Kitobni o'qish: «Теория относительности для начинающих»

Теория относительности для начинающих

Полная книга

Антон

От принципа Галилея до излучения Хокинга. Все 12 частей и приложения в одном файле.

Пролог. Самый странный вопрос в физике

Представьте, что вы сидите в кресле и читаете эту книгу.

Ответьте, не задумываясь: вы движетесь?

Скорее всего, вы скажете «нет». Кресло стоит на месте, ноги — на полу, страница перед глазами не уплывает. Всё неподвижно.

Но это не совсем так. Земля под вами вращается вокруг своей оси: на широте Москвы — почти триста метров в секунду. Земля одновременно летит вокруг Солнца — со скоростью около тридцати километров в секунду. Солнце вместе с вами несётся вокруг центра Галактики — двести с лишним километров в секунду. Сама Галактика падает в сторону скопления Девы. Скопление куда-то движется относительно реликтового излучения.

Так что — двигаетесь или нет?

Можно возразить: «Хорошо, относительно стула — не двигаюсь. Относительно Солнца — двигаюсь». И это будет почти правильный ответ. Почти. Потому что внутри него прячется самое странное допущение в истории физики: будто где-то есть главная, настоящая система отсчёта, и можно говорить о движении «по-настоящему» — а не относительно чего-то.

Двести лет физика думала, что такая система есть. Где-то существует «абсолютное пространство» — невидимая решётка, относительно которой можно сказать, что вот это тело покоится, а то — движется со скоростью пять метров в секунду. Не «относительно стула». Просто — движется.

Так считал Ньютон. Так считали все его ученики. Это казалось настолько очевидным, что вопрос даже не ставили.

А потом случилось то, что в физике случается раз в несколько столетий: одна совершенно невинная задача начала ломаться обо что-то твёрдое.

Задача была про свет.

К концу XIX века физики наконец разобрались, что такое свет: это электромагнитная волна. Уравнения, которые её описывают — уравнения Максвелла — были настолько красивы, что у их автора, по легенде, дрожали руки, когда он их записывал. Из этих уравнений выскакивала ровно одна скорость распространения волны. Конкретное число: примерно триста тысяч километров в секунду. Назвали её c.

И тут возникал очень неудобный вопрос.

Триста тысяч километров в секунду — относительно чего?

Звук распространяется со скоростью триста сорок метров в секунду — относительно воздуха. Волна на воде бежит со скоростью, измеряемой относительно самой воды. Любая волна, которую мы знали, бежала относительно своей среды. Что является средой для света?

Назвали гипотетическую среду «эфиром». Невидимый, всепроникающий, неощутимый. И вот эта-то «среда», по мысли физиков конца XIX века, и есть та самая абсолютная неподвижная решётка, о которой мечтал Ньютон. Эфир — это «абсолютный покой». А Земля летит сквозь него, как корабль сквозь воду, со скоростью тридцать километров в секунду. Значит, на Земле должен быть «эфирный ветер». И если очень аккуратно поставить опыт — этот ветер можно поймать.

В 1887 году в Кливленде два экспериментатора, Майкельсон и Морли, поставили один из самых тщательных экспериментов в истории физики. Они построили прибор, способный заметить эфирный ветер с точностью, для тогдашней техники почти волшебной.

И не нашли ничего.

Ровным счётом ничего. Свет двигался с одной и той же скоростью во всех направлениях, как если бы Земля стояла на месте. Хотя она точно не стояла.

Это был тупик.

Физика конца XIX века оказалась перед очень странным выбором. Либо отказаться от очевидной идеи, что есть какое-то «абсолютное пространство». Либо отказаться от уравнений Максвелла, которые описывают свет так хорошо, что на них уже работают электрогенераторы, телеграф и моторы.

Никто не хотел отказываться ни от того, ни от другого.

Восемнадцать лет — с 1887 по 1905 — лучшие физики мира пытались как-то залатать эту трещину. Они придумывали всё более и более изощрённые объяснения: «может быть, Земля тянет эфир за собой», «может быть, тела при движении сквозь эфир физически сокращаются и часы замедляются — ровно настолько, чтобы мы не могли заметить ветер». Эти объяснения становились всё более громоздкими и всё менее убедительными. Но альтернативу — что вся картина мира неправильна — никто всерьёз рассматривать не хотел.

А потом в 1905 году один двадцатишестилетний клерк патентного бюро в Берне написал статью.

Он только что не получил места в университете. Он был служащим третьего класса. Он подрабатывал репетитором, чтобы свести концы с концами. У него была молодая жена, маленький сын и хроническое безденежье. На физику оставались вечера и редкие воскресенья.

Звали его Альберт Эйнштейн.

В статье, которую он написал, не было новых экспериментов. Не было сложных вычислений. Не было никакой математики, выходящей за пределы того, что знает старшеклассник. В ней было всего одно по-настоящему новое — но это новое сводилось к очень простой мысли.

Эйнштейн посмотрел на тупик, в котором оказалась физика, и сказал примерно следующее:

«Возможно, мы задаём неправильный вопрос. Мы спрашиваем: с какой скоростью свет движется относительно эфира? А если эфира нет? Если нет никакой выделенной системы отсчёта? Если "относительно чего" вообще не имеет ответа — потому что для света этот вопрос некорректен? Может быть, скорость света — это просто свойство мира, и она одинакова для всех наблюдателей, как бы они ни двигались?»

Это звучало как полная нелепость.

Если я стою на платформе, а мимо меня едет поезд со скоростью двести километров в час, и из поезда стреляют пулей вперёд — пуля летит мимо меня со скоростью пули плюс двести. Это очевидно. Так устроен мир. Так считали со времён Галилея.

Но Эйнштейн сказал: со светом — нет. Если из поезда направить вперёд луч света, то и стоящий на платформе, и сидящий в поезде измерят одну и ту же скорость света. Одну и ту же. Триста тысяч километров в секунду — для всех.

Это означало, что у поезда и платформы не совпадает что-то очень фундаментальное.

Если две одинаковые величины (скорость света) получаются у двух разных наблюдателей, измеряющих движение одного и того же объекта, — значит, у этих наблюдателей не совпадает либо «секунда», либо «километр», либо и то и другое. По-другому никак.

Эйнштейн пошёл этой мыслью до конца. И обнаружил, что да: секунда для движущегося наблюдателя — не та же секунда, что для неподвижного. Метр — не тот же метр. И — это самое странное — два события, которые для одного наблюдателя происходят одновременно, для другого происходят в разное время. Само слово «одновременно» теряет абсолютный смысл.

Эта статья называлась «К электродинамике движущихся тел». Сегодня её называют первой работой по специальной теории относительности.

В ней не было того слова, которое потом ушло во все языки. Не было слова «relativity». Эйнштейн в 1905 году ещё не знал, что переворачивает физику. Он думал, что чинит электродинамику.

С тех пор прошло сто двадцать лет.

За эти годы оказалось, что эйнштейновская мысль ведёт не просто к новому пониманию времени и пространства. Она ведёт к тому, что пространство и время — это, по существу, одно и то же. Что масса и энергия — одно и то же. Что гравитация — это вовсе не сила, а форма самого пространства. Что Вселенная расширяется. Что существуют чёрные дыры. Что само пространство-время умеет рябиться волнами, которые мы научились ловить. Что время в основании небоскрёба бежит медленнее, чем на крыше — на одну квадрильонную долю, но это можно измерить, и оказалось, что Эйнштейн опять прав.

Каждый раз, когда вы пользуетесь GPS-навигацией в телефоне, спутники над вами учитывают поправки специальной и общей теорий относительности. Без этих поправок навигатор за сутки ошибся бы на десять километров. Эйнштейн в кафе в Берне в 1905 году делает вашу машину в 2026 году способной найти ближайшую заправку.

Эта книга — медленный, неспешный подъём в гору.

Мы начнём у подножья — там, где всё ещё работает классическая физика, где время абсолютно, а пространство — пусто и неподвижно. Мы посмотрим, почему классическая физика казалась такой убедительной, и где именно в ней появилась трещина.

Потом мы подойдём к двум постулатам, которые Эйнштейн положил в основание своей теории, — и пройдёмся вслед за ним по тем мысленным экспериментам, с помощью которых он сам понимал свою теорию. Поезда. Лифты. Часы из фонарика и зеркала. Близнецы.

Мы построим геометрию пространства-времени — ту самую, которая, по словам Минковского, превратила пространство и время в «тени». И с ней мы сможем посмотреть на парадоксы и увидеть, как они исчезают на ровной геометрической картинке.

Потом мы перейдём к общей теории относительности — к идее, что гравитация — это не сила, а кривизна. Мы научимся видеть кривое пространство — сначала без формул, на муравьях и сферах, потом с формулами. Мы выведем уравнения Эйнштейна и поймём, что они говорят. Мы посмотрим на чёрные дыры, гравитационные волны, расширяющуюся Вселенную. На границу того, что мы знаем сегодня.

И где-то в пути — может быть, на сотой странице, может быть, на трёхсотой, — должно случиться то, ради чего и пишется эта книга.

Должно случиться удивление.

Не то удивление, которое чувствуешь, когда узнаёшь странный факт. А то, более редкое: удивление от того, что мир оказался устроен глубоко, по-настоящему глубоко — и устроен так красиво, что эту красоту можно увидеть, если потрудиться её рассмотреть.

Эйнштейн, в одном из писем уже немолодым человеком, написал: «Самое непостижимое в мире — это то, что он постижим».

Давайте увидим, что он имел в виду.

Переверните страницу.

Часть I Сцена, на которой всё начинается

Прежде чем ломать классическую картину мира, надо её хорошо рассмотреть. Иначе непонятно, что именно сломалось.

Глава 1. Принцип относительности Галилея

В 1632 году во Флоренции Галилео Галилей опубликовал книгу, которую он осторожно назвал «Диалог о двух главнейших системах мира». Книга была написана в форме разговора трёх собеседников: один защищал старую, аристотелевскую картину мира, второй — новую, коперниканскую, а третий выступал в роли вежливого слушателя.

Через год книга была запрещена. Через ещё несколько месяцев Галилей стоял перед инквизицией.

Но нас в этой книге сейчас интересует не папский суд и не вращение Земли. Нас интересует одно место в «Диалоге», на первый взгляд, не имеющее отношения ни к чему важному.

Галилей описывает там очень странный мысленный эксперимент. И — хотя в 1632 году об этом ещё нельзя было догадаться — этот эксперимент содержит в зародыше всю теорию относительности. Без него Эйнштейн не смог бы написать свою статью в 1905-м. Без него современная физика выглядела бы по-другому.

Мы начнём отсюда.

Корабль, в котором не видно моря

Вот что Галилей предлагает читателю представить.

Большой корабль, идущий по морю плавно и без качки. Внутри, в каюте без окон, заперся естествоиспытатель. У него с собой:

- стеклянная банка с мухами и бабочками; - небольшой аквариум с рыбками; - сосуд, из которого по капле капает вода в подставленную чашу; - мяч, который можно бросать; - весы и какие-нибудь приборы.

Корабль выходит из порта, набирает скорость, идёт ровно. В каюте нет ни единого окна, через которое можно было бы посмотреть на воду или на берег. Натуралист продолжает свои опыты.

Галилей утверждает следующее.

Никакой опыт, который натуралист может провести внутри каюты, не покажет ему, движется корабль или стоит.

Мухи летают одинаково. Рыбки плавают во все стороны одинаково. Капли падают точно в центр чаши, не отклоняясь. Мяч, брошенный вверх, возвращается в ту же руку. Весы показывают тот же вес. Если корабль движется ровно и прямолинейно — ни один опыт внутри не отличит «плывём» от «стоим».

Если на минуту задуматься, это очень странно. И, в то же время, это полностью соответствует нашему повседневному опыту. Вспомните последний раз, когда вы летели в самолёте на крейсерской высоте — не во время взлёта, не во время турбулентности, а в спокойном горизонтальном полёте. Стюардесса разносит кофе, ничего не проливается. Можно встать, дойти до туалета, вернуться. Можно подбросить орешек и поймать его — он не «отстаёт» от вас, хотя самолёт мчится восемьсот километров в час. Если закрыть иллюминатор и не слушать гул двигателей, ничто внутри салона не скажет вам, что вы куда-то движетесь.

То же самое, кстати, с поездом — если поезд идёт ровно. И с лифтом — пока он движется с постоянной скоростью. Чай в чашке не плещется, ноги не уходят из-под ног.

Галилей понял это первым. И сформулировал.

Что такое инерциальная система отсчёта

Теперь — небольшая, но важная пауза для уточнения слов. В физике их используют точно, и нам нужно к этому привыкнуть.

Система отсчёта — это то, относительно чего мы измеряем положения и скорости.

Звучит абстрактно. На самом деле — нет. Самый простой пример системы отсчёта — комната, в которой вы находитесь. У неё есть стены, пол, потолок. Вы можете сказать: «чашка стоит на столе, в полутора метрах от двери и в метре от окна». Это — координаты чашки в системе отсчёта «комната».

Если вы вынесете чашку на улицу и поставите её на столик в кафе, у неё будут другие координаты — теперь относительно стен кафе. Но сама чашка от этого не изменится. Это была одна и та же чашка. Изменилось только то, относительно чего мы её измеряем.

Так вот: систем отсчёта может быть много. Комната, поезд, самолёт, корабль, Земля, Солнце. Любой объект, относительно которого мы что-то меряем, задаёт свою систему отсчёта.

А теперь — важное слово.

Инерциальная система отсчёта — это система, которая не ускоряется. Она либо стоит на месте, либо движется с постоянной скоростью по прямой.

Корабль Галилея, идущий ровно, — инерциальная система. Самолёт в спокойном горизонтальном полёте — инерциальная система. Поезд, едущий с постоянной скоростью по прямым рельсам — тоже.

А вот эти — не инерциальные:

- самолёт, разгоняющийся по взлётной полосе (он ускоряется); - поезд, входящий в поворот (хотя скорость по модулю та же, направление меняется — это тоже ускорение); - лифт, который начинает спускаться (рывок вниз — на секунду чувствуется лёгкость в коленях, и это ощущение и есть индикатор того, что система отсчёта неинерциальная); - любая комната на Земле, строго говоря, — потому что Земля вращается, и стены комнаты движутся не по прямой, а по окружности.

Этот последний пункт обычно немного беспокоит, и в нём есть тонкость, которую полезно осознать сразу.

Земля — действительно ускоряющаяся система отсчёта. Она вращается вокруг своей оси (двадцать четыре часа), она вращается вокруг Солнца (год), Солнце вокруг центра Галактики. Всё это — повороты, а поворот — это ускорение. Строго говоря, никакая земная лаборатория не является инерциальной системой.

Но ускорения эти настолько маленькие, что для большинства задач Землю можно считать инерциальной системой с очень хорошей точностью. Только в редких случаях — например, для маятника Фуко или для расчёта баллистических ракет — вращение Земли начинает играть роль. Так что в этой книге, если не сказано иначе, мы будем называть Землю инерциальной системой, помня про эту маленькую неточность.

Принцип Галилея — теперь строго

Теперь мы можем сформулировать то, что Галилей сказал про корабль, языком физики.

Принцип относительности Галилея: во всех инерциальных системах отсчёта законы механики одинаковы.

Это, кстати, ровно то же самое, что и:

Никакой механический эксперимент не позволяет отличить, движется ли инерциальная система отсчёта или покоится.

Эти две формулировки — одна и та же мысль с разных сторон. Первая говорит «законы одинаковы», вторая — «значит, разницу между движением и покоем поймать нельзя».

Что отсюда следует?

Очень многое. И первое — то, что у понятия «покой» нет абсолютного смысла. Покоя не существует. Точнее, существует только покой относительно чего-то. Чашка стоит на столе — она в покое относительно стола. Стол стоит на полу — он в покое относительно пола. Пол стоит на Земле — в покое относительно Земли. Земля летит вокруг Солнца — она не в покое относительно Солнца. И так далее. Можно идти этой цепочкой бесконечно и никогда не дойти до «истинного, абсолютного покоя».

В этом и есть главный урок Галилея. Когда мы говорим «тело движется», мы обязаны (хотя обычно не произносим этого вслух) уточнить — относительно чего. Без этого «движется» — слово без смысла.

Тут возникает естественный вопрос. Если все инерциальные системы отсчёта равноправны и в каждой из них законы одинаковы — значит ли это, что не существует какой-то одной «правильной» системы отсчёта, относительно которой можно говорить о настоящих скоростях и настоящих положениях?

Галилей на этот вопрос ответил бы: да, не существует. Ньютон бы заколебался. Эйнштейн в 1905 году ответил: нет, не существует, и именно поэтому скорость света одинакова для всех. Но об этом — через несколько глав.

Сложение скоростей по-старому

Давайте посмотрим, как принцип Галилея работает с числами. Это будет первая формула в книге, и она вас не испугает: она настолько проста, что её мы пишем интуитивно с детства.

Представьте: вы едете в поезде. Поезд движется относительно земли со скоростью V (большая V — пусть это будет 100 км/ч). По вагону, в сторону движения поезда, идёт официант с подносом. Он идёт относительно вагона со скоростью u (маленькая u — пусть это будет 5 км/ч).

С какой скоростью движется официант относительно земли?

Любой ребёнок ответит: 105 км/ч. Скорость поезда плюс скорость официанта.

В формуле это выглядит так:

$$v = V + u$$

Где v — скорость официанта относительно земли, V — скорость поезда относительно земли, u — скорость официанта относительно поезда.

Если официант пойдёт обратно — против движения поезда — то его скорость относительно вагона будет с минусом: u = −5 км/ч. Тогда относительно земли он будет двигаться со скоростью 100 − 5 = 95 км/ч. Формула та же.

Эта формула называется классическим (или галилеевским) законом сложения скоростей. Она настолько естественна, что мы пользуемся ей всю жизнь, не задумываясь. На неё опирается весь автомобильный мир: когда машина обгоняет другую, мы интуитивно складываем и вычитаем скорости. На неё опирается артиллерия, авиация, всё.

И с ней не было никаких проблем — до конца XIX века.

А потом возник свет.

Если эта формула верна, то скорость света должна зависеть от того, кто её измеряет. Если в поезде, движущемся со скоростью V, включить фонарик и направить его вперёд, то скорость света относительно земли должна быть c + V: «скорость света относительно поезда плюс скорость поезда относительно земли».

А измерения говорили: нет. Скорость света относительно земли — c. Скорость света относительно поезда — тоже c. Не c + V, а c.

Что-то с этой формулой не так. Что-то, чего мы не замечали триста лет.

Что именно — мы выясним. Но прежде, чем ломать классическую физику, надо посмотреть, как же она устроена, целиком и подробно. Это мы и будем делать в следующих главах.

Что мы узнали в этой главе

- Если корабль, поезд, самолёт движется ровно и прямолинейно — никакой внутренний опыт не отличит его от покоящегося. Это принцип относительности Галилея. - Система отсчёта — это то, относительно чего мы измеряем положения и скорости. Их может быть много, и все они равноправны. - Инерциальная система отсчёта — та, которая не ускоряется (ни прямолинейно, ни вращательно). - Понятие «абсолютного покоя» не имеет физического смысла. Можно говорить только о «покое относительно чего-то». - Для скоростей в классической механике работает простой закон сложения: $v = V + u$. - С этим законом всё хорошо — пока речь не заходит о свете.

Вопросы для размышления

1. Если все инерциальные системы отсчёта равноправны, то почему мы так уверенно говорим, что «Земля вращается вокруг Солнца», а не «Солнце вращается вокруг Земли»? Эти два утверждения — действительно эквивалентны?

2. Представьте, что вы летите в космическом корабле, удалённом от всех звёзд, и в иллюминаторе — абсолютная чернота. Сможете ли вы определить, движется ваш корабль или нет? А если рядом будет другой корабль — что вы сможете сказать?

3. Когда вы едете на машине и резко тормозите, тело по инерции «тянет вперёд». А когда вы едете с постоянной скоростью — ничего не тянет. Почему?

(Ответы — в конце книги, но честное правило: сначала подумайте сами хотя бы пять минут.)

Следующая глава — Привал 1. Совсем короткий: освежим понятие вектора и системы координат, чтобы спокойно двигаться дальше.

Привал 1. Системы координат и векторы — самое необходимое

Это первый из семи «привалов» в нашей книге. Привалы — это короткие математические остановки. Их задача не научить математике с нуля, а напомнить то, что вы когда-то знали, но могли подзабыть. Если вы уверенно владеете темой — пролистайте за пять минут. Если нет — побудем тут чуть подольше.

К следующей главе нам нужно небольшое: понимать, что такое система координат, что такое вектор и как с ним обращаться. Этим и займёмся.

Где находится муха

Представьте: вы зашли в комнату, и где-то под потолком летает муха. Хотите её описать другу по телефону. Как?

Можно сказать «над столом». Это уже что-то, но не очень точно — таких точек много. Можно уточнить: «в полутора метрах над столом и в полуметре от его края». Это уже хорошо. А можно совсем строго: «считая от угла, где стол стоит у окна, муха находится в 1 метре вдоль стены, в 0.5 метра от стола внутрь комнаты, и в 1.5 метра над столом».

Вот это последнее описание — это и есть координаты в системе отсчёта.

Мы выбрали: - начало координат — угол комнаты; - три направления — вдоль стены, от стены, вверх; - единицу измерения — метр.

И задали муху тремя числами: (1, 0.5, 1.5).

Это и есть трёхмерная система координат. По привычке оси обозначают буквами x, y, z. Тогда положение мухи — это просто три числа: x = 1, y = 0.5, z = 1.5. Или, короче, точка (1, 0.5, 1.5).

В двумерном случае всё то же самое, только осей две. Точка на листке бумаги задаётся двумя числами (x, y). В одномерном — одно число x.

Это всё, что значит «система координат». Никакой магии: выбрали начало, выбрали направления, и теперь любую точку в пространстве можно описать набором чисел.

Зачем нужны разные системы координат

Тут есть тонкость, которую полезно сразу осознать.

Я выбрал угол комнаты как начало координат. А мой друг может выбрать другой угол. И в его системе координат у той же самой мухи будут другие числа. Например, если он начал отсчитывать от противоположного угла, его координаты мухи могут быть (3, 2.5, 1.5).

Муха та же. А числа — разные.

Это не противоречие, это просто разные описания одного и того же. Как если бы мы описывали один и тот же дом — один сказал бы «третий справа от поворота», а другой «пятый слева от перекрёстка». Дом один и тот же. Описания разные.

Главная мысль: числа-координаты — это не «свойство мухи». Это свойство пары «муха + наша система отсчёта». Если поменять систему — поменяются числа, хотя муха не изменится.

Эта мысль ещё много раз сыграет в книге. По сути, вся теория относительности — это длинный, очень содержательный комментарий к ней.

Вектор — это стрелочка

Теперь — самое важное в этом привале.

Вектор — это, в самом простом виде, стрелочка. У неё есть длина и направление.

Например, скорость машины — вектор: 60 километров в час на север. Не просто «60 км/ч», а 60 км/ч в каком-то направлении. Если машина едет 60 на север, а другая — 60 на восток, у них одинаковая «скорость по модулю», но это разные векторы.

Сила, с которой вы толкаете дверь, — вектор: столько-то ньютонов в такую-то сторону. Перемещение из точки А в точку Б — вектор: длина перемещения и направление.

