Kitobni o'qish: «(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг»

Jo Boaler

MATH-ISH

Finding Creativity, Diversity, and Meaning in Mathematics

© Jo Boaler, 2024

© Поникаров Е. В., перевод на русский язык, 2025

© Издание на русском языке, оформление. ООО «Издательство АЗБУКА», 2025 КоЛибри®

⁂

Математика —

это ключ и дверь ко всем наукам.

Галилео Галилей

Эта книга посвящается моей племяннице Имоджен (1995–2021), а также Джулии, Вику и Алексу.

Ими, ты всегда с нами

1. Новые отношения с математикой

Меня пригласили на ужин в дорогой ресторан: предполагалась встреча с генеральным директором крупной социальной сети и его женой. Я нервничала, оказавшись за столом роскошного ресторана, типичного дорогого заведения Кремниевой долины, размышляя, что принесет этот вечер. Организовать встречу помог один из моих друзей, который был знаком с женой генерального директора. Друг знал о моей деятельности по улучшению преподавания математики и решил, что пообщаться с таким руководителем будет полезно. После нескольких лет жизни и работы в Кремниевой долине я поняла, что подобная коммуникация – часть структуры этого региона и одна из причин развития инноваций и роста производительности.

Начало ужина обескураживало. Раньше я не сталкивалась ни с чем подобным: генеральный директор вел себя так, словно больше за столом никого не было. Он постоянно разговаривал по телефону с коллегами и деловито составлял рабочие планы, вынув из портфеля стопку рабочих документов. Такое поведение, намеренное или нет, заставляло всех нас ощущать собственную незначительность. Его жена выглядела смущенной и раз за разом бросала взгляд в сторону импровизированного офиса мужа на углу нашего стола. Это продолжалось, пока не принесли еду, и директор вынужденно закончил работу. В середине ужина он признал мое существование. Оторвав глаза от еды, генеральный директор пристально посмотрел на меня и с неодобрением спросил: «Значит, вы считаете, что преподавание математики стоит менять?»

Без малейшей паузы он принялся рассказывать, как хорошо у него было с математикой, перечисляя свои многочисленные достижения в школе и в колледже. В этот момент я поняла, что разговор будет непростым. Я многие годы пыталась улучшить преподавание этого проблемного у многих предмета и знала, что люди, добившиеся в нем успеха, обычно считают, что ничего менять не нужно. В их представлении математика – дело сложное, а их собственные успехи доказывают их блестящие способности. Но вам следует знать обо мне одну вещь: я готова бороться за то, что считаю реальными проблемами, с которыми сталкиваются многие учащиеся. Я решила познакомить директора с другой математикой.

Рис. 1.1. Автор демонстрирует предложенную Рут Паркер модель увеличивающихся фигур, которая показана на рис. 1.2.

Я рассказала, что нейробиологи установили, каким образом наш мозг обрабатывает математические данные, и почему важен тот факт, что при математическом мышлении мы задействуем различные участки мозга, особенно зрительные пути. Он согласился взглянуть на диаграммы, которые я часто использую при знакомстве с новыми людьми. Я выбрала одну из своих любимых, предложенную преподавателем математики Рут Паркер (рис. 1.1 и 1.2).

Рис. 1.2. Модель увеличивающихся фигур Рут Паркер.

Обычно такие диаграммы используются, чтобы учащиеся задумались о закономерностях увеличения числа клеток и сумели выразить их с помощью алгебраических символов. На уроках математики ученикам часто задают вопросы по типу: «Сколько квадратиков будет на фигуре 10? А на фигуре 100? А на фигуре n?» Это хорошие вопросы, которые становятся намного понятней, когда задействовано визуальное мышление. Обычно преподаватель ожидает, что ученики нарисуют таблицу с числами, а затем будут глазеть на нее, пока не заметят какую-нибудь связь. Здесь можно обнаружить числовую закономерность: чтобы найти количество квадратиков фигуры, достаточно взять ее номер (например, 2), прибавить к нему единицу (3), а затем возвести это число в квадрат и получить 9. Прибавление единицы и возведение суммы в квадрат позволяет найти общее количество квадратиков в любой из фигур. Алгебраически эту закономерность можно выразить как (n + 1)².

Выражение (n + 1)² является квадратичной функцией. Когда ученики работают подобным образом – манипулируют числами и символами без связей и смысла, – они упускают важные возможности для понимания математических функций. На своих занятиях я не спрашиваю, сколько квадратиков в разных фигурах. Вместо этого я говорю: «В каком месте, по-вашему, увеличивается фигура? Где вы видите на ней новые квадратики?» Именно эти вопросы я и задала в тот вечер генеральному директору.

Количество квадратиков в каждой фигуре

Его ответ удивил меня. Дело не в том, что генеральный директор не видел способ роста; он видел и мог его описать: новые квадраты находились на верху каждого столбца. Другие люди называют это методом «дождя»: квадраты добавляются к фигуре сверху, словно капли, падающие с неба. На рисунке 1.3 показан не только этот метод, но и другие способы, как люди воспринимают рост фигуры на диаграммах.

Но, объяснив свое восприятие, директор задал мне вопрос, который мне не доводилось слышать раньше. С искренней растерянностью в голосе он спросил: «А разве не увеличение размеров разными способами. все видят это именно так?» Я не стала отвечать ему «нет», а просто попросила всех людей за столом сообщить, как они видят увеличение фигуры. Оказалось, что все наблюдают рост по-разному. Директор выглядел все более шокированным, словно ему никогда не приходило в голову, что в математике существует не одно ви́дение. Он недоуменно покачал головой. Мы завладели его вниманием.

Рис. 1.3. Люди видят и описывают

Чтобы продвинуться дальше в математике, очень важно изменять вопросы. Когда ученики сталкиваются с узким числовым вариантом и смотрят на таблички с числами, устанавливая закономерности и подбирая алгебраические выражения, они могут прийти к (n + 1)², но они не понимают, почему это выражение работает или что оно означает. Когда мы спрашиваем учеников, каким образом они воспринимают рост фигуры, это способствует более глубокому пониманию такой функции. Они могут визуально проследить, что количество квадратиков растет как квадрат, который всегда на единицу больше, чем номер фигуры. Нагляднее всего это демонстрирует последний метод на рисунке 1.3. Вот почему мы можем описать рост как (n + 1)².

Далее, в процессе ужина, я рассказала об интересующей меня ценности математического разнообразия, которое вытекает из важных нейронаучных исследований. Терминразнообразие означает различие, множественность. В этой книге я буду использовать термин математическое разнообразие для различных способов, с помощью которых мы можем смотреть на математику и изучать ее, подобно тому, как мы оперируем понятием «разнообразие людей» (расовое, культурное, социальное или любое другое). Я также буду говорить о ish-математике¹, чтобы описать способ восприятия этого предмета, который мы используем в реальном мире и который может стать мощным инструментом для развития мышления студентов. Принятие этих концепций математического разнообразия и ish-математики – это ключ к богатому пониманию математики, который в равной степени значим для всех, независимо от образования, пола, расовой или этнической принадлежности и так далее.

Исследования показывают, что разнообразие учащихся является важнейшим фактором для сотрудничества, решения проблем, сопереживания, успехов и многого другого¹. Ученые также пришли к выводу, что, когда математика воспринимается как предмет, на который можно смотреть по-разному и искать различные решения, это приводит к более высокой успеваемости, большей мотивации и удовольствию². Эти два аспекта разнообразия (математическое и человеческое) самостоятельны, но при этом прекрасно сочетаются, усиливая и поддерживая друг друга. Если мы хотим ценить то, что люди думают по-разному, и поощрять это, нам следует отказаться от узкой математики – той единственной, которую знает подавляющее большинство. Напротив, мы должны принять математическое разнообразие.

В тот вечер генеральный директор был поражен многоплановым подходом, которого часто не хватает в школах и домах – а это серьезно ухудшает отношения людей с математикой. Некоторые люди могут добиться успеха, используя узкую одномерную версию математики, но даже они упускают весь спектр и силу этой науки. Когда люди вовлекаются во все многообразие, это меняет восприятие информации, с которой они сталкиваются, – числовой, пространственной или связанной с данными.

Другой путь

Я профессор Стэнфордского университета, однако начинала карьеру с преподавания математики в лондонских школах. Сначала работала учительницей в Хаверстоке – средней школе в районе Камден-таун в центре Лондона³. Камден – колоритный и красивый, но недостаточно обеспеченный район; большинство учеников здесь происходят из семей, получающих материальную помощь для аренды жилья, и имеют право на бесплатное школьное питание. Когда я преподавала в Хаверстоке, ученики говорили более чем на сорока разных языках. Удивительное разнообразие.

Окончив Лондонский университет, я пошла работать в школу, преисполненная идей, каким образом показывать ученикам красоту и радость математики. Школьникам в классе было по тринадцать лет, и их только что разделили на группы по способностям. Мне досталась самая слабая – группа 4. Здесь я познакомилась с дерзкой ученицей Сью: позже я узнала, что она была на грани исключения из школы. Она открыто в школе Хаверсток (Лондон). не соглашалась с некоторыми идеями учителей, из-за чего ее часто отстраняли от уроков. В мой первый рабочий день Сью с фирменным нахальным выражением лица и блеском в глазах громко спросила: «А нам-то это зачем?»

Рис. 1.4. Мой первый день преподавания

Я медлила с ответом. Будучи новичком на своем первом в жизни уроке, я не знала, что сказать. Вопрос школьницы был вполне обоснован. В британской системе ученики, оказавшиеся в низких группах, могут получить на экзаменах только низкие оценки. Самая высокая оценка, на которую школьники из моего класса могли претендовать на государственных экзаменах, предстоявших через три года, – D². Для большинства профессий и получения высшего образования требуется оценка C или выше. Если ученики слышат странный громкий звук в момент попадания в низкие группы, то это, вероятно, звук захлопывающихся дверей – дверей, которые могли бы вести к более светлому будущему. В тот момент я решила, что буду обучать Сью и ее ровесников на более высоком уровне. Через три года Сью получила оценку, необходимую для карьеры, и решила учиться звукорежиссуре. Сейчас она владеет и управляет крупными музыкальными и развлекательными компаниями на Бали.

Когда Сью впервые оказалась у меня на уроке, она полагала, что не способна к математике. Ей приходилось преодолевать трудности как дома, так и в школе – включая то, что ее отнесли к самой слабой группе. Несмотря на это, она смогла преуспеть в этой науке, а вместе с тем и изменить свою жизнь. Позже она рассказывала в прессе, что до достижений в математике она считала, что никогда в жизни не добьется каких-либо значимых результатов.

За прошедшие с тех пор годы я учила многих людей тому же, чему учила школьников в Хаверстоке, – подходу к математике, который ведет к успеху. Все начинается с математического разнообразия – признания ценности разных способов смотреть на математику и думать о ней. Уже одно это способно превратить школьный предмет из узкого, негибкого занятия в разнообразный, доступный и динамичный опыт. Это также подразумевает«ish»-подход к математике, но подробнее о нем я расскажу позже.

Узкая математика

Многие знают не понаслышке, какой вред наносит отсутствие математического разнообразия в школьной системе. Я называю это узкой математикой. В рамках этой концепции задачи имеют лишь один подходящий метод и единственный ответ.

Они всегда числовые, никогда не привлекают визуальные образы, объекты, движения или творчество. Большинство людей сталкивались только с узкой математикой – именно поэтому в нашей стране так много учеников, испытывающих страх перед этим предметом⁴. Один из примеров отрицательного влияния такого подхода мы можем найти в системе колледжей. В примечательной статье в New York Times журналист Кристофер Дрю рассказал, что каждый год учащиеся поступают в колледжи с четырехлетним обучением, намереваясь изучать одну из дисциплин STEM – естественные науки (Science), технологию (Technology), инженерию (Engineering) и математику (Mathematics)⁵. Однако после окончания вводного курса, который Дрю описывает как «вихрь анализа³, физики и химии», ошеломительные 60 % меняют выбранную дисциплину. Дрю цитирует Дэвида Голдберга, заслуженного профессора инженерии, который называет это «маршем смерти⁴ в математике и естественных науках».

