Kitobni o'qish: «Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки»

Name: Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки
Author: Джим Холт
ISBN: 978-5-17-115193-5

Джим Холт

Shrift:

Jim Holt

When Einstein Walked With Godel: Excursions to the Edge of Thought

* * *

Памяти Боба Сильверса

Предисловие

Эти заметки написаны за последние двадцать лет. При отборе я руководствовался следующими принципами. Прежде всего это глубина, мощь и просто красота идей, о которых в них рассказано. Теория относительности Эйнштейна (и специальная, и общая), квантовая механика, теория групп, бесконечность и бесконечно малые величины, теория вычислимости Тьюринга и «проблема разрешимости», теоремы о неполноте Гёделя, простые числа и дзета-гипотеза Римана, теория категорий, топология, пространства высоких размерностей, фракталы, регрессионный анализ и кривая нормального распределения, теория истины – все это входит в число самых восхитительных интеллектуальных достижений, с какими мне приходилось сталкиваться (и к тому же воспитывает смирение). И все они описаны на этих страницах. Мой идеал – светская беседа за коктейлем: лаконично и занятно рассказать любознательному другу о чем-то очень глубоком и сложном, ограничившись самой сутью дела (и, возможно, начирикав что-то наспех на салфетке). Моя цель – просветить неофита, а заодно показать все под новым углом, что порадует и специалиста. И ни в коем случае не даст заскучать.

Во-вторых, меня заботил человеческий фактор. Все эти идеи подарили нам живые люди, прожившие весьма яркую жизнь. Зачастую в биографиях основоположников великих идей прослеживается нотка абсурда. Создатель современной статистики (и человек, первым задавшийся вопросом о соотношении ролей природы и воспитания в становлении личности) сэр Фрэнсис Гальтон был типичным викторианским ученым-педантом, отправился исследовать африканские буши и пережил там комичные злоключения. А центральной фигурой в истории «проблемы четырех красок» был чудаковатый математик и специалист по древним языкам Перси Хивуд, которого друзья прозвали «Котиком» за пышные кошачьи усы.

Однако чаще их биографии окрашены трагически. Эварист Галуа, создатель теории групп, погиб на дуэли, не дожив и до 21 года. Автор самых революционных идей в математике за последние полвека Александр Гротендик окончил свои бурные дни полусумасшедшим отшельником в Пиренеях. Творец теории бесконечности Георг Кантор увлекся каббалистическим мистицизмом и умер в сумасшедшем доме. Ада Лавлейс, икона киберфеминизма, в честь которой назвали язык программирования, используемый Министерством обороны США, страдала нервными кризами из-за навязчивой идеи, что она должна искупить грехи своего отца лорда Байрона, на чьем счету был инцест – любовная связь со сводной сестрой. Дмитрий Егоров и Павел Флоренский, великие русские ученые, разрабатывавшие теорию бесконечности, были обвинены в антиматериалистическом спиритуализме и погибли в сталинском Гулаге. Курт Гёдель, величайший логик современности, уморил себя голодом из-за параноидального убеждения, что против него составлен вселенский заговор и его хотят отравить. Дэвид Фостер Уоллес, о чьих попытках подойти к теории бесконечности я еще расскажу, повесился. А Алан Тьюринг, человек, который придумал компьютер, решил главную логическую задачу своего времени и спас бессчетное множество жизней, взломав нацистский код «Энигмы», покончил с собой по не вполне понятным причинам, съев начиненное цианидом яблоко.

Третий принцип составления этого сборника – философский. Все представленные идеи оказывают определяющее воздействие на наши фундаментальные представления о мире (метафизику), на то, как мы приобретаем и проверяем знания (эпистемологию), и даже на то, как мы строим свою жизнь (этику).

Начнем с метафизики. Идея бесконечно малого заставляет задаться вопросом, на что больше похожа реальность – на бочонок патоки (континуум) или на груду песка (дискретное множество). Теория относительности Эйнштейна либо ставит под сомнение наше представление о времени, либо – если принимать в расчет хитроумные рассуждения Гёделя – вовсе исключает его. Квантовая запутанность заставляет усомниться в реальности пространства, поскольку из нее следует, что мы, вероятно, живем в голографической Вселенной. Теория вычислимости Тьюринга подталкивает к переосмыслению материальной основы разума и сознания.

Теперь возьмем эпистемологию. Большинство великих математиков утверждают, что способны заглянуть в вечное царство абстрактных форм, лежащее вне пределов обыденного мира. Как же они взаимодействуют с этим, по всей видимости, платоновским миром, как черпают в нем знания? Вдруг они фундаментально заблуждаются и математика при всем ее могуществе и полезности, в сущности, сводится к тавтологии, вроде утверждения «Рыжая корова – это корова»? Чтобы наглядно подойти к этому вопросу, я показываю его под другим углом и рассматриваю задачу, которую принято считать величайшей нерешенной проблемой математики, – дзета-гипотезу Римана.

Романтические представления об обретении знаний свойственны и физикам. Если у них нет надежных экспериментальных или наблюдательных данных, на которые можно опереться, они полагаются на чувство прекрасного – именно так без тени смущения называет их эстетическое чутье нобелевский лауреат Стивен Вайнберг. Почти весь прошлый век равенство «красота = истина» физиков не подводило. Но не сбило ли оно их с пути в последние годы – о чем я и спрашиваю в своем эссе «Войны теории струн»?

И, наконец, этика. Эти эссе не раз и не два затрагивают морально-этические вопросы. Евгенические программы в Европе и в США, стимулом для которых послужили теоретические рассуждения сэра Фрэнсиса Гальтона, стали кровавым доказательством того, как наука извращает этику. Наша сегодняшняя жизнь стремительно преображается под влиянием компьютера, и это должно заставить нас основательно задуматься о природе счастья и творческой самореализации, что и я делаю в эссе «Умнее, счастливее, продуктивнее». А неизбывные страдания, которыми полон наш мир, вынуждают спросить, есть ли пределы требованиям, которые налагает на нас мораль, о чем я и пишу в «Моральной святости». Последнее эссе в этой книге, «Говори что угодно», начинается со знаменитого определения Гарри Франкфурта: чушь – не враждебность истине, а безразличие к ней. Затем мы посмотрим на картину в целом и разберем, почему философы называют истину – может быть, ошибочно? – «соотношением» между языком и миром. Это эссе с его несколько парадоксальной окраской сводит воедино области метафизики, эпистемологии и этики, отчего сборник приобретает завершенность – надеюсь, не только мнимую.

А чтобы меня не обвинили в непоследовательности, позвольте выразить уверенность (уж не самонадеянную ли?), что и «Принцип Коперника», и «Теоремы о неполноте Гёделя», и «Принцип неопределенности Гейзенберга», и «Парадокс Ньюкома», и «Задача Монти Холла» представляют собой исключения из закона Стиглера об эпонимии (см. стр. 371).

Дж. Х.

Нью-Йорк, 2017 г.

Часть первая. Изменчивый образ вечности

Глава первая. Когда Эйнштейн прогуливался с Гёделем

В 1933 году Альберт Эйнштейн переехал в Америку. Все свои величайшие открытия он уже совершил. Последние двадцать два года жизни он провел в Принстоне, в штате Нью-Джерси, в качестве приглашенной звезды среди сотрудников Института передовых исследований. Новое место вполне устраивало Эйнштейна, а все трудности он преодолевал по мере поступления. «Принстон – чудесный уголок и к тому же крайне занятный тихий омут, где крошечные полубоги на тонких ножках вершат свои церемонии», – заметил он как-то раз. Каждое утро начиналось у него с неспешной прогулки из дома на Мерсер-стрит, 112, в свой кабинет в институте. К этому времени он стал одним из самых знаменитых и к тому же самых узнаваемых людей на планете – с его неподражаемой седой гривой и в мешковатых штанах на подтяжках.

Через десять лет после прибытия в Принстон Эйнштейн нашел себе спутника для этих прогулок – человека много моложе, который рядом с вечно растрепанным Эйнштейном казался особенно элегантным: белый льняной костюм и шляпа в тон. Приятели оживленно болтали по-немецки сначала утром, всю дорогу до института, а затем под вечер, по пути домой. Человека в костюме узнавали далеко не все горожане, однако Эйнштейн разговаривал с ним как с равным – как с ученым, в одиночку совершившим понятийную революцию. Эйнштейн своей теорией относительности перевернул наши привычные представления о физическом мире, а его младший спутник Курт Гёдель столь же радикально переписал картину абстрактного мира математики.

Гёдель, которого часто называли величайшим логиком со времен Аристотеля, был фигурой странной и в конечном итоге трагической. Эйнштейн был веселый жизнелюб и душа компании, а Гёдель всегда отличался серьезностью, замкнутостью и пессимизмом. Эйнштейн обожал играть на скрипке, любил Бетховена и Моцарта, а у Гёделя были совсем иные вкусы: его любимым фильмом была диснеевская «Белоснежка и семь гномов», а когда его жена поставила в саду розового фламинго, он объявил, что этоfurchtbar herzig – «жуть какая прелесть». Эйнштейн был большим ценителем сытной немецкой кухни и никогда не боролся со своим здоровым аппетитом, а рацион ипохондрика Гёделя состоял из сливочного масла, детского питания и слабительных. И хотя в личной жизни Эйнштейна были свои драмы, друзья и коллеги знали его как человека с легким характером, который везде чувствует себя как дома. А у Гёделя, наоборот, была склонность к паранойе. Он верил в призраки, страшно боялся отравления газами из холодильника, отказывался выходить из дома, когда в город приезжали некоторые выдающиеся математики – по всей видимости, из опасения, что они попытаются его убить. «Хаос – это всегда лишь видимость», – повторял он: первая аксиома параноика.

Хотя другие сотрудники института считали мрачного логика тяжелым и неприступным, Эйнштейн твердил, что ходит на работу «только ради чести прогуляться до дома с Куртом Гёделем». Отчасти, вероятно, дело было в том, что Гёделя репутация Эйнштейна ничуть не смущала и он не стеснялся ставить под сомнение его идеи. Физик Фримен Дайсон, который тоже работал тогда в институте, отмечал: «Гёдель был… единственным из наших коллег, кто гулял и разговаривал с Эйнштейном на равных». Да, Эйнштейн и Гёдель словно стояли на ступень выше остального человечества, но верно и другое: по словам Эйнштейна, они оба стали «музейными экспонатами». Эйнштейн так и не принял квантовую теорию Нильса Бора и Вернера Гейзенберга. Гёдель полагал, что математические абстракции столь же реальны, как столы и стулья – а философы считают такие представления смешными и наивными. И Гёдель, и Эйнштейн утверждали, что мир не зависит от нашего сознания, однако рационально устроен и умопостигаем. Объединенные чувством интеллектуальной изоляции, они находили утешение в обществе друг друга. «Они больше ни с кем не хотели разговаривать, – говорил еще кто-то из сотрудников института. – Только друг с другом».

Многих интересовало, о чем же они беседуют. Резонно предположить, что одной из тем была политика. (Эйнштейн разделял взгляды Эдлая Стивенсона и в 1952 году был вне себя, когда узнал, что Гёдель решил голосовать за Дуайта Эйзенхауэра). Несомненно, говорили они и о физике. Гёдель был прекрасно подкован в этой области, он разделял недоверие Эйнштейна к квантовой теории, но скептически относился и к более старой идее физиков предложить взамен «единую теорию поля», которая объединила бы все известные взаимодействия в детерминистскую систему. Обоим нравились задачи «неподдельной важности», как называл их Эйнштейн, – задачи, относящиеся к базовым элементам реальности. Гёделя особенно занимала природа времени – вопрос философский, как говорил он другу. Как такая «загадочная и, по всей видимости, противоречивая» сущность, недоумевал он, может «формировать основу мира и нашего существования»? Эйнштейн обладал некоторыми профессиональными знаниями в этой области.

За несколько десятилетий до этого, в 1905 году, Эйнштейн доказал, что время в привычном понимании и ученых, и простых людей – лишь фикция. И это было далеко не единственное его достижение в тот год. В начале 1905 года двадцатипятилетний Эйнштейн работал инспектором в патентном бюро в Берне. Получить докторскую степень по физике ему не удалось, и он временно отказался от мыслей о карьере ученого, признавшись приятелю, что «вся эта комедия ему наскучила». Недавно он прочитал книгу Анри Пуанкаре, величайшего французского математика, где были сформулированы три фундаментальные нерешенные задачи науки. Первой из них был «фотоэлектрический эффект»: как ультрафиолетовое излучение выбивает электроны из поверхности металлической пластинки? На втором месте было «броуновское движение»: почему частички пыльцы в воде движутся хаотичными зигзагами? На третьем – «светоносный эфир», который якобы заполнял все пространство и служил средой для распространения световых волн подобно тому, как звуковые волны распространяются в воздухе, а океанские – в воде: почему никакие эксперименты не обнаружили доказательств, что Земля движется сквозь эфир?

Каждая из этих задач в принципе могла бы выявить глубинную простоту природы, в которой Эйнштейн был убежден. Безвестный клерк в одиночку, безо всяких связей с научным сообществом, легко решил все три. Свои решения он изложил в четырех статьях, написанных в марте, апреле, мае и июне 1905 года. В мартовской статье о фотоэлектрическом эффекте Эйнштейн сделал вывод, что свет состоит из отдельных частиц, которые впоследствии назвали фотонами. В апрельской и майской статьях он окончательно доказал существование атомов, дал теоретическую оценку их размеров и показал, что их столкновения вызывают броуновское движение. В июньской статье, посвященной задаче об эфире, Эйнштейн рассказал о теории относительности. А затем, словно на бис, опубликовал в сентябре трехстраничную заметку, в которой содержалась самая знаменитая формула за всю историю науки: E=mc².

В этих статьях было что-то волшебное, к тому же они затронули самые глубокие убеждения научного сообщества. Однако особое место по масштабу и дерзости занимает июньская статья Эйнштейна. На тридцати страницах он сухо и лаконично переписал законы физики. Начал он с двух жестких принципов. Во-первых, законы физики абсолютны, они действуют одинаково для всех наблюдателей. Во-вторых, абсолютна и скорость света, она тоже одинакова для всех наблюдателей. Второй принцип не так очевиден, как первый, однако подсказан той же логикой. Поскольку свет – это электромагнитная волна, о чем было известно еще в XIX веке, его скорость определяется законами электромагнетизма, а эти законы должны быть одинаковы для всех наблюдателей, поэтому все должны видеть, что свет движется с одной и той же скоростью, независимо от системы отсчета. Но все же со стороны Эйнштейна было большой смелостью принять принцип постоянства скорости света, поскольку следствия из него были попросту абсурдны.

Предположим для живости и наглядности, что скорость света – 100 километров в час. Теперь предположим, что я стою на обочине дороги и вижу, как мимо пролетает с этой самой скоростью луч света. Затем я вижу, как вы едете вслед лучу на автомобиле со скоростью 60 километров в час. С моей точки зрения световой луч летит быстрее вас на сорок километров в час. Но получается, что вы за рулем машины видите, как световой луч улетает от вас со скоростью 100 километров в час, как будто вы стоите: этого требует принцип постоянства скорости света. А если вы надавите на газ и разгонитесь до 99 километров в час? Теперь я вижу, что свет мчится быстрее вас лишь на один километр в час. Но для вас в салоне машины луч по-прежнему улетает вперед со скоростью 100 километров в час, несмотря на то, что ваша скорость возросла. Как же так? Разумеется, скорость равна расстоянию, поделенному на время. Очевидно, что чем быстрее вы мчитесь в автомобиле, тем короче становится ваша линейка и тем медленнее тикают ваши часы относительно моих, иначе нам не достичь согласия по поводу скорости света. (Если бы я достал бинокль и посмотрел на ваш разгоняющийся автомобиль, то увидел бы, что его длина сократилась, а вы внутри движетесь будто в замедленной съемке.) Тогда Эйнштейн принялся соответствующим образом переформулировать законы физики. Чтобы сделать их абсолютными, он сделал время и расстояние относительными.

Особенно поражало, что он пожертвовал абсолютным временем. Исаак Ньютон считал, что время – самое объективное, универсальное и трансцендентное из всех природных явлений: «Абсолютное, истинное математическое время… безо всякого отношения к чему-либо внешнему протекает равномерно», – пишет он на первых страницах своих «Начал»¹. Однако Эйнштейн понимал, что с нашей точки зрения время – лишь следствие из опыта взаимодействия с ритмичными явлениями: сердцебиением, вращением планет вокруг своей оси и по орбитам, тиканья часов. «Все наши суждения, в которых время играет какую-либо роль, всегда являются суждениями об одновременных событиях. Если я, например, говорю: “Этот поезд прибывает сюда в 7 часов”, – то это означает примерно следующее: “Указание маленькой стрелки моих часов на 7 часов и прибытие поезда суть одновременные события”» («К электродинамике движущихся тел»²), – писал Эйнштейн в своей июньской статье. Если события происходят на каком-то расстоянии друг от друга, судить об одновременности можно, только посылая в обе стороны световые сигналы. Опираясь на эти основные принципы, Эйнштейн доказал, что мнение наблюдателя об «одновременности» двух событий зависят от его движения. Иначе говоря, никакого вселенского «сейчас» не существует. Когда разные наблюдатели делят хронологическую ось на прошлое, настоящее и будущее по-разному, из этого следует, что все моменты сосуществуют с равной вероятностью и одинаково реальны.

Выводы Эйнштейна были продуктом чистой мысли, возникшим из самых строгих предположений о природе вещей. Прошло больше ста лет с тех пор, как он их сделал, и теперь мы знаем, что их подтвердил целый ряд экспериментов. Однако когда Эйнштейн подал статью об относительности, изданную в 1905 году, как диссертацию, ее отклонили (и тогда он подал взамен апрельскую статью о размерах атомов, у которой, по его мнению, было меньше шансов отпугнуть экзаменаторов, и ее приняли, но лишь после того, как Эйнштейн добавил одно предложение, чтобы соответствовать требованиям об объеме текста). Когда в 1921 году Эйнштейн получил Нобелевскую премию по физике, ее присудили за работу о фотоэлектрическом эффекте. Шведская Академия запретила ему даже упоминать об относительности в нобелевской речи. Но вышло так, что Эйнштейн не смог попасть на церемонию в Стокгольм. Нобелевскую речь он прочитал в Гетеборге, а в первом ряду сидел король Густав V. Его величество пожелал узнать о теории относительности, и Эйнштейн повиновался.

∞

В 1906 году, через год послеannus mirabilis, года чудес, Эйнштейна, в городе Брно (на территории нынешней Чешской Республики) родился Курт Гёдель. Ребенком Гёдель был и любознательным – родители и брат прозвали его «герр Варум» («господин Почему») – и нервным. В пять лет у него, судя по всему, было легкое тревожно-невротическое расстройство. В восемь он пережил тяжелейшую ревматическую атаку, после чего всю жизнь был убежден, что у него непоправимые нарушения работы сердца и это смертельно.

В 1924 году Гёдель поступил в Венский университет. Он собирался изучать физику, но вскоре его пленила своей красотой математика, особенно мысль о том, что абстракции вроде чисел и окружностей существуют вечно и неизменно, независимо от человеческого сознания. Это учение называется платонизм, поскольку происходит от теории идей Платона, и всегда было популярно среди математиков. Однако в венских философских кругах двадцатых годов платонизм считался безнадежно устаревшим. В богатейшей культуре венских кафе процветали всевозможные интеллектуальные направления, но наибольшую известность получил «Венский кружок» – группа мыслителей, объединенных представлением о том, что философию следует очистить от метафизики, переосмыслить и превратить в точную науку. Под влиянием Людвига Витгенштейна, невольно ставшего их гуру, члены Венского кружка стали считать математику игрой с символами, вроде шахмат, только сложнее. Они полагали, что утверждение наподобие «2+2=4» истинно не потому, что оно точно описывает какой-то абстрактный мир чисел, а потому, что его можно вывести в рамках логической системы в соответствии с определенными правилами.

Гёделя привел в Венский кружок его университетский преподаватель, однако о своих платонических воззрениях молодой человек предпочитал молчать. Он любил строгость во всем и не терпел споров, поэтому не хотел отстаивать свои воззрения, пока не разработает безупречного доказательства своей правоты. Но как доказать, что математику нельзя свести к логическим ухищрениям? Гёдель избрал тактику сверхъестественно хитрую и одновременно, по словам философа Ребекки Голдштейн, «умопомрачительно красивую»: он обратил логику против себя самой. Он начал с логической системы математики – предполагалось, что эта система лишена противоречий – и построил своеобразную схему, благодаря которой смысл формул стал демагогическим. Формула, говорившая что-то о числах, согласно этой схеме могла толковаться как высказывание о других формулах и об их логическом соотношении друг с другом. Более того, как показал Гёдель, численную формулу можно заставить даже сказать что-то о себе самой. Тщательно выстроив этот аппарат математической самоссылаемости, Гёдель придумал поразительный трюк: составил формулу, которая не просто прямо говорила что-то о числах, но и добавляла: «Я недоказуема». Поначалу показалось, будто это парадокс, ведь он напоминает древнюю притчу о критянине, который говорил, что все критяне лжецы. Однако ссылающаяся сама на себя формула Гёделя говорит не о своей истинности, а о своей доказуемости. Может ли она лгать, утверждая «Я недоказуема»? Нет: если бы она лгала, это означало бы, что она доказуема, а доказуемость сделала бы ее истинной. Потому, утверждая, что ее нельзя доказать, она говорит истину. Но истинность этого утверждения видна только извне логической системы. Внутри системы его нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Таким образом, система неполна, поскольку есть по крайней мере одно истинное утверждение о числах, то самое, которое говорит «я недоказуемо», которое нельзя доказать изнутри системы. Такой вывод – что ни одна логическая система не способна вместить все математические истины – известна как первая теорема о неполноте. Гёдель также доказал, что нет такой логической системы, описывающей математику, которая была бы свободна от непоследовательности, причем это можно было бы доказать ее же средствами – этот результат известен как вторая теорема о неполноте.

Витгенштейн как-то заявил, что «в логике не может быть неожиданностей». Однако теоремы Гёделя о неполноте появились совершенно неожиданно. Более того, когда начинающий логик в 1930 году представил их на конференции в немецком городе Кенигсберге, в них почти никто ничего не понял. Что это значит – говорить, что математическое выражение истинно, если нет никакой возможности его доказать? Нелепица какая-то. В недоумении был даже Бертран Рассел, в прошлом великий логик; похоже, у него сложилось ошибочное впечатление, что Гёдель нашел какое-то противоречие в самой системе математики. «Нам что, теперь считать, будто 2+2 – не 4, а 4,001?» – десятилетия спустя спрашивал Рассел в полной растерянности и добавлял: «Как хорошо, что я оставил занятия математической логикой». Но когда до специалистов стало доходить, что следует из теорем Гёделя, многие бросались словами вроде «крах», «катастрофа» и «кошмар». Оказывается, представления, что математики, вооружившись логикой, способны разрешить в принципе любую головоломку, что в математике не может бытьignorabimus, о чем так часто говорили, – все это было лишь вопросом веры. Теоремы Гёделя разрушили идеальную картину полноты знания.