В чём разница между вектором и числом? Число — это просто величина: 5, 17, 3.14. У числа нет «направления». А у вектора есть и величина (длина), и направление.

На бумаге вектор изображают стрелочкой. В тексте обозначают по-разному: жирной буквой v, или буквой со стрелочкой над ней $\vec{v}$, или просто буквой v, когда из контекста понятно, что речь о векторе.

Компоненты вектора

Чтобы записать вектор числами, мы пользуемся системой координат.

Допустим, в нашей комнате муха перелетела из точки А в точку Б. Перемещение — это вектор. Если в нашей системе координат точка А имела координаты (1, 0.5, 1.5), а точка Б — координаты (2, 0.5, 2.0), то вектор перемещения — это просто:

по оси x: переместились на 2 − 1 = 1 метр по оси y: переместились на 0.5 − 0.5 = 0 метров по оси z: переместились на 2.0 − 1.5 = 0.5 метра

Можно записать вектор как набор трёх чисел: v = (1, 0, 0.5). Эти числа называются компонентами вектора.

Та же самая логика, что и с точками: компоненты вектора — это не свойство «самой стрелочки», а свойство «стрелочки в данной системе координат». В другой системе у той же стрелочки будут другие компоненты. Сама стрелочка от этого не изменится — она по-прежнему та же стрелочка, тот же реальный шаг, тот же реальный отрезок в пространстве.

Операции с векторами

Три операции, которые нам понадобятся.

1. Сложение. Два вектора складываются «по правилу параллелограмма» или, что то же самое, покомпонентно. Если a = (1, 2, 3), а b = (4, 5, 6), то

a + b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)

Геометрически это значит: «прошёл по первой стрелочке, потом по второй» — получишь ту же точку, что если бы сразу пошёл по сумме.

2. Умножение на число. Если v = (1, 2, 3) и я умножаю на число 2, то

2·v = (2·1, 2·2, 2·3) = (2, 4, 6)

Геометрически: стрелочка стала вдвое длиннее, направление то же. Если умножить на −1 — стрелочка той же длины, но направлена в обратную сторону.

3. Длина вектора (модуль). Длина стрелочки — это обычное расстояние от её начала до конца. Считается по теореме Пифагора. Для вектора v = (x, y, z) длина равна:

|v| = √(x² + y² + z²)

Например, для v = (3, 4, 0) длина равна √(9 + 16 + 0) = √25 = 5.

В двумерном случае всё то же самое, только без z. Длина вектора (3, 4) — это 5 (любимый школьный треугольник).

Скорость как вектор

Чтобы закончить этот привал, разберём один конкретный пример, который нам сразу понадобится.

Скорость — это вектор.

Если поезд движется на восток со скоростью 100 км/ч, то его вектор скорости можно записать как V = (100, 0, 0), если ось x направить на восток. Если он движется на северо-восток с той же скоростью, то компоненты будут другие — примерно (70.7, 70.7, 0). Но это всё та же скорость 100 км/ч, просто разложенная по направлениям.

Это важно, потому что когда мы будем складывать скорости (например, скорость официанта по вагону плюс скорость вагона по земле), мы будем именно векторно складывать. Если они в одном направлении — складываются обычным сложением. Если в разных — по правилам.

В одномерных задачах, где движение происходит только по одной оси, это сводится к простому сложению чисел. И именно в одномерной форме мы будем работать первые несколько глав.

Что мы вспомнили в этом привале

- Система координат — выбор начала и направлений, чтобы описывать точки в пространстве числами. - Одна и та же точка в разных системах координат имеет разные числа-координаты. Это не противоречие — это разные описания одного и того же. - Вектор — стрелочка с длиной и направлением. Описывает скорость, силу, перемещение и многое другое. - Вектор записывается набором компонент в выбранной системе координат. - Векторы можно складывать (покомпонентно), умножать на число и измерять их длину (по Пифагору). - Скорость — это вектор, и мы будем с ней так обращаться.

Привал окончен. Идём дальше — к преобразованиям Галилея.

Глава 2. Преобразования Галилея

В первой главе мы поняли важную мысль: в физике нет «правильной» системы отсчёта. Любая инерциальная система не хуже любой другой. Но если так — то у одного и того же события могут быть разные описания в разных системах. И между этими описаниями должна быть какая-то связь. Какое-то правило, переводящее «описание в одной системе» в «описание в другой».

Это правило и называется преобразованиями Галилея.

Звучит грозно. На самом деле оно настолько просто, что мы пользуемся им каждый день, даже не подозревая об этом. Сейчас мы его аккуратно выпишем и заодно поймём, что молча подразумевалось во всей классической физике до 1905 года. Подразумевалось так глубоко, что никто не считал нужным произносить это вслух.

Два наблюдателя, одно событие

Представим простую ситуацию.

По длинной прямой дороге с постоянной скоростью V едет поезд. Скорость — на восток, скажем, 100 км/ч. Дорога идёт ровно, по горизонтали, чтобы не отвлекаться на лишние детали.

У нас два наблюдателя.

- Маша стоит на платформе. Она задала свою систему координат: начало — там, где она стоит, ось x — вдоль рельсов, на восток. - Петя едет в поезде. Он задал свою систему координат: начало — в углу его купе, ось x — тоже на восток (параллельно дороге).

В какой-то момент в поезде происходит событие: например, на полу купе разбивается чашка. У события есть две характеристики: где оно произошло и когда.

Маша опишет это событие так: «чашка разбилась в координате x, в момент времени t». Петя опишет так: «чашка разбилась у меня в координате x', в момент времени t'» (штрих просто означает «то же, но для Пети»; никакого деления или производной).

Вопрос: как связаны (x, t) и (x', t')?

Договариваемся о начале отсчёта

Чтобы получить простую формулу, договоримся об одной вещи. Скажем, что в момент времени t = 0 Петя проезжал ровно мимо Маши. То есть в этот момент их начала координат совпадали.

После этого Петя удаляется. Через секунду — он уже не у Маши, а на 100/3.6 ≈ 27.8 метрах восточнее. Через две секунды — на 55.6 метрах. Через час — на 100 километрах восточнее.

В общем, через время t начало Петиной системы координат находится в Машиной системе на расстоянии V·t от Машиного начала.

Если поезд едет со скоростью 100 км/ч на восток, то через час (t = 1 час) Петино начало координат находится в Машиной системе в точке x = 100 км.

Сама формула

Теперь — главное.

Чашка разбилась в Петином купе в точке x' (это её координата в Петиной системе). Где она находится в Машиной системе?

В этот момент Петино начало координат в Машиной системе находится в точке V·t. К нему надо прибавить ещё x' (это удаление чашки от Петиного начала). Получаем:

x = V·t + x'

Или, разрешая относительно x', чтобы получить «Петино из Машиного»:

x' = x − V·t

А что со временем? Тут — самое интересное, и об этом стоит сказать отдельно. Галилей и Ньютон считали само собой разумеющимся, что время одно и то же у всех. У Маши секунды текут так же, как у Пети. Если у Маши прошёл час — то у Пети тоже прошёл час. Время — едино для всей Вселенной, оно идёт «само по себе», независимо от того, кто его измеряет и кто куда движется.

Это и записывается одной коротенькой формулой:

t' = t

Вот эти две формулы вместе:

x' = x − V·t t' = t

И называются преобразованиями Галилея. Точнее — преобразованиями Галилея для одномерного движения вдоль оси x (для двух или трёх измерений добавятся y' = y и z' = z, но мы пока работаем в одномерной картинке).

Эти формулы говорят: «если ты хочешь пересчитать координаты события из неподвижной системы в систему, движущуюся со скоростью V вдоль оси x — вычти из пространственной координаты V·t, а время оставь как есть».

Что в этом всём незаметного

На первый взгляд эти формулы — почти банальность. Они выражают мысль, которая кажется самоочевидной: «если поезд уехал на 100 километров, то всё, что происходит в нём, в нашей системе сдвинулось на 100 километров».

Но в них — и особенно в той строчке, где сказано t' = t, — спрятано огромное молчаливое предположение.

Предположение: время — одно для всех наблюдателей. Часы идут одинаково, в каком бы движении они ни находились. Если у меня прошла секунда, то у тебя тоже прошла секунда, где бы ты ни был и как бы быстро ни летел.

Это казалось настолько очевидным, что Галилей даже не считал нужным об этом писать. Ньютон писал, но писал об этом не как о допущении, а как о факте: «Абсолютное, истинное, математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно». Это цитата из его «Начал». Время для Ньютона — это просто что-то, что течёт. Везде одинаково. Само по себе.

Когда Эйнштейн в 1905 году поставил это допущение под сомнение, физика полетела вверх тормашками. Но это будет ещё не скоро. Пока что вместе с Галилеем и Ньютоном будем считать, что t' = t — и это естественно.

Сложение скоростей — теперь честный вывод

Из преобразований Галилея уже можно вывести закон сложения скоростей, который мы видели в первой главе.

Представим: по Петиному купе официант идёт со скоростью u вдоль оси x' (то есть в ту же сторону, что и поезд). Какова его скорость относительно Маши?

Скорость — это «изменение координаты, делённое на время». В Петиной системе официант сдвигается по координате x' со скоростью u. То есть через время Δt у него координата вырастает на u·Δt.

Посмотрим, что в Машиной системе. Координата официанта в Машиной системе:

x = V·t + x' (по формуле выше, разрешённой относительно x)

За время Δt у Пети x' выросло на u·Δt. А у Маши добавилось ещё и V·Δt — за счёт того, что само Петино купе сдвинулось вместе с поездом. Итого, за время Δt в Машиной системе координата официанта изменилась на:

Δx = V·Δt + u·Δt = (V + u)·Δt

Делим на Δt, получаем скорость:

v = V + u

То самое сложение скоростей. Скорость поезда плюс скорость официанта по поезду равна скорости официанта по земле. Ничего нового — но теперь мы понимаем, откуда эта формула берётся. Она следует из преобразований Галилея, а преобразования Галилея, в свою очередь, опираются на тихое допущение, что время для всех одинаково.

Где здесь начнётся проблема

Я уже намекал в первой главе: с этим законом сложения скоростей всё было хорошо, пока речь не зашла о свете.

Если из поезда, движущегося со скоростью V, направить вперёд луч света, скорость которого относительно поезда — c (это около 300 000 км/с), то по галилеевой формуле его скорость относительно земли должна быть:

v = V + c

То есть скорость света, по идее, должна зависеть от того, кто измеряет. Это в полном соответствии с тем, как складываются все остальные скорости в мире.

Но измерения говорят: нет. Скорость света — одинакова. И для того, кто стоит на земле, и для того, кто в поезде. Не V + c. Просто c. Всегда c.

Значит, в этой цепочке рассуждения где-то ошибка. Все шаги были аккуратными — преобразования Галилея выглядят бесспорно, сложение скоростей выводится из них честно. Где же ошибка?

Запомним этот вопрос. Ответ Эйнштейна звучит просто и ужасно: ошибка в самом первом, самом фундаментальном, никем не оспариваемом шаге. t' = t неверно.

Время — не одинаковое для двух наблюдателей, движущихся друг относительно друга. И это совсем не маленькая поправка. Это и есть та трещина, из которой выросла вся теория относительности.

Но об этом — после того, как мы доскажем классическую историю до конца.

Что мы узнали в этой главе

- Преобразования Галилея — это правила пересчёта координат события из одной инерциальной системы в другую: x' = x − V·t, t' = t. - В них скрыто допущение, которое со времён Галилея никто не оспаривал: время — одно для всех, оно течёт одинаково везде, независимо от движения. - Из этих преобразований выводится классическое сложение скоростей: v = V + u. - Эти правила работают для всего, что мы видим в повседневной жизни — машин, поездов, самолётов. - Они перестают работать для света. И именно это однажды заставит физиков задуматься, верно ли исходное предположение про время.

Вопросы для размышления

1. По эскалатору, который движется вверх со скоростью 0.5 м/с, идёт человек со скоростью 1 м/с (тоже вверх). С какой скоростью он движется относительно неподвижной стены?

2. По тому же эскалатору другой человек идёт вниз со скоростью 1 м/с (в попытках обогнать систему). Какова его скорость относительно стены? А может ли результат быть нулём — то есть человек, идущий по эскалатору, стоял бы на месте относительно стены?

3. Если t' = t — то Маша и Петя могут синхронизировать часы один раз и потом всегда быть согласны, который час. А что, если предположить, что часы у движущегося Пети идут чуть медленнее? Как тогда выглядел бы новый закон сложения скоростей? (Точного ответа здесь не ждите — мы вернёмся к этому в Части II. Но интуицию полезно потренировать уже сейчас.)

Следующая глава — три закона Ньютона и его представление об устройстве Вселенной. Чтобы потом было понятно, что именно сломал Эйнштейн.

Глава 3. Механика Ньютона как идеальный мир

Был 1666 год. В Англии бушевала эпидемия чумы. Кембриджский университет закрыли. Двадцатитрёхлетний студент Исаак Ньютон, защитивший к тому моменту бакалаврскую работу, уехал в свою родовую усадьбу Вулсторп — небольшой каменный дом в графстве Линкольншир — и провёл там почти полтора года.

То, что он сделал за эти полтора года, в физике называют annus mirabilis — «годом чудес». В одиночестве, без коллег, без учителей, в перерывах между прогулками по саду, Ньютон:

- разработал основы дифференциального и интегрального исчисления (хотя записал это много позже); - провёл эксперименты с призмой и открыл, что белый свет — это смесь цветов; - сформулировал закон всемирного тяготения; - заложил основу того, что сегодня мы называем классической механикой.

Каждое из этих достижений тянуло бы на пожизненную славу. Ньютон сделал всё это за один год. Ему было двадцать три.

К физике относительности мы вернёмся к Ньютону снова и снова — потому что именно ньютоновскую физику Эйнштейну предстояло пересмотреть. Поэтому в этой главе мы аккуратно посмотрим, что Ньютон предложил миру. Не во всех деталях — нам нужны только те идеи, которые потом окажутся под вопросом.

Три закона

Когда вы учили физику в школе, вам, скорее всего, рассказывали про «три закона Ньютона». Давайте напомним их — но не как формальные определения, а как картинки.

Первый закон. Если на тело не действует никакая сила (или все силы скомпенсированы) — то оно либо стоит на месте, либо движется по прямой с постоянной скоростью.

Это, по сути, переформулированный принцип Галилея, который мы обсуждали в первой главе. Тело «само по себе» не нуждается в постоянном подталкивании, чтобы двигаться. Ему достаточно один раз получить толчок — и оно полетит, пока что-то его не остановит.

Это противоречит интуиции, основанной на повседневном опыте. В жизни мы привыкли: толкнул — поехало, перестал толкать — остановилось. Но это потому, что в нашей жизни есть трение, сопротивление воздуха, гравитация. Если же убрать всё это (как в космосе) — толкнули один раз, и оно полетит вечно.

Второй закон. Если на тело действует сила, оно ускоряется в направлении этой силы; чем сильнее сила и чем легче тело — тем сильнее ускорение.

Формулой: F = m·a. Сила равна массе тела, умноженной на его ускорение.

Это уравнение — рабочая лошадка всей классической механики. Чтобы предсказать, как полетит мяч, как поедет машина, как двинется планета, нужно знать массу тела и силы, на него действующие. Тогда можно вычислить ускорение — а зная ускорение, можно построить траекторию.

Третий закон. Каждое действие имеет равное и противоположное противодействие.

Если я толкаю стену с силой 100 ньютонов — стена толкает меня обратно с теми же 100 ньютонами. Если ракета выбрасывает горячий газ назад — газ толкает ракету вперёд с равной силой. Силы всегда парные. Никакой объект не может «толкнуть один в одиночестве» — он обязательно сам почувствует обратный толчок.

Этих трёх законов хватает, чтобы описать поведение всех тел в обычном мире.

Почти всех.

Что добавлено: всемирное тяготение

Ньютон не остановился на трёх законах. Он сделал ещё один шаг, который оказался самым революционным.

Глядя на падающее яблоко в своём саду (легенда, скорее всего, преувеличенная, но почти настоящая), он задался вопросом: а что, если та же сила, которая тянет яблоко к земле, удерживает и Луну на её орбите?

Это был очень странный вопрос для XVII века. Тогда считалось, что «небесное» и «земное» — это два разных мира с разными законами. Аристотелева традиция говорила: на земле тела «стремятся» к своему естественному месту (тяжёлые — вниз, лёгкие — вверх), а на небе тела движутся по кругу, потому что круговое движение — это «совершенное» движение, естественное для небесных тел.

Ньютон сказал: нет. Закон один — и для яблока, и для Луны.

Он сформулировал закон всемирного тяготения:

Любые два тела притягиваются друг к другу. Сила притяжения прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

В формуле:

F = G · (m₁·m₂) / r²

где G — некая мировая постоянная (которую через сто с лишним лет измерил Кавендиш), m₁ и m₂ — массы двух тел, r — расстояние между ними.

Из этого закона, плюс трёх законов механики, можно вывести всё. И движение планет, и приливы, и форму Земли, и траекторию пушечного ядра. Это была первая в истории физики теория всего — теория, которая претендовала на то, чтобы объяснять все механические явления во Вселенной с единых принципов.

И она работала.

Через сто лет после Ньютона астроном Леверье, изучая аномалии в движении Урана, сумел предсказать существование Нептуна — планеты, которой ещё никто не видел, — на основании одних только расчётов. Когда телескоп навели в указанное место, Нептун там оказался. Ньютоновская механика дала возможность увидеть мир до того, как смотреть.

Абсолютное пространство, абсолютное время

А теперь — то, ради чего, в общем, я и пишу эту главу.

Чтобы вся эта механика работала, Ньютон сделал два очень сильных молчаливых предположения. Они не сформулированы в виде закона, но без них вся конструкция рассыпается.

Предположение первое: абсолютное пространство.

Где-то существует «настоящая» система координат, относительно которой можно говорить о настоящих положениях и настоящих движениях. Не «относительно поезда» или «относительно Земли», а — абсолютно. Пространство существует «само по себе», как пустая сцена, на которой разыгрывается спектакль материи.

Ньютон сам в своих «Началах» пишет об этом дословно так: «Абсолютное пространство, по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, всегда остаётся одинаковым и неподвижным».

Если у вас сейчас в голове щёлкнула фраза «но ведь Галилей же сказал, что нет правильной системы отсчёта!» — то да, у Ньютона тут есть некоторое внутреннее напряжение, и оно его самого тревожило. Принцип относительности Галилея говорит, что в механике мы не можем отличить движение от покоя. Но Ньютон, как настоящий философ, всё равно считал, что существует какая-то истинная система отсчёта — мы просто не можем её обнаружить. То есть «истинное» движение есть, мы его просто не видим.

Это похоже на то, как если бы вам сказали: «По комнате ходит совершенно невидимый, неосязаемый призрак, и его никак нельзя зарегистрировать». Вопрос — а есть ли он тогда? Ньютон отвечал: «Да, есть, я просто принимаю это как метафизическое допущение». Эйнштейн через двести лет ответит: «А зачем?»

Предположение второе: абсолютное время.

Цитата уже знакомая: «Абсолютное, истинное, математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно».

Время — это просто что-то, что течёт. Везде одинаково. Если у меня прошла секунда, у вас прошла секунда, у Луны прошла секунда, у звезды в Туманности Андромеды прошла секунда. Время как мировые часы, тикающие где-то «в принципе», для всех.

Именно это допущение мы видели в виде формулы t' = t в предыдущей главе. Оно — фундамент всей классической физики.

Мгновенное действие на расстоянии

Есть ещё одна тонкость в ньютоновской картине мира, которая будет важна для последующих глав.

По закону всемирного тяготения Земля притягивает Луну. Но как она это делает?

Ньютон не отвечал на этот вопрос. Он давал только формулу — F = G·m₁·m₂/r² — и говорил: «Я не выдумываю гипотез». Сила есть, она такая-то, точка.

Но если задуматься, у этой формулы есть очень странное следствие. Допустим, Солнце вдруг (мысленно) исчезает. Что произойдёт с Землёй?

По Ньютону — мгновенно. В тот же момент, когда Солнце исчезло, на Землю перестанет действовать сила его притяжения. Земля сорвётся с орбиты и улетит по прямой.

В тот же момент. На расстоянии 150 миллионов километров. Без всякой задержки.

Сегодня нам это кажется странным — мы привыкли, что любое физическое влияние распространяется с какой-то скоростью. Звук — со скоростью звука. Радиосигнал — со скоростью света. Если на Солнце что-то происходит, мы узнаём об этом через 8 минут, потому что свет от Солнца долетает до нас именно за это время. Как же тогда гравитация может действовать мгновенно?

Это называется дальнодействие или мгновенное действие на расстоянии. И сам Ньютон от этой идеи был не в восторге. В одном из писем он писал:

«Чтобы тяготение было врождённо телам, чтобы они могли действовать на другие тела на расстоянии через пустое пространство без какого-либо посредника — для меня настолько большая нелепость, что я не верю, что хоть один человек, способный к философскому мышлению, может в это поверить».

Парадоксально: автор закона всемирного тяготения сам не верил, что этот закон можно понимать буквально. Он считал, что должен быть какой-то «посредник» — некая среда, передающая взаимодействие. Но не нашёл такой среды и оставил это для будущих поколений.

Эйнштейн закроет этот вопрос через двести с лишним лет. Его ответ — общая теория относительности — скажет: гравитация не действует на расстоянии. Она вообще не сила. Это нечто совершенно другое. Но до этого ответа нам ещё далеко.

Часовой механизм Вселенной

В целом ньютоновская картина мира выглядит так. Существует абсолютное пустое пространство — бесконечная сцена. По нему течёт абсолютное время — единое для всех. На этой сцене разбросаны материальные тела. Они подчиняются простым законам: F = m·a, F = G·m₁·m₂/r², действие равно противодействию.

Этого хватает, чтобы предсказать всё. Если бы какой-то могущественный разум в один момент времени знал положения и скорости всех частиц во Вселенной, он мог бы — по словам Лапласа — «вычислить всё прошлое и всё будущее». Вселенная — это огромный часовой механизм, в котором всё происходящее однозначно следует из положения шестерёнок.

Эта картина была настолько убедительной, что почти двести лет физика чувствовала себя в ней как дома. К концу XIX века казалось, что физика — почти готовая наука. Остались мелкие детали, какие-то непонятные явления вроде света, какие-то расходящиеся с расчётами наблюдения за орбитой Меркурия — но всё это считалось техническими сложностями, которые рано или поздно встанут на место.

Глава физического факультета одного из крупнейших университетов мира — это, конечно, легенда, но широко распространённая — отговаривал юного студента от выбора физики как специальности, говоря: «Молодой человек, всё интересное в физике уже открыто, осталось только уточнить числа после запятой».

Через десять лет родилась квантовая механика. Ещё через несколько — теория относительности.

«Уточнить числа после запятой» оказалось не так просто.

Что мы узнали в этой главе

- Три закона Ньютона дают полное описание движения тел под действием сил: инерция, F = m·a, и парность сил. - Закон всемирного тяготения говорит, что любые два тела притягиваются с силой, пропорциональной их массам и обратной квадрату расстояния. - В основе всей конструкции лежат два молчаливых допущения: абсолютное пространство (есть «настоящая» система отсчёта) и абсолютное время (часы у всех идут одинаково). - Ньютоновская гравитация подразумевает мгновенное действие на расстоянии — и сам Ньютон считал это странностью, которую кто-то должен будет объяснить. - Эта картина мира — «часовой механизм Вселенной» — была удивительно успешной и казалась почти полной. Пока не появился свет.