Дрю приводит в пример Мэтью, который в старшей школе⁵ занимался анализом, прошел пять курсов углубленного изучения математики и набрал 800 баллов по этому предмету в тесте SAT⁶. Он поступил в колледж, намереваясь стать инженером, и надеялся встретить интересный материал, на который можно смотреть под различными углами. Как будущий инжеи естественных науках (Лондон). нер, Мэтт ожидал, что занятия будут полностью прикладными. Вместо этого его заставляли заучивать уравнения и формулы, учеба ограничивалась лишь теоретической частью. Парень настолько разочаровался узкими способами подачи материала, что сменил свою основную специальность, выбрав психологию, где студенты могли высказывать свои идеи и рассматривать одну и ту же концепцию по-разному.

Рис. 1.5. Марш смерти в математике

Узкая математика не только отталкивает талантливых школьников от программ STEM, но и оказывает разрушительное воздействие на студентов, которым необходимо сдавать математику для продолжения образования – вне зависимости от выбранного направления. Примерно 40 % американских учащихся поступают в общественные колледжи⁷, где им приходится сдавать тесты по материалам курса Алгебра 2⁸. 80 % этих людей вынуждены посещать коррекционные курсы⁹ по математике, которые часто подают материал таким же образом, как в средней школе, – опираясь лишь на теоретическую базу, быстро и неструктурированно. В Калифорнии свыше 170 000 учащихся направляются на коррекционные курсы по математике, причем более 110 000 не справляются с ними или бросают их, из-за чего не могут продолжить обучение в колледже⁶.

Узкая математика лишает надежды и мечты миллионы студентов колледжей. Это не только проблема для молодежи, но и серьезная угроза для американского общества, ставящая под сомнение будущее экономики, развитие науки, техники, медицины и искусства⁷. Действительно, эти факты настолько драматичны, негативны и значимы, что я удивлена, почему они не побудили федеральные власти и власти штатов принять меры по запрету узкой математики, изгнав ее из старшей школы и колледжей.

Проблема, на которую указывают приведенные факты о колледжах с двух– и четырехлетним обучением, существует во всех классах, начиная с детского сада и заканчивая колледжем: очень немногие учащиеся испытывают удовольствие от предлагаемой там математики, которая представляет собой узкую, обедненную версию этой дисциплины. По мере того как школьники переходят из класса в класс, математика становится все более узкой, и эта узость отражается на уменьшающемся количестве успешных учеников⁸.

Если же мы расширим подход к математике, соглашаясь с тем, что любую математическую мысль или концепцию можно рассматривать множеством способов, то есть преподавать математику с разнообразием, мы раскроем этот предмет для гораздо большего числа учеников⁹.

Еще в самом начале своей карьеры я знала, что существует более успешный способ преподавания и изучения математики. Но активно начала распространять эти идеи примерно десять лет назад, с появлением новой нейронауки об обучении, которая продемонстрировала, каким образом наш мозг обрабатывает математические данные¹⁰. Когда я делюсь идеями с другими людьми, я не просто сообщаю абстрактные результаты нейронаучных исследований; я преобразую эти результаты в форму, показывающую их значение для изучения математики и – более широко – для отношений с ней.

Эти идеи способны трансформировать процесс учебы и поэтому невероятно полезны для родителей, учителей и учеников. Более того, они меняют и то, как люди применяют, казалось бы, школьный предмет в своей жизни. Математика может оказаться секретным оружием, невероятным инструментом, которым способен воспользоваться каждый из нас, однако зачастую мы делаем это недостаточно эффективно.

Если вы хотите жить полной жизнью, максимально используя математический объектив, через который можно рассматривать мир, я приглашаю вас повысить свою мощность, подходя к математике и жизни посредством математического разнообразия иish-математики.

Глобальная культурная проблема

Идеи, которые я излагаю в этой книге, помогли не только тем, кто плохо успевал по математике. Я уже много лет учу студентов в Стэнфорде, и у большинства из них плохие отношения с этим предметом. Они достаточно успешно усваивают материал, но воспринимают его как набор процедур, которые нужно исполнять в быстром темпе. Когда я показываю им, что математика может быть прямой противоположностью – комплексом взаимосвязанных творческих идей, которые можно медленно обдумывать, – они удивляются и приходят в восторг¹¹. Студенты говорят мне, что никогда не захотят вернуться к той узкой, основанной на скорости математике, которую они знали раньше.

Лишь немногие видят и воспринимают разнообразие математики, тогда как последствия плохого преподавания реальны для миллионов людей по всему миру. В большинстве стран от 10 до 40 % взрослых не разбираются в математике и стараются ее избегать¹². Они оказываются в уязвимом положении всякий раз, когда им нужно прочитать график, диаграмму, таблицу или набор цифр. Многие из них живут в бедности, а неравенство в системе образования и обществе лишает их возможности учиться и улучшать свою жизнь. К сожалению, именно те люди, которым больше всего нужны математическая уверенность и знания, часто не имеют доступа к хорошему математическому образованию, поэтому перед ними закрыты многие карьерные пути¹³. Освоение математики может помочь молодежи выбраться из нищеты и обеспечить им полноценную жизнь¹⁴.

Плохие отношения с математикой у многих людей складываются не только из-за отсутствия разнообразия на уроках, но и потому, что она чаще всего используется для выставления оценок. Математика – самый перегружаемый тестами предмет в учебной программе, и к ней нередко обращаются для ранжирования учеников, а порой и для определения их ценности как людей. Ученики зачастую даже не думают о математике как таковой; они могут думать лишь об оценках по ней. Еще хуже то, что такое тестирование обычно включает выхолощенные узкие вопросы, на которые нужно отвечать за строго фиксированное время.

Такие узкие тесты на скорость вряд ли сформируют у кого-либо позитивное отношение к предмету. Тестирование по математике – это испытание процедурами. Те, кто справляется с подобной задачей, получают в награду встречу с настоящей математикой – игрой с идеями и установление связей между ними. Однако сочетание монотонных действий, давления и постоянного оценивания ведет большинство людей к убеждению, что математика – это страшно и неприятно.

Если вы родитель или учитель, чьи ученики сталкиваются с подобными проблемами, у меня есть хорошие новости: вы не одиноки, и эта книга поможет вам. Важная информация на ее страницах поможет детям не только встать на увлекательный математический путь, но и обрести надежду, найти радость и облегчение в описанном разнообразном подходе к этой дисциплине. Даже если вы взрослый человек со сложившимися хорошими отношениями с математикой, эта книга будет вам полезна, поскольку в ней обсуждаются новые исследования подхода, без которого не обойтись в современном мире. На протяжении долгих лет я работала с множеством людей, которые смогли изменить свои отношения с математикой, осознав, что проблема не в них, а в системе. Когда изменилось их взаимодействие с математикой, обнаружилось, что жизнь стала лучше¹⁵.

Один из математических навыков, которому я вас обучу, – умение упрощать сложные математические задачи. Большинство людей не подозревают, как это делать, или думают, что это «не разрешается». Они полагают, что обязаны решить задание в исходном виде. Однако видоизменять математические упражнения действительно полезно, причем не только в школе, но и в жизни, когда перед нами встают серьезные проблемы. Иной взгляд на математику – это новый ракурс, который можно использовать для чего угодно, и как только вы освоите эту суперспособность, ваше мышление изменится навсегда. Я также научу вас применять имеющиеся у вас знания и устанавливать связи с другими фактами. Если это звучит загадочно, не беспокойтесь и читайте дальше, потому что в следующих главах все прояснится.

Культура математических достижений в школах стала для меня очевидной несколько лет назад, когда я проводила опрос прохожих на улицах Сан-Франциско (Калифорния). Я тогда разрабатывала один из своих первых онлайн-курсов и приехала в город в прохладный день, прихватив с собой пару аспирантов и несколько фотоаппаратов¹⁶.

Я просила встреченных людей просто описать мне математику. Однако все они отвечали на совершенно другой вопрос. Один за другим они начинали рассказывать, насколько хорошо у них шли дела с предметом, – по сути, люди описывали свою успеваемость и даже ранжировали себя.

Поражала эмоциональность, с которой прохожие рассказывали о своем опыте – успешном или нет. Ни один человек не пояснял математику; все опрошенные излагали свой собственный путь из успехов или неудач. В этом и заключается вред культуры успеваемости: она лишает людей права наслаждаться математическими идеями и повышать свой потенциал¹⁷. Вместо этого большинство воспринимает математику исключительно в качестве инструмента для ранжирования, оценивания и разделения.

Причиняет вред не только избыточное тестирование; культура тестирования сочетается с традиционным неверным представлением о математике как о наборе операций и правильных или неправильных ответов. То, что эти аспекты идут бок о бок, не случайность. Чтобы создать тестовые вопросы, учитывающие разнообразный подход к математике, оценивающие мышление у учащихся, творческие способности и умение решать задачи, нужно потрудиться и приложить определенное воображение. Ни крупные издательства, выпускающие учебники по математике, ни разработчики приложений, ни компании, занимающиеся тестированием, никогда не занимались подобным делом. Они любят узкую, процедурную математику, потому что бездумные вопросы легко воспроизводить на сотнях тысяч страниц учебников, а тесты легко проводить. Однако движущей силой математического образования должно быть что-то иное.

Итак, пока у нас на сцене невзгод присутствует два злодея: чрезмерное тестирование и ложное представление о математике как о наборе процедур. Эти два злодея достаточно плохи, но им помогает третий: коварный «математический мозг» («математический склад ума»).

На протяжении веков многие верили, что одни люди рождаются с «математическим умом» и способны успешно освоить математику, другие же лишены этого дара. Часто такие идеи сочетались с сексистскими, расистскими и прочими дискриминационными представлениями о том, кто обладает этими особыми «талантами»¹⁸. Однако последние десять лет (или около того) вполне определенно показали, что «математического склада ума» не существует, а мозг человека постоянно развивается, строит новые связи¹⁰ и изменяется¹⁹. Эти выводы подкрепляются нейронаучными исследованиями, демонстрирующими невероятный рост мозга после коротких вмешательств²⁰. Это также доказывают люди, которые испытывали проблемы в первые школьные годы (и даже получали ярлык нуждающихся в особых занятиях), но в дальнейшем достигли высочайшего математического уровня – вплоть до получения докторской степени по прикладной математике в Оксфордском университете²¹.

Эти три злодея – математический ум, процедурный подход к дисциплине и избыточное тестирование (а вдобавок еще и определенное системное неравенство) – работают абсолютно синхронно и порождают ужасный опыт, от которого мало кто оправляется. Мало того, некоторые из тех, кто пережил этот кошмар (обычно богатые и влиятельные личности), противостоят тем, кто пытается изменить ситуацию, стремясь сохранить сложившийся порядок вещей. Они ведь выдержали, почему бы не заставить и других пройти тем же путем? Я отказываюсь уступать этим людям, и мое постоянное сопротивление принесло мне за эти годы несколько боевых ран²². По завершении последнего проекта – я участвовала в создании новой системы обучения математике в штате Калифорния – на меня обрушился шквал писем с ненавистью и угрозами от группы людей, стремящихся дискредитировать мои исследования и работу²³. Я продолжаю эту борьбу и по сей день, потому что знаю, что математику можно воспринимать совершенно иным, прекрасным образом – через разнообразие, через многоплановый подход. И когда люди смотрят на математику под другим углом, даже в рамках жесткой культуры успеваемости, пронизывающей учебные заведения, они получают удовольствие от нее и добиваются высоких результатов²⁴.

К счастью, не все люди, добившиеся успеха в нынешней системе преподавания математики, сражаются за ее сохранение в прежнем виде. Я рада сотрудничать с выдающимися математиками, инженерами и учеными, которые понимают, что нам нужны кардинальные изменения в методах преподавания и изучения этого предмета²⁵. Юджиния Ченг – один из математиков, которыми я восхищаюсь, – посвятила бо́льшую часть своей карьеры попыткам изменить представления людей о том, чем является и чем может быть математика. Она точно подмечает, что мы не уделяем достаточно времени тому, чтобы дарить молодежи радости математики; вместо этого мы стараемся научить их прыгать сквозь непонятные обручи, поощряем запоминать методы и правила, которые, вероятно, мало помогут им в жизни, а то и вовсе не пригодятся²⁶.

