Kitobni o'qish: «Ряды. Примеры решения»

Name: Ряды. Примеры решения
Author: Василиса Волконская

Василиса Волконская

Shrift:

Содержание:

1) Основные понятия. Сходимость ряда.

2) Свойства сходящихся рядов.

3) Необходимый признак сходимости.

4) Признак сравнения.

5) Предельный признак сравнения.

6) Признак Даламбера.

7) Признак Коши.

8) Интегральный признак сходимости ряда.

9) Основные правила для нахождения сходимости рядов с положительными членами.

10) Сходимость рядов с членами произвольного знака.

11) Свойства абсолютно сходящихся рядов.

12) Примеры решения знакочередующихся рядов.

13) Приближенное вычисление суммы сходящегося знакочередующегося ряда.

Числовые ряды.

1)) Основные понятия. Сходимость ряда.

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединённых знаком сложения.

Это сумма чисел от первого числа до бесконечности.

Числа U1, U2, … Un - называются членами ряда.

Un - общий или n - ый член ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член:

Un = f (n); (n = 1, 2 …).

То есть, задана функция f (n) от натурального аргумента.

Из этого можно сделать вывод, что все последовательности, которые можно задать формулой являются рядами.

Пример.

2 / 5 + 4 / 9 + 6 / 13 + … + 2n / (4n + 1)

Это ряд чисел.

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда.

S1 = U1; S2 = U1 + U2

Sn = U1 + U2 + … + Un

Сумма n первых членов ряда Sn, называется n - ой частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частных сумм, при n -> ∞, то есть:

lim Sn = S

Число S называется суммой ряда, когда можно записать:

U1 + U2 + … + Un + … = ∑ Un = S

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример.

Исследовать сходимость геометрического ряда, то есть ряда составленного из членов геометрической прогрессии.

b + b q + b q ² + … + b q ⁿ⁺¹ + … = ∑ b q ⁿ⁺¹

Решение.

Нужно установить при каких значениях q (знаменателя ряда) ряд сходятся и при каких значениях расходится.

Запишем формулу нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии, при q ≠ 1.

Sn = b (q ⁿ - 1) / (q - 1)

Рассмотрим несколько случаев.

1) Если |q| < 1

Найдём предел знаменателя в n-ой степени, при n -> ∞.

lim q ⁿ =

Так как число - 1 < q < 1, то оно правильная дробь, получим:

lim (1 / m) ⁿ = lim 1 / m ⁿ =

Подставим то, к чему стремится n (бесконечность).

= 1 / m = 1 / ∞ = 0

Предел равен нулю.

Найдём предел суммы n- ных членов прогрессии, при n -> ∞.

lim Sn = lim (b (q ⁿ - 1) / (q - 1)) = lim ((b q ⁿ - b) / (q - 1)) = lim (b q ⁿ/ (q - 1) - b / (q - 1)) = lim (b / m ⁿ / (q - 1) - b / (q - 1)) = b / ∞ / (q - 1) - b / (q - 1) = 0 / (q - 1) - b /(q - 1) = 0 - b / (q - 1) = - b / (q - 1) = b / (1 - q)

То есть ряд сходится к числу b / (1 - q), и сумма его равна S = b / (1 - q)

2) Eсли |q| > 1

Найдём предел знаменателя в n-ой степени, при n -> ∞.

Следовательно, и предел суммы равен:

Так как предел не равен конечному числу, a равен бесконечности, то ряд расходится.

3) q = 1

Ряд принимает вид:

b + b + b + b + … + b + …

Un - его частичная сумма.

Sn = b + b + … + b = n b

Предел этой суммы.

lim Sn = lim n b = ∞

Ряд расходится.

4) Если q = - 1

Ряд принимает вид:

b - b + b - b + … + (- 1) ⁿ b + …

Частичная сумма такого ряда равна нулю.

Sn = 0

Если найти предел этой суммы.

lim Sn - то он не существует.

