Высшая математика. Шпаргалка

Высшая математика. Шпаргалка

1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение

Координата точки

 – это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.

Прямоугольная система координат

 состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения –

начало координат

О

, ось

ОХ

–

ось абсцисс

, ось

ОY

–

ось ординат

. На осях выбираются масштаб и положительное направление.

Рис. 1

Системы координат

Положение точки

М

 определяется двумя координатами: абсциссой

х

 и ординатой

у

. Записывается так:

М

(

х, у

). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.

Косоугольной системой координат

 аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к

декартовой системе координат

.

Полярная система координат

 состоит из полюса

О

 и

полярной оси

ОХ

, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом

ρ

 (отрезок

ОМ

) и

полярным углом

φ

. Для полярного угла берется его

главное значение

 (от –

π

 до

π

). Числа

ρ, φ

 называются

полярными координатами

 точки

М

.

Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат:

x

 =

r

cos

φ, y

=

 r

sin

φ

 или:

Пусть имеются две точки

М

1

(

х

1

,

у

1

) и

М

2

(

х

2

,

у

2

).

Расстояние между точками:

Общее уравнение прямой линии

 (система координат прямоугольная)

: Ах + Ву + С = 0

(

А

 и

В

 одновременно не равны нулю).

Если В не равно нулю, то уравнение прямой:

у = ах + b

 (здесь

а = – А / В, b = – С / В

). Здесь

а

 есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс,

b

 равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс:

у

=

 b

, уравнение оси абсцисс:

у

 = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат:

х

=

 с

, уравнение оси ординат:

х

= 0.

2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

1. Пусть даны три точки

А

1

 (

х

1

,

у

1

),

А

2

 (

х

2

,

у

2

),

А

3

 (

х

3

,

у

3

), тогда

условие нахождения их на одной прямой

:

либо (

х

2

 –

х

1

) (

у

3

 –

у

1

) – (

х

3

 –

x

1

) (

у

2

 –

у

1

) = 0.

2. Пусть даны две точки

А

1

 (

х

1

,

у

1

),

А

2

 (

х

2

,

у

2

), тогда у

равнение прямой, проходящей через эти две точки

:

(

х

2

 –

х

1

)(

у – у

1

) – (

х – х

1

)(

у

2

 –

у

1

) = 0 или (

х – х

1

) / (

х

2

 –

х

1

) = (

у – у

1

) / (

у

2

 –

у

1

).

3. Пусть имеются точка

М

 (

х

1

,

у

1

) и некоторая прямая

L

, представленная уравнением

у

 =

ах

 +

с

.

Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямой

L

через данную точку

М:

у – у

1

 =

а

(

х – х

1

).

Если прямая

L

 задана уравнением

Ах

 +

Ву

 +

С

 = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку

М

, описывается уравнением

А

(

х – х

1

) +

В

(

у – у

1

) = 0.

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямой

L

через данную точку

М

:

у – у

1

 = –(

х – х

1

) /

а

или

а

(

у – у

1

) =

х

1

 –

х

.

Если прямая

L

 задана уравнением

Ах

 +

Ву

 +

С

 = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку

М

(

х

1

,

у

1

), описывается уравнением

А

 (

у – у

1

) –

В

(

х – х

1

) = 0.

4. Пусть даны две точки

А

1

 (

х

1

,

у

1

),

А

2

 (

х

2

,

у

2

) и прямая, заданная уравнением

Ах

 +

Ву

 +

С =

 0.

Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

1) точки

А

1

,

А

2

 лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (

Ах

1

 +

Ву

1

 +

С

) и (

Ах

2

 +

Ву

2

 +

С

) имеют одинаковые знаки;

2) точки

А

1

,

 А

2

 лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (

Ах

1

 +

Ву

1

 +

С

) и (

Ах

2

 +

Ву

2

 +

С

) имеют разные знаки;

3) одна или обе точки

А

1

,

А

2

 лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (

Ах

1

 + +

Ву

1

 +

С

) и (

Ах

2

 +

Ву

2

 +

С

) принимают нулевое значение.

5. 

Центральный пучок

 – это множество прямых, проходящих через одну точку

М

 (

х

1

,

у

1

), называемую

центром пучка

. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка

у – у

1

 =

к

(

х – х

1

) (

параметр пучка

к

для каждой прямой свой).

Все прямые пучка можно представить уравнением:

l

(

y – y

1

) =

m

(

x – x

1

), где

l, m

 – не равные одновременно нулю произвольные числа.

Если две прямые пучка

L

1

 и

L

2

 соответственно имеют вид (

А

1

х

 +

В

1

у

+

С

1

) = 0 и (

А

2

х

+

В

2

у

+

С

2

) = 0, то уравнение пучка:

m

1

(

А

1

х

 +

В

1

у

 +

С

1

) +

m

2

(

А

2

х

 +

В

2

у

 +

С

2

) = 0. Если прямые

L

1

 и

L

2

 пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.

6. Пусть даны точка

М

(

х

1

,

 у

1

) и прямая, заданная уравнением

Ах + Ву + С = 0

.

Расстояние

d

от

 этой

точки

М

до прямой

:

3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат

Полярными параметрами

 прямой

L

 будут

полярное расстояние

р

 (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и

полярный угол

α

 (угол между осью абсцисс

ОХ

 и перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямую

L

). Для прямой, представленной уравнением

Ах

+

Ву

 +

С

= 0: полярное расстояние

полярный угол

α

причем при

C

> 0 берется верхний знак, при

C

< 0 – нижний знак, при

С

= 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.

Нормальное уравнение прямой

 (уравнение в полярных параметрах) (cм. рис. 2):

x

 cos

α

 +

y

 sin

α – p

 =

0

. Пусть прямая представлена уравнением вида

Ах + Ву + С =

 0. Чтобы данное уравнение привести к нормальному виду необходимо последнее разделить на выражение

 (знак берется в зависимости от знака

С

).

Рис. 2

После деления получается нормальное уравнение данной прямой:

Пусть имеется прямая

L

, которая пересекает оси координат. Тогда данная прямая может быть представлена

уравнением в отрезках

х

 /

а

 +

у

 /

b

= 1. Справедливо: если прямая представлена уравнением

х

 /

а

 +

у

 /

b

= 1, то она отсекает на осях отрезки

а, b

.

Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.

При

переносе начала координат

 справедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точки

М

 были

х, у

, а координаты нового начала в старой системе

О

*(х

0

, у

0

), то координаты точки

М

 в новой системе координат с началом в точке

О

* будут равны

х – х

0

,

у – у

0

 т. е. справедливо следующее

х

 =

х

* +

х

0