Однако самому Гёделю все виделось иначе. Он считал, что показал, что математика обладает плотью и реальностью, выходящими за пределы любой логической системы. Гёдель был твердо убежден, что логика – не единственный путь к познанию этой реальности, у нас еще есть своего рода экстрасенсорное ее восприятие, «математическая интуиция», по его выражению. Именно эта способность позволяет нам, например, увидеть, что формула, говорящая «я недоказуема», должна быть истинной, хотя она и не поддается доказательству в пределах системы, в которой обитает. Некоторые мыслители, например, физик Роджер Пенроуз, развили эту тему и пришли к выводу, что из теорем Гёделя о неполноте можно сделать глубочайшие выводы о природе человеческого разума. Наши ментальные способности изначально превосходят возможности любого компьютера, поскольку компьютер – это не более чем логическая система, обеспеченная электронным оборудованием, а наш разум может формулировать истины, недоступные логической системе.

Гёдель доказал свои теоремы о неполноте в 24 года (он был тогда немного моложе, чем Эйнштейн, когда создал теорию относительности). В тот период к вящему неудовольствию родителей, придерживавшихся строгой лютеранской морали, Гёдель ухаживал за разведенной католичкой по имени Адель, которая была старше его и в довершение всего работала танцовщицей в венском ночном клубеDer Nachtfalter («Ночная бабочка»). Когда к власти в Германии пришел Гитлер, политическая ситуация в Австрии окончательно запуталась, но Гёдель, похоже, ничего не замечал. В 1936 году Венский кружок распался после того, как его основателя убил сумасшедший студент. Через два года произошел аншлюс. Гёдель наконец понял, что времена настали скверные: к нему на улице пристала компания юных нацистов – хулиганы сбили с него очки, но были вынуждены отступить, когда Адель осыпала их ударами зонтика. Тогда Гёдель решил уехать в Принстон, где ему предлагали место в Институте передовых исследований. Но поскольку война уже началась, Гёдель решил, что плыть через Атлантический океан опасно. Поэтому Курт и Адель – к этому времени они уже поженились – двинулись кружным путем через СССР, Тихий океан и США и попали в Принстон в начале 1940 года. В институте Гёделю отвели кабинет почти прямо над кабинетом Эйнштейна. Остаток жизни Гёдель провел в Принстоне практически безвыездно и считал, что этот город «в десять раз приятнее» некогда обожаемой Вены.

В большом мире Гёделя еще не знали, однако среди понимающих он считался чуть ли не богом. «Просто в голове не укладывалось, что в ярко-оранжевой принстонской телефонной книге значилось и “К. Гёдель” – как будто так и надо, среди всех прочих фамилий, – рассказывает в интеллектуальной биографии Гёделя «Неполнота: доказательство и парадокс Курта Гёделя» (Goldstein, R.,Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel) Ребекка Голдштейн, приехавшая в Принстон в начале семидесятых, чтобы писать диссертацию по философии. – Все равно что открыть телефонную книгу – а там значатся Б. Спиноза и И. Ньютон». Далее Ребекка Голдштейн вспоминает, как «однажды обнаружила в супермаркете Дэвидсона философа Ричарда Рорти – тот буквально застыл на месте. И приглушенным голосом сообщил мне, что только что видел Гёделя в отделе замороженных продуктов».

Великий логик был так наивен, совсем не от мира сего, что Эйнштейн считал своей обязанностью следить за бытовой стороной его жизни. Часто рассказывают историю о том, как Гёдель после войны решил получить американское гражданство. К этому вопросу Гёдель относился с крайней серьезностью и для подготовки к экзамену досконально проштудировал Конституцию США. В назначенный день Эйнштейн пошел вместе с ним в здание суда в Трентоне и был вынужден вмешаться и успокоить Гёделя, когда разволновавшийся логик принялся объяснять судье, что в Конституции содержится лазейка, допускающая возникновение диктатуры³.

Примерно в то же время, когда Гёдель изучал Конституцию, он присмотрелся и к теории относительности Эйнштейна. Главный принцип теории относительности гласит, что законы физики должны быть одинаковы для всех наблюдателей. Когда Эйнштейн впервые сформулировал этот принцип в своей революционной статье 1905 года, то ограничил круг «всех наблюдателей» теми, кто движется равномерно и прямолинейно друг относительно друга. Но вскоре он понял, что это ограничение произвольно. Чтобы законы физики описывали природу с подлинной объективностью, они должны иметь силу для наблюдателей, движущихся друг относительно друга как угодно – хоть по кругу, хоть по спирали, хоть с ускорением. Так Эйнштейн перешел от «специальной» теории относительности, которую выдвинул в 1905 году, к «общей» теории относительности, над уравнениями которой работал следующие десять лет и опубликовал их в 1916 году. Мощь этих уравнений в том, что они описывали гравитацию – силу, которая задает общую форму мироздания.

Прошло несколько десятков лет, и Гёдель во время прогулок с Эйнштейном получил возможность обсудить тонкости теории относительности с самим ее творцом. Эйнштейн показал, что течение времени зависит от движения и гравитации, а разделение событий на прошлое и будущее относительно. Гёдель занял более радикальную позицию: он полагал, что времени в его интуитивном понимании и вовсе не существует. Как всегда, простой словесной аргументации Гёделю было мало. Об этом говорили самые разные философы – и Парменид во времена античности, и Иммануил Кант в XVIII веке, и Джон Эллис Мак-Таггарт уже в начале XX века, – но они никого не убедили. Гёделю требовалось доказательство, обладающее строгостью и определенностью математики. И он обнаружил, что в глубинах теории относительности таится именно то, что ему нужно. Свои рассуждения он подарил Эйнштейну в день его семидесятилетия в 1949 году вместе с гравюрой (жена Гёделя связала Эйнштейну свитер, но в последний момент решила его не дарить).

Гёдель обнаружил, что теория относительности допускает существование вселенной, которую до этого нельзя было даже вообразить. У уравнений общей теории относительности много разных решений. Каждое из этих решений – это, в сущности, модель возможной вселенной. Эйнштейн из философских соображений считал, что Вселенная вечна и неизменна, и поэтому подправил уравнения, чтобы они допускали такую модель, а впоследствии назвал эту поправку «своей величайшей ошибкой»⁴. Другой физик (кстати, священник-иезуит) нашел решение, соответствующее расширяющейся вселенной, которая родилась в какой-то момент в прошлом. А поскольку это решение, получившее название «модель Большого взрыва», совпадает с наблюдениями астрономов, видимо, именно оно и только оно описывает реальную Вселенную.

Однако Гёдель придумал третью разновидность решения уравнений Эйнштейна, согласно которой Вселенная не расширяется, а вращается. (При этом все не схлопывается под воздействием гравитации благодаря центробежной силе, возникающей при вращении.) Наблюдатель в такой вселенной видел бы, как вокруг него медленно вращаются галактики, но знал бы, что вращается именно вселенная, а не он, поскольку не ощущал бы головокружения. Однако самое диковинное в такой вращающейся вселенной, как показал Гёдель, – то, как ее геометрия смешивает пространство и время. Обитатель вселенной Гёделя, совершив достаточно длительный круговой полет на ракете, мог бы вернуться в любую точку в собственном прошлом. Эйнштейну не очень понравилось, что его формулы допускают какие-то приключения Алисы в Стране чудес – пространственные траектории, замкнутые назад во времени; он даже признавался, что вселенная Гёделя его «беспокоит». Других физиков удивляло, что путешествия во времени, которые до той поры считались уделом научной фантастики, оказывается, не противоречат законам физики. (Потом они дружно задались вопросом, что будет, если вернуться в прошлое до своего рождения и убить своего дедушку.) Сам Гёдель сделал другой вывод. Если возможно путешествие во времени, заключил он, значит, невозможно само время. Если в прошлое можно вернуться, значит, оно не прошло. И тогда неважно, что на самом деле Вселенная не вращается, а расширяется. Время подобно Богу – его либо нет, либо оно не нужно, и если оно исчезает в одной возможной вселенной, его существование сомнительно во всех возможных вселенных, и в нашей в том числе.

Удивительный космологический подарок от Гёделя Эйнштейн получил не в самую счастливую пору своей жизни. Поиски единой теории физики, которым посвятил себя Эйнштейн, плодов не принесли, а неприятие квантовой теории заставило его отдалиться от основных направлений в физике того времени. Семейная жизнь едва ли служила утешением. Эйнштейн был женат дважды, и оба раза неудачно, о судьбе его внебрачной дочери ничего не известно, один из двоих сыновей заболел шизофренией, другой не стремился общаться с отцом. Круг друзей Эйнштейна сузился до нескольких человек, в числе которых был Гёдель, а также бельгийская королева Елизавета, которой он в марте 1955 года признался, что «мои труды пользуются чрезмерным уважением, и это меня очень смущает. Мне волей-неволей приходится считать себя самозванцем». Через месяц Эйнштейн умер; ему было 76 лет. Когда Гёдель с коллегой пришли в кабинет, чтобы разобрать его бумаги, они обнаружили, что доска исписана уравнениями, заводящими в тупик.

После смерти Эйнштейна Гёдель еще сильнее ушел в себя. Он предпочитал вести разговоры только по телефону, даже если собеседник находился в соседней комнате. Если ему особенно сильно хотелось избежать встречи с кем-то, он назначал точное время и место для рандеву и нарочно оказывался оттуда подальше. Когда ему пытались воздать почести, он относился к этому с настороженностью. В 1953 году он приехал в Гарвард, чтобы получить звание почетного доктора, поскольку его теоремы о неполноте назвали важнейшим математическим открытием столетия, но впоследствии жаловался, что ему «незаслуженно навязали компанию отъявленного спорщика» Джона Фостера Даллеса, который получал такую же степень вместе с ним. Когда Гёдель в 1974 году получал Национальную медаль за научные достижения, то отказался ехать в Вашингтон на прием к президенту Джеральду Форду в Белый дом, хотя тот предложил прислать своего шофера за ним и его супругой. У Гёделя случались приступы галлюцинаций, он мрачно намекал, что некие силы «непосредственно стремятся погубить все доброе» в мире. И упорно отказывался от пищи, поскольку боялся заговора с целью его отравить. В конце концов он попал в Принстонскую больницу – по словам друга, он выглядел тогда «как живой труп». И две недели спустя, 14 января 1978 года, скончался там, уморив себя голодом. Согласно свидетельству о смерти, причиной стали «недоедание и истощение», вызванные «расстройствами личности».

Последние годы обоих, и Гёделя, и Эйнштейна, прошли под знаком тщетности усилий. Но самыми тщетными были их сознательные усилия поверить в нереальность времени. Понятно, почему эта мысль казалась им такой соблазнительной. Если время существует только в нашем сознании, можно надеяться сбросить его оковы и очутиться в вечности, где времени нет. И тогда мы сможем вслед за Уильямом Блейком сказать: «Я вижу прошлое, настоящее и будущее – все одновременно / Пред собою». В случае Гёделя мысль о вселенной без времени была такой привлекательной, возможно, из-за страха смертельной болезни сердца, который преследовал ученого с детства. К концу жизни Гёдель как-то признался, что давно ждал откровения, которое позволило бы ему увидеть мир в новом свете, но так и не дождался.

Эйнштейну тоже не удалось окончательно порвать отношения со временем. «Те из нас, кто верит в физику, – писал он вдове недавно умершего друга, – считают разделение между прошлым, настоящим и будущим лишь иллюзией, пусть и очень стойкой». А когда всего недели через две настал его черед, он сказал: «Время уходить».

Глава вторая. Время – великая иллюзия?

У Исаака Ньютона было особое представление о времени. Он считал его чем-то вроде вселенских напольных часов, которые стоят выше всей природы и наслаждаются полной независимостью. И полагал, что время идет плавно и непрерывно и течет из прошлого в будущее («Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, безо всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно»). Тем, кого влечет временной вихрь повседневной жизни, это кажется полной чепухой. Время вовсе не представляется нам трансцендентным и математическим, это что-то глубоко личное и субъективное. И оно вовсе не шествует ровной неменяющейся поступью. Мы знаем, что у времени может быть разный темп. Например, перед Новым годом время прямо-таки летит. А потом, в январе-феврале, еле тащится. Более того, время для одних бежит быстрее, для других медленнее. Стариков тащит в будущее с беспощадной быстротой. Когда ты взрослый, Рождество наступает каждые пять минут, как заметила Фрэн Лебовиц. А с точки зрения маленьких детей время идет довольно медленно. Бесконечная новизна детского жизненного опыта растягивает одно-единственное лето на целую вечность. По оценкам психологов, к восьми годам человек субъективно проживает две трети жизни.

Исследователи давно пытались измерить субъективное течение времени и для этого просили людей разных возрастов выждать заданный промежуток времени и сказать, когда он кончится. Молодые люди едва за двадцать, как правило, очень точно отмечали, когда пройдет три минуты, и ошибались не более чем на три секунды. Люди за шестьдесят, напротив, опаздывали секунд на сорок, то есть для них проходило всего три минуты, а на самом деле – три минуты сорок секунд. Внутренние часы у стариков идут медленно, поэтому настоящие часы с их точки зрения спешат. У этого есть свои преимущества: на концертах Джона Кейджа пожилые зрители с облегчением замечают, что композиция «4 минуты 33 секунды» заканчивается раньше обычного.

На реке времени есть и спокойные участки, и быстрины, но одно несомненно: она влечет за собой всех нас, хотим мы этого или нет. Непреодолимо и необратимо мы движемся к смерти со скоростью одна секунда в секунду. Прошлое скользит в небытие за спиной, будущее, когда-то неведомое и загадочное, обретает банальную реальность впереди, и его подминает под себя вечно спешащее настоящее. Однако ощущение потока – чудовищная иллюзия: так говорит современная физика. И Ньютон стал жертвой этой иллюзии точно так же, как и все мы.

Переворот в нашем понимании времени произвел Альберт Эйнштейн. В 1905 году Эйнштейн показал, что время в понимании и физиков, и обычных людей – фикция. Эйнштейн доказал, что два события в разных местах кажутся наблюдателю «одновременными» или нет в зависимости от его движения.

Предположим, к примеру, что Джонс идет по Пятой авеню по направлению от центра города, а Смит – к центру. Их относительное движение приводит к разнице в несколько дней в том, что они сочтут «сейчас» в галактике Андромеды в момент, когда они пройдут друг мимо друга по тротуару. С точки зрения Смита космический флот, цель которого – истребить все живое на Земле, уже отправился в путь, а с точки зрения Джонса Андромедианский совет тиранов еще не решил, стоит ли посылать армаду.

Эйнштейн показал, что нет никакого вселенского «сейчас». Об одновременности событий можно судить только относительно наблюдателя. А если мы сбрасываем одновременность за борт, само деление моментов на прошлое, настоящее и будущее теряет смысл. События, которые один наблюдатель считает прошлыми, для другого еще в будущем, поэтому прошлое и настоящее одинаково определенны, одинаково «реальны». Вместо быстротекущего настоящего нас окружают бескрайние ледяные просторы времени, четырехмерная «блок-вселенная». Здесь вы только родились, там вы празднуете рубеж тысячелетия, а еще дальше вы мертвы, но это ненадолго. Ничего не «течет» от события к событию. Согласно достопамятному выражению математика Германа Вейля, «объективный мир не происходит, а просто существует».

Эйнштейн своей теорией относительности обеспечил научное доказательство философских представлений о времени, восходящих еще к Спинозе, Блаженному Августину и даже Пармениду и получивших название «этернализм». Согласно этим представлениям, время относится к царству видимого, а не реального. Объективно взглянуть на Вселенную можно лишь с точки зрения Бога:sub specie aeternitatis.

После смерти Эйнштейна физики десятилетиями подвергали наше привычное представление о времени еще более радикальному переосмыслению. Оказалось, что ледяные просторы времени вовсе не ровные, в них есть дыры – черные дыры. Дело в том, что гравитация «искажает» время. Чем сильнее гравитационное поле, тем медленнее ползут стрелки часов. Если вы живете на первом этаже, то стареете чуть-чуть медленнее, чем ваш сосед из пентхауса. Этот эффект будет гораздо заметнее, если вас засосет в черную дыру, где гравитационное искажение времени бесконечно. Черные дыры – это буквально врата к концу времен, в царство вечного Никогда.

В окрестностях черных дыр время ведет себя очень затейливо, а на самых малых масштабах, вероятно, и вовсе исчезает: ткань пространства-времени растворяется там в «квантовую пену», где у событий нет определенного порядка во времени. Картина времени становится еще непостижимее, если заглянуть в момент Большого взрыва – катаклизма, в результате которого возникла наша Вселенная, причем не просто Вселенная, но еще и ее пространственно-временное вместилище. Всем нам хочется спросить, что же творилось до Большого взрыва? Но этот вопрос не имеет смысла. По крайней мере, так учит нас Стивен Хокинг в «Краткой истории времени». Он прибегает к идее так называемого мнимого времени, которая, как известно, ставила в тупик даже его коллег-физиков, и утверждает, что спрашивать, что было до Большого взрыва, так же глупо, как спрашивать, что находится севернее Северного полюса: естественно, ничего!

Есть ли у времени будущее? Да, но долгим ли оно будет, это будущее, зависит от дальнейшей судьбы космоса. Вероятности сводятся к выбору Роберта Фроста: пламя или лед? С момента появления при Большом взрыве – примерно 13,82 миллиарда лет назад – Вселенная расширяется. Если расширение продлится вечно, Вселенная превратится в лед – по крайней мере, в переносном смысле. Звезды сгорят, черные дыры испарятся, атомы и их субатомные компоненты распадутся. В самом далеком будущем оставшиеся частицы (в основном фотоны и нейтрино) разойдутся в вакууме на такие расстояния, что перестанут взаимодействовать. Пространство опустеет, останется лишь легчайший намек на «энергию вакуума». Однако в этой грядущей пустыне, состоящей почти из ничего, время будет идти по-прежнему, и по-прежнему будут происходить случайные события, какие-то «флуктуации», при которых благодаря магии квантовой неопределенности что-то будет возникать, но сразу же исчезнет в пустоте. По большей части эти эфемерные сущности будут одинокими частицами – электронами и протонами. Но иногда могут спонтанно возникать и очень большие и гораздо более сложные структуры – ну, например, человеческий мозг. Да, квантовая физика допускает, что на всем протяжении времени может появляться и исчезать бесконечное множество таких мозгов без тел – с запасом воспоминаний (ложных). В научной литературе такую печальную мимолетную сущность принято называть «больцмановский мозг» (в честь Людвига Больцмана, одного из основателей современной термодинамики). Один такой больцмановский мозг в далеком будущем окажется точно таким же, как ваш в этот самый момент. То есть в какую-то немыслимо далекую эпоху ваше нынешнее состояние сознания воссоздастся из пустоты лишь для того, чтобы миг спустя исчезнуть – должно быть, не на такое воскресение из мертвых вы уповали.

Все это может быть правдой, как говорит современная физика, если Вселенная и правда будет расширяться вечно и становиться все более пустой, темной и холодной – этот сценарий можно назвать большим охлаждением. Но есть и другой сценарий конца света. Мало-помалу в какой-то момент в далеком будущем нынешнее расширение Вселенной, вероятно, затормозится – под воздействием то ли гравитации, то ли какой-то иной силы, о которой мы пока не знаем. И тогда все сотни миллионов галактик начнут схлопываться и сжиматься и в итоге слипнутся вместе, и произойдет мощный взрыв, в результате которого все исчезнет – Большое сжатие, конец всему. Или не конец? Некоторые оптимисты вселенского масштаба утверждают, что в последний миг перед Большим сжатием высвободится бесконечное количество энергии. Наши далекие потомки, по мнению оптимистов, сумеют обуздать эту энергию, запустить бесконечное количество вычислений и породить бесконечное множество мыслей. Поскольку эти мысли будут разворачиваться все быстрее и быстрее, субъективное время будет идти вечно, даже если объективное остановится. Последний миг перед Большим сжатием будет словно бесконечное лето детства – виртуальная вечность.

Виртуальная вечность, врата в Никогда, нереальность времени… Какое отношение все эти праздные фантазии имеют к нам, к нашей жизни в реальном мире? Вероятно, никакого. Мы, по примеру великого Эйнштейна, упорно держимся за свою иллюзию времени. И ничего не можем поделать с ощущением, что мы рабы одной части временной шкалы (прошлого) и заложники другой (будущего). Как ничего не можем поделать с ощущением, что время у нас буквально истекает. Артур Эддингтон, один из первых физиков, уловивших суть теории относительности Эйнштейна, объявил, что наше интуитивное ощущение хода времени настолько сильно, что у него обязательно должно быть какое-то соответствие в реальном мире. И если наука не может понять, в чем тут дело, тем хуже для науки, вправе заметить читатель.

Однако наука способна многое рассказать о психологии хода времени. Наше сознательное сейчас, которое Уильям Джемс называл ускользающим настоящим, на самом деле представляет собой промежуток примерно в три секунды. Это период, за который наш мозг успевает сплести поступающие чувственные данные в единое впечатление. Кроме того, совершенно очевидно, что природа времени имеет какое-то отношение к ощущению, что мы движемся во времени. Реальность прошлого и будущего может быть совершенно одинаковой, но по причинам, которые, как ни странно, имеют некоторое отношение ко второму закону термодинамики, мы не можем «помнить» события будущего, только прошлое. Воспоминания накапливаются только в одном временном направлении, а в другом – нет. Видимо, это объясняет психологическое направление оси времени. Но, увы, не объясняет, почему нам кажется, что эта ось летит, как стрела.

Если от всего этого вы окончательно перестали понимать, как относиться ко времени, вы в хорошей компании видных ученых. Джон Арчибальд Уилер, один из величайших физиков XX века, даже привел в научной статье цитату: «Время – способ, которым природа не допускает, чтобы случилось все сразу». А в сноске пояснил, что увидел этот афоризм среди граффити на стене мужского туалета в кафе «Олд-Пекан-стрит» в Остине, столице штата Техас. Однако не стоит удивляться, что такому выдающемуся мыслителю пришлось цитировать надпись на стене мужского туалета: ведь среди современных физиков, философов и философов физики встречаются какие угодно мнения о природе времени. Одни считают, что время – фундаментальный ингредиент Вселенной, другие говорят – нет, оно следует из еще более глубинных особенностей физической реальности. Одни утверждают, что у времени есть встроенное направление, другие это отрицают. (Стивен Хокинг как-то заявил, что когда-нибудь время пойдет в обратном направлении, из будущего в прошлое, но впоследствии нашел ошибку в своих расчетах.) Большинство современных физиков и философов согласны с Эйнштейном и считают, что ход времени – иллюзия: это так называемые этерналисты. Но меньшинство, именующие себя презентистами, полагают, что сейчас – это особый момент, который действительно приближается, будто огонек на хронологической оси, и так будет, по их мнению, даже тогда, когда во Вселенной не останется наблюдателей вроде нас.

