Неучтенные усиления и ослабления лунного притяжения увеличивали ошибку прилунения и вносили неточности в расчеты необходимых маневров на окололунной орбите. К настоящему моменту гравитация Луны (где в дело не вмешивается атмосфера, о роли которой для Земли мы еще скажем) изучена в немалых подробностях; на карте, приведенной на рис. 4.8, разрешение достигает 20 км. Луна более неоднородна, чем Земля, и быстро «губит» низкие орбиты: существенные изменения в них накапливаются за несколько дней. Майкл Коллинз оставался в одиночестве в командном модуле «Аполлона-11» около суток, начав с орбиты, имеющей максимальное удаление от Луны 122 км и минимальное 100 км; с учетом того, что было известно тогда о гравитации Луны, ожидалось, что к моменту встречи с лунным модулем, возвращающимся с поверхности, он окажется на круговой орбите радиуса 110 км, но в реальности стыковка произошла на орбите с максимальным и минимальным удалениями 117 км и 105,2 км. Позднее выяснилось, что имеются замечательные «замороженные» орбиты со строго определенными углами наклонения к экватору 27°, 50°, 76° и 86° – такие орбиты на удивление устойчивее других. Но вообще-то создавать постоянную станцию на низкой окололунной орбите – малоперспективная затея (это одна из причин, по которым для Лунной орбитальной платформы планируется орбита, связанная с точками Лагранжа системы Земля – Луна).

Рис. 4.8. Лунная гравитация, представленная цветами на поверхности. На черно-белом изображении оттенки красного (избыток массы) неотличимы от оттенков синего (недостаток массы); см. цветное изображение: https://www.nasa.gov/mission_pages/grail/multimedia/zuber4.html

Получение точных данных потребовало одновременного полета двух космических аппаратов. Они двигались по орбите высотой всего 50 км на расстоянии от 175 до 225 км друг от друга, и измерение этого расстояния с точностью до микрона позволило в подробностях картировать лунную гравитацию

*****

Спасение эллипсов поцелуями. Точная модель земного притяжения требуется для точных расчетов, которые неизменно оказываются вычислениями на компьютере. Их надо делать каждый раз заново для каждого космического аппарата, начиная вычисления с тех или иных «начальных условий» – конкретных данных о том, где находится и куда движется аппарат в выбранный момент времени. Но из компьютерных вычислений не так просто увидеть связь «причина – следствие» – скажем, насколько именно этот тип скособоченности Земли влияет, например, на поворот плоскости орбиты.

В отношении всех тысяч коэффициентов, в совокупности отражающих форму Земли, задавать такие вопросы довольно бессмысленно, потому что эффект от каждого – это та или иная вариация и без того тонких эффектов, определяемых «более старшими» коэффициентами (теми, которые отвечают за неоднородности большего масштаба). Но в том, что касается самых старших – и наиболее «влиятельных» – коэффициентов, крайне желательно было бы увидеть связи «причина – следствие». Как действуют причины, стоящие за безумием реальных орбит вроде той, что изображена на рис. 4.1? Какие орбиты более, а какие менее чувствительны к главным проявлениям несферичности Земли? При планировании космических миссий такое знание позволяет делать общие выводы еще до того, как вычисление необходимых подробностей передается компьютеру. Получение этого знания – поучительная история о том, как можно разобраться в сложном движении. Ряд некеплеровых орбит удалось остроумно описать, не расставаясь с Кеплером окончательно и бесповоротно (да, мы любим кеплеровы орбиты – уже за то, что с ними все понятно, а рассуждать в их терминах удобно; это-то удобство и хочется по возможности сохранить). На помощь приходит трюк с «поцелуями».

Глядя на спутник, который движется вокруг реальной Земли, быть может, по траектории, вроде показанной на рис. 4.1, попробуем (как верные последователи Галилея в том, что касается мысленных экспериментов) представить себе, что вся несферичность Земли вдруг пропала. С этой самой секунды спутник продолжит двигаться по эллипсу. Реальный же спутник, притягиваемый реальной Землей, полетит по несколько иной траектории, но мы намереваемся описывать происходящее с ним как наложение друг на друга двух сюжетов: 1) спутник каждую секунду движется по тому эллипсу, который наблюдался бы, если бы несферичность исчезла; 2) весь эффект несферичности проявляется в том, что сам этот эллипс непрерывно меняется. Здесь, конечно, важно не переборщить. Если вы двигаете бусинку по проволочному кольцу в форме эллипса и одновременно поворачиваете и/или вытягиваете сам эллипс, то это второе надо делать не слишком быстро. Если кольцо неузнаваемо меняется быстрее, чем бусинка пройдет по нему сколько-нибудь заметную долю полного оборота, то от эллиптической формы этой проволки большой пользы нет. Но из-за того, что Земля все-таки достаточно круглая, для спутников эта схема работает.

