Kitobni o'qish: «Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики»

Name: Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики
Author: Джейсон Сократ Барди
ISBN: 978-5-93255-708-2

Джейсон Сократ Барди

Shrift:

Посвящается
{Дж. Б.}
∧
{Люси Ли & Альберту Д.}
∧
{Ленни}

Jason Socrates Bardi

The Great Math War

How Three Brilliant Minds Fought for the Foundations of Mathematics

Перевод с английского под научной редакцией Артема Смирнова

Настоящее издание опубликовано по соглашению с Basic Books, импринтом Basic Books Group, подразделением Hachette Book Group, Inc., Нью-Йорк, США, при содействии Игоря Корженевского из Агентства Александра Корженевского (Россия). Все права защищены.

Dramatis Personae

ЗАЧИНЩИКИ

Л. Э. Я. Брауэр (1881–1966) – голландский математик («Интуиционизм»).

Давид Гильберт (1862–1943) – немецкий математик («Формализм»).

Бертран Рассел (1872–1970) – английский философ и литератор («Логицизм»).

ГЛАВНЫЕ ДЕЙСТВУЮЩИЕ ЛИЦА

Герман Вейль (1885–1955) – автор термина «кризис оснований».

Людвиг Витгенштейн (1889–1951) – философ и несостоявшийся протеже Рассела.

Курт Гёдель (1906–1978) – венский логик, известный теоремой о «неполноте».

Георг Кантор (1845–1918) – создает теорию множеств и переопределяет бесконечность.

Софья Ковалевская (1850–1891) – первая женщина в Европе, получившая докторскую степень по математике.

Рихард Курант (1888–1972) – возглавляет Математический институт Геттингена в 1920-х.

Королева Математика (р. ок. 20 000 до н. э.) – «Холодная и безответная любовь», по словам Рассела.

Оттолайн Моррелл (1873–1938) – лондонская светская дама и активистка движения за мир во время Первой мировой войны.

Эмми Нётер (1882–1935) – ведущий математик после Первой мировой войны.

Альфред Норт Уайтхед (1861–1947) – главный соавтор Бертрана Рассела.

Готлоб Фреге (1848–1925) – аналитический философ, переосмысливший логику.

Альберт Эйнштейн (1879–1955) – физик, прославившийся своей теорией относительности.

ВТОРОСТЕПЕННЫЕ ДЕЙСТВУЮЩИЕ ЛИЦА

Людвиг Бибербах (1886–1982) – немецкий математик и союзник Брауэра.

Отто Блюменталь (1876–1944) – математический редактор и главный поборник Гильберта.

Эмиль дю Буа-Реймон (1818–1896) – известен своим «торжествующим пессимизмом.

Джордж Буль (1815–1864) – его книга 1847 года породила булеву логику.

Карл Вейерштрасс (1815–1897) – математик и наставник Ковалевской.

Пауль Гордан (1837–1912) – наставник Нётер, «Король инвариантов».

Хелен Дадли (1886–1932) – американская поэтесса и девушка Рассела.

Евклид (~III в. до н. э.) – автор самой известной книги по математике.

Зенон Элейский (~V в. до н. э.) – греческий философ, прославившийся благодаря Ахиллесу и черепахе.

Константин Каратеодори (1873–1950) – самый известный греческий математик современности.

Дьюла «Юлиус» Кёниг (1849–1913) – венгерский математик из Будапешта.

Феликс Клейн (1849–1925) – математик, наставник Гильберта.

Дидерик Кортевег (1848–1941) – голландский математик и наставник Брауэра.

Леопольд Кронекер (1823–1891) – немецкий ученый, известный как «Сомневающийся».

Герман Минковский (1864–1909) – друг Гильберта и учитель Эйнштейна.

Гёста Миттаг-Леффлер (1846–1927) – шведский математик и редактор журнала.

Джузеппе Пеано (1858–1932) – итальянец, ставший источником вдохновения для Рассела.

Эмиль Пикар (1856–1941) – французский математик-изоляционист.

Анри Пуанкаре (1854–1912) – самый известный математик своего времени.

Элис Рассел (1867–1951) – писательница-феминистка, активистка и жена Рассела.

Эвелин Уайтхед (1865–1961) – хороший друг четы Рассел до Первой мировой войны.

Джеймс Франк (1882–1964) – нобелевский лауреат, протестовавший против прихода нацистов к власти.

Лиза де Холл (1870–1959) – фармацевт и жена Брауэра.

Эрнст Цермело (1871–1953) – математик, давший букву «Z» аббревиатуре ZFC.

Эпименид Критский (~VII в. до н. э.) – самый известный лжец в истории человечества.

ПОЛИТИКИ, ДЕЯТЕЛИ ИСКУССТВА, АНАРХИСТЫ, ВОЕННЫЕ И ЛИДЕРЫ

Г. Г. Асквит (1852–1928) – британский премьер-министр в начале Первой мировой войны.

Александрина Виктория (1819–1901) – королева Англии на протяжении большей части XIX века.

София фон Гогенберг (1868–1914) – герцогиня, убийство которой положило начало Первой мировой войне.

Роберт Грейвс (1895–1985) – английский писатель, сражавшийся на Сомме.

Герберт Китченер (1850–1916) – британский генерал Англо-бурской войны и фельдмаршал.

Пауль Крюгер (1825–1904) – президент Республики Трансвааль.

Дэвид Ллойд Джордж (1863–1945) – английский военный министр и премьер-министр Гораций.

Д. Г. Лоуренс (1885–1930) – английский автор, который поссорился с Расселом.

Фрида Лоуренс (1879–1956) – жена Д. Г. и заклятый враг Оттолайн во время Первой мировой войны.

Филип Моррелл (1870–1943) – либеральный член британского парламента.

Гаврило Принцип (1894–1920) – боснийский серб, начавший Первую мировую войну.

Леди Фрэнсис Рассел (1815–1898) – графиня и бабушка Рассела.

Логан Пирсолл Смит (1865–1946) – писатель, брат, лучший друг, злейший враг.

Франц Фердинанд (1863–1914) – эрцгерцог и наследник, убийство которого разожгло Первую мировую войну.

Уинстон Черчилль (1874–1965) – член британского кабинета министров в начале Первой мировой войны.

Фердинанд Шпрингер (1879–1965) – знаменитый немецкий издатель математической литературы.

Т. С. Элиот (1888–1965) – знаменитый поэт и студент Бертрана Рассела.

АКСИОМЫ, ОШИБКИ, ЗАБЛУЖДЕНИЯ, ПАРАДОКСЫ И МИФЫ

Аксиома выбора (глава 5). «Для любого семейства непустых множеств существует соответствие, которое ставит в пару каждому из этих множеств один из его элементов», согласно Цермело.

Безудержная вера в решения (главы 1, 12, 13, 16). Евангелие Давида Гильберта: любая проблема может быть решена, если уделить ей достаточно времени и сил.

Заблуждение избыточных данных (глава 12). Иллюзия того, что чем больше данных мы используем в анализе, тем более обоснованными выглядят наши результаты.

Заблуждение о незначительности результатов (глава 4). Гласит, что чем более тривиальной кажется проблема, тем менее остро стоит вопрос о поиске ответа или решения для нее.

Закон непротиворечия (глава 5). Гласит, что А и ¬А (не А) никогда не бывают истинными одновременно.

Икар (главы 3, 5, 6, 15, 16). Мифологический беглец с Крита на восковых крыльях, который подлетел так близко к Солнцу, что крылья растаяли, и он рухнул, униженный, обратно на Землю.

Иллюзия тотального контроля (глава 7). Узколобая иллюзия, при которой человек считает, что его действия – и только они – являются причиной его успехов.

Комплекс Исаака Ньютона (глава 3). Отвратительная и патологическая ненависть к публикациям, подогреваемая параноидальной уверенностью, что современники готовы ударить вас в спину.

Континуум-гипотеза (главы 3, 5). Утверждение Кантора о том, что никакое бесконечное множество не имеет мощности (размера) между мощностью бесконечных целых и бесконечных вещественных чисел; в необобщенном виде записывается как

Ловушка показателей процесса (главы 4, 5). Психологическое искажение реальности, ведущее к патологическому подходу в стратегическом планировании, когда решения безрассудно принимаются исключительно на основе данных о процессе, в ущерб соображениям результата или издержек.

Озимандия (главы 1, 18). Царь царей, обломки статуи которого в пустыне служат памятником угасшей славе былого величия.

Ошибка кажимости (глава 18). Гласит, что чем больше вы вкладываете в идею, тем более истинной она кажется. А чем более истинной она кажется, тем больше значения она приобретает, тем сильнее вы цепляетесь за нее и тем труднее ее отпустить, когда выясняется, что идея ложна.

Парадокс Бурали-Форти (главы 3, 5). Если вы создадите множество всех возможных «порядковых чисел» (ординалов), отражающих размеры различных множеств, то оно будет содержать ординал больше самого себя. Но это невозможно.

Парадокс Зенона (глава 2). Как получается, что Ахиллес не может догнать черепаху? Почему стрела никогда не достигает цели?

Парадокс Кантора (главы 3, 5). Гласит, что, если множество всех множеств включает в себя все множества, оно должно включать и свое собственное множество всех подмножеств (булеан). Это парадокс, так как это означает, что одно из подмножеств множества всех множеств будет больше, чем само множество всех множеств.

Парадокс лжеца (глава 5). По сути, утверждает: «Это высказывание ложно».

Парадокс Рассела (главы 5, 14). Рассмотрите множество всех множеств, которые не принадлежат самим себе – принадлежит ли это главное множество самому себе? (Ответ: Принадлежит, если не принадлежит, и не принадлежит, если принадлежит).

Теорема о вполне упорядочении (глава 5). Wohlordnungssatz Эрнста Цермело, фундаментальная основа его аксиомы выбора. Теорема гласит, что множества, даже бесконечные, могут быть упорядочены на основе наименьших элементов их подмножеств.

Торжествующий пессимизм (главы 1, 13). Философия, принимающая «непознаваемые неизвестные» – вопросы, которые мы не можем задать, проблемы, которые не решим, и ответы, которых никогда не узнаем. Выражается фразой Ignoramus et ignorabimus («Мы не знаем и не узнаем»). Давид Гильберт это ненавидит.

Предисловие. Все, что я узнал о логике от своих родителей

Я хочу идти дальше.
Час поздний.
Я хочу идти дальше.
Ночь темна.
Я хочу идти дальше.
Дорога опасна.
Я хочу идти дальше…
Карло Коллоди
(из сказки «Пиноккио»)

Когда я работал над этой рукописью, моего отца не стало. Разбирая вещи на чердаке его дома в Геттисберге, Пенсильвания, я нашел толстое издание в мягкой обложке – «Основные работы Бертрана Рассела». Я уже был глубоко погружен в изучение Рассела, одного из ключевых персонажей «Великой математической войны». Я осмотрел книгу, отложил ее и тут же забыл, пока она случайно не попалась мне на глаза больше года спустя. Тогда я описывал теорию типов Рассела (ей посвящена пятая глава, «Все критяне – лжецы») и наконец открыл этот том.

Заглянув под обложку, я был поражен: там было личное посвящение от мамы моему отцу, Джей-Би. Судя по всему, она подарила ему книгу в студенческие годы, за два года до моего рождения. Он был музыкантом, математиком, начинающим философом и звездой студенческого футбола. Она изучала журналистику и была активисткой. Надпись гласила: «Тому, кто умнее меня! / С любовью, Люси / 1968».

Что это значило? И что она имела под этим в виду? Прочесть эти слова можно было по-разному, но ни один вариант не казался верным до конца. Прямой комплимент? Их личная шутка? Ирония? Сарказм? Не пропущены ли здесь кавычки? Моя мать – женщина блестящего ума и невероятной гордости. Она убежденная феминистка и точно не стала бы так тешить мужское самолюбие. Конечно, я спросил ее об этой книге (спустя 55 лет!), – но она не вспомнила ни как покупала ее, ни как дарила. И уж тем более того, какой смысл вкладывала в то посвящение.

Я появился на свет чуть больше года спустя после того, как Люси оставила это посвящение, в начале 1970-го, а спустя 125 часов умер Рассел. Ему было 98 лет, мне – пять дней. Мои физические параметры при рождении странным образом повторяли параметры Рассела веком ранее. Он весил около четырех килограммов при росте 53 сантиметра. «Дай бог один из тридцати младенцев бывает таким крупным и упитанным», – заявил его врач в 1872 году. Я был скроен по тем же лекалам: 3 килограмма 800 граммов и без малого 53 сантиметра. Мама говорит, я был таким толстым, что лицо у меня сплющилось, а пальцы на ногах выглядели как «пучки мелкой морковки».

Когда полвека спустя я взялся за эту книгу, мы подолгу обсуждали Рассела с отцом – это было за несколько месяцев до его кончины. Мои рассказы повергли его в шок. Отец помнил Бертрана Рассела в специфическом образе культурной иконы 1960-х. Для него это был глубокий старик, живая легенда. Философ старой школы, не сходивший с газетных полос из-за критики Вьетнамской войны. Он протестовал против ядерной бомбы, обвинял президентов США в военных преступлениях (как-то даже ляпнул, что Кеннеди хуже Гитлера). Он выступал за свободную любовь – и не потому, что так стало модно в хипповую «Эру Водолея». Рассел призывал к временным «пробным» бракам (пока нет детей) еще с 1920-х годов. Одобрял добрачный секс, считая, что это оздоровит университетскую жизнь и умственно, и морально. Он считал, что «затхлого Молоха» традиций и законов, стоявшего на пути прогресса, пора свергнуть. «Лицемерное поклонение им ничего нам не дает», – говорил он.

Рассел сталкивался с жесткой травлей. В 1940 году, стоило ему стать профессором Сити-колледжа в Нью-Йорке, местный епископ обвинил его в пропаганде против религии. Судья Верховного суда штата объявил его непригодным к тому, чтобы заниматься преподаванием. А глава регистрационной палаты округа Нью-Йорк призывала вывалять его в смоле и перьях. Но Рассела это не остановило. Мой отец, который всегда ценил смелость и откровенность, любил Рассела за защиту свободной любви и антивоенные взгляды.

* * *

«Я хотел назвать тебя Бертран Рассел», – сказал мне отец по телефону в середине 2020 года, в разгар пандемии, когда я работал над планом этой книги. Это был один из последних наших разговоров. Он говорил совершенно серьезно: в 1969 году, когда мама была беременна мной, он не раз обсуждал с ней это имя.

Отец тогда только начал учиться в аспирантуре в Огайо. Протесты против Вьетнама были в самом разгаре, и мои родители, как и многие другие представители их поколения, принимали в них участие. За несколько месяцев до этого отец вызвал скандал в своем колледже, написав антивоенную статью как главный редактор студенческой газеты. Группа студентов выступила против. Они организовали собрание, требуя, чтобы отец сложил полномочия. Отец решил явиться на этот протест без приглашения. Он встал в конце зала. Его заметили. Пошел шепот, шум, тыканье пальцами, насмешки. Выступавший на трибуне обратился прямо к нему: «Ты уйдешь в отставку?» – спросил он. «Нет, – крикнул отец в ответ через весь кафетерий. – Не уйду».

В глазах моего отца Рассел был рок-звездой – символом праведного упрямства. Его ценили за бесстрашный антивоенный активизм, за математическую философию, за защиту свободной любви и этические взгляды. Но восхищение моего отца было глубже. В Расселе он видел отражение самого себя. Всю взрослую жизнь им, как и Расселом, двигали бесконечная жажда знаний, любовь к мудрости и вечный поиск человеческой близости. Моего отца, как и Рассела, переполняло «мучительное сочувствие к страданиям человечества», говоря словами философа. Неудивительно, что папа хотел назвать меня в честь своего героя.

Но мой отец был ошарашен, когда я рассказал ему, каким Рассел был более века назад. Моя книга описывала молодого Рассела 1900 года, а не престарелого активиста, которого мой отец любил в 1960-х. Рассел, которого знал он, был сторонником свободной любви и антивоенным деятелем – своего рода Пабло Пикассо современной философии. Рассел, которого знал я – двадцати с небольшим лет, – был совсем другой породы: аристократ до мозга костей, воспитанный на идеях ура-империализма. Он верил, что «каждым уголком мира должна управлять какая-нибудь европейская держава» и что «великие империи приносят больше блага, чем малые». Люди меняются, и нигде это не видно так ярко, как в политике.

Впрочем, это вряд ли что-то меняло, ведь мама была непреклонна. Бертран Рассел Барди. Берти Барди?! «Нет, нет и нет!» – заявила мама в 1970 году, когда я родился. Это никуда не годится. «Мы дадим ему обычное имя, – настаивала она, – нормальное имя».

Отец сделал несколько заходов с Берти, но в итоге капитулировал. И тут же выдвинул новый план: «Платон Аристотель Барди». «Нет, нет, нет», – снова твердила мама. В итоге они достигли компромисса. При рождении я получу второе имя Сократ – меня назовут именем отца философии, чтобы умилостивить отца, который был философом. («О, сколько нам открытий чудных!»)

* * *

Однажды меня спросили, о чем эта книга, и я ответил: об истории, математике, любви, войне и бесконечности. «Ого, – сказали мне. – Ну и смесь. Что же связывает все эти идеи?» И мой ответ был прост: Ложь. Это книга о лжи – не столько о той, что мы говорим другим, сколько о той, которую мы говорим сами себе. Моя тема – это фундамент вещей. У зданий и домов есть фундамент. По чистому совпадению, когда я писал эту книгу, соседний дом продали и снесли. Я наблюдал, как рабочие ставили опалубку, укладывали внутрь арматуру и заливали бетоном, закладывая новый фундамент.

Скорее всего, это был правильный способ закладки фундамента. Бывает и много неправильных – хотя в современных зданиях это редкость, ведь они должны соответствовать строгим нормам. Однако фундамент есть и у многих других вещей – у любви, войны, мира, дружбы, будущего человечества, безопасности демократии и новаторских идей. Все сложные отношения и концептуальные конструкции имеют свой фундамент, и ошибочно полагать, что он всегда прочен. Одни отношения выстроены на железобетоне, твердо и честно. Другие стоят на рыхлом песке. Одни идеи покоятся на скальной породе. Другие – на грязи.

Когда мы говорим о фундаменте чего-либо, мы говорим об опасности. О рыхлом песке. О лжи. О дефектах. Вы никогда не думаете о фундаменте, когда он кажется незыблемым. Вас не заботит основание здания, пока вы не увидите трещины. Не услышите скрип. Не почувствуете дрожь или вибрацию. Не испугаетесь, что земля ходит ходуном. И только тогда, боясь скорого обрушения, вы всерьез задумываетесь, как решить проблему. В сущности, именно это произошло в математике в начале XX века. В основаниях математики появились трещины, вся дисциплина содрогнулась, и всех охватила тревога.

* * *

Математика уникальна тем, что дает способность превращать зыбкие пески предположений в незыблемый монолит доказательств. Поэтому, когда в основаниях математики возникли трещины, это сочли фундаментальной угрозой ее положению «царицы наук». В начале XX века несколько математиков взялись исправить эти изъяны. Их усилия оформились в три лагеря: логицизм, формализм и интуиционизм. Как и следовало ожидать, что сосуществование этих враждующих мировоззрений привело к ожесточенному конфликту, который я называю Великой математической войной.

В чем состояли различия этих лагерей?

В годы перед Первой мировой войной Бертран Рассел и его соавтор Альфред Норт Уайтхед пытались закрыть брешь в основаниях математики с помощью логики, развивая подход, названный логицизмом. Они добились успеха и прославились своим невероятно богатым и сложным трехтомным трудом «Основания математики» (Principia Mathematica), который и сегодня считают триумфом математической философии. Но исправить дефекты в основаниях им не удалось, и это знали все. Их работа закончилась до войны, а в 1914–1918 годах научная деятельность в Европе почти замерла. А уже после войны на горизонте появились два других конкурирующих мировоззрения.

Пионером формализма стал немецкий математик Давид Гильберт. Он разработал грандиозную схему: представить математику как игру, где объекты – это игровые фигуры, а аксиомы – формальные правила, определяющие результат. Это был масштабный план: спасти основания математики через ее представление в виде своего рода формальной игры.

До Гильберта математика ассоциировалась с так называемыми привилегированными объектами – числами, линиями, геометрическими фигурами, – элементами внешней реальности. Они имели очевидный и объективный смысл. Гильберт стремился не столько отменить эту привилегию, сколько вынести ее за скобки. Его замысел состоял в том, чтобы отделить математику от реальности и трактовать математические объекты как «бессмысленные знаки на странице», по его собственным словам. Это позволило бы математикам сфокусироваться на правилах вывода и решать задачи абстрактно. Это был мощный, проницательный подход. Гильберт полагал, что с таким подходом нерешаемых задач не останется. Это назвали формализмом.