Если и есть одно предположение о природе времени, с которым согласятся все мыслители научного склада, это, пожалуй, афоризм, приписываемый Гектору Берлиозу – человеку далекому от науки: «Время – великий учитель, но, к несчастью, всех своих учеников оно убивает».

Часть вторая. Числа в мозге, в обществе и на платоновских небесах

Глава третья. С числами в ладу, или Нейрофизиология математики

Как-то сентябрьским утром 1989 года молодой парижский нейрофизиолог Станислас Деан провел в смотровую посетителя – бывшего торгового представителя лет сорока пяти. Тремя годами раньше у посетителя, которого ученые условились называть господин N, произошло кровоизлияние в мозг, необратимо поразившее огромную область в задней половине левого полушария. У больного было множество различных нарушений – он носил правую руку на перевязи, разучился читать, говорил медленно и с огромным трудом. Когда-то он был женат, у него было две дочери, но теперь он не мог себя обслуживать и жил с престарелыми родителями. Деана пригласили осмотреть господина N, поскольку в число последствий инсульта входила тяжелая акалькулия – этим общим термином называют патологическое нарушение арифметических способностей (на самом деле таких нарушений несколько). Когда господина N просили сложить два и два, он отвечал «Три». Он сохранил способность считать и мог воспроизвести последовательность вроде 2, 4, 6, 8, но был не в силах сосчитать в обратном порядке от 9 до 1, не различал четные и нечетные числа, не узнавал вспыхивающую на экране цифру 5.

Однако Деана больше интересовали не эти нарушения, а фрагментарные способности, которые господин N сумел сохранить. Когда испытуемому показывали цифру 5 на несколько секунд, он понимал, что это цифра, а не буква, начинал считать от 1, пока не доходил до нужного числа, и в конце концов соображал, что это 5. Точно так же он поступал, когда его спрашивали, сколько лет его семилетней дочери. В своей книге «Числовое чутье», вышедшей в 1997 году (Dehaene, S.,The Number Sense), Деан писал: «Похоже, он сразу понимал, какое количество хочет выразить, но не мог вспомнить нужное слово, не повторив всю последовательность чисел».

Кроме того, Деан обнаружил, что хотя господин N больше не мог читать, ему иногда удавалось приблизительно уловить смысл слов, которые ему показывали; например, когда он видел слово «ветчина», то говорил: «Это такое мясо». Деан решил проверить, есть ли у господина N похожее чувство чисел. Он показал ему цифры 7 и 8. Господин N тут же сказал, что число 8 больше – гораздо быстрее, чем если бы ему пришлось считать до нужного числа. Кроме того, он правильно определял, больше или меньше 55 различные числа, и ошибался только когда они были очень близки к 55.

Господина N Деан прозвал «Человек-Приблизительность». Человек-Приблизительность жил в мире, где в году было «примерно 350 дней», а в часе – «примерно 50 минут», времен года было пять, а десяток яиц оценивался как «штук шесть-десять». Деан несколько раз просил испытуемого сложить два и два и получал ответы от трех до пяти. Однако, отмечал ученый, «он ни разу не сказал откровенной чуши вроде “девять”».

В когнитивистике случаи повреждения мозга – это природные эксперименты. Если травма или недуг лишает человека какой-то способности, но не затрагивает другие, это доказывает, что они запрограммированы в разных нейронных сетях. В этом случае Деан выдвинул гипотезу, что за способность учиться сложным математическим процедурам и за грубое количественное чутье отвечают совсем разные участки мозга. Сведения о когнитивных расстройствах при поражениях мозга накапливались десятилетиями, и ученые заключили, что у нас есть какое-то числовое чутье, не зависящее от языка, памяти и логики в целом. Изучение когнитивных процессов, связанных с числами, стало крайне популярным направлением нейрофизиологических исследований, а Деан – один из исследователей, которые его возглавляют. Как сказала мне Сьюзен Кэри, профессор психологии из Гарварда, тоже изучающая когнитивные процессы, связанные с числами: «Это новое слово в науке. Если хочешь, чтобы математика, которой учат детей, имела смысл, нужно знать, как мозг воспринимает число – и знать на том уровне, который стремится понять Станислас».

Основную часть своей карьеры Деан посвятил разметке границ нашего числового чутья и ответу на головоломный вопрос, какие аспекты наших математических способностей врожденные, а каким мы учимся, и как эти две системы перекрываются и влияют друг на друга. Он подошел к задаче со всех мыслимых сторон. Совместно с французскими и американскими коллегами он провел эксперименты, выявляющие, как числа закодированы в сознании. Изучал математические способности животных, амазонских индейцев, лучших студентов-математиков Франции. Применял методы сканирования мозга, чтобы точно выяснить, где в бороздах и извилинах мозговой коры прячется умение считать. И еще он рассмотрел, в какой степени на трудность восприятия чисел влияет тот или иной язык.

Работы Деана затрагивают важнейшие темы изучения и преподавания математики. По его представлениям, все мы от рождения наделены математическим инстинктом, древним с эволюционной точки зрения. Чтобы стать арифметически грамотными, дети должны опираться на этот инстинкт, но еще им нужно отучиться от некоторых склонностей, которые были нужны нашим предкам-приматам, однако сегодня мешают усваивать математические навыки. И некоторые общества, как видно, особенно хорошо умеют заставлять детей это делать. И во Франции, и в США математическое образование то и дело переживает кризис. Математические навыки американских детей смотрятся очень бледно по сравнению с умениями их сверстников из Сингапура, Южной Кореи и Японии. Чтобы исправить положение, нужно ответить на вопрос, которым Деан занимается на протяжении почти всей своей профессиональной жизни: из-за какой особенности мозга считать иногда так просто, а иногда так сложно?

Деан и сам весьма одаренный математик. Он родился в 1965 году и вырос в Рубе – средних размеров промышленном городе близ франко-бельгийской границы (фамилия Деан – фламандская). Его отец был педиатр и одним из первых изучал плодный алкогольный синдром. Когда Деан был подростком, у него, по его словам, пробудилась страсть к математике, и он поступил в Высшую нормальную школу в Париже – известную тренировочную площадку для французской научной элиты. Интересы Деана в основном лежали в области компьютерного моделирования и искусственного интеллекта. Науки о мозге увлекли его после того, как он в восемнадцать лет прочитал книгу самого выдающегося французского нейробиолога Жан-Пьера Шанже «Нейронный человек», вышедшую в 1983 году (Changeux, J. P.,L’homme Neuronal). Подход к изучению мозга, которого придерживался Шанже, намекал на соблазнительную возможность привести психологию в соответствие с нейрофизиологией. Деан познакомился с Шанже и стал вместе с ним разрабатывать абстрактные модели мышления и памяти. Кроме того, он сотрудничал с когнитивистом Жаком Меллером. В лаборатории Меллера он и встретил свою будущую жену Гислен Ламберц, исследовательницу когнитивной психологии детей до года.

Деан вспоминает, что Меллер «по счастливой случайности» занимался изучением восприятия чисел. Так Деан впервые столкнулся с явлением, которое впоследствии назвал «числовым чутьем». Деан ставил себе цель ответить на простой на первый взгляд вопрос: откуда мы знаем, что одни числа меньше или больше других? Если показать вам две арабские цифры, 4 и 7, и попросить назвать, какая из них обозначает, скажем, большее число, вы ответите «7» через долю секунды, и резонно предположить, что любые две цифры можно сравнить за такое же короткое время. Однако эксперименты Деана показали, что испытуемые отвечали на подобные вопросы быстро и точно, когда цифры обозначали числа, стоящие далеко друг от друга, например, 2 и 7, но думали дольше, если числа стояли близко, например, 5 и 6. Показатели становились хуже и при увеличении чисел: сравнить 2 и 3 оказалось гораздо проще, чем 7 и 8. Когда Деан проверил лучших студентов-математиков из Нормальной школы, студенты с изумлением обнаружили, что медлят и ошибаются, когда их спрашивают, что больше, 8 или 9. Деан предположил, что когда мы видим цифру или слышим числительное, наш мозг автоматически ставит это число на числовую ось, которая после 3–4 становится все более расплывчатой. Он обнаружил, что это не меняется, сколько ни тренируйся. «Это не недостаток ловкости, а базовое структурное свойство того, как мозг отражает число», – рассказывал он мне.

В 1987 году, когда Деан был еще студентом и жил в Париже, американский когнитивист Майкл Познер и его коллеги из Университета имени Вашингтона в Сент-Луисе опубликовали в журнале «Nature» статью, ставшую настоящим прорывом в своей области. Ученые из группы Познера сканировали кровоток в мозге и подробно изучили, как проявляется активность разных зон при обработке языковых данных. Их работа стала для Деана настоящим откровением. «Прекрасно помню, как сидел и читал эту статью, а потом обсуждал ее со своим научным руководителем – Жаком Меллером», – рассказывал он. Меллер, которого интересовала в основном абстрактная организация когнитивных функций, не видел смысла в том, чтобы высматривать, где именно в мозге что-то происходит, но Деан хотел, по его собственному выражению, «найти недостающее звено» между психологией и нейробиологией, разобраться, как мозговые функции – мышление, восприятие, чувства, воля – реализуются в полутора килограммах слизистой ткани, заключенной у человека в черепной коробке. Теперь благодаря достижениям науки и техники наконец-то стало возможным создать изображения мозга в процессе мышления, пусть и грубые. Поэтому Деан, получив докторскую степень, провел два года за изучением сканов мозга у Познера, который тогда работал в Университете штата Орегон в Юджине. «Я просто диву давался, что самые поразительные результаты в ультрасовременной области когнитивной нейрофизиологии получены в таком захолустье – больше я нигде не видел шестидесятилетних хиппи в разноцветных футболках с разводами!» – вспоминал Деан.

Станислас Деан – ладно скроенный невысокий красавец, веселый и приветливый; одевается он непринужденно, носит модные очки, а крупную лысую голову прячет от стихии подchapeau de cowboy. В 2008 году, когда мы с ним познакомились, он только что перебрался в новую лабораторию под названием NeuroSpin в кампусе Национального центра исследований ядерной энергии в полутора сотнях километров от Парижа. Здание лаборатории – модернистская композиция из стекла и металла, а внутри жужжит, урчит и пыхает всевозможное оборудование для сканирования мозга, которое в то время по большей части еще только монтировали. Вдоль одной из стен бежит череда арок, похожая на гигантскую синусоиду, и за каждой из них располагается бетонная камера, вместилище суперпроводящего электромагнита, охлаждаемого жидким гелием (чем мощнее магнитное поле при сканировании мозга, тем четче изображение). Новейшие сканеры должны были показывать анатомию человеческого мозга с невиданной доселе подробностью и, возможно, даже выявили бы едва уловимые аномалии у страдающих дизлексией и дискалькулией – патологической неспособностью обращаться с числами, которая, как подозревают ученые, вероятно, распространена не меньше дизлексии.

Один сканер уже был настроен и работал. «У вас ведь нет кардиостимулятора?» – уточнил Деан, когда мы вошли в комнату, где двое исследователей колдовали над кнопками. Сканер был предназначен для людей, но внутри, как я увидел на мониторе, была серая крыса. Исследователи изучали, как мозг крысы реагирует на различные запахи, которые время от времени подпускали в сканер. Потом Деан повел меня наверх, в просторную галерею, где нейрофизиологи, работающие вNeuroSpin, собираются для обмена идеями. Но тогда там было пусто. «Кофемашину бы сюда поставить», – заметил Деан.

У Деана сложилась международная репутация виртуоза сканирования. Когда он вернулся во Францию после стажировки у Познера, то продолжил применять сканирование для изучения мозговых механизмов переработки чисел. Гипотеза о том, что математические способности возникли в ходе эволюции, была выдвинута уже давно на основании исследований животных и маленьких детей, а данные больных с повреждениями мозга подсказали, где в мозге следует искать эти способности. Деан решил уточнить их локализацию и описать архитектуру. «Мне особенно понравился один эксперимент, – вспоминал он. – Мы пытались составить карту целой теменной доли мозга за полчаса, а для этого просили испытуемого совершать разные действия – например, двигать глазами и руками, показывать пальцем, брать предметы, решать разные языковые задачи и, конечно, простенькие арифметические примеры, ну, скажем, 13–4. И оказалось, что активируемые при этом области образуют прелестную геометрическую фигуру. Движения глаз были сзади, движения рук – посередине, хватание – впереди и так далее. А справа посередине была область, занимавшаяся числами, и мы сумели это установить».

Область обработки чисел лежит глубоко в складке теменной доли, которая называется «внутритеменная борозда большого мозга» (за самой макушкой). Но чем на самом деле заняты нейроны, сказать непросто. Сканирование мозга при всей своей технической утонченности дает довольно грубую картину происходящего внутри мозга, к тому же иногда при выполнении двух задач на скане высвечивается один и тот же участок мозга, даже если задействуются разные нейроны. «Некоторые считают, что сканирование мозга вытесняет психологию, но мне так совсем не кажется, – сказал Деан. – Психология нужна нам, чтобы хорошо понять, о чем говорят нам сканы. Потому-то мы и проделываем бихевиористские эксперименты и осматриваем больных. Знания порождаются там, где сталкиваются все эти методы».

Деан сумел свести воедино экспериментальные и теоретические стороны своей задачи, а по меньшей мере в одном случае предсказал существование неврологической особенности, которую затем обнаружили другие ученые. В начале девяностых, когда Деан работал с Жан-Пьером Шанже, он решил при помощи компьютера смоделировать, как люди и некоторые животные оценивают с первого взгляда количество предметов в окружении. Если количество очень мало, оценки бывают практически идеальными, и эта способность получила название «субитизация» (от латинского словаsubitus – «внезапный»). Некоторые психологи считают, что субитизация – это просто быстрый бессознательный подсчет, но есть и такие, в том числе Деан, кто думает, что наше создание воспринимает по три-четыре объекта за раз, и нам не нужно нацеливаться на каждый по очереди.

Деан обнаружил, что создать компьютерную модель, которая субитизировала бы так же, как люди и животные, можно только при условии, что в нее будут встроены «числовые нейроны», настроенные так, чтобы выстреливать с предельной интенсивностью в ответ на конкретное количество объектов. Например, в его модели был особый нейрон-четыре, который особенно возбуждался, когда компьютеру представляли четыре предмета. Числовые нейроны в модели были чисто теоретические, однако почти десять лет спустя две группы исследователей обнаружили самые настоящие числовые нейроны в мозге макак, которых научили решать простейшие арифметические задачи. Числовые нейроны выстреливали в точности как предсказывала модель Деана – потрясающий триумф теоретической психологии. «В сущности, мы можем вывести поведенческие свойства этих нейронов из первооснов, – сказал мне Деан. – Психология стала немного ближе к физике».

Однако мозг – это продукт эволюции, а эволюция – процесс случайный и неаккуратный, и даже если числовому чутью отведено свое место в коре головного мозга, его нейронная схема перепутана с оборудованием для других ментальных функций. Несколько лет назад при анализе эксперимента по изучению сравнения чисел Деан заметил, что испытуемые точнее сравнивали большие числа, если нажимали кнопку ответа правой рукой, а маленькие – если левой. Как ни странно, если испытуемых просили поменять руки, наблюдался обратный эффект. Причем какой именно рукой испытуемый нажимал на кнопку, неважно – испытуемые подсознательно ассоциировали с бо^’льшими и меньшими числами само пространство.

Гипотеза Деана состоит в том, что нейронная схема для обработки чисел отчасти перекрывается с механизмом определения места в пространстве. Он даже подозревает, что именно поэтому путешественники так часто теряются при входе на Второй терминал парижского аэропорта имени Шарля де Голля, поскольку там входы с большими номерами расположены слева, а с маленькими справа. «В наши дни изучать, как мы связываем число с пространством, а пространство с числом – целая индустрия, – заметил Деан. – И мы обнаруживаем, что эта связь заложена в мозге очень, очень глубоко».

Через некоторое время я сопровождал Деана в роскошные залы Института Франции – напротив Лувра на другом берегу Сены. Ему предстояло получить премию в четверть миллиона евро из рук Лилиан Бетанкур, дочери основателя косметической компании «Л’Ореаль». В салоне, задрапированном узорчатыми барочными тканями, Деан рассказал о своих исследованиях небольшой группе слушателей, в число которых входил и бывший премьер-министр Франции. Новые приемы сканирования мозга, говорил он, вероятно, помогут выявить, как идет в мозгу мыслительный процесс, например, вычисления. Но это не просто чистое знание, уточнил он. Поскольку архитектура мозга определяет самые разные способности, которые мы получили от рождения, детальное представление об этой архитектуре поможет лучше учить детей математике и, вероятно, сузить пропасть, отделяющую детей Запада от их сверстников из некоторых азиатских стран.

Фундаментальная проблема изучения математики состоит в том, что даже если числовое чутье у нас генетическое, точные вычисления требуют культурных инструментов, символов и алгоритмов, которыми человечество располагает всего несколько тысяч лет, поэтому их усваивают участки мозга, предназначенные эволюцией для другого. Процесс облегчается, если то, что мы изучаем, гармонирует со встроенными механизмами. Архитектуру мозга мы изменить не в силах, зато можем адаптировать методы обучения к ограничениям, которые она накладывает.

Американские педагоги вот уже почти тридцать лет продвигают «реформу математики» и советуют подталкивать детей к поиску собственных способов решать задачи. А до реформы математики была «новая математика», которую теперь принято считать педагогическим фиаско (во Франции ее называютles maths modernes и презирают не меньше). Новая математика была основана на теориях авторитетного швейцарского психолога Жана Пиаже, который считал, что дети рождаются безо всякого численного чувства и лишь постепенно овладевают понятием числа на нескольких этапах развития. Пиаже считал, что до четырех-пяти лет дети не в состоянии усвоить простой принцип, что от перемещения предметов их количество не меняется, а значит, нет никакого смысла учить их арифметике до шести-семи лет.

Представления Пиаже стали стандартом к началу пятидесятых, однако с тех пор психологи убедились, что он недооценивал арифметические способности маленьких детей. Если полугодовалому младенцу одновременно показывать изображения привычных предметов и давать послушать определенные ритмы на барабане, он дольше смотрит на картинки, где количество предметов соответствует количеству ударов. Сейчас общепринято, что человек от рождения обладает рудиментарной способностью воспринимать и выражать количество (как и многие животные, в том числе саламандры, голуби, еноты, дельфины, попугаи и обезьяны). И если эволюция снабдила нас одним способом выражать число – примитивным числовым чутьем, то культура подарила еще два: цифры и числительные. Деан полагает, что эти три способа думать о числе соответствуют определенным участкам мозга. Числовое чутье обитает в теменной доле – части мозга, отвечающей за положение в пространстве, с цифрами работают зрительные зоны, а числительные обрабатываются в зонах восприятия языка.

Увы, во всей этой сложной мозговой механике так и не нашлось эквивалента микросхемы из пятидолларового калькулятора. Из-за этого дефекта изучение страшной четверки – «Скольжения, Причитания, Умиления и Изнеможения», как пошутил Льюис Кэрролл (пер. Н. Демуровой) – превращается в сущее наказание. Поначалу еще ничего. Числовое чутье позволяет примерно понимать, что такое сложение, поэтому еще до школы дети находят простые способы складывать числа. Например, если попросить ребенка сосчитать, сколько будет 2+4, он начнет с первого слагаемого, а потом досчитает до второго: «Два, два и один – три, два и два – четыре, два и три – пять, два и четыре – шесть, шесть!» Но с умножением все иначе. Умножение – занятие противоестественное, как часто приговаривает Деан, а все потому, что наш мозг для такого не оборудован. Тут не помогут ни чутье, ни прибавление по одному, поэтому таблицу умножения приходится хранить в мозге в вербальном виде, как последовательность слов. Список таких арифметических фактов не так уж длинен, но страшно коварен: одни и те же числа повторяются по много раз в разном порядке, а фразы частично перекрываются, и в них возникают ненужные обманчивые рифмы (доказано, что билингвы, когда умножают, переходят на язык, на котором учились в школе). Человеческая память, в отличие от компьютерной, в ходе эволюции приучилась строить ассоциации, вот почему она так плохо подходит для арифметики, где нельзя, чтобы разные фрагменты знаний интерферировали друг с другом: если хочешь вспомнить, сколько будет 7×6, рефлекторно активируются знания о 7+6 и 7×5, а это может привести к катастрофе. Так что умножение – это двойной кошмар: мало того что оно не поддается числовому чутью, его еще приходится усваивать в форме, которая противоречит организации нашей памяти, развившейся в ходе эволюции. В результате взрослые при умножении однозначных чисел ошибаются в 10–15 % случаев. А если речь идет о самых трудных примерах, скажем, 7×8, доля ошибок превышает 25 %.

Природная неприспособленность к более сложным математическим процессам натолкнула Деана на вопрос, стоит ли заставлять детей учиться процедурам вроде деления в столбик. Ведь есть выход из положения – электронный калькулятор. «Дайте пятилетнему ребенку калькулятор, и вы научите его дружить с числами, а не ненавидеть их», – писал Деан. Избавив ребенка от необходимости тратить сотни часов на заучивание скучных процедур, считает он, калькуляторы дадут ему свободу сосредоточиться на смысле этих процедур, чему при нынешнем образовательном статус-кво не учат.

Казалось бы, такое отношение рисует Деана как самого настоящего сторонника «реформаторов математики» среди педагогов и самого настоящего врага родителей, которые хотят, чтобы учителя математики их детей «вернулись к основам». Но когда я спросил Деана, как он относится к реформе математики, он не проявил особой симпатии к этому направлению. «Мысль, что все дети разные и что каждый должен открывать все по-своему – нет, я с этим не согласен, – сказал он. – Я уверен, что организация мозга у всех одинаковая. Мы видим это у младенцев, видим и у взрослых. В целом все мы идем по одной дороге с небольшими отклонениями». Деан искренне восхищается математическими программами азиатских стран, в том числе китайской и японской, которые обеспечивают детям досконально структурированный опыт, предвосхищают диапазон их реакции на каждом этапе и обеспечивают задачами, составленными так, чтобы минимизировать количество ошибок. «К этому мы пытаемся вернуться и во Франции», – сказал он. Совместно с коллегой Анной Уилсон Деан разработал компьютерную игруThe Number Race, чтобы помочь детям при дискалькулии. Программа эта самообучающаяся, она выявляет задачи, где ребенок чувствует себя неуверенно, и подстраивает уровень сложности, чтобы доля верных решений оставалась на уровне 75 % – это не дает ребенку опустить руки.

