Kitobni o'qish: «Апология математики (сборник статей)», sahifa 8

Разговор о том, что в иных случаях решения не существует, мы продолжим в главах 5 и 6, а пока укажем второй общекультурный аспект открытия явления несоизмеримости: оно привело, хотя и не сразу, к понятию действительного числа, лежащему в основе не только математики, но и всего современного естествознания и современной техники.

Глава 4
Длины и числа

Длина отрезка есть некое соотнесённое с отрезком число. Из теоремы о несоизмеримости немедленно следует, что длина диагонали единичного квадрата, т. е. квадрата со стороной, длина которой единица, не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Таким образом, возникает дилемма: или признать, что существуют отрезки, не имеющие длины, или изобрести какие-то новые числа помимо целых и дробных. Человечество выбрало второе. Ввиду важности сделанного выбора изъяснимся более подробно.

Давайте осознаем, как возникает понятие длины с логической точки зрения, но отчасти также и с исторической. Для измерения величины какого угодно рода (длины, веса, температуры или напряжения) требуется прежде всего назначить эталон измерения, т. е. такую величину этого рода, мера которой объявляется равной единице. Тогда мера любой величины того же рода определяется числом, отражающим отношение измеряемой величины к эталону. В частности, для измерения длин надлежит в первую очередь указать в качестве эталона отрезок, длиной которого объявляется число один. Этот отрезок называется единичным. Если теперь этот единичный отрезок укладывается в каком-то другом отрезке 7 или 77 раз, то этому другому отрезку приписывается длина 7 или 77. Таким способом приписываются целочисленные длины всем отрезкам, такую длину имеющим. За бортом указанного процесса остаются все те многочисленные отрезки, в которых единичный отрезок не укладывается конечное число раз. Посмотрим, как обстоит дело с ними. Возьмём какой-нибудь из таких отрезков и предположим, что он соизмерим с единичным. Пусть, скажем, их общая мера укладывается в нашем отрезке 18 раз, а в единичном – 12 раз. Тогда в нашем отрезке укладывается 18/12 единичного отрезка, и ему приписывается длина 18/12. Если для двух отрезков найдена их общая мера, то для них всегда можно указать и другие общие меры, и притом в бесконечном количестве. Для рассматриваемого случая таковыми будут, скажем, мера, укладывающаяся в избранном отрезке 180 раз, а в единичном – 120 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 9 раз, а в единичном – 6 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 6 раз, а в единичном – 4 раза; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 3 раза, а в единичном – 2 раза. Следовательно, нашему избранному отрезку можно приписать и длину 180/120, и длину 9/6, и длину 6/4, и длину 3/2. Именно поэтому дроби 180/120, 18/12, 9/6, 6/4 и 3/2, будучи различными дробями, выражают одно и то же число. Указанные дроби можно трактовать как разные имена этого числа, т. е. как синонимы. Таким образом, длина у отрезка одна, хотя именоваться она может по-разному.

Числа, выражаемые дробями, называются дробными. Целые и дробные числа объединяются под названием рациональных чисел. (Для простоты изложения мы ничего не говорим об отрицательных числах; для наших целей они не нужны, и о них можно просто забыть.) Казалось бы, какие ещё могут быть числа? Но, как мы знаем, диагональ квадрата не имеет общей меры с его стороной. Поэтому если взять квадрат со стороной длины единица, то оказывается, что длина диагонали этого квадрата никаким рациональным числом не выражается. Следовательно, у этой диагонали либо вовсе нет длины, либо эта длина выражается числом какого-то нового типа, каковой тип ещё только надлежит ввести в рассмотрение. Числа этого нового типа называются иррациональными, вместе с рациональными они образуют систему действительных, или вещественных, чисел. В этой системе каждый отрезок обретает длину в виде некоторого действительного числа.

Надо иметь в виду, что изложенный взгляд на понятие числа, включающий в его объём и иррациональные числа, есть взгляд современный. Чтобы прийти к нему, потребовались тысячелетия. В древности лишь натуральные числа считались числами. Число понималось как совокупность единиц. Постепенно (очень медленно) в обиход входили дроби – сперва с числителем единица и небольшим знаменателем, затем числителю уже разрешалось быть бóльшим единицы, но всё-таки непременно меньшим знаменателя, и т. д. Но и дробь не сразу была признана выражающей число, поначалу она трактовалась иначе – как выражающая отношение величин. Открытие явления несоизмеримости привело к осознанию того поразительного факта, что не всякое отношение величин может быть выражено дробью, и в конечном счёте – к возникновению понятия действительного числа. Возможно, впервые ясное представление о действительных числах сформулировал великий арабский учёный и государственный деятель XIII в. Насирэддин Туси. Рассуждая об однородных величинах (каковыми являются длины, веса, объёмы и т. п.) и отношениях величин одного и того же рода, он писал: «Каждое из этих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов». И наконец, точку в развитии ясного, хотя всё ещё интуитивного, представления о действительных числах поставил Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» (1707): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трёх видов: целое, дробное и иррациональное. Целое есть то, что измеряется единицей; дробное есть кратное долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей».

