Kitobni o'qish: «Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной»

Sean Carroll

The Biggest Deas In The Universe. Space, Time, And Motion

© 2022 by Sean Carroll

© Перевод на русский язык ООО «Прогресс книга», 2024

© Издание на русском языке, оформление ООО «Прогресс книга», 2024

© Серия «New Science», 2024

© ООО Издательство «Питер», 2024

Посвящается Дженнифер

От издательства

Ваши замечания, предложения, вопросы отправляйте по адресу comp@piter.com (издательство «Питер», компьютерная редакция).

Мы будем рады узнать ваше мнение!

На веб-сайте издательства www.piter.com вы найдете подробную информацию о наших книгах.

Введение

Я бы хотел жить в мире, где большинство людей с интересом и страстью относятся к физике, где, отдыхая в баре после работы, обсуждают проблемы темной материи и дискутируют о взглядах на квантовую механику. Я бы хотел оказаться на детском празднике, где, пока малыши играют в пятнашки, а родители увлеченно общаются друг с другом, от кого-то из взрослых можно услышать, к примеру: «Не понимаю я тех, кто ждет открытия новых частиц в электрослабом диапазоне» и тут же в ответ: «А как же тогда решать проблему иерархии?» В нашем мире есть много людей, осведомленных об экономике предложения или критической расовой теории, но мало таких, кто знаком с инфляционной космологией и теорией суперструн.

В чем же причина? Увы, нужно признать, что даже на фоне других научных дисциплин физика выделяется тем, что придумана специалистами для специалистов. Физики говорят друг с другом на очень специфичном языке, в котором изобилуют термины из области математики, не только непонятные, но и неизвестные обычным людям. Тому есть разумные объяснения, и все же ситуацию можно изменить. Ведь все дело в том, как физики передают свои знания миру.

Если вы не специалист, но изучить современную физику вам интересно, то перед вами лежат два пути. Один из них – не выходить за пределы общедоступного уровня, то есть знакомиться с научными концепциями, не углубляясь в технические или математические детали. Для этого можно читать книги, ходить на лекции, смотреть видеоролики, слушать подкасты. Такие ресурсы сегодня доступны и многочисленны, позволяют узнать много нового, хотя и несколько бессистемно. Так можно продвинуться очень далеко. И все же со временем вы поймете, что в этом потоке материала, образах и метафорах, переводе математических формул на человеческий язык не хватает чего-то реального, жизненно важного.

Другой путь – начать учиться на физика: пойти в институт или заняться самообучением по «правильным» учебникам и интернет-ресурсам. Сначала вам предстоит освоить высшую математику, в первую очередь изучить дифференциальное исчисление, научиться решать дифференциальные уравнения, разобраться в векторном анализе, комплексных числах, линейной алгебре и многом другом. До разговора о квантовой механике или теории относительности понадобится не меньше года предварительных занятий. Большинство студентов получают степень бакалавра или магистра, ничего не узнав о физике частиц, черных дырах и космологии. Эти области знаний доступны лишь тем, кто работает в определенных, достаточно узких проблемных областях.

Пропасть между физиком-любителем, в багаже знаний которого только метафоры и мутные переводы на человеческий язык, и специалистом, способным работать с уравнениями пугающей сложности, велика, но преодолима. Большинство людей водят машины, не помышляя о карьере профессионального гонщика. А значит, есть путь, двигаясь по которому можно приблизиться к подлинной сути современной физики без многолетнего обучения по стандартной программе, пусть и освоив несколько формул.

Путеводная карта у вас в руках!

В основу серии «Величайшие идеи Вселенной» положена мысль о том, что каждый человек, даже любитель, не стремящийся стать профессионалом, способен изучать современную физику по-настоящему, по формулам и уравнениям. Для этого хватит знаний, не выходящих за рамки школьного курса математики. Необходимо лишь думать над формулами, стремиться понять их смысл. И перед тем, кто готов это делать, откроется новый мир.

* * *

Поговорим об уравнениях. На самом деле в них нет ничего страшного: это просто компактная запись соотношений между величинами. Сравните: вам могут сказать, что согласно общей теории относительности Эйнштейна «масса и энергия приводят к искривлению пространства-времени». Уравнение Эйнштейна выражает ту же мысль, но другим способом:

Предложение на русском языке дает лишь некое представление о том, что утверждает общая теория относительности. Уравнение показывает, что происходит на самом деле, точно и недвусмысленно. Можно прочесть множество предложений и описаний, но чтобы по-настоящему проникнуться идеей великого физика, нужно понять эту формулу.

Какая-то тарабарщина, скажете вы. Действительно, чтобы во всем разобраться, нужно начать с отдельных цифр и букв, в том числе, внезапно, греческих μ и ν, усвоить, что означает, зачем нужна каждая из них. Обычно изучающие физику студенты тратят на это несколько лет. Вам будет нужно всего лишь прочесть мою книгу.

Тем, кто дойдет до восьмой главы, станет ясно, что означают символы из уравнения Эйнштейна, чем они связаны друг с другом и что говорят о пространстве-времени и гравитации. Смысл формулы, даже полностью состоящей из греческих букв, понять много проще, чем настоящий текст на греческом языке.

Авторы большинства популярных книг думают, что читателям будет неинтересно рассматривать уравнения. В учебниках же, напротив, предполагается, что студенты должны не просто рассматривать, а решать уравнения, то есть прилагать в процессе обучения значительно больше усилий, гораздо лучше готовиться к курсу, чем нужно просто для понимания формул.

Я бы хотел подчеркнуть разницу между решением и пониманием: ведь именно она – ключ к быстрому и успешному усвоению мыслей из этой книги. Формула Эйнштейна не просто связывает какие-то конкретные массу и энергию с кривизной какого-то конкретного пространства-времени. Она представляет собой общее правило, контракт вроде «если мне дадут набор из массы и энергии, то я покажу, как они искривляют пространство-время». Выполнить такой контракт и есть «решение уравнения».

Иногда решить уравнение просто. Например, если в случае x = y² нам скажут, что y = 2, решением будет x = 4. Ничего сложного. Однако в реальном мире перед физиками стоят гораздо более трудные задачи, работа над которыми требует применения вычислительной математики (математики непрерывных изменений) и других современных методик. Решение подобных уравнений может занять все рабочее время профессионального физика. Так что не удивительно, что большая часть курса их обучения посвящена именно решению уравнений.

Любой физик скажет вам, что самым сложным в студенческие годы были не лекции, а задачи, которые задавались в огромных количествах, без какой-либо жалости к тем, кто хотел проводить выходные несколько иначе.

Здесь, в этой книге, вам не придется решать уравнения. Но вы научитесь их понимать, что значительно проще. В итоге вы уясните смысл даже довольно сложных, по меркам учебников, формул. Вы согласитесь с тем, что идеи современной физики – в их истинном, а не размытом метафорами смысле – могут быть доступны всем, кто готов немного подумать над уравнениями и тем, что за ними стоит. Вера в такую возможность – фундамент, на котором и строится эта книга.

* * *

Так о каких же идеях пойдет речь? Как можно догадаться, их много. Настолько, что мне пришлось разделить текст на три книги: «Пространство, время и движение», «Кванты и поля» и «Сложность и синергичность». Трилогия – этот формат популярен еще со времен «Властелина колец».

В книге, которую вы держите в руках – «Пространство, время и движение», – я расскажу о классических законах, открытых еще Ньютоном и не терявших актуальности до самой квантовой революции двадцатого века. Не столько о блоках и наклонных плоскостях, как бы ни были важны эти термины, сколько о сложных вопросах природы пространства, изменений и времени. Не побоявшись разбавить формулы рядом идей из области философии, мы перейдем к теории относительности: предложенным Эйнштейном концепциям искривленного пространства-времени, а также последствиям искривления, например черным дырам. Таким образом, мы начнем с идей многовековой давности, а закончим современным подходом к физике.

В книге «Кванты и поля» мы обсудим несколько вкусных идей из квантовой физики, среди которых – кот Шредингера и запутанность. Однако по большей части мы будем говорить о квантовой теории поля и физике частиц, которые на данный момент лучше всего объясняют фундаментальные законы природы. В последней книге – «Сложность и синергичность» – мы признаем, что мир состоит не только из двух или трех частей, а также увидим, сколько всего интересного происходит, когда движущихся тел много.

В итоге мы рассмотрим множество концепций, практически все из которых относятся к физике и родственным ей наукам. Это не означает, что в других научных областях (в гуманитарных дисциплинах и даже в искусстве) нет столь же важных и масштабных идей. Нам просто нужно где-то провести черту.

Еще одна черта, которую мы проведем, пройдет по границе между «в достаточной мере проверенными идеями» и «многообещающими гипотезами». На первых строятся учебники физики, вторые – к радости читателей – в большом количестве представлены в популярной литературе. Предположения и гипотезы очень важны, ведь большая часть работы исследователя – поиск новых знаний на грани уже изученного, расширение этих границ. Но все-таки наша цель – рассказ о концепциях, которые будут с высокой вероятностью актуальны и через столетие.

* * *

Я с удовольствием выражаю признательность всем, кто помогал мне на этом пути. Скотт Ааронсон (Scott Aaronson), Джастин Кларк-Дуэйн (Justin Clarke-Doane) и Мэтт Штресслер (Matt Strassler) прислали мне ценные отзывы, благодаря которым в тексте стало меньше шероховатостей. Джейсон Торчински (Jason Torchinsky) нарисовал прекрасные иллюстрации. Мой редактор, Стивен Морроу (Stephen Morrow), как всегда, давал мне советы, а мой агент, Катинка Мэтсон (Katinka Matson), помогла придать непростому проекту четкую форму. Важную роль в написании книги сыграли Элис Далримпл (Alice Dalrymple), Тиффани Эстрейчер (Tiffany Estreicher), Дора Мак (Dora Mak), Накиша Уорнер (Nakeesha Warner) и Мелани Муто (Malanie Muto). И конечно, я не могу не сказать большое спасибо Дженнифер Оуэллетт (Jennifer Ouellette) за ценные советы, моральную поддержку и многое другое.

Во время пандемии COVID-19 я смотрел онлайн-уроки драматургии, которые проводила моя подруга Лорен Гундерсон (Lauren Gunderson). Вдохновленный полученными знаниями, я снял серию видеороликов, которые и легли в основу книг этой серии. Эти видеоролики, а также другие дополнительные материалы можно найти, перейдя по ссылке:

https://preposterousuniverse.com/biggestideas/

Один. Сохранение

Оглянитесь вокруг. Как и у всех людей, у вас есть тело, а сами вы где-то находитесь, и, скорее всего, – в окружении самых разных предметов. Стол и стулья, стены и потолок, деревья и озеро, если вы на природе, – все эти объекты существуют, а их положение и свойства могут меняться с течением времени. Можно поставить стул рядом со стеной или посередине комнаты. Можно выпить стакан воды, а можно поставить его на стол. Через какое-то время вода испарится.