Связь между мышлением и познанием

Есть много причин для того, чтобыдумать о математике по-другому. Важное исследование в этой области провел Лан Чэнь, нейробиолог и профессор Университета Санта-Клары²⁷. Уже давно известно, что учащиеся с положительным отношением к учебе добиваются более высоких результатов²⁸. Позитивный подход снижает тревожность, повышает мотивацию и увеличивает настойчивость учеников²⁹. Чэня интересовало более детальное изучение этой взаимосвязи, чтобы выявить задействованные неврологические механизмы и факторы, способствующие или препятствующие оптимистичному настрою.

Профессор и его коллеги пришли к выводу, что отношение учащихся к математике – положительное или отрицательное – коррелирует с их успеваемостью по этому предмету (но никак не связано с другими дисциплинами). Исследования учитывали также показатель IQ³⁰ испытуемых, их возраст, рабочую память¹¹ и наличие/отсутствие страха перед математикой³¹. Оказалось, что положительное отношение напрямую связано с активностью гиппокампа – точнее, с активацией правой и левой его областей. Это действительно важно, потому что многие люди – как относящиеся к научному миру, так и за его пределами – полагают, что их отношение не связано с математическими когнитивными способностями, что за них отвечают какие-то другие, неопределенные части мозга. Однако гиппокамп – одна из самых математических областей мозга, играющая важную роль в обучении и пространственном ориентировании. Возможности гиппокампа напоминают Google; нейробиолог Сиэн Байлок называет его «поисковой системой разума»³². Мы можем включить этот механизм у учеников, если начнем уделять больше времени тому, чтобы они получали удовольствие от занятий математикой, избавленной от тестов, оценок и других факторов, мешающих успеваемости. Чэнь обнаружил, что восприятие математики меняет гиппокамп, а значит, меняется и способ функционирования вашего мозга во время учебы³³. На получение знаний уходит много денег и сил, но почти никто не обращает внимания на тот важный факт, что огромный рост успеваемости (и не только) происходит, когда меняется отношение и ощущения учащихся, формируется их математический образ мышления.

Ученые выяснили, что, когда людям, испытывающим боязнь математики, задают какие-нибудь математические вопросы, в их мозгу возбуждается тот же самый центр страха¹², который активируется при виде змей и пауков³⁴. Существуют доказательства, что страх и тревога выводят из строя отдельные части нашего мозга, в том числе гиппокамп, что снижает эффективность обучения. И наоборот, позитивное мышление активизирует те же самые важные части мозга, что приводит к хорошей учебе и более высокой успеваемости. Уже один этот факт должен заставить отказаться от использования в математических классах методов, вызывающих тревогу, и поощрять подход, который формирует положительное отношение к математике. Именно так мы обучаем школьников средних и старших классов в летних лагерях, организованных Стэнфордским университетом, – результат налицо³⁵.

Первый летний лагерь, где мы преподавали, предназначался для учеников средней школы. Тесты успеваемости продемонстрировали, что за четыре недели, проведенные с нами, они получили прирост, эквивалентный 2,8 года обучения в школе³⁶. Школьники изменили образ мышления, поверили в собственный потенциал, наладили отношения с математикой. Сочетание этих перемен проявило всю свою мощь.

Результаты настолько впечатляли, что опытные педагоги из моей команды центра Youcubed в Стэнфорде начали проводить семинары для других учителей, чтобы они могли создавать аналогичные лагеря³⁷. Исследование, проведенное в десяти школьных округах США, показало такие же положительные результаты в успеваемости³⁸. Учащиеся не только добились значительного прогресса в результатах к окончанию лагеря, но и по возвращении в свои школы существенно повысили оценки GPA¹³ по математике в следующем семестре по сравнению с учениками, не поехавшими в лагерь³⁹. Что же в этих лагерях настолько изменило траекторию обучения? Они научились тому подходу к математике, о котором я расскажу в этой книге.

Новая модель для успеха

Мои собственные знания о подходах к образованию, которые меняют опыт учащихся, черпаются из нескольких различных источников. Я учусь у нейробиологов из Стэнфорда, с которыми работаю: за последние годы они сделали невероятные и важные открытия и объяснили, как наш мозг обрабатывает математическую информацию⁴⁰. Я также прохожу обучение по когнитивной психологии у специалистов, исследующих, каким образом люди учатся. Такие ученые, как Кэрол Дуэк, Андерс Эрикссон и Джим Стиглер, написали книги, в которых изложили бесценные знания из области психологии⁴¹. Однако из многолетней практики преподавания я знаю, что, хотя эти нейроученые и психологи предлагают крайне важные концепции, их потенциал максимально раскрывается только в сочетании со знаниями, которыми обладают педагоги. Ведь именно педагоги имеют полное представление об обучении в школе и дома, и именно специалисты в сфере образования изучают разные учебные среды, чтобы понять влияние различных подходов к преподаванию и обучению. Понимание математики – это базовая форма грамотности, которая необходима каждому человеку, и этого может добиться каждый. В этой книге я делаю то, чего никогда не делала раньше: объединяю важнейшие идеи ученых в единую модель преподавания и изучения.

Именно эта методика, которую я и другие использовали в течение последних нескольких лет, обеспечила значительный и долговременный рост успеваемости⁴².

⁂

Популярные книги по математическому образованию описывают устройство и способы организации школьных кабинетов, которые могут оказаться продуктивной средой для развития мышления и обучения школьников и полезными для учителей, но зачастую ничего не упоминают о создании важных математических отношений⁴³. Эти отношения важны – между взрослыми и учащимися, между самими учащимися, с самими собой. Я знаю, что позитивные математические отношения возникают благодаря двум важным направлениям работы: одно из них включает трансформацию той математики, с которой люди имеют дело, – от узких вопросов к широким, приветствующим разнообразие творческих идей; другое включает поощрение уважительных сотруднических отношений между людьми. Эта книга содержит информацию о способах достижения обеих целей и вдохновляющие примеры людей, которые прошли этот путь и добились потрясающих результатов.

Я надеюсь, что идеи, изложенные в этой книге, помогут вам и тем, с кем вы работаете, сформировать прекрасные отношения с математикой. Кем бы вы ни были – родителем, учащимся, педагогом или просто человеком, который хотел бы улучшить свои взаимоотношения с этой дисциплиной, – я приглашаю вас встретиться или заново познакомиться с двумя понятиями, которые оживут на следующих страницах: математическим разнообразием иish-математикой. Эти идеи рождаются, когда разнообразие, обеспечиваемое разными людьми и идеями, сочетается с той версией математики, которая достаточно открыта и «ish-на», чтобы извлечь пользу из этого разнообразия. Если вы по-настоящему познакомитесь с этой версией, она изменит вас. Возможно, после этого, если вас когда-нибудь остановят на улице и попросят описать математику, вы расскажете не о своем неприятном опыте или оценках, а о том, как она освещает ваш мир.

2. Учимся учиться

Оказывается, есть большая разница в изучении математики у людей, более способных к ней и менее. Первые достигают высоких результатов не потому, что родились какими-то особенными, а потому, что знакомы с некоторыми идеями и методами работы, о которых я расскажу в этой главе. Обычно о них узнают от друзей или членов семьи, поскольку в школьной системе подобные вещи обсуждают редко. Но когда у учащихся появляется информация, позволяющая им иначе взглянуть на математику, их пути обучения меняются.

Важно, что другому, более успешному подходу к пониманию математики вполне можно научиться. И эффект такого измененного подхода выходит за рамки одной науки: исследования показывают, что методы и представления, которые способствуют повышению успеваемости учащихся, одновременно способствуют улучшению их жизни. Измененный подход начинается с метакогнитивных действий, которые позволяют людям легче решать проблемы, формулировать мысли и задавать вопросы, мотивировать себя, выстраивать лучшие отношения и повышать успешность своей работы. Воздействие на учеников впечатляет: они получают огромный прирост в результатах, причем это преимущество распространяется на все возрастные группы и все предметы.

В ходе своего сотрудничества с педагогами я обнаружила, что, по мнению большинства людей, метапознание (метакогнитивные процессы) – это процесс размышления о собственном мышлении. Я предпочитаю воспринимать его как изучение процесса обучения, как приобретение навыков эффективности в жизни. Метапознание играет важную роль в развитии креативности, независимости, саморегулирования, гибкости и способности решать сложные проблемы. Несмотря на доказательства влияния методов метапознания на учебу и успеваемость, они редко применяются на уроках математики. Я сомневаюсь, что такие идеи регулярно поощряются на работе или дома. Подобное отсутствие мета-когнитивного обучения имеет серьезные последствия для долгосрочного успеха человека в математике и за ее пределами. К счастью, существует определенный набор стратегий, доступных любому человеку. Рассказывая о них в этой главе, я приглашаю вас в метакогнитивное путешествие, которое улучшит не только вашу учебу, но и жизнь в целом.

Новая теория познания

В 1979 году профессор психологии из Стэнфорда Джон Флейвелл разработал теорию метапознания (метакогнитивных процессов), и с тех пор исследователи изучают ее влияние⁴⁴.

Приставка «мета–» происходит от греческого слова μετα, означающего «после, за», так что метапознание подразумевает важные процессы, выходящие за рамки мышления, – такие как планирование, отслеживание и оценивание. Флейвелл описывает метапознание как совокупность знаний о себе, о поставленной задаче и о стратегиях, поэтому неудивительно, что оно способствует решению задач, поддерживает математическое разнообразие и повышает эффективность работы⁴⁵. В этой главе я поделюсь стратегиями, которые помогут вам сформировать метакогнитивный взгляд и многоплановый подход к математике, чтобы вы могли применить их при чтении книги.

В 2015 году широкомасштабная Международная программа по оценке образовательных достижений учащихся (PISA) исследовала подходы к обучению у 15 миллионов человек и их связь с успеваемостью по математике. Результаты показали, что худшие показатели были у учеников, опиравшихся исключительно на запоминание. Самые высокие результаты продемонстрировали те, кто придерживался «реляционного» подхода или метода «самоконтроля»⁴⁶: они либо старались находить связи между идеями (смотрите главу 6), либо стремились следить за своей учебой. Оба метода являются квинтэссенцией метакогнитивного подхода. Организация экономического сотрудничества и развития (ОЭСР), которая занимается проведением тестов PISA по всему миру, разработала «компас обучения 2030», определяющий «знания, навыки, установки и ценности, которые необходимы учащимся для реализации своего потенциала и внесения вклада в благополучие своих сообществ и планеты в целом»⁴⁷. Метакогнитивные навыки занимают центральное место в этих рекомендациях, предназначенных для того, чтобы сформировать людей, которые эффективно функционируют в обществе и могут внести значимый вклад в его развитие.

Джон Хэтти – специалист по метаанализу (методу, когда объединяется несколько различных научных исследований, а полученные результаты имеют широкую применимость). Хэтти провел новаторское исследование, рассматривавшее различные подходы в образовании, для каждого из которых определялся размер эффекта. Размер эффекта – это величина, отражающая степень взаимосвязи между двумя переменными. Чтобы понять, насколько сильно различные подходы влияют на успеваемость, Хэтти изучал связь между ними в образовании и успеваемостью учащихся. Он проанализировал 138 различных образовательных подходов, упоминаемых в 70 000 исследований, которые охватывали 300 миллионов учеников, и обнаружил, что средний размер эффекта (определяемый в виде коэффициента d Коэна) для различных подходов составил 0,40. Чтобы понять, какие подходы стоит использовать, он сравнил эффективность всех существующих относительно этой величины. Один из подходов сильно выделялся среди остальных размером эффекта 1,33: учащиеся составляли отчеты о своем прогрессе. Среди других подходов, показавших высокую результативность, оказались дискуссии на занятиях (0,82), использование метапознания (0,75) и изучение методов решения проблем (0,68). Среди подходов, которые отличались столь низким уровнем влияния, что не оправдывали применения, оказались индивидуализированное обучение (0,23), системы внешней отчетности (которые я рассматриваю как навязанные тесты!) (0,31) и распределение по способностям (0,12)⁴⁸. Метаанализ Хэтти обобщает результаты тысяч исследований, поэтому из него нельзя почерпнуть подробности, как применяются те или иные подходы, однако он дает полезные с точки зрения статистики подсказки, каким методикам отдать предпочтение.