Вопросы для размышления

1. Если убрать из ньютоновской картины абсолютное пространство (то есть согласиться с Галилеем, что нет «правильной» системы отсчёта), что-нибудь в законах механики поломается? Если да — что именно? Если нет — зачем Ньютону вообще был нужен этот «призрак»?

2. Представьте, что вы умеете в один момент времени узнать положение и скорость всех молекул в комнате. Сможете ли вы предсказать, что произойдёт через час? А через секунду? Какие тут есть подводные камни? (Намёк: квантовая механика и хаос. Но классически — да, должен мочь.)

3. Если Солнце вдруг исчезнет, по Ньютону — Земля моментально сорвётся с орбиты. А по нашей повседневной интуиции — должна быть какая-то задержка. Откуда такое расхождение? Что подсказывает вашей интуиции?

Следующая глава — про свет. Главный возмутитель спокойствия классической физики.

Глава 4. Свет — главный возмутитель спокойствия

Свет — это самое привычное в нашей жизни и одна из самых загадочных вещей, с которыми сталкивалась физика.

Мы видим благодаря свету. Мы измеряем космос с его помощью. Мы знаем форму галактик и температуру звёзд, потому что они посылают нам свет. И при этом, когда физика всерьёз спросила себя, что такое свет, оказалось — она не знает. И каждый раз, когда казалось, что ответ найден, выяснялось, что не до конца.

В этой главе мы пройдём короткую историю того, что физика думала про свет от Ньютона до Максвелла. Эта история нужна нам, чтобы потом понять, почему именно свет оказался той песчинкой, об которую споткнулась вся классическая картина мира.

Корпускулы или волны?

В конце XVII века по поводу света существовало два мнения.

Первое — корпускулярное. Свет — это поток мельчайших частиц («корпускул»), летящих от источника к глазу. Эту точку зрения отстаивал Ньютон. Корпускулы, по его мнению, объясняли, почему свет распространяется по прямой, почему он отражается от зеркала под равным углом, почему преломляется при переходе из одной среды в другую.

Второе — волновое. Свет — это волна, как звук или волна на воде. Эту точку зрения отстаивал голландский физик Христиан Гюйгенс. Он показал, что волновая теория тоже объясняет и прямолинейность, и отражение, и преломление — и при этом естественно объясняет некоторые тонкие явления, с которыми у корпускул возникали проблемы.

Спор продолжался больше столетия. Авторитет Ньютона был так велик, что корпускулярная теория долго побеждала — даже когда новые эксперименты постепенно склоняли чашу весов в пользу волн. Английский экспериментатор Томас Юнг в 1801 году провёл знаменитый опыт с двумя щелями: пропустил свет через две близкие узкие щели и увидел на экране за ними чередующиеся светлые и тёмные полосы — интерференционную картину.

Чтобы понять, что это значит, представьте две капли, упавшие рядом на спокойную поверхность воды. От каждой расходятся круговые волны. Там, где гребень одной встречается с гребнем другой — волна усиливается. Там, где гребень встречает впадину — они гасят друг друга. На воде это видно глазом: рябь от двух источников складывается в узор из полос.

Свет от двух щелей сделал то же самое. Это могло произойти только, если свет — волна. Корпускулы так не себя ведут. Опыт Юнга был похоронным звоном для ньютоновской корпускулярной теории.

К середине XIX века волновая природа света была общепринятой.

Но возник новый вопрос. Если свет — это волна, то чего? Звук — это волна давления в воздухе. Волна на воде — это волна на поверхности воды. У любой волны должна быть среда, в которой она распространяется. А свет?

Эфир — гипотетическая среда

Физики XIX века придумали ответ: должна существовать особая, всепроникающая, невидимая, неощутимая среда, в которой и распространяются световые волны. Эту среду назвали эфиром (от древнегреческого слова «aithēr» — небесный воздух, светящийся воздух).

У эфира должны были быть очень странные свойства, чтобы соответствовать тому, что физики наблюдали:

- Он должен быть повсюду — иначе свет не доходил бы до нас от далёких звёзд через миллиарды километров пустоты. - Он должен быть очень жёстким — потому что скорость распространения волн в среде тем больше, чем жёстче среда, а скорость света огромна. По расчётам — жёстче стали. - При этом он должен быть абсолютно прозрачным — мы его не видим. - И абсолютно проницаемым — планеты и звёзды двигаются сквозь него миллиарды лет без всякого трения.

Эта смесь свойств кажется почти волшебной. Стальной по жёсткости, но мягче пуха для движущихся в нём тел. Прозрачен, невидим, неощутим, и при этом есть. Тем не менее эфир был не просто фантазией: для физики XIX века это была реальная физическая среда, такая же, как воздух или вода — просто очень необычная.

Зачем эта концепция была так нужна? Не только для того, чтобы у света была среда. Эфир играл ещё одну, очень важную для нашей истории роль.

Эфир как абсолютная система отсчёта

Помните, в предыдущей главе мы говорили, что Ньютон верил в существование абсолютного пространства — «истинной» системы отсчёта, относительно которой можно говорить о настоящих движениях. И мы тогда отметили: эту «истинную» систему отсчёта в принципе никто не мог обнаружить, потому что галилеев принцип относительности запрещает её обнаружить с помощью механических опытов.

А вот с помощью света — можно!

Идея простая. Раз свет — это волна в эфире, то относительно эфира он движется со строго определённой скоростью — той самой c ≈ 300 000 км/с. Это, по сути, скорость света в эфире. Точно как звук в воздухе движется со скоростью звука относительно неподвижного воздуха.

А теперь возьмём наблюдателя, который движется относительно эфира. Если он измерит скорость света, ему покажется, что свет движется со скоростью c − V (если он бежит вслед за светом) или c + V (если навстречу). Это полностью по галилеевой формуле сложения скоростей: ровно так же, как с лодкой на реке.

Иными словами: если измерить скорость света в разных направлениях с очень большой точностью — можно определить, как наблюдатель движется относительно эфира. То есть относительно абсолютного пространства Ньютона.

Земля движется вокруг Солнца со скоростью около 30 км/с. Значит, в системе отсчёта эфира она движется. И на ней должен быть «эфирный ветер» — свет должен идти в разных направлениях с разными скоростями, отличающимися примерно на 30 км/с (плюс ещё небольшие поправки от вращения Земли вокруг своей оси).

30 км/с — это, конечно, очень маленькая величина по сравнению с 300 000 км/с (всего 0.01%, одна десятитысячная). Но к концу XIX века оптические приборы достигли такой точности, что эти 0.01% уже можно было поймать. И именно за это взялись Альберт Майкельсон и Эдвард Морли.

Об их эксперименте — следующая глава. Но прежде чем туда переходить, надо сделать ещё один поклон в сторону одного из величайших физиков всех времён.

Максвелл и его уравнения

В 1860-х годах шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл совершил то, что многие сравнивают с подвигом Ньютона: он построил единую теорию электричества, магнетизма и света.

Чтобы понять масштаб этого, надо знать, что до Максвелла электричество и магнетизм казались двумя разными областями физики. Электричество — это про заряды, искры, разряды. Магнетизм — это про компасы, магниты, железные опилки, выстраивающиеся в красивые узоры. Что между ними общего, было непонятно. Хотя кое-какие связи замечали: датчанин Эрстед показал, что электрический ток отклоняет стрелку компаса (значит, токи как-то связаны с магнетизмом), а англичанин Майкл Фарадей — что движущийся магнит создаёт ток в катушке.

Максвелл собрал все известные факты, сформулировал их в виде четырёх уравнений и заметил, что в этих уравнениях есть некоторая внутренняя несимметрия. Чтобы её устранить, он добавил одно слагаемое — то, что сегодня называют «током смещения». На вид это была маленькая поправка. На самом деле — революция.

Из получившихся четырёх уравнений (сейчас они известны как уравнения Максвелла) можно было математически вывести следующее: переменное электрическое поле создаёт магнитное, переменное магнитное — создаёт электрическое, и они могут поддерживать друг друга, распространяясь в пространстве как электромагнитная волна.

Скорость этой волны выражалась через две константы, известные из электростатики и магнитостатики, — и оказалась равна примерно 300 000 километров в секунду.

Это была скорость света.

Максвелл понял: свет — это электромагнитная волна. Не какая-то особая «световая» волна — а просто волна электрических и магнитных полей, та же по своей природе, что и радиоволна, и инфракрасное излучение, и рентген. (Радиоволн тогда ещё не открыли — это сделает Герц через двадцать лет, экспериментально подтвердив предсказание Максвелла.)

Это было одно из самых великих объединений в истории физики. Три явления — электричество, магнетизм, свет — оказались одним и тем же явлением, просмотренным с разных сторон.

Скрытая бомба в уравнениях Максвелла

И вот тут спрятан ключевой для нашей истории факт, к которому я подвожу.

В уравнениях Максвелла скорость электромагнитной волны c выражается через две константы — электрическую (ε₀) и магнитную (μ₀) постоянные. Это просто два числа из теории электромагнетизма, измеренные в лаборатории. И из них получается скорость света.

Заметьте: в этих уравнениях нет ни слова о том, относительно чего эта скорость c. Они просто говорят: электромагнитная волна распространяется со скоростью c. Точка.

Это очень странно. Все остальные «волновые» уравнения в физике (для звука, для волн на воде, для упругих волн в твёрдых телах) дают скорость относительно среды. У уравнений Максвелла нет такой «среды» в явном виде. Скорость c вылетает из уравнений как абсолютная величина, не привязанная ни к какой системе отсчёта.

Это можно интерпретировать двумя способами.

Первая интерпретация (классическая, до 1905): уравнения Максвелла верны только в одной избранной системе отсчёта — в системе отсчёта эфира. В этой системе скорость света равна c. В других, движущихся относительно эфира, она другая (по галилеевой формуле). И сами уравнения Максвелла в других системах должны выглядеть немного иначе.

Вторая интерпретация (Эйнштейн, 1905): уравнения Максвелла верны во всех инерциальных системах отсчёта. А раз в них скорость c — фундаментальная константа, значит, скорость света одинакова для всех наблюдателей. И никакого эфира нет.

Между этими двумя интерпретациями — пропасть. Первая сохраняет ньютоновскую картину мира, но требует найти эфир. Вторая означает, что время и пространство — не такие, как мы думали.

К началу 1900-х физика была почти уверена в первой интерпретации. Оставалось только эфир найти. И тогда Майкельсон и Морли поставили эксперимент.

Что мы узнали в этой главе

- В XVII–XVIII веках спорили: свет — это корпускулы (Ньютон) или волны (Гюйгенс). Опыт Юнга с двумя щелями в 1801 году показал — волны. - Любой волне нужна среда. Для света придумали гипотетическую среду — эфир: всепроникающий, жёсткий как сталь, абсолютно прозрачный и непроницаемый. - Эфир играл ещё одну роль: он должен был быть абсолютной системой отсчёта — той самой, в существование которой верил Ньютон. Относительно эфира свет распространяется со строгой скоростью c. - В 1860-х Максвелл объединил электричество, магнетизм и свет: свет оказался электромагнитной волной. - В уравнениях Максвелла скорость света c появляется как абсолютная константа, не привязанная ни к какой системе отсчёта. Это можно объяснить либо введением эфира, либо отказом от классической картины мира.

Вопросы для размышления

1. Почему вообще никто не пробовал просто измерить скорость света в разных направлениях на Земле и сравнить — должны же быть разные значения, если есть эфирный ветер? (Намёк: попробуйте оценить, какая нужна точность.)

2. Если эфир — это особая среда, заполняющая всё пространство, то почему планеты, проходящие через него, не теряют энергию из-за трения? Можно ли в принципе придумать такую среду — твёрдую для волн, но «прозрачную» для тел?

3. Уравнения Максвелла дают одну и ту же скорость c для электромагнитной волны вне зависимости от того, как движется источник. Это сильно отличается от того, как ведёт себя звук (его скорость не зависит от источника, но зависит от наблюдателя). Какие два варианта объяснения этого факта приходят в голову?

Следующая глава — самый знаменитый «неудачный» эксперимент в истории физики. Майкельсон и Морли пытаются поймать эфирный ветер.

Глава 5. Великий эксперимент, который ничего не нашёл

Альберт Майкельсон родился в Польше в 1852 году, в еврейской семье, эмигрировавшей в США, когда ему было два года. Он рос в маленьком городке золотоискателей в Калифорнии. Поступил в Военно-морскую академию США. Стал моряком, потом — физиком. В конце концов сделался первым американцем, получившим Нобелевскую премию по физике — за оптические измерения с невероятной точностью.

Эдвард Морли был американским химиком и оптиком, профессором в Кливленде. Дотошным, методичным, влюблённым в точность.

В 1887 году они объединили усилия, чтобы поставить эксперимент, который должен был раз и навсегда поймать эфирный ветер.

Этот эксперимент они задумывали как доказательство существования эфира. А вошёл он в историю как доказательство его отсутствия. Один из самых известных «нулевых» экспериментов в физике.

В этой главе мы посмотрим, как он был устроен и что именно он показал.

Аналогия с пловцом и рекой

Прежде чем переходить к свету, давайте разберём более простую задачу — про пловца на реке. Она поможет понять, что именно Майкельсон и Морли искали.

Представьте реку, текущую с запада на восток со скоростью V = 1 м/с. На реке плывут два пловца, скорость каждого относительно воды равна u = 2 м/с.

Первый пловец плывёт поперёк реки — туда и обратно. Чтобы плыть строго поперёк, ему придётся «целиться» немного против течения, чтобы его не сносило. Из-за этого его скорость относительно берега будет меньше u — она равна корню из (u² − V²). Подставим числа: √(4 − 1) = √3 ≈ 1.73 м/с. Если ширина реки L = 100 м, то на туда и обратно у него уйдёт 200 / 1.73 ≈ 115.5 секунд.

Второй пловец плывёт вдоль реки — на ту же дистанцию вниз по течению и обратно. По течению он плывёт быстрее: u + V = 3 м/с. Против течения — медленнее: u − V = 1 м/с. На дистанцию 100 м вниз — 33.3 секунды. На 100 м обратно — целых 100 секунд. Итого — 133.3 секунды.

Заметьте: даже с одной и той же дистанцией и одной и той же «собственной» скоростью пловцы вернутся не одновременно. Вдоль течения путь занимает больше времени, чем поперёк. Парадоксально, но это так.

Эту разницу во времени и хотели поймать Майкельсон и Морли — только не для пловцов, а для лучей света. И не для реки, а для эфирного ветра.

Идея интерферометра

Прибор, который они построили, называется интерферометром Майкельсона. Устройство простое — сейчас опишу его на пальцах.

В центре стоит полупрозрачное зеркало (можно представить как очень тонкую стеклянную пластину под углом 45°). На него падает луч света от источника. Половина луча проходит сквозь зеркало насквозь, половина — отражается под прямым углом. Получаются два луча, идущих в перпендикулярных направлениях.

Каждый из этих лучей упирается в обычное зеркало на расстоянии L от центра. Зеркало отражает луч обратно. Луч возвращается к полупрозрачному зеркалу в центре — и снова делится. Часть от каждого возвращающегося луча идёт в детектор (раньше это был просто глаз через окуляр).

В детектор приходят два луча — один прошёл туда-обратно вдоль одной оси, другой — вдоль перпендикулярной оси. Эти лучи интерферируют — точно как в опыте Юнга с двумя щелями. На экране (или в глазу наблюдателя) получается картина из чередующихся светлых и тёмных полос.

Теперь — главное. Если эфир есть, и Земля движется относительно него с какой-то скоростью V, то один из лучей идёт «по течению» (а второй — «поперёк»), и они приходят обратно с небольшой разницей во времени. Эта разница — те самые секунды, которые мы посчитали для пловцов, только теперь в крошечном масштабе.

Разница во времени означает, что гребни и впадины двух световых волн сдвинуты друг относительно друга. И это сдвигает интерференционную картину на детекторе.

Дальше идёт самый красивый ход эксперимента. Можно повернуть весь прибор на 90 градусов. Тогда тот луч, который был «вдоль течения», теперь окажется «поперёк», и наоборот. То есть роли двух лучей меняются местами. И полосы на детекторе должны сдвинуться.

Этот сдвиг — то, что Майкельсон и Морли надеялись увидеть.

На сколько должны были сдвинуться полосы

Можно посчитать, какой сдвиг они ожидали. Для интерферометра с плечом L = 11 метров (Майкельсон и Морли удлинили плечо с помощью многократного отражения от зеркал, чтобы повысить чувствительность) и для скорости Земли V = 30 км/с относительно эфира — расчёт давал сдвиг примерно на 0.4 длины волны света.

Это, на первый взгляд, очень мало. Полдлины волны — это около 0.0003 миллиметра. Но интерферометр устроен так, что такой сдвиг — это сдвиг почти на половину полосы. То есть тёмная полоса должна оказаться там, где была светлая, и наоборот.

Это — то, что должно было быть видно невооружённым глазом, если бы Майкельсон и Морли крутили прибор и смотрели в окуляр. Полосы должны были «плыть» по мере поворота прибора.

Эксперимент проводили исключительно тщательно. Прибор плавал в ртути — чтобы можно было плавно поворачивать его в любом направлении без вибраций. Они повторяли измерения днём, ночью, в разные сезоны (когда Земля летит в разных направлениях вокруг Солнца), на разных широтах. Несколько лет.

И ничего.

Полосы стояли на месте. Не сдвигались. Никакого эфирного ветра не было обнаружено. Точнее — был обнаружен сдвиг настолько маленький, что он мог быть просто погрешностью измерений. Если эфирный ветер и был, его скорость не превышала нескольких километров в секунду — в десятки раз меньше скорости Земли на её орбите.

Что это значило

Сегодня мы понимаем эксперимент Майкельсона-Морли как первое прямое подтверждение того, что эфира нет и что скорость света одинакова во всех направлениях для любого наблюдателя. Это краеугольный камень специальной теории относительности.

Но в 1887 году никто этого не понял. И сами Майкельсон и Морли не сделали этого вывода. Они были глубоко расстроены результатом. Майкельсон называл свой эксперимент «неудачей» — он был уверен, что прибор должен был зарегистрировать что-то.

Как так? Если эфир есть, и Земля летит сквозь него — почему ветра нет?

Возникли несколько спасательных гипотез.

Гипотеза первая: Земля увлекает эфир за собой. Может быть, эфир в окрестности Земли «прилипает» к ней, как воздух — к движущейся машине. Тогда около Земли эфир относительно неё стоит, и ветра нет. Но эта гипотеза противоречила другому, давно известному и совершенно надёжному наблюдению — аберрации звёзд. Звёзды на небе смещаются на крошечный угол в течение года из-за того, что Земля движется вокруг Солнца. Угол этот точно соответствует тому, что эфир Землю не увлекает. То есть гипотеза «увлекаемого эфира» сразу же разбивалась о другие данные.

Гипотеза вторая: уравнения Максвелла как-то иначе устроены, чем мы думали. Тоже не получалось — уравнения Максвелла на тот момент уже отлично работали в куче других задач.

Гипотеза третья — самая странная, и, как окажется, самая интересная. Что, если двигаясь сквозь эфир, тела физически сжимаются в направлении движения? Тогда плечо интерферометра, направленное «по ветру», станет немножко короче — ровно настолько, чтобы компенсировать ожидаемую разницу во времени. Гребни и впадины окажутся на тех же местах, и сдвига не будет.

Это и есть гипотеза, которую выдвинули — независимо друг от друга — Джордж Фицджеральд в 1889 году и Хендрик Лоренц в 1892. Она получила название сокращения Фицджеральда-Лоренца.

Сегодня мы знаем, что в этой гипотезе была часть правды — тела действительно «сжимаются» в направлении движения. Но не потому, что что-то их сжимает. А потому, что само пространство (и время) устроено по-другому, чем думали Галилей и Ньютон. Сокращение длины — это не физический эффект, действующий на тело, это свойство самого пространства-времени. Но чтобы это понять, нужен был Эйнштейн.

В 1892 году Лоренц этого не знал. Он считал, что эфир есть, и сокращение — это какой-то реальный физический процесс, в котором эфир «прижимает» движущееся тело в направлении движения. Это была техническая поправка, спасающая теорию ценой довольно искусственного допущения.

В 1905 году Эйнштейн скажет: «А давайте просто поверим, что Майкельсон и Морли честно нашли то, что нашли. Скорость света действительно одинакова во всех направлениях, для всех наблюдателей. Эфира нет. И тогда все эти странные эффекты вроде сокращения — естественные следствия, а не "патчи"».

Самый дорогой нулевой результат в физике

Стоит ещё раз остановиться на одной мысли. Эксперимент Майкельсона-Морли — это образец «нулевого результата», то есть эксперимента, который не нашёл того, что искал. И при этом — это один из важнейших экспериментов в истории физики.

Это парадокс, к которому полезно привыкнуть. В науке отрицательные результаты часто важнее положительных. Когда вы не находите ожидаемого — это значит, что-то в ваших ожиданиях было неправильным. И если ожидания опирались на фундаментальную теорию — это сигнал, что теорию надо пересматривать.

Майкельсону за его оптические измерения дали Нобелевскую премию в 1907 году. Премию ему дали не за теорию относительности (к ней он отношения не имел), а просто за невероятную точность его оптических работ. Но в истории физики его имя стоит главным образом из-за того знаменитого эксперимента, в котором он ничего не нашёл.

Сам Майкельсон до самой смерти (1931) относился к специальной теории относительности с подозрением. Он не любил думать о том, что его эксперимент стал основанием для отказа от эфира. До конца жизни он надеялся, что эфир всё-таки найдут.

В этом есть какая-то горечь и какая-то красота. Самый знаменитый эксперимент в его жизни сделал именно то, что разрушило картину мира, в которой он работал. Он искал эфир — и доказал, что его нет.

Что мы узнали в этой главе

- Майкельсон и Морли в 1887 году поставили эксперимент с интерферометром, чтобы поймать «эфирный ветер» — движение Земли относительно эфира. - По расчётам, прибор должен был показать сдвиг интерференционных полос при повороте на 90°. Сдвига не было. - Это был нулевой результат — один из самых знаменитых в истории физики. - Были предложены разные спасательные гипотезы. Самая интересная — сокращение Фицджеральда-Лоренца: тела сжимаются в направлении движения, ровно настолько, чтобы скомпенсировать ожидаемый эффект. - Все эти гипотезы выглядели как «технические заплатки» на классической физике. Никто пока не решался посмотреть на ситуацию иначе и спросить: «А что, если скорость света действительно одинакова для всех?»

Вопросы для размышления

1. Если бы Майкельсон и Морли нашли ожидаемый сдвиг полос — что было бы дальше? Подтвердилось бы существование эфира, и физика пошла бы своим чередом, без специальной теории относительности? Или есть какой-то другой эксперимент, который всё равно вывел бы на ту же мысль?