Нормы научной строгости со временем ужесточаются. Можно полагать, что формулировки Туси и Ньютона воспринимались современниками как определения понятия действительного числа. В наши дни они воспринимаются всего лишь как полезные комментарии. Вербализация указанных формулировок свидетельствует, что в XIII–XVIII вв. понятие действительного числа уже с достаточной отчётливостью воспринималось именно как понятие. Однако со временем одного интуитивного осознания сделалось мало, возникла потребность в исчерпывающих определениях. Формулировки Туси и Ньютона таковыми не являются, потому что содержащиеся в них термины «величина» и «отношение» сами нуждаются в разъяснении. Теории действительных чисел, отвечающие сегодняшним строгим требованиям, появились лишь около 1870 г. Первопроходцем здесь был почти забытый ныне французский математик Шарль Мерэ (Charles Méray; 1835–1911). На его долю выпало два звёздных мгновения, поставивших Мерэ на почётнейшее первое место в некой значимой сфере. В 1854 г. Мерэ оказался касиком, т. е. первым среди принятых по конкурсу в парижскую Высшую нормальную школу (знаменитую École normale supérieure («Эколь нормаль»), каковую благополучно окончил в 1857 г. [Изначально слово «касик» (cacique) означало индейского племенного вождя в доколумбовой Центральной Америке, Мексике и Вест-Индии.] В 1869 г. Мерэ опубликовал статью, в которой впервые было дано определение действительного числа и изложена математическая теория действительных чисел. Не только первое, но и второе событие остались лишь фактами его биографии. Мерэ приобрёл статус уважаемого, но всё же не ведущего математика своего времени, хотя имел основания числиться ведущим. Его идеи не были должным образом оценены современниками и никак не повлияли на развитие науки. А повлияли на это развитие появившиеся через несколько лет публикации прославленных, в отличие от Мерэ, немецких математиков Рихарда Дéдекинда (Richard Dedekind, 1831–1916) и Георга Кантора (Georg Cantor, 1845–1918), о котором мы ещё поговорим в главе 7. Каждый из них предложил некую конструкцию, посредством которой действительные числа строились на базе чисел рациональных. Хотя нет сомнений, что конструкция Кантора была найдена им независимо, она повторяет конструкцию Мерэ.

У нас здесь нет возможности излагать теории Дедекинда и Мерэ – Кантора. Отметим лишь, что строительным материалом для математического понятия действительного числа служат рациональные числа, каковые, в свою очередь, строятся на основе целых чисел. Это обстоятельство дало возможность выдающемуся немецкому математику Леопольду Крóнекеру (1823–1891) произнести в 1886 г. знаменитую фразу «Бог создал целые числа, всё остальное есть дело рук человеческих» («Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk»). Возможно, более точным переводом немецкого слова ganzen было бы здесь русское слово «натуральные», потому что не вызывает сомнений: Кронекер имел в виду не все целые, а именно натуральные числа (из которых уже путём сознательной человеческой деятельности строятся отрицательные целые числа). Согласие с божественным происхождением натуральных чисел ещё не означает торжества креационизма. Ибо ничто не мешает считать, что натуральные числа появились в процессе исторической эволюции, оставляя при этом в стороне вопрос, управляется ли эволюция Господом Богом или происходит сама по себе. Став на эту точку зрения, приходим к выводу, что натуральные числа родились в процессе пересчитывания предметов, а также (и, надо полагать, позже) определения количества предметов. Это разные процессы, и они с философской точки зрения приводят к различным (хотя и соотнесённым друг с другом) системам натуральных чисел. Не знаю, как другие языки, но русский демонстрирует это различие достаточно наглядно. Пересчёт мы начинаем обычно со слова «раз», а наименьшее возможное количество чего-нибудь есть ноль. Таким образом, наименьшее количественное число есть ноль, а наименьшее считательное число есть раз (один, единица)⁴⁴. Некоторые поэтому начинают натуральный ряд, т. е. ряд натуральных чисел, с ноля, другие же – с единицы.