Заветный эллипс – то ли придуманный, то ли реально существующий, хоть и постоянно меняющийся – называется оскулирующим. Именно так – не «осциллирующим». Не самый распространенный английский глагол osculate означает, как ни странно, «целовать»⁹⁷. В механике и математике термин (не совсем без оснований) стал указывать на плавное касание – такое, когда две линии имеют в точке соприкосновения общую касательную. Чтобы идея постепенно эволюционирующего эллипса оправдала наши надежды, а именно позволила бы увидеть, какие факторы влияют на эволюцию орбит и каким именно образом, необходимо получить уравнения для этих меняющихся эллипсов. Эта задача была поставлена и решена только в середине XX в. Неизвестными в таких уравнениях для орбит являются вовсе не координаты спутника, а параметры эллипса в целом.

А как, собственно, эллипс может оскулировать? Во-первых, может меняться его геометрия – размер и степень вытянутости: каждую из полуосей эллипса можно, в принципе, растягивать или сжимать. Одновременно эллипс может «гулять» вокруг Земли, оставаясь будто бы закрепленным в ее центре своим фокусом. Попробуйте взять в руку проволочный эллипс достаточно большого размера, поместить внутри него глобус и представлять себе, что один из фокусов эллипса закреплен на волшебном шарнире в центре глобуса (настоящий спутник обходится без волшебства). На ваше усмотрение остаются разнообразные размахивания эллипсом как единым целым вокруг этой точки – в дополнение к уже отмеченной возможности сжимать или растягивать эллипс по двум направлениям. Как же на все эти движения эллипса влияет своей гравитацией главная неоднородность Земли – сплюснутость у полюсов?

Ранее мы выразили сплюснутость Земли в виде поправки к силе притяжения с зависимостью от расстояния 1/R⁴ и с некоторой конкретной зависимостью от широты. И вот наконец награда: обработка этой поправки математическими средствами и некоторая степень остроумия при выводе уравнений для оскулирующего эллипса позволяют ясно увидеть, что происходит с любой начальной орбитой. Из формул, без которых я изо всех сил (хоть и не всегда с полным успехом) стараюсь обходиться, следует, что из-за сплюснутости Земли геометрия эллипса не меняется: он никак не растягивается и не сжимается. Выразим это короткой анкетой:

Зато в другом отношении события развиваются довольно живо – плоскость, в которой лежит эллипс, поворачивается с постоянной скоростью навстречу движению спутника: спутник, обращающийся вокруг Земли в направлении ее собственного вращения, пересекает экватор на каждом следующем витке несколько западнее, чем на предыдущем (рис. 4.9). Это означает, что траектория движения спутника размыкается. Следующий виток ложится не на предыдущий, а примерно так, как получается при сматывании в клубок толстой шерсти: рядом с предыдущим, на некотором расстоянии от него. Все упражнение с оскулирующими эллипсами затевалось для того, чтобы понять, на каком именно и от чего оно зависит. Мы вознаграждены, потому что расстояние между витками можно вычислить, и оказывается, что оно вполне определенным (и несложным) образом зависит от наклона орбиты к экватору: оно значительно для малых углов наклона и исчезает для орбиты с максимальным углом наклона – полярной орбиты, проходящей над полюсами. Измерять сдвиг орбиты удобнее всего по положению той точки, где орбита пересекает экваториальную плоскость (конечно, эту точку надо описывать с привязкой не к самой Земле, а в терминах, например, направлений на звезды). Для типичной орбиты эта точка пересечения сдвигается на несколько градусов в сутки. Например, если «несколько» – это три или шесть, то точка пересечения обойдет Землю по экватору за четыре или два месяца соответственно, а вместе с ней будет поворачиваться и орбита. Вы запускаете орбитальную станцию на одну орбиту, а она, не спрашивая вас, отправляется в незапланированное странствие, наматывая «попятные» витки. Эта информация оказывается критически важной для любой планируемой стыковки со станцией, потому что активное изменение плоскости орбиты, как мы говорили на прогулке 2, обходится крайне дорого в отношении топлива. Скорость прецессии зависит еще и от высоты, и даже если космический корабль, направляющийся к станции, выходит на «правильную» плоскость, но заметное время остается на более низкой орбите, то плоскость его орбиты неминуемо «разойдется» с плоскостью орбиты станции. Впрочем, достигнутое понимание этого эффекта позволяет им пользоваться: для почти полярных орбит скорость поворота плоскости орбиты можно сделать равной примерно одному градусу в сутки, что означает около 360˚ в год, а это, в свою очередь, означает, что спутник сохраняет неизменной свою ориентацию по отношению к Солнцу. Другими словами, участок земной поверхности, над которым пролетает спутник, освещен примерно одинаково от витка к витку. Такие солнечно-синхронные орбиты востребованы для задач систематического наблюдения за поверхностью Земли; сама возможность их планирования – очевидный успех описания некеплеровых околоземных орбит с помощью оскуляции.