2. Гипотеза Лоренца говорит, что движущееся тело физически сжимается. Можно ли в принципе придумать прямой эксперимент, который мог бы это проверить — сравнить длину тела при разных скоростях? Какие тут сложности? (Намёк: чем вы будете эту длину мерить?)

3. Майкельсон был расстроен своим результатом и считал эксперимент неудачей. Можно ли сказать, что результаты Майкельсона-Морли — это пример того, как сильна была вера в эфир: даже сами авторы не могли поверить, что результат означает то, что он означает?

Следующая глава — последняя в этой части. О тех восемнадцати годах, что прошли между опытом Майкельсона и статьёй Эйнштейна. Время кризиса в физике.

Глава 6. Кризис: что-то здесь не сходится

С момента эксперимента Майкельсона и Морли (1887) до публикации статьи Эйнштейна (1905) прошло восемнадцать лет.

Восемнадцать лет — это много. Это поколение учёных, защищающих диссертации, делающих карьеры, выходящих на пенсию. И всё это время лучшие физические умы планеты были заняты тем, чтобы понять, что произошло в Кливленде в 1887 году, и как с этим жить дальше.

Это была эпоха, у которой есть особое название — эпоха кризиса в физике. Не кризиса в смысле упадка — наоборот, физика бурно развивалась, открывались новые явления (радиоактивность в 1896, рентгеновские лучи в 1895, электрон в 1897), но при этом старая, такая уверенная картина мира потихоньку расходилась по швам.

В этой главе мы посмотрим, что происходило в эти восемнадцать лет — и почему именно тогда атмосфера созрела для того, чтобы кто-то взял и сказал «давайте просто поверим Майкельсону».

Хендрик Лоренц: спасение классической физики

Главным героем этих восемнадцати лет был голландский физик Хендрик Антоон Лоренц. Большой, спокойный, безупречно вежливый, любимый коллегами и аспирантами. К моменту, когда Эйнштейн стал известен, Лоренц был самым уважаемым физиком в Европе — а возможно, и в мире.

Лоренц был убеждён в существовании эфира. Он провёл лучшие годы своей жизни, разрабатывая теорию эфира, которая объясняла бы всё известное на то время — включая нулевой результат Майкельсона.

Его подход был такой. Эфир есть. Он неподвижен в абсолютном пространстве. Тела движутся сквозь него. И при этом, когда тело движется сквозь эфир, с ним происходит две вещи:

Первое — сокращение. Тело физически сжимается в направлении движения. Длина L₀, измеренная для покоящегося тела, превращается в L₀ · √(1 − V²/c²) для движущегося. На малых скоростях эффект мизерный, но на больших — заметный. На скорости половина скорости света — сокращение примерно на 13%.

Второе — изменение времени. Часы, движущиеся через эфир, идут медленнее. Не «кажется, что идут медленнее», а действительно идут медленнее. Если в покоящихся часах прошла секунда, в движущихся прошло меньше секунды.

Эти два эффекта оказывались точно такими, чтобы скомпенсировать любую возможность обнаружить эфир оптическими опытами. Ловушка захлопывалась идеально: даже самый чувствительный эксперимент должен был дать нулевой результат, потому что инструменты сами «подстраивались» под движение.

Лоренц назвал это явление «локальным временем» — он считал, что движущиеся наблюдатели пользуются особым «техническим» временем, которое не такое «настоящее», как абсолютное ньютоновское, но удобное для расчётов.

Преобразования, переводящие координаты из одной системы в другую с учётом этих эффектов, Лоренц вывел в виде формул. Сегодня они называются преобразованиями Лоренца — и они до сих пор лежат в основе специальной теории относительности. Лоренц, в каком-то смысле, написал математику теории относительности — за десять лет до Эйнштейна.

Но он не увидел, что эта математика на самом деле означает.

Для Лоренца сокращение и замедление времени были реальными физическими эффектами, происходящими с движущимися телами из-за их взаимодействия с эфиром. Что-то вроде того, как корабль, идущий через воду, действительно «утопает» носом из-за гидродинамики. Это был патч — пусть и изящный, но всё-таки патч на больную теорию.

Анри Пуанкаре: математик, который не успел

Параллельно с Лоренцем во Франции работал, наверное, самый выдающийся учёный своего времени — Жюль Анри Пуанкаре. Математик мирового класса, физик, философ, инженер. Один из последних в истории «универсальных умов», свободно работавших во всех областях точных наук одновременно.

Пуанкаре много думал над теми же проблемами, что и Лоренц. Он первым сформулировал — ещё в 1900 году — что принцип относительности должен быть универсальным, не только для механики (как у Галилея), но и для всех законов физики, включая электродинамику.

Это очень близко к тому, что в 1905 году скажет Эйнштейн. Очень близко. Но не совсем.

Пуанкаре понимал, что одновременность — понятие условное, зависящее от способа синхронизации часов. Он понимал, что преобразования Лоренца образуют математическую группу (по сей день называющуюся «группа Лоренца» — но он мог бы называться «группой Пуанкаре», что было бы справедливее). Он за полгода до Эйнштейна написал статью, в которой ввёл четырёхмерное пространство-время и записал уравнения электродинамики в инвариантной форме.

И всё-таки он остался в рамках старой картины. Эфир для Пуанкаре был удобным условным понятием, но никакого решительного «эфира нет!» он не произнёс. Он, как все физики того времени, видел в преобразованиях Лоренца техническое средство, а не отражение реальной природы мира.

Когда статья Эйнштейна в 1905 году вышла, Пуанкаре, по словам современников, долго не мог понять, чем она принципиально отличается от его собственных работ. Эйнштейн писал почти то же самое — но видел это иначе.

В этом и есть тонкое, но огромное различие между большим учёным и гением. Большой учёный решает задачу, которая стоит. Гений переформулирует, какая задача стоит.

Атмосфера эпохи

Чтобы понять, как чувствовала себя физика в 1900–1905 годах, надо знать ещё пару деталей контекста.

Открытия посыпались. В 1895 Рентген открыл лучи, которые проходят сквозь тело. В 1896 Беккерель открыл радиоактивность — самопроизвольное излучение некоторых веществ. В 1897 Томсон открыл электрон. В 1900 Планк, пытаясь понять излучение нагретых тел, ввёл совершенно загадочное допущение, что энергия может передаваться только дискретными «порциями» — квантами. Никто, включая самого Планка, не понимал, что это значит, но без этого расчёты не сходились.

Расхождения накапливались. Орбита Меркурия упорно не сходилась с ньютоновскими расчётами на маленькую, но устойчивую величину — 43 секунды дуги за столетие. Спектры атомов давали закономерности (формулу Бальмера для водорода открыли в 1885), которые невозможно было объяснить классически.

Появлялась невротичность. Кельвин — крупнейший физик викторианской эпохи — в речи 1900 года сказал, что в чистом небе физики висят «два маленьких облачка». Одно облачко — это эксперимент Майкельсона-Морли. Второе — расхождения в теории излучения чёрного тела (то, чем как раз занимался Планк). Из обоих этих «облачков» через несколько лет разразятся две великих грозы — теория относительности и квантовая механика.

Кельвин думал, что физика почти готова. Что облачка эти — мелкие технические детали. Он, как и многие другие, не понял, что физика стоит на пороге двух самых больших революций в своей истории.

И ещё — социальный контекст. Образование в Европе расширялось. В естественных науках появлялось всё больше людей не из аристократии. Появилась возможность для талантливого человека из небогатой семьи, без научных связей, написать статью — и быть услышанным. Двадцать лет назад это было бы почти невозможно. В 1905 — стало возможно.

Эйнштейн в Берне

В 1905 году Альберту Эйнштейну было 26 лет. Он окончил Цюрихский политехникум, но не получил места в университете — у него были не лучшие оценки и сложные отношения с профессорами, считавшими его непочтительным. Несколько лет он искал работу. С 1902 года служил в патентном бюро в Берне, экспертом третьего класса, с маленьким жалованьем.

Работа в патентном бюро на удивление подходила Эйнштейну. Он проверял заявки на патенты по электротехнике — а это и было его интересом. В заявках попадались устройства, связанные с синхронизацией часов в разных городах (актуальная в то время задача для железных дорог). Это, вероятно, и подтолкнуло его задуматься о том, что такое «одновременность».

Параллельно с работой в патентном бюро он, в свободное время, в перерывах между обедами и поздними вечерами после возвращения домой, писал научные статьи. В 1905 году он написал четыре статьи — и каждая из них была значительной. Одна объясняла фотоэффект и вводила понятие «квантов света» (за неё через шестнадцать лет ему дадут Нобелевскую премию). Вторая — объясняла броуновское движение и косвенно подтверждала существование атомов. Третья — это «К электродинамике движущихся тел», та самая, с которой начинается наша история. Четвёртая, короткая, выводила из третьей знаменитую формулу E = mc².

Это всё — за один календарный год. На работе в патентном бюро.

Этот год называют его annus mirabilis — годом чудес, по аналогии с ньютоновским 1666. Совпадение здесь не случайно: оба раза великий физик в течение одного года совершал множество прорывов, потому что у него освобождались голова и руки.

В третьей из этих статей Эйнштейн сделал то, чего не сделали ни Лоренц, ни Пуанкаре. Он не стал спасать старую теорию. Он сказал: давайте посмотрим на ситуацию по-другому. Эфир — это лишнее. Скорость света для всех одинакова — потому что так устроен мир. И тогда — посмотрим, что отсюда следует.

Что мы узнали в этой главе

- Между опытом Майкельсона-Морли (1887) и статьёй Эйнштейна (1905) прошло восемнадцать лет активных попыток понять, как жить с эфирным парадоксом. - Хендрик Лоренц предложил систему «патчей»: тела сжимаются в направлении движения, движущиеся часы идут медленнее. Из этого он вывел преобразования, которые сегодня называются преобразованиями Лоренца — они уже содержали всю математику будущей теории относительности. - Анри Пуанкаре ещё ближе подошёл к теории относительности — сформулировал универсальный принцип относительности, ввёл четырёхмерное пространство-время. Но не сделал последнего шага: отказа от эфира. - В физике в эти годы накапливались и другие расхождения с классической картиной — что породило ощущение приближающихся изменений. - В 1905 году Альберт Эйнштейн, 26-летний клерк патентного бюро в Берне, опубликовал четыре статьи, одна из которых — «К электродинамике движущихся тел» — стала началом специальной теории относительности.

Вопросы для размышления

1. Лоренц и Пуанкаре имели на руках почти всю математику специальной теории относительности — преобразования Лоренца, четырёхмерную геометрию Минковского-Пуанкаре, инвариантность уравнений Максвелла. Чего им не хватало? Что отделяло их работу от работы Эйнштейна — техническая ошибка, философское ограничение, что-то ещё?

2. Может ли быть, что в физике сегодняшнего дня — в 2026 году — есть свои «два маленьких облачка», как у Кельвина? Какие явления вы бы назвали возможными кандидатами? (Намёк: тёмная материя, тёмная энергия, проблема квантовой гравитации, аномалия мюона...)

3. Эйнштейну в 1905 году было 26 лет. Молодость в науке — преимущество или случайность? Можно ли назвать пример, когда подобный пересмотр фундаментальных принципов сделал учёный в зрелом возрасте?

На этом — конец первой части. Дальше короткая глава с задачами для самопроверки, и мы переходим во вторую часть — собственно к специальной теории относительности.

Задачи к Части I

Несколько задач для самопроверки. Они простые — никаких подводных камней пока нет. Цель — проверить, что вы свободно владеете тем, о чём мы договорились в первой части: преобразованиями Галилея, классическим сложением скоростей, физическим смыслом эфирного парадокса.

Сначала попробуйте решить сами, хотя бы карандашом на полях. Потом — посмотрите решение. Если первый раз получилось сложно — это нормально, мы не ставили задачу сразу всё помнить.

Задача 1. Эскалатор

По эскалатору, движущемуся вверх со скоростью 0.5 м/с, идёт человек со скоростью 1 м/с относительно ступеней (тоже вверх).

(а) С какой скоростью он движется относительно стены здания?

(б) На этом же эскалаторе другой человек спускается — он идёт вниз со скоростью 1 м/с относительно ступеней. С какой скоростью он движется относительно стены?

(в) Какой должна быть скорость третьего человека (тоже идущего вниз) относительно ступеней, чтобы он стоял на месте относительно стены?

Решение задачи 1

(а) Скорость относительно стены = скорость эскалатора + скорость человека по эскалатору = 0.5 + 1 = 1.5 м/с (вверх).

(б) Эскалатор движется вверх со скоростью 0.5 м/с; человек по нему идёт вниз со скоростью 1 м/с (то есть с −1 м/с в наших обозначениях). Скорость относительно стены = 0.5 + (−1) = −0.5 м/с, то есть 0.5 м/с вниз. Парадоксально звучит, но в этом и красота: человек идёт вниз, но всё равно движется вниз медленнее, чем шёл бы по неподвижной лестнице. Эскалатор подтягивает.

(в) Чтобы стоять на месте относительно стены, скорость относительно стены должна быть 0. Значит: 0 = 0.5 + u, отсюда u = −0.5 м/с. Третий человек должен идти вниз ровно со скоростью 0.5 м/с относительно ступеней — то есть просто компенсировать движение эскалатора. Получится знаменитый «бегущий по эскалатору, стоящий на месте» из старого мультфильма.

Задача 2. Самолёт против ветра

Самолёт летит из города А в город Б и обратно. Расстояние между городами — 1000 км. Скорость самолёта относительно воздуха — 800 км/ч. Сначала погода идеальная, безветренная. Потом по всей трассе подул ветер 200 км/ч (в направлении А→Б).

(а) Сколько времени занимает рейс «туда и обратно» в безветренную погоду?

(б) Сколько занимает с ветром?

(в) Что больше?

Решение задачи 2

(а) Без ветра: 1000 км / 800 км/ч = 1.25 часа в один конец, итого 2.5 часа.

(б) С ветром: по ветру (туда) — скорость самолёта относительно земли 800 + 200 = 1000 км/ч; время: 1000 / 1000 = 1 час. Против ветра (обратно) — скорость 800 − 200 = 600 км/ч; время: 1000 / 600 ≈ 1.667 часа. Итого: 1 + 1.667 = 2.667 часа (около 2 часов 40 минут).

(в) С ветром получается дольше — несмотря на то, что в одну сторону ветер помогает, а в другую мешает поровну. Помощь не компенсирует мешательство.

Это не интуитивно. Кажется, что 200 км/ч вперёд и 200 км/ч против должны взаимно сократиться. На самом деле — нет. Дело в том, что против ветра вы летите медленнее и проводите в воздухе больше времени, а по ветру летите быстрее и проводите меньше. Время, потерянное против, не компенсируется временем, выигранным по. В сумме всегда больше, чем без ветра.

Эта задача, кстати, — точный аналог того, что должно было происходить в эксперименте Майкельсона и Морли. Луч света, идущий «по эфирному ветру», ведёт себя как этот самолёт: путь туда-обратно занимает больше времени, чем без ветра. Именно эту разницу и хотели поймать.

Задача 3. Лодка через реку

Река шириной 100 м течёт со скоростью 1 м/с. Лодочник умеет грести со скоростью 2 м/с относительно воды.

(а) Он хочет переплыть строго поперёк (то есть выйти на берег прямо напротив точки старта). В каком направлении ему нужно «целиться»? И с какой скоростью относительно берега он будет двигаться?

(б) Сколько времени займёт переправа? Сравните с тем, сколько занимало бы в стоячей воде.

Решение задачи 3

(а) Чтобы плыть строго поперёк, лодочнику нужно «целиться» немного против течения, чтобы поток сносил его ровно настолько, чтобы скомпенсировать его собственный угол.

Геометрически: вектор скорости лодки относительно воды (длиной 2 м/с) и вектор течения (длиной 1 м/с, направленный вдоль реки) должны в сумме давать вектор, направленный строго поперёк реки.

Если ось x — вдоль реки (направление течения), ось y — поперёк, то нам нужно, чтобы суммарная скорость лодки относительно берега была (0, v_y). Скорость течения относительно берега — (1, 0). Значит, скорость лодки относительно воды должна быть (−1, v_y) — она «целится» вверх по реке и поперёк.

Длина этого вектора — 2 м/с (это собственная скорость лодки). По Пифагору: (−1)² + v_y² = 2² → v_y² = 3 → v_y = √3 ≈ 1.73 м/с.

Это и есть скорость движения лодки относительно берега — она вся направлена поперёк, как мы и хотели.

(б) Время переправы: 100 / 1.73 ≈ 57.7 секунды.

В стоячей воде лодка плыла бы прямо со скоростью 2 м/с, и время было бы 100/2 = 50 секунд.

Разница — около 8 секунд: течение делает поперечную переправу длиннее. (Это та самая «поперечная задержка», о которой я говорил в главе про Майкельсона-Морли, когда сравнивал двух пловцов.)

Задача 4. Эфирный сдвиг — оценка

Очень грубая оценка, на пальцах. Предположим, что эфир существует, и скорость Земли относительно эфира — 30 км/с (это её скорость на орбите вокруг Солнца). Скорость света — 300 000 км/с.

(а) Во сколько раз скорость Земли меньше скорости света?

(б) Если бы эфирный ветер действительно существовал, на сколько процентов отличались бы скорости света «по ветру» и «поперёк ветра»?

(Это очень примерная оценка — мы пренебрегаем малыми членами; точный расчёт даст похожий ответ.)

Решение задачи 4

(а) 30 / 300 000 = 1 / 10 000 = 10⁻⁴, то есть в 10 тысяч раз.

(б) Скорость света «по ветру» относительно Земли = c − V = 299 970 км/с. Скорость света «поперёк ветра» относительно Земли = √(c² − V²) ≈ c · √(1 − V²/c²) ≈ c · (1 − ½·V²/c²).

Подставим: разница в скоростях получается порядка ½·V²/c · c = ½·V²/c. В относительных единицах это ½·(V/c)² = ½ · (10⁻⁴)² = ½ · 10⁻⁸ = 5·10⁻⁹, то есть 5 миллиардных долей.

Это, на первый взгляд, ничтожно мало. Но интерферометр Майкельсона-Морли был достаточно чувствителен, чтобы такой эффект заметить. Они должны были увидеть сдвиг полос — и не увидели.

Заметьте, что эффект пропорционален квадрату скорости движения. Это не случайно: если бы он был пропорционален первой степени V, его можно было бы и грубо заметить. Но он квадратичен — поэтому для его регистрации и нужен был такой тонкий прибор, как интерферометр.

Задача 5. Скорость света и скорость источника

В классической физике (и в галилеевой картине) скорость волны зависит от среды, а не от источника. То есть, например, скорость звука 340 м/с — она относительно неподвижного воздуха, и не важно, движется ли свистящий поезд или стоит на месте.

Если свет — это волна в эфире, к нему применима та же логика.

(а) Источник света движется в эфире со скоростью V в сторону наблюдателя. С какой скоростью свет от него (а) приходит к наблюдателю в эфире и (б) с какой скоростью свет летит от источника в его собственной системе отсчёта?

(б) Если эксперимент покажет, что свет от любого источника, как бы он ни двигался, всегда летит со скоростью c относительно наблюдателя, что это значит? Согласуется ли это с эфирной теорией?

Решение задачи 5

(а) В эфирной теории всё аккуратно. Скорость света относительно эфира — c, независимо от того, движется источник или нет (это свойство волны в среде — она «забывает» о движении источника, как только покидает его). Если источник движется со скоростью V, а волна — со скоростью c в эфире, то относительно источника волна движется со скоростью c − V (если в его сторону) или c + V (если от него).

(б) Реальный эксперимент (например, наблюдения двойных звёзд, где одна периодически движется к нам, а другая — от нас) показывает: свет от любого источника, как бы он ни двигался, приходит к нам со скоростью c. Если бы свет «уносил с собой» скорость источника (как пуля), то от движущейся к нам звезды свет приходил бы быстрее, и за периоды её движения мы видели бы не плавное изменение, а резкие скачки. Этого не происходит.

Это согласуется с эфирной теорией: волне всё равно, кто её испустил, она бежит со скоростью c в эфире. Так что эта часть классической картины работала.

Но Майкельсон и Морли показали, что свет всегда движется со скоростью c и относительно наблюдателя — не только в системе эфира, но и в Земной системе, движущейся через эфир. Вот это уже эфирная теория объяснить не могла без специальных уловок вроде сокращения Лоренца.

И это — последний звонок перед той дверью, которую Эйнштейн откроет в следующей части книги.

Подведение итогов части I

Если эти задачи получились — отлично, у вас в руках вся классическая кинематика и понимание того, на чём строилась физика до 1905 года. Теперь у нас есть точка опоры, с которой можно прыгать в специальную теорию относительности.

Что важно унести из первой части: - В классической физике принят галилеевский закон сложения скоростей, опирающийся на допущение, что время одно для всех. - Все аналогии с лодкой на реке, эскалатором, самолётом против ветра — это типичные классические задачи на сложение скоростей. - Эфир был серьёзной гипотезой, потому что без него не было видно среды, в которой распространяется свет. - Майкельсон и Морли не нашли эфирного ветра. Лоренц и Пуанкаре пытались это объяснить, не отказываясь от эфира — и почти доехали до правильной математики, но не сделали последнего философского шага.

В следующей части мы вместе с Эйнштейном сделаем этот шаг.

Часть II Специальная теория относительности: переворот в голове

Здесь почти нет математики — мы мыслим поездами, фонариками и часами. Это самая «эйнштейновская» часть книги.

Глава 7. Два простых постулата

26 сентября 1905 года в немецком научном журнале Annalen der Physik вышла статья. Она называлась длинно и скучно: «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» — «К электродинамике движущихся тел». На титульной странице стояло имя автора: «А. Эйнштейн, Берн».

Статья начиналась так:

«Известно, что электродинамика Максвелла — в её сегодняшнем понимании — приводит, будучи применённой к движущимся телам, к асимметриям, которые, по-видимому, не свойственны самим явлениям...»

Дальше шёл длинный пример с движущимся магнитом и проводником, потом — изложение идей. И на третьей странице — фраза, в которой, по сути, и заключалась вся революция:

«Поднимем эти две гипотезы... до уровня постулатов».

Эйнштейн начал с того, что назвал постулатами две вещи. Не теоремы, не выводы, не следствия. Постулаты. То, что мы принимаем без доказательства и из чего дальше всё выводим. Как аксиомы в геометрии: «через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, ей параллельную». Это не доказывается, это берётся за исходное.

Вот эти два постулата.

Постулат первый: принцип относительности — теперь для всего

Все законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчёта.

На первый взгляд — то же самое, что Галилей говорил про корабль в трюме. Если перевести: «никакой опыт, проведённый внутри инерциальной системы, не позволяет отличить, движется она или покоится».

Но есть очень важная разница, и она зашита в слове «все».

Галилей говорил только про механику. Про мухи, рыбки, мяч, капли воды. Все эти явления — механические. В рамках механики его принцип безупречно работал. Но Галилей не утверждал, что вся физика устроена одинаково в разных системах отсчёта. Он этого утверждать и не мог — за пределами механики физики тогда почти не было.

К концу XIX века появилась электродинамика. И возник вопрос: подчиняется ли она тому же принципу? Лоренц считал, что нет: уравнения Максвелла, по его мнению, верны только в системе отсчёта эфира. В других системах они выглядели бы немножко иначе.