Интуиционизм как альтернативу предложил голландский математик Л.Э.Я. Брауэр. «Забудьте о бессмысленных знаках», – говорил он. Его идеей был «конструктивный» подход: математический объект – это не абстракция на бумаге, а нечто вроде пошаговой инструкции, созданной человеческим разумом. Выражаясь мистическим языком, он видел в математическом объекте становление, а не бытие. Это был новаторский подход к математике, который Брауэру и его сторонникам казался глубоким и единственно верным. Работу Гильберта он презрительно называл «пустым» формализмом и наотрез отказывался признавать существование в математике чего-либо, что нельзя было явно сконструировать в уме. Эти расхождения привели к конфликту Брауэра с Гильбертом. Когда-то они были друзьями, но со временем стали испытывать глубокую неприязнь к работе друг друга, а в итоге – и личную вражду.

Великая математическая война разворачивается до, во время и после Первой мировой, охватывая период в 55 лет: с 1883 по 1938 год. Существует поразительная параллель между битвой за основания математики и ужасами Первой мировой войны, превосходящими ее по масштабу на много порядков. И то и другое было продиктовано одними причинами: ощущаемыми фундаментальными изъянами, верой в трещины в фундаменте, мнимыми экзистенциальными угрозами, столкновением мировоззрений и всей той ложью, которую мы говорим сами себе. Борьба за превосходство в Первой мировой войне считалась необходимым злом для того, чтобы уладить дела геополитически, и те же самые мотивы стоят за Великой математической войной и ее попыткой математически разрешить фундаментальные изъяны.

Эта книга также об изъянах вообще. Обо всем том несовершенстве, бессилии, бесполезности, бездарности, нехватке, скудости, упущениях, слабостях и тщетности, что мы видим вокруг, – а также о тех попытках исправить эти изъяны, которые оборачиваются то добром, то разрушением. Это история о жестокой войне, яркой надежде, забытом прошлом и приукрашенном будущем. Об успехе и неудаче. Об испытании огнем. О холодном, горьком утешении. Об амбициях. Храбрости. Истинной любви. Бесконечной сердечной боли. Гнусных сплетнях. Неизменной дружбе. Мире. Мелочности. Ужасе. И человеческой справедливости.

* * *

В последние месяцы, дописывая книгу, я постоянно ловил себя на мысли: как жаль, что я не могу показать ее отцу. Этому хиппи. Философу. Музыканту. Бунтарю. Искателю мудрости. Ему бы она пришлась по душе. Я был рад показать черновик маме. И буквально перед этим я нашел разгадку той надписи на старом томике Рассела. Это отсылка к словам, которые Рассел сказал своему самому известному ученику, Людвигу Витгенштейну, в 1912 году. Он отчитывал его за самонадеянность. Впрочем, какой именно смысл вкладывала мама, адресуя эти слова отцу, я никогда не узнаю.

Глава 1. 1900: суд Париса

«Я – Озимандия, великий царь царей.
Взгляните на мои деянья и дрожите!»
Кругом нет ничего. Истлевший мавзолей
Пустыней окружен. Гуляет ветр свободный
И стелются пески, безбрежны и бесплодны.
Перси Биши Шелли
(пер. Н. Минского)

В тот день на исходе лета 1900 года, когда он приехал, в Париже стояла жара. Город переполнен. Очереди в рестораны растянулись до дверей. Все отели забронированы. Улицы забиты людьми – буквально под завязку. Что-то происходит, и толпа это знает. Чувствует кожей. Люди изнывают и жаждут это вкусить.

Воздух влажный, напоенный ужасными запахами. Дурной воздух. Застоявшийся. Те самые малярийные миазмы из суеверий и легенд. Забытое зловоние. Гнетущий смрад. Толпы в августе. Тот отталкивающий старческий запах Парижа довоенной эпохи: печеный хлеб и запах пота. Он обжигает нос, заполняет легкие и просится наружу с кашлем и мокротой.

Но в то лето над городом витает и сладкий аромат – пусть воображаемый, но ни с чем не сравнимый – тонкая нотка пачули, дуновение надежды. Люди знают этот запах. Они дышали им взахлеб. Бывают ароматы, которые трудно вспомнить, но невозможно не узнать – как запах свежескошенной травы. Вот так, друг мой, и пахнет будущее: надушенной надеждой! Ради этого полмира и съехалось в город. Люди примчались отовсюду. Чтобы вдохнуть полной грудью. Они побросали свои загородные дома, покинули окрестные деревни и оставили сады зарастать бурьяном. Все в Париже, в этот жаркий, великолепный, тесный, вонючий день, – и все в восторге. А как иначе?! Что за день это был!

Вот продуваемый ветерком внутренний двор отеля, заставленный столиками, между которыми снуют высокие официанты. Светский Париж – это «Ритц». То лето запомнилось фруктами, заливным из птицы и устрицами. Шеф-поваром только что назначили самого Огюста Эскофье, прозванного королем современной французской кухни. Ему пришлось спешно покинуть лондонский «Савой» из-за громкого скандала, но об этом лучше умолчать. Неподалеку работало другое кафе, любимое многими, но не такое приметное. Оно скрывалось в злачном подбрюшье старого Парижа. Темное и притягательное место. По соседству с кафешантанами и проститутками, это был полумрак, где ночь превращалась в день и обратно и где сидел Анри де Тулуз-Лотрек, яростно делая наброски. Настоящее там было прошлым.

Рядом возвышалась недостроенная византийская базилика Сакре-Кёр. В 1900 году там часто бывал подросток Пабло Пикассо. Он вот-вот вступит в свой «голубой период». Какое это было время для искусства! В Барселоне визионер Антонио Гауди возводил свои криволинейные шедевры. На американском Среднем Западе Фрэнк Ллойд Райт создавал органическую архитектуру – маяки света во тьме провинции. Этель Бэрримор блистала на сцене в Нью-Йорке, Сара Бернар – в Лондоне. Юный Джеймс Джойс готовился покинуть Дублин, а Джек Лондон обосновывался в Калифорнии после золотой лихорадки на Юконе. Антон Чехов, Эптон Синклер, Маргарет Сэнгер, Марк Твен, Лев Толстой, Генрик Ибсен, Джозеф Конрад, Ида Тарбелл, Герберт Уэллс, У. Э. Б. Дюбуа, Редьярд Киплинг и Роберт Фрост – все они писали и активно публиковались.

Но люди приехали в Париж в этот жаркий августовский день 1900 года, чтобы увидеть будущее, а не прошлое.

Всемирная выставка 1900 года в Париже

Больше великолепия, чем может вместить взгляд, – вот что продали этой толпе. Вот чего все ждали восемь лет. И вот почему они здесь. Обещанное чудо – это Парижская выставка, единственное в жизни событие: электромеханический, технологический, поразительный триумф науки. И теперь оно развернуто перед ними: будущее, словно теплое одеяло. Оно интернационально. Оно универсально. И оно здесь. Момент настал. L’Exposition universelle internationale de 1900. И она оправдала все ожидания. Получить обещанное – высшая форма удовлетворения.

Почти 40 миллионов человек проходят по улицам Парижа этим летом. Они стекаются, толпятся, набиваются, толкаются, пихаются, стоят в очередях, теснятся, давясь, протискиваются и пробиваются вперед. Они пришли увидеть всё. Машины-монстры. Механические чудеса. Электрические грезы. Повсюду новейшие, гудящие лампы накаливания. Один дворец сияет пятью тысячами ламп – говорят, это новый рекорд. Изумительно! Невероятно! Столько всего вокруг. Все так впечатляет и слепит глаза. Будущее в 1900 году похоже на нынешние фантазии в стиле стимпанк – пугающее и одновременно притягательное, как нашивка байкерской банды на потертом жилете. Они видят все это.

Совершенно новые здания приветствуют толпы. В павильонах техники выставлены потребительские диковинки. Первая камера-ящик «Брауни» фирмы Kodak. Первая пластиковая пленка – маленькое кухонное чудо. Здесь – первые в мире беспроводные радиоприемники. Там – одни из первых рентгеновских аппаратов. Люди не могут дождаться, чтобы пройти сканирование. Щелк! Движущиеся тротуары везут их по выставке. Щелк! Тракторы. Автомобили. Такси. Щелк! Грузовики – на бензине, на электричестве, с кожей и рукоятками стартеров. Щелк! Первые в мире эскалаторы, бегущие бесконечно. Вверх, вниз, внутрь, наружу – здесь собрано все.

А искусство – о это искусство!

Галереи. Сады. Картины. Скульптуры. Это событие года, пишет один художественный журнал. Значение Всемирной выставки 1900 года невозможно переоценить. Ничего подобного мир еще не видел, и столь грандиозная экспозиция вряд ли когда-либо повторится. Десятки художников. Сотни галерей. Тысячи полотен. Мраморное изобилие. Самые прославленные живописцы и скульпторы мира. Клод Моне. Анри Матисс. Поль Сезанн. Эдвард Мунк. Огюст Роден. «Коллекция, – с гордостью пишет журнал, – какую за всю историю человечества редко (если не сказать никогда) удавалось собрать».

Всё лето Париж – это место, куда стремятся все.

Рождение футуризма

Неподалеку, в душной университетской аудитории, этим жарким утром августа тоже вершится будущее. Жара стоит угнетающая. Зал гудит. Он здесь! Небольшая толпа рассаживается в волнении. Он направляется к трибуне. Он для них – один из их Матиссов, их Мане, их Моне, их Сезаннов, их Эскофье, их Бернар и их Бэрриморов. Живое воплощение величия.

Помимо Всемирной выставки, этим летом в Париже происходит еще одно событие, правда, в душном зале: II Международный конгресс математиков. Это роскошное ассорти из лакомой науки – «первый сорт», как любили говорить в 1900 году.

Организаторы надеялись, что Выставка послужит приманкой. Они пели ей дифирамбы. Приятное развлечение. Будущее технологий. Потрясающее искусство. Математики ждали 1000 делегатов и еще 680 членов семей. Но приехало куда меньше. Поэтому теперь, когда конгресс начался, они наперебой ругают Всемирную выставку. Слишком шумно. Неприятные толпы. Слишком много туристов. Переполненные отели. «Адская жара». Сплошные отвлекающие факторы. Один из журналов, освещавших конгресс: Bulletin of the American Mathematical Society – прямо возложит вину за низкую явку на Парижскую выставку. Многие не приехали, пишет репортер, «хотя при иных обстоятельствах непременно присутствовали бы». Позор!

Тем не менее они многое потеряли. Те сотни, что приехали, оказались на месте. И их ждало нечто особенное, уникальное: видение будущего математики, отражающее тот футуризм в духе стимпанка, которым были пронизаны технические стенды Выставки.

Футуризм – можно ли уже называть это так? В 1900 году он только делает первый вдох. Само слово «футуризм» появится лишь через девять лет, в конце десятилетия – незадолго до ужасов Первой мировой войны, – когда итальянский поэт Филиппо Томмазо Маринетти напишет манифест всему быстрому, техническому и агрессивному.

Но даже если люди в 1900 году не знают, как назвать свои грезы о грядущем, они точно знают, что чувствуют. Будущее наэлектризовано. Оно захватывает. Оно витает в воздухе города. Люди думают о нем. Люди любят его. Слава. Гений. Будущее.

* * *

В футуризме в 1900-м, как и сегодня, царит неопределенность: тот тонкий аромат надежды, похожий на запах свежей травы. Иллюзорное видение технологий. Чудовищное. Сияющее. Металлическое. Будущее – это обещание, это фантазия. Идея о том, что необъяснимое неизбежно изменит невозможное. Наша жизнь станет лучше. Конечно, станет. Будущее – это благо. Будущее светло. Будущее здорово. Оно справедливо. Новые технологии. Высокая скорость. Лучшие лекарства. Потрясающие машины. Огни, освещающие путь. И механизмы, которые нас везут.

В 1900-м появляются самолеты. Приходят и автомобили. Собственно, только что состоялась первая автогонка. В этом году в Нью-Йорке откроется и первый автосалон. Но не обязательно ехать в Америку, чтобы увидеть эффект. Париж этим летом наводнен собранными вручную, изрыгающими дым, надрывно кашляющими авто и грузовиками. Они заполонили улицы. Люди изумлены. Все в восторге. Все эти машины просто невероятны. Выхлопные трубы и надежда. Слышны хлопки двигателя. Чувствуется запах гари. Зажигание. Поршни. Смог. Выхлоп. Рев двигателя. Крики толпы. Шум стоит в воздухе.

Зрители ахают и охают. Большинство из них никогда раньше даже не видели автомобиля. Только чудовища могут издавать такие звуки!

Красота математики

В первый день конгресса математики встречаются на официальном приеме в кафе «Вольтер». На следующий день они собираются во Дворце конгрессов на территории Выставки для церемонии открытия. Присутствует и прославленный французский математик Жюль Анри Пуанкаре. Математику, говорит он, нужно развивать ради нее самой. Это не какой-то тупой инструмент для рытья ям, а инструмент высокой точности – орудие огромной мощи. Математика – не ржавая лопата, по сути заявляет Пуанкаре. Это инструмент несравненной значимости. Вещь редкой красоты. Искусство!

На третий день собрания – сегодня – слушатели занимают места в душной лекционной аудитории Сорбонны. Вот и они, а вот и он. Они пришли послушать этого 38-летнего немецкого математика, который будет говорить… о геометрии, может быть?

Зал издает стон глухого облегчения, когда он выходит на сцену. Им не терпится начать, потому что им не терпится поскорее закончить. И неудивительно. На заре эпохи научных конференций в 1900 году доклады обычно были плохими или еще хуже. Трудные темы. Монотонные голоса. Непрозрачные идеи. Сплошные эксперты. Неловкая манера речи. Часто неуверенная. Обычно изматывающая. И почти всегда, как пишет британский математик Шарлотта Ангас Скотт, освещающая конгресс для Американского математического общества, «утомительная и невразумительная». Гениальности всегда тяжко, когда ее подгоняют.

Но не сегодня.

Никто в аудитории не догадывается, что сейчас произойдет. Да и как они могут? Немецкий математик Давид Гильберт стоит за кафедрой, готовый совершить революцию в профессиональных выступлениях. Эта лекция навсегда изменит то, как мы говорим о науке. Она знаменует момент, когда мы выходим за пределы уже сделанного и фокусируемся на том, что будет сделано или чем наука должна стать. Это речь, которая прославит научные лекции, – настоящий, «оригинальный» TED Talk, состоявшийся почти за столетие до того, как подобные вещи вообще появились на свет.

Но откуда знать об этом зрителям? Конечно, Гильберт – восходящая звезда. Это видят все. Некоторые называют его величайшим математиком эпохи. Он только что выпустил знаменитую книгу «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometrie), основанную на цикле весьма смелых лекций, которыми он потряс аспирантов в Геттингенском университете. Это был успех мечты. Лекции поспешно стенографировали, текст и рисунки сверстали в книгу и срочно сдали в печать. То, что вышло в свет, было необычным и неожиданным – маленькая книга, но с огромным значением. И очень успешная. Первые экземпляры раздали на мероприятии в его университете в Геттингене. Вскоре появилось французское издание. И к моменту Парижской выставки эта книга была у всех на устах в математических кругах. Новая и интригующая. Революционная!

Что такое впечатляющее он сотворил? В своей книге Гильберт возвращается к простому предмету школьной геометрии и выстраивает его заново, с нуля, на новых основаниях. Он не желает относиться к предмету так, как это делали учителя, монахи, ученые, древние греки, исламские мудрецы и безвестные египетские математики на протяжении тысячелетий, с седых времен самого Евклида. Неукрощенной. Нетронутой. Неизменной. Это не было его целью.

* * *

Древний александрийский математик Евклид был пионером аксиоматического метода, определив пять знаменитых «постулатов», или аксиом, в начале своих «Начал» – пожалуй, самой известной математической книги всех времен, которая и в 1900 году оставалась главным учебником геометрии. Но годом ранее Гильберт ввел в предмет новый, расширенный набор постулатов. Он сгруппировал их по темам: геометрическая непрерывность, принадлежность, конгруэнтность и порядок. Не увязая в деталях, достаточно сказать, что с выдающейся креативностью и впечатляющей строгостью он блестяще переработал геометрию – науку с 2000-летней историей.

Все по-настоящему впечатлены. Как пишет биограф Гильберта Констанс Рид, в одной американской рецензии на его книгу 1899 года сказано, что она «сделает многое для логического обоснования всей науки и для ясности мышления в целом». Книга мгновенно становится математическим бестселлером. «Основания» осыпают комплиментами. Их называют жемчужиной. Драгоценностью. Интеллектуальным шедевром. Современный британский философ Питер Саймонс называет книгу «радикально новаторской». Чистое искусство!

И вот – в этот жаркий парижский день лета 1900 года – Гильберт здесь. Наконец-то. В воздухе висит жара. Люди проходят в зал. Находят места. Усаживаются. Некоторые промокают лбы платками. Другие стоят вдоль стен. Все ожидают очередного погружения в геометрические дебри. Возможно, он опишет историю создания своих «Оснований геометрии». Возможно, поговорит о чем-то другом. Кто знает? Название лекции простое: «Математические проблемы» (Mathematische Probleme).

Только один человек в мире точно знает, о чем будет говорить Гильберт, – его хороший друг Герман Минковский, еще одна математическая легенда.

Учитель физики у Эйнштейна

Еще подростком Минковский выиграл крайне престижную математическую награду Французской академии наук за работу о сложных функциях, известных как квадратичные формы. В то время вручение вызвало скандал, так как французы присудили премию совместно ему и Генри Джону Стивену Смиту – английскому математику, который был намного старше и авторитетнее. Смит работал над этими квадратичными формами много лет, еще до рождения Минковского, поэтому необходимость делить премию казалась досадной, если не оскорбительной. Учитывая специфику англо-французских отношений в XIX веке, в Академию была подана официальная жалоба, которую там благополучно проигнорировали.

Но еще большую известность Минковский обретет через несколько лет, заслужив уникальный статус учителя физики Альберта Эйнштейна. Впрочем, он и сам по себе гений. Любой, кто касался специальной теории относительности, знает его имя. Математическое описание четырехмерного мира часто называют «пространством-временем Минковского» в честь его вклада. Его видение пространства как четырехмерного «многообразия», включающего время, – это достижение, которое навсегда свяжет Минковского со всеми странными и чудесными результатами специальной теории относительности его ученика. Сокращение длины и замедление времени, при которых воображаемый космический путешественник мог бы полететь со скоростью 99,9 % скорости света к далекой звездной системе и вернуться через несколько лет, обнаружив, что его близнец постарел на десятки лет, – это красивые следствия данной трактовки методами дифференциальных уравнений.

Сегодня, в этот жаркий августовский день 1900 года, Минковский, уже в статусе полного профессора, находится в предвкушении. Несколько недель назад он узнал, о чем его друг Гильберт намерен говорить в Париже. План выступления прост. Вот несколько захватывающих проблем, говорит Гильберт. Теперь решите их! Услышав об этом, Минковский был просто ошарашен Гильбертом. Он в восторге. «Это сделает тебя знаменитым, – уверяет он Гильберта. – Это будет лекция, которую все ждали, даже не подозревая об этом». «О твоем выступлении будут говорить десятилетиями», – сказал ему Минковский перед началом.

«Математические проблемы» в названии доклада – это не то, что Гильберт или кто-то другой недавно решил. Речь пойдет не об уже сделанном, а о том, что предстоит сделать. Не просто о задачах, а о масштабных задачах – о дилеммах, которые терзали математиков годами. Об узлах, что сковывали науку десятилетиями, а то и веками. О каверзных математических казусах, которые отчаянно требуют разрешения. Он будет говорить о трудных проблемах – и чем труднее, тем лучше. «Математическая проблема должна быть трудной», – заявляет Гильберт с трибуны.

Позже журнал Nature напишет, что он выбрал эти проблемы, потому что они «бросают вызов» и позволяют заглянуть в математическое будущее. Решение этих задач, пишет Nature, «вероятнее всего, принесет огромную пользу», двигая науку вперед.

И Минковский прав, предсказывая успех выступления. Это математическое событие года. Десятилетия. Века – девятнадцатого, двадцатого, двадцать первого или всех трех сразу. Возможно, это лучший доклад тысячелетия. Позже некоторые назовут его самым важным выступлением математика во всей мировой истории. Он поражает десятки людей в зале и восхищает миллионы тех, кто прочтет о нем после. Любой, кому посчастливилось присутствовать там, запомнит это на всю жизнь. Это триумф, ломающий стереотипы, переворачивающий сознание и определяющий будущее, – триумф, бьющий наповал.

Двадцать три проблемы

Многие по сей день считают эту лекцию одним из величайших достижений Гильберта – удивительное утверждение, если учесть, сколько важных оригинальных идей он внесет в математику в грядущие десятилетия. Его именем названы десятки концепций, используемых сегодня: гильбертовы пространства, неравенства Гильберта, преобразования Гильберта, инвариантные интегралы Гильберта, теорема Гильберта о неприводимости, аксиомы Гильберта, гильбертовы поля классов и многое другое.