Именно так мы видим окружающий мир, смотря на него человеческими глазами, с близкого расстояния. Мы видим пространство, в котором находятся объекты. (При этом под словом «пространство» мы понимаем не космос, а некую трехмерную область, в которой можно перемещаться.) Объекты могут оставаться неизменными либо меняться. Физика изучает объекты, их поведение на самом базовом уровне, который можно представить. Что они из себя представляют? Как связаны друг с другом? Как изменяются со временем? Что такое «время» и что такое «пространство»?

Одна из самых приятных особенностей физики в том, как быстро мы переходим от простых наблюдений – смотрите, вот этот объект ведет себя вот так! – к глубоким вопросам о природе реальности. Но никакие явления не происходят сами по себе: они вписываются в определенные закономерности. Именно их мы называем законами физики, и наша задача – раскрыть их.

Самой простой закономерностью является тот факт, что некоторые объекты не изменяются с течением времени. С размышлений над этой базовой особенностью реальности мы и начнем наш путь, который вскоре приведет нас ко множеству интересных вещей.

Предсказуемость

Можно с уверенностью сказать, что мир вокруг нас предсказуем хотя бы в некоторой степени. На пару секунд отвернувшись от стола, а затем повернувшись назад, мы уверены в том, что снова увидим его. Кладя на стол яблоко, мы знаем: оно не полетит на пол, пройдя сквозь поверхность. Увы, мы пока что не в силах точно сказать, будет ли завтра дождь и кто победит на чемпионате, но результаты многих явлений достаточно предсказуемы.

Именно предсказуемость делает возможным существование физики. Пусть и не с абсолютной точностью, мы можем предугадать, что произойдет в нашем мире, исходя из данных о его текущем состоянии. Самый главный вид предсказуемости – сохранение, то есть отсутствие изменений.

Физики понимают под этим словом «постоянство во времени». Возможно, вы слышали о сохранении энергии, свойства объектов, которым они обладают в зависимости от природы и состояния. Энергия – не вещество, как песок или вода, не жидкость, которая перетекает с одного места в другое. Однако мы можем сказать, что если объект расположен на высоте, движется, нагрет, имеет большой вес, электрически заряжен, он обладает энергией.

При определенных обстоятельствах энергия преобразуется из одной формы в другую и обратно. Например, энергия стоящего на столе стакана, если столкнуть его на пол, мгновенно перейдет в энергию движения. Когда же стакан упадет и разобьется, его энергия рассеется, преобразуясь в энергию удара, шум и другие явления. При этом под сохранением энергии мы понимаем тот факт, что суммарное ее количество, независимо от текущей формы, не изменяется в течение всего наблюдаемого процесса.

(Постойте, спросите вы, где же здесь логика? Мы просто придумали несколько величин, дающих в сумме постоянное число, назвали его «энергией» и радостно сообщаем, что открыли закон физики? Нет. Есть независимые способы определить энергию и показать ее преобразования. Способы, в основе которых тот факт, что законы физики сами по себе неизменны. Но все же вы задали верный вопрос.)

Итак, существует некое свойство объектов, которое не изменяется, остается постоянным с течением времени. Это очень простая идея. Однако я выбрал ее, чтобы начать разговор о физике, совсем не по этой причине. Такое решение связано с тем, что поняв, что энергия сохраняется, ученые сделали первый шаг на пути к современной науке.

От природы к закономерностям

Подумайте о тех, кто в далекие времена, до появления физики в ее нынешнем виде, пытался понять этот мир. Древние мыслители приходили, в общем-то, к схожим мыслям, но чаще других в пример приводят греческого философа Аристотеля. Значительно упрощая предложенную им довольно сложную телеологическую картину вселенной (согласно которой последняя устремлена к некой будущей цели), можно сказать, что он разделил движение всех объектов на «естественное» и «неестественное» («вынужденное»). У каждого объекта есть свойственное ему место, которое он стремиться занять, а также условия, при которых он движется к этому месту. Например, камень падает на землю и остается лежать, огонь поднимается в небо.

По мнению Аристотеля, в естественном состоянии все на Земле неподвижно, а чтобы объект на какое-то время пришел в движение, необходимо внешнее воздействие. Можно поднять камень и бросить его, привести в неестественное или вынужденное состояние движения. Однако он быстро упадет на землю, может быть, вновь подлетит, отскочив от нее, но затем возвратится в естественное состояние покоя.

Экстраполируя эти наблюдения, Аристотель решил, что можно вывести основное правило вселенной: объекты естественным образом находятся в состоянии покоя, а движутся только тогда, когда что-то выводит их из этого состояния. Во многих случаях это правило действует. Например, стоящая на столе чашка не будет двигаться сама по себе. Мы можем переместить ее, приложив небольшое усилие, но стоит убрать руку, как чашка снова окажется неподвижной.

Но все-таки так происходит не всегда. Еще современники Аристотеля – древние греки – могли заметить, что выпущенная из лука стрела не сразу падает на землю, а долго летит под действием приложенной к ней силы. Почему же так происходит? Что мешает стреле быстро вернуться в естественное состояние?

Сотни лет великие умы ломали голову над этим вопросом, и в конце концов предложенная Аристотелем телеологическая картина вселенной была отвергнута. Ученые пришли к выводу: объекты не стремятся к неким конечным целям, а подчиняются строгим законам, позволяющим предсказать, что случится потом, исходя из того, что происходит сейчас.

Сохранение импульса

Мыслитель Иоанн Филопон, который жил в VI веке в Александрии, предположил, что тетива придает стреле некую величину: импульс, как ее позже назвали. Именно импульс, рассеиваясь, некоторое время поддерживает полет. Простое предположение, которое стало важным шагом на пути от «будущих целей» Аристотеля к свойствам, которые существуют в конкретный момент времени.

Идею Филопона развил Ибн Сина (Авиценна), персидский эрудит XI века. Именно он сделал решающий шаг, утверждая, что импульс – не просто временная величина. Каждый объект обладает определенным импульсом, который остается постоянным, пока на объект не подействует некая сила. У неподвижных тел импульс равен нулю.

В этой новой картине мира камни и чашки перестают двигаться не потому, что покой – их естественное состояние, а так как воздействующие на них силы (трение, сопротивление воздуха) постепенно уменьшают импульс, ранее сообщенный этим объектам. Ибн Сина предположил, что в отсутствие воздуха стрела полетит с постоянной скоростью и будет двигаться бесконечно долго. Крайне смелые мысли для того времени. Однако сегодня мы строим ракеты, скорость которых в космосе почти не меняется (если не считать небольших потерь от воздействия гравитации). В XIV веке французский философ Жан Буридан ввел математическую формулу, согласно которой импульс равен весу объекта, умноженному на его скорость.

Так появился один из законов физики: о сохранении импульса. В дальнейшем от грубой идеи о неизменности некоторого «количества движения» ученые пришли к точному пониманию того, что это за количество. Такой подход – обычное дело в теоретической физике: мы предлагаем новую величину, находим формулу для ее вычисления, а затем смотрим на то, как она, эта формула, согласуется с тем, что мы видим в реальном мире. Сегодня мы знаем, что импульс на самом деле – масса, умноженная на вектор скорости (по крайней мере, если не принимать в расчет теорию относительности, которая несколько все усложняет).

Одна из проблем придуманной Буриданом формулы (вес, умноженный на скорость) состоит в том, что вес не является собственным свойством объекта, так как зависит от действующей на него силы тяжести. На Луне человек весит меньше, чем на Земле, а на космическом корабле, на пути от планеты к планете, совсем не имеет веса. Поэтому нам нужна масса – свойство, которое, грубо говоря, показывает сопротивление объекта ускоряющему воздействию. Чтобы разогнать тяжелый и легкий объекты до одинаковой скорости, нужно приложить разные усилия: чем больше масса, тем больше сила.

Кроме того, следует различать скорость и вектор скорости. В первом случае это просто число, сколько-то метров в секунду. Вектор же показывает не только величину (которая фактически соответствует его длине), но и направление. Если одна машина едет на север, а другая на юг, и обе они проезжают 90 километров за час, мы можем сказать, что скорости их одинаковы, а направления – отличаются. Соответственно, разными будут и векторы скорости.

Когда мы хотим показать, что какая-то величина является векторной, мы ставим над ее символом стрелочку: . Если же нас интересует только количественное значение (длина вектора), мы используем тот же символ, но без стрелочки. Иными словами, длина вектора – это просто v.

Такое обозначение имеет смысл: мы часто представляем векторную величину, буквально рисуя стрелку, которая указывает в направлении вектора, а по длине пропорциональна его величине. Кроме того, вектор можно разложить на компоненты – векторы, которые направлены в определенные стороны и образуют в сумме исходный вектор. Если вы движетесь точно на север, то компоненты скорости, направленные на запад или восток, равны нулю.

Складывать векторы очень просто. Нужно совместить начало одного вектора с концом другого, а затем нарисовать вектор, соединяющий начало второго вектора с концом первого. Как будто мы прошли сначала по одному из исходных векторов, а затем – по второму. Если исходные векторы направлены (почти) в одну сторону, длина их суммы будет (почти) равна сумме их длин. Если же они направлены в (почти) противоположные стороны, то результирующий вектор будет намного короче.

Буридан и его предшественники не знали о векторах: их придумали в XIX веке. Среди тех, кто это сделал, – немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус¹ (который знаменит «лентой Мёбиуса»), ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон, немецкий эрудит Герман Грассман и английский математик Оливер Хевисайд. Так что на правильное определение импульса ушло немало времени.

В наши дни вектор импульса обычно обозначается буквой (от его латинского названия – petere). В итоге формула импульса – одна из самых простых в мире – выглядит так:

(1.1)

Наше первое официальное уравнение. Вектор импульса направлен в ту же сторону, что и вектор скорости, а его длина пропорциональна ее величине. Пропорциональность станет для нас крайне важным понятием. Оно означает, что кратное изменение одной величины влечет за собой кратное изменение другой. Если удвоить скорость, удвоится и импульс. Постоянное число, которое связывает такие величины, называется «коэффициентом пропорциональности». В некоторых уравнениях он может быть не совсем постоянным, но в данном случае это так: он равен массе объекта.

Преимущества даже такого простого уравнения очевидны. Мы не просто говорим, что импульс какого-то объекта равен произведению его массы на скорость. Мы заявляем, что существует универсальное соотношение между импульсом, массой и скоростью, которое справедливо всегда, для любого объекта. Когда мы дойдем до теории относительности, кое-какие из ранее пройденных формул придется «подправить». Но основные принципы останутся прежними.