Эйнштейн сказал: подчиняется. Не только механика, не только электродинамика — все законы физики. Никакой физический опыт, никакого рода — механический, электромагнитный, оптический, какой угодно, — не может отличить инерциальную систему отсчёта от покоящейся. Это просто свойство мира.

Если задуматься, это очень сильное утверждение. Оно говорит, что для физики «движение с постоянной скоростью» — это полностью равноправный режим с покоем. Не «почти равноправный, с небольшими поправками». А равноправный по существу.

Из этого, в частности, следует, что никакой эксперимент — ни Майкельсона-Морли, ни какой угодно ещё — не может обнаружить «абсолютную скорость» лаборатории. Не потому, что мы плохо ищем. Потому, что её нет. Слово «абсолютная скорость» — лишено физического смысла.

Эйнштейн просто принял это как данность. Принцип относительности — универсальный. Распространяется на всю физику. Конец дискуссии.

Постулат второй: скорость света — для всех одна

Скорость света в пустоте — одна и та же во всех инерциальных системах отсчёта, независимо от движения источника и от движения наблюдателя.

Здесь стоит остановиться и переварить это аккуратно, потому что эта фраза — в самом сердце всего, что будет дальше в книге.

Привычная картина мира: если стоящий человек видит, что мяч летит со скоростью 10 м/с, и сам начинает двигаться навстречу мячу со скоростью 5 м/с, — он увидит, что мяч летит ему навстречу со скоростью 15 м/с. Скорости складываются. Так устроены все знакомые нам движения. Так нам подсказывает интуиция.

Со светом — нет.

Если стоящий человек видит, что свет идёт со скоростью c, и сам начинает двигаться навстречу свету со скоростью 100 000 км/с, он увидит, что свет идёт к нему со скоростью... c. Не c + 100 000. Просто c.

Если он, наоборот, побежит от света со скоростью 100 000 км/с, он увидит, что свет догоняет его со скоростью c. Не c − 100 000. Просто c.

Если он удалится со скоростью 200 000 км/с (две трети скорости света), что увидит? c. Те же самые ≈300 000 км/с.

Если бы он мог двигаться со скоростью света? Этот вопрос мы пока оставим — он окажется некорректным, скорость света — потолок, до которого нельзя добраться. Но в любом случае, на любой достижимой скорости — он видит свет, идущий со скоростью c.

Скорость света — это константа. Свойство мира. Такая же фундаментальная величина, как, скажем, заряд электрона или гравитационная постоянная. Она не зависит ни от того, кто измеряет, ни от того, как движется источник. Это просто число, встроенное в устройство Вселенной.

Кажущееся противоречие

Если вы внимательно прочли два постулата, у вас должно быть очень неприятное ощущение, что они не могут оба быть верными.

Давайте сделаем это ощущение явным.

Я стою на платформе. Мимо едет поезд со скоростью V. В поезде Петя включает фонарик и направляет луч вперёд. Петя измеряет скорость своего луча относительно поезда. По второму постулату — он получает c.

Я измеряю скорость того же луча относительно платформы. По второму постулату — я тоже получаю c.

Но по классической формуле сложения скоростей (та самая v = V + u из главы 2) у меня должно получиться c + V, а не c. То есть скорость моего измерения должна отличаться от скорости Петиного измерения на V.

Если c одинаково для нас обоих, значит — формула сложения скоростей неверна.

А если формула сложения скоростей неверна — значит, неверны преобразования Галилея, из которых она следует.

А если неверны преобразования Галилея — значит, неверна одна из двух формул в них. Либо x' = x − Vt, либо t' = t.

Первая формула — это просто геометрический сдвиг: если поезд уехал на 100 километров, то и его содержимое в моей системе сдвинуто на 100 километров. Это, кажется, очень трудно оспорить.

Значит, неверна вторая. t' ≠ t. Время — не одно для всех наблюдателей. У каждого инерциального наблюдателя — своё «своё» время, и оно отличается от чужого.

Заметьте, к какому выводу мы приходим, и насколько он радикален. Мы получаем его из двух очень разумных постулатов, простой логикой. Не из эксперимента — из самого требования согласованности.

Это и есть метод Эйнштейна: предположить, что два казалось бы несовместимых принципа на самом деле оба верны, и пойти посмотреть, что из этого следует. Получается, что мир должен быть устроен совершенно непривычным образом — но если он именно так устроен, то и Майкельсон, и Максвелл, и Галилей оказываются согласованы.

Маленькое отступление: что значит «логично»

Тут стоит сделать одну паузу. Кому-то на этом этапе бывает неуютно. «Если из двух разумных постулатов следует, что время разное у разных людей, значит, что-то с постулатами не так. Один из них надо отбросить».

Это абсолютно нормальная реакция, и большинство физиков начала XX века так и реагировали. Они принимали один постулат и отбрасывали другой. Или принимали оба, но с какими-то оговорками.

Эйнштейн взял оба буквально. И сказал: «Это интуиция должна сдаться, а не постулаты».

И тут полезно понять одну вещь. Когда мы говорим, что «время одно для всех» — это, по сути, утверждение об экспериментальном факте. Откуда мы это знаем? Из повседневной жизни. Мы синхронизируем часы, едем в разные стороны, потом сверяем — они показывают то же самое. Мы никогда не наблюдали, чтобы у двух людей часы шли по-разному в зависимости от их движения.

Но мы наблюдали это только на маленьких скоростях. На скоростях, в десятки и сотни тысяч раз меньших скорости света. В этой области эффекты неотличимы от нуля. Они есть, но настолько маленькие, что мы их не видим. Это не значит, что их нет. Это значит, что на бытовых скоростях наша интуиция о времени правильная с очень хорошей точностью. Но эта точность — не абсолютная.

То же самое с законом сложения скоростей. На бытовых скоростях он правилен с великолепной точностью. На скоростях, близких к c, — нет. Это надо принять не как «опровержение» классической физики, а как уточнение области, в которой она применима.

Когда вы летите на самолёте и пьёте кофе, преобразования Галилея работают идеально. Если вы полетите на ракете со скоростью 100 000 км/с — нет, не работают. Нужны другие формулы. Но классические — это очень хорошее приближение, и именно поэтому ими так успешно пользовались двести лет.

Почему «свет» — и почему именно эта скорость

Стоит, наверное, оговорить один тонкий момент. Когда Эйнштейн писал «скорость света», он имел в виду что-то фундаментальное, и название это немного сбивает с толку.

Дело в том, что c — это не «скорость света» в смысле «свойство света». Это скорость распространения любых безмассовых частиц и любых причинных взаимодействий. Свет — это просто один из примеров. То же значение c имеет:

- скорость распространения радиоволн, - скорость гравитационных волн (когда они впервые были зарегистрированы LIGO в 2015 году, оказалось, что они летят именно со скоростью c — Эйнштейн опять прав), - максимальная скорость передачи информации, - максимально достижимая скорость любого материального объекта.

С точки зрения современной физики, более честно было бы называть c не «скоростью света», а скоростью причинности. Это та скорость, с которой одно событие может повлиять на другое. Быстрее — нельзя в принципе, не в виде технологического ограничения, а в виде свойства самого мира.

Свет, потому что он безмассовый, движется именно с этой максимальной скоростью. Поэтому исторически константа получила название «скорости света». Но за этим стоит нечто более глубокое — структура причинности самого пространства-времени.

Об этом мы много раз будем говорить дальше.

Что Эйнштейн принёс нового

Если суммировать, в чём новизна статьи 1905 года.

Лоренц и Пуанкаре имели на руках почти всю математику, которая нужна для специальной теории относительности — преобразования Лоренца, сокращение длин, «локальное время». Они подходили к этой математике с одной стороны: эфир есть, но в нём творятся странные эффекты, которые делают его необнаруживаемым.

Эйнштейн подошёл с другой стороны. Он сказал: эфира нет, его нельзя обнаружить, потому что его нет. Зато есть два простых принципа — принцип относительности и постоянство скорости света. А все «странные эффекты», которые Лоренц предлагал как заплатки, — это просто следствия этих двух принципов.

Математически это оказались те же самые формулы. Преобразования Лоренца у Эйнштейна точно такие же, как у Лоренца. Замедление времени — то же самое. Сокращение длин — то же самое.

Но смысл — совершенно другой. У Лоренца это были «физические эффекты от взаимодействия с эфиром». У Эйнштейна — свойства самого пространства-времени. У Лоренца движущиеся часы «реально» идут медленнее, потому что эфир их давит. У Эйнштейна часы идут по-другому, потому что само время в движущейся системе течёт иначе — это не эффект «давления», это вопрос геометрии.

В этом — главное. Эйнштейн перестроил интерпретацию всей картины. И из этой новой интерпретации потом, через двадцать лет, родится общая теория относительности — то, чего никогда не получилось бы из лоренцевой картинки с эфиром.

Что мы узнали в этой главе

- В основание специальной теории относительности Эйнштейн положил два постулата. - Постулат 1 (принцип относительности): во всех инерциальных системах отсчёта все законы физики имеют одну и ту же форму. Это расширение принципа Галилея на всю физику, включая электродинамику. - Постулат 2 (постоянство скорости света): скорость света в пустоте — одна и та же для всех инерциальных наблюдателей, независимо от движения источника и наблюдателя. - Эти два постулата кажутся противоречивыми, потому что по классическому закону сложения скоростей они дают разные значения для одного и того же луча. - Чтобы они были согласованы, надо отказаться от привычного представления о том, что время одно для всех. Допущение t' = t из преобразований Галилея неверно. - c — это не свойство света как такового, а скорость причинности: предельная скорость распространения любых взаимодействий.

Вопросы для размышления

1. Скорость звука в воздухе зависит от движения наблюдателя (если бежать навстречу звуку, он «приходит к вам быстрее»). Скорость света — нет. В чём принципиальная разница между этими двумя ситуациями?

2. Если бы постулат 1 был верен, а постулат 2 — нет, какая физика получилась бы? Какие явления выглядели бы по-другому?

3. Эйнштейн в статье 1905 года почти не ссылался на эксперимент Майкельсона-Морли. Многие даже спорят, знал ли он о нём в деталях. Можно ли вывести специальную теорию относительности только из постулатов, не опираясь на эксперимент? Что в этом случае «уговаривает» нас постулаты принять?

Следующая глава — первое драматическое следствие этих постулатов. Знаменитый мысленный эксперимент с поездом и молниями.

Глава 8. Поезд и удар молнии: одновременность ломается

Эта глава — самая важная во всей книге.

Не потому, что в ней самая сложная математика. Математики тут нет вовсе — только воображение. А потому, что та мысль, которая родится в ней, разрушает одно из самых прочных, самых очевидных, самых ни-разу-не-подвергаемых-сомнению убеждений нашей повседневной жизни. После этой главы мир будет устроен совсем не так, как мы привыкли.

Эта мысль настолько важна, что Эйнштейн сам считал её центральной в специальной теории относительности. Он формулировал её в своих популярных книгах снова и снова. Если в этой главе вы поймёте только эту одну мысль — и поймёте по-настоящему, — у вас в руках будет ключ ко всему дальнейшему.

Мысль вот в чём: слово «одновременно» не имеет абсолютного смысла.

Два события, происходящие в разных местах, могут быть «одновременными» для одного наблюдателя — и не одновременными для другого. Не «казаться» неодновременными, а на самом деле быть. Это не оптическая иллюзия. Это свойство мира.

Чтобы это увидеть, и нужен мысленный эксперимент с поездом.

Декорации

Представим длинный поезд, идущий с очень большой скоростью по совершенно прямым рельсам. Не такой быстрый, как в реальности, — а такой, как нужно для мысленного эксперимента: пусть он идёт со скоростью в половину скорости света, 150 000 км/с. (В реальном мире такого поезда быть не может; в воображаемом — может всё.)

Длина поезда, скажем, два километра. Это для удобства счёта.

В середине поезда сидит Петя. Точно посередине, на равном расстоянии от переднего и заднего вагонов.

На платформе стоит Маша. Платформа очень длинная — длиннее поезда. В тот момент, когда мимо неё проносится середина поезда, она и Петя находятся ровно напротив друг друга. Это «момент встречи».

И теперь — самое важное — в этот момент происходит вот что: в передний и в задний вагоны поезда одновременно ударяют две молнии.

«Одновременно» — слово, которое мы сейчас будем препарировать. Поэтому скажу аккуратно: молнии бьют так, что с точки зрения Маши, стоящей на платформе, они вспыхивают в один и тот же момент. Маша видит две вспышки света — справа и слева, в передний и задний концы поезда. Поскольку Маша находится посередине между ними (поезд в этот момент симметричен относительно неё), свет от двух молний доходит до неё одновременно. Маша уверенно говорит: «Молнии ударили в один и тот же миг».

И она права. Для Маши это — факт.

Теперь посмотрим на ту же ситуацию глазами Пети.

Что видит Петя

Петя сидит в поезде. Молнии ударили в передний и задний вагоны. Свет от этих молний начинает распространяться внутри поезда — со скоростью c, как и положено свету. Одинаково со скоростью c — это, напомним, второй постулат: скорость света одинакова для всех, в том числе для Пети, движущегося в поезде.

Так в какой момент свет от двух молний дойдёт до Пети?

Тут начинается самое интересное. И тут нужно очень аккуратно следить за словами.

Когда мы смотрим на ситуацию из Машиной системы отсчёта (с платформы), мы видим, что свет от обеих молний движется со скоростью c — это второй постулат. Поезд движется в ту же сторону, что и свет, идущий от передней молнии, и навстречу свету, идущему от задней молнии. Петя движется вместе с поездом.

С точки зрения Маши происходит следующее:

- Свет от задней молнии летит вперёд (в направлении движения поезда). Петя летит ему навстречу. Они быстро сблизятся. Свет от задней молнии дойдёт до Пети сравнительно быстро. - Свет от передней молнии летит назад (против движения поезда). Петя убегает от него. Свет догоняет Петю, но медленнее, чем сблизился бы со встречным наблюдателем. Поэтому свет от передней молнии дойдёт до Пети позже.

Итог в Машиной системе отсчёта: Петя сначала увидит вспышку задней молнии. Потом — вспышку передней.

Это не оспаривает никто. Маша скажет: «Молнии ударили одновременно, но из-за того что Петя движется к одной и убегает от другой, он видит их в разное время — это просто эффект движения».

Но вот тут — ловушка.

Что говорит Петя

Теперь спросим самого Петю. Что он наблюдает?

Петя сидит посередине поезда. Молнии ударили в передний и задний вагоны — то есть на равном расстоянии от него. Свет от обеих движется со скоростью c — это второй постулат, и Петя пользуется им точно так же, как Маша.

Вспомним: Петя — в инерциальной системе отсчёта. Для него поезд — это не «движущийся объект», для него поезд — это его система отсчёта, в которой он покоится. Принцип относительности (первый постулат) говорит: в его системе отсчёта законы физики работают абсолютно так же, как у Маши. То есть свет в его системе отсчёта движется ровно со скоростью c, во все стороны, симметрично.

Если две вспышки произошли на равных расстояниях от Пети, и свет от них летит ровно со скоростью c в обе стороны, — то свет от одновременных вспышек должен дойти до Пети одновременно. Просто по симметрии.

Но мы только что выяснили, что свет от задней молнии дойдёт до Пети раньше. Это — факт, который Петя наблюдает. Он видит две вспышки в разные моменты времени.

Если они дошли до него в разные моменты, и при этом летели одинаковое расстояние с одинаковой скоростью, — значит, они и были посланы в разные моменты. То есть для Пети молнии ударили не одновременно. Сначала ударила задняя молния, потом — передняя.

А кто из них прав?

Стоп.

Маша уверенно говорит: «Молнии ударили одновременно». Петя уверенно говорит: «Молнии ударили в разное время. Сначала задняя, потом передняя».

Это — два прямо противоречащих утверждения о том же самом событии. Молнии — это объективные явления, у них есть конкретные моменты, когда они случились. Не может же быть, чтобы они одновременно «ударили одновременно» и «не ударили одновременно».

Или может?

Вот это и есть кардинальный сдвиг сознания, который Эйнштейн совершил в 1905 году. Может.

Объясняю.

В классической физике предполагалось, что у каждого события есть свой объективный момент времени. Этот момент — атрибут события. Молния ударила «в 14:30:00» — и точка. Этот момент один и тот же для всех наблюдателей; они могут спорить, когда они увидят эту вспышку, но согласны в том, когда она произошла.

Эйнштейн говорит: это допущение неверно. У события нет «объективного» момента времени, который был бы общим для всех. Есть только момент, который ему приписывает конкретный наблюдатель в своей системе отсчёта. И моменты у разных наблюдателей могут не совпадать.

В Машиной системе отсчёта молнии ударили одновременно. В Петиной — нет. Обе картины — настоящие. Это не «иллюзия». Это разные равноправные описания.

Слово «одновременно» — лишено абсолютного смысла. Оно есть только относительно конкретной системы отсчёта.

Это очень больно

Если на этом этапе вы чувствуете, что что-то в голове сопротивляется, — это правильное ощущение.

Идея о том, что время — общее, что у всех «сейчас» одно и то же, что в этот момент существуют я, и вы, и Солнце, и звезда в Туманности Андромеды, и где-то прямо сейчас выходит из пещеры медведь, и где-то прямо сейчас взлетает ракета, — эта идея кажется не просто верной, а необходимо верной. Без неё мир будто рассыпается.

Эйнштейн в 1905 году сказал: ну, рассыпается.

«Сейчас» — это не свойство Вселенной. Это свойство пары «событие + наблюдатель». Для разных наблюдателей «сейчас» проходит по-разному. Два события, одновременные для меня, могут быть в разные моменты для вас.

Стоит подчеркнуть: это не нюанс восприятия. Не «оптический обман». Не «вы это видите, но на самом деле это иначе». В рамках теории относительности оба наблюдателя описывают реальность одинаково правильно. Молнии действительно одновременны для Маши и действительно не одновременны для Пети. И нет вопроса «а как на самом деле?». «На самом деле» — это слово, требующее системы отсчёта. Без неё оно не имеет смысла.

Почему мы этого не замечаем в обычной жизни

Естественный вопрос: если это так — почему мы никогда этого не наблюдали?

Потому что эффект пропорционален скорости движения, делённой на c. На бытовых скоростях это, грубо говоря, одна стомиллионная или меньше.

Прикинем. Допустим, я еду на машине со скоростью 100 км/ч — то есть примерно 28 м/с. Скорость света — 300 000 000 м/с. Их отношение — около 10⁻⁷. На каждые 10 метров длины разница в «одновременностях» по моим часам и по часам стоящего наблюдателя — порядка 10⁻¹⁵ секунды, одной квадрильонной доли секунды. Это даже не «маленькое число». Это число, которое современные технологии могут измерить только в специально поставленных экспериментах с атомными часами.

В повседневной жизни относительность одновременности — это эффект, который существует, но настолько маленький, что мы не имеем ни одного способа его заметить. Поэтому интуиция, формирующаяся всю жизнь, говорит: «время — общее».

А в поезде, идущем в половину скорости света, это уже не маленький эффект. В нашем примере с двухкилометровым поездом разница «одновременностей» составит несколько микросекунд — то есть событие, которое для Маши произошло «сейчас», для Пети либо ещё не произошло, либо произошло несколько микросекунд назад. Заметная разница.

Но таких поездов в нашем мире нет. И не будет. И поэтому интуиция упорно держится за абсолютное время.

Теория относительности нужна нам не потому, что мы каждый день сталкиваемся с её эффектами, а потому, что мы хотим понимать мир. И на больших скоростях, и в космосе, и при работе с фундаментальными частицами — эти эффекты огромны и непреложны. Если мы хотим иметь честную картину мира, мы должны принять, что наша бытовая интуиция о времени — это приближение, которое работает только в маленьком уголке Вселенной.

Что отсюда следует — короткий взгляд вперёд

Из этой одной мысли — относительности одновременности — вытекает всё остальное в специальной теории относительности.

- Если у разных наблюдателей разные «сейчас», то их часы должны идти по-разному. Чтобы согласовать это с симметрией движения, придётся ввести замедление времени: движущиеся часы идут медленнее. - Если их часы идут по-разному, то и длины они меряют по-разному: длина движущегося предмета окажется меньше, чем у покоящегося. Это сокращение длин. - Если время и длины зависят от наблюдателя, то и формула сложения скоростей должна измениться. Получится новая формула, в которой никакое сложение скоростей не превысит c. - Если время не абсолютно, то нужны новые формулы, чтобы пересчитать координаты события из одной системы в другую — взамен старых формул Галилея. Это преобразования Лоренца. - А вся эта новая геометрия — пространство и время вместе — образуют единый объект, который Минковский в 1908 году назовёт пространством-временем. И теория относительности окажется на самом деле новой геометрией мира.

Этот длинный путь мы и пройдём в следующих главах. Но всё, абсолютно всё, что мы там будем встречать, восходит к одной мысли:

Одновременность — не свойство мира. Это свойство наблюдателя.

Что мы узнали в этой главе

- Мысленный эксперимент с поездом и молниями показывает: события, одновременные для одного наблюдателя, оказываются не одновременными для другого наблюдателя, движущегося относительно первого. - Это не оптическая иллюзия. Оба наблюдателя одинаково правы. У одного и того же события нет «объективного» момента времени, общего для всех. - Слово «одновременно» имеет смысл только относительно конкретной системы отсчёта. - Этот эффект очень мал на бытовых скоростях (порядка v/c), поэтому наша интуиция о «всеобщем времени» формируется на материале, где он незаметен. - Из этой одной мысли вытекает почти всё остальное в специальной теории относительности.

Вопросы для размышления

1. Если для Пети молнии ударили не одновременно — для него «сначала задняя, потом передняя». А для другого наблюдателя, который движется навстречу поезду (в противоположную сторону) с такой же скоростью, в каком порядке ударят молнии? Какие-нибудь общие закономерности тут видны?

2. Можно ли организовать ситуацию так, чтобы для одного наблюдателя событие A было «раньше» события B, а для другого — наоборот, B раньше A? Если да — не нарушает ли это причинно-следственную связь? (Намёк: тонкий момент. Мы вернёмся к нему, когда будем говорить про световой конус.)

3. Маша и Петя оба «правы». Но что тогда вообще можно сказать про молнии «объективно»? Есть ли вообще какие-то характеристики событий, с которыми все наблюдатели согласятся? (Намёк: ответ есть, и мы про него поговорим в главе 17.)

Следующая глава — короткий привал. Освежим теорему Пифагора и квадратные корни — нам нужно совсем немного, но без этого не получится красиво вывести формулу замедления времени.

Привал 2. Пифагор и квадратные корни

Совсем короткий привал. Перед следующей главой нам понадобится теорема Пифагора и понятие квадратного корня. Скорее всего, вы это всё помните — но на всякий случай освежим. Это займёт пять минут.

Теорема Пифагора — за тридцать секунд

Возьмите прямоугольный треугольник. То есть треугольник, у которого один из углов — прямой (90°). Стороны, образующие этот прямой угол, называются катетами. Сторона напротив прямого угла — гипотенуза.

Теорема Пифагора говорит:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если обозначить катеты буквами a и b, а гипотенузу — буквой c, то:

c² = a² + b²

Или, разрешая относительно c:

c = √(a² + b²)

Например, у треугольника с катетами 3 и 4 гипотенуза равна √(9 + 16) = √25 = 5. Любимый школьный треугольник.