За следующие 30 лет у Гильберта защитятся около 40 докторантов. Для многих из них он останется самым великим математиком в их жизни. Взять хотя бы немецкого физика Макса фон Лауэ. Он ставил гений Гильберта выше своего собственного, хотя сам в 1914 году получил Нобелевскую премию за открытие дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Это открытие породило структурную биологию и химию и легло в основу современных методов создания лекарств. Но при всем своем блеске и успехе фон Лауэ признавал истинным гением именно Гильберта. «В моей памяти он остался, пожалуй, величайшим гением, которого мне довелось лицезреть», – говорил он.

Друзья и ученики говорили, что над Давидом Гильбертом никогда не заходит солнце, – и восход начался именно тем знойным утром в Париже.

* * *

Влияние речи Гильберта трудно преувеличить. В начале 1970-х Американское математическое общество провело целый симпозиум в Университете Северного Иллинойса, посвященный наследию этих проблем (изначально их было 10, но ко времени публикации статьи несколько месяцев спустя список расширился до 23). Итог конференции в Де-Калбе: проблемы породили «изобилие» новых методов и открытий. Именно этого Гильберт и добивался.

Сегодня, по сути, большинство его проблем решены – или же доказано, что они не имеют решения. Один из учеников Гильберта представил первое решение одной из 23 проблем спустя всего пару месяцев после лекции – это была сложная гипотеза о том, как разрезать тетраэдр, чтобы превратить его в куб. В последующие десятилетия решалось все больше проблем. Истории некоторых решений очень увлекательны. Вот несколько примеров.

Тринадцатая проблема Гильберта покорилась группе советских математиков, включая Владимира Игоревича Арнольда, который в послевоенные годы был 19-летним студентом МГУ. Эта проблема ищет нечто похожее на решение квадратного уравнения, но применимое ко всем многочленам, а не только к функциям двух переменных. Ее решение стало пропагандистской победой Советского Союза и подняло авторитет Арнольда – по крайней мере, на первых порах. Позже, в 1960-х, он впадет в немилость властей, когда подпишет письмо в защиту диссидентов. (Кстати, современный постскриптум: недавно к проблеме вернулся один тополог из Чикаго, который утверждает, что на самом деле она до сих пор не решена.)

К решению 10-й проблемы Гильберта после Второй мировой войны подступилась группа, в которую входил Хилари Патнэм – философ, который позже прославится идеей о влиянии контекста на коммуникацию. Будучи студентом-математиком, он участвовал в попытках решить эту задачу: существует ли общий алгоритм для решения определенных алгебраических проблем, названных в честь древнего математика Диофанта. Им не хватило совсем чуть-чуть. Позже, в 1960-х, Патнэм станет «хиппи-интеллектуалом», будет жить в коммуне, организовывать протесты против войны во Вьетнаме и увлекаться коммунизмом. А когда в 1970 году российский математик Юрий Матиясевич действительно решит 10-ю проблему, Патнэм напишет предисловие к его книге.

В 1997 году математик из Мичиганского университета Томас Хейлз представил доказательство 18-й проблемы – гипотезы Кеплера. Она утверждает, что самый эффективный способ укладки апельсинов, пушечных ядер или любых сфер для максимальной плотности – это «гранецентрированная кубическая упаковка» (когда каждый шар лежит на основании из трех других). Хейлз решил задачу методом грубой силы, используя суперкомпьютеры и геометрический анализ для перебора и сравнения мириад вариантов укладки. Это заняло 10 лет и потребовало колоссальных вычислений, но он это сделал.

Ирония в том, что доказательство вышло таким сложным (на 250 страниц!), что никто не мог сказать, верно оно или нет. Кто проверит проверяющего? Журнал Annals of Mathematics, куда Хейлз отправил статью, назначил команду из 20 ведущих экспертов. Задача оказалась такой неподъемной, что им пришлось собирать отдельный симпозиум, чтобы просто понять, как к ней подступиться. Потом рецензенты один за другим начали сходить с дистанции. В 2004 году журнал сдался: проверку свернули и опубликовали статью, заявив, что уверены в ней на 99 %.

Наконец, стоит отметить для вдохновения всех начинающих математиков, читающих эту книгу: одна из самых знаменитых из 23 проблем – 8-я проблема Гильберта, больше известная как гипотеза Римана, – все еще не решена. Мимо этого факта не проходят современные СМИ, которые в последние годы полюбили без тени иронии называть ее «самой важной нерешенной проблемой математики». Вот уже 25 лет, к моменту выхода этой книги, доказательство гипотезы Римана является одной из «Задач тысячелетия» – вызовом, вдохновленным проблемами Гильберта, который поддерживает Институт Клэя. На кону стоит 1 миллион долларов. Так что решайте!

Хотя сказать проще, чем сделать. Гильберт и сам подозревал, что с 8-й проблемой придется повозиться. Много лет спустя после той лекции его спросили: «Что бы вы сделали, если бы очутились в будущем через 500 лет?» Первым делом, ответил Гильберт, я бы отловил какого-нибудь математика и спросил: «Ну что, гипотезу Римана уже доказали?»

Ответ сегодня остается тем же, спустя 125 лет после его доклада и по прошествии более чем пятой части его 500-летнего мысленного эксперимента: Нет!

Безудержная вера в решения

1900-й – это заря новой эры, время грандиозных замыслов и неуемных амбиций Давида Гильберта, которые расцвели в его знаменитом выступлении. Его лекция подобна религии. Откровению. Это настоящее молитвенное собрание, где Гильберт, словно харизматичный пастор, читает простую и зажигательную проповедь.

Он предлагает видение будущего, где любая математическая задача имеет решение, – я называю это евангелием «безудержной веры в решения». Если проблему можно логически поставить, утверждает Гильберт, вы рано или поздно решите ее, приложив достаточно труда, времени, энергии и чистого разума. Его послание парижской аудитории простое: вот проблема, ищи решение. Это, по его словам, «постоянный призыв».

Не все разделяют его мнение. Многие современники Гильберта принадлежат к конкурирующему, ограничительному лагерю, популярному в конце XIX века; они исповедуют концепцию «непознаваемых неизвестных». Вещи, на которые мы не можем ответить. Задачи, которые мы никогда не решим. Вопросы, которые мы, возможно, не в силах даже задать. И ответы, которые нам не суждено узнать. Эта соперничающая философия зовется «торжествующим пессимизмом» – безнадежно негативное, но тем не менее популярное мировоззрение, обязанное своим влиянием одному человеку: французскому философу и физиологу Эмилю Дюбуа-Реймону, который стал пионером этой идеи поколением ранее.

Днем Дюбуа-Реймон был серьезным ученым-физиологом с мировым именем. Отцом электрофизиологии, если уж на то пошло. Именно он открыл потенциалы действия – те самые электрические «импульсы» в нервных клетках, на которых держится вся наша нервная система и мышление: от боли и памяти до логики и чувства вкуса. Но по ночам он плел философские сети и рассуждал о непостижимом. В 1872-м он выдал свое кредо: Ignoramus et ignorabimus («мы не знаем и не узнаем»). Эхо этого выступления гремело десятилетиями. И когда 28 лет спустя на трибуну поднимается Гильберт, ему приходится продираться сквозь толпу всех этих проповедников незнания.

Вся лекция Гильберта, а по мнению некоторых, и весь его подход к математике – это масштабный ответ Дюбуа-Реймону. Он рассматривает математику как единую ткань, состоящую из отдельных волокон – геометрии, алгебры, теории чисел, логики, математической физики. Все они образуют единое, гармоничное, переплетенное полотно, которое покрывает все и способно открыть что угодно. Рывками и скачками к концу XIX века математика проникла во все уголки науки, заполняя пробелы и скрепляя трещины в человеческом познании.

Наконец, в 1900 году, после столетий успехов и побед, люди уже давно превозносили математику, называя ее царицей наук. Лекция Гильберта о 23 проблемах – это, по сути, громкая защита его царицы. Она может все. Она – это все. Если его речь – величайший призыв к оружию, который знала наука, то это триумф Царицы Математики. «В математике, – говорит Гильберт, – не существует ignorabimus!»

И все же в глубине души он таит сомнение. За маской вечного оптимизма часто прячется тихое отчаяние. В 1900 году Царица Математика в опасности, и Гильберт это понимает.

Любая власть конечна. Правителей свергают, не переизбирают, или же их срок проходит. Они уходят в отставку или умирают в должности. Неодушевленные предметы тоже разрушаются. Вещи ломаются, теряют актуальность, приходят в запустение. Здания рушатся. Города осыпаются. Нации исчезают. Империи гибнут. Даже идеи и творения ума не могут избежать этой участи. Песни остаются непетыми. Истории – нерассказанными. Память слабеет. Знания забываются. Имена стираются. Величие угасает. Парадигмы свергаются. Время уничтожает любого монарха, даже величайшего Озимандию. Гильберт боится такой судьбы для старой Царицы Математики. Похоже, ее золотые дни подходят к концу. В 1900 году математика чувствует себя колоссом на глиняных ногах. «Взгляните на мои деянья и дрожите!»

Вот почему он приехал в Париж. Вот почему он говорит о будущем. В этом весь смысл его оптимизма: будущее должно сиять, а не пугать тьмой. Гильберт встревожен, и он не собирается бросать судьбу Царицы на произвол судьбы. Он хочет определить курс науки на столетие вперед, и эта лекция – его главный ход.

Его Царица при смерти, и он намерен в одиночку спасти ее.

«Взгляд не вынес бы большей роскоши»

По другую сторону Ла-Манша другая властительница занимает одинокий трон. Ее мир тоже переживает кризис. Александрина Виктория находится на закате долгого и славного правления. Она королева с 1838 года, что делает ее вторым по длительности правления монархом Британии (до тех пор, пока в 2020-х ее не обойдет Елизавета II).

Виктория – правитель уникальный, хотя, честно говоря, на старте планка была не так уж высока. Когда она взошла на трон в возрасте 18 лет, 20 июня 1837 года, троих ее предшественников – Георга III, Георга IV и Вильгельма IV – некоторые считали сборищем глупцов. Американский журналист и историк Роберт К. Мэсси называет эту троицу «имбецилом, мотом и паяцем».

Виктория твердо решила не быть таким же посмешищем и неудачницей, как они. «Я очень молода, – объявила она, принимая власть, – но уверена: мало у кого больше доброй воли и искреннего желания поступать так, как должно и правильно».

Империя, которую она унаследовала, была готова к росту. Охвачена воодушевлением. Британия откликнулась на призыв королевы и расширилась – это были лучшие шесть десятилетий, которые когда-либо видела империя. Поначалу ее колониальные владения напоминали случайный набор фишек из мешка: Гамбия, Калькутта, Гудзонов залив, Ньюфаундленд, Южная Африка, Австралия. Но к 1900 году, к концу ее правления, империя разрослась, включив в себя тысячу озер, 2 тысячи рек, 10 тысяч островов и больше пустынь, гор и побережий, чем можно обойти за всю жизнь. Только за последние 25 лет XIX века Британия добавила 12,3 миллиона квадратных километров суши и накрыла своим имперским зонтиком 90 миллионов человек (для сравнения: все население Земли в 1900 году – 1,9 миллиарда).

К 1900 году Великобритания собрала колонии по всему свету. Теперь ей принадлежит более пятой части всей суши на планете. Британия повсюду. Могущественная империя Виктории правит морями. Британские флаги развеваются над портами от Вэйхайвэя до Веллингтона, от Галифакса до Гибралтара, от Кейптауна до Фолклендов и от Черт-те-откуда до Черт-знает-где.

Британские законы управляют городами. Британские идеи проникают в культуру. Британское влияние меняет мужской костюм. Темный шерстяной костюм, который мы привыкли считать итальянской классикой, на самом деле был изобретением лондонских модных домов XIX века. К 1900 году он становится нормой. Американские послы, венгерские официанты, русские музыканты, японские банкиры, бразильские гробовщики, немецкие математики, мексиканские президенты – все носят его. И все самодовольные, красующиеся дельцы с Кей-стрит и Уолл-стрит наших дней должны благодарить модников золотого века Британской империи за свой обязательный деловой стиль.

Каждый четвертый житель Земли в 1900 году – подданный Британии. Что это значит? Английская речь. Английское право. Глобальные банки. Свободная торговля. Поставки всего и вся. Поля для крикета. И тот самый тонкий, ванильный аромат свободы.

* * *

Если солнце никогда не садится над Британией, оно точно никогда не садится над королевой Викторией. Ее называют «воплощением стабильности». Большинство никогда не знали другого монарха. Когда в 1897 году праздновали бриллиантовый юбилей – 60-летие ее правления, – Лондон кипел. Красные дорожки, толпы монархов и политиков. Это был величайший парад военного тщеславия, какой видел мир. 47 тысяч солдат со всей империи прошли торжественным маршем. Безупречные мундиры. Золотые и красные плюмажи. Драгуны и кортики. Жандармы-заптии и воины-даяки. Гуаяберы и фески. Ножны в перьях и верблюжий корпус. Гусары и шумные колонны. Какое великолепие! «Взгляд не вынес бы большей роскоши», – заметил очевидец.

«Самая могучая и благословенная империя в истории человечества», – писала The Times. «Почти несокрушима», – вторила ей берлинская Kreuzzeitung (имея в виду империю, если не саму королеву). Почти несокрушима!

Но три года спустя, незадолго до триумфа Гильберта в Париже, от парадных треуголок не осталось и следа. Праздник кончился. Над Британией сгустились тучи, королева Виктория была мрачной. В начале 1900 года ее сфотографировали в открытом экипаже: угольно-черный костюм и шляпа с белым пером. Это был официальный визит в Дублин. Британия воевала, и королева занималась набором рекрутов. Дела шли очень, очень плохо.

Так быть не должно. При Виктории Британия почти не знала поражений. Империя выиграла около 72 «малых войн» и всегда выходила победителем. Ее армия была современной. Отлично экипированной. Грозной. Это были опытные солдаты, профессионалы. Офицеры – сливки аристократии. Рядовой Томми Аткинс и Лорд Как-его-там в седле были всегда готовы под барабанную дробь проложить путь к славе – кровавый шаг за кровавым шагом. Красота!

Но в 1900 году Британия увязла в конфликте, который совсем не походил на «малую войну». В Южной Африке она столкнулась с врагом, который, как считалось, не знал строевой подготовки. Никогда не маршировал. Не имел военного образования. Носил пыльное тряпье. Недисциплинированное ополчение – сброд, а не армия. Еда в мешках и клячи, которым самое место на живодерне. Оборванная банда «потрепанных жизнью стариков и мальчишек-недорослей», ведущая войну без отрыва от фермы. Именно такую картину рисовали британской публике.

Но эта версия событий не стыкуется с реальностью. В 1900 году она кажется ложью. А действия, основанные на ложном фундаменте, всегда подозрительны. Война быстро превратилась в самый долгий, дорогой и смертоносный конфликт в истории империи. Призыв «Бог, Королева и Англия» звучит хрипло, как стон отчаяния. Королева в Дублине носит черное. Боль – ее меховое манто. Молчание – ее дрожащая шаль. Вся империя в трауре.

* * *

Тем временем в Южной Африке на берег сходят солдаты. Стучат сапогами по трапам, пересекают доки. Совсем еще мальчишки, еще не мужчины. Хохочут. Грузятся в вагоны. И сотни миль трясутся под перестук колес. Поезда не простые – военные. Бронированные вагоны, пулеметные башни, прорези бойниц по бортам. Следом тянутся санитарные вагоны. Эшелоны ползут по пыльному африканскому вельду. Где-то там война. И там же правда – голая, логическая правда войны. Трупы. Смерть. Слава? Война – это не столько вранье другим, сколько ложь самим себе. Иллюзия спасения в общем строю. Мятый хаки. Тугие воротнички. Новая форма, поначалу чистая. Затем пыльная. Затем красная. Затем черная.

Королева умирает в 1900 году. И в этом мрачном закате нет никакого величия. Фески полиняли. Драгуны заколоты. Рубашек-гуаябер и след простыл. Дублин 1900-го – начало последнего года жизни Виктории.

В то лето вся Европа предвкушает будущее, глядя на чудеса искусства и техники в Париже. Но если 1900-й кажется рождением сказки, то ближайшие годы покажут, что это заря ужаса. Очень скоро Великая война потрясет Европу до основания. Мир изменится навсегда – и в политике, и в математике. Все стоит на зыбком фундаменте.

Насилия и надежды восход!
Но в будущем нас мало что ждет!
Грядет десятилетий кошмар!
И войн нескончаемый жар!
Не будет радости нам никакой,
Лишь двух властительниц вечный покой!
То лето…
тот день…
та толпа…
та выставка…
та речь…
1900-й
Париж.

Глава 2. Приключения деревянного человечка: 1883–1884

Поэт должен видеть то, чего не видят другие… математик должен делать то же самое.
Софья Ковалевская

Год 1883-й. Происходят четыре события, которые станут прологом к Великой математической войне, растянувшейся на 55 лет. Четыре события, четыре перекрестка судьбы и четыре героя: Софья Ковалевская, Георг Кантор, Бертран Рассел и Пиноккио – ну, по крайней мере три человека и одна деревянная кукла.

Пиноккио буквально врезается в нашу память в 1883 году, когда в Италии выходят в свет «Приключения Пиноккио» Карло Коллоди. Книга не то чтобы перевернула мир – это случится полвека спустя, когда Уолт Дисней увековечит на экране этого очаровательного лживого чурбана с растущим носом и ослиными ушами. Он вечно принимает неверные решения, связывается не с теми друзьями, и с удачей у него совсем беда. Но зачем нам этот нелепый дурачок? Какое отношение этот бестолковый Одиссей имеет к истории математики? Ровным счетом никакого! Но это книга о лжи – о лжи, которую мы говорим другим, и, что важнее, о лжи, которую мы говорим себе. Пиноккио – не просто меткая метафора для нашей истории. Он ее живое, деревянное воплощение. Настоящий мальчишка!

* * *

Одновременно с рождением Пиноккио свой собственный важный выбор делает и один настоящий, живой мальчишка. В конце лета 1883 года в Англии 11-летний Бертран Артур Уильям Рассел внезапно увлекается математикой. Его брат Фрэнк проводит каникулы дома, убивая время перед отъездом в Оксфорд. Одним августовским утром он решает показать младшему брату кое-что из самой известной математической книги в истории – «Начал» Евклида. Это классический, пусть и сухой, утомительный стандартный текст по геометрии возрастом в 2 тысячи лет. (И та самая книга, которую Гильберт переосмыслит 16 лет спустя в своих «Основаниях геометрии».)

«Сегодня днем я дал Берти первый урок по Евклиду, – вспоминает Фрэнк. – Он справился очень хорошо, мы прошли половину определений».

Для Рассела это один из величайших моментов жизни – но также и один из самых разочаровывающих. «Ослепительно, как первая любовь», – назовет он это чувство. Однако вскоре он спотыкается, когда они доходят до аксиом Евклида – так называемых пяти постулатов, служащих фундаментом для всей остальной книги.

«Откуда мы знаем, что эти постулаты верны?» – спрашивает юный Берти.

«Доказательств нет, – говорит Фрэнк. – Их нужно просто принять».

Это, как позже вспомнит Рассел, было ударом. «Мои надежды рухнули», – говорит он.

Тем не менее этот «братский момент» отправляет его на долгий и извилистый путь к философии, математике и поиску абсолютной логической истины, как только первоначальное разочарование сменяется отчаянной решимостью.

Тем не менее этот момент, когда ему пришлось уступить как младшему брату, выводит его на долгий и мучительный путь к философии, математике и поиску высшей логической истины. «Почему я должен принимать эти вещи, если их нельзя доказать?» – скажет он позднее. Доказательства появятся, причем довольно скоро.

* * *

Попав в университет, Рассел не теряет времени. В Тринити-колледже Кембриджа он погружается в математику и становится одержим логикой. Казалось бы, странный путь для человека с его происхождением – аристократа из мира привилегий и накрахмаленных воротничков. Он происходит из великой семьи. Старинного, влиятельного и богатого рода Стэнли из Олдерли, чье состояние берет начало в английской Реформации. Столетиями ранее, когда король Генрих VIII порвал с католической церковью, захватив огромные земли и средства, многие из этих богатств отошли его верным сторонникам, включая предков Бертрана. Расселы в одночасье стали баснословно богаты. Глава их клана получил титул графа Бедфорда и обширные владения в Девоне, Корнуолле и Дорсете.

Спустя столетия рождается Берти, как позже будут называть его друзья и семья, – младший сын виконта Джона Рассела, известного как лорд Амберли, и виконтессы Кэтрин Луизы Стэнли Рассел, леди Амберли. Его дед, лорд Джон, – знаменитый политик, прогрессивный парламентарий и последний член либеральной Партии вигов на посту премьер-министра. Лорд Джон прославился своими законодательными успехами: реформой смертной казни, защитой прав рабочих, настойчивым внедрением законов о здравоохранении и расширением избирательных прав для многих британцев (хотя и не для женщин). Чарльз Диккенс был так очарован лордом Джоном, что посвятил ему «Повесть о двух городах»: «в знак памяти о многочисленных заслугах перед обществом и о внимании, многократно оказанном автору».