«Метапознанием» именовалась только одна из категорий, однако то действие, которое оказывает наибольшее влияние – учащиеся сообщают о своем прогрессе, – весьма метакогнитивно; ниже в этой главе я расскажу о некоторых способах предоставления ученикам такой важной возможности.

В школе и на работе хорошо видно, кто освоил метакогнитивные стратегии, а кто – нет. Наверное, все мы знаем людей, которые впадают в уныние, когда перед ними ставят сложные задачи, полагая, что не справятся с ними, и сдаются, столкнувшись с какими-либо препятствиями. Вероятно, мы также знакомы с лицами, которые не воспринимают идеи, отличные от их собственных, а при попытках чем-нибудь поделиться с ними замыкаются в себе.

Напротив, человек, освоивший метакогнитивные стратегии, скорее всего, проявляет любознательность и любопытство, он стремится учиться и приветствует различные точки зрения. Если же он столкнулся с затруднением, он может вернуться назад и проанализировать, что он знает и должен знать, или выбрать одну из других освоенных стратегий. Важно, что подобные люди получают удовольствие от процесса решения проблем и учебы. Такое сложное комбинирование правильного образа мышления и планирования, реализующегося при наличии метакогнитивных способностей, происходит в передней префронтальной коре нашего мозга⁴⁹.

Когда люди учатсябыть метакогнитивными, они не только улучшают навыки решения проблем, но и формируют более просоциальное поведение, совершенствуют навыки коммуникации, развивают эмпатию и когнитивный контроль¹⁴⁵⁰. Некоторые люди учатся задействовать различные способы, прибегая в жизни к сложной комбинации ментальности и мышления высшего порядка, благодаря чему становятся более успешными⁵¹. Как отмечают Донна Уилсон и Маркус Коньерс, два эксперта по «нейробиологическому обучению», если когнитивные функции – это музыканты, то метакогнитивные процессы – это дирижер⁵².

Я вижу потенциал метакогнитивного подхода в трех различных сферах жизни и работы. Во-первых, область, которую чаще всего ассоциируют с метапознанием – это самоанализ, связанный с нашим обучением и социальным взаимодействием. Когда я преподаю учителям в Великобритании и США, я часто прошу их проанализировать какой-либо проведенный ими урок. Я заметила одну интересную вещь. Некоторые учителя невероятно вдумчивы, они вспоминают детали уроков и задумываются над возможностью сделать что-то иначе, разбирают важные взаимодействия в классе и свою роль в них. Другие вообще не склонны к анализу, они лишь ограничиваются фразами, что урок прошел нормально или хорошо. Неудивительно, что рефлексирующие люди всегда оказываются более эффективными преподавателями и зачастую вырастают в лидеров в сфере образования. Важно отметить, что самоанализу может научиться каждый, особенно если учителя, родители и другие люди будут поощрять этот процесс.

Второй аспект метапознания включает в себя различные способы концентрации на задаче, желание и способность разобраться в ней и поразмышлять о том, что туда заложено. Метакогнитивная личность будет искать разные пути решения – возможно, возвращаясь к проблеме, анализируя, какая информация необходима, размышляя вслух или упрощая вопрос. Тот, кто проработал множество стратегий, может выбрать одну из них или попробовать интегрировать сразу несколько подходов.

Третья часть метапознания – это оценивание, способность отслеживать собственный прогресс и задумываться над тем, что необходимо для достижения целей. Именно здесь важнейшую роль играют учителя и родители: они указывают ученикам, куда им следует двигаться и как этого добиться. Специалисты в области образования Пол Блэк и Дилан Вилиам предложили подход, который они назвали «оценивание для обучения», определив его как информирование учащихся о том, где они находятся сейчас, где им следует быть и как сократить этот разрыв⁵³. Такая информация формирует ответственных учеников, способных регулировать ход обучения, и она не коррелирует с оценками, выставляемыми на уроках математики⁵⁴.

Применяйте метапознание на практике

Когда я работаю с учителями, я часто сталкиваюсь с тем, что они, может, и осознают ценность метакогнитивного подхода, но не знают, каким образом развить его у себя или своих учеников. В следующем разделе я расскажу о некоторых наиболее эффективных методах, которые я использовала сама или наблюдала, как применяют другие, а также о реакции тех, на ком их опробовали. Не будет преуменьшением сказать, что потенциал многих учащихся раскрывается после изучения стратегий.

Говорите о ценности метапознания Логичным началом метакогнитивного обучения является рассказ о важности различных способов взаимодействия со знаниями, которые доступны всем нам. Влияние метапознания на успеваемость учащихся показывают многие исследователи⁵⁵. Важно доносить до учащихся, что существуют разные способы взаимодействия с математикой (и не только с ней!) и что выбор подхода действительно имеет значение.

Донна Уилсон и Маркус Коньерс являются специалистами в сфере нейробиологических подходов к обучению, и одна из их стратегий для учеников помладше – предложение нарисовать собственный «мозговой автомобиль»: они говорят школьникам, что те способны «управлять своим мозгом»⁵⁶. Ученики могут представлять, что ведут свой автомобиль, уклоняясь от отвлекающих факторов или возвращаясь задним ходом, чтобы потом двинуться в другом направлении.

Но сообщение о важности метакогнитивного подхода принесет пользу только в том случае, если мы при этом будем поощрять любые способы становиться метакогнитивными личностями – различные возможные стратегии и способы мышления и общения. Я рекомендую сначала объяснить людям важность метакогнитивного подхода, а затем помочь им освоить ряд метакогнитивных стратегий.

За годы работы мне посчастливилось учиться у нескольких замечательных преподавателей математики, которые развивали подобного рода способности учащихся. Один из таких преподавателей – Карлос Кабана. Он применяет методы, помогающие развивать метакогнитивные способности учащихся при обсуждении как в классе, так и во внеурочное время. С примера Карлоса мы начнем рассмотрение различных метакогнитивных подходов, которые можно внедрить в жизнь и делиться ими.

Поощрение метапознания через обсуждение

Я знакома с Карлосом Кабаной и восхищаюсь им уже много лет, и мне посчастливилось изучать его подход к преподаванию в нескольких школах. Когда я встретилась с учениками школы Рейлсайд – городской средней школы, где Карлос работал с Лизой Джилк, – я увидела старшеклассников, которые весьма эффективно решали задачи, потому что преподаватели научили их успешно работать сообща⁵⁷. Если ученики понимали, что кто-то в их группе не приносит пользы или плохо работает, они приглашали его поучаствовать в обсуждении; когда ученики не знали, как подступиться к решению задачи, они начинали задавать друг другу наводящие вопросы – например, «о чем спрашивается в этом задании?». В процессе решения школьники пробовали применять различные стратегии, в ходе которых приходили к согласию⁵⁸. Я уверена, что многие учителя (или менеджеры компаний), понаблюдав за классами в школе Рейлсайд, поразились бы умению учеников работать независимо от учителей и слаженности их работы. Не сомневаюсь, что освоенная учениками практика согласованной работы сыграла свою роль в их успеваемости, которая существенно превышала успеваемость в более стандартных школах, с которыми я имела дело⁵⁹.

Помимо того, что школьники Рейлсайда учились эффективно решать задачи, они также обучались «отношенческому равенству» – форме равенства, которая заключается не в равных результатах тестов, а в уважительных отношениях между учениками⁶⁰. Одна из важнейших целей, которую мы должны ставить перед учениками, стремящимися стать гражданами нашего разнообразного мира, – это уважение к своим товарищам, независимо от их расы, класса, пола, успехов или любой иной формы различий⁶¹.

Уже в первую неделю своих занятий с шестиклассниками Карлос продемонстрировал, как педагоги могут поощрять вдумчивое метапознание у своих учеников. Наблюдать за преподавателем в первую неделю учебного года всегда невероятно познавательно, ведь именно в это время они устанавливают те стандарты, которые будут действовать в их классах в течение всего учебного процесса⁶². Когда я наблюдала за Карлосом на его первом уроке в шестом классе, мне стало ясно, каким образом его ученики пришли к осознанному и эффективному применению метакогнитивного подхода для решения задач. Я впервые обратила внимание на то, что каждое его указание школьникам являлось приглашением к метакогнитивному размышлению.

В классе Карлоса

Карлос начал свой урок с того, что предложил нарисовать на доске прямоугольник из двенадцати квадратиков. Поскольку для шестиклассников это было первое задание по математике в этом году, Карлос четко осознавал необходимость уважать мышление учеников, демонстрировать глубокое понимание, ясность и доброту. Добровольцем вызвалась Ана, став первой школьницей, выступающей перед классом в этом году. Пока она выходила к доске, Карлос обратился к остальным: «Что собирается делать Ана?» Некоторые ответили: «Нарисовать двенадцать квадратиков». Карлос отреагировал следующим вопросом: «А какая еще есть информация? Помимо уже упомянутых квадратов. Что-то еще?»

Возможно, это кажется стандартным взаимодействием, но на самом деле это весьма необычно. Прежде чем Ана что-то сделала, Карлос пригласил школьников поразмышлять над тем, что она собирается нарисовать, причем в деталях. Это метакогнитивное предложение поразмышлять над математическим процессом. Если ученики не проявляли достаточной конкретики, Карлос подталкивал их к более развернутым размышлениям. Пока девочка готовилась нарисовать прямоугольник, Карлос обратился к классу с важным заявлением. Он объявил всем остальным шестиклассникам, что у них есть особая роль во время работы Аны: проявлять уважение и обдумывать возможные вопросы для нее, чтобы потом все они могли «как следует обсудить эту работу».

Тем самым Карлос попросил учеников подумать над собственным поведением и способами взаимодействия с идеями выступающего человека. Он стремился привнести метапознание в процесс слушания. Примечательно, что он указал, что, даже если Ана даст правильное решение, остальные школьники должны поучаствовать в обсуждении ее действий, задавая разумные вопросы. Все учителя знают, что, когда кто-то выступает перед классом, остальные часто отключаются и теряют концентрацию. Чтобы воспрепятствовать этому, Карлос предлагает ученикам определенную роль, прося их придумать вопросы для человека у доски.

Когда Ана начала рисовать прямоугольник, Карлос попросил ее говорить вслух и пояснять свои мысли. Это еще одно важное метакогнитивное задание.

Ана нарисовала прямоугольник и произнесла: «Двенадцать». Карлос немедленно отреагировал: «Откуда ты знаешь, что двенадцать?» Это очень важный вопрос. Когда мы спрашиваем человека:«Откуда ты знаешь, что ответ верный?», это подталкивает его порассуждать о своем решении – что является важнейшей математической деятельностью. Карлос старательно работает над тем, чтобы расширить представления школьников о том, что значит действовать математически, и добавить подобные рассуждения в арсенал их инструментов, чтобы в будущем они могли успешно решать любые математические задачи. Когда Ана сообщила, что она посчитала до двенадцати, Карлос ответил: «Это хорошая стратегия. У кого-нибудь есть другое решение?». В таком высказывании одновременно содержится оценка подхода Аны и указание ученикам, что существуют другие методы и что он, как учитель, ценит их.

Позже на этом уроке Альфонсо нарисовал на доске другой прямоугольник, в котором было больше двенадцати квадратов. Затем школьник заявил, что он неправильный, и перечеркнул его крест-накрест (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Неправильный «двенадцатиквадратиковый» прямоугольник Альфонсо.

В ответ Карлос задал вопрос: «Откуда ты знаешь, что он неправильный? Почему ты его зачеркнул?» Альфонсо застыл у доски, нервно глядя на свой неверный рисунок. Карлос поднялся, одобрительно сказав: «Ты проделал отличную работу, и я хочу услышать, что происходило в твоем мозгу». Сначала Альфонсо пришибленно ответил «неважно», но Карлос упорно продолжал объяснять, что ход мыслей Альфонсо очень важен и если он сможет объяснить, что было неверно, то тем самым продвинет вперед весь класс.

В такие моменты Карлос доносил до учеников одну важную вещь. Он относился к ошибке точно так же, как к верной работе: выражал интерес к математическому рассуждению, спрашивал, почему оно неправильное, исследовал этот математический процесс и придавал ему важность. Он также постарался похвалить Альфонсо. Такой способ оценить ученика и его математическое мышление – важный момент урока. Альфонсо отреагировал на поощрительные слова Карлоса и верно объяснил, что считал тройками, и нарисовал прямоугольник, площадь которого равна 12 (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Исправленный прямоугольник Альфонсо.