В этом уравнении нет «причинности». Это жесткая связь между величинами, которую можно прочесть как слева направо, так и справа налево. Мы можем выполнять с ним любые операции, но только одинаковые для обеих сторон. Например, если разделить их на m, мы получим . «Если я знаю скорость объекта, то, умножив ее на массу, я получу импульс». «Если я знаю импульс, то, разделив его на массу, я получу скорость». Эти высказывания равносильны.

Удары и толчки

Сила закона сохранения импульса выходит далеко за рамки идеи о том, что отдельный объект, на который не действуют силы, будет двигаться с постоянной скоростью. Гораздо важнее, что сохраняется суммарный импульс всех объектов, которые образуют некую систему.

Представьте себе два объекта, которые движутся без каких-либо действующих на них сил: например, два бильярдных шара на столе без трения. (Что будет идеализацией, но физики это любят.) Сначала они катятся по прямым линиям, затем сталкиваются и расходятся по новым прямым линиям.

Обозначим начальные импульсы двух шаров как и , а конечные – как и . Тогда закон сохранения импульса для них можно записать так:

(1.2)

Очевидно, что после столкновения импульсы шаров изменяются. Однако суммарный импульс остается неизменным.

Импульс сохраняется всегда. Простим наших предков за то, что они не сразу заметили это. Вспомните чашку Аристотеля, которая движется лишь тогда, когда кто-то перемещает ее по столу. Кажется, что импульс не сохраняется, ведь скорость чашки меняется с нуля до какой-то величины. Однако на самом деле на чашку воздействует рука человека, который своим весом давит на стул, на котором сидит, а тот, в свою очередь, опирается на пол и так далее, до самой Земли. Поэтому изменение импульса чашки точно компенсируется изменением импульса системы «человек, стул и Земля». Мы не замечаем этого, ведь масса чашки очень мала по сравнению с массой человека, и его скорость изменится неизмеримо мало (хотя все равно изменится). Как только человек отпустит чашку, произойдут обратные изменения скорости: импульс чашки уменьшится до нуля, а человек, напротив, приобретет небольшой импульс.

В фильме «Гравитация» есть сцена, в которой Сандра Буллок и Джордж Клуни попали в беду и летят за пределами станции, держась за привязанный к ней трос. (Предупреждаю о спойлерах в этом и следующем абзацах.) Хороший во всех отношениях фильм, но с физикой в этой сцене большие проблемы. Чтобы спасти Сандру, Джордж жертвует собой, отцепляясь от троса. В реальности все они находятся на практически одинаковой высоте от Земли, а значит, не действует никаких сил, отталкивающих их от станции. Чтобы вернуться туда, достаточно было немного дернуть за трос.

В фильмах нередко слегка искажают законы природы в угоду хорошей истории. А почему бы и нет? Но тут перегиб совершенно напрасный. Можно было бы даже повысить градус драматургии, полностью убрав трос. Представьте: Сандра и Джордж рука об руку медленно отдаляются от станции. Ничто их не держит, их общий импульс неизменен и направлен в открытый космос, к неизбежной гибели. Единственный шанс спастись – оттолкнуться друг от друга. Сумма импульсов останется прежней, но только один космонавт полетит к станции, а другой – все так же в космос, но только быстрее. Тут могут быть варианты: кто-то пожертвует собой, спасая коллегу, либо наоборот, обречет его на смерть, спасая себя. Но это был бы уже совсем иной фильм.

Классическая механика

На долгом пути к обретению знаний об импульсах люди не только открыли закон, который важен и по сей день, но и по-новому стали смотреть на физику. Исчез предложенный Аристотелем телеологический мир внутренних сущностей, причин и следствий, а также движения, требующего движущей силы. На смену ему пришел мир закономерностей, законов физики. И после важных открытий, сделанных Декартом, Галилеем и другими учеными, появилась первая полноценная система физических законов. Созданная Исааком Ньютоном в 1687 году, сегодня она известна как классическая механика.

Важно уточнить, что современные физики проводят различие между «классической механикой» – довольно широкой и универсальной системой законов – и «механикой Ньютона» – одной из конкретных моделей в этой системе. Классическая механика (в отличие, например, от механики квантовой) утверждает, что мир состоит из объектов, которые обладают определенными измеримыми свойствами и подчиняются однозначным уравнениям движения. Механика Ньютона рассматривает эти объекты в абсолютном пространстве и времени. В отличие от нее «релятивистская механика», которая также является классической, основана на том, что пространство и время представляют собой единое целое. Пока мы не начнем разговор о теории относительности, все уравнения для таких понятий, как импульс и энергия, мы будем брать из механики Ньютона.

Чтобы совсем вас запутать, добавлю, что есть еще механика Лагранжа и механика Гамильтона. Обе они, безусловно, являются классическими. И обе математически эквивалентны механике Ньютона, хоть и основаны на других понятиях. Считать ли их чем-то отличным от механики Ньютона или же нет – дело вкуса.

Классическая механика – это теория закономерностей, а не природы или причинно-следственных связей. Вместо «Какое состояние естественно для системы?» или «Почему система движется именно так?» мы спрашиваем: «Что происходит с системой в конкретный момент времени?». Полученный ответ дает возможность сделать прогноз на любой другой момент, причем не только в будущем, но и в прошлом. Вот, например, уравнение (1.2) (закон сохранения импульса) можно рассматривать применительно к прошлому: если мы знаем конечный суммарный импульс, мы можем утверждать, что он равен начальному, то есть не изменился.

Мы подошли к еще одному, гораздо более важному закону сохранения: сохранения информации, на котором по сути построена классическая механика Ньютона. Однако популярность среди ученых этот закон приобрел в 1814 году благодаря трудам Пьера-Симона Лапласа. По мнению этого математика из Франции, состояние классической системы в любой момент времени определяется положением и скоростью всех ее частей (например, Солнца и планет). Этот объем информации сохраняется с течением времени. По одному состоянию системы мы можем предсказать любые другие состояния, как в будущем, так и в прошлом. Разумеется, при наличии точных данных и мощных вычислительных систем. Лаплас представил себе «сверхразум», гипотетическое существо с такими возможностями, которое затем назвали демоном Лапласа. Разумеется, главный смысл этой идеи не в том, что кто-то может быть способен на такие предсказания, а в том, что мы должны стремиться к этому. Никто не может знать положение и скорость каждого атома в песчинке, тем более – во всей вселенной. Но у самой вселенной такие данные есть, и по законам классической механики они сохраняются во времени.

Сохранение энергии

Настало время поговорить о сохранении энергии, одном из самых известных законов классической механики и любопытном примере развития физических понятий. В отличие от импульса, величины векторной, энергия объекта – это просто число («скаляр», как иногда говорят, чтобы подчеркнуть отличие от векторов и других, более сложных величин). Энергия не имеет направления и может проявляться в разных формах. Одна из них – кинетическая энергия, энергия движения, – связана с импульсом. Формула² кинетической энергии объекта с массой m и скоростью v выглядит так:

(1.3)

В классической механике сохраняются и импульс, и энергия. Однако кинетическая энергия сама по себе не сохраняется, поскольку может переходить в другие формы энергии (или возникать из них). При стрельбе из лука энергия, накопленная при натяжении тетивы, переходит в кинетическую энергию стрелы.

В простых обстоятельствах мы можем напрямую проследить, как энергия переходит из одной формы в другую. Физики любят приводить в пример шар, который катится по холму, где, как мы представляем, нет ни трения, ни сопротивления воздуха. Поднятый на высоту, шар обладает потенциальной энергией. На высоте h она будет равна:

(1.4)

Здесь m – масса шара, а g – ускорение, обусловленное силой тяжести вблизи поверхности Земли (или другой планеты, где проводится эксперимент). Численно g ≈ 9,8 метра в секунду за секунду, то есть скорость падающего предмета (без учета сопротивления воздуха) каждую секунду увеличивается на 9,8 метра в секунду. Таким было бы ускорение, даже если бы не было холма.

Когда шар катится с холма, его суммарная энергия Е_{кинетич.} + Е_{потенц.} остается постоянной. При этом энергия переходит из одной формы в другую. Например, если шар поместить на склон, он покатится вниз. Его кинетическая энергия будет расти ровно настолько, насколько потенциальная энергия – уменьшаться.

Легко увидеть, как потенциальная и кинетическая энергии превращаются друг в друга. Другие формы энергии менее очевидны. Мы уже говорили о бильярдных шарах. Физики любят, когда они движутся по поверхности без трения, а при столкновении не издают звука, не выделяют тепла. При этом импульс и кинетическая энергия шаров полностью сохраняются: они просто отскакивают друг от друга. Такие столкновения называются упругими (возможно, вам говорили о таких на уроках физики).

Бывают и неупругие столкновения, при которых импульс сохраняется, но кинетическая энергия переходит в другую форму. Столкнем вместо бильярдных шаров два комка глины. Если в начальный момент их импульсы равны и направлены друг против друга, то есть , то при столкновении комки немного деформируются и слипнутся, образовав один неподвижный ком. Суммарный импульс не изменился, а кинетическая энергия – да. Она перешла в тепло и механическое напряжение.

Раньше ученые, в том числе и сам Ньютон, не до конца понимали, что импульс и энергия – разные вещи. Они полагали, что существует некая единая величина – «количество движения». Несложно объяснить, что такое импульс, в терминах механики Ньютона, в основе которой – прямолинейное и равномерное движение объектов, не подвергающихся воздействию сил. С энергией все не так просто. Впрочем, попытки были. Например, Готфрид Вильгельм Лейбниц (соперник Ньютона в области высшей математики) предложил новую величину – «vis viva», – которую он определил как mv² и полагал важной для изучения движения.

Ситуацию прояснила Эмили дю Шатле – философ и физик из Франции, известная переводами книг Ньютона. Считая энергию независимой от импульса, но также сохраняющейся величиной, она провела опыт, задуманный голландским ученым Вильгельмом Гравезандом. Если бросить тяжелый шар в мягкую глину, он ожидаемо остановится в ней, полностью передав свой импульс земле. При этом в глине появится лунка, объем которой, как оказалось, зависит от квадрата скорости шара в момент удара, то есть от кинетической энергии. Именно ее шар и тратит на то, чтобы сделать лунку.

Возможно, вы слышали о «законе сохранения массы». Его считали верным, пока не появилась теория относительности. Согласно этой теории, импульс и энергия сохраняются (хотя их формулы несколько отличаются от написанных выше), масса же представляет собой особую форму энергии. В этом и заключается смысл знаменитого уравнения Эйнштейна – энергия неподвижного объекта (то есть при нулевой кинетической энергии) равна его массе, умноженной на квадрат скорости света:

(1.5)

Если для обычных тел закон сохранения массы можно считать достаточно точным приближением, то для частиц, скорость которых близка к скорости света, он не работает. Говоря о таких частицах, следует мыслить в терминах сохранения энергии³.