Рис. 4.9. Поворот (прецессия) орбиты из-за сплюснутости Земли у полюсов. Плоскость орбиты поворачивается в сторону, противоположную направлению движения спутника, что делает его орбиту незамкнутой. Поворот плоскости орбиты можно представить себе как вращение острия стрелки, проведенной из центра перпендикулярно орбите

Солнечно-синхронные орбиты – продукт некеплеровой эволюции кеплеровых орбит

Но вращение плоскости орбиты – еще не все. Наблюдая за спутником с самой вращающейся плоскости, т. е. как будто бы поселившись где-то на ней и не глядя по сторонам, мы, конечно, перестанем замечать это вращение. Но мы увидим, что орбита поворачивается в этой плоскости: точка наибольшего приближения к Земле совершает обход вокруг планеты, относительно неспешный⁹⁸. Запустив, скажем, спутник связи так, чтобы точка его наибольшего приближения была в Южном полушарии, а большую часть времени он проводил на высокой орбите над Северным, мы через некоторое время обнаружим, что спутник пребывает главным образом над Южным полушарием, потому что орбита повернулась. Как скоро это случится? Скорость поворота (прецессии) эллипса тоже зависит от наклона орбиты к экватору, но зависит иначе, чем скорость вращения плоскости орбиты. Она велика для малых углов наклона, а нуля достигает при наклоне около 63,4°. При близких к этому углах скорость прецессии невелика – скажем, полградуса в сутки для спутника на высоте несколько сотен километров; диаметральный разворот эллипса тогда займет около года. Орбиты с таким наклоном (наклонением, как обычно говорят) иногда называют орбитами «Молния» по названию серии советских спутников связи: они достигали наибольшего удаления от поверхности (около 40 000 км) над Северным полушарием, где и проводили большую часть времени из каждого 12-часового витка. Продолжим нашу анкету:

А вот «наклонение» – наклон орбиты к экватору – из-за сплюснутости Земли не меняется. История с оскулирующими орбитами позволяет проследить, в каком месте каких уравнений и из-за чего появляется нуль:

Полученные уравнения для некеплеровой эволюции орбит и следующие из них выводы едва ли стоит классифицировать как «закон природы». Законы, которые здесь действуют, – это законы Ньютона, а далее используются конкретные сведения о форме Земли. В итоге математической обработки получаются «правила», которым следуют все космические аппараты вблизи конкретной сплюснутой планеты. Другие параметры несферичности Земли тоже можно внедрять в уравнения для оскулирующих эллипсов; формулы становятся все более громоздкими, и в конце концов все равно требуется компьютер. Но и то, что доступно на бумаге, впечатляет не только разнообразием эффектов по сравнению с решением задачи Кеплера, но и возможностью принимать решения на основе явной зависимости от параметров несферичности.

Правда, еще раньше, чем дополнительные поправки к форме Земли, следует учитывать влияние ее атмосферы. Это второй по значимости (после сплюснутости) фактор, влияющий на многие типичные орбиты спутников. На высотах больше 100 км атмосфера очень разрежена, но влияние ее накапливается. Такое влияние на космические аппараты описывается достаточно сложно, но один эффект стоит упомянуть качественно, потому что за ним стоят те же принципы, что и за гравитационной пращой (см. главу «прогулка 2»). Взаимодействие с атмосферой происходит в первую очередь на участке наибольшего приближения к Земле. Но это именно та точка, где изменение скорости на фиксированную величину сильнее всего влияет на высоту орбиты в противоположной точке – точке максимального удаления. «Зеркально» ситуации поэтапного разгона и подъема орбиты космического аппарата на основе эффекта Оберта здесь происходит поэтапное – виток за витком – торможение на ближнем к Земле участке орбиты и вызванное этим понижение точки максимального удаления. Последствия торможения заметнее всего не там, где оно происходит, а через полвитка орбиты⁹⁹.