Значит, ряд расходится.

Ответ:

Ряд сходится при |q| < 1

Ряд расходится при |q| ≥ 1

2)) Свойства сходящихся рядов.

1) Если ряд:

U1 + U2 + U3 + U4 + … + Un + … = S

Сходится и имеет сумму S и ряд:

λ U1 + λ U2 + λ U3 + λ U4 + … + λ Un + … = λ S

Ряд полученный, умножением данного ряда на число λ, также сходится и имеет сумму λ S

При умножении сходящегося ряда на число получается сходящийся ряд, умноженный на это число; и сумма этого ряда умножается на число.

2) Если два ряда сходятся и имеют суммы S1 и S2, то есть сумма этих рядов сходится; и сумма полученного ряда равна сумме сумм рядов, которые сложили:

U1 + U2 + U3 + U4 + … + Un + … = S1

V1 + V2 + V3 + V4 + … + Vn + … = S2, то

(U1 + V1) + (U2 + V2) + (U3 + V3) + (U4 + V4) + … + (Un + Vn) + … = S1 + S2

3) Если ряд сходятся, то и сходится ряд, полученный из данного, путём отбрасывания или приписывания конечного числа членов.

Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при n -> ∞, остаток ряда стремился к нулю. То есть:

3)) Необходимый признак сходимости.

Теорема.

Если ряд сходится, то предел его общего члена Un при n -> ∞ равен нулю.

Рассмотренная, теорема выражает лишь необходимый, но недостаточный признак сходимости ряда.

Следствие из теоремы.

Если предел общего члена рядом, при n -> ∞, не равен нулю, то ряд расходится.

Этой теоремой можно пользоваться при нахождении расходящихся рядов.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд.

Решение.

Найдём предел n - ого члена ряда, при n -> ∞.

lim ((4n + 3) / (5n - 7)) = [∞ / ∞] =

Получим неопределённость.

Её нужно раскрыть.

Поделим числитель и знаменатель дроби на n.

= lim ((4 n / n + 3 / n) / (5n / n - 7 / n)) = lim ((4 + 3 / n) / (5 - 7 / n)) = (4 + 3 / ∞) / (5 - 7 / ∞) = (4 + 0)/ (5 - 0) = 4 / 5

Предел n - ого члена не равен нулю.

Следовательно, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример.

Гармонический ряд.

1 + 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + …

Исследуем его на сходимость.

Найдём предел n - ого члена, при n -> ∞.

lim (1 / n) = 1 / ∞ = 0

Необходимый признак сходимости выполняется, но ряд расходится.

Доказательство в учебнике Кремер.

Ряды с положительными членами.

4)) Признак сравнения.

Пусть даны два ряда с положительными членами.

Причём члены первого ряда не превосходят членов второго ряда, то есть при любом n:

Un ≤ Vn, тогда:

1) Если сходится второй ряд, то сходится и первый ряд.

2) Если расходится первый ряд, то и расходится второй ряд.

Замечание:

Так как сходимость ряда не изменяется при отбрасывании конечного числа членов ряда, то условие Un ≤ Vn не обязательно должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами n.

Достаточно чтобы оно выполнялось, начиная с некоторого номера n = k, или чтобы имело место неравенство Un ≤ Vm + n

m - некоторое целое число.

Приведём эталонные ряды, часто используемые при сравнении.

1) Геометрический ряд.

Сходятся, при |q| < 1

Расходятся, при |q| ≥ 1

2) Гармонический ряд.

3) Обобщённый гармонический ряд.

α > 1 - ряд сходится.

α ≤ 1 - ряд расходится.

Пример.

Исследовать сходимость ряда.

1 + 1 / 2 × 3 + 1 / 3 × 3 ² + … + 1 / n × 3 ⁿ⁻¹ + …

Решение.

Посмотрим на n - ый член нашего ряда.

1 / n × 3 ⁿ⁻¹

Сравним данный ряд с геометрическим рядом.