Организация мозга у нас и в самом деле общая, однако сохраняются и культурные различия, диктующие нам, как обращаться с числами, и они не ограничиваются стенами класса. Эволюция снабдила нас приблизительной числовой осью, но чтобы числа обрели точность, кристаллизовались, по выражению Деана, нужна система символов. В языке амазонского племени мундуруку, которое изучали в последнее время Деан и его коллеги, особенно лингвист Пьер Пика, числительные есть только для чисел от одного до пяти (причем слово, которым мундуруку обозначают «пять», буквально значит «одна ладонь»). И даже эти слова для них, судя по всему, лишь примерные указания: если показать индейцу мундуруку три предмета, он может сказать, что их три, а может – что четыре. Тем не менее у мундуруку неплохая численная интуиция. «Например, они понимают, что пятьдесят плюс тридцать – это больше шестидесяти, – говорит Деан. – Естественно, они не знают этого на вербальном уровне и не располагают языковыми средствами, чтобы об этом поговорить. Но когда мы показываем им соответствующие множества и преобразования, они сразу понимают, о чем речь».

Судя по всему, у мундуруку мало культурных инструментов, дополняющих врожденное числовое чувство. Интересно, что следы таких же стадий несут в себе символы, которыми мы записываем числа. Первые три римские цифры – I, II и III – образованы повторением одного и того же символа нужное количество раз. Символ четырех – IV – уже не такой прозрачный. По тому же принципу строятся китайские цифры: первые три состоят из одной, двух и трех горизонтальных черточек, а четвертая имеет уже другую форму. Этой логике следуют даже арабские цифры: 1 – просто вертикальная палочка, 2 и 3 изначально были двумя и тремя горизонтальными черточками, соединенными для простоты письма («Прелестный маленький фактик, но едва ли он до сих пор закодирован у нас в мозге», – заметил Деан).

Сегодня арабскими цифрами пользуются практически во всем мире, а слова, которыми мы обозначаем числа, естественно, в разных языках разные. И эти различия далеко не тривиальны, как отмечали и Деан, и другие исследователи. Английский – очень громоздкий язык. В нем есть особые слова для чисел с 11 до 19 и для десятков с 20 до 90. Поэтому считать для англоговорящих детей – трудная задача, и они склонны к ошибкам вроде «двадцать восемь, двадцать девять, двадцать десять, двадцать одиннадцать». Французский ничем не лучше – в нем сохранились рудиментарные двадцатеричные чудовища вродеquatre-vingt-dix-neuf – «четыре-двадцать-десять-девять» (99). А китайский, напротив, сама простота, синтаксис его числительных точно совпадает с десятеричной записью арабскими числами с минимумом терминов. Вот почему средний китайский четырехлетка считает до сорока, а американские дети того же возраста едва добираются до пятнадцати. Преимущества распространяются и на взрослых. Поскольку китайские числительные очень короткие – в среднем на их произнесение уходит меньше четверти секунды, а на английские – треть секунды, – говорящий по-китайски в среднем может удержать в памяти девять знаков, а англоговорящий – только семь (те, кто говорит на восхитительно экономичном кантонском диалекте, распространенном в Гонконге, способны жонглировать в активной памяти десятью знаками).

В 2005 году Деан был избран профессором экспериментальной когнитивной психологии в Колледж де Франс – очень престижном институте, который основал в 1530 году Франциск I. В его штате всего 52 ученых, и Деан – самый молодой. В инаугурационной лекции Деан говорил об удивительном свойстве математики – она одновременно и продукт человеческого разума, и мощный инструмент, позволяющий открывать законы, по которым действует человеческий разум. Он говорил о противоречиях между данными новых методов исследования, в том числе сканирования мозга, и древними философскими представлениями о числе, пространстве и времени. И сказал, что считает, что ему повезло, что он живет в эру, когда достижения психологии и сканирования мозга совокупно «сделали видимым» невидимое доселе царство мысли.

По мнению Деана, числовое мышление – лишь начало пути к решению задачи. В последнее время он размышляет о том, как подойти методами эмпирической науки к философской проблеме сознания. Эксперименты с подсознательной «числовой настройкой» показывают, что основная часть операций, которые наша психика проделывает с числами, происходит бессознательно – и это открытие заставило Деана задаться вопросом, почему одни виды ментальной деятельности переходят порог осознанности, а другие нет. В сотрудничестве с двумя коллегами Деан исследовал нейронные основы так называемого «глобального рабочего пространства» – теории сознания, которая вызвала большой интерес в философских кругах. Согласно его версии этой теории, информация становится осознанной, когда определенные нейроны «рабочего пространства» передают ее на много участков мозга сразу и тем самым делают доступной одновременно, скажем, и для языка, и для памяти, и для перцепционной категоризации, и для планирования действий, и т. д., и т. п. Иначе говоря, сознание – «мозговая знаменитость», как говорил философ Дэниел Деннетт, или «слава мозга».

В своем кабинете вNeuroSpin Деан объяснил, как некоторые особенно длинные нейроны рабочего пространства соединяют далекие зоны человеческого мозга в единую пульсирующую сеть сознания. Чтобы показать мне, где находятся эти зоны, он достал из шкафа голубой гипсовый слепок неправильной формы, размером примерно с грейпфрут. «Это мой мозг!» – с явным удовольствием объявил Деан. И рассказал, что эту модель изготовила машина для быстрого создания опытных образцов, разновидность трехмерного принтера, на основании компьютерных данных одной из множества МРТ, которые он проходил. Слегка нахмурясь, Деан показал мне, где, по мнению ученых, помещается числовое чутье, и отметил, что у него этот участок имеет несколько необычную форму. Любопытно, что компьютерная программа сочла мозг Деана «исключением» – настолько его паттерны активности отличаются от нормы для человека. Деан ненадолго замолк, покачивая в ладонях нежно-голубой ком – модель собственного сознания, созданную на основе его же размышлений, – а потом с улыбкой заметил: «Знаете, мне нравится мой мозг».

Глава четвертая. Дзета-гипотеза Римана и смех простых чисел

Какой будет цивилизация через миллион лет? Почти все, к чему мы привыкли, к тому времени исчезнет. Но кое-что останется. И в том числе числа и смех, тут можно не сомневаться. Это хорошо, поскольку числа и смех придают смысл жизни – конечно, по-разному, но все же. Поэтому интересно поразмышлять, каков будет их статус в миллионном году. Но вначале позвольте пояснить, почему я так уверен, что они никуда не денутся, если почти все, что нам сегодня известно, либо исчезнет, либо изменится до неузнаваемости.

В целом все, что существует уже давно, скорее всего, просуществует еще гораздо дольше. А вот всякого рода новинки – вряд ли. И то, и другое следует из принципа Коперника, который, в сущности, говорит, что в нас нет ничего особенного. А поскольку и в нашей точке зрения нет ничего особенного, нам едва ли удастся застать тот или иной феномен в самом начале или в самом конце существования. Вот, скажем, вы идете на бродвейский мюзикл. Сколько он продержится на сцене, не знает никто: все может обернуться как угодно, от нескольких дней до десятков лет. Однако вы точно знаете, что из всех, кто его посмотрит, 95 % не попадут ни в число первых 2,5 %, ни в число последних 2,5 %. Следовательно, если в вас нет ничего особенного, то есть вы просто случайный зритель из числа всех зрителей представления, можете быть на 95 % уверены, что не попадете в эти «хвосты». Это значит, что если спектакль шел ужеn раз на тот момент, когда вы собрались его посмотреть, можете быть на 95 % уверены, что впереди у него не больше 39×n и не меньше n: 39 представлений. (Простая арифметика: верхний предел не допускает вас в число первых 2,5 % всех зрителей, а нижний – в число последних 2,5 %.) Так что, заручившись всего лишь принципом Коперника и школьной арифметикой, вы можете определить ожидаемую продолжительность жизни, скажем, бродвейского спектакля с точностью до 95 %. Потрясающе.

Эту логическую цепочку придумал Дж. Ричард Готт III, астрофизик из Принстонского университета. В 1993 году он опубликовал в журнале «Nature» статью «Как принцип Коперника влияет на наши перспективы» (Gott III, J. R., «Implications of the Copernican Principle for Our Future Prospects»), где рассчитал ожидаемую продолжительность жизни нашего вида. Люди существуют уже около 200 000 лет. Поэтому, если момент, в который мы наблюдаем наш вид, ничем особенным не выделяется, можно быть на 95 % уверенными, что он просуществует еще не менее 5100 лет (1/39×200 000), но исчезнет за 7,8 миллионов лет (39×200 000). Готт отмечает, что это обеспечивает видуhomo sapiens ожидаемую продолжительность существования, сопоставимую с другими видами гоминид (наш предок Homo erectus просуществовал 1,6 миллион лет) и млекопитающими в целом (у них средняя продолжительность существования вида около 2 миллионов лет). Кроме того, это дает нам достаточные основания считать, что в миллионном году мы никуда не исчезнем, хотя эта вероятность не так велика, как мы по наивности надеемся (см. «Конец близок», стр. 322).

А что тогда будет, кроме нас? Вспомните что-нибудь, что появилось совсем недавно, скажем, Интернет. Интернет существует около трети столетия (об этом я узнал, заглянув в тот же Интернет, в «Википедию»). Согласно логике Коперника⁵, мы можем быть на 95 % уверенными, что он просуществует еще 10 месяцев, но исчезнет самое большее через 300 лет. Так что в миллионном году почти наверняка не будет ничего даже отдаленно похожего на Интернет (пожалуй, не то чтобы сенсационный вывод). То же самое можно сказать и о бейсболе, существующем чуть больше двухсот лет. И о технологии промышленного производства, которая появилась всего несколько сотен лет назад и, скорее всего, в ближайшие десять тысяч лет уступит место чему-то новому и невиданному. По той же коперниковской логике не стоит делать ставки и на то, что в миллионном году сохранится что-то похожее на официальную религию.

Как ни парадоксально, но если мы хотим найти что-то, что с большой вероятностью сохранится к миллионному году, нам придется возвращаться в своей естественной истории гораздо глубже в прошлое. Ведь, по выражению Готта, «что уже долго было, то долго и продержится». И если мы заглянем в прошлое на несколько миллионов лет, то в числе прочего увидим смех и числа.

Откуда мы это знаем? В наши дни и смех, и числовое чутье у нас общее с другими видами, а значит, они были и у наших общих предков, существовавших миллионы лет назад.

Вот, скажем, смех. Шимпанзе умеют смеяться. Чарльз Дарвин отмечает в книге «О выражении эмоций у человека и животных» (1872): «Если щекотать молодого шимпанзе (у них особенно чувствительна к щекотанию, как у наших детей, подмышечная область), то он издает более определенный звук, похожий на хихиканье и смех; впрочем, смех иногда бывает беззвучен» (пер. под ред. Е. Павловского). На самом деле то, что в приматологии называют смехом шимпанзе, ближе к сиплому пыхтению. Оно проявляется не только при щекотке, но и при шуточной борьбе, игре в догонялки и притворных атаках – точь-в-точь как у детей до появления словесных шуток в возрасте пяти-шести лет. Но выходят ли шутки приматов за границы чисто физических проявлений? Исследователь Роджер Футс рассказывал, что шимпанзе Уошо, которая умела изъясняться языком жестов, как-то раз, когда он посадил ее себе на плечи, помочилась на него, после чего показала знак «смешно» и фыркнула, но не засмеялась.

Линии людей и шимпанзе разошлись пять-семь миллионов лет назад. Если сделать резонное предположение, что смех у людей и шимпанзе «гомологичен», а не возник независимо, это значит, что смеху тоже не меньше пяти-семи миллионов лет. Поэтому, согласно принципу Коперника, смех в миллионном году, скорее всего, сохранится.

Теперь рассмотрим числа. Шимпанзе умеют и производить элементарные арифметические вычисления, и их учили применять символы, похожие на цифры, чтобы рассуждать о количестве. Числовое чутье свойственно не только приматам. Исследователи обнаружили, что воспринимать и выражать числа способны самые разные животные – саламандры, дельфины, еноты. Лет двадцать назад ученые из Массачусетского технологического института обнаружили, что у макак есть специализированные числовые нейроны в той части мозга, которая у людей соответствует зоне, отвечающей за числа. Очевидно, у числового чутья давняя эволюционная история, оно даже древнее смеха. Следовательно, по тому же принципу Коперника можно быть уверенными, что в миллионном году числа никуда не исчезнут.

Числа и смех – одни из древнейших культурных чудес нашего мира. Поэтому они, скорее всего, просуществуют дольше всех и, весьма вероятно, переживут и миллионный год. Здесь можно провести аналогию с семью чудесами света, о которых говорили в античности. Когда этот список был составлен (самая ранняя версия датируется примерно 140 годом до н. э.), древнейшим чудом света с большим опережением были египетские пирамиды (около 2500 лет до н. э.). А остальные чудеса – висячие сады Семирамиды, храм Артемиды в Эфесе, статуя Зевса в Олимпии, мавзолей в Галикарнасе, Колосс Родосский и Александрийский маяк – были моложе почти на две тысячи лет. Какое из семи чудес сохранилось до наших дней? Правильно, пирамиды. Остальные исчезли – погибли при пожарах и землетрясениях.

Ожидаемая продолжительность жизни смеха и чисел – как у пирамид. И это, как я уже говорил, хорошо, поскольку они лежат в основе юмора и математики соответственно, и это помогает жить самым возвышенным душам среди нас. Бертран Рассел в автобиографии рассказывает, что в юности был несчастен и часто задумывался о самоубийстве. Но дальше размышлений дело не пошло, поскольку, признается он, «мне хотелось побольше узнать о математике». Такие же суицидальные настроения одолевают и героя Вуди Аллена в фильме «Ханна и ее сестры», но он отходит от опасной грани, когда случайно заглядывает в кино и видит, как братья Маркс в фильме «Утиный суп» выстукивают мелодию на шлемах фридонских солдат, будто на ксилофоне. Чтобы жизнь наших потомков из миллионного года стоила того, чтобы жить, пусть лучше у них останутся смех и математика.

Но какой она будет, их математика? И над чем они станут смеяться?

Ответить на первый вопрос, пожалуй, проще. Ведь математика – самая универсальная часть человеческой цивилизации. Все земные культуры умеют считать, следовательно, во всех земных культурах есть понятие о числе. Если где-то в космосе существует разумная жизнь, мы вправе ожидать от нее чего-то подобного. Единственный универсальный признак цивилизации, который узнают где угодно по всей Вселенной, – это число. В фантастическом романе Карла Сагана «Контакт» инопланетяне из окрестностей Веги отправляют на Землю последовательность простых чисел. Героиня книги, которую в экранизации «Контакта» играет Джоди Фостер, работает вSETI (программе поиска внеземных цивилизаций). И к вящему своему восторгу и ужасу понимает, что простые числа, которые улавливает ее радиотелескоп, генерирует какая-то разумная жизнь.

Но что было бы, если бы инопланетяне отправили нам не числа, а шутки? Скорее всего, мы не отличили бы их от фонового шума. Ведь мы с трудом отличаем от фонового шума даже шутки из шекспировских пьес (нет, правда, вам когда-нибудь бывало по-настоящему смешно на шекспировской пьесе?) Нет ничего более вечного, чем число, основа математики, – но нет ничего более узкого и эфемерного, чем юмор, основа смеха. По крайней мере, нам так думается. Мы совершенно уверены, что цивилизация, на миллион лет опередившая нас в развитии, согласится с нашим понятием о числе, а мы – с их. Однако от их шуток мы, скорее всего, только растерянно почесали бы в затылке – и наоборот. Что же касается всех промежуточных явлений культуры, от литературы на самом эфемерном конце континуума до философии и физики на самом универсальном – кто знает?..

Так видится нам картина сегодня. Но в миллионном году, полагаю, она будет прямо противоположной. Самым универсальным аспектом культуры будет считаться юмор. А число растеряет трансцендентную репутацию и превратится в сугубо местный артефакт вроде компьютерной операционной системы или формы бухгалтерской отчетности. Если я прав, ученые изSETI будут высматривать в сигналах не простые числа и не цифры числа p, а что-то совсем другое.

Но вернемся ненадолго к числам. В 1907 году Бертран Рассел, которому было за тридцать, написал настоящий гимн во славу математики. «Математика, при правильном на нее взгляде, обладает не только истинностью, но также высшей красотой – красотой холодной и строгой, подобной красоте скульптуры, которая не прибегает ни к одной из более слабых частей нашей природы, которая не использует эффектных внешних украшений, свойственных живописи или музыке, и, тем не менее, – возвышенно чистой и способной к тому суровому совершенству, которое может демонстрировать лишь величайшее искусство» (здесь и далее пер. В. Шапошникова). Эти строки, подчеркивающие трансцендентный образ математики, часто цитируются в популярной литературе о математике. Однако в таких книгах нечасто встретишь ссылки на совсем иную точку зрения, которую Рассел высказывал, когда ему было под девяносто и он уже отмел свои юношеские панегирики (или почти юношеские), назвав их «по большей части чушью». Математика, писал пожилой Рассел, «перестала казаться мне нечеловеческой с точки зрения ее содержания. Я пришел к убеждению, хотя и крайне неохотно, что она состоит из тавтологий. Боюсь, что разуму, обладающему достаточной интеллектуальной силой, вся математика покажется тривиальной, как тривиально утверждение, что четвероногое животное есть животное». Так что на протяжении жизни представления о математики у Рассела сильно эволюционировали. И мне кажется, что к миллионному году вся наша цивилизация претерпит такие же изменения (да, Вирджиния, филогенез иногда повторяет онтогенез). Для наших потомков математика станет всего лишь сложной системой тавтологий, сугубо местного значения, которая оказалась для нас удобным инструментом вроде бухгалтерской системы, позволяющим наладить отношения с окружающим миром.

Если математика, в сущности, тривиальна, ее тривиальность должна быть особенно очевидной на элементарном уровне, пока дым и зеркала высших теорий еще не сделали свое дело. Что ж, давайте рассмотрим этот уровень.

Никто не станет спорить, что самые фундаментальные объекты математики – это положительные целые числа: 1, 2, 3 и так далее. Особое место среди этих чисел должны занимать простые числа, те самые, которые направляли на Землю инопланетяне в «Контакте». Простое число – это число, которое нельзя разложить на меньшие множители (то же самое можно сказать иначе: простое число – это число, которое делится только само на себя или на единицу). Первые простые числа – это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37… Простые числа – это атомы арифметики, а все остальные числа называются составными, и их можно получить, перемножив простые в разных сочетаниях. Так, чтобы получить число 666, нужно перемножить 2×3×3×37. Можно без особых усилий доказать, что любое составное число можно разложить на простые множители одним и только одним способом. Это часто называют основной теоремой арифметики.

Пока что все сходится: одни тавтологии. Так что перейдем к следующему очевидному вопросу: а сколько их, этих простых чисел?

Этот вопрос задал еще Евклид в III веке до нашей эры, и ответ содержится в предложении 20 книги IX его «Начал»: простых чисел бесконечно много. Доказательство этого предложения, которое приводит Евклид, – пожалуй, первое по-настоящему элегантное рассуждение в истории математики. Оно укладывается в одну фразу: если бы простых чисел было конечное множество, то можно было бы перемножить их все, прибавить единицу и получить новое число, которое не делится ни на одно простое число, а это противоречие. (Новое число делилось бы с остатком 1 на любое число из якобы конечного списка простых, так что оно либо само было бы простым числом, либо делилось бы на какое-то простое число, не вошедшее в список. Так или иначе, изначальный конечный список простых чисел оказался бы неполным. Значит, не существует конечного списка, который охватил бы все простые числа. Следовательно, их бесконечно много).

Итак, мы знаем, что ряд простых чисел тянется бесконечно. Но тогда естественным образом возникает следующий вопрос: как эти атомы арифметики разбросаны среди всех прочих чисел? Есть ли какая-то закономерность? Среди относительно небольших чисел простые попадаются довольно часто, но чем дальше уходишь по числовой оси, тем они реже. Четыре из первых десяти чисел простые (2, 3, 5 и 7). Из первых 100 чисел простых 25. Если немного перепрыгнуть вперед, окажется, что между 9 999 000 и 10 000 000 девять простых чисел, из следующей сотни, от 10 000 000 до 10 000 100, – только два (10 000 019 и 10 000 079). Можно найти сколь угодно длинные отрезки числовой оси, где простых чисел вовсе нет. Но есть и очень большие простые числа, стоящие по соседству, например, 1 000 000 009 649 и 1 000 000 009 651. (Простые числа, отличающиеся всего на 2, называются числами-близнецами; конечно или бесконечно их количество, вопрос открытый.) Такое ощущение, что простые числа рассыпаны практически случайно, словно сорная трава среди остальных чисел. «Похоже, нет никаких причин, по которым одно число простое, а другое нет, – объявил математик Дон Цагир на инаугурационной лекции в Боннском университете в 1975 году. – Напротив, если посмотреть на эти числа, складывается впечатление, что перед тобой необъяснимая тайна бытия».

Простые числа, несмотря на свое несложное определение, видимо, живут в своей вечной и сложной реальности, независимой от нашего сознания. Они обладают трансцендентной загадочностью, той самой, которой начисто лишено высказывание Рассела «четвероногое животное – это животное». Но неужели они не подчиняются совсем никаким законам? Это было бы неожиданно, учитывая их роль строительного материала арифметики. И на самом деле у них есть свой закон. Но для того, чтобы его обрести, нужно, как ни странно, подняться на много этажей в небоскребе математики – от скромных натуральных чисел через целые, дроби, действительные числа до самых комплексных чисел с мнимой частью. (Исторически это восхождение заняло больше двух тысяч лет). И вот тогда, на самом-самом верху, мы и наталкиваемся на головоломку, которая называется дзета-гипотезой Римана.

∞

Практически все математики согласны, что дзета-гипотеза Римана – величайшая нерешенная задача во всей математике. Вероятно, это самая сложная задача, порожденная разумом человека. Риман – это Бернхард Риман, немецкий математик, живший в XIX веке. Дзета – это дзета-функция, творение высшей математики, которая, как первым установил Риман, таит в себе тайну простых чисел. В 1859 году Риман в краткой, но невероятно глубокой статье сформулировал гипотезу о дзета-функции. Если эта гипотеза верна, то простые числа подчиняются скрытой гармонии, причем довольно красивой. Если ложна, мелодия простых чисел несколько неблагозвучна – словно ее играет расстроенный оркестр.