А на примерно круговых орбитах в верхних слоях атмосферы спутники демонстрируют эффект, который даже называется «парадокс спутника»: из-за трения об атмосферу космический аппарат ускоряется – и чем больше сопротивление атмосферы, тем сильнее, – одновременно снижаясь. Объяснение – в особенностях орбитальной механики, с которыми мы уже встречались: потеря энергии движения, в данном случае из-за трения, приводит к переходу на более низкую орбиту, а более низкая орбита означает бóльшую скорость. Математика работает так, что из-за трения об атмосферу спутник разгоняется точно в такой степени, как будто сила трения поменяла направление и превратилась в силу тяги. Этим же объясняется парадоксальная картина, когда после отделения спутника на низкой орбите ракета-носитель, с уже не работающими двигателями, обгоняет спутник: из-за своих размеров ракета-носитель испытывает большую силу трения об атмосферу, а потому и ускоряется в точно такой же степени сильнее. Движение спутника, цепляющегося за атмосферу, дает очень точные данные о силе сопротивления, которую он испытывает, и тем самым о плотности атмосферы. Космические аппараты, которые начинают цепляться за атмосферу слишком сильно, быстро погибают. Характерное время жизни спутника на высоте 150 км – около суток, но на высотах больше 200 км это время заметно возрастает и на высоте 400 км составляет около года¹⁰⁰.

*****

Борьба всех со всеми. На низких околоземных орбитах и трение об атмосферу дает себя знать, и многочисленные поправки к силе притяжения, быстро убывающие по мере удаления, еще не успели сильно убавиться и разными способами влияют на орбиты. Но и на высоких орбитах спутникам нет покоя. Там, где гравитация Земли ослабевает, более существенными «нарушающими» факторами становятся притяжения Луны и Солнца. Как и с приливами, все дело в том, что Луна сильнее притягивает то, что к ней ближе, и слабее то, что дальше. Если бы лунная гравитация была одной и той же везде в околоземном пространстве, то никакого ее влияния на движение спутников вокруг Земли не наблюдалось бы, но в действительности Луна действует на разные части орбиты по-разному, а из-за этого орбиты портятся. Похожим образом дело обстоит и с дополнительными ускорениями, которые испытывает спутник из-за наличия Солнца, с той поправкой, что Солнце находится так далеко, что из всех точек околоземной орбиты направление на наше светило практически одно и то же (рис. 4.10). Вызываемая Луной и Солнцем «порча» орбит заметна на высотах более 20 000 км над земной поверхностью и начинает играть доминирующую роль среди всех возмущающих факторов на высотах более 50 000 км: там период обращения спутника может меняться на несколько минут за один оборот вокруг Земли, а смещение от витка к витку запросто составляет сто или несколько сотен километров (забудьте про легкую стыковку, если вы вдруг ее планировали). Характерные возмущения зависят еще и от наклона орбиты спутника по отношению к земной орбите и к орбите Луны, а также от степени вытянутости орбиты. Орбитальная механика и здесь проявляет себя контринтуитивным образом, уже встречавшимся нам несколько раз. Для вытянутых орбит влияние Луны и/или Солнца на скорость спутника сильнее всего на участке максимального удаления от Земли, а поскольку спутник сам по себе движется там медленнее всего, эти изменения оказываются относительно существенными. Затем они «передаются» в область максимального приближения к Земле и здесь-то уже проявляют себя в полной мере: минимальная высота над Землей может измениться весьма сильно. Разумеется, более тесное сближение спутника с Землей опасно возможным трением об атмосферу: раз начавшись, оно нарастает вплоть до разрушения космического аппарата. Ирония состоит в том, что «заталкивать» космический аппарат в атмосферу может эффект, действующий в диаметрально противоположной части траектории. Автоматическая межпланетная станция «Луна-3», облетев Луну, оказалась на орбите вокруг Земли с максимальным удалением, на 100 000 км превышающим радиус лунной орбиты, но с самым тесным приближением к Земле на 15 000 км. Солнечные возмущения в высокой части орбиты, где станция двигалась медленно, вызывали все более тесное приближение к Земле в самой низкой части, и станция погибла в атмосфере всего через 11 оборотов (каждый из которых, правда, занимал более двух недель). Обратный эффект возмущающего влияния на орбиту испытала «Луна-4» (1963). Низкий участок ее траектории поднимался из-за солнечных возмущений, и в конце концов Солнце отобрало станцию у Земли: на очередном витке она поднялась так высоко, что больше не вернулась к Земле – стала спутником Солнца.