Почему существуют законы сохранения?

Ученые любят задавать вопросы. Мы хотим знать, почему яблоки падают с деревьев, почему кофе и сливки смешиваются, почему горит и гаснет огонь, но часто при этом находим ответы, которые порождают новые вопросы. Нужно всегда быть готовыми к тому, что цепочка однажды прервется, и мы услышим в ответ: «Так есть, потому что так есть». И с этим уже ничего не поделать.

Так было и с законами сохранения. Однако, к счастью, в начале XX века была доказана теорема, которая установила связь этих законов с симметрией в природе. К такому замечательному выводу пришла Эмми Нётер, математик из Германии. Симметрия – это преобразование, которому может подвергнуться система при полном сохранении основных характеристик. Например, круг полностью симметричен относительно центра. Поэтому его можно повернуть на любой угол без внешних изменений. А вот квадрат сохраняет свой внешний вид только при повороте на угол, кратный 90°.

Теорема Нётер гласит, что любое плавное преобразование непрерывно симметричной системы связано с сохранением некоторой величины. Например, законы физики в целом симметричны при сдвигах в пространстве и времени. Мы можем провести опыт на одном месте, а затем повторить на другом, немного подождать и снова повторить. И мы получим один и тот же результат во всех этих случаях. Теорема Нётер связывает такую симметрию с уже известными нам законами сохранения. Неизменность при сдвигах в пространстве приводит к сохранению импульса, а при сдвигах во времени – к сохранению энергии. При этом важна размерность симметрии. Время одномерно, поэтому сохраняется лишь одна величина: энергия. Пространство трехмерно, мы можем перемещаться в любом из трех направлений. Поэтому импульс является вектором, который можно разложить на три компонента, по одному на каждое направление. В системах, где что-то вращается вокруг какой-то оси, появляется еще одна сохраняемая величина: момент импульса.

Рассматривая сдвиги в пространстве, сдвиги во времени и вращения, при которых система претерпевает пространственно-временные изменения, мы говорим о симметрии пространства-времени. В физике частиц и квантовой теории поля, которая изучает взаимодействие полей и их частей, существует понятие внутренней симметрии. Из-за нее сохраняются электрические заряды и другие свойства частиц.

Но есть одна важная тонкость. Кажущаяся нам симметрия законов физики нарушается, когда мы сами находимся внутри какой-то реальной системы. Например, Вселенная расширяется. Галактики постепенно отдаляются друг от друга, и в будущем расстояние между ними станет больше, чем было когда-то. Но если Вселенная изменяется при сдвигах во времени, значит, ее энергия не сохраняется. Если мы посчитаем суммарную энергию во всех известных нам формах материи (излучение, обычная материя, темная материя, темная энергия и т.д.), получится число, которое будет меняться со временем. Можно попробовать обойти этот факт, определив энергию в кривизне самого пространства-времени. Пока что такие попытки не дали нам положительных результатов. Поэтому нет ничего страшного в том, чтобы вычислить суммарную энергию «области пространства» или «всех объектов в какой-то области» и признать, что она не является постоянной.

Как можно заметить, законы сохранения – тема непростая, требует осторожных и тщательных размышлений. Это умение непременно потребуется нам при знакомстве с величайшими идеями во вселенной.

Философия сферической коровы

Законы сохранения очень важны с научной точки зрения и крайне полезны на практике. Но есть еще одна причина начать изучение физики именно с них, и прежде всего с сохранения импульса. Эти законы – отличный пример того, как работает важный методологический принцип: философия сферической коровы⁴.

Этим названием мы обязаны анекдоту, который любят рассказывать физики. На одной ферме коровы перестали давать молоко. Как фермер ни бился, что ни придумывал, – не помогает. Тогда он позвал на помощь приятеля: физика-теоретика. Тот долго смотрел на коров, что-то записывал, считал и, наконец, пришел к фермеру с радостной новостью.

– Я понял, в чем тут проблема, – сообщил он важно. – Допустим, что корова имеет форму сферы…

Не поняли юмора? Шутка не только в том, что корова не похожа на сферу, что рога, копыта и хвост – именно то, что делает ее коровой. В природе в принципе нет и не может быть сферических коров. Смысл в том, что физики делают такие допущения, чтобы упростить формулы и расчеты, но часто при этом выходят за рамки реального мира, в данном случае – области знаний, полезных обычному фермеру с его надоями.

Но анекдот знаменит не тем, что ужасно смешной. Я этого не говорил. Все дело в том, что пример с коровой и сферой показывает общий принцип, который действительно работает в физике, и работает невероятно хорошо. Чтобы решить сложную задачу, мы подменяем ее более простой, создаем идеальный случай, в котором нет множества трудностей. Затем, получив решение, мы усложняем задачу и выясняем, как эти трудности влияют на результат.

Именно так был открыт закон сохранения импульса. Аристотель не ошибался: чашка будет стоять на столе, пока кто-то не сдвинет ее, и прекратит движение, стоит лишь отпустить руку. Ибн Сина тоже был прав: чашка остановится из-за трения, а не в силу своей внутренней природы. И если трением пренебречь, представив себе, к примеру, стрельбу из лука в вакууме, окажется, что стрела полетит с постоянной скоростью. Такого рода рассуждения – хорошая отправная точка, с которой можно начать анализ физического явления. Сложности вроде трения можно учесть позже.

Мастером на такие дела был Галилей. Он обладал выдающимся умением отделять существенные аспекты от тех, которыми можно для начала пренебречь. Аристотель утверждал, что тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие. В этом несложно убедиться: достаточно бросить книгу и лист бумаги с одной и той же высоты. Но Галилей заявил, что не будь сопротивления воздуха, предметы падали бы с одинаковой скоростью. Он даже провел гениальные опыты и сумел подтвердить основные моменты своей теории. Чтобы проверить ее окончательно, людям потребовалось несколько веков.

Философия сферической коровы приносит физикам много пользы, и мы еще не раз увидим ее в действии. Но все-таки нужно признать: она работает не всегда. Едва ли она помогла тому фермеру в его проблемах. Во многих сложных системах, которые могут встретиться нам в реальном мире, множество факторов действуют одновременно и влияют друг на друга так, что их невозможно разделить на важные и не очень, исключить, а затем внести обратно. Взять, например, биологию, экономику… Там все зависит от всего.

Физика кажется такой трудной именно потому, что на самом деле проста по сравнению с другими науками. Именно в физике (по крайней мере, в некоторых ее разделах) мы можем чудесным образом пренебречь множеством факторов, упростить и решить поставленную задачу, а затем учесть все, что было отложено на потом. Без этого наша работа была бы намного, намного сложнее. В результате физикам удалось открыть много парадоксальных и удивительных свойств нашего мира, от квантовой механики до теории относительности и Большого взрыва. Мы никогда не смогли бы дойти до таких вещей обычным умом, но мы придумали их, подгоняя формулы под опытные данные. Мы изучаем парадоксальные явления, а потому нам бывает трудно понять их, особенно поначалу. Предстоящий путь часто пугает тех, кто едва вступил на него.

Два. Изменение

Физика появилась благодаря тому, что наш мир в значительной мере склонен к непрерывности и предсказуемости. Жить в мире, где совсем ничего не меняется, было бы скучно, но, к счастью, не нужно. Все вокруг нас пребывает в движении: планеты и звезды летят сквозь космос, люди спешат на работу или домой, атомы внутри нас гудят, наполненные энергией. Давайте присмотримся к этим процессам как можно внимательнее.

В классической физике изменения описываются посредством особого механизма – парадигмы Лапласа. Чтобы доказать закон сохранения информации, Лаплас предложил мысленный эксперимент (того самого демона Лапласа). Утверждается, что данные, необходимые для предсказания будущего (либо восстановления прошлого), существуют в любой момент истории развития изолированной системы. Чтобы понять, как она изменяется, можно действовать следующим образом:

• описать состояние системы в какой-то момент времени;

• при помощи законов физики рассчитать ее состояние мгновение спустя (или до этого);

• при помощи тех же законов понять, что будет еще мгновение спустя, и т.д.

Действуя таким образом, можно воссоздать всю историю системы в прошлом, настоящем и будущем. Одно состояние за другим, опираясь лишь на текущие данные и законы физики, не думая о свойствах системы, ее назначении либо целях, которые она может преследовать.

Но вот вопрос: что мы имеем в виду под словами «мгновение спустя»? Сколько это – мгновение? Секунда? Доли секунды? Как-то не слишком определенно.

Пожалуй, было бы хорошо разделить время на минимально возможные единицы. Однако время течет непрерывно. Этот факт очевиден и принимается современной физикой. Древние ученые, от Зенона Элейского (известного своими «парадоксами») до Архимеда, считали непрерывность времени неразрешимой загадкой. Решить ее удалось лишь тогда, когда Ньютон и Лейбниц создали, независимо друг от друга, дифференциальное исчисление – математические методы для работы с бесконечно малыми величинами. Итак, отбросьте все страхи, школьные и студенческие: в этой главе мы познакомимся с высшей математикой.

Хорошая новость в том, что базовые понятия гораздо проще, чем, возможно, вам говорили. На самом деле их всего два: «производные», которые позволяют определить скорость изменения, и «интегралы», при помощи которых мы можем вычислить его суммарную величину.

(Плохих новостей нет.)

Планеты и силы

На пути к пониманию парадигмы Лапласа как способа описания изменений полезно подумать и о других способах. Рассмотрим, к примеру, движение планет Солнечной системы – вопрос, с давних пор волновавший и вдохновлявший физиков.

Многие знают о Птолемее и Копернике. Птолемей, астроном из Александрии, еще во II веке придумал геоцентрическую модель Солнечной системы (где центром мира является Земля). Эта модель была актуальной более тысячи лет. В XVI веке польский астроном Коперник придумал другой вариант – гелиоцентрическую модель (центр – Солнце), чем сильно расстроил многих из тех, кто с радостью считал себя жителем центра Вселенной. Обе модели строились на окружностях. Но чтобы описать орбиты, используя только окружности, и получить результат, похожий на то, что астрономы реально видели в небе, модель пришлось до ужаса усложнить. Во-первых, окружности орбит оказались смещенными относительно общего центра. Во-вторых, по этим окружностям двигались не планеты, а небольшие круги-эпициклы, точнее их центры. И вот по ним уже двигались сами планеты.