Его n - ый член будет равен 1 / 3 ⁿ⁻¹

Так как знаменатель этого ряда q = 1 / 3 < 1, следовательно, этот ряд сходится.

Сравним члены данного ряда и геометрического ряда.

Для этого найдём первые n членов геометрического ряда.

Чтобы их найти, нужно подставить вместо n натуральные числа, от одного до бесконечности в данный геометрический ряд:

1 / 3 ¹⁻¹ = 1 / 3 ⁰ = 1

1 / 3 ²⁻¹ = 1 / 3 ¹ > 1 / 6

1 / 3 ³⁻¹ = 1 / 3 ² = 1 / 9 > 1 / 27

1 / 3 ⁴⁻¹ = 1 / 3 ³ = 1 / 27 > 1 / 81

Члены данного ряда меньше членов сходящегося геометрического ряда.

Следовательно, данный ряд сходится.

Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий ряд, с которым нужно сравнить данный ряд, но и доказать неравенство Un ≤ Vn.

Для чего часто требуется преобразование рядов.

Например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определённые числа и так далее.

Более простым может оказаться предельный признак сравнения.

5)) Предельный признак сравнения.

Теорема.

Если даны два ряда с положительными членами и существует конечный предел при n -> ∞; и отношение их общих членов не равно нулю; а равно числу; то ряды одновременно, либо сходятся, либо расходятся.

k - число; k ≠ 0

Если ряд, с которым мы сравниваем данные ряд, сходятся, то и данный ряд сходится.

Если ряд, с которым мы сравниваем данный ряд, расходится, то и данный ряд расходится.

№13. 37

Так как при больших n:

2 n / (3 n ² - 5) ≈ 2 / n

То будем брать для сравнения гармонический ряд:

∑ 1 / n

По предельному признаку сравнения получим предел отношения членов рядов, при n -> ∞.

lim (2 n / (3 n ² - 5)) : (1 / n)) = lim (2n / (3n ² - 5) × (n / 1)) = lim (2n ² / (3 n ² - 5)) = [∞ / ∞] =

Поделим числитель и знаменатель дроби на n ².

= lim (2n ² / n ² / (3n ² / n ² - 5 / n ²)) = lim (2 / (3 - 5 n ²)) = 2 / (3 - 5 / ∞) = 2 / (3 - 0) = 2 / 3

Так как предел отношения общих членов равен числу 2/3 ≠ 0 и гармонический ряд расходится, то и данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

№ 13. 38

Исследовать на сходимость ряд.

∑ (2n + 7) / (3n ³ + 11)

Так как при больших n:

(2n + 7) / (3n ³ + 11) ≈ 1 / n ²

То будем брать для сравнения обобщённый гармонический ряд:

∑ 1 / n ²

Найдём предел отношения общих членов рядов, при n -> ∞.

lim ((2n + 7) / (3 n ³ + 11)) : (1 / n ²)) = lim ((2n + 7) / (3 n ³ + 11) × n ² / 1) = lim ((2n ³ + 7n ²) / (3 n ³ + 11)) = [∞ / ∞] = lim ((2 n ³ / n ³ + 7n ² / n ³) / (3 n ³ / n ³ + 11 / n ³)) = lim (( 2 + 7 / n) / (3 + 11 / n ³)) = (2 + 7 / ∞) / (3 + 11 / ∞) = (2 + 0) / (3 + 0) = 2 / 3

Так как предел отношения общих членов рядов равен числу k = 2 / 3 и это число не равно нулю; и обобщённый гармонический ряд сходится; так как α = 2; то и данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Как выбрать для сравнения ряд.

Если общий член ряда правильная дробь.

Степень числителя меньше степени знаменателя.

То выбирается для сравнения обобщённый гармонический ряд, степень α которого равна разности между степенью знаменателя, большей из всех; и степенью числителя, большей из всех.

Пример.