Головоломка про гнома и дом «без внутри»

Можно ли построить дом без окон и дверей так, чтобы у него… не было внутренней части — и гнома в нём невозможно было запереть? В выпуске разбирается парадоксальная головоломка с конструктором из одинаковых квадратных панелей: все края должны быть состыкованы, свободных рёбер быть не должно, но при этом «внутри» как будто не должно существовать.

Что обсуждаем
Почему на плоскости (в 2D) такой «заколдованный дом» сделать принципиально нельзя, и как это доказывается через идею инварианта чётности (луч/«лазерная указка» и число пересечений).
​
Как в 3D задача внезапно становится решаемой: разбираем «архитектурное» решение с коробкой, межэтажной перегородкой и двумя «колодцами», которое превращает дом в запутанный проход без единого замкнутого объёма.
​
Второй путь — топологический: идея поверхности без разделения на «внутри/снаружи» через образ бутылки Клейна и обсуждение того, почему в реальном 3D появляется самопересечение, а в математическом смысле его можно интерпретировать иначе.
​
Вопрос в конце
В финале остаётся дополнительная задача на подумать: если в таком 3D-доме к каждому ребру примыкает чётное число квадратов, обязательно ли в нём появится область, где гнома можно запереть?