Kitobni o'qish: «Форма реальности»

Shrift:

Научный редактор Михаил Гельфанд

В тексте неоднократно упоминаются названия социальных сетей, принадлежащих Meta Platforms Inc., признанной экстремистской организацией на территории РФ.

Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

* * *

Обитателям пространства в целом и CJ и AB в частности

Введение. Каковы вещи на самом деле и как они выглядят

Я – математик, публично говорящий о математике. Это как будто снимает блокировку внутри людей, и они начинают делиться со мной историями, которые, я чувствую, уже давно (а может быть, и никогда) никому не рассказывали. И это истории о математике. Иногда они печальные: учитель математики втаптывает эго ребенка в грязь безо всякой причины – просто из низости. Иногда немного счастливее: переживание внезапного озарения в детской голове, к которому взрослые хотели бы вернуться, но так и не смогли. (На самом деле это тоже печально.)

Часто эти истории связаны с геометрией. Похоже, она выделяется в воспоминаниях о старшей школе, как странная высокая нота в припеве. Одни ненавидят ее, говоря, что именно после изучения геометрии математика утратила для них смысл. Другие утверждают, что геометрия – единственная часть математики, которая им понятна. Геометрия – это кинза математики. Мало кто к ней относится нейтрально.

Что же выделяет геометрию? Каким-то образом она первична и встроена в наши тела. С криком покинув материнскую утробу, мы тут же начинаем изучать окружающий мир, каков он на самом деле и как выглядит. Я не из тех людей, которые станут уверять, что все важное в вашей внутренней жизни восходит к потребностям живших в саванне косматых охотников-собирателей, однако вряд ли можно сомневаться в том, что эти люди должны были развить понимание форм, расстояний и мест, вероятно, еще до того, как у них появились слова для их названий. Когда южноамериканские шаманы¹ (и их неюжноамериканские подражатели) совершают свой ритуал, первое, что происходит (ну хорошо, первое, что происходит после неконтролируемой рвоты), – это восприятие чистых геометрических форм: повторяющиеся двумерные узоры вроде решеток в классической мечети или трехмерное изображение шестиугольных ячеек, собранных в колеблющиеся соты. Геометрия существует даже тогда, когда остальная часть нашего мыслящего разума отключена.

Скажу честно: сначала я был к геометрии равнодушен. Что, наверное, странно, если учесть, что сейчас я математик, а заниматься геометрией – моя непосредственная работа!

Все было иначе, когда я был членом школьной команды по математике. Команда называлась «Углы ада»², на турниры мы приходили в одинаковых черных футболках и обязательно приносили магнитофон, который играл песню Hip to Be Square³ группы Huey Lewis and the News. При этом мои товарищи прекрасно знали, что у меня проблемы с задачками типа «показать, что угол APQ равен углу CDF» или что-то в этом роде. Это не значит, что я их вообще не решал! Я их решал, но самым громоздким из возможных способов, то есть вводил координаты для точек, а затем исписывал целые страницы алгебраическими вычислениями, находя площади треугольников и длины отрезков. Все что угодно – лишь бы не так, как принято в геометрии. Иногда я решал задачу правильно, иногда – неправильно. Но каждый раз решение было уродливым.

Если и существует такая вещь, как «геометричность по природе», то я – ее полная противоположность. Можете попробовать пройти с ребенком⁴ геометрический тест. Вы показываете ему последовательно пары картинок: преимущественно одинаковой формы, но примерно в каждой третьей паре правая фигура перевернута. Дети гораздо дольше рассматривают перевернутые формы. Они осознают: что-то происходит; и их исследующие мир умы тянутся к новому. Дошкольники, дольше разглядывающие перевернутые фигуры, как правило, получают более высокие баллы и в тестах по математике на пространственное мышление. Они быстрее и точнее представляют себе формы и их внешний вид после поворотов или склеивания. Ну а я? У меня таких способностей практически нет. Знаете маленькую картинку на терминалах бензоколонок, которая показывает, как правильно ориентировать кредитную карту? Для меня она бесполезна. Перевести этот плоский рисунок в трехмерное действие – за пределами моих умственных способностей. Каждый раз мне приходится проверять все варианты – магнитная полоса вверху справа, магнитная полоса вверху слева, магнитная полоса внизу справа, магнитная полоса внизу слева, – пока терминал не согласится прочитать мою карту и продать мне немного бензина.