Это всё, что нам понадобится из теоремы Пифагора. Никаких более тонких применений в ближайших главах не будет.

Зачем это нам

В следующей главе мы будем разбирать «световые часы» — устройство, состоящее из фонарика и зеркала. Луч света летит от фонарика к зеркалу, отражается и возвращается. Если эти часы покоятся, луч летит вверх-вниз по прямой. Если движутся — луч, с точки зрения внешнего наблюдателя, описывает не прямую, а зигзаг: он одновременно идёт вверх и сдвигается вместе с часами.

Чтобы измерить длину пути этого зигзага, нам нужна теорема Пифагора. Длина одного «зигзага» — это гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого катеты — это вертикальное и горизонтальное смещения.

Квадратный корень — короткое напоминание

Квадратный корень из числа x — это такое неотрицательное число, которое, будучи возведено в квадрат, даёт x. Обозначается √x.

√4 = 2 (потому что 2 × 2 = 4) √9 = 3 √25 = 5 √2 ≈ 1.414 (иррациональное число) √0 = 0 √1 = 1

Корень от единицы — это, конечно, 1. Корень от нуля — 0. Корень от очень маленького положительного числа — тоже маленький, но больше самого числа: например, √0.01 = 0.1.

Очень важный для нас случай: √(1 − x²)

В следующих главах постоянно будет встречаться выражение

√(1 − x²)

где x — какое-то число от 0 до 1.

Давайте посмотрим, как оно себя ведёт.

x · x² · 1 − x² · √(1 − x²)

0 · 0 · 1 · 1

0.1 · 0.01 · 0.99 · 0.995

0.3 · 0.09 · 0.91 · 0.954

0.5 · 0.25 · 0.75 · 0.866

0.7 · 0.49 · 0.51 · 0.714

0.9 · 0.81 · 0.19 · 0.436

0.99 · 0.98 · 0.02 · 0.141

0.999 · 0.998 · 0.002 · 0.045

1 · 1 · 0 · 0

Это табличка очень важна для интуиции. Что мы видим?

- При малых x (например, x = 0.1) выражение √(1 − x²) близко к единице. Оно меньше единицы, но совсем чуть-чуть — на одну двухсотую. - По мере увеличения x значение постепенно уменьшается. - При x = 0.5 оно равно примерно 0.87. - При x = 0.9 уже резко падает — до 0.44. - При x, очень близком к 1, выражение становится близким к нулю и при x = 1 обращается в 0. - Для x > 1 выражение становится отрицательным под корнем, и корень становится мнимым — то есть выходит из области действительных чисел. В реальной физике это означает, что соответствующая ситуация невозможна.

В нашей будущей формуле x будет означать v/c — отношение скорости движения наблюдателя к скорости света. Малые v/c — повседневные скорости. Чем ближе v к c, тем выше x и тем меньше выражение √(1 − x²).

То, что для x > 1 выражение становится мнимым, в физике интерпретируется как: «невозможно двигаться быстрее скорости света». Никакого тела с массой нельзя разогнать до v = c, не то что до v > c.

Гамма-фактор

Сразу введу название, которое мы много раз ещё увидим. Часто в формулах появляется не само √(1 − v²/c²), а величина, обратная ему:

γ = 1 / √(1 − v²/c²)

Греческая буква γ (гамма). Это называется гамма-фактор или фактор Лоренца.

Если √(1 − v²/c²) — это число, всегда меньше или равное единице (от 1 при v = 0 до 0 при v = c), то γ — это обратное к нему, число, всегда больше или равное единице (от 1 при v = 0 до бесконечности при v → c).

Та же табличка для γ:

v/c · √(1 − v²/c²) · γ

0 · 1 · 1

0.1 · 0.995 · 1.005

0.5 · 0.866 · 1.155

0.7 · 0.714 · 1.400

0.9 · 0.436 · 2.294

0.99 · 0.141 · 7.09

0.999 · 0.045 · 22.4

0.9999 · 0.0141 · 70.7

1 · 0 · ∞

Видно: γ начинается с единицы (при покое), очень медленно растёт на малых скоростях, и взрывается вблизи скорости света.

Запомните этот образ: график γ как функции v/c. Он почти горизонтальный (около 1) до 0.5c. Потом постепенно идёт вверх. И около v = c уходит в небо.

γ — это, образно говоря, «коэффициент эффектов теории относительности». Везде, где есть замедление времени, сокращение длин, увеличение массы и так далее — где-то рядом стоит этот γ. И именно поэтому на бытовых скоростях все эти эффекты неощутимы (γ почти равно 1), а у частиц на ускорителях, где γ может достигать тысяч и миллионов, — становятся гигантскими.

Что мы вспомнили в этом привале

- Теорема Пифагора: c² = a² + b² для прямоугольного треугольника. Отсюда c = √(a² + b²). - Квадратный корень √x — число, дающее x в квадрате. - Очень важное для нас выражение: √(1 − x²) — равно 1 при x = 0, постепенно уменьшается с ростом x и обращается в 0 при x = 1. - В физике этой книги x будет означать v/c. - Гамма-фактор γ = 1/√(1 − v²/c²) — обратное от √(1 − v²/c²). Равен 1 на малых скоростях и уходит в бесконечность при v → c.

Привал окончен. Теперь — самое интересное. Идём строить световые часы.

Глава 9. Замедление времени: световые часы

В предыдущей главе мы убедились, что одновременность относительна. Из этого следует, что у разных наблюдателей время в принципе не может идти одинаково. Но как именно оно у них идёт по-разному?

В этой главе мы сосчитаем это явно. С помощью самых простых геометрических соображений — теоремы Пифагора и капельки воображения. И из этого расчёта родится первая великая формула специальной теории относительности — формула замедления времени.

К концу главы мы будем понимать, что когда вы летите в самолёте, ваши часы идут медленнее, чем часы вашего друга, оставшегося дома. На одну ничтожную долю секунды — но идут. И это не философия. Это измерено.

Идея световых часов

Чтобы аккуратно посчитать, как идёт время в разных системах отсчёта, нужно сначала договориться, что такое «час идёт». То есть нам нужны часы — какое-то устройство, которое «тикает» и отмеряет промежутки времени.

Любые часы — наручные, настенные, атомные — устроены сложно, и легко запутаться в их внутренней механике. Поэтому физики любят простой мысленный пример: световые часы.

Устройство:

- Берём два параллельных зеркала. Закрепляем их друг напротив друга на расстоянии L. Пусть L будет, для удобства, 1 метр. - Между зеркалами пускаем луч света. Он отражается от нижнего зеркала, летит к верхнему, отражается от него, летит к нижнему, и так далее. Бесконечно. - Каждое прохождение луча «туда и обратно» (нижнее зеркало → верхнее → нижнее) — это один «тик» часов.

Время одного «тика» — это время, за которое свет проходит путь 2L (вверх и вниз). При L = 1 м и скорости света c ≈ 3·10⁸ м/с, один тик длится примерно 2/(3·10⁸) ≈ 6.7·10⁻⁹ секунды, то есть примерно семь миллиардных долей секунды. Очень короткий тик. Но мысленный эксперимент — на то и мысленный, что нам неважна реальная длительность, важна логика.

Запишем длительность одного тика для покоящихся часов:

t₀ = 2L / c

Эта величина — «собственное время» часов, время одного тика в системе отсчёта, в которой часы покоятся. Индекс «0» обозначает, что это «собственное» значение — то, которое измеряется в той системе, где часы стоят на месте.

Те же часы — движутся

Теперь — та же конструкция, но другая ситуация. Мы (Маша) стоим на платформе. Мимо нас на огромной скорости — пусть V = 0.6c (60% скорости света) — проносится поезд. В поезде едет Петя, и у него с собой такие же световые часы. Они работают точно как наши, но движутся вместе с поездом.

Что мы (Маша) видим?

С точки зрения Маши, луч света в Петиных часах идёт не по вертикали. Точнее: луч начинает свой путь от нижнего зеркала, и пока он летит до верхнего, само верхнее зеркало успевает сдвинуться вперёд (вместе с поездом). Поэтому, чтобы попасть в верхнее зеркало, луч должен идти не вверх, а по диагонали — одновременно вверх и вперёд.

Затем — отражение, и обратно вниз, опять по диагонали (нижнее зеркало тоже за это время сдвинется).

Получается, что для Маши траектория луча в Петиных часах — это зигзаг, как у пилы. Не вертикальная линия, а ломаная под наклоном.

Здесь — момент истины. Свет в этом зигзаге, по постулату Эйнштейна, идёт со скоростью c. Не быстрее, не медленнее. Просто c.

Но путь, который ему нужно пройти — длиннее вертикального. Это легко видеть: гипотенуза длиннее катета. Значит, на каждый «тик» уходит больше времени, чем когда часы покоились.

Это и есть замедление времени — самое наглядное его обоснование, какое только можно придумать.

Теперь считаем

Возьмём один «тик» в системе отсчёта Маши — то есть промежуток времени, за который Петин луч успел сходить туда и обратно. Обозначим этот промежуток через t. (Без индекса 0 — это уже не собственное время часов, а время в Машиной системе отсчёта.)

За время t свет в Машиной системе прошёл расстояние c·t (по нашему второму постулату — для Маши свет тоже идёт со скоростью c, по диагонали).

За это же время t весь поезд (а вместе с ним и Петя, и часы) сдвинулся на расстояние V·t.

Высота между зеркалами осталась той же — 2L (за тик луч проходит туда-обратно, общая «вертикальная» компонента — 2L; зеркала не сжимаются по вертикали — почему именно так, мы обсудим в следующей главе про сокращение длин).

Теперь — Пифагор.

Длина пути луча по диагонали (за один тик, туда-обратно) — это что-то вроде... ну, представьте две диагонали, в форме перевёрнутой буквы V (вверх по диагонали — отражение — вниз по диагонали). Длина каждой такой диагонали — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами L (полпути по вертикали) и V·t/2 (полпути по горизонтали).

Сумма обеих диагоналей — это весь путь, равный c·t. Значит:

c·t = 2 · √(L² + (V·t/2)²)

Упростим. Возведём в квадрат:

(c·t)² = 4 · (L² + (V·t/2)²) = 4·L² + (V·t)²

То есть:

c²·t² = 4·L² + V²·t²

Перенесём всё с t² влево:

c²·t² − V²·t² = 4·L² t² · (c² − V²) = 4·L² t² = 4·L² / (c² − V²) t = 2·L / √(c² − V²)

Чуть-чуть преобразуем — вынесем c из-под корня:

t = 2L / √(c²·(1 − V²/c²)) = (2L/c) / √(1 − V²/c²)

И теперь — главное. Вспомним, что 2L/c — это и есть собственное время часов, t₀. То есть:

t = t₀ / √(1 − V²/c²) = γ · t₀

Где γ — тот самый гамма-фактор из Привала 2.

Эта одна формула — главное открытие специальной теории относительности в части кинематики. Её мы только что вывели чисто геометрически, с помощью теоремы Пифагора, постулата постоянства скорости света и здравого смысла.

Как это читать

Формула t = γ · t₀ говорит:

- t₀ — это собственное время часов; то, что они показывают «у себя дома», в покоящейся системе отсчёта. Один тик длится 2L/c. - t — это сколько времени тот же самый тик занимает с точки зрения наблюдателя, относительно которого часы движутся. - Поскольку γ всегда ≥ 1, то t ≥ t₀. Тик движущихся часов всегда длится дольше, чем собственный тик.

«Дольше» здесь означает: для внешнего наблюдателя, считающего секунды по своим часам, тик движущихся часов занимает больше его секунд, чем он занял бы в собственной системе. То есть движущиеся часы идут медленнее.

Если поезд проходит мимо Маши со скоростью 0.6c, то γ = 1/√(1 − 0.36) = 1/√0.64 = 1/0.8 = 1.25. Значит, для Маши Петины часы идут в 1.25 раза медленнее, чем её собственные. Один час «по Пете» — это 1.25 часа «по Маше». Если Петя проводит в поезде час, для Маши он проводит в поезде час и пятнадцать минут.

Если поезд идёт со скоростью 0.9c — γ ≈ 2.29, и Петин час становится двумя с лишним часами Машиных.

Если 0.99c — γ ≈ 7. Петин час превращается в семь Машиных.

Если 0.999c — γ ≈ 22. Час Пети — почти сутки для Маши.

Видно: чем ближе к скорости света, тем сильнее эффект, и тем драматичнее становятся числа. Это и есть замедление времени.

Подождите. А Петя что видит?

Теперь — самое странное и красивое.

Мы построили рассуждение с точки зрения Маши, у которой Петины часы движутся. Маша уверенно говорит: «Петины часы идут медленнее моих».

Но если мы поменяемся местами — с точки зрения Пети, Маша движется относительно него. Петя ведь тоже находится в инерциальной системе отсчёта. Если он повторит тот же мысленный эксперимент с Машиными часами, у него получится то же самое уравнение, только с заменой ролей. И он скажет: «Машины часы идут медленнее моих».

То есть каждый из них видит, что часы другого идут медленнее. И это не противоречие — это симметрия.

Тут на первый раз ломается голова. «Как они оба могут одновременно идти медленнее друг друга? Кто-то же из них должен идти медленнее на самом деле!»

Ответ — нет. Они оба идут медленнее друг друга, и это не противоречие, потому что для разрешения «противоречия» им пришлось бы где-то встретиться и сравнить часы напрямую. А встретиться они не могут — они летят прочь друг от друга по прямой, никогда не встречаются. Любая попытка их «сравнить» потребует, чтобы один из них развернулся и поехал обратно, — и тогда он перестанет быть инерциальным наблюдателем. Тогда возникнет асимметрия, и тогда уже можно будет сказать, кто и насколько постарел. Это и есть знаменитый парадокс близнецов, о котором мы поговорим в главе 11.

Но пока что — мы оба инерциальны, и для каждого из нас часы другого идут медленнее. Это совершенно последовательная и непротиворечивая картина, как только осознаешь, что «одновременность» относительна.

Доказательство, которое не имеет права быть мысленным

Всё, что я написал выше — мысленный эксперимент. У вас может быть резонный вопрос: «А это всё точно происходит? Может, это математический фокус, который выводится из постулатов, но в реальности — где-то есть подвох, и часы идут одинаково?»

Это разумный вопрос. И ответ — нет, подвоха нет. Замедление времени измерено во множестве реальных экспериментов. Я расскажу про два самых наглядных.

Эксперимент первый: мюоны.

Мюон — это элементарная частица, похожая на электрон, но намного тяжелее. Главное её свойство — она нестабильна. Свободный мюон в лаборатории, в покое, живёт в среднем около 2.2 микросекунды (2.2·10⁻⁶ секунды) и распадается.

Космические лучи, прилетающие из дальнего космоса, при столкновении с верхними слоями атмосферы рождают мюоны. Эти мюоны рождаются на высоте около 15 км и летят к поверхности Земли со скоростью около 0.9994c (то есть γ ≈ 30).

За время жизни 2.2 микросекунды мюон должен был бы пролететь, в среднем, всего 2.2·10⁻⁶ · 0.9994 · 3·10⁸ ≈ 660 метров. Значит, мюоны, рождённые на высоте 15 км, не должны были бы долетать до поверхности Земли — они бы распадались задолго до. Долетела бы исчезающе малая доля.

Но детекторы на поверхности Земли уверенно регистрируют мюоны. Много мюонов. Намного больше, чем должно было бы оставаться, если бы их время жизни было 2.2 микросекунды.

Объяснение — замедление времени. Для нас, наблюдателей на земле, время мюона течёт в γ ≈ 30 раз медленнее. Его собственные 2.2 микросекунды — это для нас 66 микросекунд. За это время он успевает пролететь не 660 метров, а 20 километров. И долетает.

Это — прямое экспериментальное подтверждение замедления времени. Без него мюоны до нас не доходили бы. С ним — доходят. Расчёты сходятся с измерениями.

Эксперимент второй: атомные часы на самолётах.

В 1971 году физики Хафеле и Китинг провели знаменитый эксперимент. Они взяли четверо атомных часов — самых точных в то время. Двое часов отправили в кругосветный перелёт на коммерческих самолётах на восток. Двое — на запад. Контрольные часы оставались в военно-морской обсерватории США.

После полётов все часы сравнили. Часы, летавшие на восток (в направлении вращения Земли), отстали от контрольных на 59 наносекунд. Часы, летавшие на запад (против вращения), наоборот, обогнали контрольные на 273 наносекунды. (Различие — потому что Земля сама вращается, и это надо учитывать при выборе системы отсчёта.)

Прогноз теории относительности на эти величины — с учётом скорости полёта, высоты (для общей теории относительности — об этом потом), направления — давал значения, совпадающие с измерениями с точностью лучше 10%.

Это уже не мюоны в верхних слоях атмосферы. Это часы, которые любой может пощупать. И они уверенно показали: при движении часы идут медленнее.

С тех пор подобные эксперименты повторяли сотни раз, с разной точностью, с разными системами. Результат всегда один: замедление времени реально. И оно описывается формулой Эйнштейна.

Что это значит для нас

Каждый раз, когда вы летите в самолёте, ваши часы идут медленнее, чем у людей на земле. Не «кажется, что идут медленнее» — идут.

Скорость самолёта — около 250 м/с. γ для такой скорости — буквально 1 + 3.5·10⁻¹³. То есть за десятичасовой полёт ваше «опоздание» относительно человека на земле составит... примерно 10 наносекунд. Десять миллиардных долей секунды.

Это никак не повлияет ни на вашу жизнь, ни на ваше восприятие. Никто никогда этого не заметит. Но это так. И за каждый полёт, который вы совершите, вы становитесь на 10 наносекунд моложе, чем если бы не летели.

Если бы вы летели всю жизнь со скоростью половины скорости света, вы бы заметно отстали в возрасте от родственников на земле. После двадцати лет такого полёта по часам вашей ракеты, вернувшись, вы бы обнаружили, что на земле прошло ≈23 года. Не катастрофа — но три года вы бы «выиграли».

Если бы вы летели со скоростью 0.99c — то ваш год в ракете был бы семью годами на земле. И вы могли бы, в принципе, «прыгнуть» далеко в будущее. (В будущее — в одну сторону — теория относительности позволяет. В прошлое — нет, не позволяет, ни в каком виде. Но об этом мы поговорим в самом конце книги.)

Так что в каком-то очень буквальном смысле теория относительности уже даёт нам машину времени. Одностороннюю.

Что мы узнали в этой главе

- Световые часы — мысленная конструкция из двух зеркал и луча света. Они тикают каждый раз, когда луч проходит от одного зеркала к другому и обратно. - Если часы движутся, луч с точки зрения внешнего наблюдателя идёт по диагонали (длиннее, чем вертикаль). Поскольку скорость света одинакова для всех — путь длиннее, тик длиннее. - Геометрически (через Пифагор) выводится формула: t = γ · t₀, где γ = 1/√(1 − v²/c²). - Это значит: движущиеся часы идут медленнее покоящихся. Эффект мал на малых скоростях и взрывообразно растёт около скорости света. - Замедление времени симметрично: каждый из двух инерциальных наблюдателей видит, что часы другого идут медленнее. Парадокса нет, потому что они не могут «напрямую сравнить» часы, не разогнавшись. - Эффект многократно подтверждён экспериментально — мюонами в космических лучах, атомными часами на самолётах, ускорителями частиц и в современных приложениях вроде GPS.

Вопросы для размышления

1. Если ваши часы при полёте на самолёте идут медленнее, и ваше тело — это тоже своего рода «часы» (биологические процессы тоже подчиняются физике), значит, вы при полёте биологически стареете медленнее. Так? Если да — значит ли это, что лётчик, налетавший 30 тысяч часов, моложе своих наземных коллег на сколько-то наносекунд? И это можно было бы измерить, если бы мы умели измерять возраст с такой точностью?

2. Зеркала в световых часах находятся на расстоянии L друг от друга по вертикали (перпендикулярно движению). Мы предположили, что это расстояние L не меняется от движения. Почему мы это предположили? Что было бы с формулой замедления времени, если бы L менялось?

3. Замедление времени растёт с γ, и при v → c уходит в бесконечность. Это значит: если объект движется ровно со скоростью света, его собственное время... стоит? Это правда? (Намёк: для безмассовых частиц (фотонов) это, в некотором смысле, так. Но к ним нельзя применять обычную систему отсчёта, и эта картина требует осторожности.)

Следующая глава — другая сторона той же медали. Если время «растягивается» в движущихся системах, то длины — наоборот, «сжимаются». Это и есть сокращение Фицджеральда-Лоренца, но теперь — как естественное следствие постулатов, а не патч.

Глава 10. Сокращение длин: линейки укорачиваются

В предыдущей главе мы получили формулу для замедления времени и убедились, что движущиеся часы идут медленнее. Это уже шок для интуиции. Но шок неполный. Чтобы картина была согласованной, вместе с замедлением времени должно быть и другое явление — сокращение длин.

Они идут в паре. Их нельзя разделить. Каждое из них требует второе для непротиворечивости.

В этой главе мы выведем формулу сокращения длин (это будет красиво и просто), посмотрим на её симметрию (она тоже работает в обе стороны), а потом разберём знаменитый парадокс, который смущает людей уже больше ста лет, — парадокс шеста и сарая. И увидим, как этот парадокс изящно разрешается, как только мы помним про относительность одновременности.

Мюоны — с другой стороны

Помните мюонов из прошлой главы? Тех, что рождаются на высоте 15 км в верхних слоях атмосферы и летят к нам со скоростью почти c?

Мы рассмотрели их с нашей точки зрения, с земли. Сказали: их время идёт в γ раз медленнее (γ ≈ 30 для их скоростей). Поэтому они живут в γ раз дольше — и долетают до Земли.

А теперь посмотрим на ту же ситуацию с точки зрения мюона.

В системе отсчёта самого мюона — у него же своё время идёт обычно. Мюон в собственной системе живёт ровно 2.2 микросекунды и никак не больше. По его собственным часам ничего не растягивается. Он по-прежнему может пролететь только 660 метров — пройти больше за время своей жизни никак не получится.

Но мы знаем — он долетает с высоты 15 километров до поверхности. Как же так?

Ответ: с точки зрения мюона расстояние от верхних слоёв атмосферы до поверхности Земли — не 15 километров. Оно намного меньше. Атмосфера, Земля, всё вокруг мчится мимо мюона со скоростью почти c. И в его системе отсчёта всё это пространство сжато. 15 км превращаются в 15/30 = 500 метров. И за 500 метров мюон, живущий 2.2 микросекунды, спокойно успевает добраться до Земли.

Это две разные точки зрения на одну и ту же ситуацию. С Земли — мюон живёт долго (растяжение времени). С мюона — расстояние короткое (сокращение длин). Обе одинаково правы. Обе дают один и тот же финальный результат: мюон долетает до поверхности.

И именно эта взаимность — замедление времени и сокращение длин — необходимо нужны вместе. Без сокращения длин с точки зрения мюона мы получили бы противоречие. С ним — всё сходится.

Формула сокращения

Запишем сразу формулу, потом разберёмся, откуда она.