Как же все обстоит на самом деле? Последние полтора века математики тщетно пытались доказать дзета-гипотезу Римана. Давид Гильберт включил ее в список из 23 важнейших задач математики в своей знаменитой речи на математической конференции в 1900 году в Париже (а позднее объявил, что это важнейшая задача «не только математики, а вообще»). Гипотеза Римана была единственной из списка Гильберта, которая так и осталась нерешенной за целых сто лет. В 2000 году, в столетнюю годовщину речи Гильберта, группа ведущих математиков планеты провела пресс-конференцию в Колледж де Франс и назвала новый набор из семи «Задач тысячелетия», за решение любой из которых назначалась награда в миллион долларов. (Призовой фонд обеспечивает Математический институт Клэя, основанный бостонским инвестором Лэндоном Т. Клэем.) Никого не удивило, что гипотеза Римана попала и в этот список.

Дзета-гипотеза Римана – не просто ключ к пониманию природы простых чисел. Она настолько важна для математического прогресса, что заранее считается истинной (вероятно, опрометчиво) в предварительных доказательствах тысяч теорем (которые, как говорят математики, «обусловлены» этой гипотезой). Если она окажется ложной, рухнет целая область высшей математики, построенная на ней. (Великая теорема Ферма, доказанная в 1995 году, не играла в математике такой структурной роли и поэтому значительно менее важна.)

Естественно, происхождение у дзета-функции музыкальное. Если ущипнуть скрипичную струну, она при вибрациях порождает не только ноту, на которую настроена, но и все возможные обертоны. Математически эта комбинация звуков соответствует бесконечной сумме ζ(s)=1+(1/2)'+(1/3)'+(1/4)'+…, которая называется гармоническим рядом. Если взять каждый член этого ряда и возвести его в степень s, получится дзета-функция от переменной s:

Эту функцию придумал около 1740 года Леонард Эйлер, который затем сделал замечательное открытие. Он обнаружил, что дзета-функция, бесконечнаясумма, проходящая через все числа, может быть записана как бесконечное произведение, проходящее только через простые числа, которые появляются в виде обратных величин:

Эйлер был величайшим математиком своего времени, но и он не вполне осознал потенциал открытой им формулы бесконечных произведений. «До сегодняшнего дня математики тщетно пытались выявить какой-то порядок в последовательности простых чисел, – писал Эйлер, – и у нас есть причины полагать, что это тайна, в которую человеческий разум никогда не проникнет».

Полвека спустя Карл Фридрих Гаусс сделал первый настоящий прорыв в понимании простых чисел со времен Евклида. Мальчиком Гаусс обожал подсчитывать, сколько простых чисел содержится в каждом отрезке по тысяче. Такие размышления были приятным способом скоротать «скучные четверть часа, – писал он другу, – но потом я бросил это занятие, не добравшись и до миллиона». В 1792 году, в пятнадцать лет, Гаусс заметил интересную закономерность. Хотя на первый взгляд простые числа располагались на числовой оси в случайном порядке, в их потоке в целом все же нашлась некоторая регулярность. Можно было достаточно точно оценить, сколько простых чисел встретится до данного числа, разделив данное число на его натуральный логарифм. Представьте себе, к примеру, что вы хотите узнать, сколько простых чисел найдется до миллиона. Достаньте карманный калькулятор, наберите на нем 1 000 000 и разделите на ln(1 000 000). Получится 72 382. На самом деле простых чисел до миллиона 78 498, поэтому оценка ошибочна примерно на 8 %. Однако при увеличении заданного числа погрешность стремится к нулю.

Гаусс открыл «монетку, которую бросает Природа, чтобы выбрать простые числа» (по словам британского математика Маркуса дю Сутоя). Было что-то немного жуткое в том, что эту монетку надо взвешивать натуральным логарифмом, который родился в непрерывном мире дифференциального исчисления и, казалось бы, не имеет никакого отношения к прерывистому миру натуральных чисел (логарифмическая функция определяется площадью под определенной кривой)⁶. Гаусс не смог доказать, что натуральная логарифмическая функция в дальнейшем предскажет, что на бесконечности простых чисел становится все меньше и меньше – он просто высказал эмпирическую догадку. Не смог он и объяснить ее приблизительность – почему она не в состоянии точно сказать, где находится следующее простое число.

За завесу мнимой случайности удалось заглянуть лишь Риману. В 1859 году в статье, в которой было меньше 10 страниц, он сделал несколько ходов, которые разгадали загадку простых чисел. Начал он с дзета-функции. Эйлер считал, что эта функция охватывает только действительные числа (в множество действительных чисел, соответствующих точке на числовой прямой, входят целые числа, как положительные, так и отрицательные, рациональные числа, выражаемые дробями, и иррациональные числа вроде π илие, выражаемые непериодическими десятичными дробями). Однако Риман пошел дальше Эйлера и обобщил дзета-функцию на множество комплексных чисел.

Комплексные числа состоят из двух разных частей – действительной и мнимой (в мнимую часть входит квадратный корень из минус единицы). Типичное комплексное число – например, 2+3√-1, где 2 – действительная часть, а 3√-1 – мнимая. Поскольку у комплексного числа две части, его можно представить себе как двумерное: в отличие от действительных чисел, они располагаются не на числовой оси, а на плоскости. Риман решил распространить дзета-функцию на комплексную плоскость. И показал, что в каждой точке комплексной плоскости дзета-функция задает высоту. Она порождает обширный абстрактный ландшафт с горами, холмами, долинами и равнинами, которые тянутся бесконечно во все стороны – дзета-ландшафт. А самые интересные точки дзета-ландшафта, как обнаружил Риман, – это точки, где высота равна нулю, то есть на уровне моря. Эти точки называются нулями дзета-функции, поскольку соответствуют тем комплексным числам, которые, если подставить их в дзета-функцию, дают нуль. Эти комплексные «нули» дзета-функции, которых на дзета-ландшафте бесконечно много, позволили Риману совершить настоящее чудо: он впервые в истории вывел формулу, которая точно описывала, как бесконечное множество простых чисел располагается в числовой последовательности.

Это открытие послужило началом метафорического диалога между математикой и музыкой. До Римана в простых числах слышался лишь случайный шум. Теперь появился новый способ услышать их мелодию. Каждый нуль дзета-функции, входящий в римановскую формулу простых чисел, порождает волну, напоминающую чистый музыкальный тон. Если сочетать все эти музыкальные тоны, они порождают гармоническую структуру простых чисел. Риман обнаружил, что положение данной нулевой точки на дзета-ландшафте определяет высоту и громкость соответствующей музыкальной ноты. Чем дальше нуль к северу, тем выше звук. А главное – чем дальше он к востоку, тем громче. Оркестр простых чисел играет в гармонии, так, чтобы ни один инструмент не заглушал соседей, только если все нулевые точки лежат в достаточно узкой полосе долготы на дзета-ландшафте. Но Риман пошел еще дальше. Разведав лишь крошечный клочок бесконечного дзета-ландшафта, он смело предположил, что все нули лежат вдоль критической линии, проходящей с юга на север. И это утверждение впоследствии и получило название дзета-гипотезы Римана.

«Если гипотеза Римана истинна, – писал дю Сутой, – она объяснит, почему мы не наблюдаем строгой закономерности в расположении простых чисел. Закономерность соответствует точкам, где какой-то инструмент играет громче остальных. Как будто каждый инструмент играет свою закономерность, но при таком совершенном сочетании закономерности гасят друг друга, и остается только бесформенный поток простых чисел, которые то прибудут, то схлынут». Есть что-то волшебное в том, как бесконечное множество нулевых точек на дзета-ландшафте коллективно контролирует размещение бесконечного количества простых чисел среди натуральных: чем сильнее регламентировано расположение нулей по одну сторону зеркала, тем случайнее кажется порядок простых чисел по другую.

Но так ли идеально регламентированы нули, как думал Риман? Если гипотеза Римана ложна, ее опровергнет один-единственный нуль, сместившийся с критической линии. А вычислить, где расположены нули, задача нетривиальная. Когда сам Риман разведывал дзета-ландшафт, то обнаружил, что первые несколько точек на уровне моря выстроились именно так, как он рассчитывал. В начале XX века вручную рассчитали расположение еще нескольких сотен нулей. С тех пор компьютеры локализовали миллиарды нулей – и все они расположены точно на критической линии. Казалось бы, раз до сих пор не удалось найти контрпримера гипотезы Римана, это повышает вероятность, что она истинна. Но это спорный вопрос. Ведь дзета-функция дает бесконечно много нулей, и может статься, что они покажут свое истинное лицо лишь на невообразимо дальних далях дзета-ландшафта – в краях, которые, вероятно, исследуют лишь значительно позднее миллионного года. Те, кто слепо признают истинность гипотезы Римана, не должны забывать, что в истории математики прослеживается интересная закономерность: в алгебре утверждения, долго остававшиеся гипотезами (теорема Ферма), как правило, оказываются истинными, а в математическом анализе (подобные гипотезе Римана) часто бывают ложными.

Сегодня большинство математиков, пытающихся расколоть гипотезу Римана, исходят в основном из эстетических соображений: гипотеза Римана проще и красивее, чем ее отрицание, и приводит к самому «естественному» распределению простых чисел. «Если существует много нулей, отклоняющихся от линии, а такое может быть, вся картина становится просто ужасной, ужасной, уродливой», – сказал математик Стив Гонек. Едва ли у этой гипотезы найдутся какие-то практические последствия, но для математиков, которые ее исследуют, это не играет никакой роли. «Я никогда не делал ничего “полезного”, – похвалялся Г. Г. Харди в своей знаменитой книге «Апология математика». – Ни одно мое открытие не способствовало ни прямо, ни косвенно увеличению или уменьшению добра или зла и не оказало ни малейшего влияния на благоустроенность мира»⁷. Математики вроде Харди признают за собой два мотива: во-первых, чистое удовольствие, которое приносят занятия математикой. Во-вторых, ощущение, что они будто астрономы, вглядывающиеся в платоновский космос чисел, – космос, который выходит за пределы человеческой культуры и любых других возможных цивилизаций и сейчас, и в будущем. Харди добавляет, что «число 317 простое не потому, что мы думаем так, и не потому, что наш разум устроен так, а не иначе, а потому, что это так, потому, что математическая реальность устроена так». Ален Конн, французский математик, которого очень многие считают главным кандидатом на доказательство гипотезы Римана, тоже ревностный платоник. «Я считаю, – говорил Конн, – что последовательность простых чисел… обладает реальностью значительно более неизменной, чем окружающая нас физическая реальность».

Однако будет ли все это считаться истинным в миллионном году? Мне думается, что когда мы лучше поймем, что такое простые числа, они утратят свою трансцендентную репутацию. И тогда мы увидим, что они, как и вся остальная математика (или, если уж на то пошло, как религия), созданы человеком, что это сугубо земной артефакт. Когда же нам ждать великого развенчания? Пал Эрдеш, самый плодовитый (и непоседливый) из современных математиков, говорят, утверждал: «Прежде чем мы поймем, что такое простые числа, пройдет еще миллион лет, не меньше». Однако принцип Коперника дает совсем другую оценку. Вопрос о дзета-гипотезе Римана был открыт 160 лет назад самим Риманом. Это значит, что можно с уверенностью 95 % утверждать, что он останется неразрешенным еще года четыре (¹/₃₉×160), однако получит ответ в течение ближайших шести тысяч лет (39×160), то есть гораздо раньше миллионного года. Когда и если он будет решен, простые числа наконец лишатся флера космической инаковости.

Простые числа определяют дзета-функцию, дзета-функция задает нулевые точки, нулевые точки совокупно хранят тайну простых чисел. Если удастся доказать или опровергнуть гипотезу Римана, это замкнет этот тесный кружок, превратив «загадку» простых чисел в тавтологию – такую же, как утверждение «четвероногое животное – это животное». Поэтому я предсказываю, что задолго до миллионного года математики пробудятся от своего коллективного платоновского сна. Никому и в голову не придет направлять последовательность простых чисел через весь космос. Наши потомки отмахнутся от них, как герой «Кошмара математика» Бертрана Рассела: «Прочь! Вы всего-навсего Символические Совпадения!»

∞

А что же смех? Как я уже заметил, нет ничего более узкого, местного, эфемерного, чем тот тип «юмора», который заставляет засмеяться. И ничего более низменного. На протяжении почти всей человеческой истории комическое было смесью скабрезности, агрессии и глумления. Что до особого пыхтения и раздувания грудной клетки, которые оно вызывает, это рассматривалось как «избыточный рефлекс», на первый взгляд не имеющий отношения к выживанию наиболее приспособленных.

Однако в последние годы ученые, поднаторевшие в изящном искусстве эволюционной психологии, нашли гораздо более изобретательный подход к поиску дарвинистских обоснований для смеха. Пожалуй, самую правдоподобную гипотезу выдвинул нейрофизиолог В. Рамачандран. В своей книге «Фантомы мозга», написанной в 1998 году в соавторстве с Сандрой Блейксли (Ramachandran, V., Blakeslee, S.,Phantoms in the Brain), Рамачандран выдвигает «теорию ложной тревоги». Возникает потенциально опасная ситуация, у тебя запускается реакция «бей-или-беги», оказывается, что тебе просто показалось, и ты оповещаешь свою социальную группу (генетически близкую), что опасность мнимая, издавая стереотипные звуки – которые к тому же распространяются от одного члена группы к другому, поскольку заразительны. Когда эволюция наладила этот механизм, гласит гипотеза, его удалось направить на другие цели – например, на выражение враждебности к другим социальным группам (или утверждение превосходства над ними) и на высвобождение запретных социальных порывов в пределах своей группы. Однако в основе первоначального механизма «ложной тревоги» лежит ощущение несоответствия: страшная опасность оказалась пустяком, грозное «что-то» обернулось безобидным «ничем». А эволюция юмора с течением тысячелетий привела к тому, что роль несоответствия становилась все главнее. Высшее проявление смеха считается сейчас выражением интеллектуальной эмоции. Наверное, вершиной эволюции остроумия можно считать еврейские шутки, талмудически-изысканную игру с языком и логикой (вспомните свои любимые реплики Граучо Маркса или Вуди Аллена). С такой интеллектуальной точки зрения сильнейший стимул для смеха – это чистое абстрактное несоответствие. Как считал Шопенгауэр, хорошая шутка – это неправильный силлогизм. (Например: «Главное – быть искренним. Сможешь это изобразить, и дело в шляпе».) А несоответствие – полная противоположность старой скучной тавтологии. И так же универсально.

Вот почему я считаю, что юмор и математика к миллионному году поменяются местами. Но какими они будут, шутки той далекой эпохи? Высшая разновидность смеха пробуждается, когда мы видим, как несоответствие разрешается каким-то остроумным способом, что приводит к эмоциональной встряске от приятного узнавания. Мы воображаем, будто перед нами что-то непонятное и загадочное – а вдруг оказывается, что перед нами нет вовсе ничего. Именно таким и будет разрешение загадки дзета-гипотезы Римана, когда его наконец найдут в невообразимом будущем. Под раскаты хохота платоническая инаковость простых чисел обернется тривиальной тавтологией. Если задуматься, что гипотеза, которую сегодня считают величайшей задачей, порожденной человеческим разумом, вполне может в миллионном году оказаться грубоватой шуткой, достойной школьника, это очень отрезвляет.

Глава пятая. Сэр Фрэнсис Гальтон, отец статистики… и евгеники

В восьмидесятые годы XIX века жители многих британских городов, должно быть, обращали внимание на немолодого лысого джентльмена с бакенбардами, который пожирал глазами всех проходящих мимо девушек и при этом что-то перебирал в кармане. Это был не какой-нибудь старый греховодник, а серьезный ученый. А в кармане он держал устройство, которое называл «дыроколом»: наперсток с иглой и крестообразный листок бумаги. Прокалывая дырочки в разных частях листка, джентльмен тайком оценивал внешность проходящих мимо дам по шкале от «привлекательная» до «отталкивающая». После долгих месяцев применения дырокола и сбора результатов он составил «карту красоты» Британских островов. Средоточием красоты оказался Лондон, а его противоположностью – Абердин.

Такого рода исследования были характерны для Фрэнсиса Гальтона, девизом которого было «Можешь сосчитать – сосчитай». Гальтон был одним из великих новаторов викторианской эпохи, может быть, и не таким великим, как его двоюродный брат Чарльз Дарвин, зато гораздо более многогранным. Он исследовал неведомые области Африки. Стал первопроходцем в области метеорологии и изучения отпечатков пальцев. Открыл законы статистики, перевернувшие методологию науки. Что же касается его характера, то Гальтон был человеком приятным и светским, пусть и склонным к снобизму. Однако в наши дни его помнят в первую очередь за достижения, представляющие ученого в определенно зловещем свете: он был отцом евгеники, науки – или псевдонауки – об «улучшении человеческой породы» при помощи селекции.

Евгеника, как показала вся ее дальнейшая карьера, – настоящее исчадие ада, и быть ее отцом – сомнительная слава. Энтузиазм по поводу идей Гальтона привел к насильственной стерилизации сотен тысяч американцев и европейцев, которых сочли генетически неполноценными, и внес свой вклад в национальную политику фашистов, кульминацией которой стал холокост. Сегодня большинству из нас очевидно, что улучшать человечество, заставляя «желательных» размножаться больше, а «нежелательных» – меньше, – идея изначально порочная и с научной, и с этической точки зрения. На ее автора мы смотрим с легким отвращением и считаем признаком нравственного прогресса, что мы оставили гальтоновское учение позади. Но, пожалуй, напрасно мы так самодовольны. В новую эру генной инженерии стало очевидно, что евгенические соблазны никуда не делись, они просто приняли новую форму, сопротивляться которой, скорее всего, окажется труднее. И если бесчеловечная идея соблазнила даже Гальтона – такого, каким мы его представляем себе, человека талантливого и глубоко порядочного, – понять, где он сбился с пути, нам интересно отнюдь не только с исторической точки зрения.

Фрэнсис Гальтон, по словам своего биографа Мартина Брукса, «явился в мир в пору Веллингтона и Ватерлоо, а покинул его на заре эпохи автомобилей и аэропланов». Родился он в 1822 году в состоятельной и знатной квакерской семье: его дедом по матери был Эразм Дарвин, известный врач и ботаник, писавший стихи о сексуальной жизни растений. Юного Фрэнсиса холили и лелеяли. Ребенком он простодушно радовался, что развит не по летам: «Мне всего четыре года, а я могу прочитать любую книгу на английском языке. Я знаю все латинские существительные и прилагательные и активные глаголы и 52 строчки латинских стихов вдобавок. Я могу сложить любые числа и умею умножать на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10. Еще я знаю наизусть таблицу пересчета пенсов в шиллинги и фунты. Я немного читаю по-французски и умею узнавать время по часам». Когда Гальтону исполнилось шестнадцать, отец решил, что он должен делать карьеру в медицине, по примеру выдающегося деда. Фрэнсиса отправили на обучение в больницу, однако вопли больных на операционном столе в те времена, когда об анестезии еще не знали, отвратили его от врачебной профессии. Юноша обратился за советом к своему двоюродному брату Чарльзу Дарвину, который как раз вернулся из плавания вокруг света на «Бигле», и получил рекомендацию «бросить все и изучать математику». Тогда он поступил в Кембридж и даже успел изобрести там «вразумляющую машинку», которая капала водой на голову отвлекавшегося преподавателя, но вскоре у него от переутомления случился нервный срыв.

Вся дальнейшая жизнь Гальтона была чередованием периодов лихорадочной интеллектуальной деятельности и нервического упадка сил. Однако когда Гальтону было 22 года, умер его отец, и Гальтону больше не приходилось зарабатывать на жизнь. Получив солидное наследство и освободившись от бремени отцовских требований, он предался аристократическому гедонизму. В 1845 году он отправился в экспедицию по Нилу для охоты на бегемотов (оказалось, что стрелок из него никудышный), затем пересек Нубийскую пустыню на верблюдах. Продолжив путешествие по Ближнему Востоку, он самостоятельно выучил арабский и, судя по всему, заразился венерической болезнью от проститутки – это, вероятно, объясняет, почему молодой человек резко охладел к женщинам.

На карте мира того времени было еще много обширных белых пятен, и их исследование считалось достойным занятием для такого богатого викторианского холостяка. В 1850 году Гальтон отправился в Северную Африку и организовал экспедицию в глубь материка, куда еще не ступала нога белого человека. Перед отправлением он приобрел на Друри-лейн бутафорскую корону, которую намеревался водрузить на голову «самого великого или самого далекого властелина, который мне встретится». К тяжелым условиям Гальтон подготовился плохо и на ходу изобретал, как быть с изнурительным зноем, недостатком воды, воинственными племенами, набегами львов, которые пожирали его мулов и лошадей, с постоянно ломающимися повозками, жуликами-проводниками и местными помощниками, у которых были свои диетические предрассудки, поэтому никак не удавалось устроить совместную трапезу из экспедиционных запасов, состоявших из овец и свиней. Гальтон вел методические наблюдения и научился мастерски пользоваться секстантом, а как-то раз применил этот навигационный инструмент, чтобы на расстоянии измерить изгибы особенно роскошной туземки – «готтентотской Венеры».

Кульминацией этого путешествия стала встреча с царем Нангоро, вождем племени, который среди местных жителей прославился как самый толстый человек в мире. Нангоро восхищался белой кожей и прямыми волосами англичанина, и ему было приятно, когда его увенчали безвкусной бутафорской короной. Но потом Гальтон совершил непростительную оплошность. Король прислал к гостям в палатку свою племянницу, умащенную маслом и красной охрой, для утех на ночь, а Гальтон как раз облачился в свою единственную чистую рубашку из белого льна. Он обнаружил, что нагая принцесса «оставляет на всем, к чему прикасается, такой же след, как хорошо смазанный вал печатного станка… и я выставил ее вон без особых церемоний».

Чудачества Гальтона прославили его, и по возвращении в Англию тридцатилетний естествоиспытатель попал в газеты и получил золотую медаль Королевского географического общества. Он написал бестселлер о выживании в африканских бушах и решил, что приключений с него довольно. Гальтон был по-прежнему красавец мужчина, хотя быстро лысел (для компенсации он отрастил пышнейшие бакенбарды), и нашел себе жену – женщину довольно простой наружности, зато из семьи, славившейся интеллектуальными достижениями. Детей у них, правда, не было (вероятно, Гальтон стал бесплодным из-за венерической болезни). Гальтон приобрел особняк в Южном Кенсингтоне, неподалеку от множества клубов и обществ, к которым он теперь принадлежал, и стал вести жизнь ученого-дилетанта. Он всегда считал, что его подлинное призвание – меры и веса. Поэтому он проводил сложные эксперименты по науке заваривания чая и выводил формулы идеальной чашки. Поставил себе цель рассчитать общий объем золота в мире и к собственному изумлению обнаружил, что это значительно меньше, чем объем его столовой.