В XVII веке все стало намного проще. Немецкий астроном Иоганн Кеплер, как и Коперник, поставил в центр солнечной системы Солнце. Однако ученый знал, что помимо круга, при всех его достоинствах, есть и другие геометрические фигуры. Решительно выбрав эллипс, он полностью устранил эпициклы, а заодно и все усложнения, связанные с ними. Используя данные, по крупицам собранные его наставником Тихо Браге, Кеплер выдвинул три закона, которым подчинено движение планет:

1. Планеты движутся по эллиптическим орбитам, а Солнце находится в одном из их фокусов.

2. Двигаясь по орбите, планета проходит равные сектора за равное время. Поэтому рядом с Солнцем скорость движения выше, чем вдали от него.

3. Чем больше орбита, тем больше времени требуется на оборот вокруг Солнца. Если точнее, квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси эллипса ее орбиты. Именно так связаны друг с другом орбиты разных планет.

Законы Кеплера значительно приблизили ученых к пониманию динамики планет. Однако возник и новый вопрос: почему орбиты подчиняются этим законам? Стоит ли вообще думать об этом?

В конце XVII века, на заре Эпохи Разума, эти вопросы волновали лучших ученых нашего мира. Вдохновленные работами Галилея и Декарта, натурфилософы сосредоточились на механике – науке о движении, его причинах. Было известно, что прямолинейное движение с постоянной скоростью является естественным состоянием объекта, а его импульс всегда сохраняется. Но нужно было понять, почему тела не всегда движутся по прямой. Казалось, ответ очевиден: на них воздействуют некие силы. Но что такое сила и как она действует – оставалось неясным. По сути ученые вернулись к концепции Аристотеля о вынужденных или же неестественных движениях. Изменилось лишь мнение о том, что считать естественным состоянием: движение с постоянной скоростью пришло на смену неподвижности.

Важный шаг вперед сделал голландский физик Христиан Гюйгенс. Проведем простой опыт: привяжем к камню веревку и будем крутить его над головой. Чтобы камень не улетел, а описывал круги, придется крепко держать веревку. Гюйгенс нашел формулу для расчета «центростремительной силы», которую нам нужно приложить. (Еще он предложил волновую теорию света, изобрел маятниковые часы и открыл спутник Сатурна Титан. Бурное было время.) Конечно, веревка и камень лишь отдаленно показывают движение планет, но общее сходство имеется.

В 1660 году в Англии появилось Королевское общество, и вскоре в его состав вошли экспериментатор Роберт Гук, архитектор Кристофер Рен и молодой астроном Эдмунд Галлей, которые впоследствии стали друзьями. В одной из прочитанных обществу лекций Гук заявил, что движение планет можно объяснить силой тяготения Солнца, которая уменьшается с расстоянием и отклоняет планеты от прямолинейных траекторий. Однако Гук не был знатоком математики и не смог довести свою идею до ума. Вместе с Галлеем и Реном Гук много времени проводил в кофейнях (популярное новшество того времени) за обсуждением этих вопросов. К 1684 году друзья поняли, что третий закон Кеплера можно выразить с помощью формулы центростремительной силы Гюйгенса, если принять, что сила тяготения Солнца подчиняется закону обратных квадратов. Например, если одна планета в три раза дальше другой от Солнца, то воздействующая на нее сила будет в девять раз меньше той, что воздействует на вторую планету. Однако Гук и компания не смогли доказать, что орбиты планет под таким воздействием будут иметь форму эллипса.

Ньютон и его законы

Рен хорошо потрудился, проектируя собор Святого Павла и ряд других зданий, и был, возможно, самым богатым из трех друзей. Он предложил награду тому, кто сможет вывести формулу орбиты с учетом закона обратных квадратов. Уже в то время все знали, что самый умный на земле – Исаак Ньютон, который жил тогда в Кембридже и сторонился больших компаний. Однажды Галлей набрался смелости и приехал к нему. Ньютон принял Галлея любезно, и тот завел разговор об орбитах и гравитации. Ньютон сразу же заявил, что получится эллипс. Несколько ошеломленный Галлей спросил, почему он так в этом уверен. Ньютон ответил: «Я его вычислил».

Увы, мы не знаем, как именно он это сделал. Известно лишь, что Галлей попросил Ньютона изложить расчет на бумаге, после чего написал небольшую статью и представил ее Королевскому обществу. Однако статья оказалась не слишком подробной, и Галлей вновь обратился к великому физику с просьбой расширить ее. Ньютон с энтузиазмом начал работу. Восемнадцать месяцев спустя он создал «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), сокращенно – «Начала», книгу, что оказала, быть может, самое большое влияние на развитие современной науки.

В «Началах» описывалась новая система классической механики, которая считалась неоспоримой в течение трех веков. Помимо этого автор предложил закон всемирного тяготения, вывел законы Кеплера из базовых принципов, а также представил первые азы того, что сейчас известно как дифференциальное исчисление. Ньютон далеко продвинулся в этом вопросе, но опасался, что новые методы еще недостаточно совершенны и вызовут возражения. Поэтому он не решился в полную силу использовать их в «Началах». Независимо от него к похожим идеям пришел Лейбниц. Именно его обозначения используются в современной математике. Ньютон много и горячо спорил с Лейбницем по этому поводу, а с Гуком о законе обратных квадратов – Ньютон вообще любил много и горячо спорить.

Классическая механика – это не просто теория о каком-то определенном физическом явлении. Это система, всестороннее описание устройства нашего мира, которое до прихода квантовой физики принимали за истину практически все ученые. Мы говорили о том, как множество очень умных людей веками пытались понять, что такое импульс, сила и движение. Ньютон, тщательно все осмыслив, показал то, что представлялось в ту пору верным ответом. Как сказал знаменитый космолог Рокки Колб (Rocky Kolb): «Чтобы сравниться с Ньютоном, братьям Райт пришлось бы не просто построить первый в мире самолет, а сделать что-то похожее на современный лайнер и полететь на нем из Калифорнии прямо в Нью-Йорк».⁵

Так что же на самом деле сказал Ньютон? Погружение в классическую механику ждет нас в следующей главе. Пока же добавим к движению планет еще два важных понятия.

Первое из них – ускорение. Если объект в своем естественном состоянии движется по прямой с постоянной скоростью, ускорение служит мерой отклонения от этого состояния, то есть показывает, как изменяется скорость объекта. Как и скорость, ускорение представляет собой вектор, так как имеет определенное направление. Согласно второму закону Ньютона, самой известной формуле классической механики, ускорение пропорционально результирующей действующих на объект сил. Коэффициентом пропорциональности служит масса объекта:

(2.1)

Первый закон Ньютона утверждает, что в отсутствие внешних сил скорость объекта остается неизменной, а третий – что тела воздействуют друг на друга с равными силами, которые направлены в противоположные стороны. Чаще всего на объект действует сразу несколько сил, поэтому мы можем сложить их и получить единую, равнодействующую силу, которая и определяет ускорение. (Поскольку вектор – это длина и направление, две большие, но действующие друг против друга силы в сумме дадут очень маленькую.) Разделив обе части уравнения (2.1) на m, получим формулу для расчета ускорения: .

Второе понятие – закон всемирного тяготения – не что иное, как окончательный вариант закона обратных квадратов, о котором говорили Гук и его друзья. Заслуга Ньютона в том, что новый закон полностью универсален: он объясняет и движение планет, и падение яблок на землю. Для нас эти вещи кажутся очевидными, но в те времена отыскать связь между космосом и фруктовым садом было огромным шагом вперед.

Рассмотрим два небесных объекта с массами m₁ и m₂, удаленные друг от друга на расстояние r. Примем за «единичный вектор» длиной 1 (неважно, в каких единицах), направленный от объекта 2 к объекту 1. Ньютон говорит, что сила притяжения объекта 1, воздействующая на объект 2, будет равна

(2.2)

Число G – гравитационная постоянная, которая определяет величину силы тяготения. С точки зрения объекта 2 объект 1 является источником гравитации – физического свойства, создающего силу, – и наоборот.

Это уравнение немного сложнее предыдущих, но если сесть и подумать о нем, мы снова увидим пропорциональность двух векторов: силы , с которой объект 1 воздействует на объект 2, и единичного вектора , который направлен от объекта 2 к объекту 1. Сложный вид уравнения объясняется тем, что коэффициент пропорциональности представляет собой произведение гравитационной постоянной, двух масс и обратного квадрата расстояния. В результате мы можем точно определить, как сильно Солнце воздействует на планеты: чем ближе к нему, тем сильнее.

При помощи двух простых правил – второго закона (2.1) и закона всемирного тяготения (2.2) – Ньютону удалось воспроизвести все законы Кеплера. Более того, он показал, что сила тяготения сферического объекта в точности равна силе тяготения точки, обладающей такой же массой и расположенной в его центре. Поэтому, если мы принимаем модель, в которой планеты и Солнце – большие шары, мы с тем же успехом можем считать их точками. Кроме того, можно усложнить эту модель: рассматривать не обособленные пары из Солнца и одной планеты, а целиком всю Солнечную систему. Благодаря законам Ньютона мы можем понять, как на движение других планет влияет, к примеру, Юпитер (самая большая планета). Именно так небесная механика стала столь точной наукой, что позволяет нам отправлять на Луну ракеты.

Локальный подход

Мы не будем подробно рассматривать законы Кеплера в интерпретации Ньютона, лишь подчеркнем философские различия между двумя подходами к динамике планет (а значит, и к физике в целом). Кеплер говорит, что планеты движутся по эллипсам, делает предположения о скорости движения. Это глобальное утверждение, которое описывает орбиту в целом. Чтобы проверить его, нужно дождаться, когда планета сделает оборот вокруг Солнца, а затем проанализировать собранные данные.

Делая те же выводы, что и Кеплер, Ньютон идет совершенно иным путем. Он принимает за отправную точку какой-то конкретный, локальный момент времени и данные о планете, известные на этот момент: скорость, местоположение, действующие силы. Посредством второго закона он вычисляет ускорение, а затем экстраполирует результаты, чтобы понять, что будет с планетой в будущем.

Парадигма Лапласа в действии. Впервые предложенная Ньютоном, получившая философское осмысление в трудах Лапласа и развитая в дальнейшем другими учеными, в том числе Гамильтоном, она утверждает, что весь объем данных, необходимых, чтобы понять дальнейшее либо прошлое развитие системы, содержится в любом произвольно выбранном ее состоянии. В простой системе (как, например, планеты и Солнце) состояние можно описать положением и скоростью каждого из ее элементов. Вы можете возразить: нужны еще силы, которые воздействуют на планеты. Это действительно так. Но силы определяются скоростью и положением других элементов системы. И если у нас эти данные есть, мы готовы к работе.