Позже Карлос пояснил мне, что оба школьника, выступавшие первыми, относились к числу нуждавшихся в особом образовательном подходе, и он пришел в восторг от проявленной ими смелости. Он отметил, что в те первые минуты главное, что требовалось от него как учителя, – защитить их и оценить их математическое мышление, вне зависимости от того, правильное оно или нет.

Не менее важным было и продолжение занятия, поскольку Карлос предложил шестиклассникам рассказать о своих методах нахождения двенадцати квадратиков. Несколько школьников сказали, что для получения двенадцати используют умножение, и на большинстве уроков на этом разговор бы и закончился. Однако Карлос задержался на этой математической операции, спросив: «Почему?» Некоторые ученики ответили, что умножение применяется потому, что оно быстрее, или потому, что оно дает ответ. Это не удовлетворило преподавателя, поскольку он желал, чтобы ученики концентрировались на математическом процессе. В ходе обсуждения Карлос семь раз задавал классу вопрос «почему?», пока один из школьников в конце концов не объяснил, что «каждый ряд – это группа из трех квадратов, а всего рядов четыре». В эти моменты Карлос демонстрировал, что ему важен математический процесс и понимание того, почему он работает, и что ученикам отводится важная роль – искать более глубокий смысл. Вопрос«почему?» – один из тех, что все мы можем применять при взаимодействии с другими людьми.

Гектор проиллюстрировал процесс умножения, обведя части прямоугольника, соответствующие нужным числам (рис. 2.3), и Карлос похвалил его, сказав, что такое объяснение и кодирование помогло людям увидеть ход мыслей друг друга.

Рис. 2.3. Объяснение Гектора, откуда взялось число 12.

Затем Карлос рассказал о важности такого кодирования, сказав, что его используют технические писатели¹⁵, а «технические писатели – это люди, которые хорошо зарабатывают».

Карлос закончил урок ободряющими словами: «Мы будем решать много задач на площадь. Если вы освоили этот материал, вы в отличной форме. Если пока не разобрались, это не значит, что вы какие-то не такие. Не нужно паниковать или нервничать, просто продолжайте работать с заданиями подобного рода, и когда-нибудь все получится».

Тем самым Карлос просил учеников вспомнить ту математику, с которой они только что имели дело – нахождение площади с помощью мультипликативного мышления, – в простой, но содержательной форме, одновременно давая понять ученикам, что им необходимо знать этот материал, но если у них пока есть проблемы, это нормально, поскольку возможности потренироваться у них еще будут.

Таким образом Карлос предложил ученикам перейти от аддитивного мышления (сложение) к мультипликативному (умножение), что является важным математическим процессом. Для этого он задействовал восемь различных типов метакогнитивного мышления. Он попросил учеников уважительно слушать, высказывать вслух, заранее продумывать то, что выступающий собирается сказать, рассматривать различные стратегии, осознавать ценность ошибок, размышлять, почему методы работают, обращать внимание на цветовое кодирование и «технические чертежи», а также возвращаться к уже пройденному материалу. На протяжении всего этого обсуждения Карлос находился в той же части помещения, что и школьники, – чтобы показать ученикам, что они должны обмениваться идеями друг с другом, а не только с Карлосом.

Развитие метакогнитивного мышления у вас или ваших учеников – важный шаг на пути к формированию математического образа мышления, открытости к рефлексии и разнообразию. Родители, учителя и люди, совместно решающие задачи, могут организовывать подобные беседы, поощряя метакогнитивное мышление у других людей. Ключевым приглашением – другим или себе – является вопрос«почему?». Когда люди задумываются о том, почему они выбрали тот или иной метод, или почему данный метод или правило работает, или почему они выбрали конкретную бизнес-стратегию, они погружаются в более глубокую, более рефлексивную зону мышления.

Для учителей особенно ценны обсуждения всем классом – они поощряют и подчеркивают метакогнитивные действия и стратегии для всех без исключения.

Шестиклассники Карлоса добились очень высоких результатов в будущем: они получили серьезную работу и поступили в различные колледжи, включая Стэнфорд и Калифорнийский университет. Одна ученица, будучи одиннадцатиклассницей, даже заняла место в школьном совете, а впоследствии стала членом Совета по образованию штата Калифорния.

Поощряйте метапознание с помощью восьми математических стратегий

Возможно, самыми важными инструментами в арсенале метакогнитивных личностей являются стратегии, которые применяются при решении математических задач. В ряде исследований подчеркивается, что они зачастую определяют разницу между теми, кто счастливо изучают математику и добились успехов в целом, и менее успешными людьми⁶³. Я считаю многие из этих стратегий суперсилами, поскольку они позволяют людям быть счастливыми, хотя и не особо известны.

1. Сделайте шаг назад

Первая стратегия, полезная во всех сферах, заключается в том, чтобы сделать шаг назад и поразмыслить, что эта проблема от вас требует. Это может показаться очевидным, но большинство людей при чтении вопросов и задач по математике полагают, что нужно либо отвечать сразу, либо сдаваться. Когда ученики Карлоса Кабаны обращаются к нему за помощью, не зная, как подступиться к какой-нибудь задаче, он просит их озвучить проблему.

«О чем спрашивается в этой задаче? Скажите это вслух».

Когда после этого школьники озвучивают проблему, они нередко сразу же добавляют: «О, я знаю, что делать», словно повторение вопроса вслух запускает математическое мышление. Это одна из причин, почему важна совместная работа учащихся в группах: они получают возможность описывать проблемы и обсуждать их друг с другом.

Хорошо бы задать и следующее: «О чем этот вопрос?» Это шире и приглашает к метакогнитивному мышлению.

Я знаю, что распространенная стратегия обучения – учить школьников обращать внимание на ключевые слова при решении математических задач. Например, преподаватели предлагают ученикам искать в математических задачах слово «еще», наводящее на сложение чисел, а, допустим, глаголы «разложить», «разрезать» ассоциируются с делением.

Я вовсе не считаю, что ключевые слова продуктивны, и вот почему: на самом деле нам нужно, чтобы ученики понимали смысл задач и задумывались: «О чем меня здесь спрашивают?» Когда школьники сосредоточены на поиске ключевых слов, они не замечают общую картину и упускают общий смысл; ровно наоборот: они надеются, что ключевое слово подтолкнет их к использованию конкретного правила или метода. Такой подход не только приводит к неправильным ответам, но и способствует тому, что учащиеся не обращают внимания на смысл вопросов.

2. Изобразите проблему

Эту стратегию я использую для математических заданий и не могу не отметить ценность данного подхода. Как будет описано в главе 5, исследователи обнаружили, что основное отличие в мозговой активности математиков по сравнению с другими учеными связано с задействованием зрительной коры мозга – и это не зависит от характера математического материала⁶⁴. Если попросить людей изобразить какую-нибудь арифметическую задачу, это вызовет активность в зрительных областях мозга, а также запустит важную связь между числовыми и зрительными областями. Это приводит к совершенно иному способу восприятия и понимания задачи, что крайне важно.

3. Найдите новый подход

Третья стратегия заключается в том, чтобы попросить людей придумать альтернативный подход к поиску ответа.

Я обнаружила, что эта стратегия особенно эффективна в работе с хорошо успевающими учениками, многие из которых всегда применяли только один подход к решению задачи.

Этот метод также полезно взять на вооружение в классах, где учащиеся работают в разном темпе. Если одни заканчивают работу раньше других, я не даю им следующее задание, пока не спрошу, могут ли они найти другой способ решения, отличный от того, которым они только что воспользовались. Это важный способ знакомить школьников с математическим разнообразием.

4. Размышляйте над вопросом «почему?»

На занятии для шестиклассников Карлос не меньше семи раз задавал вопрос, почему умножение работает, прежде чем один из учеников перешел от слов «это работает» к объяснению соответствующего математического процесса и логики, лежащей в его основе. Знание того, почему что-то работает, имеет решающее значение для понимания математики, особенно для девочек и женщин, которые, как было установлено, стремятся к более глубокому пониманию, нежели мальчики и мужчины⁶⁵. Знание причин полезно для всех полов, но женщины и девочки часто теряют интерес к математике, если не получают доступ к такому глубокому пониманию.

5. Упрощайте

Упрощайте задачи, чтобы было легче понимать, вычислять или воспринимать. Как я детально покажу в главе 6, видоизменение задачи – то самое действие, которое отделяет отличников от неуспевающих при решении задач с числами⁶⁶. Например, когда школьников просят найти 19 + 6, они вместо этого складывают 20 + 5. Это может показаться само собой разумеющимся, однако я обнаружила, что многие слабо успевающие ученики уверены, что менять поставленную перед ними задачу «не позволяется». Подход с изменением чисел или фигур помогает людям повысить гибкость в решении задач.

6. Гипотезы

Шестая стратегия преподавания – предложить учащимся придумывать свои собственные гипотезы. В математике гипотеза – это идея, которая еще не доказана, а находится на стадии предположения. Из-за того, что в школах все внимание уделяют правилам, многие школьники не понимают ценности своих собственных мыслей. На занятиях я объясняю учащимся, что их роль в классе частично заключается в том, чтобы выдвигать свои собственные гипотезы.

7. Станьте скептиком Седьмая стратегия, которая отлично сочетается с придумыванием гипотез, – пригласить учащихся порассуждать и взять на себя роль скептика. Я пытаюсь донести мысль, что в математике очень важно приводить обоснования – объяснять, почему они выбрали те или иные методы, логические связи между ними и почему они работают. Подобные размышления являются сутью математики. Опубликованные работы ученых сплошь состоят из таких умозрений, поскольку именно так теоретики доказывают математические идеи. На рабочих местах также более эффективными являются те взрослые, которые умеют делиться своими умозаключениями⁶⁷.

Я рассказываю учащимся, что существует три уровня рассуждений: на самом низком уровне вы обычно можете убедить в чем-то себя; немного сложнее убедить друга; и самый высокий уровень – способность убедить скептика (рис. 2.4). Затем я предлагаю им роль скептиков!

Я поощряю схему скептика, поскольку считаю, что она невероятно эффективно преображает дискуссии в классе. До применения этой техники центром всех обсуждений является учитель, но, стоит только попросить учеников стать скептиками по отношению друг к другу, ситуация меняется.

Рис. 2.4. Схема скептика.

Как только я предлагаю ученикам средней школы в наших лагерях центра Youcubed проявлять скептицизм, они немедленно и охотно подхватывают эту идею. Когда мы организовали первые лагеря, я беспокоилась, что разговоры в классе сведутся преимущественно к ответам на вопросы преподавателей вместо общения друг с другом. Однако, благодаря «игре в скептика», мои опасения не подтвердились. Я до сих пор помню, как школьник Джош доказывал гипотезу другого школьника Мэтта. Мэтт высказал предположение, что сумма любых двух нечетных чисел всегда окажется четным числом. Я обратилась к классу, может ли кто-нибудь это доказать. Вызвавшийся Джош подошел к доске.

Он начал свои рассуждения с примера, сказав, что 1 + 2 = 3, а 3 – нечетное число, но при этом 1 + 1 = 2, а 2 – четное, и самоуверенно добавил: «И это работает для всего. Конец!» Школьники, которые научились быть скептиками, немедленно отреагировали: «Почему это работает?» и «Докажи нам это!» Джош принял вызов, радостно заявив: «Вы хотите, чтобы я это доказа-а-а-а-а-л?!» После чего выдал другой пример: «Складываем 201 (нечетное число) и 1103 (тоже нечетное), и в итоге получаем 1304, то есть четное». Остальные продолжали выражать скептицизм, спрашивая,почему так получается. Джош дополнил свое доказательство: «Потому что вы можете разделить 1304 на 2, и оно разделится на два четных числа. Бам!»

Тем самым ученики упражнялись в скептицизме, а Джош отвечал им дополнительными рассуждениями. Такая мощная связь побуждает детей понять, что их роль в изучении математики заключается в том, чтобы участвовать в осмыслении и обсуждении. Чем активнее размышляют отвечающие, тем больший доступ к пониманию появляется у их одноклассников.