Движение в реальном космосе устроено сложно, потому что движение – это отклик на содержание Вселенной. Малые изменения орбиты одного тела под действием других тел происходят в Солнечной системе постоянно; на разных участках своей орбиты планета, астероид или комета испытывает разнообразные воздействия соседей. При этом все окружение вертится; пока орбиты примерно замкнуты, движение каждого тела относительно Солнца примерно периодическое (прежние положения проходятся снова через определенное время). Периодическое движение – это «лучшее приближение» к покою, какое только возможно в космосе; это единственный способ длительного существования заданных конфигураций тел – например, Солнечной системы. Сколь длительного? Вообще-то у каждого тела свой период обращения, поэтому одна и та же конфигурация всех тел не повторяется. Существенный вопрос при этом: накапливаются ли «обиды» (взаимные влияния на орбиты) в этой не слишком дружной семье, где каждый тянет в свою сторону? В среднем за долгий период времени оказывается, что отклонения из-за влияния «всех на всех» близки к нулю. Но здесь фигурирует «математически» долгое время (возможно, даже превосходящее время существования Солнечной системы), за которое параметры орбит испытывают примерно столько же отклонений «в плюс», сколько и «в минус»; а где-то между этим промежутком времени и периодом астрономических наблюдений человечества (в течение которого отклонения незаметны) малые изменения могут накапливаться в случаях разрушительного резонанса. При таком резонансе после некоторого числа витков происходит повторяющийся сдвиг тела в одну и ту же сторону. Эффект отчасти похож на раскачивание качелей: небольшое ритмичное усилие, приложенное стоящим на земле человеком, раз за разом увеличивает амплитуду. Если кто-то решил передвигаться по большой детской площадке и по очереди толкать каждые качели, к которым подходит, не обращая внимания на их движение, то в результате его действий качели могут и раскачиваться сильнее, и тормозиться. Это зависит от соотношения периода раскачивания качелей (что мы отнесем к свойствам самих качелей) и времени обхода всей детской площадки этим заботливым человеком. Если вы обнаружите, что раскачиваетесь все сильнее, значит, вы в резонансе с его перемещениями: он оказывается рядом с вами как раз вовремя, чтобы вас ускорить (а если нет, в среднем он будет раскачивать и тормозить качели примерно одинаково). В Солнечной системе разрушительные резонансы буквально приводят к опустошению некоторых орбит малых тел («качели» раскачались так, что слетели с петель): например, в поясе астероидов имеются пробелы, расчищенные резонансами с Юпитером (рис. 4.11). По сходному механизму образовалась щель Кассини, наибольшая из многочисленных щелей в кольцах Сатурна. Она видна как темная полоса между кольцами A и B и вызвана резонансом 2: 1 со спутником Сатурна Мимасом, открытым Гершелем в 1789 г. Это означает, что, пока Мимас делает один оборот, тело, помещенное в щель Кассини, делает два. Там заметно меньше тел, чем на других, нерезонансных орбитах, потому что притяжение Мимаса убрало их оттуда (рис. 4.12)¹⁰¹.

Рис. 4.11. Щели Кирквуда в поясе астероидов. По горизонтали указаны расстояния от Солнца в астрономических единицах, по вертикали – плотность, с которой орбиты заселены астероидами. Эта плотность резко уменьшается на некоторых орбитах из-за их резонанса с орбитой Юпитера. Отмечены резонансы 3: 1, 5: 2, 7: 3 и 2: 1 (кроме них, есть и другие)

Солнечная система все-таки не совсем «часовой механизм», единожды заведенный и тикающий всегда одинаково. Даже сейчас, в период ее зрелости, в ней случаются близкие контакты, а уж в молодости бывало всякое. И все же задача Кеплера для Солнечной системы – не бессмысленное приближение: из-за взаимного влияния тела не летают в точности по эллипсам, но эллипсы более чем узнаваемы. Такое благоприятное положение вещей поддерживается тем, что даже Юпитер, не говоря уже о всех остальных, намного (более чем в 1000 раз) уступает Солнцу по массе. В самой по себе задаче Кеплера, т. е. задаче двух тел, отношение их масс не имеет значения (всегда получаются эллипсы); но уже в задаче трех тел все не так. Едва ли есть другой пример, когда в однотипных явлениях с числом участников от двух и выше переход от двух к трем вызывает столь радикальные качественные изменения.