Упоминавшийся уже Дедекинд называл числа свободными творениями человеческого духа [а книга Дедекинда, в которой была провозглашена эта формула, сама имела примечательное название – «Что такое числа и каково их назначение» (Was sind und was sollen die Zahlen)]. Для понимания сущности чисел важно помнить, что число есть понятие абстрактное. Никакое число, даже, скажем, число два, нельзя ни увидеть, ни услышать. Увидеть можно два стола или двух слонов, а услышать или прочитать можно слово «два», но это совсем другое дело. Полезно отметить, что абстрактность понятий не есть отличительная (и потому многих пугающая) черта математики. Если вдуматься, то, скажем, такие физические понятия, как «электрон», «протон» и т. п., весьма абстрактны. На память приходит вопрос, заданный на знаменитом семинаре Гельфанда (который работал на механико-математическом факультете Московского университета) одним из участников: «Какой реальный математический смысл имеет эта физическая абстракция?»

Вернёмся, однако, к проблемам, не имеющим решения.

Глава 5
Квадратура круга

Выражение «квадратура круга» прочно вошло в язык в качестве красивого обозначения всякой не имеющей решения задачи. Это расширенное значение, метафора. В узком же, буквальном смысле квадратура круга есть некая пришедшая к нам из античности геометрическая задача на построение.

Не одно тысячелетие она оставалась костью в горле математики: ни решить, ни доказать, что это невозможно. Тем не менее мысль о невозможности решения всё крепла и крепла, пока в XVIII в. не превратилась в убеждение настолько твёрдое, что академии наук разных стран заявили: трактаты, претендующие на разрешение коварной проблемы, более к рассмотрению не принимаются. Наконец, на исходе XIX в. вопрос был закрыт: развитие математики позволило доказать, что решения и в самом деле не существует. Понимание того, в чём состоят задачи на построение, и в частности древняя задача о квадратуре круга, входит, на наш взгляд, в общекультурный минимум. Чтобы читатель мог рассудить, верен или нет этот тезис, приведём кое-какие необходимые сведения.

Геометрия требует чертежа, и античные математики делали чертежи. Самым удобным и дешёвым способом было чертить на песке. Архимед, величайший учёный древности (да и не только древности!), был убит римским воином в 212 г. до н. э., во время Второй пунической войны, на Сицилии, в своих родных Сиракузах. По преданию, воин застал учёного на песчаном пляже и, взбешённый его словами «Не трогай мои чертежи!», зарубил мечом. Основными элементами чертежей служили прямые линии и окружности. Для их вычерчивания имелись специальные инструменты. Таких инструментов было два: линейка, позволяющая проводить прямые, и циркуль, позволяющий проводить окружности. Под термином «циркуль» условимся понимать любое устройство, пригодное для данной цели. Скорее всего, древнейший циркуль состоял из двух палок, соединённых верёвкой; одну палку («иглу») втыкали в песок в центре намеченной окружности, верёвка натягивалась, и второй палкой («писалом», «чертилом», «стилóм») чертили окружность с радиусом, равным длине верёвки. Задача на построение состояла в том, чтобы построить, т. е. начертить, геометрическую фигуру с требуемыми свойствами. Вот простейший пример такой задачи: для заданного отрезка найти его середину. Решение: для каждого из концов отрезка проводим окружность с центром в этом конце и с радиусом, равным длине отрезка; далее проводим прямую через те две точки, в которых наши окружности пересеклись; эта прямая пересечёт заданный отрезок в его середине.

Формулировка задачи о квадратуре круга такова: для заданного круга построить квадрат, равновеликий (т. е. равный по площади) этому кругу. То, что эта задача не имеет решения, доказал в 1882 г. немецкий математик Фердинанд Линдеман, о котором мы рассказывали в главе 2. Говорят, Линдеман завершил доказательство 12 апреля, в день своего тридцатилетия, и на вопрос друзей, отчего это он сияет так, словно решил проблему квадратуры круга, отвечал, что они попали в точку.

Прочитав две предыдущие фразы, читатель вправе возмутиться. Ведь в первой фразе говорится, что задача не имеет решения, а во второй – что Линдеман её решил. Дело в том, что в строгом, узком смысле решить задачу – значит найти её решение, а в более широком – найти решение или доказать, что его не существует. Таким образом, если удалось доказать, что задача не может быть решена, в математике она признаётся решённой. Подобные странности восторга не вызывают, но и больших трудностей не создают, поскольку из контекста обычно ясно, о чём идёт речь.

