Kitobni o'qish: «Решение 20 11-20 задач ЕГЭ. Математика, профиль ФИПИ, 36 вариантов, 2027»

Глава 1

Решение 19 1-10 задач ЕГЭ. Математика, профиль ФИПИ, 36 вариантов

Глава 1

19 - 1 - 2026

Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры*, то потребуется k кляссеров, причём 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется k+2 кляссеров и также 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше 150, но меньше 160 ячеек, а в маленьком больше 100, но меньше 120 ячеек.

1) Может ли k быть равно 3?

2) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.

Решение.

Обозначим S - общее количество монет у Ивана Ильича, а) Пусть k = 3.

Тогда учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150·3 – 5 = 445 и меньше, чем 160·3 – 5 = 475.

Но учитывая вместимость маленьких кляссеров, S должно быть больше, чем 100·5 – 5 = 495 и меньше, чем 120·5 – 5= 595.

Получили, что S должно быть одновременно больше 495 и меньше 475. Значит, k не может быть равно 3.

2) Аналогично доказанному в пункте а), k не может быть равно 1 (тогда S должно быть одновременно больше 295 и меньше 155) и k не может быть равно 2 (тогда S должно быть одновременно больше 395 и меньше 315). Если А = 4, то, учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150·4 – 5= 595, и меньше, чем 160·4 – 5 = 635; а учитывая вместимость маленьких кляссеров, S должно быть больше, чем 100·6 – 5 = 595, и меньше, чем 120·6 – 5 = 715.Значит, при к = 4 получили, что 596 < S < 634.Чтобы условия задачи были выполнены, необходимо, чтобы S + 5 было кратно и k, и k+2. Наименьшее число, кратное и 4, и 6 из промежутка [601; 639], это 612.Значит, S = 607 и в большом кляссере 153 ячейки, а в маленьком – 102.

3) Предположим, что k > =8, то есть k= р + 8 , где р > =0 .Тогда, учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150(р + 8) – 5 = 1195 + 150р и меньше, чем 160(р + 8) - 5 = 1275 + 160р. Но, учитывая вместимость маленьких кляссеров, S должно быть больше, чем 100(р + 10) –5 = 995 +100р и меньше, чем 120(р + 10) –5= 1195 + 120р. Получили, что 1195 +150р < S < 1195 + 120р, откуда р < 0. Значит, k <= 7.