В дальнейшем он все-таки нашел себе область интересов, имеющую практическое применение: погоду. Метеорологию в те дни едва ли можно было назвать наукой. Попытки первого главного синоптика при британском правительстве предсказывать погоду были встречены таким градом насмешек, что он в конце концов перерезал себе горло. Гальтон проявил инициативу и собрал отчеты о погодных условиях со всей Европы, а потом составил прототип современной погодной карты. Кроме того, он обнаружил новую интересную метеорологическую закономерность, которую назвал антициклоном – сегодня ее называют еще областью высокого давления или барическим максимумом. Так бы Гальтон и провел остаток дней тихо-мирно в амплуа джентльмена-ученого третьего ряда, если бы не одно драматическое событие – публикация «Происхождения видов» Дарвина в 1859 году. Чтение книги двоюродного брата преисполнило Гальтона ощущением ясности цели. Особенно его поразила одна мысль: чтобы показать, как естественный отбор формирует виды, Дарвин привел в пример разведение домашних животных и растений в фермерских хозяйствах для улучшения породы. И у Гальтона появилась мечта: может быть, и человеческую эволюцию удастся направить подобным образом? «Если выделить на улучшение человеческой расы двадцатую часть затрат и усилий, которые расходуются на улучшение пород лошадей и скота, какое созвездие гениев мы породили бы!» – писал он в журнальной статье 1864 года, которая стала увертюрой к его евгеническим изысканиям (само слово «евгеника» – от древнегреческого слова, означающего «благородный» – он ввел в обращение лишь двадцать лет спустя).

Гальтон зашел гораздо дальше Дарвина, который думал в основном об эволюции физических качеств, например, глаз и крыльев, и применил ту же наследственную логику к качествам характера – в том числе к таланту и добродетели. Это сделало его противником философской ортодоксии того времени, придерживавшейся взглядов Джона Локка, Дэвида Юма и Джона Стюарта Милла, которые были убеждены, что разум человека – чистая доска, исписанная опытом. «Я категорически против гипотез, которые иногда высказывают и очень часто применяют, особенно в нравоучительных детских сказках, – писал Гальтон, – что все младенцы примерно одинаковы и единственная причина различий между одним мальчиком и другим, между одним человеком и другим – последовательное воспитание и моральные усилия».

Именно Гальтон впервые занялся глубоким исследованием роли природы и воспитания в формировании личности, которую обсуждают и в наши дни. (Упоминали об этом, конечно, и раньше, вспомним хотя бы шекспировскую «Бурю», где Просперо сокрушается, что его приемный сын Калибан «прирожденный дьявол, и напрасны / Мои труды и мягкость обращенья» (пер. М. Донского), однако Гальтона считают автором афоризмаnature versus nurture – «природа против воспитания».) Почему же Гальтон был так уверен, что таланты и темперамент человека определяются в первую очередь природой и лишь затем воспитанием? Мысль об этом пришла ему в голову еще в Кембридже, когда он заметил, что у лучших студентов в семье были люди, которые тоже преуспевали в учении в том же университете, и он заключил, что подобные династии – едва ли случайное совпадение. Путешествия лишь укрепили его воззрения, поскольку он своими глазами наблюдал, по его словам, «ментальные особенности разных рас».

Гальтон честно пытался подтвердить свою веру в главенство природы над воспитанием надежными данными. В своей книге «Наследственный гений» (Hereditary Genius), вышедшей в 1869 году, он приводит длинные списки «выдающихся» людей, судей, поэтов, ученых, даже гребцов и борцов, чтобы подтвердить, что таланты передаются по наследству. Предвосхищая возражения, что за этим стоит не биология, а социальные привилегии, он приводил в пример приемных сыновей римских пап в качестве своего рода контрольной группы. Его убежденность, что ментальные способности в основном наследственны, вызвала много скептических отзывов, однако произвела сильное впечатление на Дарвина. «В каком-то отношении вы превратили оппонента в союзника, – писал он Гальтону, – поскольку я всегда считал, что все люди, не считая дураков, по интеллекту примерно одинаковы, разница лишь в рвении и трудолюбии». Но это было только начало деятельности Гальтона. Чтобы добиться практического воплощения своей генетической утопии, ему нужно было больше узнать о механизмах наследования, а без таких знаний даже самый строгий надзор над браком и деторождением мог и не привести к долгожданному улучшению человеческой породы. Так вера в евгенику заставила Гальтона искать закон наследования. А это, в свою очередь, подтолкнуло к статистике.

В то время статистика была занятием безотрадным – настоящей свалкой из данных переписей населения, записей по торговым сделкам и так далее. Ничего интересного с математической точки зрения в ней не было, кроме одного – кривой нормального распределения. Как ни удивительно, кривая нормального распределения (она же гауссово распределение или просто гауссиана) первой появилась в астрономии. В XVIII веке астрономы заметили, что ошибки в их измерениях положения планет подчиняются особой закономерности. Данные симметрично распределялись в окрестностях истинного значения, большинство – совсем рядом с ним, а чем дальше по обе стороны, тем меньше. Если нанести распределение ошибок на график, получалась кривая, похожая на колокол. В начале XIX века бельгийский астроном Адольф Кетле заметил, что тот же «закон погрешности», который обнаружился в астрономии, применим и ко многим другим феноменам, связанным с жизнью и деятельностью человека. В частности, он собрал сведения об обхвате груди пяти тысяч солдат-шотландцев и обнаружил, что при нанесении на кривую нормального распределения все данные группировались вокруг среднего обхвата груди – около 100 сантиметров.

Почему же гауссиана так вездесуща? Математика дает ответ. Она всегда возникает там, где какая-то переменная (рост человека) определяется множеством мелких причин (гены, питание, здоровье и пр.), которые мало зависят друг от друга. С точки зрения Кетле кривая распределения давала случайные девиации от некоего платоновского идеала, который он называлl’homme moyen – «средний человек». Когда Гальтон наткнулся на работы Кетле, то пришел в восторг, поскольку увидел кривую нормального распределения под новым углом: она описывала не случайности, которыми стоило пренебречь, а отличия, выявляющие вариабельность, на которой строится эволюция. Его путь к открытию законов, управляющих передачей этих различий из поколения в поколение, привел к формулировке двух понятий, которые по праву считают величайшим даром Гальтона науке. Это регрессия и корреляция.

Хотя в основном Гальтон интересовался наследованием психических качеств, в том числе интеллекта, он отдавал себе отчет, что их трудно измерить. Поэтому он сосредоточился на физических особенностях, в частности, на росте. В то время знали только один закон наследственности – подобное порождает подобное. У высоких родителей рождаются высокие дети, у маленьких – маленькие. Но частные случаи предсказать невозможно. В 1884 году Гальтон в надежде выявить более масштабную закономерность организовал в Лондоне «антропометрическую лабораторию». Тысячи людей, привлеченные его славой, стекались туда и покорно позволяли измерить их рост, вес, время реакции, силу рывка, восприятие цвета и так далее. Среди посетителей был и Уильям Гладстон, тогдашний премьер-министр. «Мистер Гладстон отчего-то особенно настаивал, чтобы измерили его голову… впрочем, ее обхват оказался не так уж и велик», – отмечал Гальтон, гордившийся своим массивным лысым черепом.

Собрав данные о 205 парах родителей и 928 их взрослых детях, Гальтон нанес точки на график, отложив рост родителей по одной оси, а рост детей по другой. Затем он начертил прямую линию сквозь облако точек, чтобы ухватить отображаемую тенденцию. Оказалось, что наклон этой линии составляет две трети. Гальтон истолковал это так, что дети особенно высоких (или маленьких) родителей сохраняют эту особенность лишь на две трети. Иначе говоря, если речь идет о росте, то дети больше тяготеют к средним показателям, чем родители. То же самое, как отметил Гальтон много лет назад, относится и к «выдающимся способностям». Например, дети И. С. Баха были одарены музыкально выше среднего, но меньше своего отца. Гальтон назвал это явление «регрессией к посредственности».

Регрессионный анализ обеспечил нам возможность предсказывать одно (рост ребенка) по другому (росту родителей). А когда оказалось, что одно с другим связано неоднозначно, Гальтон придумал меру силы таких неоднозначных отношений, которую можно было применять даже в случаях, когда природа описываемых явлений была разной – например, осадки и урожайность, курение и рак легких, размер класса и успеваемость учеников. Этот более общий способ Гальтон назвал «корреляция».

Все это привело к понятийному прорыву. До того наука была по большей части ограничена детерминистскими законами причинно-следственных связей. Найти такие законы в мире биологии не так-то просто, поскольку причин там всегда много и отделить одну от другой невозможно. Благодаря Гальтону статистические законы начали пользоваться уважением в научном мире. Открытие регрессии к посредственности, или регрессии к среднему значению, как принято теперь говорить, получило еще более широкий резонанс. Питер Бернстайн в своей книге 1996 года «Против богов. Укрощение риска» писал: «Тенденция к усреднению… является важнейшей статистической закономерностью, имеющей отношение ко многим аспектам управления риском» (пер. А. Марантиди). По словам Бернстайна, она лежит в корне множества жемчужин народной мудрости: «Чем выше залезешь, тем больнее падать», «На детях гениев природа отдыхает», «Перед рассветом ночь всего темнее» и так далее.

Все же идея регрессии при всей своей очевидности оказалась хитрой ловушкой и для простаков, и для интеллектуалов. Чаще всего недоразумения связаны с тем, что регрессия к среднему не предполагает зависимости от времени. Если у очень высоких родителей рождаются просто высокие дети, а у очень маленьких – просто маленькие, не значит ли это, что в итоге все будут одного роста? Нет, не значит, поскольку регрессия действует не только вперед во времени, но и назад: у очень высоких детей родители обычно несколько ниже ростом, а у очень маленьких несколько выше.

Чтобы преодолеть этот мнимый парадокс, нужно в первую очередь осознать, что регрессия к среднему возникает, когда устойчивые факторы, которые можно назвать навыком, случайно смешиваются с сиюминутными факторами, которые можно назвать удачей. Возьмем, к примеру, спорт, где регрессия к среднему зачастую ошибочно принимается за провал. Лучшие бейсболисты, сумевшие за последний сезон набрать 300 очков, достигли этого благодаря сочетанию навыка и везения. Одни из них – и вправду гении, у которых выдался средненький год, но подавляющее большинство – просто хорошие спортсмены, у которых выдался удачный год. Нет никаких причин, по которым и в следующем году им так же повезет, и именно поэтому у 80 % из них на следующий год показатели снизятся.

Принимать регрессию за реальную силу, которая заставляет талант или другое качество со временем уменьшаться – а это распространенное заблуждение – значит делать так называемый регрессивный ложный вывод, он же ложный вывод Гальтона. В 1933 году профессор Северо-Западного университета Хорес Секрист издал пример такого ложного вывода размером с целую книгу под названием «Триумф посредственности в бизнесе» (Sekrist, H.,The Triumph of Mediocrity in Business), где утверждал, что поскольку высокоприбыльные фирмы имеют тенденцию терять прибыльность, а совсем неприбыльные становятся менее неприбыльными, все фирмы скоро станут средними по прибыльности. Несколько десятков лет назад ВВС Израиля пришли к выводу, что мотивировать пилотов лучше выговорами, чем похвалой, поскольку плохие пилоты, если сделать им выговор, впоследствии совершают посадки лучше, а хорошие, если их похвалить, – хуже (а теперь вдумайтесь, что из-за регрессивного ложного вывода все мы, вероятно, склонны считать, что кнут лучше пряника!) В 1990 году автор редакционной статьи в «Нью-Йорк Таймс» ошибочно утверждал, что одной только регрессии к среднему достаточно, чтобы со временем стерлись расовые различия в коэффициенте интеллекта.

Не стал ли сам Гальтон жертвой ложного вывода Гальтона? Мартин Брукс в биографии Гальтона «Крайние меры» (Brookes, M.,Extreme Measures) утверждает, что именно это с ним и произошло. «Гальтон совершенно ошибочно истолковал собственные результаты, касающиеся регрессии, – пишет Брукс. – Средний рост у людей с каждым поколением не имеет тенденции увеличиваться. Но Гальтон полагал, что регрессия доказывает обратное». Хуже того, утверждает Брукс, именно путаница по поводу регрессии подтолкнула Гальтона к тому, чтобы отказаться от дарвинистских представлений об эволюции в пользу евгеники – экстремистской и дурно пахнущей. Предположим, регрессия на самом деле действует как гравитация и постоянно притягивает отдельных особей к средним показателям по популяции. Тогда из этого следует, что эволюция не могла происходить в виде постепенных мелких изменений, какой ее видел Дарвин. Для нее требовались бы крупные одномоментные изменения, которые почему-то не поддавались бы регрессии к среднему. Гальтон полагал, что такие скачки приводили бы к возникновению совершенно новых организмов, «природных отклонений», которые смещали бы всю кривую нормального распределения способностей. А чтобы евгеника привела к успеху, она должна была действовать так же, как эволюция. Иначе говоря, природные отклонения нужно было бы задействовать в качестве производителей для новой породы. Только тогда удастся преодолеть регрессию и добиться прогресса.

Но все же Гальтон заблуждался не так сильно, как представляет это его биограф Брукс. У Гальтона ушло почти двадцать лет на то, чтобы разобраться во всех тонкостях регрессии, а это достижение, по словам Стивена М. Стиглера, историка из Чикагского университета, «следует ставить в один ряд с величайшими индивидуальными достижениями в истории науки, на один уровень с открытием кровообращения, которое совершил Уильям Гарвей, и с опытами по разложению света, которые проделал Ньютон». К 1889 году, когда Гальтон опубликовал свою самую влиятельную книгу «Природа наследования» (Natural Inheritance), он уже почти окончательно уяснил для себя, что такое регрессия. Он знал, что к жизни и наследственности она имеет мало отношения. Знал, что она не зависит от времени (регрессия к среднему отмечалась, по его наблюдениям, даже среди братьев: братья очень высоких мужчин, как правило, были несколько ниже ростом). В сущности, как Гальтон сумел показать при помощи изящного геометрического доказательства, регрессия – это вопрос чистой математики, а не эмпирическая сила. А чтобы не осталось никаких сомнений, он замаскировал наследование роста под задачу по механике и послал ее одному именитому кембриджскому математику, который, к восторгу Гальтона, подтвердил его находки. «Никогда еще не охватывало меня такое небывалое восхищение и уважение к высшей силе и величайшему могуществу математического анализа, как в тот миг, когда до меня дошел ответ», – писал Гальтон.

Закладывая основы для статистического изучения человеческой наследственности, Гальтон предавался и многим другим интеллектуальным изысканиям, иногда важным, иногда просто эксцентричным. Он изобрел подводные очки, позволявшие ему читать, погрузившись в ванну, и велосипедный спидометр, который (как описывает Брукс), состоял «всего-навсего из таймера для варки яиц, который велосипедист должен был держать в руке, подсчитывая при этом обороты педалей». В число его научных статей – общим числом более трехсот – входили, например, «Обонятельная арифметика» (Arithmetic by Smell) и «Земляника как лекарство от подагры» (Strawberry Cure for Gout). Он спровоцировал жаркие споры, применив статистику для исследования действенности молитв (и заключил, что обращения к Господу не в силах защитить человека от болезней). Пытался, как видно, не без успеха, вызвать у себя временное помешательство, гуляя по Пикадилли и воображая, будто все и всё кругом – шпионы. Вдохновленный сближением Марса и Земли, он изобрел небесную сигнальную систему, чтобы наладить сообщение с марсианами. Были у него и более практические цели – он подвел строгую научную основу под только что зародившуюся практику изучения отпечатков пальцев, предложив классификацию узоров и доказав, что не бывает двух одинаковых отпечатков пальцев – огромный шаг вперед для викторианской полиции. Он составил первый психологический тест, который разослал ученым, чтобы те оценили, насколько сильное у них воображение. Кроме того, он изобрел метод свободных ассоциаций и с его помощью исследовал собственное подсознание за десятки лет до Фрейда.

Настал XX век, а Гальтон продолжал свою бурную деятельность. В 1900 году престиж евгеники сильно укрепился, поскольку была заново открыта работа Грегора Менделя по наследственности у горошка. Наследственный детерминизм внезапно приобрел статус научного явления. Гальтона мучила астма (и он лечился курением гашиша), он терял слух, но тем не менее прочел пространную лекцию о евгенике в Социологическом обществе в 1904 году. «То, что природа делает слепо, медленно и безжалостно, человек будет делать осмотрительно, быстро и милосердно», – объявил он. Международное евгеническое движение набирало силу, и Гальтон стал его героем. В 1909 ему пожаловали рыцарский титул. Два года спустя он скончался в возрасте восьмидесяти восьми лет.

За свою долгую карьеру Гальтон так и не приблизился к доказательству главной аксиомы евгеники: во всем, что касается талантов и добродетелей, природа доминирует над воспитанием. Однако в ее истинности он не сомневался, и многие ученые разделяли его убежденность. Сам Дарвин в книге «Происхождение человека и половой подбор» писал: «и мы знаем теперь, благодаря превосходным работам Гальтона, что гений… стремится быть переданным по наследству»⁸. С учетом этой аксиомы, можно воплотить евгенику на практике двумя способами: «положительная» евгеника (поощрять размножение «высших») и «отрицательная» евгеника (ограничивать размножение «низших»). В целом Гальтон стоял за положительную евгенику. Он подчеркивал важность ранних браков и высокой фертильности среди генетической элиты и фантазировал о роскошных свадьбах в Вестминстерском аббатстве за государственный счет, где посаженой матерью невесты в качестве дополнительного стимула была бы королева. Гальтон всегда был ярым противником религии, и его глубоко возмущало, что католическая церковь столетиями требовала обета безбрачия от своих самых одаренных приверженцев. (Дисгенические результаты целибата среди духовенства, по мнению Гальтона, особенно очевидны по истории упадка Испании.) Он надеялся, что распространение учения о евгенике заставит людей одаренных осознать, что они обязаны размножаться ради блага человечества, но при этом не считал, что евгеника должна ограничиваться моральным убеждением. Гальтона тревожило, что беднота в промышленных районах Британии размножается непропорционально сильно, и он требовал, чтобы бедняков лишили благотворительной поддержки, перенаправив ее на «желательные классы». Чтобы предотвратить «свободный рост популяции, всерьез пораженной невменяемостью, слабоумием, рецидивирующей преступностью и нищетой», он призывал к «суровому принуждению», в том числе к контролю за браками и даже к стерилизации.

Но евгенические меры Гальтона были еще мягкими по сравнению с тем, что предлагали его знаменитые современники, отстаивавшие его дело. Например, Г. Дж. Уэллс был ярым сторонником негативной евгеники и утверждал, что «путь к улучшению человеческой расы лежит не через отбор удачных особей, а через стерилизацию неудачных». Джордж Бернард Шоу отстаивал идею евгенического секса как альтернативы ненаучному размножению в браке. «Нам необходимо, чтобы люди, видящие друг друга впервые в жизни и не собирающиеся встречаться впредь, при соблюдении определенных общественных условий зачинали детей, не теряя чести», – писал Шоу.

Хотя Гальтон был консерватором, его кредо показалось соблазнительным и самым прогрессивным деятелям – Гарольду Ласки, Джону Мейнарду Кейнсу, Сиднею и Беатрисе Вебб. Американские ученики Гальтона основали Гальтоновское общество в Нью-Йорке, заседания которого регулярно проходили в Американском музее естественной истории, а популяризаторы настроили в пользу евгеники все остальное население страны. «Сколько еще нам, американцам, заботиться о чистоте породы наших свиней, кур и коров, оставляя наследственность собственных детей на милость случая или слепого чувства?» – вопрошал плакат на выставке в Филадельфии.

За четыре года до смерти Гальтона законодательный орган штата Индиана принял первый закон о принудительной стерилизации, «дабы воспрепятствовать размножению осужденных преступников, идиотов, слабоумных и насильников». Вскоре примеру Индианы последовало большинство остальных штатов. В 1927 году Оливер Уэнделл Холмс-младший, оглашая вердикт Верховного суда, подтвердил правомерность решения виргинского суда, который применил закон о насильственной стерилизации к молодой женщине, чью мать признали слабоумной, после того, как подсудимая родила дочь, также признанную слабоумной, и сказал при этом: «Нам вполне достаточно трех поколений неполноценных».

В совокупности американские суды вынесли около 60 тысяч решений о принудительной стерилизации граждан, признанных низшими с евгенической точки зрения. Огромное число подобных приговоров вынесено и в Канаде, и в Швеции, и в Норвегии, и в Швейцарии (хотя, что примечательно, в Великобритании такой практики не было). Когда евгеническое движение захватило остальную Европу и Латинскую Америку и докатилось до Японии, программа Гальтона, по словам историка Дэниела Кивлеса, произвела революцию в масштабах планеты.

Самые чудовищные формы евгеника приобрела в Германии. Целью Гальтона было улучшение человечества в целом, и хотя он разделял расовые предрассудки, распространенные в викторианскую эпоху, понятие расы в его теориях особой роли не играло. А немецкая евгеника, напротив, быстро переродилась вRassenhygiene – «расовую гигиену». Немецкие борцы за чистоту расы полагали, что арийская раса должна доминировать над остальными, «низшими», и нельзя допускать, чтобы ее генетический материал ухудшался из-за беспрепятственного размножения неподходящих особей. При Гитлере насильственной стерилизации подверглись почти 400 000 человек, страдавших алкоголизмом, шизофренией и слабоумием, поскольку эти расстройства считались наследственными. Потом таких просто убивали. Нацисты прибегали и к «положительным» евгеническим мерам – программа Lebensborn («Источник жизни») поощряла незамужних женщин, соответствовавших самым строгим расовым стандартам, вступать в связь с членами СС в надежде получить арийское потомство высочайшего качества.

Фашистские эксперименты по расовой биологии вызвали отвращение к евгенике, которое, в сущности, и положило конец этому движению. Генетики сочли евгенику псевдонаукой – и за преувеличение роли наследственности в развитии личности и интеллекта, и за наивные представления о сложном загадочном взаимодействии различных генов, определяющих те или иные человеческие черты. В 1966 году британский генетик Лайонел Пенроуз отметил, что «наши представления о человеческих генах и их действии так поверхностны, что формулировать конкретные принципы улучшения человеческой породы глупо и самонадеянно».

С той поры наука узнала о геноме человека гораздо больше, а прогресс в биотехнологии дал нам право голоса в генетике нашего потомства. Например, дородовые обследования могут сообщить родителям, что их нерожденный ребенок страдает генетическим заболеванием – синдромом Дауна или болезнью Тея – Сакса, после чего родителям предлагается сделать зачастую мучительный выбор – рожать ребенка или прервать беременность. Еще больше контроля дает методика «селекции эмбрионов». Методом искусственного оплодотворения из яйцеклеток и сперматозоидов родителей создают in vitro несколько эмбрионов, затем проводят их генетический анализ и имплантируют в материнскую матку тот, чьи характеристики оказались лучше всех. Обе эти техники можно отнести к негативной евгенике, поскольку при обследовании выявляются гены, связанные с болезнями, а потенциально – и с другими особенностями, которые родители считают нежелательными, будь то низкий интеллект, ожирение, гомосексуальность или облысение. А возрождение положительной евгеникиá la Гальтон можно усмотреть в применении репродуктивных техник, связанных с донорством спермы и яйцеклеток. В газетах «Лиги плюща» появились рекламные объявления, сулящие до пятидесяти тысяч долларов донорам яйцеклеток с подходящими данными – например, высокими оценками за государственные экзамены или голубыми глазами – а «нордические» гены набрали такую популярность во всем мире, что в Дании находится один из крупнейших банков спермы на планете.