Жена лорда Джона – бабушка Бертрана, леди Фрэнсис Анна Мария, графиня Рассел. В 1883 году она возлагает на мальчика большие надежды, вкладывая в него все свои мечты о будущем с пеленок. Она считает само собой разумеющимся, что он добьется величия и совершит грандиозные дела. И почему бы нет? Очевидно, однажды он станет премьер-министром. Она знает это и говорит об этом без тени иронии. Ее влияние на Берти было странным, глубоким, пожизненным и, возможно, даже губительным – этакая мощная смесь из высокородного «положение обязывает», взбитая с меланхоличным самоотречением, с добавлением нотки религиозного рвения и поданная холодной, со льдом.

«Чувство общественного долга», – напишет Рональд Кларк, биограф Рассела конца XX века, – «пропитывало этот дом, как запах хмеля пивоварню».

Кейт и Джон, Дуг и Кейт

Детство Рассела отмечено прежде всего одиночеством – и не только из-за гнетущего давления семейных ожиданий и его собственной замкнутости. Его ранняя жизнь омрачена трагедией и полна потерь. Его родители, Кейт и Джон, были страстными, душевными и прямыми либералами. В десятилетие перед его рождением они находились на острие политической борьбы за права женщин. Отец Берти, Джон, был молодым членом парламента, но разрушил свою карьеру в самом начале, еще до рождения сына, выступив за легализацию контроля рождаемости – тему крайне скандальную для викторианской Англии XIX века. Пресса не оставила от него камня на камне, и разразившийся скандал привел его парламентскую деятельность к бесславному концу после первого же срока.

После этого жизнь в доме стала странной. У Амберли поселился жилец по имени Дуглас Сполдинг – биолог-любитель, который произвел фурор в экспериментальной психологии, открыв явление импринтинга у цыплят: он заменял им наседку с момента вылупления. И они следовали за ним повсюду, целая стайка пищащих птенцов, кудахча так, словно он их понимал.

Дом Расселов был наводнен мелкими экспериментами Дуга. Много лет спустя Рассел вспоминал странные сцены, похожие на лихорадочный бред. Всякого рода безумные странности. Вскрытие живого лосося. Сполдинг, отрезающий головы осам. Птенцы, запертые в крошечных коробках с рождения, ни разу не взмахнувшие крылом, – так проверяли, смогут ли они летать взрослыми. Его эксперименты кажутся грустными и жестокими по нынешним этическим стандартам; ни одна современная комиссия по этике их бы не пропустила. Пожалуй, и к лучшему, что большая часть его трудов забыта.

Однако самый смелый эксперимент Сполдинга касался родителей Рассела, Кейт и Джона. Кейт была ассистенткой Дуга, и они спали вместе – открыто и, по-видимому, с согласия ее мужа Джона. У Дуга был активный туберкулез – та иссушающая легочная инфекция, которую в те забытые дни называли чахоткой. Она десятилетиями терзала Европу, возведя этот изможденный, бледный вид с лихорадочным румянцем в ранг своеобразного «героинового шика» той эпохи. Шарлотта Бронте однажды назвала чахотку «болезнью, которая красит», и дамы часто одевались, подражая стилю больных. Тугие корсеты. Набеленные лица. Яркий румянец. Но если выглядеть так, будто у тебя чахотка, было модным заявлением, то иметь живущего в доме любовника с туберкулезом считалось еще более престижным.

Этот красочный и нетрадиционный ménage à trois оборвался внезапно из-за другой трагедии. Когда семья вернулась из поездки за границу, у старшего брата Берти, Фрэнка, сильно разболелось горло. Врачи определили дифтерию – крайне заразную инфекцию, которая сегодня редка в Европе благодаря вакцинам. Фрэнка изолировали, он, казалось, поправился, был признан здоровым и отправлен домой. Но слишком рано. Он все еще был носителем инфекции и заразил мать и сестру. Фрэнк полностью выздоровел. А вот его мать Кейт и сестра Рэйчел погибли. Отец Рассела, Джон, был раздавлен – даже больше, уничтожен. Две главные женщины его жизни ушли. Джон погрузился в тяжелую депрессию, описывая свою судьбу как «чистейшее счастье, обратившееся в самую горькую боль». Он потерял волю к жизни и умер несколько месяцев спустя.

* * *

Двух оставшихся членов семьи, Берти и его старшего брата Фрэнка, передают под опеку леди Рассел, их бабушки. Дугласа увольняют, и остаток детства Рассел проводит подчиняясь причудам бабушки – строгим, регламентированным, холодным и пуританским. По свидетельствам, она презирает комфорт. Равнодушна к кухне. Ненавидит вино. Начинает каждый день с ледяной ванны и унылого утреннего ритуала: уроков фортепиано и строгой молитвы. Она держится отстраненно. «Не способна к любви», – так позже охарактеризует ее Рассел. Его любимой поговоркой, как он вспомнит, была этакая ограничивающая, закольцованная фраза:

Что есть дух?
Не материя.
Что есть материя?
Не бери в голову.

Леди Рассел также испытывает экзистенциальный ужас перед школой. Она решает, что Берти нужно оградить от учебных заведений, чтобы сохранить его «чистым, религиозным и полным любви». «Он должен быть подготовлен, чтобы занять место деда на посту премьер-министра и продолжить священное дело реформ», – говорит она.

Она решает, что спасать брата Берти, Фрэнка, уже поздно, и отсылает его в пансион. Поэтому к моменту, когда Фрэнк дает Берти первые уроки геометрии в 1883 году, младший Рассел уже несколько лет сидит на домашнем обучении, в мрачной атмосфере эмоционального вакуума и запустения. Это так же печально, как и судьбоносно. «Я пытаюсь установить хоть какой-то человеческий контакт, – говорит он в один из моментов детства, – но это невозможно».

«Я знаю, что обречен навеки на одинокое бессилие».

Изучение геометрии Евклида в 1883 году подобно свету в этой покинутой тьме. «Я не представлял, что в мире есть нечто столь восхитительное», – вспоминал он позже. Это вкус, который он разовьет и будет ценить в последующие десятилетия.

Недолгая жизнь Софьи Ковалевской

Еще один поворотный момент 1883 года: Стокгольмский университет нанимает молодого русского математика Софью Васильевну Ковалевскую. Она становится первой в Европе женщиной – профессором точных наук. (До этого в Италии женщины изредка получали кафедры, но только в гуманитарных областях.)

В типичной для той эпохи эгоистичной и сексистской манере Ковалевской приходится преодолевать огромное сопротивление. Ей ставят жесткие условия: первый год – испытательный срок, работа без зарплаты. Но даже так ее назначение вызывает скандал. В европейских университетах распространены мизогинные взгляды. Большинство заведений не позволяют женщинам даже заходить в аудитории – ни как студенткам, ни уж тем более как преподавателям.

«Женщина-профессор – это пагубное и неприятное явление, – пишет один видный шведский литератор в местной газете, выступая против ее назначения. – Можно даже сказать, уродство».

Многие мужчины соглашаются с ним. Некоторые называют Ковалевскую «королевой математики» – и совсем не как комплимент. Немецкий химик Роберт Бунзен называет ее «опасной женщиной» из-за ее ума. (Полагаю, это и есть тот самый «эффект горелки Бунзена».) Какой идиот!

Для Ковалевской в этом нет ничего нового. Десятью годами ранее она преодолела почти непреодолимые преграды, став первой в Европе женщиной – доктором математики. Это выдающееся, но своеобразное достижение: степень она получила заочно, так как университет не позволял ей посещать занятия.

Она также станет первой женщиной, имя которой украсит список редакторов крупного математического журнала, и первой принятой в ряды консервативной и элитарной Императорской Академии наук. Устав академии пришлось переписывать после ее избрания, так как по старым правилам ей запрещалось даже переступать порог здания. Когда она впервые попыталась войти, перед ней буквально захлопнули дверь.

* * *

Ковалевская была средним ребенком в семье богатого и влиятельного русского генерала Василия Васильевича Корвин-Круковского, владевшего огромным имением с тысячами десятин земли у литовской границы. Там были овцеводческая ферма, молочное хозяйство, винокуренный завод, большой лес, полный дичи, и озера, полные рыбы. Когда Софья была маленькой, генерал вышел в отставку, и вся семья переехала из Санкт-Петербурга в загородное имение.

Дальнейший жизненный путь юной Софьи определила случайность, связанная с оформлением интерьера. Обновляя усадьбу, семья просчиталась с количеством обоев – для одной комнаты не хватило ровно одного рулона. Посылать гонца за сотни верст в Петербург ради одного рулона сочли барством и решили сэкономить: просто оклеить детскую Софьи бумагой, что была под рукой. Сначала думали о газетах, но тут кто-то наткнулся на кипу старых лекций по математике, сохранившихся со времен учебы генерала Василия Васильевича в артиллерийском училище. Ими и оклеили стены. Начальные скорости, углы возвышения, дуги траекторий, дальность полета, закон падения тел… Много лет спустя Софья скажет, что именно так она и выучила математику – часами глядя на отцовские конспекты, окружавшие ее со всех сторон.

«Я начала очень внимательно разглядывать стены, – вспоминала она. – Смысла я тогда не понимала совершенно, но что-то меня влекло».

«Я помню, как я в детстве проводила целые часы перед этой таинственной стеной, пытаясь разобрать хоть отдельные фразы и найти тот порядок, в котором листы должны бы следовать друг за другом, – вспоминала она. – От долгого ежедневного созерцания внешний вид многих формул так и врезался в моей памяти, да и самый текст оставил по себе глубокий след в мозгу, хотя в самый момент прочтения он и остался для меня непонятным».

Однако, когда она школьницей проявляет интерес к математике, отец приходит в ужас. Он традиционный русский человек старой закалки и не видит смысла в образованной женщине, даже если это его дочь. Особенно если это его дочь! Он запрещает ей учить математику. Она делает это тайком, одолжив старый учебник алгебры у одного из учителей и читая его по ночам, когда все спят.

Следующий поворот происходит, когда семью навещает профессор физики, живший неподалеку. Он оставляет в подарок написанный им учебник, надеясь, что старый генерал проявит интерес. Но книгу в руки берет Софья. У нее совсем нет необходимой подготовки по тригонометрии, и вскоре она понимает, что совершенно запуталась. Но, будучи натурой изобретательной, она придумывает способ численно аппроксимировать тригонометрические функции. И это срабатывает. В следующий приезд профессора Софья жаждет обсудить с ним книгу. Старый профессор поначалу не знает, что и думать. Он позабавлен. Затем вежливо отстраняется. Затем его начинает утомлять ее настойчивость. И наконец, он откровенно раздражен. Она прочла его книгу? Это шутка? Полноте! Она не могла этого понять.

Когда Софья говорит ему, что заменила тригонометрические функции собственными оригинальными численными приближениями, он закатывает глаза. «Ну, вот и хвастаетесь», – говорит он. Но когда Софья показывает ему свои записи, он не может в это поверить. Она не шутит. Ей удалось в одиночку, с нуля, воссоздать основы тригонометрии почти так же, как это делали математики за столетия до нее. Он ошеломлен. Девочка – гений! Теперь он сам умоляет генерала позволить ей изучать математику.

В конце концов генерал сдается, и юную Софью отправляют в Санкт-Петербург учиться, где ей наконец позволяют заниматься математикой. Однако дальше этого продвинуться невозможно. Российская высшая школа полностью закрыта для женщин. Единственный способ изучать математику в университете – это использовать неофициальную лазейку: некоторые прогрессивные профессора позволяют женщинам посещать занятия на правах вольнослушательниц. Степени они получить не могут, но слушать лекции – да. Софья так и поступает. Однако не все профессора столь открыты, и Софье порой приходится переодеваться в мужскую одежду и проскальзывать на задние ряды аудиторий, чтобы не привлекать к себе внимания.

Но затем возникает преграда посерьезнее.

* * *

1860-е и 1870-е годы, на которые приходится юность Софьи, – это время революционного подъема в России. Царское правительство убеждено, что между образованными женщинами и революционной смутой есть прямая связь. Поэтому власти решают полностью изгнать женщин из аудиторий. Это приводит к «малому исходу»: множество обеспеченных молодых женщин уезжают в страны Запада в поисках более широких возможностей. Среди них – 19-летняя Софья и ее старшая сестра. «Первый шаг необычной и блестящей карьеры», – напишет позже один из ее биографов.

Но после переезда в Берлин перед ней лишь захлопывается очередная дверь. «Столица Пруссии оказалась… отсталою, – скажет она позже. – Несмотря на все просьбы и старания, мне не удалось получить в Берлине разрешение посещать университет».

Однако именно там она встречает своего ментора – немецкого математика Карла Теодора Вильгельма Вейерштрасса. Этот человек понимал тех, кто начинает с низов, и ценил упорство, ведь он и сам прошел этот путь. Годами ранее он стал одним из величайших математиков XIX века, проработав начало карьеры простым школьным учителем. «Слишком беден, чтобы позволить себе почтовые расходы на научную переписку», – гласит один из источников.

Вейерштрасс, впрочем, принадлежал к другому поколению и поначалу отмахнулся от нее. Но она настаивала, и он дал ей набор задач, надеясь таким образом от нее отделаться. Это были сложнейшие задачи аспирантского уровня, которые он предлагал своим лучшим студентам, и он не ожидал, что она их решит. Но она решила. Увидев ее работу, он был более чем впечатлен. Он тут же начал упрашивать Берлинский университет зачислить ее. Но университет отказал. Тогда Вейерштрасс взялся давать ей частные уроки и в итоге помог получить докторскую степень in absentia в том же университете, где позже будет работать Гильберт, – она стала первой женщиной в европейской истории, добившейся этого.

Однако пока она завершает работу, политическая обстановка в России ухудшается. На фоне растущей паранойи о том, что на плодородных землях Западной Европы зреют семена революции, царское правительство действует жестко: издает указ, требующий от русских женщин в шестимесячный срок вернуться домой. Кто-то отказывается. Кто-то спешит закончить учебу – одна студентка в отчаянной попытке успеть довела себя до смерти. Многие бросают занятия и послушно возвращаются, но дома сталкиваются лишь с презрением.

Ковалевской повезло: она успела многое сделать. Она получает степень, возвращается в Россию, а затем пять лет прозябает в безвестности. Негласная официальная политика такова: женщинам, вернувшимся с Запада, запрещено работать в университетах, больницах и госучреждениях. Единственное, что было открыто для Софьи, – место учительницы младших классов в женской гимназии. Но к этому у нее нет ни интереса, ни способностей, поэтому она становится литератором – лишь бы заполнить время.

Она пишет театральные рецензии, создает великолепную автобиографию, ставит пьесу, сочиняет роман и становится своего рода техническим обозревателем в местной газете, рассказывая о таких открытиях, как телефон. Ковалевская оказывается необычайно одаренным и успешным автором. Ее автобиография «Воспоминания детства» признается большим литературным достижением сразу после публикации. На волне этого успеха растет и ее слава: ее начинают называть девушкой-гением. «Люди часто останавливались на улице, чтобы посмотреть на нее», – скажет позже один из биографов.

«В высшей степени»

В 1880 году судьба снова делает резкий вираж. Организатор научной конференции в Петербурге уговаривает Ковалевскую выступить. Она извлекает на свет старую неопубликованную работу пятилетней давности и представляет ее пораженной публике.

Там присутствует шведский математик Магнус Геста Миттаг-Леффлер. Он тоже учился у Вейерштрасса в Берлине, и перед его отъездом в Россию ментор просил Миттаг-Леффлера разыскать ее. «Поговори с ней, – просил он. – Убеди вернуться на Запад». Услышав ее доклад, Миттаг-Леффлер клянется сделать больше. Он обещает Ковалевской подготовить ее возвращение. Он найдет ей преподавательскую должность в Швеции, а если не выйдет – создаст ее. Именно это приводит ее туда в 1883 году.

Она уезжает как раз вовремя. Ошибочные деловые решения и спекуляции за несколько месяцев до этого ввергли Ковалевскую и ее мужа в финансовую яму. В конце 1870-х муж вложил все средства в рискованное предприятие – строительство домов с коммерческими банями. Но рынок обвалился, что, вспоминала она позже, «привело нас к полному разорению». Через две недели после выступления Ковалевской в Петербурге все их имущество продали с молотка. Это стало ударом для ее мужа и их брака. Они разошлись, и в 1883 году, незадолго до отъезда Софьи в Швецию, ее бывший муж Владимир, втянутый в новый финансовый скандал, покончил с собой с помощью хлороформа. Софья была раздавлена; в месяцы перед переездом в Швецию она пыталась уморить себя голодом.

После этого она годами страдает от тяжелых приступов депрессии, которые усиливаются безмерным горем от потери любимой сестры, умершей после страшной болезни. Эта тяжесть лежит на ней следующие несколько лет, а затем и она сама умирает в одиночестве. В Рождество 1890 года она едет в Италию, а на обратном пути в Швецию делает остановку в Дании. Она прибывает среди ночи, не имея местной валюты, чтобы нанять носильщика, и вынуждена идти с багажом под холодным январским дождем. Вернувшись в Швецию, она заболевает пневмонией и умирает неделю спустя в возрасте 41 года. Ее мозг извлекают, взвешивают при вскрытии и, согласно ненаучным методам того времени, признают высокоразвитым.

Стокгольмские газеты выходят с заголовками о том, что ее мозг развит «в высшей степени» и «богат извилинами, как и можно было предсказать, судя по ее интеллекту». Ирония в том, что лишь после смерти Ковалевская получает должное признание своего ума – в столь буквальной и печальной форме.

* * *

Главное наследие недолгой жизни Ковалевской – ее роль первопроходца, распахнувшего двери университетов для женщин. Но останься она в живых, она могла бы оставить столь же великое научное наследие. У нее был исключительный талант и огромный потенциал. Университет в Стокгольме подтвердил это: через шесть месяцев после условного назначения ей дали полный пятилетний контракт. А когда он истек, она получила пожизненную должность.

Еще одно доказательство ее блестящего таланта появляется, когда она вступает в борьбу за премию Бордена от Французской академии наук. Это денежная награда за решение сложных задач – зачастую настолько трудных, что приз остается невостребованным. Фактически за 50 лет к 1888 году было присуждено всего 10 премий Бордена, когда Академия объявила новую тему, за которую взялась Ковалевская.

Вызовом 1888 года стала «математическая русалка» («Die mathematische Nixe»), – имя, отражающее ее почти мифическую неуловимость и красоту. Эту задачу на удивление просто представить, но невероятно сложно решить: каковы уравнения, описывающие вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки – например, маятника или гироскопа? Десятилетиями лучшие математики Европы пытались найти решение и терпели неудачу.

Через несколько месяцев после объявления конкурса академия оценила 15 решений, но принято было лишь одно – Ковалевской. Ее решение было великолепным: она предложила не просто частную формулу, а общую схему для рассмотрения задач о вращении твердого тела. Работа настолько впечатлила судей, что они увеличили размер премии с 3000 до 5000 франков. Затем они раскрыли инкогнито победителя и наградили Ковалевскую. «Результаты превзошли мои ожидания», – сказала она.

Ее наследие занимает особое, неоднозначное место. Она, безусловно, значимая фигура, но не запредельной величины. Если бы она жила дольше, увидели бы мы еще примеры той гениальности, что она показала с «математической русалкой»? К сожалению, нам этого узнать не дано.

Дар Божий для математики

Последнее событие 1883 года, создавшее предпосылки для Великой математической войны, связано с немецким математиком Георгом Фердинандом Людвигом Филиппом Кантором, который был на несколько лет старше Ковалевской. В этом году он заканчивает книгу «Основы общего учения о многообразиях», или, по сути, теорию множеств, которая выйдет в свет в 1884-м. Это главная веха его пути – дело всей жизни почти завершено.

Кантор надеется, что с завершением «Основ» в 1883-м он не просто выпустит книгу, а закроет важную главу. Книга детально описывает то, что он называет теорией множеств – базовую структуру математики, основанную на понятии множества. Современные эксперты считают это одним из самых успешных достижений в истории науки. «Она ввела в математику совершенно новую область исследований», – пишет биограф Кантора, американский историк Джозеф Уоррен Даубен. Но этот успех – пиррова победа. Такая, что «обещала новые достижения, но несла в себе скрытые зерна грядущих проблем», как отмечает Даубен.

Это совсем не удивительно, если подумать о том, что представляет собой теория множеств. Множества – это совокупности объектов с правилами, определяющими, что именно входит в конкретное множество. Представьте всех рабочих на стройке. Или все молотки в строительном супермаркете. Или все гвозди в гробу. «Многое, которое можно мыслить как единое», – так однажды Кантор описал множества. «Совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона».