Рис. 2.5. Шахматная доска.

8. Проведите простую аналогию

Последняя математическая стратегия – предложить школьникам решить задачу на более простом уровне. Например, если вас попросили определить, сколько квадратов имеется на шахматной доске 8 на 8 (рис. 2.5) (ответ: не 64!), полезно будет сначала подсчитать количество квадратов на досках размером 2 на 2, 3 на 3 и 4 на 4 (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Шахматные доски меньшего размера.Слева – Можете ли вы найти 5 квадратов?; посередине – Можете ли вы найти 14 квадратов?; справа – Можете ли вы найти 30 квадратов?

Обращение к более простому случаю позволит вам гораздо четче увидеть закономерности.

Такой метод подходит для всех математических операций. Так, если вас просят разделить 2 на 5/6 – задача, которая заставляет многих людей тревожиться и обливаться потом, – достаточно просто спросить себя: «Сколько будет 2, деленное на 1/6?», и нахождение ответа на исходный вопрос не заставит себя долго ждать.

Эти восемь стратегий помогут вам в решении любых математических вопросов, с которыми вы столкнетесь. Они не так хорошо известны и не особо применяются в математических классах, однако обладают огромной мощью. Памятку с ними можно скачать на сайте Mathish.org.

Метапознание с помощью дневника

Я очень люблю давать учащимся дневники, в которых они описывают свой путь в изучении математики. Это не те рабочие тетради, в которых обычно записывают ответы на уроках математики, а открытое пространство для свободного выражения мыслей. Место, где можно излагать свои мысли, полезно иметь не только ученикам; оно принесет пользу всем. Я никуда не хожу без своего собственного дневника, куда заношу все, что считаю важным.

Мне больше нравятся ежедневники с пустыми страницами или с квадратами, слегка намеченными пунктиром, чтобы учащиеся могли выходить за рамки в буквальном смысле. В наших математических лагерях мы выдаем дневники ученикам, предлагая записывать любые полезные идеи, касающиеся математики или их учебы. В начале занятий мы также выделяем учащимся время на оформление дневников, чтобы они чувствовали себя их хозяевами. Время от времени мы собираем эти тетради и оставляем комментарии о проделанной работе, которые пишутся на вкладных стикерах, чтобы у школьников не возникало ощущения, что оценки учителей отбирают у них пространство для размышлений.

Формирование рефлексивного мышления и личностный рост

Исследования показали, что обдумывание своего обучения – важная часть метакогнитивного подхода, которая повышает успеваемость⁶⁸. Владение таким самоанализом часто определяет разницу между эффективной и неэффективной учебой, поэтому учителя и родители должны всячески поощрять эту практику. В таблице на с. 57 представлены варианты полезных вопросов, которые можно задавать ученикам на уроках, – для обдумывания либо в конце занятия, либо дома. Список дает ученикам возможность выбора, чтобы они могли рефлексировать над одним или несколькими утверждениями в то или иное время. Родители могут задавать детям подобные вопросы в ходе повседневного общения. Однако можно пойти дальше и попросить детей записывать эти вопросы в дневники, чтобы они могли регулярно размышлять над ними.

Рис. 2.7. Идеи для размышления.

Когда учителя, с которыми я сотрудничала, заменяют типичные домашние задания, часто не имеющие особого смысла, просьбой вспомнить урок (поразмышлять) дома, школьники отмечают, что это улучшает их понимание математики⁶⁹. Подобная практика эффективна, потому что ученики получают возможность проанализировать собственные знания и понимание – а это невероятно ценная вещь.

Учителя, с которыми я работала несколько лет назад, для каждого домашнего задания выбирали один или два таких вопроса. Ниже приведены комментарии учащихся, высказанные после того, как в их домашних заданиях узкие вопросы сменились заданиями поразмышлять:

Мне кажется, что такие вопросы помогают мне осмыслить то, что я узнал за день. Если я что-то не совсем запомнил, у меня есть возможность снова заглянуть в тетрадь.

Вопросы для размышления мне очень помогают.

Я вижу, над чем мне нужно поработать, а что у меня получается хорошо.

Я думаю, что то, как мы выполняем домашние задания, очень полезно. Когда ты тратишь больше времени на обдумывание изученного и меньше времени на выполнение дополнительных математических заданий, ты узнаешь больше⁷⁰.

Рефлексия также играет важную роль в развитии у учащихся установки на личностный рост, которая является еще одной частью метакогнитивного мышления. Многие учителя спрашивали меня, как определить, есть ли у их учеников установка на рост. Некоторые пробовали проводить соответствующие опросы, но они не приносили пользы: во всем мире большинство учащихся знают, как давать «правильные» или ожидаемые ответы в них. Важны не столько ответы, сколько то, как ведут себя учащиеся, когда встречаются со сложной работой или допускают ошибки. Чтобы помочь учителям и учащимся осознать свои установки и освоить важные мета-когнитивные стратегии, моя стэнфордская команда разработала схему для установок, приведенную на рисунке 2.8.

Учителя рассказывали мне, что эта схема помогла их ученикам сформировать математические стратегии и установку на рост. Некоторые преподаватели предлагают это задание дважды – в начале и в конце курса обучения, собирают ответы и изучают изменения.

Рис. 2.8. Схема установок.

Метапознание с помощью групповой работы: учите уважать идеи друг друга

Совместная работа в группе крайне важна, поскольку в это время люди учатся метакогнитивному взаимодействию. Я практикую командную работу уже много лет⁷¹ со своими студентами в Стэнфорде и в наших летних лагерях⁷². Как я уже упоминала, в период преподавания в школе Рейлсайд я стала свидетелем нескольких впечатляющих примеров слаженной совместной работы школьников, начиная с учеников 9-го класса, у которых метакогнитивные стратегии практически отсутствовали, и заканчивая учениками 12-го класса, которые превратились в весьма эффективных коммуникаторов и решателей задач. Это произошло не само по себе: именно преподаватели целенаправленно растили эффективных членов группы, уважающих друг друга и помогающих учиться и другим, и себе⁷³.

Эти учителя организовали эффективную работу в группе, используя стратегии комплексного обучения – подход, который уравнивает и сглаживает различия между учениками⁷⁴. Первые десять недель учителя посвящали уважительному взаимодействию школьников в группах – это время впоследствии окупилось эффективной коммуникацией между учащимися на протяжении всех оставшихся лет школы. В течение этих десяти недель преподаватели давали школьникам особые «групповые» задания, требующие участия всех членов группы. Когда ученики работали сообща, учителя отмечали и выделяли уважительное взаимодействие, создавая полезный цикл обратной связи.

Комплексное обучение способствует хорошей групповой работе и тем, что использует распределение ролей. Авторы метода рекомендуют, чтобы учащиеся работали в группах по четыре человека, каждому из которых отведена определенная роль⁷⁵. После многих лет обучения английских преподавателей я слегка адаптировала этот метод и добавила пятого члена команды.

Неограниченные роли, адаптированные из комплексного обучения

Выделение каждому ученику определенной роли в группе приносит множество выгод; кроме того, такой метод можно адаптировать для использования с детьми дома. Одно из преимуществ заключается в том, что все учащиеся ощущают себя вовлеченными в процесс и имеют конкретное задание. Роли также способствуют развитию метакогнитивного мышления, побуждая учеников спрашивать «почему» и мыслить глубоко и стратегически. Когда учителя из Рейлсайда предлагали ученикам выбирать и исполнять определенные роли, они использовали стратегию, в эффективности которой я убедилась на собственном опыте: тест участия⁷⁶. Он подразумевает, что учащиеся получают какое-то задание для работы в группах, но перед началом им дается набор оцениваемых математических подходов. Учителя из Рейлсайда предлагают следующий список – набор моделей поведения, которые также подталкивают учеников к метакогнитивным мыслям и действиям:

Математические методы работы

Во время теста я буду стремиться:

• понимать и описывать закономерности;

• обосновывать ход своих мыслей и применять разные способы представления;

• устанавливать связи между разными подходами;

• использовать слова, стрелки, числа и цветовое кодирование для разъяснения идей;

• четко объяснять идеи участникам команды и учителю;

• ставить вопросы, чтобы понять ход мыслей других членов команды;

• ставить вопросы, чтобы подтолкнуть группу к более глубокому анализу;

• готовить презентацию так, чтобы ученики, не входящие в состав нашей группы, могли понять ход ее мыслей¹⁶.

Они также поделились следующей мантрой:Никто не может быть хорош во всем, но каждый хорош в чем-то. Чтобы успешно справиться с сегодняшним заданием, вам понадобятся все члены вашей группы.

В дополнение к этому списку преподаватели предложили перечень видов хорошего поведения в группе:

Виды хорошего поведения в группе

• работать, склоняясь над столом;

• предоставлять всем членам группы равное время;

• помогать друг другу;

• слушать друг друга;

• задавать друг другу много вопросов;

• исполнять свои роли в группе.

Учителя ходили по классу, отмечая хорошие (или плохие) виды поведения в группах, записывая на доске или на бумаге реплики учащихся. В конце урока школьники получали обратную связь, а иногда оценки поведения в группах. Когда я преподаю в Стэнфорде для студентов и аспирантов, я провожу тесты участия (хотя я называю их стимулированием участия) каждый раз, когда вижу, что работа в группе перестает быть равноправной. Рано или поздно это обязательно произойдет: одни учащиеся активно ведут математические дискуссии, в то время как другие предпочитают не участвовать. Когда я провожу стимулирование участия, ученики начинают лучше осознавать свое поведение, и ситуация с неравенством в группе исправляется. Эта метакогнитивная практика – важный шаг к тому, чтобы ученики осознали ценность математического разнообразия в групповой работе. Вы достигнете долгосрочного успеха, если акцентируете внимание на том, что ценно в их работе, – побуждайте их думать о том, как они учатся развивать метакогнитивные стратегии и брать на себя ответственность за свой путь в учебе.

Еще одна стратегия, которую использовали преподаватели Рейлсайда, – тесты, при которых они брали работы только одного члена группы (выбранного наугад), а остальные участники получали за работу оценку этого человека. Такой способ весьма наглядно демонстрировал, что каждый член группы несет ответственность за всех остальных.

Метапознание с помощью оценивания

Глава о метапознании была бы неполной без обсуждения той существенной роли, которую может сыграть оценивание. Я уже писала о том, как важно изменить отношение учащихся к образованию, перейдя от культуры результата к культуре учебы⁷⁷. Культура результата – это культура баллов и оценок в тестах, в которой не хватает полезной информации о путях саморазвития. Культура учебы, наоборот, предполагает, что учитель предоставляет обратную связь, которая дает информацию о процессе обучения и помогает учащимся понять, как можно совершенствоваться. Когда я посещала школы с выстроенной культурой учебы, ученики рассказывали мне, как они рады получать информацию о своем собственном обучении (типовой случай изложен в главе 7). Я не удивляюсь подобной реакции, ведь школьникам предложили взять ответственность за свою жизнь и за собственный прогресс. Как говорят лидеры в системах оценки учебы, таких школьников пригласили в гильдию⁷⁸.

Лучший способ донести до учеников информацию о ходе их обучения – воспользоваться специальными схемами. Они показывают, какие навыки следует освоить и на каком этапе находится ученик. Иногда учителя добавляют полезные и ценные комментарии, а иногда предлагают ученикам самостоятельно проанализировать свою учебу. На сайте нашего центра Youcubed приведен пример школы, которая переходит к культуре учебы, способствующей развитию установки на рост, сдвигаясь от тестов в сторону схем с обратной связью⁷⁹; в главе 7 мы увидим пример того, как учитель использует эти схемы, чтобы дать ученикам указатели-ориентиры на их учебном пути.