И все же в целом считается, что геометрия лежит в основе того, что требуется для реального понимания мира. Кэтрин Джонсон, математик из НАСА, ставшая широко известной после книги и фильма «Скрытые фигуры», описала свой успех в отделе летных исследований так: «Все парни имели степени⁵ по математике, но забыли всю геометрию, которую знали… А я все еще ее помнила».

Могучее очарование

Уильям Вордсворт в длинной, во многом автобиографической поэме «Прелюдия, или Становление сознания поэта» рассказывает несколько неправдоподобную историю о жертве кораблекрушения – выброшенном на берег человеке, у которого не было ничего, кроме экземпляра «Начал» Евклида (книги с аксиомами и теоремами, положившей начало геометрии как предмету около двух с половиной тысяч лет назад). Это было удачей для потерпевшего кораблекрушение: несмотря на подавленность и голод, он утешался, пробираясь через рассуждения Евклида и вычерчивая рисунки палкой на песке. «Вот что значит быть молодым, чувствительным, поэтичным!» – пишет Вордсворт в зрелом возрасте. Или, говоря словами самого поэта:

…Огромна абстракций чистых власть
над тем умом, что сам в себе не властен
и влеком толпою образов…⁶, ⁷

(У шаманов аналогичный подход: ритуал перезагружает мозг и поднимает разум над мучительным лабиринтом, где, как ему кажется, он застрял.)

Самое странное в рассказе Вордсворта о геометрии и кораблекрушении то, что в основном он правдив. Поэт позаимствовал его из мемуаров Джона Ньютона – молодого помощника работорговца, который в 1745 году оказался на острове Плантейн у берегов Сьерра-Леоне; правда, не в результате кораблекрушения: его бросил там хозяин. Островок не был необитаемым: с ним жили африканцы, и его главной мучительницей была африканская женщина, контролировавшая распределение еды. «Важная персона в некоей собственной стране, – описывает ее Ньютон, а затем жалуется, поистине поразительно не улавливая сути дела: – Эта женщина (не знаю, по какой причине) с самого начала была настроена против меня».

Через несколько лет Ньютон едва не умирает в море, ударяется в религию, становится англиканским священником, пишет книгу «Великая благодать» (в которой предлагает изучать совсем другую книгу, если вы в депрессии), наконец отказывается от работорговли и превращается в активного участника движения за отмену рабства в Британской империи. Но вернемся на остров Плантейн. Да, у Ньютона была с собой единственная книга – издание Евклида в переводе Исаака Барроу, и в мрачные моменты жизни он прятался в ее абстрактном комфорте. «Так я часто глушил свои горести⁸, – пишет он, – и почти забывал о своих переживаниях».

История о геометрии на песке не единственное заигрывание Вордсворта с этой темой. Томас де Квинси, современник Вордсворта, в своих воспоминаниях писал: «Вордсворт был большим поклонником⁹ величавой математики, как минимум высшей геометрии. Секрет его преклонения перед геометрией лежал в антагонизме между этим миром бестелесной абстракции и миром страсти». В школе Вордсворт не преуспевал в математике¹⁰, но завязал крепкую дружбу с молодым ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном; именно он, по мнению некоторых¹¹, и вдохновил Вордсворта на добавление к «Прелюдии» знаменитого описания Ньютона (Исаака, а не Джона): «Память о разуме гения, что в одиночку бороздит необозримый мысли океан».