Чтобы справиться с этой задачей, нужно решить два важных вопроса. Во-первых, мы говорим о скорости изменения различных величин. Скорость движения показывает, как быстро меняется положение в пространстве, ускорение – как быстро меняется скорость. Как выразить эти понятия в числах? Когда объект движется из одной точки в другую, мы можем определить его среднюю скорость: достаточно разделить пройденное расстояние на проведенное в пути время. Чтобы узнать мгновенную скорость в какой-то точке пути, этого недостаточно. Тут нужно действовать более умно.

Во-вторых, мы хотим воссоздать проделанный путь, то есть определить суммарно пройденное расстояние по известным начальным данным о положении, скорости и ускорении. В самом простом случае, когда объект движется строго с постоянной скоростью, нужно умножить скорость на время движения. Но если во время пути объект ускоряется или же замедляется, делает повороты, этого недостаточно. Здесь также нужно крепко подумать.

Дифференциальное исчисление как раз и дает ответ на вопрос о том, как найти мгновенную скорость и расстояние, пройденное за промежуток времени. Для этого нам нужны производные и интегралы, как называют их математики. Что же, пора засучить рукава.

Функции

Представим себе машину, которая мчится по прямому шоссе. Ее скорость и ускорение представлены векторами, но так как движение прямолинейно, оба они будут направлены в одну сторону, а значит, мы можем представить их числами (положительными либо отрицательными). Также представим себе, что в машине имеется точный одометр, которые отслеживает и регистрирует ее положение в каждый момент времени.

С математической точки зрения мы получили функцию, которая определяет положение машины x в зависимости от времени t. Функция устанавливает соответствие между двумя величинами. Мы можем взять одну из них, пропустить ее через функцию и получить другую. При этом величины могут быть выражены числами, множествами чисел или чем-нибудь более сложным. Входная величина называется аргументом функции, а выходное значение соответствует этому аргументу.

Функция: аргумент → значение

f : t → x.

Функцию, которая показывает зависимость х от t, можно записать как х = f(t) или, для краткости, просто х(t). Мы можем использовать любые буквы, главное – не забыть, что они означают. Если мы примем за x и y координаты на местности, мы можем выразить высоту рельефа в любой его точке как функцию h(x, y). То есть величина x в каких-то случаях может быть входным значением функции (аргументом), а в других – выходным.

В случае с машиной аргументом будет время t, а функция х(t) – возвращать координату x в соответствующий момент времени. Мы можем нарисовать ее график. Возможно, вам уже знакомы некоторые типовые функции вроде t² или sin(t). Идея тут в том, что что функция устанавливает однозначное соответствие между значениями t и x, даже если его нельзя записать какой-то простой формулой.

Под «однозначным соответствием» мы понимаем, что каждому значению аргумента противопоставлено одно и только одно выходное значение. Значения могут повторяться: машина может несколько раз проехать какое-то место на дороге, однако в каждый момент времени t она будет только в какой-то одной точке x. График функции может изгибаться вверх и вниз, но не петлять влево или вправо.

Производные

Имея функцию x(t), то есть зависимость положения от времени, мы можем задаться вопросом, какова скорость машины в тот или иной момент. Мы знаем, что скорость показывает, насколько быстро меняется положение. Но как ее вычислить, зная x(t)? Для этого нам недостаточно знать, где машина сейчас: нужно учесть, где она была в другие моменты времени.

Посмотрев на график функции, можно интуитивно понять, что скорость машины связана с наклоном кривой в каждой ее точке: чем круче она изогнута вверх или вниз, тем выше скорость. Почти горизонтальный участок графика показывает, что с течением времени положение машины изменяется медленно, то есть скорость очень мала. Крутой участок, напротив, говорит о быстром перемещении, то есть высокой скорости.

Представим себе прямую линию, которая касается кривой x(t) в какой-то момент времени t₀. Она называется касательной линией в этой точке. Скорость машины в момент t₀ будет равна углу наклона такой касательной. Нам нужно предложить систематический подход к определению и вычислению угла наклона касательной в зависимости от времени.

Это довольно просто, когда машина едет с постоянной скоростью, то есть график функции представляет собой прямую, как на следующем рисунке. Ее наклон, а значит, и скорость вычислить очень легко: достаточно разделить изменение положения на время, в течение которого оно менялось. Обозначим изменение положения за ∆x, а промежуток времени – за ∆t. Заглавная греческая буква дельта (∆) часто используется, чтобы показать изменение какой-то величины. (При этом обозначение ∆x представляет собой цифру, изменение x, а не произведение какой-то величины ∆ на x.) Соответственно, скорость составит:

(2.3)

Настало время поговорить об одном из базовых понятий дифференциального исчисления. Если функция относительно плавная, то есть не скачет как попало от значения к значению, на очень коротких отрезках она будет похожа на прямую. Чем больше мы будем увеличивать масштаб, тем более прямолинейной она будет казаться.

И это подсказывает нам, что делать. Возьмем какой-то момент времени t, в который мы хотим посчитать скорость, а также промежуток ∆t, конечным моментом которого будет t + ∆t. Используя нашу функцию, мы можем определить два положения машины: начальное x(t) и конечное x(t + ∆t), а значит, изменение положения за ∆t:

(2.4)

Если график функции криволинеен, деление суммарного изменения положения на промежуток времени даст нам среднюю скорость за это время:

(2.5)

Это выражение похоже на (2.3), но, в отличие от него, дает не скорость равномерного движения, а среднюю скорость за некоторый промежуток времени:

Но это не совсем то, что мы ищем: нам нужно вычислить скорость в каждый момент времени. Возможно, вы уже поняли, к чему я веду. Рассмотренный нами промежуток ∆t взят совершенно произвольным образом. Мы можем выбрать любой. Давайте его уменьшим. Чем меньше будет ∆t, тем меньше получится ∆x. По мере того как ∆x и ∆t будут стремиться к нулю, их частное ∆x/∆t будет стремиться к некому числу, отличному от нуля, а фактически – именно к тому, что мы ищем: углу наклона касательной к графику функции в начальный момент времени.

Только что описанные действия называются взятием предела при стремящемся к нулю ∆t. Ноль, деленный на ноль, – это не какое-то число. Математически говоря, это значение не определено. Однако если мы возьмем предел (lim) стремящихся к нулю ∆t и ∆x, их частное даст нам скорость v – определенное значение. Такой предел называется производной функции x(t) и записывается следующим образом:

Вот и все. Мы разобрались с тем, что такое производная: это угол наклона кривой в некоторой точке, которую мы получаем как предел последовательности линий, постепенно приближающихся к касательной в этой точке. Мы рассмотрели пример зависимости x от t, и в данном случае производная представляет собой скорость. Однако понятие производной универсально. К примеру, ускорение – это производная скорости по времени:

(2.7)

Скорость измеряется в метрах в секунду, а ускорение – в метрах в секунду за секунду, то есть показывает, как быстро изменяется скорость. Ускорение объекта, свободно падающего на землю под действием силы тяжести, составляет примерно 9,8 метра в секунду за секунду (сокращенно – м/c²).

Если рассматривать некую функцию, зависимость от t, то есть f(t), ее производной будет df/dt. Мы всегда можем найти производную функции по переменной, зависимость от которой она определяет. При этом не важно, как именно обозначена переменная: мы можем выбрать любую удобную и понятную нам букву. Традиционно время обозначается буквой t, а расстояние буквой x, но этот выбор всегда остается за нами.

Значения dx и dt называются бесконечно малыми величинами. Мы как бы делим их друг на друга и получаем v. Но все не так просто. Будь они числами, мы бы фактически делили ноль на ноль, а это запрещено. Поэтому dx и dt следует понимать как обозначения, показывающие бесконечное приближение к нулю величин ∆x и ∆t. Их частное будет вполне определенным числом. Что тут можно сказать? Математики приложили немало усилий, чтобы придать этому смысл. Физики, со своей стороны, подходят к вопросу практически: работает – и отлично, можно переходить к следующей проблеме.

Сейчас вас, скорее всего, беспокоят два вопроса. Во-первых, мы пока что не сделали ничего сложного: порассуждали об углах наклона касательных линий и дали определение производной. А где же сложности высшей математики, которыми всех так часто пугают? Во-вторых, непонятно, что делать с этим определением. Оно довольно абстрактно. Как применять его в жизни: к реальным функциям или же показаниям одометра? Нам снова придется маяться с приращениями и пределами?

Два эти вопроса связаны и, в общем-то, исключают друг друга. Серьезно взявшись за дифференциальное исчисление, мы погрузились бы в мир утомительных, но достаточно четких правил дифференцирования, которые позволяют найти производную любой функции. Рассмотрим, к примеру, простую функцию f(x) = ax + b, где a и b – постоянные параметры (обычно называемые константами)⁶. Такая функция называется линейной, поскольку ее график представляет собой прямую.

Чтобы найти производную этой функции, достаточно просто подумать. Константа b не влияет на наклон прямой, а значит, мы можем ее не учитывать. Константа a, напротив, и есть этот уклон, ведь если x изменится на ∆x, f(x) изменится на a∆x, то есть ∆f(x)/∆x = a, какое значение x мы бы ни взяли. Поэтому

(2.8)

Производная линейной функции – константа, равная множителю при x в исходном уравнении.

Увы, наклон большинства функций не постоянен, а изменяется от точки к точке. Поэтому их производные будут сложнее. К примеру, производная параболической функции f(x) = x² такова:

(2.9)

На следующем рисунке мы видим график функции f(x) = x², а также углы наклона касательных в точках x = –2, –1, 0, 1, 2. При отрицательных x уклон параболы отрицательный, при положительных x – положительный.

Аналогичные формулы имеются для многих других случаев: любых степеней и корней x, логарифмов, синусов и косинусов, произведений функций и т.д. Некоторые примеры приведены в приложении A.

Множество формул и правил, которые нужно понять и запомнить, делают высшую математику скучной и сложной для изучения. Она приносит огромную пользу ученым, но наша цель – понять, как устроен мир. Тем, кто не метит в академики, достаточно взять от физики только самое интересное. Дифференцирование позволяет определить наклон кривой, то есть, к примеру, узнать скорость машины по ее перемещению с течением времени. Этого нам достаточно, чтобы двигаться дальше.

Интегралы

Согласно парадигме Лапласа, можно определить будущее положение объекта по его текущему положению и скорости, а также по данным о других влияющих на него объектах. Зная, какие силы воздействуют на объект, мы можем использовать второй закон Ньютона (2.1) и вычислить ускорение. Скорость определяет изменение положения с течением времени, а ускорение – изменение скорости. Собрав эти сведения воедино, мы можем построить траекторию движения объекта, то есть увидеть, как будут изменяться его положение и скорость.

Вернемся к примеру с машиной, которая движется по прямой с постоянной скоростью. Однако теперь мы рассмотрим график скорости, а не положения (допустим, что мы не знаем его). Это довольно легко, ведь скорость не изменяется.