На горизонте маячит и еще более радикальная евгеника – такого не представлял себе даже Гальтон. Вскоре мы сможем формировать наследственность своих потомков, непосредственно вмешиваясь в генетический материал на уровне клеток, из которых возникает эмбрион. Эта методика, так называемое редактирование зародышевой линии, в последние годы уже опробована на нескольких видах млекопитающих благодаря появлению новейшей технологииCRISPR (англ. clustered regularly interspaced short palindromic repeats – «короткие палиндромные повторы, регулярно расположенные группами») для целевого редактирования генов. Сторонники редактирования зародышевой линии утверждают, что вскоре оно станет доступным и для людей, это вопрос времени. Как правило, терапию зародышевой линии оправдывают тем, что она исключает генетические болезни и расстройства не только у человека, который родится с измененными генами, но и у всех его потомков. Но ведь ее можно использовать и для «улучшения породы». Если, например, исследователи выявят гены, связанные с повышенным интеллектом, спортивными талантами, счастьем, редактирование зародышевой линии позволит родителям евгенически подправлять своих детей в этом отношении. Более осторожные сторонники редактирования зародышевой линии утверждают, что его будут применять только для исправления генетических дефектов, а противники опасаются, что оно толкнет нас на скользкую дорожку евгенического «улучшения». Ведь если ребенка, обреченного на ненормально низкий интеллект, можно «излечить» манипуляциями с зародышевой линией, какие родители устоят перед искушением при помощи той же манипуляции добавить два-три десятка очков к нормальному IQ своего будущего отпрыска?

Гальтоновская евгеника была ошибочной, поскольку основывалась на плохих научных данных и применялась насильственно. Но цель Гальтона – избавить человечество от варварства – была вовсе не низменной. А новая евгеника, напротив, основана на относительно точных, пусть и далеко не полных, научных данных и вовсе не насильственна – ее можно назвать евгеникойlaissez-faire, поскольку решения о генетическом «улучшении» детей будут принимать только родители. Более того, единственное принуждение, о котором раздумывают в этой связи, – это запрет подобных технологий на уровне государства, который способствовал бы сохранению естественного порядка вещей в генетике. В Европе, в отличие от США, манипуляции с зародышевой линией уже запрещены.

Туманна с моральной точки зрения именно цель новой евгеники. Если ее технологии применяются для генетического обогащения детей в соответствии с желаниями родителей (и их финансовыми возможностями), результатом может стать возникновение класса «генетических богатеев», которые будут умнее, здоровее и красивее «натуралов». Идеал «улучшения» отдельного человека, а не биологического вида – вот что составляет резкий контраст с гальтоновским представлением о евгенике.

«Улучшение нашей породы – одна из высочайших целей, какие только можно поставить перед собою, – объявил Гальтон в своем обращении о целях евгеники в 1904 году. – Мы не представляем себе, какой будет дальнейшая судьба человечества, но не сомневаемся, что труды по ее улучшению не менее благородны… и позором было бы отказаться от них». Вероятно, правильным было бы по примеру Мартина Брукса отмахнуться от этих слов как от «пустых проповедей». Но если сопоставить слова Гальтона с разговорами о «пост-человеческом» будущем дизайнерских детей, которые ведут новые евгеники, в них видится некоторая правда. Ведь у Гальтона, в отличие от наших современников, есть одно оправдание: он не мог даже представить себе, к чему приведет евгеника в историческом масштабе.

Часть третья. Математика чистая и нечистая

Глава шестая. Роман с математикой

Для всякого, кто изучал хоть что-нибудь из высшей математики, нет ничего естественнее, чем применить к ней слово «красота». Математическая красота, подобная, скажем, красоте позднего бетховенского квартета, складывается из странности и неотвратимости. Абстракции с простыми определениями выявляют скрытые сложности и прихотливые повороты. Между никак не связанными на первый взгляд структурами обнаруживаются загадочные соответствия. Возникают навевающие жуть закономерности – и они навевают жуть даже после того, как их объясняют строгой логикой.

Эти эстетические впечатления до того сильны, что один великий математик – Г. Г. Харди – даже провозгласил подлинным оправданием для существования математики именно красоту, а не полезность. Для Харди математика была в первую очередь искусством, творчеством. «Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике», – писал он в своей классической книге «Апология математика», вышедшей в 1940 году.

Как же следует реагировать человеку, столкнувшемуся с красотой математики? Ощутить удовольствие – это несомненно; возможно, еще и благоговение. Томас Джефферсон на 66-м году жизни писал, что размышление над математическими истинами помогает ему «коротать утомительные годы заката жизни». Бертран Рассел, который в автобиографии не без мелодраматизма утверждал, что не покончил с собой лишь потому, что хотел дальше изучать математику, писал, что она обладает «красотой холодной и строгой, подобной красоте скульптуры… возвышенно чистой и способной к суровому совершенству». У многих других красота математики вызывает гораздо более теплые чувства. Вероятно, о чем-то таком писал и Платон в «Пире». Там Сократ рассказывает собравшимся у пиршественного стола гостям, как жрица Диотима посвятила его в тайны Эрота – так греки называли желание во всех его разновидностях. Одна из форм Эрота – сексуальное желание, возбуждаемое физической красотой конкретного любимого человека. По словам Диотимы, такая разновидность – низшая. Однако Эрот, отточенный философией, способен распространяться на все более высокие объекты. И предпоследний из них, непосредственно перед платоновской идеей самой Красоты – вечная и совершенная красота, открываемая математическими науками. У того, кто способен оценить ее, возникает желание ее воспроизвести – не биологически, а интеллектуально, «разрешиться от бремени» прекрасными идеями и теориями. С точки зрения Диотимы, как, должно быть, и самого Платона, на красоту математики следует отвечать той формой Эрота, которую мы зовем любовью (бессмысленное, но интересное совпадение: ближе к концу «Апологии математика» Г. Г. Харди рассказывает, что на красоту математики ему открыл глаза кембриджский профессор по фамилииLove – «Любовь»).

Вот, к примеру, Эдуард Френкель, русский вундеркинд-математик, который стал гарвардским профессором в 21 год, а сейчас преподает в Беркли, – непоколебимый платоник. Эротом проникнута его очаровательная книга воспоминаний «Любовь и математика» – своего рода платоновское любовное письмо математике. В детстве красота математики поразила Френкеля в самое сердце. А когда, не достигнув и двадцати, он совершил новое математическое открытие, это было «как первый поцелуй». Математика была его страстью и приносила ему радость даже тогда, когда казалось, что он никогда ничего не достигнет в мире науки из-за антисемитизма, царившего в СССР.

Френкель хочет, чтобы эту радость и эту страсть разделили все. Но тут возникает некоторое препятствие. Математика – наука трудная и абстрактная, ее красота большинству из нас, похоже, недоступна. По словам немецкого поэта Ханса Магнуса Энценсбергера, математика – «слепое пятно нашей культуры, чуждая территория, куда смогла проникнуть лишь элита, лишь немногие посвященные». Даже высокообразованные люди не без гордости признают, что ничего не смыслят в математике. Беда в том, что никто не познакомил их с ее шедеврами. Математика, которую преподают в школе и даже в колледже (скажем, введение в математический анализ), в основном стара – ей сотни и даже тысячи лет – и по большей части предполагает решение скучных задач при помощи трудоемких вычислений.

Между тем математики в наши дни в основном занимаются совсем другим. Примерно в середине XIX века в математике произошла своего рода революция: центр внимания сместился с вычислений на научной основе к свободному созданию новых языков и новых структур. Математические доказательства при всей своей строгой логике стали больше похожи на повествования с основным сюжетом, боковыми ответвлениями, поворотами и развязками. Такой математики большинство из нас никогда не видели. Да, она подчас обескураживает. Но великие произведения искусства, даже трудные, зачастую являют свою красоту даже непосвященным. Фуга Баха трогает даже тех, кто не знаком с теорией контрапункта.

Увлечение красотой высшей математики привело к тому, что Френкель и сам сыграл важную роль в самой увлекательной математической драме последних пятидесяти лет – в программе Ленглендса. Эту программу разработал в шестидесятые годы прошлого века канадский математик Роберт Ленглендс, работавший тогда в Институте передовых исследований в Принстоне (и унаследовавший кабинет Эйнштейна). Она претендует на звание теории великого объединения. По словам Френкеля, она содержит «исходный код всей математики». Однако за пределами математического сообщества о ней мало кто знает. Более того, о программе Ленглендса не знало большинство профессиональных математиков даже в девяностые, когда она оказалась задействована в доказательстве последней теоремы Ферма, ставшем сенсацией. А с тех пор она вышла за пределы чистой математики и вторглась в царство теоретической физики.

Френкель вырос в годы брежневского застоя в промышленной Коломне примерно в 100 километрах от Москвы. «В школе я ненавидел математику, – пишет он. – Меня восхищала физика, особенно квантовая физика». Подростком он поглощал научно-популярные книги по физике с их соблазнительными рассказами о субатомных частицах – адронах и кварках. Френкелю не давал покоя вопрос, почему фундаментальные частицы так головокружительно разнообразны, почему они распадаются на семейства определенных размеров. Ясность наступила лишь тогда, когда его родители, оба инженеры, устроили ему встречу со своим старым другом-математиком⁹. Математик объяснил ему, что порядок и логику в строительный материал вещества вносит так называемая «группа симметрий» – математический зверь, с которым Френкель в школе не сталкивался. «Это был момент прозрения, – вспоминает он. – Книги Евгения Евгеньевича открыли передо мной абсолютно другой мир, о существовании которого я даже не подозревал».

С точки зрения математика группа – это набор действий или операций, которые правильным образом сочетаются друг с другом. Что такое «правильным образом», объясняют четыре аксиомы теории групп, определяющие алгебраическую структуру группы. Например, одна из аксиом гласит, что для любого действия в группе существует другое действие в группе, которое его отменяет.

Важная разновидность групп – это группасимметрий. Именно с такими группами и столкнулся Френкель. Представьте себе, что у вас посередине комнаты стоит квадратный карточный стол. Интуитивно понятно, что этот предмет мебели в чем-то симметричен. Как сделать это утверждение более точным? Если повернуть стол относительно центра ровно на 90 градусов, его внешний вид никак не изменится, и если кто-то вышел из комнаты и не видел, как стол поворачивают, то, вернувшись, не заметит никакой разницы (если на поверхности стола не было никаких пятен и царапин). То же самое верно, и если повернуть стол на 180, 270 и 360 градусов, причем в последнем случае стол опишет полный круг, а это эквивалентно тому, что его вообще не поворачивали.

Эти действия составляют группу симметрий карточного стола. Поскольку их всего четыре, группа конечна. Если бы стол был круглым, его группа симметрий была бы бесконечной, поскольку любой поворот – на 1 градус, на 45, на 132,32578 и т. д. – никак не повлиял бы на его внешний вид. Таким образом, группы – это способ измерить симметрию объекта: круглый стол с бесконечной группой симметрий симметричнее квадратного стола, чья группа симметрий состоит всего из четырех действий.

Однако (к счастью) дальше становится интереснее. Группы описывают симметрии, которые выходят за пределы простой геометрии, например, симметрии, скрытые в формуле или в семействе субатомных частиц. Подлинное могущество теории групп было впервые продемонстрировано в 1832 году, в письме к другу, которое наспех нацарапал двадцатилетний парижский студент и политический активист Эварист Галуа поздней ночью накануне гибели на дуэли (за честь женщины – и, весьма вероятно, от руки провокатора на службе правительства).

Эваристу Галуа открылся подлинно прекрасный способ обобщить понятие симметрии на мир чисел. Егоthéorie des groupes позволила решить классическую алгебраическую задачу, которая столетиями не давала покоя математикам, причем решение оказалось совершенно неожиданным. («Галуа не решал проблему… в том смысле, как об этом было принято думать. Он хакнул ее!», – пишет Френкель). Значение открытия Галуа выходит далеко за рамки задачи, которая стала его катализатором. Группы Галуа вездесущи в математической литературе, а сама идея группы зарекомендовала себя как, пожалуй, самое универсальное понятие в математике, проливающее свет на самые разные загадки. «Сомневаетесь – ищите группу!» – советовал великий Андре Вейль. Такое вот cherchez la femme в математике.

После такого «обращения» юный Френкель принялся изучать математику как одержимый («Именно так все и происходит, когда вы влюбляетесь»). Когда ему исполнилось 16 лет, настала пора поступать в университет. Идеальный вариант был очевиден – Московский государственный университет: его механико-математический факультет, сокращенно мехмат, был одним из ведущих центров по изучению чистой математики в мире. Однако дело было в 1984 году, за год до того, как Горбачеву предстояло прийти к власти, и все стороны жизни советского человека еще регулировала КПСС – в том числе и вопрос поступления в вуз. Отец Френкеля был евреем, и этого, как видно, оказалось достаточно, чтобы лишить его всякой возможности пробиться в МГУ (евреев крайне неохотно принимали во все сферы науки, так или иначе связанные с физикой; поговаривали, что государство опасается, что они наберутся знаний о ядерной программе, а потом эмигрируют в Израиль). Однако приемная комиссия сохраняла иллюзию честности и беспристрастности. Френкеля допустили до вступительных экзаменов, однако устный экзамен по математике обернулся пятичасовой садистической пыткой с абсурдными диалогами в духе Алисы в стране чудес. (Экзаменатор: «Каково определение окружности?» Френкель: «Окружность – это набор точек на плоскости, равноудаленных от данной точки». Экзаменатор: «Неправильно! Окружность – это наборвсех точек на плоскости, равноудаленных от данной точки».)

Утешительным призом для Френкеля стало место в Московском институте нефти и газа (который цинично именовали Керосинкой), служившем тихой гаванью для студентов-евреев. Но Френкель признается, что тяга к чистой математике была в нем так сильна, что он, чтобы попасть на семинары в МГУ, пробирался на тщательно охраняемую территорию мехмата сквозь шестиметровую ограду, где в одном месте был отогнут прут. Вскоре незаурядные способности стяжали Френкелю известность среди московских математиков, и ему поручили работу над нерешенной задачей, из-за которой он надолго оказался на грани бессонницы. «А потом внезапно это случилось… Впервые в своей жизни я обладал чем-то, чего не было большени у кого в мире», – вспоминает он. Задача, которую он решил, относилась к другой разновидности абстрактных групп – группам кос, которые так называются, поскольку возникают из систем сплетенных кривых, и в самом деле очень похожих на переплетенные пряди волос.

Несмотря на этот и другие успехи, которых Френкель достиг еще в юности, профессиональные перспективы для него как для квази-еврея были туманными. Однако его таланты привлекли внимание зарубежных математиков. В 1989 году в его почтовом ящике оказалось неожиданное письмо от Дерека Бока, президента Гарвардского университета. В письме было обращение «доктор», хотя у Френкеля еще не было даже диплома о высшем образовании. Ему предложили почетную стипендию в Гарварде. «Раньше мне уже доводилось слышать о Гарвардском университете, но, должен признаться, в то время я не понимал его значимости в научном мире», – вспоминает Френкель. В возрасте всего 21 года Френкелю предстояло стать приглашенным профессором математики в Гарварде – безо всяких официальных обязанностей, кроме необходимости время от времени читать лекции о своей работе. Не меньшим сюрпризом стало для него получение выездной визы СССР меньше чем за месяц: он стал одним из первых евреев-математиков, покинувших Советский Союз в эпоху перестройки (иногда эту волну называют исходом).

Адаптация к американскому образу жизни прошла у Френкеля достаточно гладко. Он дивился «капиталистическому изобилию» в проходах бостонского супермаркета, «приобрел крутейшие джинсы и плеерSony», а чтобы изучить английский во всех его иронических нюансах, прилежно смотрел каждый вечер телешоу Дэвида Леттермана. А главное – в Гарварде он познакомился с другим евреем-эмигрантом из СССР, который и пригласил его в программу Ленглендса.

Программа Ленглендса, как и теория Галуа, началась с письма. Это письмо написал в 1967 году Роберт Ленглендс, которому тогда было едва за тридцать, коллеге из Института передовых исследований Андре Вейлю. Ленглендс выдвинул гипотезу о глубокой аналогии между двумя теориями, находившимися на противоположных концах математической вселенной – теорией групп Галуа, которая касается симметрий в мире чисел, и гармоническим анализом, который изучает, как из простых гармоник (партий отдельных инструментов) складываются сложные волны (скажем, звуки симфонии). В мире гармоник есть определенные структуры, так называемые автоморфные функции, которые откуда-то «знают» о загадочных закономерностях мира чисел. Таким образом, методы одного мира, вероятно, можно задействовать для выявления скрытых гармоний в другом, предположил Ленглендс. Впрочем, добавил ученый, если Вейль сочтет высказанные в письме догадки неубедительными, «не сомневаюсь, у вас под рукой найдется мусорное ведро».

Однако Вейль, авторитетная фигура в математике XX века (он умер в 1998 году в 92 года), оказался благодарным слушателем. В письме к сестре Симоне, написанном в 1940 году, он живо описал всю важность аналогий в математике. Ссылаясь на «Бхагавадгиту» (Вейль был еще и специалистом по санскриту), Андре рассказал Симоне, что подобно тому, как индийский бог Вишну обладал десятью разными обличьями, простое на первый взгляд математическое равенство может выражаться в самых разнообразных абстрактных структурах. А тонкие аналогии между такими структурами он уподобил «внебрачным связям»: «мало что доставляет специалисту больше наслаждения». Между прочим, писал он из французской тюрьмы, где отбывал срок за дезертирство (после того как в Финляндии его чуть не казнили как шпиона).

Программа Ленглендса – это система предположений, которые призваны превратить подобные гипотетические аналогии в прочные логические мосты, связывающие разные математические острова в море невежества. А можно считать ее Розеттским камнем, с помощью которого представители математических племен, обитающих на этих островах – специалисты по теории чисел, алгебраической геометрии и топологии – обретут общий язык и объединят свои понятийные ресурсы.

Гипотезы Ленглендса пока по большей части не доказаны (исключение – гипотеза Таниямы – Симуры, которую сформулировали в 1950-е годы два японских математика, а в 1990-е доказал англичанин Эндрю Уайлс, с ее помощью установивший истинность Великой теоремы Ферма). Так верны ли они, эти загадочные конъектуры? Среди математиков царит подлинно платоническая убежденность, что иначе быть не может. Как заметил Иэн Стюарт, программа Ленглендса – «математика той разновидности, что она должна быть истинной просто потому, что она такая красивая». Она способна обеспечить единство высшей математики, благодаря которому настанет новый золотой век, когда мы, по выражению Френкеля, наконец поймем, что такое математика.

Поскольку ученой степени у Френкеля не было, его пришлось на время «отстранить» от обязанностей гарвардского профессора и «понизить» до аспиранта, чтобы он написал диссертацию – что он и сделал всего за год. (Когда Френкель в 1991 году выпускался из Гарварда, его лично поздравил Эдуард Шеварднадзе, один из архитекторов перестройки, который тогда же получил степень почетного доктора.) Темой диссертации Френкеля стало доказательство теоремы, которая помогла открыть новую главу в программе Ленглендса, расширив ее из царства чисел в геометрическое царство криволинейных поверхностей вроде поверхности бублика или шара. (Это так называемые римановы поверхности – в честь математика XIX века Бернхарда Римана.)

Для реализации программы Ленглендса потребовалось вывернуть наизнанку и перевернуть с ног на голову многие знакомые математические понятия, даже такие фундаментальные, как натуральные числа. Возьмем, к примеру, число 3. Оно скучное, у него нет никакой внутренней структуры. А теперь предположим, что вместо числа 3 мы взяли «векторное пространство» трех измерений, то есть пространство, где каждая точка задается тройкой чисел, со своими собственными правилами сложения и умножения. Тут уже можно получить что-то интересное – структуру, в которой симметрий будет больше, чем в греческом храме. «Современная математика – это сотворение нового мира, в котором числа оживают в образе векторных пространств», – пишет Френкель.

Богаче стали и другие основные понятия. «Функции», с которыми вы, скорее всего, сталкивались на уроках математики в старших классах – помните y=f(x)? – превратились в экзотические сущности под названием «пучки». (За реформу языка математики в ответе по большей части Александр Гротендик, которого принято считать величайшим математиком второй половины XX века.)

Следующим ходом был вывод программы Ленглендса за пределы математики как таковой. В семидесятые годы было замечено, что одна из главных ее составляющих, двойственная группа Ленглендса, неожиданно возникает и в квантовой физике. Это всех удивило. Неужели те же закономерности, которые смутно просматриваются в мирах чисел и геометрии, имеют параллели в теории, описывающей фундаментальные силы природы? Френкеля потрясла сама возможность провести связь между квантовой механикой и программой Ленглендса, и он с жаром принялся исследовать эту задачу, чему способствовал многомиллионный грант, который он с коллегами получил в 2004 году от Министерства обороны – на сегодня это самый крупный грант на исследования по чистой математике. (Чистая математика не просто изящна и аккуратна, но еще и дешева: математику нужен мел и немного денег на дорожные расходы. А еще она открыта и прозрачна, поскольку в ней нет изобретений, которые можно патентовать.)

Так Френкель начал сотрудничать с Эдуардом Виттеном, которого принято считать величайшим физиком-теоретиком наших дней (к тому же он, как и сам Ленглендс, работает в Институте передовых исследований в Принстоне). Виттен – виртуоз теории струн: современные физики опираются на эту теорию, чтобы объединить все силы природы, включая гравитацию, в один красивый математический «пакет». Виттен поразил Френкеля «нерушимой логикой» высказываний и «превосходным вкусом». Именно Виттен заметил, что «браны» (сокращение от «мембран»), существование которых постулируют теоретики струн, вероятно, аналогичны «пучкам» – изобретению математиков. Это открыло возможность для насыщенного диалога между программой Ленглендса, цель которой – объединение математики, и теорией струн, цель которой – объединение физики. Хотя энтузиазм по поводу теории струн несколько угас, поскольку ей не удалось, по крайней мере, пока, обеспечить рабочее описание Вселенной, связь с программой Ленглендса позволила сделать важные выводы об устройстве физики частиц.