Для выстраивания шагов ради достижения учебной цели и оценивания прогресса необязательно ограничиваться оценочным подходом. Например, в своей последней книге я рассказала историю Милли и ее удивительной учительницы Нэнси Кушайр, которая возглавляет подразделение математики в организации International Baccalaureate⁸⁰. Милли пришла в класс Нэнси с ощущением, что она не способна к математике, поскольку другие работают быстрее нее. Она назвала себя «тупой». Чтобы помочь Милли, Нэнси предложила сосредоточиться на одной теме; школьница выбрала целые числа. Учительница предложила ей много задач на целые числа, используя различные визуальные представления и поддерживая обратную связь в течение всей ее работы – это помогает ученикам понимать, на каком этапе обучения они находятся. К концу года Милли стала другим человеком. Она написала Нэнси письмо, в котором сообщила, что визуальное восприятие идей и понимание того, почему и как они работают, изменили ее жизнь. Преображение девочки произошло из-за того, что преподавательница познакомила ее с разнообразием математических подходов, поставила перед ней четкие цели и оценивала ее прогресс в достижении этих целей. Когда я писала эту книгу, Нэнси связалась со мной и сообщила, что на занятии в Орегонском университете профессор математики запустил видеоролик, упомянутый в моей последней книге «Безграничный разум», где Милли рассказывала о переменах в себе⁸¹. При этом сама Милли присутствовала в аудитории. Прекрасный пример того, как замыкается круг: сначала математическое разнообразие помогло Милли, а затем она помогла другим.

Еще одним примером, как ставить цель в изучении математики и предоставлять обратную связь о ходе прогресса, со мной поделилась моя подруга Кристина, которая помогала своей дочери-третьекласснице Эбби изучать умножение. Кристину беспокоило, что школьный подход полностью базировался на цифрах и запоминании, поэтому она выдала Эбби новую тетрадь и предложила завести отдельную главу для каждого числа-множителя: одна глава для таблицы умножения на 2, другая – для таблицы умножения на 3 и так далее. Она попросила Эбби потратить на каждую главу примерно неделю, включив туда следующую информацию:

1. Наглядное представление одного или нескольких умножений.

2. Заметка об увиденной закономерности.

3. Пример из реальной жизни, придающий смысл этим числам.

Такая работа по всем двенадцати наборам умножений¹⁷ могла оказаться непосильной для третьеклассницы, и она легко могла сбиться с пути математического мышления. Поэтому Кристина обозначила четкие цели и сделала ее увлекательной. По окончании работы над каждой главой она просматривала работу вместе с Эбби, давала отзыв и задавала вопросы; она также играла с дочкой в какую-нибудь веселую игру с соответствующими цифрами. Кристина полагала, что ей понадобится какое-нибудь внешнее вознаграждение за каждую завершенную главу, например что-нибудь вкусненькое, и очень обрадовалась, что обошлось без него: Эбби понравилось, что у нее есть двенадцать областей для работы, по одной в неделю (вполне реальная цель), плюс обратная связь и веселые игры с цифрами. Эбби также чувствовала, что эта работа помогает ей во время занятий математикой в школе.

На рисунке 2.9 приведена одна страничка из тетради Эбби.

Многие педагоги, руководители и родители знают, что люди по-разному подходят к образованию, но не понимают, что их вполне реально обучить эффективным способам учебы и решения задач. Большинство учителей посвящают отведенное на урок время изложению материала, полагая, что ученики умеют учиться. На самом деле ученики не только не владеют оптимальными подходами к обучению, но и часто усваивают контрпродуктивные методы, особенно если ранее окунались в атмосферу жесткой культуры результата и узкой математики⁸². Важно, что все реально поменять, если познакомить учеников с метакогнитивными подходами к учебе, которые поспособствуют их любознательности и открытости в отношении различных математических идей.

Рис. 2.9. Страница тетради Эбби, посвященная числу 7.

Обсуждения в классе, некоторые мощные математические стратегии, ведение дневника, размышления, уважительная работа в группах и оценивание, обеспечивающее обратную связь с учениками, – все это способствует эффективному уроку математики и взращиванию осознанных, самостоятельных личностей. Принципы, описываемые в этой главе, играют большую роль в формировании мировоззрения, ведь если мы научим человека быть восприимчивым к разнообразным точкам зрения, задавать вопросы, глубоко мыслить, то он научится учиться и будет извлекать больше пользы из каждой идеи, встречающейся ему на жизненном пути.

3. Польза усилий

По мере того как мы читаем эту книгу, открывая для себя красоту математического разнообразия и радость идейish-математики, формируется определенный образ мышления, который важно принять. Он меняет не только наш подход к учебе, но и способ взаимодействия с миром. Это происходит благодаря важной науке ошибок, борьбы и трудностей.

Обширные исследования свидетельствуют о том, что люди, обладающие мышлением роста (установкой на рост), более успешны в жизни⁸³. Но что это значит? Многие считают, что установку на рост имеют те, кто осознает, что может научиться чему угодно и что пробовать – это хорошо. Оба эти аспекта важны, но я считаю, что определяющее качество такой ментальности – комплекс убеждений, которые окружают нас в те моменты, когда мы боремся, совершаем ошибки и переживаем трудные времена в жизни. Ключевой чертой мышления роста, которое защищает людей, когда дела идут плохо, и помогает им упорно преодолевать сложные проблемы, является специфическая реакция на периоды борьбы и ошибок. Нейронаучные исследования показали, что, в то время как люди с фиксированным мышлением (установкой на данность, установкой на отсутствие изменений) относятся к ошибкам как к свидетельству собственной слабости, люди с установкой на рост рассматривают их как возможность учиться. В электроэнцефалографических¹⁸ исследованиях выяснилось, что люди с установкой на рост лучше исправляли ошибки после обратной связи, демонстрировали больше нейронных маркеров внимания и меньше нейронных маркеров эмоционального расстройства из-за оплошностей по сравнению с людьми с фиксированным мышлением⁸⁴. Иными словами, они воспринимали ошибки совершенно не так, как люди с установкой на данность. Когда у людей поощряется развитие установки на рост, они положительно смотрят на трудности и не боятся ошибаться⁸⁵.

Следствия этой экспертизы весьма значимы – представьте себе, что в каждой сложной ситуации вы чувствуете себя сильнее, чувствуете стимул учиться, уделяете больше внимания обратной связи и формируете более эффективные реакции мозга, повышающие вашу обучаемость. Неудивительно, что многочисленные исследования показывают, что люди с установкой на рост добиваются более высоких результатов на всех уровнях образования⁸⁶.

Я рассказываю об этом сдвиге в сознании, позволяющем всем нам приветствовать проблемные идеи и ситуации, в самом начале книги, чтобы читатели могли подходить к идеям математического разнообразия иish-математики с открытым умом и широтой взглядов. Это особенно важно для тех, кто сталкивался ранее с математическими травмами и неприятностями, а таких – давайте признаем – среди нас немало! Я уже писала об этой теме в предыдущих книгах, поскольку она занимает центральное место в моих исследованиях и работе. В этой главе мы рассмотрим свежие данные и идеи о том, как бороться с проблемами, а не сдаваться «без боя», чтобы улучшить наше понимание, учебу и жизнь, когда мы отправляемся в наше совместное математическое путешествие.

Учитесь любить трудности

За последние десять лет я получила сотни писем от родителей, которые просили дать советы, как изучать математику их детям. Ответить на все невозможно, хотя я и стараюсь. Мое внимание привлекло одно из последних писем. Отец студентки Стэнфордского университета просил помочь дочери. Джулия поступила в Стэнфорд десять лет назад, но из-за серьезной болезни пропустила много месяцев. Он рассказал мне, что она ненавидит математику, сильно нервничает из-за нее, а курс статистики стал камнем преткновения для получения диплома по английской литературе. Идет самое начало четверти, и Джулия уже считает материал «непостижимым», а с учетом проблем со здоровьем этот курс, по словам отца, грозит довести ее до «грани полного физического краха». Когда я встретилась с Джулией, она сразу впечатлила меня интеллектуальной любознательностью и воодушевлением, с которым говорила об английском языке. В то же время я поразилась ее глубокой печали, когда речь зашла о математике. Она не дружила с предметом еще со средней школы и считала, что никогда не сможет пройти курс статистики.

Я договорилась с одной из своих аспиранток Марджи Хан о занятиях с Джулией. Сначала Марджи рассказывала мне, что Джулия не справляется с университетскими тестами, но они не сдавались, решив бороться. В частности, каждую неделю они анализировали тесты, разбирая те вопросы, в которых Джулия допустила ошибку. Марджи помогала студентке взглянуть на идеи по-другому и найти новые подходы к вопросам – помимо тех, которые показывали на лекциях. Постепенно Джулия начала улучшать результаты. В конце четверти я получила радостное сообщение от Марджи, что ее подопечная только что получила на итоговом экзамене оценку А, – все были в восторге. Девушка окончила Стэнфорд и теперь учится в аспирантуре.

Почему произошла такая резкая перемена? Когда Джулия сосредоточилась на своих ошибках и задумалась о другом подходе к решению задач, стена между ней и математикой разрушилась, и процесс обучения сдвинулся с мертвой точки. Это стало возможным благодаря важному педагогическому подходу ее преподавателя – возвращению к тестам для переосмысления и переделки. В преподавании такое происходит не так часто, хотя ошибки – один из самых важных факторов в любом учебном процессе.

Я читаю в Стэнфорде курс для студентов под названием «Как изучать математику». Каждый год я демонстрирую учащимся один видеоролик с урока математики в японской средней школе и рассказываю им, что этот ролик взят из исследования, изучавшего методику преподавания за рубежом. Объектом наблюдения выбрали Японию, поскольку эта страна демонстрирует очень высокие достижения в математике⁸⁷. Студенты всегда пребывают в восторге от этого видео. Что же там такое?

В японском классе примерно сорок учеников с разной степенью успеваемости. В начале урока учитель предлагает следующую задачу. Школьникам показывают участок земли, разделенный между двумя людьми. Ученики должны превратить эту границу в прямую, не изменив при этом количество земли у обоих владельцев. В этом вопросе нет числовых данных, и он сложен, поскольку участок имеет неправильную форму без прямых углов, которые значительно облегчили бы задачу деления пополам. Обычно мои студенты пробуют решать эту задачу до просмотра видео, но мало кто из них справляется с нею. Учитель в Японии дает своим ученикам время поработать над задачей в группах. Любопытно, что он также предоставляет им выбор: в процессе работы они могут либо обсудить проблему со своими друзьями, либо обратиться за помощью к учителю, либо получить карточки с подсказками.

Пока японский класс решает задачу, учитель передвигается по комнате и предлагает различным группам показать одноклассникам родившиеся идеи. В классе царит оживленная атмосфера: одни ученики стоят, другие сидят, в помещении много движения, разговоров и смеха.

В процессе общения со школьниками преподаватель улыбается и смеется, демонстрируя сложившиеся позитивные отношения. Взаимодействуя с друзьями в группах, почти все ученики улыбаются. И тут происходит событие, которое шокирует и восхищает моих студентов. Учитель просит одну группу школьников рассказать остальным об ошибке, которую они допустили. Ученики озадаченно смотрят на преподавателя и спрашивают: «Вы хотите, чтобы мы рассказали, что сделали неверно?» – «Да, – отвечает он. – Ошибки – вот что важно. Если бы люди их не делали, им незачем было бы ходить в школу». Это сильное заявление: преподаватель дает понять ученикам, что это естественная часть обучения и что он ценит неправильное решение настолько, что просит сообщить о нем всем ученикам, поскольку оно является источником продуктивного обучения для всех.

Урок продолжается: школьники весело и непринужденно делятся ошибками и решениями. Затем учитель расширяет исследование – наклеивает на доску несколько заготовленных фигур, предлагает дополнительные вопросы, просит учеников использовать свои знания о линиях и углах и поощряет их придумывать больше разных подходов.

Этот урок изумляет моих студентов по многим причинам. Первая – его исследовательский характер, особенно с учетом того, что многие студенты уверены, что в таких странах, как Япония и Китай, учеников натаскивают на применение фактов и правил. Вторая – использование преподавателем наглядных моделей, в том числе предварительно заготовленных картонных фигур (эту идею мы подробно рассмотрим в главе 5). Третья – отношение к ошибкам. Исследователи, изучавшие методы преподавания в других странах, также обнаружили кое-что, имеющее отношение к нам в США: в Японии школьники тратят 44 % своего времени на то, чтобы «изобретать, размышлять и биться над основными понятиями», в то время как у американских школьников на это уходит менее 1 % времени⁸⁸.