Все это кажется разумным, однако проблемы возникают при рассмотрении все более крупных множеств. В 1883 году теория множеств Кантора, особенно его работы в области бесконечных множеств, считается крайне спорной. На протяжении пяти предыдущих лет идеи Кантора подвергались критике, отчасти из-за их новизны. Теория множеств пересматривает и расширяет фундаментальное понятие числа так, что это называют самым радикальным развитием арифметики с момента ее появления. Но это не все. Кантор дерзает бросить вызов традициям, обращаясь с бесконечностью как с математическим объектом. Это революционно. Но стоит вам прикоснуться к бесконечности, как вы обречены познать не только ее сладость, но и горечь.

* * *

Тысячелетиями до этого бесконечность принадлежала скорее философии, чем математике. С теорией множеств Кантор берет бесконечность в оборот и навсегда меняет ее определение. И он не скрывает, откуда черпает знания. Он сравнивает себя с Евклидом и Архимедом, с непоколебимой верой утверждая, что вдохновлен свыше. «Я лишь орудие высшей силы, которая будет работать еще долго после моего ухода», – пишет он своему другу Миттаг-Леффлеру в 1883 году, как раз когда тот встречает Ковалевскую в Стокгольме.

Жизнь Кантора трудно назвать иначе как трагической – это, скорее, череда трагедий. И как большинство великих драм, она начинается в детстве. Мать Кантора была из семьи музыкантов; один ее знаменитый брат даже основал и возглавлял крупную консерваторию в Вене. В детстве Кантор был выдающимся скрипачом. Соната. Глиссандо. Стаккато. Спиккато – он это чувствовал. Он мог бы стать музыкантом, если бы отец позволил. Он был и одаренным художником, создавал великолепные карандашные рисунки (хотя сохранился лишь один: впечатляющий набросок собаки, свернувшейся у дерева, в котором чувствуется нечто от Сальвадора Дали).

Отец Кантора, Георг-старший, был энергичным и жестким предпринимателем. Его международная оптовая фирма Cantor & Co. имела оглушительный успех в Санкт-Петербурге, с филиалами в Гамбурге, Копенгагене и Лондоне и связями в Бразилии и США. Но компания закрылась до рождения Кантора. Семья переживала трудные времена, а когда Георгу-младшему было одиннадцать, отец заболел туберкулезом. Это вынудило их покинуть Россию ради чистого воздуха маленького немецкого городка. Там Георг-старший создал новое успешное предприятие.

Как и у любого предпринимателя, у отца Кантора были большие планы, и он, естественно, хотел вовлечь сына и наследника в свое дело. Историки отмечают его особый интерес к будущему сына, но расходятся в оценках. Одни говорят, что Георг-старший был полным энтузиазма, но заботливым отцом, глубоко любившим своих детей. Ему ставят в заслугу то, что он привил сыну жажду и почти нечеловеческое упорство, которые поддерживали его всю жизнь и привели к вершинам. Другие видят в поведении старика проблему, если не патологию, – этакого «тигра-родителя», чье стремление к успеху любой ценой довело сына до грани срыва. Согласно этой версии, Кантор предъявлял к себе неоправданно высокие требования и обрек себя на жизнь, полную нереализованных надежд, личных разочарований и будущих неудач.

Так ли это? Сложно сказать. Здесь больше догадок, чем фактов. Мы знаем лишь, что, хотя юный Кантор был одаренным музыкантом и прилежным учеником, отец подталкивал его к тому, чтобы стать предпринимателем или инженером. И Кантор сделал так, как хотел отец. Он потратил два несчастных года на бессмысленную погоню за пустым дипломом в реальном училище, прежде чем наконец набрался смелости сказать отцу, что хочет сменить направление и заняться математикой. Георг-старший неохотно согласился. Его отец умер от туберкулеза несколько месяцев спустя, но перед этим Георг-младший написал ему письмо, объясняя свою страсть к новой науке. «Моя душа, все мое существо живет в моем призвании, – уверял он отца. – Теперь я счастлив видеть, что ты не будешь сердиться, если я в своем выборе буду руководствоваться своими чувствами».

«Так называемый поверженный гений»

Георг-старший тоже писал сыну – было наставительное послание, полное суровых предупреждений о неведомых испытаниях, которые наверняка его ждут. Письмо учило, как выстоять перед этими угрозами. Остерегайся «зависти и злословия открытых или тайных врагов», гласило оно. «Как часто большинство подающих надежды людей бывают побеждены после незначительного, слабого сопротивления в своей первой серьезной борьбе сразу после их вступления в практические дела, – писал отец. – Их отвага сломлена, они совершенно изнурены после этого и даже в лучшем случае похожи на так называемого поверженного гения!»

Это письмо можно прочесть двояко: «Не стань поверженным гением»… или… «Ты станешь поверженным гением». Неясно, как воспринял его Георг-младший, но он не расставался с этим письмом до конца жизни и часто на него ссылался.

Далекие отцы – отстраненные, умершие или покинувшие семью – несут в себе и притягательность, и загадку. Они чем-то похожи на неподвижные звезды январской ночью – путеводные ориентиры. Темное, слабое вдохновение. Эти звезды достаточно ярки, чтобы их видели за много световых лет. Но они слишком далеко, чтобы мы что-то чувствовали. Удаленные. Дистанцированные. Тусклые. Отцы-звезды подобны огненным газовым гигантам, видимым с расстояния в тысячи световых лет. Вблизи они могли бы быть огромными светилами или даже мощными квазарами – горячими, яркими, массивными. С гравитационной тягой, искривляющей время и пространство. Но с расстояния в пол-Вселенной они удручающе тусклы. Крошечные точки света на холодном, ледяном небе.

После смерти отца Кантор нашел свой путь в Берлинский университет – тот самый, который несколько лет спустя откажет Ковалевской. Получив докторскую степень, он начал преподавать в Университете Галле – менее престижном, чем он рассчитывал. Там в 1875 году он написал свою первую работу о бесконечных множествах. И в последующие восемь лет, кульминацией которых стала его книга 1883 года, он нещадно загонял себя, совершенствуя теории, переопределяя понятие бесконечности и доводя себя до полного истощения.

* * *

Понятие бесконечности существует давно, и математикам 1883 года оно, безусловно, не чуждо. Но до того времени само это понятие оставалось пустым. В этом можно винить Аристотеля. Его определение, господствовавшее в западной науке до Кантора, проводит границу между потенциальной бесконечностью, которую мы можем представить, и актуальной бесконечностью, которая нам недоступна.

С философской точки зрения его довод звучит обоснованно. Можно утверждать, как это, в сущности, и делал Аристотель, что наш мозг не приспособлен для обращения с бесконечностью. Люди – существа конечные, живущие ограниченную жизнь. Наш мозг настроен на временное существование, мы запрограммированы фокусироваться на преходящем. На ограниченном. На постепенном росте. На упадке. На приливах и отливах. На взлетах и падениях. И на всех эгоистичных пиках и спадах жизни. Мы мыслим дискретными данными. Мы соединяем точки в линии, а числа – в ряды. Мы анализируем эти данные, чтобы увидеть тренды. Мы думаем о темпах изменений. И предсказываем будущее. Возможно, именно эволюция позаботилась о том, чтобы мы это умели.

Хорошо, но почему тогда бесконечность должна быть исключением. В каком-то смысле мы, люди, прекрасно приспособлены для того, чтобы иметь дело с этим понятием. Тысячи лет, задолго до того, как мы научились работать с бесконечностью математически, мы легко могли представить то, что Аристотель называл потенциальной бесконечностью, – например, бесконечный список чисел во всем его нескончаемом великолепии. Даже маленький ребенок, совершенно не знающий математики, может представить базовую идею счета до бесконечности, а затем совершить когнитивный скачок и заявить: «Бесконечность плюс один».

В этом и состоит гений Аристотеля: он признал, что человек способен дотянуться до потенциальной бесконечности, но актуальная ему недоступна. Эта идея оказала большое влияние на математику. И даже спустя тысячи лет после Аристотеля о бесконечности могли сказать лишь одно: она бесконечна. Ее всегда воспринимали как идеал, но не как реальность; как философскую игру ума, до которой невозможно дотронуться. Большинство считало, что бесконечность не может быть полноценным объектом в математике. Веками величайшие мудрецы и математики подступались к этой идее, ломали над ней голову – и неизбежно отступали. И не зря.

«Бесконечное, будь то бесконечно большое или бесконечно малое, – скажет позже, в 1942 году, профессор Университета Северной Каролины Дж. У. Ласли – младший, – доставляет хлопоты». И даже хуже. По его словам, оно «будто несет за собой беду».

Кантор поймет эту катастрофу лучше всех. Но его это не пугает. Он вступает в борьбу с концепцией Аристотеля и решительно ее пересматривает. У него даже есть название для философского разграничения: идею абстрактной бесконечности он называет «несобственной бесконечностью». Кантора же интересуют «собственные бесконечности» – завершенные. Не просто бесконечность как идея, а бесконечность как реальный объект, доступный для математической обработки. В этом суть революции 1883 года: бесконечность как синица в руках, а не как пугало в кустах.

Некоторые из его идей были абсолютным табу для большинства математиков. «Завершить» бесконечность означало каким-то образом одолеть бесконечно долгий процесс перебора, вроде счета всех целых чисел до конца, минуя даже такие огромные числа, которые мы не можем представить и назвать. Досчитать до гуголплекса гуголов. Это невозможно, считали многие, поэтому лучше оставить бесконечность прятаться в кустах.

«Я нисколько не скрываю от себя, что, решаясь на это, я вступаю в известный конфликт с широко распространенными взглядами на математическую бесконечность», – говорит Кантор. И еще одно: он твердо верит, что у него миссия от Бога. Для него эта птица сидела не просто в кустах, а в Неопалимой Купине.

Ахиллес и черепаха

Во всем виноват древнегреческий философ Зенон Элейский: это он первым вскрыл, как опасно заигрывать с бесконечностью. Его хитроумными парадоксами до сих пор мучают студентов на лекциях по философии. Бедолаги ломают головы, пытаясь понять, как эти дурацкие черепахи обгоняют бегунов, а смертоносные стрелы зависают в воздухе.

Согласно зеноновской апории «Дихотомия», движения не существует. Почему? Потому что для перемещения на любое расстояние объект должен сначала пройти бесконечную серию промежуточных точек. Поразить цель невозможно, ибо для этого стрела должна преодолеть половину пути, затем половину оставшегося (до четверти), затем половину до восьмой части – и так снова и снова до конца времен. Учитывая бесконечное число таких точек, вы теоретически никогда не достигнете цели – так, по крайней мере, утверждает коварный Зенон.

Досталось от него и бедному Ахиллесу – герою Троянской войны, величайшему воину древности. Бесстрашный. Гордый. Непревзойденный. Непобежденный. Несломленный. Но Зенон низводит героя до неудачника, делая его проигравшим в гонке с медлительной, копошащейся черепахой. На старте, говорит Зенон, старая рептилия получает честную фору. Ахиллес быстр, спору нет. Но чтобы догнать черепаху, он сначала должен сократить дистанцию наполовину, потом еще наполовину, и еще – пока герой не сдастся с досады или черепаха не умрет от скуки. В лучшем случае Ахиллес никогда не финиширует. В худшем – проигрывает забег.

Истинным победителем, конечно, стал Зенон. Его ядовитый парадокс был, по сути, ловкой атакой на школу пифагорейцев, которые приняли примитивную концепцию актуальной, завершенной бесконечности. Поскольку Зенон был категорически против завершенных бесконечностей, он вылил ушат помоев на головы пифагорейцев с очень большой (пусть и не бесконечной) высоты. Тем самым он предупредил сотни поколений математиков и философов, что само понятие бесконечности таит угрозу. Осторожно! Не влезай – убьет! И это сработало.

После Зенона репутацию бесконечности слегка подправил Аристотель, введя различие между актуальной (завершенной) и воображаемой (потенциальной) бесконечностью. Хитрость подхода Аристотеля состояла в том, что он разрешил парадокс Зенона путем его избегания. Он фактически ушел от ответа, «отфутболив» бесконечность в область вещей, которые интересны, но заниматься которыми совершенно необязательно. Все бесконечности потенциальны, утверждал он, существуя лишь в разуме. А поскольку мы можем лишь помыслить – но не завершить – процесс, не имеющий конца (как счет до бесконечности), то зачем об этом беспокоиться?

Это более или менее закрыло вопрос. На 2000 лет после Аристотеля воцарился принцип: абсолютная бесконечность – на выход! Потенциальная бесконечность – добро пожаловать.

* * *

Хотя вопрос об актуальной бесконечности поднимался снова и снова на протяжении веков, люди в основном принимали подход Аристотеля: бесконечность лишь потенциальна. Христианские ученые особенно чтили Аристотеля, так как его концепция подразумевала, что актуальная бесконечность (под которой естественно понимался Бог) лежит далеко за пределами мира смертных. Фома Аквинский соглашался: актуальная, неизменная, непостижимая, завершенная бесконечность недоступна человеческому разуму. Посягнуть на нее означало бы бросить вызов уникальной природе божественного. Лишь Бог знает помыслы Бога и пределы абсолюта, говорил Аквинский.

Галилео Галилей обдумал это и пришел к похожему выводу. Он тоже выступал против завершенных бесконечностей, но привел жесткие математические аргументы. Если допустить существование завершенных бесконечностей, рассуждал он, то бесконечная коллекция четных чисел окажется того же размера, что и бесконечная коллекция всех чисел вообще – четных и нечетных вместе взятых. А ведь последних должно быть вдвое больше. (Слова «множество» он не использовал, до этого оставалось еще 250 лет.)

Это абсурд, утверждал Галилей. Как могут все четные и нечетные числа вместе составлять бесконечное множество такого же размера, как одни только четные? Казалось, это очередное Q.E.D. – quod erat demonstrandum (Ч.Т.Д., «что и требовалось доказать»). И он был не одинок. Такие философы, как Джон Локк, Рене Декарт и Барух Спиноза, пришли к тому же выводу, твердо держась древнего кредо: infinitum actu non datur («актуальной бесконечности не существует»).

Таким образом, к тому времени, когда Кантор занялся этой темой, у бесконечности была ужасная репутация. И некоторым казалось, что он делает ситуацию только хуже.

* * *

Чтобы взглянуть на бесконечность глазами Кантора, давайте проведем мысленный эксперимент. Представьте, что вы выгребаете все из карманов в гигантское ведро. Туда же летит ваша одежда. И обувь – все, что на вас есть. А теперь кидайте в ведро все, к чему прикоснетесь за день: от чашки кофе до ночника. И это не все. Кидайте туда все, на что просто упал взгляд. Добавьте все, о чем вы подумали – реальное или вымышленное, от драконов до пончиков. Валите все в кучу.

Насколько большим будет ваше ведро? Какое пространство оно займет? Стадион? Город? Океан? Всю планету? А что, если заполнять такое ведро каждый день всю жизнь? Какого размера будет эта коллекция из 30 тысяч ведер, собранных за долгую жизнь? Как все эти ведра будут выглядеть вместе? Если поставить их друг на друга, дотянутся ли они до облака Оорта? Но даже если и так, чем будет ваша эгоистичная стопка ведер по сравнению со всей Вселенной? Каплей в океане? Биением сердца внутри урагана?

В этом и проявляется гений Кантора. Вместо того чтобы опустить руки в отчаянии, он берется примирить бесконечность со своей абстрактной концепцией множества. Коллекция всех вещей, которых вы коснулись за день, – это лишь один пример множества: строго определенной группы порой едва связанных вещей.

Множество – то самое ведро – определяется своим содержимым, то есть элементами. И порой некоторые из этих элементов сами являются коллекциями. Представьте множество всех ваших ведер за жизнь. Или представьте армию. Армия как множество содержит отдельные группы рядовых, капралов, сержантов, лейтенантов, капитанов, майоров, полковников и высших офицеров. Там могут быть группы гражданских подрядчиков и госслужащих, прикомандированных из других ведомств. А могут быть и отдельные личности – например, генерал армии или главнокомандующий.

Но что, если ваша армия бесконечна? Представьте бесконечное число солдат в бесконечном ряду званий. Но представить это непросто. В нашем мире такого существовать не может. Наш разум и наши взгляды опираются на конечное. Мы не живем в бесконечности. И никогда не касаемся ее – в этом, собственно, и была мысль Аристотеля. Но теория множеств позволяет делать именно это: созерцать масштабы, выходящие за пределы человеческого понимания.

Кантор начал понимать это в 1870-х, а после 1883 года это стали понимать и многие другие. Теория множеств Кантора в каком-то смысле меняет правила игры. Он показывает, что бесконечные множества, включая коллекцию всех натуральных чисел, – это завершенные бесконечности. Это актуальные бесконечности. Другими словами, вы можете коснуться их, даже если их нельзя сосчитать обычным способом. И они могут коснуться вас.

Grundlagen einer allgemeinen…

Поскольку Кантор делает актуальную бесконечность доступной, это ведет к странным последствиям и вызывает бурные споры. Почему? Во-первых, он строго доказывает, что существует не один тип бесконечности, и одни из них больше других. И он находит способ их сравнивать.

Меньшие бесконечные множества, согласно его теории, – это те, что эквивалентны коллекции всех натуральных чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…}. Кантор доказывает именно то, чего страшился Галилей: подмножество натуральных чисел может быть равно по своему бесконечному размеру исходному множеству. Так, множество всех четных чисел имеет точно такой же размер, как и множество четных и нечетных, вместе взятых. То, от чего стонал Галилей, теперь вызывает у Кантора улыбку.

Но этот результат настолько контринтуитивен, что многим кажется абсурдным, и пять лет перед 1883 годом идеи Кантора подвергаются резкой критике. Почему? Подумайте об этом так: представьте, что вы берете каждое натуральное число и кладете его в ведро – единым, завершенным актом. Теперь представьте второе ведро. Положите в него только некоторые числа, например все простые (которые делятся только на единицу и на само себя: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…}). Или возьмите все нечетные числа {1, 3, 5…}. Или все четные {2, 4, 6…}. Или только числа Фибоначчи – множество чисел, придуманное для описания размножения кроликов, где каждое число в ряду представляет собой сумму двух предыдущих {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…}. Наполните разные ведра и сравните их. Какое ведро самое тяжелое? Здравый смысл скажет, что первое. В нем есть все числа, поэтому оно должно быть тяжелее. Галилей отчаянно хочет, чтобы это было так.

Это имеет смысл с точки зрения нашей повседневной, конечной логики. Если у вас есть ведро со всеми молотками из строительного супермаркета и вы сравниваете его с подмножеством – скажем, только с розовыми молотками (которых совсем мало), – здравый смысл скажет, что первое ведро намного тяжелее. Так и есть. Но это ошибка, основанная на ограниченном мышлении реального мира, и она не работает с бесконечными множествами.

Бесконечные множества устроены совершенно иначе. Когда вы сравниваете две завершенные бесконечные коллекции чисел, одна из которых является подмножеством другой, они обе одинаково бесконечны. Фактически само определение завершенного, «счетного» множества, по Кантору, состоит именно в том, что его элементы можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами. Кантор не просто утверждает, что бесконечное подмножество равно своему бесконечному исходному множеству, – он это доказывает. Какого черта, Кантор?!

Здесь все становится по-настоящему интересным, потому что Кантор не останавливается на достигнутом. Он также показывает, что не все бесконечности равны. Есть более крупный тип бесконечности: множество всех десятичных чисел – «вещественные числа». Он говорит, что это множество является несчетным.

Представьте числовую прямую. На ней лежит бесконечно много натуральных чисел. Но между любыми двумя числами можно втиснуть бесконечное множество дробей: {1; 1,000001; 1,00001; 1,0001; 1,001; 1,01; 1,1…}.

Я сказал, что здесь становится интересно? На самом деле, здесь все становится по-настоящему странным. Кантор уже бросил вызов здравому смыслу с помощью бесконечных множеств натуральных чисел. Теперь он собирается нарушить один из базовых принципов геометрии, которого придерживались с древних времен, – если не бросить вызов самой реальности.

«Je le vois, mais je ne le crois pas!»

Люди всегда полагались на базовую, интуитивную – или, как некоторые говорят, «наивную» – и совершенно очевидную концепцию трехмерного пространства. Тысячелетиями математика определялась геометрией, занимаясь фигурами и пространством. Затем пришла научная революция с открытиями Пьера де Ферма и особенно Декарта, благодаря координатам последнего стало можно алгебраически описывать точки в пространстве. В начале XIX века, со взрывным ростом теории чисел, на авансцену выходят числа. А затем появляется Кантор. Вместе с теорией множеств он провозглашает совершенно новый взгляд и на пространство, и на числа.