Если у вас есть линейка длиной L₀ в её собственной системе отсчёта (то есть в системе, где она покоится — это её «настоящая», «собственная» длина), и эта линейка движется относительно вас со скоростью V в направлении вдоль самой линейки, то вы измерите её длину как:

L = L₀ · √(1 − V²/c²) = L₀ / γ

Заметьте, как красиво это соотносится с формулой замедления времени:

- Время в движущейся системе растягивается: t = t₀ · γ. - Длина в направлении движения сокращается: L = L₀ / γ.

Одно растягивается, другое сокращается — на тот же самый фактор γ. Это не совпадение. Это — следствие глубокой связи между временем и пространством, которая в следующей части будет видна как геометрия.

Откуда берётся эта формула

Чтобы понять, откуда берётся сокращение длин, надо сначала уточнить, что значит «измерить длину движущейся линейки».

Если линейка покоится, всё просто. Подходишь, прикладываешь, смотришь, где начало и где конец.

А если она движется со скоростью V? Здесь нюанс. Если ты сначала отметишь, где находится её начало, а потом, через некоторое время, — где её конец, — то за это время она сама сдвинется. Получится не длина, а что-то другое.

Поэтому корректное определение длины движущегося предмета — это так:

Отметить положения начала и конца линейки одновременно, в один и тот же момент времени в вашей системе отсчёта. Расстояние между этими двумя отметками и есть длина.

Звучит разумно. Но обратите внимание на слово «одновременно». В классической физике оно проблем не создаёт. В специальной теории — мы уже знаем — одновременность относительна. Что одновременно для одного наблюдателя — не одновременно для другого.

И именно здесь происходит магия.

Когда Маша на платформе говорит «я измерил длину Петиного поезда», она имеет в виду: я отметил, где находится передняя и задняя стенки поезда одновременно в моей системе отсчёта. Расстояние между отметками — это «длина поезда по моему измерению».

Когда Петя в поезде говорит «я знаю длину своего поезда», он имеет в виду: он измерил расстояние между передней и задней стенками в своей собственной системе отсчёта, где поезд покоится. Это «собственная длина» поезда.

И вот в чём суть. То, что Маша считает «одновременным» (отметить начало и конец поезда в один момент её времени), — для Пети не одновременно. С точки зрения Пети, Маша отмечает заднюю стенку в один момент, а переднюю — в другой. И за это «другое» время поезд... сдвигается на разное расстояние.

Не буду здесь вдаваться в детальный геометрический вывод (он есть в учебниках), но логика такая: из-за того, что одновременность относительна, измерения длины в разных системах не совпадают. И — после короткого расчёта — получается ровно та формула, которую я выписал: L = L₀ / γ.

Числовые примеры

Давайте, чтобы понятие сокращения длин стало плотнее в голове, подставим числа.

Если поезд длиной 200 метров (в собственной системе) едет мимо вас со скоростью V = 0.5c, то γ = 1.155, и длина поезда для вас:

L = 200 / 1.155 ≈ 173 метра

То есть для вас поезд короче, чем его собственная длина, на 27 метров.

Если он едет со скоростью 0.9c, γ ≈ 2.29:

L = 200 / 2.29 ≈ 87 метров

Уже больше чем вдвое короче.

При 0.99c, γ ≈ 7:

L = 200 / 7 ≈ 29 метров

При 0.999c, γ ≈ 22.4:

L = 200 / 22.4 ≈ 9 метров

При v → c, L → 0. Поезд для внешнего наблюдателя становится бесконечно «сплющенным» по направлению движения. Сам поезд при этом, в собственной системе, никак не меняется — он по-прежнему 200 метров.

Это не оптический эффект. Это не как когда мчится автомобиль и мы видим его «сжатым» из-за того, что свет от заднего и переднего бамперов доходит до нас с задержкой. Это измеренное сокращение. Если вы поставите два датчика на платформе на расстоянии 9 метров друг от друга и прокатите между ними тот поезд (со скоростью 0.999c, например), датчики честно зарегистрируют, что поезд проходит через них в одном и том же положении одновременно — то есть его длина в вашей системе действительно 9 метров.

И не путайте это с релятивистским «искажением картинки», которое тоже существует, но это — другой эффект. Тот, когда наблюдатель видит, как объект кажется повёрнутым (это эффект Террелла-Пенроуза). А реальное измеренное сокращение — это чисто кинематическое явление, не зависящее от того, как свет до нас доходит.

Только в направлении движения

Очень важный нюанс, который полезно проговорить отдельно.

Сокращение длин происходит только в направлении движения. Размеры, перпендикулярные направлению движения, не меняются.

Если поезд длиной 200 м и шириной 3 м едет вдоль оси x со скоростью V, то для внешнего наблюдателя его длина (вдоль x) сократится по формуле L = L₀/γ. А ширина (вдоль y) — останется ровно 3 метра.

Это не очевидно с первого взгляда, и есть тонкое геометрическое доказательство (через мысленный эксперимент с двумя одинаковыми кольцами, одно из которых вращается). Если бы поперечные размеры тоже сокращались — получилось бы противоречие с тем, что движение симметрично (кто кого видит сокращенным).

Заметьте, это означает, что предмет, движущийся со скоростью близкой к c, для внешнего наблюдателя выглядит сплющенным в направлении движения, но не «уменьшенным во все стороны». Шар, например, превратился бы в «блин». А обычный кубик — в прямоугольный параллелепипед, у которого одна сторона короче двух других.

В световых часах из прошлой главы — мы поставили зеркала вертикально (поперёк движения), и расстояние между ними оставалось L. Это и было то самое предположение «поперечные размеры не меняются». Сейчас мы видим, что это предположение оправдано.

Симметрия — и обратно

Как и в случае с замедлением времени, эффект симметричен. Маша видит, что Петин поезд сокращён. Но и Петя в своей системе отсчёта — где он покоится, а Маша и её платформа движутся со скоростью V в обратную сторону, — видит, что Машина платформа сокращена. Если у Маши на платформе стоит линейка длиной 1 метр, то для Пети эта линейка короче — её длина 1/γ метра.

«Как же так? Они оба видят друг друга короче? Кто из них на самом деле короче?»

Та же ситуация, что и с временем: ни один из них не «на самом деле» короче. Они оба правы. Каждый правильно описывает свою собственную систему отсчёта. А чтобы выяснить «правду», им пришлось бы напрямую сравнить, — но это требует остановки и встречи, что нарушает симметрию инерциальных систем.

И опять — никакого противоречия. Просто очень контринтуитивный мир.

Парадокс шеста и сарая

Теперь — самое весёлое в этой главе. Это, может быть, самый знаменитый «парадокс» специальной теории относительности после парадокса близнецов. Звучит он так.

Условие. Есть сарай длиной 10 метров. У него есть передняя дверь и задняя дверь, обе на расстоянии 10 м друг от друга. Обе двери могут открываться и закрываться независимо.

Есть шест длиной 20 метров. Если попытаться поместить шест в сарай в обычной жизни — он не поместится. Шест в два раза длиннее сарая.

Но! Представим, что у нас есть очень сильный бегун, который может разогнать шест до скорости 0.866c. При этой скорости γ = 2. Значит, для наблюдателя в сарае шест, движущийся мимо со скоростью 0.866c, сокращается с 20 метров до 10 метров. И в этот момент он точно влезает в сарай — ровно по длине.

Поэтому давайте сделаем такой трюк. Бегун проносит шест через сарай со скоростью 0.866c. Наблюдатель в сарае стоит у входа. В тот момент, когда задний конец шеста заходит в переднюю дверь, наблюдатель быстро её закрывает. И тут же — поскольку шест сократился до 10 м, и его передний конец сейчас как раз у задней двери — открывает заднюю дверь, чтобы шест из неё вылетел.

Так в какой-то момент шест целиком оказывается внутри сарая с обеими закрытыми дверями. Это уже забавно — шест в два раза длиннее сарая, и при этом помещается внутри. Но это не парадокс. Это просто следствие сокращения длин.

А вот парадокс начинается, когда мы посмотрим на ту же ситуацию с точки зрения бегуна.

Для бегуна шест покоится — это его система отсчёта. И длина шеста для него — 20 метров (его собственная длина). А вот сарай движется ему навстречу со скоростью 0.866c. И длина сарая в его системе сокращается — с 10 метров до 5 метров.

То есть для бегуна сарай — это вообще маленькая будка длиной 5 метров. И в неё пытаются впихнуть шест длиной 20 метров. Шест в четыре раза длиннее сарая. Никак он туда не помещается!

Как же так? Для наблюдателя в сарае шест целиком влез в сарай (10 м поместились в 10 м). Для бегуна — шест категорически не помещается (20 м не помещаются в 5 м). Кто прав?

Разрешение

Разгадка в том, что ситуация описывается двумя разными наблюдателями, и они расходятся в том, что считать «одновременным». А ведь именно от «одновременности» зависит, оба ли в один момент двери сарая закрыты!

Давайте посмотрим внимательно.

В системе наблюдателя в сарае. Двери срабатывают одновременно (или, если по очереди — мы можем построить эксперимент так, чтобы был такой один момент, когда обе закрыты и шест внутри). Шест сокращён до 10 метров. Всё помещается. Никакого противоречия.

В системе бегуна. Двери срабатывают не одновременно. То, что одновременно для наблюдателя в сарае, для бегуна разнесено во времени. С точки зрения бегуна, события происходят в другом порядке:

- Сначала открывается задняя дверь сарая. - Передний конец шеста влетает в неё. - Дальше шест продолжает лететь, потом передний конец выходит из задней двери, и эта дверь закрывается за ним. - Только потом задний конец шеста достигает передней двери, и она закрывается.

То есть в системе бегуна события «закрытие передней двери» и «закрытие задней двери» происходят в разное время. И в любой момент времени по часам бегуна в сарае находится только часть шеста — другая часть либо ещё не залетела, либо уже вылетела. Шест в сарае целиком никогда не оказывается.

И это полностью согласуется с наблюдателем в сарае! Просто для него «момент, когда обе двери закрыты», существует — а для бегуна этот момент не существует, потому что двери закрываются не одновременно.

Оба наблюдателя описывают физически одну и ту же последовательность событий — но порядок и одновременность этих событий у них разные. И именно поэтому из них «уходит» парадокс. Никаких противоречий с реальностью нет. Есть просто два равноправных описания одной и той же истории, и они отличаются в порядке описания.

Что общее во всех этих ситуациях

Если оглянуться на главы 8, 9 и 10 — мы три раза столкнулись с кажущимся парадоксом, и каждый раз он рассыпался от одной и той же мысли: одновременность относительна.

- Молнии, одновременные для Маши, не одновременные для Пети. - Часы, идущие медленнее друг друга «одновременно». - Двери, одновременно закрытые в системе сарая, не одновременно закрытые в системе бегуна.

Это, повторюсь, самая важная мысль всей специальной теории. Если она у вас прочно сидит — с любым «парадоксом» вы справитесь. Если кажется зыбкой — стоит вернуться к 8-й главе и перечитать.

Что мы узнали в этой главе

- Длина движущегося предмета в направлении движения сокращается: L = L₀ / γ. - Это — необходимое дополнение к замедлению времени. Без сокращения длин картина мира была бы противоречивой (мюоны не долетали бы и т.д.). - Сокращение происходит только в направлении движения; поперечные размеры не меняются. - Эффект симметричен: оба инерциальных наблюдателя видят друг друга сокращёнными. - Парадокс шеста и сарая — иллюстрация того, что разные наблюдатели не согласны не только в длинах, но и в порядке событий. Это разрешается через относительность одновременности, без всяких противоречий.

Вопросы для размышления

1. Если предмет движется поперёк направления наблюдения (скажем, по горизонтали мимо вас), он сокращён в направлении движения. А если он движется в вашу сторону (от вас или к вам)? Что вы измерите как «длину» — и как изменится этот ответ из-за сокращения?

2. Допустим, по комнате летит мяч со скоростью 0.99c. Для вас он сплющен в направлении движения. А что будет, если вы возьмёте его (мысленно — без замедления) и положите на стол? Когда он покоится, у него снова шарообразная форма. То есть, перестав двигаться, он «расширился». Где же находится его «настоящая» форма?

3. Парадокс шеста и сарая мы разобрали для жёстких объектов. Но шест-то — на самом деле не идеально жёсткий. Если попробовать резко остановить переднюю дверь, шест внутри неё... что? Сожмётся? Изогнётся? Сломается? (Намёк: в теории относительности «идеально жёстких» тел вообще не бывает — никакое возмущение не может распространяться по телу быстрее c. Стенки шеста просто не успеют узнать, что произошло.)

Следующая глава — самый знаменитый «парадокс» теории относительности, в который верит даже народный фольклор. Парадокс близнецов.

Глава 11. Парадокс близнецов

В 1911 году французский физик Поль Ланжевен сформулировал мысленный эксперимент, который потом войдёт во все учебники физики и в массовую культуру под названием «парадокс близнецов».

Сюжет такой.

Жили-были два брата-близнеца, Алёша и Боря. Им по двадцать лет. Алёша остаётся на Земле. Боря садится в звездолёт, разгоняется до огромной скорости, скажем, 0.8c, летит к ближайшей звезде на расстоянии 4 световых года, разворачивается там и возвращается на Землю.

Сколько лет каждому из них, когда они снова встречаются?

Если разобрать обычным образом — с точки зрения Алёши, оставшегося на Земле, — получается так. Туда лететь 4 светолета со скоростью 0.8c — то есть 4/0.8 = 5 лет. Обратно — ещё 5 лет. Всего — 10 лет по Земным часам. Алёше становится 30 лет.

Боря в ракете летит со скоростью 0.8c, его γ = 1/√(1 − 0.64) = 1/√0.36 = 1/0.6 ≈ 1.667. Замедление времени — в 1.667 раза. То есть его 10 земных лет — это 10/1.667 = 6 лет по его часам. Боре, когда он возвращается, становится 26 лет.

Разница в возрасте — 4 года. Алёша на 4 года старше брата.

Это удивительно, конечно. Двое родились в один день, и один теперь старше другого на 4 года. Но это не парадокс. Парадокс возникает, если мы посмотрим на ситуацию с точки зрения Бори.

Боря же тоже наблюдатель в инерциальной системе отсчёта... Или нет?

В чём парадокс

Парадокс звучит так. Принцип относительности (наш первый постулат) говорит: все инерциальные системы отсчёта равноправны. Каждая может считать себя «покоящейся», а другие — движущимися.

Если рассуждать с точки зрения Бори в ракете: это не он движется, это Земля и Алёша движутся относительно него со скоростью 0.8c в обратную сторону. И тогда по симметрии — Алёшины часы должны идти медленнее. И, значит, Алёша должен оказаться моложе!

Получается, мы должны прийти к противоречию. По первому рассуждению Боря моложе. По второму — Алёша моложе. Но они же встретятся в одной точке пространства, и тогда их возраст можно прямо сравнить — кто-то должен быть старше. Объективно. Одно из двух.

Так в чём же истинная правда?

Где обман

Дело вот в чём. Принцип относительности справедлив для инерциальных систем отсчёта. То есть для тех, которые не ускоряются.

Алёша на Земле — инерциальный. (Мы, как договорились ещё в первой главе, пренебрегаем медленным вращением Земли и движением по орбите. С хорошей точностью Алёша всё путешествие провёл в одной инерциальной системе отсчёта.)

А Боря в ракете? Боря не инерциальный. Чтобы добраться от Земли до звезды и обратно, ему нужно по крайней мере развернуться возле звезды. А разворот — это ускорение: меняется направление скорости. Кроме того, ему ещё надо стартовать с Земли (это разгон) и тормозить при возвращении (это тоже ускорение, со знаком минус).

Если он сделал всё это очень быстро (разогнался почти мгновенно, развернулся почти мгновенно, затормозил почти мгновенно), то большую часть путешествия он провёл в инерциальной системе. Но не в одной. До разворота он был в одной инерциальной системе (летящей к звезде со скоростью +0.8c). После разворота — в другой инерциальной системе (летящей в обратную сторону, со скоростью -0.8c).

В этом и есть несимметричность ситуации. Алёша всё время был в одной инерциальной системе. Боря — нет, он сменил систему. И симметрия между ними сломана.

Принцип относительности не позволяет провести симметричный анализ — потому что один из участников не сохраняет одну инерциальную систему отсчёта во всё путешествие. Аргумент «Боря тоже может считать, что он покоится, а Земля движется» работает между разворотами, но не работает во время разворота. А именно в разворот и спрятана вся асимметрия.

И поэтому ответ из первого анализа — правильный. Боря возвращается моложе. Боре 26, Алёше 30.

Хорошо, но что происходит во время разворота?

Это хороший вопрос. Давайте подумаем глубже.

Если мы посмотрим на ситуацию на каждом из двух участков:

- На участке «туда» Боря — в инерциальной системе. Если он считает себя покоящимся, то Алёша движется со скоростью 0.8c. По его часам Алёшины часы идут медленнее в 1.667 раза. На этом участке (5 земных лет, или 3 года по Бориным часам) Алёшины часы для Бори отстают на 3·(1 − 1/γ) ≈ 1.8 года. - На участке «обратно» Боря — в другой инерциальной системе, но снова инерциальный. И снова считает, что Алёша движется, теперь в другую сторону. И снова Алёшины часы идут медленнее. И снова отстают, ещё на 1.8 года по Бориному счёту.

То есть на двух «инерциальных» участках Боря должен бы считать, что Алёша моложе — суммарно лет на 3.6.

А разница в возрасте на самом деле — 4 года, и Алёша старше. То есть на участках Боря «потерял» примерно 7.6 лет (с учётом, что Боря провёл в полёте 6 лет — то есть 6 − 0 = 6 лет своего, плюс должен был бы наблюдать, что Алёша отстаёт ещё на 3.6 года, то есть в финале счёл бы Алёшу на 3.6 года моложе себя; а на самом деле Алёша старше его на 4 года; разница — 7.6 лет).

Где эти 7.6 лет? Они «возникают» в момент разворота. Когда Боря разворачивается, происходит резкий «скачок» в его представлении об «одновременности» — то есть в том, в какой момент по часам Алёши находится Боря «сейчас».

Подробнее. До разворота Боря считал, что «сейчас» по Алёшиным часам — это, грубо говоря, тоже момент времени. После разворота — Боря находится в другой инерциальной системе, где «сейчас» по Алёшиным часам — это совсем другой момент. И при разворота это «сейчас» резко прыгает вперёд.

Эта «прыгающая одновременность» — настоящая, физическая. Не математический фокус. Это и есть то, что приводит к итоговой разнице в возрасте.

Если разворот делается не мгновенно, а плавно (с конечным ускорением), всё остаётся согласовано: во время плавного разворота Боря находится в неинерциальной системе, и для него Алёшины часы (далеко от него, у звезды на 4 световых годах) не просто продолжают идти медленнее, а идут быстрее — потому что меняется само понятие одновременности. Этот эффект описывается уже общей теорией относительности и тут немножко вне рамок главы.

Но главное — нету никакого противоречия. Просто наивная симметрия «Боря может считать себя покоящимся» сламывается из-за ускорения.

Почему именно ускоривший — моложе

Тут возникает естественный вопрос: «Хорошо, разворот ломает симметрию, но как именно? Почему именно ускоривший (Боря) оказывается моложе, а не наоборот?»

Это, на самом деле, очень глубокий вопрос, и я отвечу на него двумя способами.

Ответ первый, формальный. Если посмотреть на формулу замедления времени, то γ зависит от скорости. А скорость движения тела в инерциальной системе отсчёта (например, Алёшиной) — это объективная величина. У Бори за всё путешествие скорость относительно Алёши никогда не была равна нулю. Боря всё время чем-то двигался относительно Алёши. А значит, его часы по Алёшиным меркам всё время шли медленнее. Каждый сантиметр пути — медленнее. Каждая секунда полёта — медленнее. Накопилось.

Тогда как Алёша в своей собственной системе всегда покоился — γ для него равен 1. Его часы шли «нормально».

С точки зрения Алёши всё прозрачно: «Я был в покое. Боря всё время двигался — то так, то сяк, но двигался. Его часы всё время отставали. Когда вернулся, он моложе. Логично».

Ответ второй, более глубокий. Если посмотреть на это с точки зрения геометрии пространства-времени (а это мы сделаем в Части III), то путь Алёши через пространство-время — это «прямая» (короткое и красивое слово для «геодезическая»). Путь Бори — это «изломанная» линия, с разворотом посередине.

Удивительный факт: в геометрии пространства-времени (это та геометрия, которая называется «псевдоевклидовой») — прямые линии — это пути с самым большим, а не самым маленьким временем.

Парадоксально, но так. Если из точки А в точку Б идут две траектории — одна прямая (без ускорений), другая ломаная (с ускорением), — то на прямой проходит больше времени, чем на ломаной.

Это полный аналог обычной геометрии, но «с другим знаком». В обычной геометрии прямая — это самый короткий путь (по теореме «прямая короче ломаной»). В геометрии пространства-времени прямая — это самый долгий путь.

Так что Алёша «провёл» в пути из точки «старт-разлуки» в точку «встреча-возвращение» 10 лет — он шёл прямо. Боря — 6 лет, он шёл ломаным. Алёша «выиграл» 4 года, как путник, который пошёл прямой дорогой, а не в обход.

Это глубоко красиво. Когда мы доберёмся до диаграмм Минковского, у нас будет картинка, и всё это станет совершенно наглядным.

Это правда?

Опять же, вопрос: «А это всё точно происходит, или это математический трюк?»

И опять же: это подтверждено экспериментально. Не с близнецами — но с часами и с частицами.

Самый чёткий случай — это уже упомянутый эксперимент Хафеле-Китинга в 1971 году. Атомные часы, летавшие на самолётах, после возвращения отставали от контрольных часов, оставшихся в обсерватории. Часы, которые провели путь — «постарели» меньше, чем часы, оставшиеся «в покое». Это в точности парадокс близнецов в миниатюре.

Ещё показательнее — наблюдения в ускорителях частиц. Например, мюоны, которые в кольцевом ускорителе крутятся со скоростью почти c. Они «летают по кругу» — то есть постоянно ускоряются (центростремительно). Их время жизни увеличивается в десятки раз по сравнению с покоящимися мюонами — точно как предсказывает теория. Это, по сути, классический парадокс близнецов: «брат-мюон», летающий по кругу, живёт намного дольше «брата-мюона», стоящего на месте.

В современной физике это рутина. Никакой загадки в парадоксе нет; есть только асимметрия инерциальных и неинерциальных систем, и она однозначно говорит: ускорявшийся стареет медленнее.

Можно ли долететь до Альфы Центавра?

Поскольку парадокс близнецов открывает возможность «прыгнуть в будущее», давайте сделаем чуть более интересные оценки.

Альфа Центавра — ближайшая к Солнцу звёздная система, в 4.4 световых годах от нас. Это значит: луч света летит туда 4.4 года. Если бы мы могли разогнать корабль до скорости 0.99c, то γ ≈ 7, и корабль покрыл бы это расстояние за... сколько по корабельным часам?

Считаем. Время полёта по часам внешнего наблюдателя на Земле: 4.4 / 0.99 ≈ 4.45 года. Корабельное время: 4.45 / 7 ≈ 0.64 года, то есть около 8 месяцев.

Туда-обратно — 16 месяцев по корабельным часам. И около 9 лет по часам на Земле.

То есть путешественник, отправившийся в полёт двадцатилетним, вернётся «по своим часам» 21-летним, а на Земле прошло 9 лет. Друзья и родственники постарели на 9 лет, а он — на год.