Гамильтон с ранней юности был очарован¹² всеми видами академических знаний – математикой, древними языками, поэзией, – но его интерес к математике сильно подстегнула встреча с Зерой Колберном, американским мальчиком-вычислителем. Однажды небогатый фермер из Вермонта Абья Колберн обнаружил, что его шестилетний сын повторяет таблицу умножения, которой его не учили. У мальчика оказались невероятные способности к счету в уме, ничего подобного в Новой Англии до сих пор не видели. (Как и у всех мужчин в семье, у него было по шесть пальцев на руках и ногах.) Отец Зеры показывал сына различным местным сановникам, включая губернатора Массачусетса Элбриджа Герри (мы еще вернемся к нему в совершенно ином контексте), которые посоветовали отвезти мальчика в Европу, поскольку только там есть люди, способные понять и развить его выдающиеся способности. Колберны пересекли Атлантику в 1812 году, и Зера попеременно то учился, то за деньги демонстрировал свой талант по всей Европе. В Дублине он выступал вместе с гигантом-альбиносом и мисс Ханиуэлл – американкой, показывавшей чудеса ловкости с помощью пальцев ног. В 1818 году, когда ему было четырнадцать, он соревновался в вычислениях с Гамильтоном, своим ирландским подростком-аналогом, и с честью вышел¹³ из этого состязания, хотя противник был силен. Однако Колберн не стал заниматься математикой: его интересовали исключительно вычисления в уме. Изучая Евклида, он нашел его легким, но «сухим и лишенным интереса». Когда два года спустя Гамильтон встретил вычислителя («Он потерял все признаки шестого пальца», – вспоминал Гамильтон; лондонский хирург удалил его¹⁴) и стал расспрашивать его о применяемых методах, то обнаружил, что Колберн слабо понимает причины¹⁵ эффективности его арифметических методов. Бросив образование, он попробовал себя на английской сцене, не преуспел, вернулся в Вермонт и прожил остаток жизни проповедником.

Когда Гамильтон в 1827 году встретил Вордсворта, ему было всего 22 года, а он уже был профессором Дублинского университета и королевским астрономом Ирландии. Вордсворту было 57 лет. Гамильтон в письме сестре описывал эту встречу так: молодой математик и старый поэт совершили «долгую-долгую полночную прогулку¹⁶, где больше не было ничего, кроме звезд и наших собственных горячих мыслей и слов». Судя по стилю, Гамильтон не совсем отказался от поэтических амбиций. Он начал посылать Вордсворту свои стихи, и поэт отзывался о них тепло, но критически. Вскоре Гамильтон все же отказался от поэзии, фактически сделав это в стихах, прямо обращаясь к музе в произведении под названием «К поэзии», которое послал Вордсворту. Затем, в 1831 году, он передумал, написал еще одно стихотворение под названием «К поэзии» и тоже отправил его Вордсворту. Ответ поэта – один из классических случаев вежливого «опускания с небес на землю»: «Вы шлете мне потоки стихов, которые я получаю с большим удовольствием, как и все мы; однако мы опасаемся, что это занятие может сбить вас с пути Науки, который вам, похоже, суждено пройти с огромной честью для себя и пользой для других».

Не все окружение Вордсворта ценило сочетание страсти и холодного странного одинокого разума так же, как он и Гамильтон. На званом обеде¹⁷ в доме художника Бенджамина Роберта Хейдона в конце 1817 года друг Вордсворта Чарльз Лэм напился и начал дразнить Вордсворта, издеваясь над Ньютоном и называя ученого «человеком, который не верил ничему, если это не было настолько же ясно, как три стороны треугольника». Подключился к обвинениям и Джон Китс, заявив, что Ньютон лишил радугу романтики, показав, что призма дает тот же оптический эффект. Вордсворт смеялся, стиснув зубы и, вероятно, стараясь избежать ссоры.

В портрете Вордсворта, рисуемом де Квинси, рекламируется еще одна, пока не опубликованная математическая сцена из «Прелюдии». Оказывается, в те времена у стихов были трейлеры! Де Квинси с волнением обещает, что эта сцена, по его мнению, «достигает непревзойденной величественности». В ней Вордсворт засыпает, читая «Дон Кихота», и ему снится встреча с бедуином, едущим на верблюде через пустыню. В руке араба две книги, но, что характерно для сновидений, одна не просто книга, а одновременно и тяжелый камень, а вторая – сияющая морская раковина. (Через несколько страниц оказывается, что бедуин – это Дон Кихот.) Книга-раковина выдает апокалиптические пророчества, если поднести ее к уху. А книга-камень? Это все те же «Начала» Евклида, которые здесь предстают не как скромный инструмент самопомощи, а как средство связи с бесчувственным и неизменным космосом: книга «связала души чистейшими узами разума, пред коими бессильны и пространство, и время». Логично, что де Квинси был хорош в этой психоделической среде: будучи некогда юным дарованием, он потом пристрастился к настойке опия и описал свои головокружительные видения в «Исповеди англичанина, употребляющего опиум» – сенсационном бестселлере начала XIX века.