Наивный взгляд на трехмерное пространство до Кантора предполагает, что число точек на линии, в круге или в кубе растет вместе с числом измерений. Точно так же, как одна линия состоит из бесконечного числа точек, предполагается, что при добавлении измерений происходит то же самое. Плоскость состоит из бесконечного числа линий. Трехмерное пространство заполнено бесконечным числом таких плоскостей. Теперь спросим: где больше точек – на линии, на плоскости или в трехмерном пространстве? Ответ кажется интуитивно ясным. Вся бесконечность одной линии – ничто по сравнению с обширностью бесконечной плоскости. А любая малая плоскость просто меркнет перед бесконечностью стопки плоскостей, образующих трехмерное пространство. Кажется даже глупым спрашивать, где больше точек. Линия больше точки. Плоскость больше линии. А трехмерное пространство больше одной жалкой плоскости. Все верно, не так ли?

Только не для Кантора. И не для теории множеств.

К концу 1870-х Кантор получил странный результат: мощность бесконечного множества вещественных чисел не зависит от размерности. Это означает, что бесконечная совокупность точек в трехмерном пространстве абсолютно эквивалентна бесконечности точек на одной двумерной плоскости, которая, в свою очередь, равна всем точкам, содержащимся на одной линии в этой плоскости.

Опять же, для конечного разума это не имеет смысла. Как одна линия может вмещать столько же точек, сколько целая плоскость? Но вмещает, говорит Кантор – и показывает это, – потому что все они одинаково несчетны. Множества вещественных чисел – это одинаково большая бесконечность, неважно, выстроены ли они в линию, разбросаны по плоскости или рассыпаны по просторам трехмерного пространства. Используя странные, невиданные методы, Кантор демонстрирует, что все эти точки можно выстроить во взаимно-однозначное соответствие. Большая бесконечность несчетна. И она огромна по сравнению с исчислимой, счетной, малой бесконечностью.

Когда Кантор впервые открывает это, он восклицает: Je le vois, mais je ne le crois pas! («Я вижу это, но не верю этому!») Его рецензенты тоже не верят – и не скрывают своего презрения. Люди отвергают его работу, потому что она их шокирует. Некоторым кажется, что Кантор зашел слишком далеко. Но он не останавливается.

* * *

Люди всегда считали, что целое больше части – мы часто даже говорим: целое больше даже суммы своих частей. Но теория множеств опровергает то, что кажется нам самоочевидным. Она говорит: целое не больше части. Иногда они равны. А иногда часть даже больше целого.

Его недоброжелатели считают, что Кантор должен стыдиться содеянного. Но он не стыдится. Напротив, он в высшей степени самоуверен. Он кричит о своих открытиях на каждом углу. Кантор – человек, грезящий о великом, и его терзают сложные материи – бесконечность! Он знает, что его работа преобразит мир.

Но у мира другие планы.

После 1883 года жизнь Кантора легкой не назовешь. Его методы странны. Результаты причудливы. Некоторым коллегам он кажется чудаковатым и самонадеянным. К тому же его душевное состояние крайне неустойчиво. Даже когда его идеи врываются в европейскую математику, их принимают настороженно. Как позже скажут американские историки науки Лорен Грэм и Жан-Мишель Кантор, «им были не рады». Многие математики отвергают теорию множеств, иногда яростно. К моменту завершения книги в 1883 году ему приходится тратить столько же времени на защиту своих идей, сколько и на их изложение. А после начинается его долгое, странное странствие – смесь злоключений Пиноккио и безумия Одиссея.

Возможно, он – Пиноккио. А может быть, он скорее Прометей. Он крадет огонь богов для человечества и, подобно герою трагедии Эсхила 2500-летней давности, платит печальную цену всех спасителей – как и любой, кто несет бескорыстное тепло в холодный, эгоистичный мир.

Урок Прометея в том, что даже за величайшие дары гения приходится платить жестокую, кровавую цену: здравствуй, мудрость – прощай, печень. Ни одно доброе дело не остается безнаказанным!

Глава 3. Бесконечность не приходит одна: 1883–1899

Все доказуемое не должно быть принимаемо в науке на веру без доказательства.
Рихард Дедекинд

Люди с готовностью отвергают теорию множеств. Многих сбивают с толку, а то и возмущают методы Кантора. Другие оспаривают его результаты. А кому-то просто нравится пускать яд. Или же они испытывают отвращение к его теориям – и среди них не последнее место занимает великий французский математик Анри Пуанкаре, называющий теорию множеств «болезнью», от которой, как он надеется, математика со временем излечится.

Другой знаменитый французский математик, Шарль Эрмит, выступает даже против перевода работ Кантора на французский. Лучше пусть они остаются неизвестными на каком-то путаном иностранном языке, чем отравляют взор любого уважаемого французского ученого. Вместо канторовского принятия через «прыжок веры» («вижу, но не верю») Эрмит проповедует путь полного сопротивления. Я бы охарактеризовал его, переиграв известную фразу Кантора: Je ne vois pas, et je ne le crois pas («Я не вижу этого и не верю этому»).

Вероятно, здесь играет роль и геополитическое напряжение. В конце XIX века даже в такой далекой от токсичной политики области, как математика, французы есть французы, а немцы есть немцы, и они редко поют хором. Подлинный научный интернационализм зародился лишь в конце столетия, и даже тогда глубокое недоверие по обе стороны неудобной франко-германской границы сохранялось и в XX веке – особенно после Первой мировой.

По иронии судьбы больше всего неприятностей Кантору доставляют не французы, а его соотечественник – немецкий математик Леопольд Кронекер, которого Кантор знал со студенческих лет в Берлине. Параллели между ними поразительны. Оба учились в Берлине (Кронекер – на поколение раньше). Оба получили докторскую степень в 22 года. Оба женились ближе к 30. У обоих было по шестеро детей, и оба умудрялись двигать науку, будучи многодетными отцами. Наконец, в 1880-х оба они были суровыми, твердокаменными немецкими профессорами.

Этих сходств могло бы хватить для того, чтобы Кронекер стал для Кантора своего рода фигурой отца, но их взгляды на науку были слишком полярны. Они никогда не могли бы стать коллегами, не говоря уж об отношениях «отец – сын». Кронекер мог бы стать фигурой отца лишь в наихудшем возможном смысле: если убрать любой налет семейной любви и думать исключительно о злом отце в его самой суровой ипостаси «тигра», практикующего жесткое воспитание. Несбывшиеся надежды. Тихое разочарование. Гневное неприятие.

Если описывать «отцовский терруар» Кронекера языком сомелье, то в его аромате доминирует кислый нрав, в букете слышны нотки мрачного родительского скепсиса, а послевкусие отдает терпкой, ядовитой ненавистью. Кронекер и не думал смотреть на Кантора с уважением старшего брата, и уж тем более – с гордостью наставника. Их взгляды на мир были совершенно противоположными.

Кронекер – ведущий «финитист» своего времени, человек, который, по сути, ненавидит бесконечность. Он считает, что вся математика должна строиться на целых числах. Счете. Базовой арифметике. Простой алгебре. Он предпочитает проверенные методы, даже если это ретроградный подход. Единственные числа, достойные обсуждения, – это целые числа. По его мнению, математизация бесконечности заслуживает неприятия, если не насмешки. Он не признает бесконечности ни в чем. Из-за этого Кронекера иногда называют скептиком.

Скептик отвергает в математике любые концепции, существование которых нельзя продемонстрировать прямым построением. Это ставит его в оппозицию ко многим в его поколении и заставляет занимать странные позиции. Например, он отвергает иррациональные числа – те непериодические, бесконечные десятичные дроби вроде π и √2, которые пифагорейцы открыли тысячи лет назад. В отличие от рациональных чисел, которые можно представить как отношение двух целых чисел, иррациональные имеют бесконечные десятичные разложения, которые нельзя свести к простой дроби. Кронекеру эта мысль совершенно не по душе. Он иррационально отвергает иррациональные числа и заявляет, что предметом анализа должны быть только натуральные числа. И если таково его отношение к иррациональным числам, можете быть вдвойне уверены: он ненавидит теорию множеств Кантора во всей ее безобразной красе.

«Бог создал целые числа, – говорит Кронекер. – Все остальное – дело рук человеческих».

Бог создал целые числа

Развивая теорию множеств, Кантор приходит к необходимости изобрести концепцию трансфинитных чисел, чтобы измерить размер множеств с бесконечным числом элементов. Он называет их «трансфинитными», потому что они необычны: они фиксируют бесконечность, но при этом участвуют в алгебраических уравнениях как обычные числа.

Он определил, например, трансфинитное число («алеф-нуль»), обозначающее «исчислимую», счетную, малую бесконечность натуральных чисел. И существует трансфинитное число , обозначающее «неисчислимую», несчетную большую бесконечность вещественных чисел. Самый известный пример использования этих двух трансфинитных чисел в виде уравнения – это равенство, которое Кантор назвал континуум-гипотезой:

Континуум-гипотеза захватывает внимание Кантора и становится его главной идеей с конца 1870-х вплоть до конца его жизни во время Первой мировой войны. Он убежден, что все бесконечные множества имеют только два размера: алеф-нуль и алеф-один. Малая бесконечность и большая бесконечность. Счетные и несчетные. Бесконечность размера целых чисел или вещественных чисел. Континуум-гипотеза гласит, что все бесконечные множества попадают либо в одну категорию, либо в другую и никогда не оказываются между ними.

Доказательство континуум-гипотезы станет навязчивой идеей для математиков конца XIX века. Фактически Гильберт, выступая в 1900 году в Париже со своими знаменитыми 23 проблемами будущего, посчитал доказательство этой гипотезы настолько важным, что сделал ее первой задачей в своем списке.

Но задолго до этого Кронекер отказывается принимать подобные идеи. Числа, которые не являются числами, – это не числа, утверждает он. (Еще одним его любимым изречением было: «Интересно, но не математика».) Для Кантора это становится серьезной проблемой, ведь все эти выпады звучат отнюдь не в пустоте.

Мнение Кронекера значит очень много, ведь он – влиятельный математик и редактор Journal für die reine und angewandte Mathematik («Журнал чистой и прикладной математики»), который часто называют «Журналом Крелле» в честь основателя Августа Леопольда Крелле. Это старейшее и одно из самых престижных математических изданий Европы. Используя свое влияние, Кронекер сумел задержать публикацию одной из ключевых статей Кантора в 1870-х. Статья касалась размерной инвариантности вещественных чисел и доказывала, что бесконечная плоскость и бесконечная линия «равномощны» и эквивалентны в своей бесконечности.

* * *

Результаты Кантора, безусловно, шокируют, но для Кронекера это уже перебор. Он просто не может этого принять. И не позволит своему драгоценному журналу напечатать это. Поэтому он делает все возможное, чтобы «зарубить» статью. Она месяцами лежит без движения и без объяснений. Кантор винит во всем Кронекера, полагая, что старший коллега намеренно вставляет палки в колеса, поливает его грязью за спиной и использует свое влияние, чтобы сломать ему карьеру. И он прав. Кронекер называет его отступником, шарлатаном и «развратителем молодежи» каждому, кто готов слушать. Несколько лет спустя он в лицо скажет Кантору, что плохо отзывался о нем, назвав теорию множеств в разговоре с Эрмитом, одним из французских критиков Кантора, «вздором» (очаровательно диккенсовское оскорбление).

В конце концов Кантор отзывает статью об инвариантности размерности, публикует ее в другом месте и клянется никогда больше ничего не посылать в «Журнал Крелле». К черту их и к черту его! Он также разрывает отношения с Кронекером, профессиональные и личные, по крайней мере на время. Предупреждение отца, то письмо, наконец сбылось: «зависть и злословие открытых или тайных врагов». Остерегайся!

Но Кантор уверен в себе – миссия от Бога и все такое. И пусть Кронекер сыплет оскорблениями и строит козни – теория множеств несокрушима. Кантор в этом уверен. Она выдержит любую критику, математическую или философскую, и никакой Кронекер ей не страшен. Осталась лишь одна мучительная проблема: доказать континуум-гипотезу.

* * *

Осенью 1883 года Кантор читает лекцию, описывая свой путь в науке как стремление, которое «жаждет воплотиться в воображении или в мечтах». И больше всего он мечтает решить континуум-гипотезу, чтобы улеглась эта последняя пыль неопределенности.

Континуум-гипотеза – это великолепно выглядящее, хотя и несколько непостижимое уравнение, которое, по сути, настаивает на принципе «или-или» для бесконечных множеств. Оно гласит, что бесконечности бывают одного из двух размеров: малая бесконечность, – исчислимое, счетное, бесконечное множество натуральных чисел и его эквивалентов (четные, нечетные, простые, числа Фибоначчи и т. д.), – и большая бесконечность, – неисчислимое, несчетное множество вещественных чисел, которые в философии Кантора обладают мощностью континуума.

Принцип «или-или» континуум-гипотезы означает, что все бесконечные множества попадают в одну из двух категорий: или . Не существует бесконечного множества, которое содержало бы больше элементов, чем целые числа, но меньше, чем вещественные. Кантор впервые формулирует эту идею в 1878 году, но заходит в тупик, пытаясь ее доказать. В течение следующих нескольких лет он впадает в отчаяние и неоднократно пытается найти доказательство, каждый раз терпя неудачу. Снова и снова ему кажется, что ответ найден, и снова и снова он обнаруживает ошибку. Он пытается. Он терпит неудачу. Еще одна попытка. Еще один провал. Однажды он пишет письмо, объявляя о доказательстве. На следующий день он отзывает его. И так продолжается бесконечно, мучительный цикл. Намылить. Смыть. Повторить. Анонсировать. Отозвать. Сокрушаться. Пытка!

Кронекер тем временем быстро становится главным источником неприятностей в жизни Кантора. В конце 1883 года он пишет Миттаг-Леффлеру, их общему другу (все трое были в Берлинском университете в одно и то же время). В то время Миттаг-Леффлер только что основал первый в мире по-настоящему международный математический журнал Acta Mathematica – тот самый, куда Софья Ковалевская была приглашена в качестве первой женщины-редактора в истории научных публикаций. Вдохновением для этого журнала, по словам американского математика Эйнара Хилле, послужило желание преодолеть разрыв между французскими и немецкими математиками, отношения которых оставались натянутыми после Франко-прусской войны.

Кронекер предлагает Миттаг-Леффлеру для его журнала в 1883 году весьма «сочную» статью-мнение. Интересует ли его взгляд на теорию множеств? Он обещает материал, который покажет, что, по правде говоря, весь этот труд не имеет «никакой реальной значимости».

Миттаг-Леффлер – хороший друг Кантора (в аспирантуре у них был общий научный руководитель), поэтому, конечно, он все ему рассказывает. И, разумеется, Кантор впадает в ярость, разрываясь между гневом и паранойей. Сначала Кронекер выжил его из «журнала Крелле», а теперь это! Кронекер так и не прислал статью, но вся эта история подпитывает отчаянный «параноидальный гнев» Кантора. Он с удвоенной силой берется за континуум-гипотезу, чтобы покончить с ней раз и навсегда.

Намылить, смыть, повторить

В начале 1884 года Кантор думает, что нашел доказательство. И снова оказывается не прав. Ему начинает казаться, что он вообще не продвинулся, и тут начинаются проблемы. Весной 1884-го у него случается нервный срыв, который длится месяц, разрушает его психику, тревожит жену и пугает детей.

Историки расходятся во мнениях относительно точной причины его срыва. Это мог быть тяжелый эпизод клинической депрессии, механизмы которой плохо изучены даже сегодня. Некоторые приписывают это влиянию отца, чьи отношения с сыном нанесли ему некую психологическую травму. Другие списывают это на проблемы с Кронекером. Третьи говорят, что причиной мог быть просто стресс. Тяжелая профессорская карьера. Насыщенная семейная жизнь. Разочарование от неспособности доказать континуум-гипотезу.

Некоторые эксперты цинично утверждают, что неприятие теории множеств при жизни Кантора и его последующие проблемы с душевным здоровьем (если допустить, что первое стало причиной второго) обернулись высшим благом для человечества: трудности заставили Кантора работать на износ и создать великие труды – пусть даже ценой его душевного здоровья. Один из биографов, американский историк Джозеф Уоррен Даубен, даже говорит, что психологические проблемы подстегивали продуктивность Кантора, подпитывая его прорывы во время маниакальных фаз. «Далекие от того, чтобы играть лишь негативную роль, – напишет Даубен 100 лет спустя, – они, возможно, питали ту энергию и целеустремленность, с которой он продвигал свою теорию».

Для меня это жестокий, холодный взгляд – сродни попыткам оправдывать травлю, заявляя, что издевательства делают человека сильнее. Была бы у нас теория множеств без Кронекера? Да. Была бы у нас теория множеств без проблем с психикой у Кантора? Думаю, да. Порочная узость утилитаризма с его принципом «цель оправдывает средства» часто делает мир хуже вопреки этому кредо. Даже лучшие намерения не должны служить оправданием для ужасных вещей.

Кроме того, здесь есть и куда более мрачная сторона. Даже добиваясь колоссальных успехов в математике, Кантор постоянно мучим трагическим чувством неудачи. Он ушел очень далеко и очень быстро, но по пути был вынужден защищать свой труд от множества неистовых критиков. Хуже того, тяжелые личные и профессиональные травмы причиняют ему такие душевные страдания, что его приходится раз за разом помещать в клинику.

Все это оказывает пагубное воздействие на любящую семью Кантора. Именно поэтому попытки оправдать его безумие «пользой для математики» выглядят так возмутительно. История часто отводит близким великого человека роль массовки. Они лишь декорации, не заслуживающие внимания, если только не помогают лучше понять главного героя. Но все они – живые люди, со своей жизнью и чувствами. И случай Кантора – не исключение. Семья любит его, и именно эта любовь лежит в основе его трагедии.

Когда у человека случается нервный срыв, это наносит глубокую травму его семье и друзьям: они вынуждены с ужасом наблюдать, как тот, кого они знают, меняется, иногда становясь совершенно чужим. Один невролог, с которым я однажды беседовал в Сан-Франциско, сказал мне, что многие психические заболевания бьют как несколько разных болезней: одна поражает самого больного, а другая – его близких.

* * *

Но Кантор не прекращает борьбу. В 1884 году, проведя весной месяц в лечебнице, он решает уладить отношения с Кронекером. Он приходит к выводу, что главные претензии Кронекера не личные, а философские – и касаются лишь отдельных аспектов его работы. Поэтому Кантор пишет Кронекеру.

«Я придерживаюсь мнения, что большая часть того, что я сделал в науке за последние годы, не так уж сильно противоречит требованиям, которые вы предъявляете к „конкретной“ математике, как вам кажется». Это вопрос подачи, утверждает он, а не сути.

Кронекер отвечает короткой, вежливой запиской. Он вспоминает прежние, счастливые времена. Золотые дни. Кантор был тогда юным аспирантом с горящими глазами и щетиной на щеках, учившимся у ног Кронекера. Именно этого Кантора он помнит. Именно его он любит.

Кантор принимает эту ностальгию за оливковую ветвь, за попытку Кронекера – какой бы нарциссичной она ни была – пойти ему навстречу. Луч теплого, целительного света. Смогут ли они, захотят ли они оставить прошлое позади?

Увы, нет.

Пока письма шли друг другу, Кантор с удвоенной силой бился над континуум-гипотезой. И снова полный провал. Он опускал руки на пару дней, потом его накрывало новой волной энергии, он бросался в бой, ему казалось – вот оно! – и он слал восторженное письмо Миттаг-Леффлеру: я нашел доказательство! И какое простое! Невероятно простое!

«Когда я приведу все в порядок, я пришлю детали», – пишет он. Но к моменту, когда письмо доходит до Швеции, он уже отправляет следом другое: «Не берите в голову!» Опять ложный след, опять кроличья нора. Он снова ныряет в работу. Но через несколько недель понимает, что гнался за призраком. Показать нечего – остался лишь вкус пепла на губах и горчайшее разочарование.

Наконец, в начале 1885 года он спешно пишет две статьи для журнала Миттаг-Леффлера. Однако реакция оказывается совсем не той, на которую он рассчитывал. Другу статьи не нравятся. Слишком философские, говорит Миттаг-Леффлер, – и не в лучшем смысле. Вспомните Карла Фридриха Гаусса, говорит он, великого немецкого математика прошлого поколения, которого все боготворят. Гаусс открыл неевклидову геометрию в начале XIX века, но спрятал ее в ящик стола и так и не решился опубликовать, зная, что она слишком опережает время.

Вспомните Гаусса, предупреждает Миттаг-Леффлер. Гаусс понимал, что для неевклидовой геометрии еще слишком рано. Было рано для Гаусса, и сейчас рано для Кантора. Публиковать эти статьи сейчас было бы опрометчиво, это «нанесет большой урон вашей репутации среди математиков», пишет Миттаг-Леффлер.

«Я прекрасно знаю, что вам это, по сути, безразлично, но время еще не пришло», – говорит он. На сто лет раньше срока! Сейчас это никто не поймет. «Если ваша теория будет дискредитирована таким образом, пройдет немало времени, прежде чем она снова привлечет внимание математического мира».