При скорости 0.9999c (γ ≈ 70) — туда и обратно за... 70-кратно меньше. Это уже считанные дни корабельного времени, а на Земле — те же 9 лет.

Можно ли в обозримом будущем построить такой корабль? Очень вряд ли. Энергозатраты на разгон до релятивистских скоростей — космические. Чтобы разогнать корабль массой одна тонна до 0.99c, нужно энергии больше, чем человечество производит за десятилетия. И это только разгон; ещё надо тормозить.

Но в принципе — да, по законам теории относительности так можно. И тогда межзвёздные путешествия становятся возможными за человеческую жизнь — для того, кто летит. Не для того, кто остался.

В этом, кстати, и весь сюжет фантастики про межзвёздные перелёты: герои возвращаются, а вместо знакомых им людей встречают их далёких потомков. Это не выдумка — это прямое следствие парадокса близнецов.

Что мы узнали в этой главе

- Парадокс близнецов: один близнец летает в космос на высокой скорости, второй остаётся на Земле. При встрече первый оказывается моложе. - Это не парадокс, потому что они не симметричны: путешественник в какой-то момент ускоряется (для разворота), а оставшийся — всё время в инерциальной системе. - Численно: при полёте к звезде в 4 световых годах со скоростью 0.8c (γ ≈ 1.67), путешественник возвращается на 4 года моложе домоседа. - Подтверждено экспериментально — атомные часы в самолётах, мюоны в ускорителях. - В геометрии пространства-времени это означает: прямые пути (без ускорения) — это пути с максимальным собственным временем. Изломанные — пути с меньшим временем. - Парадокс открывает путь в будущее: путешественник может вернуться на Землю «через сотни лет», постарев на годы. Машина времени в одну сторону.

Вопросы для размышления

1. Если близнец полетит вокруг Земли по очень большой окружности (например, по гигантской орбите) с постоянной по модулю скоростью — он будет всё время ускоряться (центростремительно), но никогда не «развернётся резко». Будет ли он стареть медленнее? Если да — то на сколько?

2. Допустим, два близнеца отправились в полёт оба, одновременно, с Земли в противоположные стороны, оба на скорости 0.8c, оба развернулись и вернулись на Землю. Они вернулись в один и тот же момент — но симметрично. Кто из них оказался моложе? Что покажут их часы относительно земных?

3. Можно ли использовать парадокс близнецов, чтобы попасть в прошлое? Если нет — какое именно фундаментальное препятствие к этому?

Следующая глава — формула пересчёта координат, замена преобразований Галилея. Преобразования Лоренца — те самые, которые Лоренц и Пуанкаре почти угадали, но не разглядели, что они означают.

Глава 12. Преобразования Лоренца — новая формула пересчёта

Во второй главе мы записали, как в классической физике пересчитываются координаты события из одной инерциальной системы в другую — преобразования Галилея:

x' = x − V·t t' = t

Они опирались на два допущения. Первое — что пространственный сдвиг между системами просто пропорционален времени (это бесспорно). Второе — что время одно для всех (это и есть то, что Эйнштейн отверг).

Теперь, после трёх глав, в которых мы убедились, что время разное у разных наблюдателей, нужно записать новые формулы. Те, что заменят преобразования Галилея и при этом дадут правильное значение скорости света c во всех инерциальных системах.

Эти формулы называются преобразованиями Лоренца — по имени человека, который вывел их за десять лет до Эйнштейна, но не разглядел их подлинного смысла.

В этой главе мы их запишем, посмотрим, как они выглядят, как из них восстанавливаются преобразования Галилея на маленьких скоростях, и почему они — единственно возможные при двух эйнштейновских постулатах.

Что мы хотим получить

Сформулируем задачу строго. У нас две инерциальные системы:

- K — система Маши, в которой она стоит на платформе. Координаты в K — (x, t). - K' — система Пети, движущегося со скоростью V вдоль оси x в положительном направлении. Координаты в K' — (x', t').

Договариваемся: в момент t = t' = 0 начала систем K и K' совпадают.

Хотим найти формулы, выражающие (x', t') через (x, t). Такие, чтобы выполнялись:

1. Принцип относительности. Формулы должны быть симметричны: если из K в K' пересчёт идёт со скоростью V, то из K' в K — со скоростью −V (просто меняем знак). И обратная формула должна получаться заменой V → −V и переставлением штрихов. 2. Постоянство скорости света. Если в системе K луч света движется со скоростью c, то в системе K' он тоже должен двигаться со скоростью c. 3. Соответствие с классикой. На малых скоростях (V много меньше c) формулы должны переходить в преобразования Галилея. 4. Линейность. Преобразования должны быть линейными по координатам — потому что свободно движущиеся (без сил) частицы должны оставаться свободно движущимися в обеих системах, а это требует, чтобы прямые в (x, t) переходили в прямые в (x', t').

Этих требований, как оказывается, достаточно, чтобы однозначно определить вид формул. Я не буду здесь проводить строгий вывод (он есть во многих учебниках и в Приложении B), а просто запишу результат и убедимся, что он работает.

Сами преобразования

Барабанная дробь.

x' = γ · (x − V·t) t' = γ · (t − V·x/c²)

Где γ — наш гамма-фактор, γ = 1/√(1 − V²/c²).

Это и есть преобразования Лоренца.

Сравните с преобразованиями Галилея. В Галилеевых стояло просто x' = x − Vt и t' = t. У Лоренца:

- В формуле для x' появился множитель γ перед скобкой. - В формуле для t' появился множитель γ — и, что важнее, в скобке появилось слагаемое −V·x/c². Время теперь зависит не только от t, но и от x! Это и есть формализация относительности одновременности.

Слагаемое V·x/c² на первый взгляд выглядит странно: с какой стати время в одной точке зависит от пространственной координаты? Но это и есть математический смысл того, что одновременность относительна: события, происходящие в разных точках x в один момент t (в системе Маши), для Пети происходят в разные моменты t' — и сдвиг тем больше, чем больше x.

Проверка: возвращаем классику на малых скоростях

Когда V много меньше c, дробь V/c — маленькая, V²/c² — ещё меньше, и γ ≈ 1. И слагаемое V·x/c² тоже маленькое (если только x не астрономическое). Тогда:

x' ≈ 1 · (x − V·t) = x − V·t t' ≈ 1 · (t − 0) = t

— то есть в точности преобразования Галилея. Так что классика — это частный случай Лоренца. Не «другая теория», а просто приближение, которое отлично работает в области бытовых скоростей.

Сейчас обычно говорят: «механика Ньютона — это предел релятивистской механики при v/c → 0». Это правильное, точное утверждение.

Проверка: свет двигается со скоростью c в обеих системах

Это — самое важное. Проверим. Допустим, в системе Маши луч света движется в положительном направлении оси x со скоростью c. То есть его положение в системе Маши описывается уравнением:

x = c·t

Подставим в формулы Лоренца:

x' = γ · (c·t − V·t) = γ · t · (c − V) t' = γ · (t − V·(c·t)/c²) = γ · t · (1 − V/c) = γ · t · (c − V)/c

Тогда

x'/t' = [γ · t · (c − V)] / [γ · t · (c − V)/c] = c

То есть x' = c · t', то есть в системе Пети луч света тоже движется со скоростью c. Постулат соблюдён.

Если бы вы выполнили аналогичный расчёт для преобразований Галилея, у вас получилось бы, что свет в системе K' движется со скоростью c − V, не c. И это бы противоречило второму постулату.

В этом и есть вся суть. Преобразования Лоренца — это математическая форма того, чтобы скорость света была одинакова во всех инерциальных системах.

Обратные преобразования

Иногда нам нужно пересчитать в обратную сторону — из K' в K. Это легко: по принципу относительности, обратное преобразование — это то же самое, но со скоростью −V (потому что для Пети Маша движется в обратную сторону со скоростью −V) и перевёрнутыми штрихами:

x = γ · (x' + V·t') t = γ · (t' + V·x'/c²)

Обратите внимание на изменение знака слагаемого с V. В прямом преобразовании было «минус», в обратном — «плюс». В остальном — симметрично.

Что чувствует физика в этих формулах

Если присмотреться к преобразованиям Лоренца, в них видны все эффекты, о которых мы говорили в предыдущих главах.

Замедление времени. Возьмём часы, неподвижно стоящие в системе Пети. Их положение всё время x' = 0 (всегда у Петиного начала координат). Подставим в обратное преобразование при x' = 0:

t = γ · t'

То есть Машино время t пропорционально Петиному времени t' с множителем γ. Если по Петиным часам прошло t' = 1 секунда, то по Машиным часам прошло γ секунд. Машины часы насчитывают больше — то есть Петины часы для Маши идут медленнее в γ раз. Точно то, что мы вывели в главе 9.

Сокращение длин. Возьмём линейку, покоящуюся в системе Пети с длиной L₀ (от x' = 0 до x' = L₀). В системе Маши надо измерить положения её концов одновременно по Машиным часам — пусть в момент t. Чему равны эти положения по x?

Применим прямое преобразование. Если событие происходит в Машиной точке x в момент t, то в Петиной системе ему соответствует:

x' = γ · (x − V·t)

Для заднего конца линейки x' = 0, значит x = V·t. Для переднего x' = L₀, значит x = V·t + L₀/γ.

Разница (длина линейки в Машиной системе): L₀/γ. Опять — точно как в главе 10.

Относительность одновременности. Возьмём два события, происходящих в системе Маши в один момент t, но в разных точках x₁ и x₂. Какие у них времена в Петиной системе?

t'₁ = γ · (t − V·x₁/c²) t'₂ = γ · (t − V·x₂/c²)

Разница:

t'₂ − t'₁ = γ · V · (x₁ − x₂)/c² = −γ · V · (x₂ − x₁)/c²

Это разница не нулевая. То есть в Петиной системе эти два события не одновременны — они разнесены во времени на γ·V·Δx/c² (где Δx — расстояние между событиями).

Это и есть формальный вид «относительности одновременности», который мы качественно обсуждали в главе 8.

Все три эффекта сразу видны в одной паре формул. Это и есть та красота, ради которой стоит проходить чуть-чуть формализма: компактная запись, из которой всё вытекает автоматически.

Замечание о размерности

Если присмотреться, в формулах Лоренца у нас рядом стоят величины t и V·x/c² — разные размерности, но в скобке они складываются. Как это сходится по размерности?

t — секунды. V·x/c² — это (м/с)·м/(м/с)² = (м/с)·м·с²/м² = с. Тоже секунды. Сходится.

В физике часто, чтобы избавиться от множителей c и красиво писать формулы, переходят к «геометрическим единицам», где скорость измеряется в долях c. Тогда c = 1 (безразмерная единица), и формулы становятся изящнее:

x' = γ · (x − V·t) t' = γ · (t − V·x)

Где V — это уже доля скорости света (V = 0.5 значит «половина скорости света»). Так удобнее работать в теоретической физике. Мы пока этим пользоваться не будем — будем для ясности писать c явно, — но запомните: за этим стоит важная идея, что пространство и время — это однородные геометрические объекты, и c — просто единица перевода между «секундами» и «метрами».

Об этом мы будем больше говорить в Части III.

Группа Лоренца

Маленькое забегание вперёд.

Преобразования Лоренца обладают одним очень важным свойством: они образуют группу. Это математический термин, означающий, что:

- Если применить одно преобразование Лоренца (со скоростью V₁), потом другое (со скоростью V₂), — результат тоже будет преобразованием Лоренца, но с какой-то третьей скоростью V₃. Не V₁ + V₂ (как было бы по Галилею), а с более сложной формулой, о которой мы поговорим в следующей главе. И это снова Лоренц, не что-то новое. - Среди преобразований Лоренца есть «тождественное» — оно ничего не меняет (это соответствует V = 0). - Для каждого преобразования есть обратное (с противоположной скоростью).

Это значит, что переход между любыми двумя инерциальными системами — это всегда преобразование Лоренца. Внутренний мир этих преобразований замкнут на себя.

Технически это назвается группой Лоренца. Если добавить ещё сдвиги начала координат (свободу выбора, где у нас «нулевая точка» пространства и нулевая точка времени), получается группа Пуанкаре. Это, в каком-то смысле, группа симметрий нашей Вселенной. Все физические законы должны быть инвариантны относительно этой группы — то есть выглядеть одинаково после применения любого преобразования из неё.

Это формализация принципа относительности на математическом языке. И этот язык, развитый в XX веке, оказался настолько мощным, что лежит в основе всей современной теоретической физики, включая квантовую теорию поля.

В Части III и далее мы с этим аппаратом будем работать плотнее.

Не путать с обычными поворотами — пока

Если у вас есть знакомство с обычной геометрией, вы знаете, что повороты двумерной плоскости вокруг начала координат тоже описываются преобразованиями координат:

x' = x · cos θ − y · sin θ y' = x · sin θ + y · cos θ

Где θ — угол поворота.

Преобразования Лоренца похожи по структуре, но с одним замечательным отличием. Если в обычных поворотах синусы и косинусы делают расстояние x² + y² инвариантным (не меняется при повороте), то в преобразованиях Лоренца роль «расстояния» играет величина c²t² − x², и она тоже остаётся инвариантной при пересчёте.

Это и есть та геометрия пространства-времени, о которой мы будем говорить в части III. Преобразования Лоренца — это «повороты в плоскости (x, t)», но в новой, неевклидовой геометрии. Минковский это разглядел в 1908 году и развил в полноценную теорию.

Пока что, я думаю, мы ушли достаточно глубоко в формализм. Этих формул нам хватит для всех практических расчётов в Части II.

Что мы узнали в этой главе

- Преобразования Галилея заменяются преобразованиями Лоренца: - x' = γ · (x − V·t) - t' = γ · (t − V·x/c²) - В пределе малых скоростей (V много меньше c) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея — то есть классика восстанавливается. - Преобразования Лоренца устроены так, что скорость света остаётся равной c во всех инерциальных системах — это и есть второй постулат. - В преобразованиях Лоренца автоматически зашиты все эффекты: замедление времени, сокращение длин, относительность одновременности. - Все преобразования Лоренца образуют математическую группу — это формальная форма принципа относительности. - Преобразования Лоренца — это, по сути, «повороты» в плоскости (x, t) в особой неевклидовой геометрии — но об этом подробнее в Части III.

Вопросы для размышления

1. Возьмите событие в системе Маши с координатами (x = 1 км, t = 1 мкс). Маша считает, что событие произошло «на расстоянии километр, через микросекунду после начала отсчёта». Что увидит Петя, движущийся со скоростью 0.5c в положительном направлении? (Подставьте в формулы и посчитайте; c в км/мкс — это ровно 0.3.)

2. Из формулы для t' видно: при V·x/c² ≥ t у нас может получиться t' ≤ 0. То есть событие, происходящее «после момента 0» по часам Маши, может произойти «до момента 0» по часам Пети. А может ли это привести к нарушению причинности — например, чтобы причина оказалась после следствия?

3. Если поезд Пети движется со скоростью V = c (если бы это было возможно), что произошло бы с формулами Лоренца? (Намёк: γ = 1/√0 = бесконечность. И само понятие «инерциальной системы, движущейся со скоростью c» некорректно.)

Следующая глава — как из преобразований Лоренца автоматически вытекает новая, релятивистская формула сложения скоростей. И почему скорость света нельзя обогнать.

Глава 13. Сложение скоростей по-новому

В главе 2 мы вывели классический закон сложения скоростей: если по поезду, идущему со скоростью V, бежит официант со скоростью u, его скорость относительно платформы равна v = V + u. Простое сложение. И весь повседневный опыт это подтверждает.

В главе 7 мы уже видели, что эта формула вступает в прямое противоречие с постулатом постоянства скорости света. Если бы V + u всегда давала правильную скорость, то добавляя к скорости 0.5c ещё 0.5c, мы получили бы c. А добавив к c ещё какую-то скорость — что-то больше c. Что противоречит второму постулату.

Значит, закон сложения скоростей в специальной теории относительности — другой. В этой главе мы его выведем (из преобразований Лоренца — это два шага алгебры) и посмотрим, как он работает. И увидим, что у этого закона есть одно потрясающее свойство: сколько бы скоростей вы ни складывали, c вы никогда не превзойдёте.

Это и есть формальное «нельзя обогнать свет».

Получаем формулу

Ситуация — стандартная. По системе Пети (K'), движущейся относительно Маши (K) со скоростью V, бежит официант со скоростью u' (в собственной Петиной системе). Какова его скорость u в системе Маши?

В классике мы получили бы u = V + u'. Теперь — посмотрим.

Что значит «бежит со скоростью u' в Петиной системе»? Это значит, что за время Δt' (по Петиным часам) официант сдвигается на Δx' (по Петиным меркам), причём Δx'/Δt' = u'.

В Машиной системе у нас будут какие-то Δx и Δt, связанные с Δx' и Δt' через преобразования Лоренца. Запишем их (для дельт это работает точно так же, как для самих координат, потому что преобразования линейны):

Δx = γ · (Δx' + V·Δt') Δt = γ · (Δt' + V·Δx'/c²)

Скорость в Машиной системе:

u = Δx / Δt = [γ · (Δx' + V·Δt')] / [γ · (Δt' + V·Δx'/c²)]

Множители γ сокращаются. Делим числитель и знаменатель на Δt':

u = (Δx'/Δt' + V) / (1 + V·(Δx'/Δt')/c²) = (u' + V) / (1 + V·u'/c²)

Получаем формулу:

u = (V + u') / (1 + V·u'/c²)

Это — релятивистский закон сложения скоростей.

Как он работает

В числителе — старая, привычная сумма V + u'. В знаменателе — поправка: 1 + V·u'/c².

На малых скоростях (V и u' гораздо меньше c) поправка V·u'/c² — крошечная, и знаменатель примерно равен 1. Тогда формула даёт u ≈ V + u' — то есть старая, классическая сумма. Это, опять же, согласие с интуицией на бытовых скоростях. Формула работает в обоих режимах: и на маленьких, и на больших скоростях, плавно переходя из одного режима в другой.

А на больших скоростях знаменатель становится существенно больше 1, и сумма уменьшается по сравнению с классической. Это значит: складывать релятивистские скорости получается «не так быстро», как обычные.

Числовые примеры

Пример 1. Поезд идёт со скоростью V = 0.5c. По нему бежит официант со скоростью u' = 0.5c (в той же сторону). Какова его скорость относительно платформы?

Классически: 0.5c + 0.5c = c. Уже подозрительно — мы получили скорость света.

По новой формуле:

u = (0.5c + 0.5c) / (1 + 0.5·0.5) = c / 1.25 = 0.8c

То есть 0.8c, а не c. Меньше, чем классическая сумма. Полностью согласовано с тем, что c — недостижимая верхняя граница.

Пример 2. Та же скорость поезда (V = 0.5c). А по поезду пускают световой луч (u' = c) в направлении движения. Какова его скорость относительно платформы?

u = (0.5c + c) / (1 + 0.5·c·c/c²) = 1.5c / 1.5 = c

То есть c. В точности скорость света. Платформа видит луч, идущий со скоростью c — независимо от того, движется ли поезд. Это и есть наш второй постулат, теперь полученный «вживую» из новой формулы.

Пример 3. Поезд идёт со скоростью 0.99c. Через него летит частица со скоростью 0.99c в том же направлении (тоже относительно поезда). Какова её скорость относительно платформы?

u = (0.99c + 0.99c) / (1 + 0.99·0.99) = 1.98c / 1.9801 ≈ 0.99995c

То есть 0.99995c. По-прежнему меньше c. Даже если складывать почти-световые скорости — результат остаётся под c, лишь подползая ближе.

Пример 4. Это — самый красивый. Складываем c и любую скорость v.

u = (v + c) / (1 + v·c/c²) = (v + c) / (1 + v/c) = (v + c) / ((c + v)/c) = c

То есть c + любая скорость v = c. Скорость света + что угодно = по-прежнему скорость света. Идеально согласовано с постулатом.

Почему c — потолок

Из формулы сложения скоростей очень наглядно видно, что сколько бы скоростей мы ни складывали, ниже c мы остаёмся.

Допустим, у нас есть «лестница» инерциальных систем. Платформа на месте. Поезд относительно платформы — скорость v₁ < c. Поезд внутри поезда (мысленно) — скорость v₂ < c относительно первого поезда. И так далее. Каждое «вложенное» движение имеет скорость меньше c в своей предыдущей системе.

По старой формуле — сложили v₁ + v₂ + v₃ + ... — и быстро превзошли бы c. По новой формуле — никогда не превзойдём.

Это можно показать математически: при сложении любых двух скоростей, обе из которых меньше c, результат тоже меньше c. И никаким сколько-нибудь конечным числом «слоёв» движения вы c не достигнете.

Иными словами, скорость света — это асимптотическая граница, к которой можно сколь угодно близко подобраться, но которую нельзя пересечь. Никаким разгоном, никакими внутренностями движения.

Это, между прочим, имеет важное физическое следствие. Чтобы разогнать массивное тело до скорости, всё более близкой к c, нужна всё более и более большая энергия — и в самом пределе, чтобы разогнать его до c, нужна бесконечная энергия. Это формально вытекает из того, как меняется кинетическая энергия частицы в теории относительности (см. главу 17 про E=mc²). А неформально: c — это потолок не потому, что мы ленивы, а потому, что природа так устроена.

И для движений в обратную сторону

Если u' и V направлены в противоположные стороны — то есть официант бежит против движения поезда, — мы просто берём u' с минусом:

u = (V − u') / (1 − V·u'/c²)

Например, поезд V = 0.5c, а пуля летит назад со скоростью u' = 0.5c относительно поезда. Тогда:

u = (0.5c − 0.5c) / (1 − 0.25) = 0 / 0.75 = 0

То есть для платформы пуля неподвижна. Платформа видит, что пуля висит в воздухе. Это тот же результат, что и классически (0.5c − 0.5c = 0), и кажется естественным.

А если пуля летит назад со скоростью u' = c (свет вспять, относительно поезда), то для платформы:

u = (0.5c − c) / (1 − 0.5) = −0.5c / 0.5 = −c

Минус c. То есть свет относительно платформы движется со скоростью c в обратную сторону (назад). Точно по второму постулату.

Маленькое отступление: поперечные скорости

Я записал формулу для случая, когда официант бежит вдоль направления движения поезда. А если он бежит поперёк — например, идёт через вагон от одной стенки к другой, поперёк движения?

В этом случае формула чуть другая. Если u' — это поперечная скорость в системе Пети (вдоль оси y'), то в системе Маши:

u_y = u'_y · √(1 − V²/c²) / (1 + V·u'_x/c²)

(Здесь u'_x — это продольная компонента, если она есть; если её нет, в знаменателе остаётся просто 1.)

При u'_x = 0:

u_y = u'_y · √(1 − V²/c²) = u'_y / γ

То есть поперечная скорость уменьшается для внешнего наблюдателя на множитель γ. Не из-за «сокращения длин» (поперечные длины не сокращаются), а из-за замедления времени: в системе Пети поперечная скорость u'_y, но Петино время для Маши замедленно, и за единицу Машиного времени поперечное перемещение получается меньше.

Это слегка неинтуитивно, но если разобраться — встаёт на место. Все эти эффекты, в общем-то, изящно вытекают из преобразований Лоренца.