Это был не первый случай, когда математические понятия, изучавшиеся за чистую красоту, впоследствии пролили свет на физический мир. «Как так может быть, что математика, будучи, в конце концов, продуктом человеческого разума, не зависящим от практического опыта, так восхитительно присуща объектам реального мира?» – изумлялся Эйнштейн. Френкель подходит к этому совсем иначе. С его точки зрения, математические структуры – это тоже «объекты реального мира», точно такие же реальные, как и все, что составляет физический и ментальный мир. Более того, они вовсе не продукты человеческого разума – они существовали вечно в собственном платоновском мире и лишь дожидались, когда математики их откроют. Убеждение, что математика обладает собственной реальностью, выходящей за пределы человеческого разума, не так уж редко среди ее адептов, особенно великих – так считают Френкель и Ленглендс, сэр Роджер Пенроуз и Курт Гёдель. Это убеждение коренится в наблюдениях над неожиданными проявлениями странных закономерностей и соответствий, намекающих на что-то скрытое и загадочное. Кто задал эти закономерности? Очевидно, это не наших рук дело.

Проблема с платоновским представлением о математике – причем Френкель с его мистическим мировоззрением вовсе не считает это проблемой – состоит в том, что математическое знание начинает восприниматься как чудо. Если математические объекты существуют отдельно от нас на каких-то платоновских небесах, выходящих за пределы физического мира пространства и времени, как человеческий разум «вступает с ними в контакт» и узнает что-то об их качествах и взаимоотношениях? Неужели все математики – экстрасенсы? Как заметил философ Хилари Патнэм, беда платонизма в том, что «он попросту не совместим с тем простым обстоятельством, что мы думаем мозгом, а не бестелесным духом».

Впрочем, пусть Френкель тешится своей платоновской фантазией. В конце концов, у каждого влюбленного масса романтических иллюзий об объекте своей любви. В 2009 году, когда Френкель был в Париже, поскольку получил премиюChaire d’Excellence, присуждаемую Парижским фондом математических наук, он решил снять короткометражный фильм о своей страсти к математике. Вдохновили его «Обряды любви и смерти» Юкио Мисимы, поэтому он назвал свой фильм «Обряды любви и математики». В этом немом фильме-аллегории в стиле театра но Френкель играет математика, который вывел формулу любви. Чтобы формула не попала в руки злодеев, он прячет ее от мира, а для этого татуирует бамбуковой палочкой на теле любимой женщины, а затем готовится принести себя в жертву ради защиты своего детища.

Премьера «Обрядов любви и математики» состоялась в Париже в 2010 году. ЖурналLe Monde назвал его «ошеломительным короткометражным фильмом», который «представляет математиков в необычном романтическом свете». «Формулой любви» в этом фильме стало одно из открытий Френкеля (он вывел эту формулу, когда исследовал математические основания квантовой теории поля). Она прекрасна и грозна одновременно. И в нее входят всего три числа – единица, нуль и бесконечность. Не такова ли суть любви?

Глава седьмая. Аватары высшей математики

«Научные занятия чистой математикой… вероятно, требуют самого оригинального склада человеческого духа». Так заявил философ (и математик в прошлом) Альфред Норт Уайтхед. Но тогда странно, что те, кто занимается этой «наукой», все же ощущают потребность оправдать свое призвание, не говоря уже о средствах, которые выделяет им остальное общество на подобные занятия. Отметим, что Уайтхед упоминает именно чистую математику. Он не говорит о ее прикладной разновидности, которая культивируется за то, что приносит пользу эмпирическим наукам или применима в коммерческих целях (ее еще иногда пренебрежительно зовут «промышленной математикой»). Чистая математика не ведает подобных забот. Самые сложные ее проблемы коренятся в ее собственных внутренних тайнах.

Разумеется, время от времени исследования по чистой математике все же находят сугубо практическое применение. Золотая гусыня теории сносит золотое яйцо. Именно к такому свойству математики – порождать неожиданно полезные побочные продукты – и привлек внимание в 1959 году Эйбрахам Флекснер, основатель Института передовых исследований в Принстоне, в своей статье в журналеHarper’s Magazine под названием «Полезность бесполезных знаний» (Flexner, A., The Usefulness of Useless Knowledge). Однако «аргумент золотой гусыни» (по выражению гарвардского историка Стивена Шейпина) не слишком по душе чистым математикам. В частности, британский математик Г. Г. Харди прямо-таки с презрением относился к мысли, что у «настоящей» математики должно быть практическое значение. В своей книге «Апология математика», вышедшей в 1940 году, которую Дэвид Фостер Уоллес по праву назвал «самым понятным прозаическим произведением о математике в истории английской литературы», Харди утверждал, что цель математики та же, что и цель искусства: создание внутренней красоты. Полнейшая бесполезность его специальности – теории чисел – приносила ему подлинное наслаждение. Несомненно, Харди, скончавшийся в 1947 году, был бы крайне огорчен, узнав, что его «чистую» теорию чисел вынудили служить грязным делишкам – стать основой открытого ключа криптографии, который позволяет покупателям посылать зашифрованную информацию о кредитной карте в интернет-магазины, не обмениваясь секретными ключами шифрования, благодаря чему стала возможной электронная коммерция с оборотом в триллионы долларов, а без его трудов в другой области математики – функциональном анализе – не удалось бы выстроить модель Блэка – Шоулза, при помощи которой на Уолл-стрит оценивают опционы.

Парадокс чистой математики на службе грубой коммерции не ускользнул от Майкла Харриса: название его мемуаров «Математика без апологий»¹⁰ (Harris, M., Mathematics Without Apologies) пародирует название классического труда Харди. Харрис – выдающийся американский математик средних лет, работающий в блистательно-чистой стратосфере, где встречаются алгебра, геометрия и теория чисел. «Главной задачей первой части моей карьеры, – пишет он, – была гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера», которая «касается простейшего класса полиномиальных уравнений, эллиптических кривых, для которых не существует простого способа определить, конечно или бесконечно число их решений» (эллиптические кривые лишь на первый взгляд элементарны, а на самом деле обладают глубинной структурой, которая делает их бесконечно интересными). Почти всю свою профессиональную жизнь Харрис провел в Париже, и это очень заметно: его мемуары полны подлинно галльской интеллектуальной игры и к тому же содержат ссылки на фигуры вроде Пьера Бурдьё, Иссэя Мияке и Катрин Милле (которую он называет «сексуальной стахановкой»), к тому же в них упоминается бесконечное множество парижских светских приемов с шампанским, на которых «за первыми двумя бокалами сопоставляются математические записи, а дальше беседа переходит на университетскую политику и сплетни». Это озорной, остроумный и сардонический текст (в алфавитном указателе есть пункт fuck-you money, то есть деньги, позволяющие, мягко говоря, послать все к черту и жить безбедно). Он содержит увлекательные художественные отступления, например, анализ оккультной математической структуры романов Томаса Пинчона, и очаровательные маленькие интерлюдии из области элементарной математики, вдохновленные галантными попытками Харриса разъяснить суть теории чисел одной английской актрисе за званым ужином на Манхэттене.

Харрис начинает с несложного определения простого числа, а потом по кирпичику выстраивает на его основе объяснение вышеупомянутой гипотезы Бёрча – Свиннертон-Дайера, которую международная группа ведущих математиков на пресс-конференции в Париже в 2000 году объявила одной из семи «Задач тысячелетия», назначив за решение каждой из них награду в миллион долларов. Харрис со знанием дела описывает самые глубокие открытия в современной математике, особенно провидческие труды Александра Гротендика. И много говорит о «пафосе» математического призвания. Он крайне скептически относится ко всему, что принято считать причиной увлеченности чистой математикой – что она красива, истинна, вообще хороша, – и особенно пренебрежительно отзывается об утилитаристском подходе к математике в духе золотой гусыни. «Делать вид, будто исследования по чистой математике вдохновлены возможностью применить ее на практике, не просто нечестно, но и не в наших интересах», – замечает Харрис. И добавляет, что открытые ключи шифрования, сделав мир безопасным для «Амазона», погубили мелкие книжные магазинчики (впрочем, только в США, а не во Франции, где закон запрещает розничным интернет-торговцам предлагать бесплатную доставку книг, продаваемых со скидкой). И с подлинно олимпийским высокомерием пишет о внезапной популярности «финансовой математики», которая открывает путь к вторичному обогащению на Уолл-стрит: «Один мой коллега хвастался, что студентов программы по финансовой математике в Колумбийском университете по умолчанию ежедневно кормят свежими фруктами, сыром и шоколадным печеньем, а другие кафедры, в том числе моя парижская, считают за счастье предлагать своим дипломникам, которым вечно не хватает калорий, чай в пакетиках и горстку крекеров». Даже в элитарной французской Эколь Политехник – Политехнической школе – семьдесят процентов студентов-математиков мечтают сделать карьеру в финансах.

Не вызывает у Харриса особого почтения и претензия на то, что занятия чистой математикой оправданы ее красотой, как говорили и Харди, и множество его единомышленников. Харрис поясняет, что когда математики говорят о красоте, на самом деле они имеют в виду удовольствие. «Вне этой области, где царит блаженная лень, считается дурным тоном признавать, что нас вдохновляет удовольствие, – пишет Харрис. – А чтобы примирить столь низменный мотив с “возвышенными умственными привычками”, можно прибегнуть к доводам эстетики».

Тогда с какой стати общество должно платить горстке людей за творческие упражнения в том, что доставляет им удовольствие? «Если бы меня спросил об этом государственный чиновник, – отвечает Харрис, – я бы заявил, что математики, как и прочие ученые, нужны в университетах, где они учат ограниченное количество студентов приемам, необходимым для развития технологического общества, а несколько большее количество студентов занимают курсами, которые призваны развеять иллюзии излишне самонадеянных претендентов на особенно популярные профессии (подобно тому как экзамен по началам математического анализа в США обязателен при приеме в медицинские школы)». На самом деле математический анализ врачам не нужен, но Харрис хотя бы соглашается, что инженерам, экономистам и руководителям службы материально-технического снабжения не обойтись без солидных знаний по математике, даже если с его точки зрения эта математика тривиальна.

Наконец, предполагается, что математика ценна тем, что она истинна. Со времен древних греков математика воспринимается как парадигма познания – она точна, необходима и не подвержена влиянию времени. Но о познании чего идет речь? Описывают ли истины, которые открывают математики, вечное высшее царство объектов – идеальных окружностей и тому подобного – существующих в общем и целом независимо от математиков, которые их изучают? Или математические объекты – на самом деле конструкции, созданные человеком, и существуют лишь в нашем сознании? А может быть – еще радикальнее – чистая математика не описывает вообще никаких объектов и это просто изысканная игра формальных символов, в которую играют при помощи карандаша и бумаги?

Вопрос о том, что же такое математика, не дает покоя философам, но не слишком тревожит Харриса. Философы, занимающиеся проблемами математического существования и истинности, утверждает он, как правило, не обращают особого внимания на то, чем, собственно, занимаются математики. Он пристрастно противопоставляет «философию Математики» (с заглавной «М») – «чисто гипотетический субъект, придуманный философами» – «философии математики» (со строчной «м»), отправной точкой которой служат не априорные вопросы эпистемологии и онтологии, а деятельность трудящихся математиков.

Тут Харрис несколько лукавит. Он почему-то не упоминает, что стандартные противоположные точки зрения в философии математики изначально сформулировали не философы, а математики, более того, некоторые величайшие математики минувшего столетия. Отцом «формализма», считающего высшую математику игрой в формальные символы, стал Давид Гильберт, «супергигант», по оценке Харриса. А за «интуиционизмом», согласно которому числа и другие математические объекты – мысленные конструкции, стоят Анри Пуанкаре (тоже «супергигант»), Герман Вейль и Л. Э. Я. Брауэр. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед занимали так называемую позицию «логицизма» и в своих фундаментальныхPrincipia Mathematica стремились показать, что математика – это просто переодетая логика. А Курт Гёдель отстаивал «платонизм», согласно которому математика описывает вечное и идеальное царство объектов, существующих вне нашего сознания, подобно платоновскому миру форм.

Все эти титаны математики были страстно увлечены философией «Математики с большой буквы», по выражению Харриса. Жаркие споры между ними и их сторонниками разгорелись особенно сильно в двадцатые годы и зачастую переходили на личности. Удивляться здесь нечему: математика того времени переживала «кризис» в результате целой череды открытий, способных подорвать любую уверенность, например, появления неевклидовых геометрий и открытия парадоксов в теории множеств. Возникло ощущение, что под математику нужно подвести новый прочный фундамент, иначе старому идеалу несомненности настанет конец. Под вопросом оказался сам способ заниматься математикой – какие типы доказательств можно признавать и какие применения бесконечности допускать.

И по техническим, и по философским причинам ни одна из конкурирующих фундаментальных программ начала XX века не была признана удовлетворительной (в частности, теоремы о неполноте Гёделя привели к непреодолимым проблемам и для формализма Гильберта, и для логицизма Рассела и Уайтхеда: грубо говоря, теоремы о неполноте говорят, что непротиворечивость правил математической «игры» Гильберта в принципе недоказуема, а логическая система наподобие системы Рассела и Уайтхеда не способна вместить в себя все математические истины). Вопросы математического существования и истинности остались без ответа, и философы по-прежнему размышляли над ними, пусть и безрезультатно, свидетельством чему служит откровенное название статьи Хилари Патнэма, вышедшей в 1979 году: «Философия математики, или Почему ничего не получается» (Putnam, H.,Philosophy of Mathematics: Why Nothing Works).

С точки зрения Харриса все это несколькоvieux jeu. Ощущение кризиса в профессии, такое острое меньше века назад, несколько померкло, старые трудности удалось либо кое-как преодолеть, либо замаскировать. Если спросить у современного математика, к какой партии он принадлежит, ответом, как в анекдоте, будет, что он платоник по будням и формалист по выходным. То есть математики во время работы над математическими задачами считают, что имеют дело с реальностью, не зависимой от сознания, но когда у них появляется настроение поразмышлять абстрактно, многие утверждают, что математика – всего лишь бессмысленная игра с формальными символами.

Сегодня сдвиги парадигм в математике имеют отношение скорее к поиску более совершенных методов, чем к кризису. Например, бытует мнение, что всю математику можно выстроить из теории множеств. Теория множеств отталкивается от простой идеи, что что-то одно – элемент чего-то другого, и показывает, как на самом скромном материале можно создавать структуры бесконечной, как видно, сложности – системы чисел, геометрические пространства, нескончаемую иерархию бесконечностей. Например, число 0 определяется как «пустое множество», то есть множество, в котором нет ни одного элемента. Число 1 можно определить как множество, которое содержит один элемент – 0 и больше ничего. Число 2, следовательно, можно определить как множество, содержащее 0 и 1, и так далее – каждое следующее число содержит множества для всех предыдущих чисел. Таким образом, числа перестают быть началом начал и рассматриваются как просто множества постепенно усложняющейся структуры.

В 1930-е годы компания блестящих молодых парижских математиков, в которую входил и Андре Вейль, составила заговор с целью укрепить здание математики, перестроив его на логическом фундаменте теории множеств. Этот проект под коллективнымnom de guerre Бурбаки просуществовал несколько десятков лет и породил целую череду толстых трактатов. Следствием его деятельности стала, в частности – как ни безумно это звучит – реформа школьного образования в 1960-е годы и введение «новой математики», которая выбила почву из-под ног американских школьников и их родителей, поскольку интуитивное представление о числе заменили непонятным жаргоном теории множеств.

Физики говорят о поисках «теории великого объединения»¹¹ – и конечно, теория множеств отличается такой сокрушительной обобщенностью, что вполне может показаться «теорией объединения теорий всего». Именно такой она и виделась членам Бурбаки. Однако через несколько десятков лет после запуска программы в их среду затесался выдающийся математик Александр Гротендик – и все преобразил. Он создал новый стиль чистой математики, головокружительно абстрактный и не менее плодотворный. Гротендика стали считать величайшим математиком последнего полувека задолго до его кончины в 2014 году – он умер в возрасте 86 лет отшельником в Пиренеях. Как отмечает Харрис, Гротендика с полным правом можно назвать не только величайшим, но и самым романтичным из математиков: «Его история – готовое художественное произведение».

Даже сухие факты его биографии будоражат воображение. Александр Гротендик родился в Берлине в 1928 году. Его родители были активными анархистами. Отец Гротендика, еврей из России, принимал участие и в восстании против царизма в 1905 году, и в революции 1917 года. Он избежал тюремного заключения при большевиках, дрался с приспешниками нацистов на улицах Берлина, сражался на стороне республиканцев во время Гражданской войны в Испании (вместе с матерью Гротендика) и после капитуляции Франции был депортирован из Парижа в Освенцим, где и погиб.

Мать Гротендика была нееврейка родом из Гамбурга. Она вырастила сына на юге Франции. Там мальчик проявил талант и к математике, и к боксу. После войны он отправился в Париж и изучал математику у великого Анри Картана. Сначала Гротендик работал в Сан-Паулу и в Канзасе, затем в Гарварде, а в 1958 году получил приглашение в Институт высших научных исследований, который был недавно основан одним частным предпринимателем и находился под Парижем, в лесах Буа-Мари. Там Гротендик провел следующие двенадцать лет и все это время перестраивал ландшафт высшей математики, поражая своих высоколобых коллег и юных учеников.

Гротендик был мужчина внушительный – бритоголовый красавец, суровый и при этом обаятельный. Его беспощадный минимализм проявлялся и в презрении к деньгам, и в монашеской манере одеваться. Непреклонный пацифист и антимилитарист, он в 1966 году отказался ехать в Москву на Международный конгресс математиков, чтобы получить медаль Филдса – высочайшую награду по математике. Однако на следующий год он все-таки отправился в Северный Вьетнам, где читал лекции по чистой математике в джунглях студентам, эвакуированным из Ханоя из-за американских бомбежек. Он (по собственной воле) почти всю жизнь не занимал никаких должностей, стал отцом троих детей в браке и двоих вне брака, основал радикально-экологическую группировкуSurvivre et Vivre и один раз был арестован за то, что отправил в нокаут двоих жандармов на политической демонстрации в Авиньоне.

Из-за своих непоколебимых и зачастую параноидальных принципов Гротендик в конце концов оказался изгоем во французских математических кругах. В начале девяностых он скрылся в Пиренеях, где, как сообщала горстка его поклонников, сумевших выследить своего кумира, провел оставшиеся годы, питаясь супом из одуванчиков и размышляя о том, как метафизические злые силы рушат божественную гармонию мира, для чего, по всей видимости, слегка изменяют скорость света. Говорили, что за ним присматривают жители окрестных деревень.

Представления Гротендика о математике заставили его разработать новый язык или даже, возможно, идеологию, позволяющую выразить доселе невообразимые мысли. Он первым сформулировал принцип, согласно которому знать математический объект – все равно что знать его отношения со всеми другими объектами того же рода. Иначе говоря, если хотите знать подлинную природу математического объекта, не заглядывайте внутрь него, а поглядите, как он играет с приятелями.

Такая «однородная группа» математических объектов называется категорией – подчеркнутый поклон Аристотелю и Канту. Например, категория может состоять из абстрактных поверхностей. Эти поверхности как-то взаимодействуют, то есть существуют естественные способы переходить с одной на другую и обратно с учетом их общей формы. Скажем, если у двух поверхностей одинаковое число отверстий, как у бублика и кофейной чашки, одна поверхность математически может быть гладко трансформирована в другую.

А можно представить себе категорию разных алгебраических систем, для которых существует операция, подобная умножению; эти алгебры тоже как-то взаимодействуют – в том смысле, что существуют естественные способы переходить из одной в другую с учетом их общей структуры умножения. Такие двусторонние отношения между объектами, сохраняющие структуру, называются морфизмами, а иногда, чтобы подчеркнуть их абстрактную природу, «стрелками». Они определяют общие очертания взаимодействий в пределах категории.

Тут начинается самое интересное: взаимодействиям в одной категории, например, в категории поверхностей, могут тонко подражать взаимодействия в другой, например, в категории алгебр. То есть взаимодействуют уже категории – существует естественный способ переходить из одной в другую и обратно, и он называется функтор. Вооружившись подобным функтором, можно делать очень общие суждения об обеих категориях, не вдаваясь в утомительные подробности природы каждой из них. Можно также отметить, что поскольку категории взаимодействуют друг с другом, они сами составляют категорию – категорию категорий.

Теорию категорий придумали в сороковые годы Сондерс Маклейн из Чикагского университета и Сэмюэль Эйленберг из Колумбийского университета. Поначалу многие математики отнеслись к ней с сомнением и даже прозвали «абстрактной чушью». Разве может такой разжиженный подход к математике, из которой отцежено практически все ее классическое содержание, привести к чему-то, кроме стерильности? Однако Гротендик заставил его засверкать всеми гранями. С 1958 по 1970 год он работал над тем, чтобы при помощи теории категорий создавать новаторские структуры беспрецедентной насыщенности. С тех пор высокоумные абстракции теории категорий нашли применение в теоретической физике, информатике, логике и философии. Французский философ Ален Бадью с восьмидесятых годов опирается на теорию категорий (причем опирается как квалифицированный математик) при исследовании идей бытия и трансцендентности.

Проект Гротендика начался еще с Декарта – это объединение алгебры и геометрии. Их уподобляют инь и ян математики: геометрия – пространство, алгебра – время, геометрия – как живопись, алгебра – как музыка и так далее. Выражаясь не так изысканно, геометрия занимается формами, а алгебра – структурами, в частности, структурой, скрытой в уравнениях. И как показал Декарт, когда изобрел «декартову систему координат», уравнения способны описывать формы: например, уравнение x+y²²=1 описывает окружность с радиусом 1. Оказывается, алгебра и геометрия связаны теснейшим образом и обмениваются «нежными ласками», по выражению Андре Вейля.

1.Здесь и далее пер. А. Крылова.

2.Пер. А. Базя, Л. Пузикова и А. Сазыкина.

3.Подробнее об этом случае см. в эссе «Гёдель против американской Конституции» в этом же сборнике.

4.Это распространенный миф, который сочинил известный выдумщик Георгий Гамов. На самом деле Эйнштейн называл своей величайшей ошибкой письмо президенту Рузвельту от 2 августа 1939 года с настоятельной просьбой запустить в США программу ядерных исследований. –Прим. перев.

5.Это не «логика Коперника», а логика Дж. Р. Готта. Он перенес «принцип заурядности» Коперника из пространства во время и из космоса в земную жизнь, снабдив его вероятностными расчетами для прогноза будущего. –Прим. науч. ред.

6.Автор здесь путает определение логарифмической функции и ее интегральное представление. –Прим. науч. ред.

7.Здесь и далее пер. Ю. Данилова.

8.Перевод И. Сеченова.

9.Евгением Евгеньевичем Петровым. –Прим. пер.

10.То есть «без извинений и оправданий». –Прим. пер.

11.Сейчас эту теорию называют также единой теорией поля. –Прим. науч. ред.

Bepul matn qismi tugad.