Все это ранит Кантора. Предательство – самая горькая обида. Кантор вдруг понимает, что Миттаг-Леффлер – единственный математик, который, как он думал, был на его стороне, – тоже его бросает. «На сто лет раньше срока…» Кантор с сарказмом жалуется в письме другому математику: «Мне, видимо, придется ждать 1984 года».

Intellectus divinus

Верный себе, Кантор решает больше никогда не публиковаться в журнале Миттаг-Леффлера. Более того, с расшатанными нервами и глубоко уязвленным самолюбием, он отворачивается от математики – по иронии судьбы, именно тогда, когда теория множеств наконец начинает набирать обороты.

Бесчисленные математики в Англии, Франции, Германии, Италии и других странах развивают его труды. Но, возможно, он поступает мудро, дистанцируясь. Другие продолжают неуклонно осуждать его. Некоторые, как Пуанкаре во Франции, говорят, что многие его идеи следует отбросить. Другие испытывают трудности с энтузиазмом. В важной рецензии на «Основания геометрии» Кантора немецкий математик Макс Симон отвергает философские дискуссии Кантора. Первый перевод работы на французский язык вовсе опускает философскую часть.

«К концу 1885 года, – пишет историк Даубен, – Кантор был во многих отношениях разочарованным человеком».

Софья Ковалевская посещает лекцию Кантора о философии Лейбница, которую он читает примерно в то же время. Она пишет Миттаг-Леффлеру, что это была катастрофа. «Вначале у него было 25 слушателей, затем постепенно число их таяло, сначала до трех, а затем до двух и, наконец, остался только один, – рассказывает она. – Кантор все это выдержал и продолжал свои лекции. Но, увы! в один прекрасный день и этот последний из могикан заявил с некоторым смущением, что он очень благодарен профессору, но что у него столько других занятий, что он уже не в силах следить за лекциями профессора. Тогда Кантор, к неописуемой радости своей жены, дал торжественное обещание никогда больше не читать лекций по философии!»

Но если этот эпизод что-то и доказывает, так это то, что его разочарование всегда касалось того, как принимали его идеи, а не самих идей. Кантор никогда не сомневался в теории множеств, какими бы странными ни казались ее выводы. Напротив, после этого он еще глубже погружается в философские и религиозные аспекты своей теории.

Временами Кантор начинает казаться помешанным, хотя некоторые эксперты пытаются объяснить это тем, что его уход в философию и религию был своего рода уловкой – способом уклониться от критиков и утихомирить внутренних демонов. Вероятно, это правда. Но его религиозность также отражает трагедию его внутренней борьбы. (Перефразируя автора шпионских романов Джона ле Карре, фанатики всегда скрывают тайное сомнение.)

Кантор всегда твердо верил, что его рукой водит Бог. Он развивает теорию множеств не потому, что не уверен в ней. Это не защитная реакция. Он видит свою жизнь в героическом, пророческом свете. Он верит, что вдохновлен свыше – не просто как гений, создавший новую математику, а как сосуд Божий, через который в мир изливаются бесконечные тайны. Кантор уверен в истинности математики, даже когда не может поверить увиденному. У него прямая связь с Абсолютом. Его идеи исходят от intellectus divinus («Божественного разума») – и они поистине велики.

После 1885 года эта убежденность перерастает в мрачную двусмысленность, которой он предается. Снова и снова. Ковыляя сквозь неудачи и критику. «Зависть и злословие открытых или тайных врагов!» Он не намерен сидеть, витая в облаках, уткнувшись в книгу и положив локти на стол. Он будет идти вперед. Один, если надо. Пусть даже с сердцем, полным яда. Да, он параноик, это очевидно. Но он глубоко верит: история его оправдает. Он верит, что математики однажды примут теорию множеств как «совершенно непротиворечивую, строгую и допустимую часть математики», пишет один из биографов.

«Моя теория стоит твердо, как скала», – пишет Кантор несколько лет спустя. Его душевное здоровье – совсем нет.

* * *

В жизни есть три типа личных утрат. Есть естественные, тривиальные потери типа «форс-минор». Это те уколы, что мы чувствуем каждый день, – мелкие жизненные неурядицы, неподвластные нам. Спущенная шина. Испорченное молоко. Деталь Lego, на которую наступаешь босиком среди ночи.

Затем идут крупные, тяжелые и часто травмирующие «форс-мажорные» утраты – вещи, которые мы тоже не можем контролировать, но они намного, намного хуже. Например, смерть родителей. Мой отец умер через несколько дней после того, как я начал писать эту главу о Канторе. В его истории было слишком много тоски по отцу, чтобы я мог продолжать. Прошел год, прежде чем я смог закончить главу, да и то лишь потому, что сроки поджимали. Потеря близкого – это серьезно. Даже сейчас мне трудно писать это предложение.

И все же любые «форс-мажорные» утраты, сколь бы разрушительны они ни были, в каком-то смысле не имеют виновника – в случае естественной смерти они исходят от руки Бога, генетики или простого невезения. Смирение часто начинается с признания бессилия. Сокрушительные трагедии. Внешние причины. Обезличенная рука Вселенной. Непрозрачная божественная воля. Неконтролируемая судьба. Тайны Божьего замысла. Печальный, простой поворот судьбы.

Так было и с Кантором. Убежденный, что он открывает скрытые истины и что его рукой водит Всемогущий Бог, Кантор однажды заявил, что был «логически принужден» открыть теорию множеств. «Почти против моей воли», – сказал он. И хотя это тревожило его всю оставшуюся жизнь, отказ от собственного авторства в каком-то смысле облегчал ему эту ношу.

Но есть и третий тип утраты. Неестественная утрата. Гнусная утрата. Куда более личная. Крупные или мелкие, это потери, когда что-то отнимают у нас не слепой рок или божья воля, а преднамеренные, коварные, эгоистичные действия другого человека: разрезанная шина, украденный кошелек, хладнокровное убийство друга, медицинская халатность.

Пережить неестественную утрату гораздо труднее, потому что мы страдаем дважды: от самой потери и от порой невыносимого чувства несправедливости. Знание того, что за нашей бедой стоит осознанный поступок человека. Понимание того, что утрата неестественна, лишь добавляет к травме обиду. Это отравляет скорбь гневом.

Под гнетом этих тяжелых мыслей разум Кантора на склоне лет утрачивает ясность. У него развивается то, что я называю «комплексом Исаака Ньютона»: болезненная, патологическая ненависть к публикациям, основанная на параноидальной уверенности, что современники хотят ему навредить. Для него они либо кучка вероломных злопыхателей, не понимающих его работы, либо, что куда хуже, они завидуют его гению и эгоистично ненавидят его за это.

«Мои собственные склонности не подталкивают меня к публикациям, – пишет Кантор в 1887 году, вторя Ньютону, жившему за два столетия до него. – И я охотно оставляю эту деятельность другим».

* * *

Следующие пять лет почти все, что он пишет, – это философия или религия; он все больше фокусируется на новой аудитории. Кантор пытается найти подход к католическим властям. 1880-е – это время, когда католическая церковь интересуется наукой больше, чем когда-либо. Новый Папа Лев XIII проявляет особый интерес к науке, в частности к космологии. Наука – это путь в будущее, заявляет он, и поддерживает в Ватикане астрономическую обсерваторию, строительство которой курировал лично. Он наполняет ее лучшим современным оборудованием и нанимает профессиональных астрономов.

Кантор был уверен: союз с церковью сулит многое, но и теория множеств не останется в долгу. Он хочет, чтобы католическая церковь ознакомилась с его взглядами, поскольку теория множеств – это способ понять бесконечную природу божественного, возможно, даже сам разум Бога, отраженный в математике. Разве это не стоит внимания?

Но убедить их – задача не из легких.

Кантор делится своими трудами с кардиналом Иоганном Францелином, деятелем Ватиканского собора и одним из ведущих теологов-иезуитов своего времени. Францелин пишет Кантору в Рождество 1885 года, выражая признательность за полученную работу. «Меня весьма радует, – отмечает он, – что она, по-видимому, занимает не враждебную, а даже благоприятную позицию по отношению к христианству и католическим принципам». При этом Францелин добавляет, что идеи Кантора, вероятно, несостоятельны и «в некотором смысле, хотя автор явно к этому не стремился, содержат ошибку пантеизма».

Сразу после Нового года, в начале 1886-го, Кантор отвечает письмом, заверяя Францелина, что теория множеств безопасна для католицизма. Существует только две бесконечности, утверждает он: одна для Бога и одна для людей. Infinitum aeternum increatum sive Absolutum («вечное, несотворенное или абсолютное бесконечное») недоступно людям и предназначено для божественного. И есть совершенно отличное от него Infinitum creatum sive Transfinitum («сотворенное или трансфинитное бесконечное»), которое открыто для простых смертных.

Через несколько дней кардинал присылает вежливый ответ, подробно останавливаясь на одном мелком моменте, благодарит Кантора за вдумчивое письмо и признает, что, насколько он может судить, «в вашей концепции трансфинитного не кроется опасности для религиозных истин». И все же, добавляет Францелин, он очень занят. Пожалуйста, больше мне не пишите.

Infinitum aeternum increatum

Кантор предпринимает и другие попытки заинтересовать представителей церкви. Он пишет католическому священнику Игнатию Йейлеру, убеждая его в том, что церкви необходимо рассмотреть его идеи. Он контактирует с доминиканским священником в Риме, который тщательно изучает его «Основания геометрии», пытаясь разобраться в ее следствиях. «От меня христианская философия впервые получит истинную теорию бесконечного», – говорит ему Кантор.

Его попытки сближения с католическими властями выглядели бы странно для математика – особенно не католика, – но это меньшая из странностей его поздней жизни. Он также пытается доказать, что английский философ Фрэнсис Бэкон тайно был автором всех пьес Шекспира – элитарный троп, существующий едва ли не со времен Шекспира. Есть много альтернативных теорий о Шекспире, даже сегодня: пьесы написал граф Оксфорд, или Кристофер Марло, или на самом деле это был граф Дерби. Это высокомерный тезис, продиктованный иррациональным убеждением, что ни один выходец из низов не мог бы писать так хорошо.

И все же, даже несмотря на все более заметные трещины в рассудке Кантора, у него есть свои защитники. Давид Гильберт особенно ценит теорию множеств Кантора, поскольку она идеально подходит для так называемого доказательства чистого существования – бесценного инструмента, разработанного в XIX веке, который позволяет установить истинность математического утверждения, не предъявляя конкретного примера. Гильберт влюбляется в этот подход еще в университете. Он становится свидетелем того, как немецкий математик Фердинанд фон Линдеман получает престижную кафедру в Кёнигсбергском университете, использовав доказательство чистого существования для демонстрации «трансцендентности» числа π (это означает, что данное число не является корнем ненулевого многочлена с рациональными или целыми коэффициентами). Объяснять детали долго, но, по сути, Линдеман доказал трансцендентность π, показав, что иначе возникло бы противоречие.

Гильберт применяет аналогичный подход для доказательства так называемой теоремы Гордана, которая годами оставалась неуловимой и казалась неразрешимой, пока за нее не взялся Гильберт. Математик Пауль Гордан, разработавший одноименную теорему, смог доказать лишь ее частный случай. В течение 20 лет после этого математики всей Европы не могли распространить его доказательство за пределы этого простого случая. Гильберт делает это совершенно новым способом, используя чистое доказательство существования в 1891 году, что один из его студентов позже охарактеризует фразой Ex ungue leonem («по когтям узнают льва»). У больших кошек есть зубы!

Поначалу Гордан критикует революционную работу Гильберта именно из-за использования чистого доказательства существования. «Это не математика, а теология», – гласит его знаменитое высказывание, хотя позже он признает, что доказательство совершенно верно. «Я убедился, что у теологии тоже есть свои достоинства», – иронизирует он.

Шекспировский вопрос

Помимо религии и Шекспира, Кантор находит утешение, посвящая часы работе в «Обществе немецких естествоиспытателей и врачей». Это вдохновляет его создать похожую организацию, целиком посвященную математике, – Deutsche Mathematiker-Vereinigung («Немецкое математическое общество»). Первое собрание проходит в 1891 году.

На этой встрече он готовит ловушку для Кронекера, разрабатывая технический аргумент, называемый «диагонализацией», чтобы доказать, что «большая бесконечность» – несчетное множество вещественных чисел – действительно является несчетным бесконечным множеством. Один из биографов намекает, что Кантор затеял все это общество с одной коварной целью: ему нужна была сцена. Подобно Гамлету, он стремился разыграть представление и спровоцировать Кронекера на реакцию или даже на выступление против теории множеств. Затем он опозорил бы его перед всеми, контратаковав своим диагональным аргументом. Собственные письма Кантора отчасти подтверждают это. «У многих слепцов впервые откроются глаза», – говорит он, предвкушая первую встречу. Быть теории или не быть!

Но дуэль (если Кантор ее планировал) не состоялась. Незадолго до съезда жена Кронекера разбилась в горах и погибла. Кронекер приехать не смог. Он прислал короткое, трогательное и дружелюбное письмо. Участники съезда зачитали его вслух и тут же проголосовали за избрание Кронекера в правление. Но пост он так и не занял. Через несколько месяцев Кронекер умер.

После смерти Кронекера усилия Кантора по созданию международного математического сообщества приносят большие плоды. В 1897 году в Цюрихе проходит I Международный конгресс математиков. К тому времени большинство уже в полной мере оценило силу теории множеств Кантора, и в приветственной речи на конференции пленарный докладчик отдает ему должное. Теория множеств – это огромный вклад, говорит он. Это вдохновляет Кантора с головой погрузиться в математику в последние годы XIX века, и вскоре он публикует то, что биографы назовут его самыми известными и завершенными трудами: две статьи, излагающие суть теории множеств, ее принципы и следствия. «В почти совершенной логической форме», – напишет математик Филип Журден в 1912 году.

Эти две статьи окажутся его последним великим трудом. Впереди ждет еще много препятствий. Начинают всплывать серьезные технические проблемы теории множеств – логические сбои, известные как парадоксы, которые, кажется, потрясают саму основу теории. Один из них обнаружен в 1897 году итальянским математиком Чезаре Бурали-Форти. Так называемый парадокс Бурали-Форти гласит: если вы создадите множество всех возможных «порядковых чисел», то это множество будет содержать порядковое число, большее, чем оно само, что не имеет смысла.

Вскоре сам Кантор находит еще один парадокс, который станет известен как парадокс Кантора (подробно рассмотренный в пятой главе). Тревожное открытие этих парадоксов усугубляет его беспокойство по поводу сохраняющейся неспособности доказать континуум-гипотезу.

Но последний удар нанесла личная трагедия.

* * *

В 1899 году умирает его младший брат. Константин Кантор – лихой бывший кавалерист, офицер Гессенских драгун (из тех, у кого острые сабли и мундиры с иголочки). И к тому же романтик. Константин привлек внимание и завоевал сердце итальянской баронессы, удалившись на покой на чудесный остров Капри в Неаполитанском заливе. В 1899 году он внезапно и трагически умирает, что становится тяжким бременем для Кантора.

В ноябре того же года глубоко встревоженный Георг Кантор берет отпуск в университете, а затем отправляет письмо в курирующее министерство. Он спрашивает, может ли он ходатайствовать об освобождении от преподавания. Может ли он занять более низкую должность, например библиотекаря, сохранив при этом жалованье? Он хочет уйти от математики – быстро, навсегда и «любой ценой», как он пишет в письме. Он уверяет министров, что в высшей степени квалифицирован для работы библиотекарем. А чтобы сделать предложение более привлекательным, он утверждает, что владеет определенными фактами и истинами, неизвестными и скрытыми, – информацией, которая потрясет сами основы германо-английских отношений. Он утверждает, что знает некие вещи. Тайные вещи. Информацию, «которая непременно ужаснет английское правительство, как только дело будет предано огласке», – пишет он.

Не могли бы они прислать ему ответ в течение двух дней, спрашивает он. Ему нужно знать это в ближайшее время, потому что в противном случае он планирует пойти работать на русских. В конце концов, он родился в Санкт-Петербурге. Если он не получит ответа через два дня, он непременно поступит на службу к царю Николаю II. Но месяц спустя он сдается и возвращается к преподаванию в университете. И тут судьба наносит самый страшный удар.

16 декабря 1899 года, пока он читает лекцию о проблеме авторства Шекспира и Бэкона, внезапно умирает его сын Рудольф. Рудольф – гордость и радость Кантора. Мальчик подает огромные надежды как чрезвычайно талантливый скрипач. Кантор сам учился игре на скрипке в детстве. Был бы он счастливее как музыкант? Почему он это бросил? Наблюдение за Рудольфом пробуждает в нем любовь к инструменту, и в своем сыне он видит то, чем мог бы стать сам. Его сын играет, и Кантору от этого становится лучше.

Ни один отец не должен пережить такую потерю. С уходом Рудольфа Кантор раздавлен. Он теряет связь с реальностью, утверждая, что его сына убили английские агенты. Что они охотились за ним, а убили Рудольфа. Он видит заговоры повсюду. Начинается закат: последние 18 лет жизни он то и дело ложится в клиники для нервнобольных и выписывается из них.

* * *

Когда люди терпят крушение, это часто происходит по одним и тем же роковым причинам. Кто-то летит слишком низко и теряет управление на взлете. Кто-то даже не набирает скорости, чтобы оторваться от земли, и не может перелететь деревья в конце полосы. Другие набирают высоту. Они парят свободно. Но потом у них кончается топливо. А другие летят слишком высоко и трагически падают – как Икар, критянин с восковыми крыльями из древнегреческого мифа. Подлети слишком близко к солнцу, и твои крылья растают.

Кантор – это Икар. Он ставит слишком высокие цели и летает слишком высоко. Он производит революцию в математике теорией множеств, стремится к божественному, убеждает себя, что его открытия перевернут не только умы математиков, но и сердца философов и теологов. А потом его крылья плавятся. Все, что казалось ему золотом, померкло.

Глава 4. Пушки, золото и зловещая математика войны: 1899–1902

Ex Africa semper aliquid novi
(Из Африки всегда что-нибудь новое).
Плиний Старший

В то время как Кантор переживал кризис, Бертран Рассел сделал открытие чистой пробы: любовь с первого взгляда. Ему 17 лет, когда он встречает Алису (Элис) Уитолл Пьерсолл Смит, 22-летнюю американскую студентку из Филадельфии. Она проводит лето в Англии с семьей перед последним курсом в колледже Брин-Мор. Пьерсолл Смит – семья неординарная, они живут по соседству, и бабушка Рассела приглашает их на чай.

Берти мгновенно был очарован. Его бабушка – совсем наоборот. Он находит Элис удивительной: умной, интересной, образованной и красивой. Она открытая феминистка и защищает именно то, от чего его бабушку коробит: избирательные права женщин, половое воспитание, свободную любовь. Леди Рассел видит в ней лишь громкую, грубую, вульгарную и неотесанную американку. О чем она думала, приглашая их на чай?!

Когда ее внук и Элис становятся парой, леди Рассел изо всех сил противится этому. Узнав о планах пожениться, она холодно заявляет, что не может этого одобрить. Она пытается расстроить брак. На свадьбу она, как и ожидалось, не приходит. А когда вскоре после этого она умирает, Берти признается, что остался совершенно равнодушен. «Меня это ничуть не тронуло», – напишет он в автобиографии много лет спустя.

* * *

До женитьбы Рассел работает британским дипломатом в Париже – престижный пост, соответствующий его высокому статусу. Но Берти пока равнодушен к политике и дипломатии, поэтому вскоре подает в отставку. После свадьбы с Элис в 1895 году они проводят медовый месяц в Германии, где Рассел принимает ключевое решение. «Я решил посвятить себя философии математики», – говорит он. На следующий год они с Элис едут в Америку. По иронии судьбы, именно в Соединенных Штатах Рассел впервые знакомится с трудами современных немецких математиков.

Это становится для него настоящим открытием. Узнав о достижениях немцев, Рассел расстается с любыми иллюзиями о британском математическом превосходстве. Рассел принадлежит к последнему поколению «изоляционистов». Из-за спора о том, где впервые появился математический анализ, задевшего национальную гордость почти два века назад, Англия в конце XIX века все еще оторвана от европейской математики – и из-за этого остается своего рода провинциальным захолустьем. «Блестящая, но нездоровая изоляция», – напишет американский математик Эйнар Хилле в 1953 году.

Немецким математиком, который окажет на него сильнейшее влияние, станет профессор Йенского университета Фридрих Людвиг Готлоб Фреге, прославленный как главный логик конца девятнадцатого века (и, увы, печально известный своим антисемитизмом в начале двадцатого).

Фреге родился в то время, когда ученые искали все более строгие доказательства в математике. Это также время возрождения интереса к логике. Через несколько лет после рождения Фреге британский математик Джордж Буль публикует книгу, где излагает методы дедукции с использованием уравнений и представляет логику через знаки и символы в алгебраической форме.