Когда объект движется с постоянной скоростью v, пройденное им расстояние x равно произведению скорости на время движения: x = v∆t. Несложно представить это геометрически: расстояние будет равно площади прямоугольника между прямыми 0 и ∆t по горизонтали и 0 и v по вертикали. То есть накопленное значение какой-то величины представляет собой площадь под графиком ее функции.

Теперь возьмем более общий пример, в котором скорость не постоянна. Когда мы говорили о производных, мы увеличили масштаб настолько, что кривая стала казаться прямой. Применим эту же тактику и здесь: аппроксимируем площадь под графиком v(t). Для этого возьмем небольшой промежуток ∆t и вычислим площадь прямоугольника от t = 0 до t = ∆t (то есть v(0)⋅∆t), затем прямоугольника от t = ∆t до t = 2∆t и т.д. Сложив все эти площади, мы получим величину, примерно равную площади под кривой. Для этой операции – сложения большого количества величин – используется специальное обозначение: ∑, то есть заглавная греческая буква сигма.

(2.10)

Волнистый знак равенства означает «приблизительно равно».

Чем меньше будет промежуток ∆t, тем тоньше получатся прямоугольники (и тем больше их будет). При этом фигура, которую они составляют, будет все ближе и ближе к области под кривой. Поэтому, как и в случае с производными, в пределе ∆t становится бесконечно малой величиной, которую мы обозначим dt. Если заменить символ суммы Σ на другой, напоминающий фигурную букву S, мы получим интеграл скорости по времени, то есть пройденное расстояние:

(2.11)

Аналогичным образом, вычислив интеграл ускорения, можно определить изменение скорости:

(2.12)

Это выражение не совсем точно: для простоты в нем отсутствуют сведения о начальном и конечном моментах времени, то есть о промежутке, в течение которого мы наблюдаем за изменением положения или скорости. Полный вариант формулы можно найти в приложении A.

Если производные – это способ осмыслить деление нуля на ноль, то интегралы – аналогичный способ понять умножение на ноль бесконечности (мы ищем сумму площадей бесконечно большого числа прямоугольников нулевой площади). Эти действия (которые математики называют матемическим анализом) можно выполнить довольно точно, хоть и не все ученые с этим согласны. Не удивительно, что в «Началах» Ньютон не стал активно использовать дифференциальное исчисление, которое было в те времена было новинкой. К счастью, для задач физики оно подходит как нельзя лучше.

Зная, какие силы действуют на объект, мы можем определить его ускорение по закону Ньютона – формуле F = ma. Далее, интегрируя ускорение, мы получаем скорость, а интегрируя скорость – пройденный путь. Таким образом, парадигма Лапласа верна: зная исходное положение и скорость, мы можем построить всю траекторию движения объекта.

Интегрирование и дифференцирование представляют собой противоположные операции над функциями. Взяв производную исходной функции, мы получаем новую функцию, а взяв от нее интеграл, – снова исходную. Таким образом производная отменяет интеграл и наоборот.

(2.13)

То же самое в обозначениях:

(2.14)

На практике брать производные относительно просто, интегралы – намного сложнее. Даже лучшие физики часто прибегают к численным методам и вычисляют нужные значения при помощи компьютеров.

Однако нам не придется подробно знакомиться с тем, как брать интегралы и производные (некоторые примеры можно найти в приложении A). Для нас важны не конкретные формулы, а сами эти понятия. Запомним одно простое правило: интеграл от бесконечно малой величины равен конечной величине:

(2.15)

Это означает, что суммарное количество x, накопленное за промежуток времени, есть изменение x от начала процесса до его завершения. При этом за х может быть принято что угодно: расстояние в космосе, промежуток времени, любая физическая величина, которую мы рассматриваем.

Непрерывность и бесконечность

Со времени Ньютона было открыто немало законов фундаментальных физических систем. Джеймс Клерк Максвелл предложил серию формул для электричества и магнетизма, Альберт Эйнштейн – уравнение кривизны пространства-времени, а Эрвин Шрёдингер – волновой функции квантово-механической системы… Все эти формулы объединяет одно: это дифференциальные уравнения, неизвестными в которых являются функции (временные или пространственные), которые описывают различные явления. По этой причине дифференциальное исчисление занимает в физике центральное место.

Но справедливо ли это? Не зная окончательных формулировок законов физики, мы должны быть открыты для любых предположений. Одно из них состоит в том, что парадигма Лапласа неверна, то есть фундаментальные законы глобальны, а не локальны, то есть не начинаются с какого-то состояния в какой-то момент времени. Следовательно, отталкиваясь от такого состояния, мы не можем судить и о будущих либо прошлых.

Другое предположение – время не непрерывно, то есть имеется некий минимальный промежуток времени, а Вселенная развивается ступенчато, с этим промежутком. Один из плюсов такого подхода в том, что непрерывность (и сестра ее бесконечность) всегда была для людей – математиков и философов – чем-то загадочным, тем, что нельзя увидеть в реальном мире. Однако идея о том, что время дискретно перечеркнет все открытия классической механики и теории относительности, заставит пересмотреть большую часть наших знаний о мире. И хоть, возможно, в конечном итоге так и придется сделать, разумно не слишком спешить со столь радикальными переменами.

Непрерывность времени (либо какой-то другой величины) означает, что между точками, разделенными, на наш взгляд, каким-то конечным расстоянием, лежит бесконечное число других, промежуточных точек. Мы можем проверить это, представив себе линию, изображающую время, которое течет из прошлого в будущее. Поставим на ней две точки и обозначим их t = 0 и t = 1.

На полпути между ними можно поставить еще одну точку: t = 1/2. Однако таким же образом можно поступить и с отрезком между t = 0 и t = 1/2: отметить его середину t = 1/4. Далее мы найдем и отметим точки t = 1/8, 1/16, 1/32… Какой бы отрезок мы ни взяли, у него всегда найдется середина (например, t = 3/4, 7/8, 15/16, 31/32 и так далее между t = 0 и t = 1). То есть между любыми двумя точками на непрерывной прямой будет бесконечно много других точек.

Примечательно то, что количество точек между 0 и 1 так же бесконечно, как и между –∞ и +∞. Это немного странно, ведь мы привыкли считать, что часть множества состоит из меньшего числа элементов, чем все множество целиком. Но бесконечность – нечто особенное. Мы можем изобразить интервал между 0 и 1 в виде следующей функции:

Здесь всем значениям x от –∞ до +∞ однозначно соответствуют значения y от 0 до 1. Построить аналогичную функцию для –∞ и +∞ по оси y нельзя, поскольку между х и y не будет точных и однозначных соответствий.

Можно решить, что все бесконечные величины каким-то непостижимым образом одинаковы. Ведь умножив бесконечность на 2 (или другое число больше 0), мы получим в результате бесконечность. Но разве количество целых чисел равно количеству четных? Нет, все немного сложнее. Георг Кантор, немецкий математик XIX века, доказал, что есть разные степени бесконечности. Согласно теореме Кантора, есть бесконечно много целых чисел и бесконечно много реальных, однако последних больше, чем первых. Открытие вызвало всеобщее неодобрение. Многие математики усомнились в представленных доводах, а современник Кантора Леопольд Кронекер даже назвал его «растлителем молодежи». Сегодня ученые в целом согласны с доказательством теоремы, но все же не склонны считаться с выводами, которые из нее следуют.

Важно ли это все для физики? Может и нет. Мы, люди, – существа ограниченные. На практике ни один из нас не заметит разницы между «бесконечным» и «очень большим» (или «нулевым» и «очень маленьким»). Так что, описывая наш мир, мы можем сами решать, что считать бесконечностью. Тем не менее не следует путать то, что может представить себе человек, и то, что на самом деле существует в природе. Возможно, когда-нибудь кто-то предложит единый, универсальный подход ко всем проблемам непрерывности и бесконечности. На данный момент такого подхода нет.

Три. Динамика

Представьте себе два дерева, растущие на некотором расстоянии друг от друга. Где-нибудь в парке, на совершенно ровном участке. Встаньте возле одного из них и нацельтесь на другое. Зажмурьте глаза и двигайтесь вперед. Если у вас хорошее чувство направления, никто не будет сбивать вас и не окажется на пути, через какое-то время вы дойдете до цели – второго дерева. Открыв глаза и посмотрев на свои следы, вы увидите, что шли по прямой.

Теперь попробуйте действовать по-другому. Возьмите веревку и привяжите один конец к первому дереву, а другой – ко второму. Натяните веревку и посмотрите на результат: получится прямая, проходящая ровно над следами из прошлого опыта.

Это и очевидно, и примечательно. Мы хорошо понимаем, что означает «прямая», но можем построить ее разными способами. Один из них – двигаться, не меняя направления, другой – найти кратчайший путь между начальной и конечной точками. Первый способ соответствует локальной философии в духе парадигмы Лапласа, о которой мы говорили в прошлой главе. Действительно, в каждый момент времени мы делаем что-то, что в конце концов приводит нас к определенному результату. Второй способ глобален, как законы Кеплера: из многих способов расположить веревку между деревьями выбран самый короткий. Оба способа, хоть и разные, дают в итоге одинаковый результат.

Физика работает точно так же. Мы уже говорили про идею Лапласа: данные о состоянии системы на какой-то момент времени позволяют нам шаг за шагом проследить за ее развитием в будущем. Но тот же результат можно получить совсем по-другому, исходя из совсем иного набора фундаментальных понятий. Поэтому возникает вопрос: какой из способов лучше, более эффективен? Если результат все равно один, возможно, нет разницы, как его получить. Мы не знаем окончательных формулировок законов физики, а потому одна из дорог может оказаться менее петляющей. Как однажды сказал Ричард Фейнман, одну и ту же мысль можно выразить по-разному, но «на пути в неизвестность все способы будут идентичны с психологической точки зрения».

В прошлой главе мы говорили об «изменении» в целом как исключительно общем понятии. В этой главе мы обсудим динамику, то есть изменения, подчиняющиеся формулам физики. Мы рассмотрим свойства некоторых физических систем и что говорит о них классическая механика. Размышляя о кинетической и потенциальной энергии, мы сделаем интересные выводы о динамике разных объектов. В итоге мы заново сформулируем законы механики, посмотрим на них более глобально, с учетом истории системы в целом, сквозь призму того, что сейчас называется «принципом наименьшего действия».

Важные сведения о движении

Рассмотрим парадигму Лапласа чуть более систематично. Чтобы не усложнять, представим себе частицу, которая движется в трехмерном пространстве. Состояние такой системы определяется положением (вектором ) и скоростью, которая представляет собой производную положения по времени, . Таким образом, мы получаем шесть чисел: три для положения и три для скорости.