Стив Олсон – превосходный популяризатор науки – изучал школьников разных стран, участвовавших в международной математической олимпиаде. Он пришел к следующему выводу о роли усилий и математического разнообразия в японской школе:

Учителяхотят, чтобы их ученики испытывали сложности с задачами, потому что считают, что именно так школьники начинают по-настоящему понимать математические концепции. Школы не делят учеников на группы по уровню способностей, потому что различия между учениками рассматриваются как полезный ресурс, который может расширить дискуссию. Не все школьники выносят с урока одно и то же… но каждый усвоит больше, если его заставят побороться с задачей, а не принудительно скормят ему простую, заранее разжеванную процедуру⁸⁹.

В главе 1 я рассказывала о злодее – математическом складе ума. Напротив, бесспорно подтверждено, что все учащиеся находятся на пути роста и их мозг постоянно укрепляется, строит связи и увеличивается⁹⁰. Кроме того, периоды борьбы, ошибок и неудач – это вовсе не признаки того, что человек слаб или плохо разбирается в предмете; наоборот, это признаки невероятной активности мозга.

Когда я общаюсь с учениками, будь то школьники средних и старших классов в математических лагерях или студенты в Стэнфорде, я говорю им: «Я даю вам сложные задания, потому что хочу, чтобы вы боролись. Я хочу, чтобы вы трудились, чтобы у вас была отличная тренировка для мозга». Это раскрепощает учащихся, и они более охотно проявляют настойчивость, зная, что не тратят время впустую, а самосовершенствуются. Я объясняю им, что обучение кажется трудным, потому что их мозг напряженно работает. С этим посылом связана одна важная вещь – постановка задач с «низким полом» и «высоким потолком» – то есть задач, заняться которыми может каждый, но которые при этом помогают подняться высоко. Кроме того, предлагаемые мною задания имеют несколько точек входа, включая визуальные аспекты, хорошо понятные учащимся. Они работают над сложными проблемами, зная, что могут добиться успеха, а это очень важно. В последние годы я слышала, что некоторые преподаватели предлагают ученикам прикладывать усилия и работать самостоятельно, без посторонней помощи, однако предлагаемые ими задачи – это типичные узкие математические вопросы. Учащиеся расстраиваются, не знают, как подступиться к ним, и учеба становится непродуктивной. Время борьбы с проблемами обретает продуктивность, если учащимся предлагают упражнения, которые воплощают математическое разнообразие и «ish-подход». В следующих главах этой книги вы найдете множество примеров заданий подобного рода.

Исследования в области ментальности показывают, что, когда мы верим, что можем чему-то научиться, и стремимся к этому, мы с большей вероятностью получим пользу, чем когда не верим в себя или в важность процесса⁹¹. Отчасти причина низкой успеваемости по математике в стране заключается в том, что многие учителя и ученики воспринимают напряженные усилия как признак слабости. Если бы мы могли изменить отношение учителей и родителей, мы смогли бы поднять результаты в математике на всех уровнях.

Я уже читала один из своих онлайн-курсов, как услышала рассказ Кэрол Дуэк о событии, которое сподвигло ее начать исследование ментальности, породившее одну из самых значимых идей в области образования⁹². Она сообщила мне, что опрашивала маленьких детей, давая им различные задания, и наблюдала, как многие ученики отступают, столкнувшись с трудной проблемой. Однако один мальчик отреагировал совершенно иначе: когда ему предложили сложную задачу, он восторженно воскликнул, что любит трудности, и набросился на работу. Этот мальчик, сам того не подозревая, сыграл важную роль в мировом образовании. Его восклицание заставило Дуэк осознать, что наш подход к препятствиям может изменить то, как мы учимся. Десятилетия исследований, проведенных ею и ее коллегами, подтвердили влияние таких мысленных установок на наши способности к обучению⁹³.

Ученики с установкой на рост, а не на данность верят, что смогут научиться всему, и смотрят на ошибки и сложности как на возможность для учебы. Такой ментальный подход не только поддерживает их в трудные моменты, но и защищает от вредных стереотипов, а также поощряет упорство – и все это ведет к повышению успеваемости⁹⁴. Доказательства мощного влияния сдвига ментальности с фиксированного мышления на мышление роста просто ошеломляют: исследования показали, что это может повысить результаты⁹⁵, улучшить здоровье⁹⁶, помочь учащимся сдерживать агрессию⁹⁷ и уменьшить расовое неравенство⁹⁸.

Дуэк воочию убедилась, что существует значимая разница между большинством школьников, с которыми она работала в тот день, и мальчиком, которого трудная работа не только не пугала, но и приводила в восторг. Перед родителями и педагогами встает проблема – как развивать такое мышление и воодушевление перед лицом трудностей в наших учениках и в них самих. Есть факты, свидетельствующие, что некоторые ученики меняются, когда узнают о развитии мозга и важности упорства. Однако последние исследования показывают, что конкретно в математике для масштабного и длительного эффекта нужно не просто вносить различные идеи, а менять преподавание⁹⁹. Иными словами, то, что нам действительно нужно, – развивать культуры ментальности в классах и на рабочих местах. Подход к преподаванию, который помогает развить культуру ментальности, начинается, возможно, с самого важного условия преподавания и учебы – создания среды, в которой учащихся поощряют прикладывать усилия.

Нейробиологи, с которыми я сотрудничала в течение последних нескольких лет, изучают различные аспекты нашего мозга, используя разные методы, но все, с кем мне довелось поработать, единодушно утверждали: наиболее продуктивное время для нашего мозга – когда мы испытываем трудности и совершаем ошибки. Автор бестселлера «Код таланта» Дэниел Койл¹⁹, изучая тех, кто добился наибольшего успеха в различных областях, пришел к выводу, что все они люди, которые учились, «работая на грани своего понимания» – совершая ошибки, исправляя их, двигаясь дальше и совершая еще больше ошибок¹⁰⁰. Это подтверждает мой собственный опыт: учащиеся, готовые бороться и работать на грани своего понимания, обычно добиваются большего.

Элли – школьница, настроенная работать на пределе своих возможностей, – посетила первый летний лагерь Youcubed. Если бы вы понаблюдали за занятиями, которые вели мы с Кэти Уильямс, то, вероятно, обратили бы внимание на Элли, поскольку она весьма охотно делилась своими мыслями и ответами – обычно неверными. Человек со стороны мог бы причислить Элли к плохо успевающим ученицам нашего класса, и это правда, ведь ей поставили низкие баллы на предварительном тестировании. Однако я действительно ценила тот факт, что Элли сообщала о своих ошибках, поскольку это давало пищу для размышлений другим ученикам. Элли решительно защищала свой ошибочный подход, но в итоге исправлялась и двигалась дальше. Она работала на грани своего понимания¹⁰¹. Когда мы проанализировали достижения школьников, выяснилось, что Элли улучшила свои показатели больше, чем остальные 82 человека, и оказалась одной из лучших учениц в группе¹⁰². Подтвердилось, что девочка действительно услышала наш посыл о борьбе и ментальности, и это изменило ее подход к математике. Через несколько лет, уже в старшей школе, Элли обратилась ко мне за помощью, поскольку решила написать работу на тему ментальности.

Стивен Строгац – специалист по прикладной математике из Корнелла, который занимался «графами тесного мира»¹⁰³. Эта концепция основана на идее, что все мы связаны друг с другом максимум шестью рукопожатиями и живем в маленьком мире²⁰. Вместе со своим учеником Дунканом Уоттсом Стивен написал работу, демонстрирующую, что многие системы в мире – от электросетей до нейронных сетей червей и сотрудничества между голливудскими актерами – функционируют не случайным образом, а как кластерные сети с типичными длинами путей в них. На сегодняшний день статья Строгаца и Уоттса входит в сотню самых цитируемых научных работ в мире¹⁰⁴.

Я ценю тексты Стивена о преподавании математики, но мое внимание привлекает другое: его описание собственных трудностей с учебой. В потрясающем интервью, которое Строгац дал экономисту Стиву Левитту в одном из подкастов, ученый рассказывал о своей работе и своем математическом пути¹⁰⁵. В ходе этой беседы Стивен признался, что с трудом учился в средней школе, получая самые низкие оценки по всем предметам, потому что уроки не предлагали подключить интуицию или визуальное восприятие – иными словами, они были одномерными, лишенными разнообразия. Он также рассказал, когда влюбился в ощущение борьбы.

Это произошло в старшей школе, когда учитель дал задачу и заметил, что ранее ее не решил ни один из учеников. Преподаватель добавил, что решения не нашел и он сам, выпускник Массачусетского технологического института²¹. Это привлекло внимание юного Стивена. Он занялся задачей, но решения не появилось ни через час, ни через два. Дни упорной работы складывались в недели, а затем в месяцы. Через шесть месяцев он нашел доказательство. Учитель был так доволен, что показал работу директору школы.

За эти месяцы Стивен пристрастился к пути понимания через борьбу (сам он называл это «боем»). Ему так понравилось это ощущение, что он начал сам придумывать сложные задачи для себя, задавая вопросы об обширном и удивительном предмете, который мы именуем математикой.

Превращение Стивена в одного из ведущих математиков мира опровергает распространенный в системе образования миф, что борьба – это признак слабости и к ней прибегают только мыслители «низкого уровня». Упорство оказалось ключевой частью в математическом развитии будущего ученого. Еще один опасный миф заключается в том, что наиболее успешные люди не прикладывают усилий. Это совершенно неверно: фактически самые успешные люди – те, кому комфортно бороться за свой успех; они, подобно Стиву, учатся искать ощущение сражения, понимая, что это неотъемлемая часть результата.

Это важно помнить всем нам: мы должны приветствовать или даже выискивать возможности для работы, которая подталкивает нас к грани нашего понимания, поскольку именно так можно обнаружить величайшее знание; именно там проявляется творчество и совершаются важные открытия. Зачастую именно тогда, когда мы приближаемся к той границе, где у нас нет уверенности или знаний, мы достигаем самых больших успехов. Мы не добьемся многого в жизни, если будем перестраховываться, действовать осторожно, уступать нашим внутренним негативным голосам и страхам.

В четырех различных исследованиях, участники которых относились к разным возрастным группам и изучали разный материал, специалисты сравнивали подход, используемый в большинстве математических классов, – сначала рассказ о существующих методах решения заданий, а затем их применение на практике – с противоположным подходом¹⁰⁶, когда преподаватели сначала дают учащимся вопросы и задачи и только потом говорят о методах, необходимых для их выполнения. Для обсуждения возможных путей решения учащимся предлагается использовать свою интуицию. Все исследования показывают, что такой подход к преподаванию обеспечивает более высокие результаты, и специалисты заключают, что причина здесь в том, что учащиеся получают больше возможностей бороться – размышлять и делать выводы на основе уже имеющихся знаний¹⁰⁷. Когда студенты обучаются новому после того, как им пришлось приложить усилия, чтобы найти путь к решению, их мозг готов к усвоению нового материала.

В эксперименте, проведенном в Гарвардском университете, сравнивали разные подходы к изучению математического анализа¹⁰⁸. В одном случае студентам читали лекцию, после чего они решали задачи. Во втором – студенты работали над задачами до того, как узнавали о необходимых методах. Исследование было хорошо спланировано, так что обе группы использовали подходы в разное время. В ходе эксперимента выяснилось, что студенты лучше усваивают материал, если сначала борются, работают над проблемами, а потом изучают методику. В то же время оказалось, что, по мнению самих студентов, они больше усвоили, когда предварительно прослушали лекцию. Понятность лекции создавала у них иллюзию обучения, а необходимость прикладывать усилия заставляла чувствовать себя плохо. Ученые пришли к выводу, что одна из причин недооценки учащимися эффективности борьбы заключается в том, что их никогда не учили ее ценности. Несмотря на то, что студенты считали подход с усилиями менее эффективным, они учились лучше, если им сначала давали задачи, над которыми требовалось поразмышлять, и только потом – методы, которые позволяли им продвинуться вперед.

У нас есть множество доказательств того, что лучшие моменты для нашего мозга – когда мы сталкиваемся с проблемами и начинаем бороться¹⁰⁹. Эти данные оказывают огромное влияние на жизнь людей, причем они вступают в противоречие с теми сведениями, которые школы и другие учреждения вкладывают в голову многим из нас.