«Это хорошо, – подумает позже Фреге, – но недостаточно хорошо».

Фреге мечтает не просто открывать отдельные математические истины – доводить разрозненные утверждения из какого-то угла математики до абсолютной логической строгости. Его настоящая цель – укрепить истинность всей системы математики. Ее основания. Он хочет показать, насколько универсальны, связаны и взаимозависимы математические истины. Математике нужен прочный фундамент, считает он. Основания решают все. И в эти основания он заливает весь бетон своего существа.

В 1879 году, пока Кантор с трудом держит удары Кронекера, а Бертран Рассел – еще «контуженный» домашним воспитанием школьник, запертый в холодных залах семейных ожиданий, Фреге пишет малоизвестную книгу «Исчисление понятий» (Begriffsschrift). Рассел откроет ее для себя через 20 лет и будет поражен. В ней изложена своего рода визуальная система записи для логики, новый язык, созданный с помощью символов «для чистого мышления», как говорит Фреге. Это язык формул, который, как он надеется, заменит несовершенство, неточность и двусмысленность обычного языка.

Можно сказать, что Фреге в каком-то смысле настроен против языка – даже при том, что изобретает новый. Но его язык призван быть другим. Естественные языки – помеха для чистой логики, убежден он. Все нюансы обычной речи создают проблемы. Двусмысленность. Неточность. Подтекст. Тонкости. Игра слов. Гиперболы. Скрытый смысл. Цинизм. Юмор. Ирония. Ненадежные рассказчики. Дезинформация и прямая ложь. Все то, что делает литературу великой, делает логику ужасной.

Даже тщательно выверенные сочинения математиков не годятся для этой цели – будь то на английском, немецком, латыни или иных языках. Все написанное о математике слишком сильно полагается на язык, невзирая на уравнения. А человеческий язык ограничивает, если не сказать искажает, наше видение мира. Описывать нечто математически с помощью обыденной речи – значит принять эти ограничения и допустить неточность смысла, чего Фреге стремится избежать.

Обычный язык никогда не позволил бы ему свободно выражать математические истины, поэтому Фреге изобретает новый язык с нуля. Язык специально для математики. Точный. Свободный от психологической двусмысленности. Лишенный непреднамеренных смыслов. Язык, сбросивший с себя оковы обычной речи.

Почему так важна однозначность? Подумайте об этом так: когда вы строите дом, вы не используете неоднозначные материалы. Вы не смешиваете бетон, добавляя случайное количество цемента и песка. Вы отмеряете все точно. Вы не берете несущие балки, отрезанные на глаз. Пословица «семь раз отмерь, один раз отрежь» отражает эту необходимую точность. Чертежи не бывают двусмысленными, открытыми для толкований или ироничными. Нет! Дом строят из конкретно, точно и аккуратно выпиленных досок и понятных материалов.

Grundlagen der Arithmetik

Фреге считал, что математике, как и архитектуре, нужен чертеж, и его 1879 года «Исчисление понятий» стало таким чертежом. Она описывает точный, последовательный символический язык, напоминающий Lego, который позволяет механически соединять утверждения в математические доказательства. Фреге был убежден, что его новая запись понятий станет «надежным способом проверять связи в цепочках умозаключений», говорил он, «и выявлять каждое предположение, могущее прокрасться незамеченным с тем, чтобы можно было обнаружить его источник».

Его работа имела ошеломительный успех, по сути, основав современную математическую логику, и многие, по словам современного немецкого математика Фолькера Пекхауса, до сих пор считают ее революцией. Некоторые называют Фреге «основателем современной логики», хотя другие отдают должное более раннему британскому математику Джорджу Булю, чья знаменитая книга 1847 года «Математический анализ логики» породила булеву логику. Но там, где Буль применил математику к логике, Фреге применил логику к математике. По этой причине некоторые считают его величайшим логиком после Аристотеля. В 1960-х историк математики Жан ван Хейенорт, размышляя о «Исчислении понятий», скажет просто, что эта книга – «самая важная работа по логике, из когда-либо написанных».

Сказать по правде, к книге Фреге трудно подступиться. Нотация в ней очень странная. Он использует двумерную запись, где линии и буквы разбросаны по всей странице. Неэкономно. Сложно. Громоздко. Страницы книги больше похожи на испорченные эскизы татуировок, чем на правильные математические доказательства. Логика может быть элегантной, но способ записи – нет. Его визуальная система – проклятие для издателей, хотя Фреге это мало волнует. «Удобство наборщика – это определенно не summum bonum („высшее благо“)», – говорит он.

Фреге убежден, что с помощью его системы всю математику можно свести к прочному фундаменту логики. Это приводит к созданию другой книги, опубликованной в 1884 году, – «Основоположения арифметики» (Grundlagen der Arithmetik), где он применяет свою систему к базовым понятиям, например к определению числа. Фреге первым показал, как простейшие объекты математики, вроде чисел, можно вывести исключительно из логики, используя лишь несколько простых функций типа «и» и «или».

«В некотором смысле, – заявит американский математик Фрэнк Десуа в 1954 году, – Фреге можно назвать первым человеком в истории, который узнал, чем на самом деле является число».

Это звучит очень странно. И это действительно так. Работа Фреге странна по той же причине, по которой странна задача об укладке апельсинов – старая проблема, известная как гипотеза Кеплера, о самом эффективном способе укладки сферических объектов. Она сбивает с толку, потому что ответ на этот вопрос прост (любой работник овощного отдела скажет вам, как лучше укладывать фрукты). Но решить эту задачу математически очень трудно – настолько, что она вошла в число 23 проблем Гильберта, представленных в Париже в 1900 году. (А когда в конце 1990-х математик из Мичиганского университета Томас Каллистер Хейлз попробовал опубликовать свое 250-страничное доказательство, математическое сообщество пребывало в растерянности, не зная даже, с чего начать рецензирование.)

Задача об укладке апельсинов

Я воспринимаю вопрос Фреге «Что есть число?» и гипотезу Кеплера об укладке апельсинов как примеры логического упущения, которое называю «заблуждением о незначительности результатов»: чем очевиднее кажется ответ, тем менее важным представляется решение. Зачем нужны гении, суперкомпьютеры и длинные, непонятные доказательства, чтобы сказать нам то, что мы и так знаем – или что может сказать любой продавец в овощном отделе? Еще меньше людей спросят: «Что такое число?» В нашем современном мире вопросов «какое мне до этого дело?» и «что мне от этого?», мало кого волнует этот вопрос, не говоря уже о поиске строгого доказательства. Что такое число?! А как насчет: что такое средний палец? Спасибо, что потратил мое время, гений!

Но заблуждение о незначительности – не главная проблема Фреге. Его работа, как и работа Кантора, – одна из самых новаторских в столетии. Теория множеств Кантора ввела концептуальную систему, позволившую по-новому взглянуть на математику, а формальный язык Фреге дал возможность применить чистую логику к самым ее основаниям. Бертран Рассел несколько лет спустя назовет это «технической гибкостью и логической завершенностью, что, конечно же, существенно для любого математического инструмента, предназначаемого для исследования того, что мы до настоящего времени имели в качестве начал математики».

И все же, как и у Кантора, в работе Фреге кроются намеки на грядущую трагедию. Всего через несколько лет Фреге станет блестящим неудачником – даже в момент своего величайшего триумфа. В его тщательно выстроенной системе есть изъян. Фундаментальный изъян, который скоро обнаружит Рассел. И Фреге увидит, как его труды рассыпаются в прах.

Мне нравится представлять Фреге как вывернутого единорога – существо, известное скорее дырой, чем рогом.

Полуживой от голода

Когда в 1899 году Берти и Элис возвращаются из путешествия по Соединенным Штатам, на мировой арене разворачивается военно-политический кризис: Англо-бурская война – та самая, что побудит королеву Викторию совершить в 1900 году поездку в Ирландию в траурном облачении. Одной из сторон войны является Британская империя, контролирующая значительную часть Южной Африки и владеющая двумя большими колониями в регионе: Капской колонией на южной оконечности материка и прибрежной колонией Наталь к северо-востоку от Кейптауна. Вне сферы британского влияния находятся две внутриконтинентальные страны, управляемые преимущественно потомками голландских переселенцев, – независимые нации Трансвааль и Оранжевое Свободное Государство.

Корни конфликта уходили почти на столетие тому назад, к Наполеоновским войнам, когда принц Оранский бежал в Англию. Это изгнание позволило Британии перед битвой при Ватерлоо заявить права на голландские колонии, завершив 150 лет голландского правления в регионе. Независимые потомки первых поселенцев, называвшие себя бурами (на африкаанс – «фермеры»), с самого начала тяготились британским господством.

Чаша терпения переполнилась 1 декабря 1830 года, когда Британия отменила рабство. Тысячи буров снялись с мест, погрузили скарб в фургоны и ушли на север, основав Оранжевое Свободное Государство и Трансвааль. К концу XIX столетия они были двумя из всего четырех стран на всем континенте, избежавших прямого европейского господства. Этот «Великий трек» 1830-х стал краеугольным камнем бурской культуры, символом их тяги к странствиям и готовности с оружием в руках отстаивать свободу. Это определило их суровый быт: они были на одну часть поселенцами и на девять частей – выживальщиками. Дети с ранних лет учились стрелять, бегать, охотиться, прятаться, ездить верхом и выживать. За Великим треком последовали 50 лет медленных, то затухающих, то вспыхивающих конфликтов между британцами и бурами – серия драм, продиктованных и часто разжигаемых наличием богатых минеральных ресурсов, начиная со случайного открытия крупнейших в мире месторождений алмазов в 1867 году.

История забыла имя фермера, который в 1860-х бродил по берегу реки у своего ранчо, подбирал красивые камни и складывал лучшие образцы в миску на кухонном столе. Но она помнит имя человека, который понял истинную суть этих камней – огромных необработанных алмазов. Джон О’Рейли, странствующий торговец, остановился на ферме покормить скот, увидел миску и заметил среди породы самый крупный алмаз, какой ему доводилось видеть, – «палец», выражаясь языком кровавых алмазов. И он тут же уговорил фермера расстаться с этим состоянием.

Известие об этом открытии привело к новым находкам, таким как еще более массивный необработанный алмаз весом 84 карата, позже названный «Звездой Южной Африки», который удачливый пастух, выкопавший его, обменял на 500 овец, 10 быков и лошадь. (Позже он был огранен и продан британскому графу за еще более значительную сумму.)

Туда хлынула целая лавина искателей сокровищ, и на карте появился новый быстрорастущий город. Поначалу это был лишь лагерь без имени. Его называли Раш-Сити, Даймонд-Сити – и прочими глупыми именами, – но в итоге он официально стал имперским британским городом Кимберли, расположенным у самой границы Капской колонии, по соседству с бурской республикой Трансвааль.

* * *

Алмазы, конечно, радуют глаз, но ничто так не ласкает слух, не сияет так чисто в медальоне и не тянет карман так приятно, как золото – этот желтый металл звездного происхождения. Ни одно вещество не кажется более химически истинным или психологически глубоким. Ничто другое не оказывает такого воздействия на людей, писал Scientific American в конце XIX века. «Люди преклоняются перед ним по всему миру, – сообщает журнал. – С ним и ради него мы ведем наши войны».

XIX век – это время самого бурного расцвета золотых жил. Золото создает состояния в Калифорнии, Колорадо, Мексике, Канаде, Австралии, на Аляске и во многих других местах. Там, где находят жилу, мгновенно вырастают города. Торговцы жиреют, а старатели тощают – перекапывая глину Западной Австралии, взбираясь на перевал Чилкут, высаживаясь в старом дощатом Сан-Франциско на пути к лесопилке Саттера. «Койоты»-одиночки. Захватчики участков. Разведчики недр. Самозванцы. Кто-то находит золотую жилу. Большинство сходит с дистанции. Немногие оседают. Еще больше пропадает, умирая мрачной, холодной смертью в одиноких, суровых краях. А кто-то ковыляет домой – полуживой от голода и уже не очень радостный от того, что вообще уцелел.

В 1880-х годах в Южной Африке было открыто крупнейшее в истории месторождение в районе Витватерсранд (на языке буров африкаанс – «Хребет белой воды»), отмеченном уникальной геологической чертой: длинным гребнем твердой метаморфической породы, тянущимся на сотни миль через континент. За тысячелетия реки, бегущие по этому «скальпу», образовали водопады – отсюда и имя. А золото, тяжелый природный элемент, скапливается в аллювиальных россыпях речных русел, что делает Витватерсранд идеальным местом для добычи.

Однако золотая лихорадка там едва не заглохла, так как первые находки казались невпечатляющими. Не стоящими усилий. «Бедные прииски», говоря языком старателей. Знаменитый американский горный инженер Гарднер Фредерик Уильямс объезжал Трансвааль две недели в 1886 году, внимательно инспектируя шахты вдоль всего Витватерсранда. Его впечатлением было: «Ничего особенного!».

«Если бы я ехал по таким жилам в Америке, я бы даже с лошади не слез, чтобы на них посмотреть», – сказал он. Золото там, конечно, было. Но оно было засорено грязью и пиритом – дисульфидом железа, или «золотом дураков». Отделить золото от пирита трудно, а это снижает выработку. Настоящее золото сцепляется с «золотом дураков» и теряется в так называемых хвостах – отвалах отходов. Идеальный золотой рудник – это богатые, сверкающие залежи руды близко к поверхности. Лучшие шахты – это «материнские жилы», где толстые слои золота вкраплены в кристаллы кварца. Такое золото – крупное. Тяжелое. Даже красивое. Его самородки – как музейные экспонаты, какими некоторые из них в итоге и становятся.

Вместо этого Гардинер увидел уродливое золото. Грязное золото. Испорченное золото. Чертово грязное «золото дураков». Едва ли стоит усилий, подумал он.

Он узнает об этом лишь через несколько месяцев, но он только что совершил величайший промах в истории поиска ископаемых. То, в чем шахты Витватерсранда проигрывали по чистоте, они с лихвой окупали объемом. Как оказалось, все эти разрозненные мелкие шахты, ковырявшие невзрачную, бедную породу, разрабатывали одно и то же. Они черпали из одного источника. Витватерсранд в буквальном смысле сидел на горе золота. За миллионы лет сезонных дождей твердый скалистый гребень направлял бурные паводки вниз, создавая единый, длинный, мощный и непрерывный золотой риф. Это больше была плита, чем жила: две мили в ширину, сто миль в длину и местами миля в глубину – величайшее месторождение, которое когда-либо видел мир. То, что он счел бедными копями, на деле было богатством невообразимого масштаба.

Извлечь его было бы непросто. Тут Уильямс был прав. В то время для извлечения золота из породы компании обычно использовали метод амальгамации. Они наносили слой ртути на посеребренные медные пластины, подключенные к батареям, механически дробили руду, смешивали порошок с водой до состояния пульпы, а затем пропускали эту взвесь через заряженные пластины. Мельчайшие частицы золота прилипали к поверхности; их соскабливали, обжигали и взвешивали. Et voilà – le couleur!

Но как раз в разгар золотой лихорадки в Южной Африке шотландское изобретение повысило эффективность добычи: в процесс добавили этап, на котором остаточные «хвосты» смешивали с цианистым калием в жидкую пульпу. Цианид растворяет золото, химически отделяя его в раствор (надосадочную жидкость), откуда его затем можно осадить. Эта маленькая ядовитая добавка к процессу преобразила шахты Витватерсранда, сделав их самыми прибыльными в мире. Она в одночасье вырвала Трансвааль из жалкой нищеты, озолотила его и в конечном счете подтолкнула к войне с Великобританией.

Город дьявола

Формально это была война за управление. Половиной золотых приисков Южной Африки управляла одна компания, а львиную долю остальных контролировали еще две. За ними стояли огромные иностранные инвестиции и колоссальные интересы британских банков – и не только британских. Многие работники шахт были американцами. Главными инженерами всех крупных компаний были американцы. Трансвааль обладал ничтожной производственной базой, поэтому страна ввозила из США не только таланты, но и товары. Около 90 % оборудования на золотых рудниках было американским. Люди в Трансваале пили американский виски, глушили американское пиво, ездили на американских фургонах, работали американскими инструментами и носили американскую одежду.

Город Йоханнесбург находился рукой подать от шахт. Это был странный город, растущий взрывными темпами. В конце 1880-х он буквально за ночь превратился из пустого места в крупный центр. Когда золото только нашли, там был грязный палаточный лагерь. Но с вестью о богатствах Йоханнесбург стал городом лихорадки. За полгода он превратился в полноценный дощатый город с настоящими зданиями и магазинами. Через год он разросся так, что его нельзя было пересечь пешком за день. Через десять лет это был один из крупнейших городов Африки.

Но он страдал и от дурной репутации, неизбежной для всех городов фронтира. Быстрый. Злой. Жесткий. Беззаконный. Пьянство, грубость, драки, убийства. Один наблюдатель заметил, что этот город мог бы совратить архангела. Другой назвал Йоханнесбург «городом дьявола».

Президент Трансвааля Поль Крюгер был полон решимости держать этого дьявола в цепях. Его правительство приняло карательные законы, лишающие права голоса иностранцев, женщин и цветных жителей. Страна также удерживала строгую монополию на динамит – важнейший инструмент золотодобычи. Это создавало дополнительные расходы для шахт. То же касалось и перевозок, которые Трансвааль контролировал через железнодорожную монополию. Кроме того, огромным налоговым бременем были обложены иностранцы – на языке буров их называли «уитлендеры».

Защита британской диаспоры в Южной Африке стала для Великобритании оправданием для отправки войск в 1899 году. Барабанная дробь войны зазвучала летом. Все знали: война на пороге. Той осенью начался кризис беженцев. Йоханнесбург опустел. Улицы обезлюдели. Окна крупных контор были заколочены. Поток из 45 тысяч человек бежал из страны еще до того, как той южноафриканской весной раздались первые выстрелы.

* * *

Один человек следит за началом войны особенно пристально – это Бертран Рассел. Война полностью завладевает его вниманием. Фактически он заворожен ею. Настоящий «новостной наркоман», он ежедневно проходит несколько миль до железнодорожной станции, чтобы прочесть последние новости с фронта. «Я не мог думать ни о чем другом, – вспоминает позже Рассел. – Философия по сравнению с этим казалась детскими играми».

Причина его одержимости кроется в том, что в первые недели война складывается для британцев отвратительно. В британском городе Ледисмит 150 британских солдат убиты или ранены, а еще тысяча взяты в плен. В битве на реке Моддер 28 ноября 1899 года британцы переходят вброд мутную реку, кишащую змеями. Солдаты, не погибшие от пулевых ранений, становятся жертвами змеиных укусов. «Все было против нас», – пишет один британский хирург.

Еще три битвы приносят новые бедствия. Сначала происходит сражение при Стормберге. После того как британский командир отдает приказ об отступлении, треть его войск не слышит команды. В возникшем хаосе около 600 солдат оказываются в окружении и попадают в плен. На следующий день при Магерсфонтейне злополучное наступление британцев заканчивается катастрофическим, беспорядочным отступлением. Около 4 тысяч британских солдат обращаются в неуклюжее бегство. «Стадо овец, спасающихся бегством», – говорит один свидетель. Британцы теряют тысячу человек.

Наконец, наступает черед Коленсо, и это, безусловно, худшее из сражений. Там, пытаясь форсировать реку Тугела в узком месте, британцы совершают крупный просчет. Буры провели неделю, роя окопы, практически невидимые для наступающих войск. Люди с ужасом наблюдают, как британские отряды внезапно оказываются в секторе сосредоточенного огня. В одном отчете утверждается, что залпы бурских винтовок звучат как шкворчание бекона на сковороде. Но это не мешает британцам идти в атаку снова и снова – сперва для переправы через реку, а затем для спасения пушек, лежащих на берегу. (Британская военная доктрина той эпохи предписывала: орудия ни в коем случае не должны попасть в руки врага целыми.)

«Мне было дурно от ужаса, – говорит после битвы бурский генерал Луис Бота, – что такая храбрость оказалась столь бесполезной».

В Англии люди толпятся у газетных киосков, читая новости в ужасе. Эти три битвы: Стормберг, Магерсфонтейн и Коленсо – приковывают взгляды британской общественности. Люди читают кричащие заголовки с недоверием. Как могла неотесанная, доморощенная армия победить значительно превосходящие британские силы? Писатель Артур Конан Дойл описывает настроение британцев в суровых выражениях. Пятидневный период, охватывающий эти три битвы, он называет Черной неделей. «Самая черная за всю жизнь нашего поколения», – пишет он.

В следующем месяце происходит еще одна битва. Спион-Коп – и очередная катастрофа. Там присутствует молодой Уинстон Черчилль. Он описывает битву как «кровавую, зловонную бойню». Сотни британских солдат убиты, более тысячи ранены, сотни пропадают без вести. Люди снова стекаются к газетным киоскам – не только в Лондоне, но и по всему миру.

Bepul matn qismi tugad.