Порядок действий таков. Мы говорим о какой-то конкретной системе, к примеру, о «шаре, катящемся с холма» или «планете, вращающейся вокруг Солнца». У нас есть данные об этой системе, известные на момент времени t₀. Анализируя ситуацию, мы можем определить результирующую силу , которая действует на объект, например силу тяготения, с которой Солнце притягивает планету. Далее по второму закону Ньютона находим ускорение и узнаем в результате не только исходные данные , но и как быстро они изменяются:

Теперь при помощи дифференциального исчисления мы в состоянии построить траекторию движения объекта .

Это на удивление гибкий алгоритм. Мы много говорим о частицах, но классическая механика – наука значительно более общая. Возьмем некий пространственный объект: твердое, жидкое или газообразное тело, и поглядим на него макроскопически, как на единое целое, а не набор атомов. Мы можем сказать, что любой бесконечно малый кусок, «элемент объема» этого тела dV находится под действием внешних сил: гравитационных, электрических или каких-то иных. Но это не всё. На этот элемент объема будут воздействовать и другие такие же элементы, которые находятся рядом с ним. Если мы знаем положение и скорость рассматриваемого элемента, а также действующие на него силы, законы Ньютона подскажут нам траекторию его движения. Тогда благодаря дифференциальному исчислению мы сможем вывести уравнения для системы в целом, то есть сложить воедино все элементы объема.

Чтобы построить траекторию, нам важно знать входные данные: положение и скорость объекта. Не менее важно, что никакие другие сведения для этого не требуются. Например, ускорение мы получим при помощи закона Ньютона, исходя из строения системы. При этом скорость – производная положения, а ускорение – производная скорости, или, как говорят, вторая производная положения:

(3.1)

Вспомните: говоря об обозначениях, мы отметили, что d – это не переменная, а часть оператора. Запись d/dt означает производную по времени. Чтобы взять вторую производную, то есть производную производной, мы должны использовать оператор d/dt дважды. Поэтому в формулах мы будем писать d²/dt².

Мы можем взять производные и других, более высоких порядков. У них даже есть свои, несколько экзотические названия:

• Скорость = первая производная положения (по времени).

• Ускорение = производная скорости = вторая производная положения.

• Рывок = производная ускорения = третья производная положения.

• Скачок = производная рывка = четвертая производная положения.

• Прыжок = производная скачка = пятая производная положения.

• Толчок = производная прыжка = шестая производная положения.

Эти термины иногда применяются в инженерном деле (хотя гораздо чаще – в спорте), но физики редко используют их. В большинстве случаев они просто не нужны: если известны скорость и положение, можно найти ускорение, и все.

Относительность Галилея

Теперь мы можем сделать один очень важный вывод. Тот факт, что нам нужно знать скорость и положение объекта, говорит о том, что во вселенной нет предпочтительной скорости или положения, то есть состояния, которое можно считать каким-то особенным, отличным от всех иных. По крайней мере с точки зрения законов физики. Они работают везде, независимо от положения, и это легко проверить: достаточно провести один и тот же опыт, к примеру, в Англии и Германии. Результат будет одинаков. Некоторые величины зависят от условий на месте измерения: например, скорость звука зависит от атмосферного давления, а гравитационное ускорение – от высоты над уровнем моря. Поэтому, измеряя их, мы можем получить разные значения. Но сами законы физики – второй закон Ньютона, закон всемирного тяготения и другие – справедливы в любой стране. Они не считают, что где-то в пределах вселенной есть место, где можно сделать из них исключение.

Немного сложнее обстоит дело со скоростью. Строго говоря, скорость любого объекта всегда измеряется относительно других объектов. Если у нас есть два тела, а расстояние между ними известно, их скорость относительно друг друга равна производной этого расстояния по времени. Нельзя говорить о скорости (или состоянии покоя) какого-то обособленного объекта. В обычной жизни эта особенность мира скрыта от нас, поскольку мы никогда не отдаляемся от привычного нам ориентира: земли, относительно которой мы измеряем скорости окружающих нас объектов. Однако любой пилот подтвердит, что скорости относительно земли и воздуха не совпадают.

Представьте себя на космическом корабле, который летит с выключенным двигателем, то есть без ускорения. Глядя в иллюминатор (или через какой-то наблюдательный прибор), вам не удастся определить, как быстро вы движетесь, поскольку скорость нельзя измерить саму по себе, без какого-то ориентира. Поэтому во вселенной нет никаких предпочтительных скоростей или положений.

Отсутствие предпочтительного состояния покоя с точки зрения законов физики впервые отметил Галилей (который, конечно, не помышлял о космических кораблях, но многое знал о морских). В то время он отстаивал теорию о том, что Земля вращается. Его противники (считавшие, что Солнце вращается вокруг Земли) говорили, что непременно заметили бы вращение, ведь скорость поверхности планеты добавлялась бы к скоростям любых объектов на ней. Галилей отвечал, что важно лишь относительное движение. Например, если сбросить с верхушки мачты пушечное ядро, то с точки зрения матроса оно упадет вертикально, с какой бы скоростью ни шел корабль относительно моря.

Термин «относительное движение» напоминает нам о теории относительности, и это неспроста. Отсутствие предпочтительного положения или состояния известно как принцип относительности, который Галилей предложил задолго до рождения Эйнштейна. Механика Ньютона основана на относительности Галилея, которая допускает, что два объекта могут двигаться друг относительно друга с любой скоростью. В современной физике используется относительность Лоренца (по имени голландского физика Хенрика Антона Лоренца), которая вводит верхний предел относительной скорости, равный скорости света.

Обратите внимание: мы отрицаем существование предпочтительных положений и скоростей, но не ускорений. Это связано с тем, что предпочтительное ускорение существует и равно нулю. При полном отсутствии ускорения объект движется по особой траектории, которая называется инерциальной. Человек на космическом корабле не чувствует его скорость, но может ощутить ускорение: разгоняясь, корабль будет подталкивать человека в определенную сторону.

Шар на холме

Согласно философии сферической коровы, в физике нет ничего полезнее, чем построение простых идеализированных моделей (которые ученые любят называть «игрушечными»), приблизительно отражающих реальные сложные системы. Анализируя такие модели, можно углубить и расширить интуитивные представления о порядке вещей, добиться его понимания.

Одна из самых распространенных и полезных игрушечных моделей – шар, катящийся по холмистой местности. В главе 1 мы уже рассматривали ее, рассуждая о кинетической и потенциальной энергии. Сложно переоценить полезность этой модели, ведь все, что мы можем понять о шарах на холме, можно применить к квантовым полям и стандартной модели из физики частиц.

Увидеть катящийся с холма шар можно и в реальной жизни. Но то, о чем мы будем говорить, – лишь идеализированная модель. В большинстве случаев в ней нет ни сопротивления воздуха, ни трения, ни других явлений, из-за которых рассеивается энергия. Учесть все это не так уж трудно, однако нам важно начать с простых случаев, чтобы понять суть, а уже затем вносить усложнения. Помимо потенциальной и кинетической энергии реальный шар имеет также энергию вращения, но мы ею также пренебрежем. Наш шар будет идеально ровной частицей, при движении которой сумма потенциальной и кинетической энергий полностью сохраняется.

По правилам классической механики нам нужно задать положение и скорость шара, вычислить равнодействующую сил, воздействующих на него, и определить ускорение. Мы будем думать, что шар всегда остается на поверхности холма, не подпрыгивает над ней и не погружается в нее. Для простоты мы также договоримся о том, что движение происходит только в одном направлении x. На самом деле шар перемещается и во втором направлении: по высоте, однако она определяется рельефом местности, h(x) (поскольку шар не отрывается от земли).

Равнодействующая сила является суммой двух сил: направленной вниз силы тяжести и силы реакции земли – нормальной силы. Такое название она получила не потому, что ее воздействие – норма, а потому, что направлена строго по нормали к поверхности, то есть всегда перпендикулярна ей.

Рассмотрим простейший случай из всех, что можно представить: шар находится на ровной земле, то есть высота h(x) для всех значений x одинакова. Сила тяжести направлена вниз, а нормальная сила – по нормали к поверхности, то есть вверх. Поэтому равнодействующая этих сил также будет вертикальна. Более того, понятно, что она равна нулю, поскольку шар не взлетает с поверхности и не погружается в нее. Другими словами, сила тяжести и нормальная сила равны и противоположно направлены, их сумма равна нулю, а значит, ускорение отсутствует. Поэтому с какой бы начальной скоростью ни двигался шар, он будет сохранять ее и не изменит направление движения.

Если поверхность имеет наклон, модель становится интереснее. Сила тяжести, как и раньше, направлена вниз, но нормальная сила не будет вертикальной. Поэтому и сумма двух сил не будет нулевой: она, а значит и ускорение, будет направлена «вниз с холма». Если в начале эксперимента шар не двигался, он покатится к подножию. Если же он уже двигался вниз, скорость его увеличится, а если вверх – уменьшится.

Движущийся шар обладает потенциальной и кинетической энергией. Потенциальная энергия равна

(3.2)

где m – масса шара, d ≈ 9,8 метра в секунду за секунду – ускорение свободного падения, а h(x) – высота холма в точке x. Такая запись может немного смутить тех, кто привык всегда писать знак умножения. И все же m и g здесь константы, а h(x) – функция, которая для каждого значения x дает определенное значение h. Мы просто перемножаем эти три числа и получаем потенциальную энергию. В данном случае мы обозначим ее за V, хотя иногда применяются и другие буквы. Поскольку нас интересует энергия, а не высота холма, часто используют термин «потенциал» V(x).

Обычно, чтобы определить, как будет двигаться шар, мы применяем второй закон Ньютона, . Однако формула потенциальной энергии дает нам возможность взглянуть на шар чуть по-иному. Реальный шар движется в вертикальном и горизонтальном направлениях, повторяя рельеф поверхности, так что, как мы уже говорили, нам нужно сложить векторы сил и найти равнодействующую. Но так как наш шар не отрывается от земли, достаточно определить лишь горизонтальное перемещение: положение по вертикали и так известно.

Итак, нам нужно подумать об ускорении в направлении x. Оно вызвано силой, которая действует в этом же направлении. Понятно, что эта сила связана с углом наклона поверхности, то есть толкает шар вниз тем интенсивнее, чем круче склон. С точки зрения дифференциального исчисления, сила в направлении x равна отрицательному значению производной потенциала по положению:

(3.3)

Буква x в обозначении силы напоминает о том, что она действует горизонтально. Наличие знака «минус» легко объясняется тем, что когда высота холма при движении вправо увеличивается (производная dV/dx имеет положительное значение), сила будет побуждать шар двигаться влево, то есть в отрицательном направлении по x.