Мы, разумеется, не собираемся здесь доказывать нерешимость задачи о квадратуре круга. Можно было бы попытаться в доступных широкому читателю терминах наметить общее направление доказательства, но мы и этого делать не будем, потому что это вывело бы нас за пределы того, что мы считаем общекультурным математическим минимумом. А вот самоё формулировку обсудим. Казалось бы, что тут обсуждать, формулировка достаточно ясная? Сейчас мы увидим, что на самом деле её смысл нуждается в разъяснениях. Приносим извинения тем, кто почтёт эти разъяснения занудными и излишними. И надеемся встретить иного читателя, который найдёт здесь пищу для размышлений и оценит то обстоятельство, что именно математика такую пищу поставляет.

Каждая задача на построение предполагает наличие некоторой исходной геометрической фигуры и состоит в требовании указать способ, который позволяет построить новую фигуру, связанную с исходной указанными в задаче соотношениями. Так, в задаче о середине отрезка исходной фигурой был отрезок, а новой – точка, являющаяся его серединой; в задаче о квадратуре круга исходная фигура – круг, а новая – квадрат, имеющий ту же площадь. Вот ещё пример: по данной стороне построить правильный треугольник (т. е. такой, у которого одинаковы все стороны и все углы). Исходной фигурой здесь служит отрезок, а новой – треугольник, у которого все стороны конгруэнтны⁴⁵ этому отрезку. Надеемся, что читатель легко решит эту задачу. Решение будет приведено в конце главы.

Можно построить и правильный 17-угольник, но это уже не столь просто. А вот задача о построении правильного семиугольника не имеет решения – это в конце XVIII в. доказал один из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс (Johann Carl Friedrich Gauß, 1777–1855), уже упоминавшийся в главе 1 в связи с неевклидовой геометрией. До Гаусса существование таких задач на построение, решить которые невозможно, было лишь правдоподобной гипотезой. Он же указал способ построения правильного 17-угольника.

Вот ещё пример весьма известной и древней задачи на построение – задача о трисекции угла. В ней требуется для каждого угла построить другой угол, составляющий треть исходного. Для некоторых углов специального вида, например для прямого угла, построение трети не составляет труда. Однако в середине XIX в. было доказано, что некоторые углы невозможно построить, оперируя линейкой и циркулем. Оказалось, в частности, что невозможно построить углы в 10° и 20° и, следовательно, осуществить трисекцию углов в 30° и 60°. Тем самым была установлена неразрешимость задачи о трисекции угла.

Итак, в каждой задаче на построение требуется указать некоторый способ построения. Когда такой способ предъявляется, как для задачи о середине отрезка, он [способ] обычно не вызывает сомнений. Но, когда утверждается, что такого способа нет, как это утверждается для квадратуры круга или для трисекции угла, возникает необходимость уточнить, чего именно нет.

Всякий способ построения состоит в указании некоторой последовательности разрешённых операций. Последовательность эта – своя для каждой задачи. Сам же перечень разрешённых операций один и тот же для всех задач на построение. Он весьма невелик, и мы сейчас с ним познакомимся.

Прежде всего это операции, выполняемые при помощи линейки. Читателя может удивить множественное число. На что ещё годна линейка, кроме черчения прямой? А вот на что: чертить луч, т. е. полупрямую; чертить отрезок. Более точно, разрешается, приложив линейку к двум уже построенным точкам, начертить отрезок между этими точками; или луч, начинающийся в одной из этих точек и проходящий через другую; или прямую, проходящую через эти две точки. «Господи! – воскликнет читатель. – Да это же и так ясно! Стоило ли тратить слова на такую очевидность?» Еще как стоило. Объясню почему. Рассмотрим ещё одну операцию, выполнить которую не сложнее, чем провести прямую через две точки, но которая, однако же, не входит в число разрешённых: через данную точку провести касательную к данной окружности. Начертив окружность и взяв точку вне круга, читатель убедится, как легко провести касательную, используя реальную, деревянную или металлическую, линейку. Тем не менее в перечень разрешённых операций проведение касательной не включено. Мы только что прибегли к важному, как нам кажется, приёму обучения понятиям: надо приводить примеры не только того, что входит в объём вводимого понятия, но и того, что в его объём не входит. Так, чтобы на примерах объяснить, что такое чётное число, надо не только сказать, что числа 0, 2, 4, 6 и т. д. являются чётными, но и упомянуть, что числа 1, 3, 5, 7 и т. д. чётными не являются; чтобы объяснить марсианину, что такое кошка, надо предъявить ему не только несколько кошек, но также и несколько собак, сообщив, что это не кошки.

При помощи циркуля выполняют такие операции. Разрешается, установив иглу циркуля в одну уже построенную точку, а стило – в другую уже построенную точку, начертить окружность. И даже более общо: разрешается, установив иглу и стило в две уже построенные точки, не меняя раствора циркуля, перенести иглу в третью уже построенную точку и начертить окружность.

Разрешается находить пересечения уже построенных прямых, лучей, отрезков, окружностей и дуг окружностей (но не всяких дуг, а расположенных между двумя уже построенными точками).

Наконец, разрешается совершать так называемый выбор произвольной точки, т. е. нанести стилом точку в любом месте плоскости, а также в любом месте уже построенной фигуры и использовать эту точку в дальнейших построениях. (Термин «фигура» обозначает здесь отрезок, луч, прямую, окружность, дугу окружности, а также участок плоскости, граница которой составлена из перечисленных только что простейших фигур.)

Только теперь, после описания всех разрешённых операций, обретает точный смысл утверждение о нерешимости той или иной задачи на построение, в частности задачи о квадратуре круга. Отсутствие решения означает здесь отсутствие такой цепочки разрешённых операций, которая приводила бы от круга к квадрату той же площади.

Заметим, что сам перечень разрешённых операций в значительной степени обусловлен историческими причинами и, вообще говоря, мог бы быть другим. Например, можно было бы включить в число разрешённых операций построение касательной, о котором говорилось выше. (Заметим, кстати, что это не дало бы ничего принципиально нового, потому что касательную можно построить, подобрав подходящую цепочку разрешённых операций из старого перечня.) Можно было бы включить в число разрешённых операций вычерчивание эллипса, ведь устройство для его вычерчивания лишь немногим сложнее циркуля. (Достаточно вбить два гвоздя в фокусы будущего эллипса и протянуть между ними нить, длина которой больше расстояния между фокусами. Зацепим нить стилом и натянем. Перемещая стило так, чтобы нить оставалась натянутой, получим эллипс.) Да лёгкость выполнения разрешённой операции не должна нас заботить: строго говоря, мы вправе объявить разрешённой любую операцию по нашему усмотрению. Перечень разрешённых операций, с чисто логической точки зрения, достаточно произволен. Однако, будучи выбран, он уже не меняется. Полезная аналогия – свод юридических актов. С чисто логической, опять же, точки зрения законы произвольно устанавливаются законодателем, но будучи принятыми, они уже не подлежат изменению, хотя бы на определённый период. Во всяком случае так должно быть.

Объясним теперь, почему задачам на построение уделено здесь такое внимание. На их примере мы пытались продемонстрировать некоторые математические представления принципиального характера, представления, которые можно отнести к философии математики, а то и к философии вообще:

1. Задача, или проблема, всегда есть требование что-то найти, указать, построить.

2. Необходимо уточнять, в пределах какого класса объектов мы ищем решение задачи.

Иногда этот класс состоит из объектов довольно простой (честнее было бы сказать – довольно привычной) природы: четвёрок чисел в проблеме Ферма (если ставится задача опровергнуть гипотезу Ферма), отрезков в проблеме соизмеримости (если ставится задача найти общую меру). Но случается, что его составляют довольно-таки специфические объекты вроде цепочек операций в задачах на построение.

3. Уточнять особенно необходимо, если задача нерешима.

4. Представление о разрешённой операции в общем виде шире сферы задач на построение.

Оно существенно и для компьютерной науки (computer science), и для компьютерной практики, а именно для программирования. Каждый компьютер имеет свой набор разрешённых операций, а каждая компьютерная программа есть некоторая цепочка операций, выбранных из этого набора.

Именно в силу философского аспекта задачи на построение должны занимать достойное место в школьном курсе геометрии. Мы не имеем в виду сложных задач, требующих зачастую большой изобретательности, – они должны изучаться в специализированных математических классах. Нет, речь идет о самых простых задачах вроде задачи на построение правильного треугольника или задачи на нахождение середины отрезка.

Решение задачи о построении равностороннего треугольника.

Пусть отрезок AB (см. рисунок) конгруэнтен исходному отрезку. Устанавливаем иглу в точку А, стило – в точку В и проводим окружность с центром в А. Далее переносим иглу в точку В, стило – в точку А и проводим окружность с центром в В. Полученные окружности пересекутся в двух точках. Одну из них обозначим буквой С. Треугольник АВС окажется равносторонним со сторонами, конгруэнтными исходному отрезку.