Представление Вордсворта о геометрии – типичный взгляд стороннего наблюдателя. Да, восхищение, но так восхищаются гимнастом на олимпиаде, выполняющим такие сальто и кульбиты, которые обычному человеку кажутся невозможными. Именно это вы видите в самом знаменитом стихотворении о геометрии – сонете 45 Эдны Сент-Винсент Миллей: «Один Евклид узрел нагую Красоту, лишь он один. И пусть умолкнут те, кто мелет всякий вздор о красоте»¹⁸. У Миллей Евклид – необычная, неземная фигура, которую в один «святой ужасный день» пронзил луч просветления, в отличие от всех нас, кому, по словам Миллей (и то, если повезет), посчастливится лишь услышать раздающийся вдалеке стук сандалий Красоты по камню.

По большому счету эта книга вовсе не о геометрии. Не поймите меня неправильно. Как математик, я получаю немало пользы от престижа геометрии. Приятно, когда люди считают твою работу таинственной, вечной и возвышающейся над обыденностью. «Как прошел день?» – «Святой и ужасный, как всегда».

Но чем сильнее вы отстаиваете эту точку зрения, тем больше склоняете людей рассматривать изучение геометрии как некую обязанность. И она приобретает легкий затхлый запах чего-то, чем восхищаются, потому что так принято. Типа оперы. Однако такого рода восхищения недостаточно для поддержания антрепризы. Написано множество новых опер, но можете ли вы их назвать? Нет: услышав слово «опера», вы, скорее всего, представляете в черно-белом цвете меццо-сопрано в мехах, во все горло орущую Пуччини.

В геометрии также много нового, но, подобно новой опере, это не так широко освещается, как хотелось бы. Геометрия – это уже давно не Евклид. Это не культурный реликт со шлейфом запаха школьного класса, а живой предмет, развивающийся сейчас быстрее, чем когда-либо ранее. В следующих главах мы познакомимся с новой геометрией распространения пандемии, путаными политическими процессами в США, шашками на профессиональном уровне, искусственным интеллектом, английским языком, финансами, физикой и даже поэзией. (Многие геометры втайне мечтали, подобно Уильяму Гамильтону, стать поэтами.)

Мы живем в динамично развивающемся, глобальном городе геометрии. Геометрия не где-то там, вне пространства и времени, а прямо здесь, с нами, смешанная с рассуждениями повседневной жизни. Она красива? Да, но она не нагая. Геометры видят Красоту в рабочей одежде.

Глава 1. «Я голосую за Евклида»

В 1864 году преподобный Дж. П. Гулливер из Норвича (Коннектикут) вспомнил разговор с Авраамом Линкольном о том, как президент приобрел свое знаменитое умение убеждать. По словам Линкольна, в основе навыка лежала геометрия¹⁹.

Читая законы, я постоянно натыкался на слово доказать²⁰. Сначала мне казалось, что я понимаю его значение, но вскоре убедился, что это не так, и обратился к словарю Уэбстера. Там говорилось о «бесспорном доказательстве» и о «доказательстве вне возможности сомнения», но я не мог уловить, о какого рода доказательстве идет речь. Я думал, что многие вещи были доказаны вне возможности сомнения без обращения к такому экстраординарному процессу рассуждений, каким я считаю доказательство. Я сверился со всеми словарями и справочниками, какие удалось найти, но безрезультатно. С аналогичным успехом вы могли бы объяснять слепому, что такое синий цвет. Наконец я сказал себе: «Линкольн, ты никогда не станешь юристом, если не поймешь, что значит “доказать”» – и ушел со службы в Спрингфилде, отправившись в родительский дом, где и оставался до тех пор, пока не научился мгновенно выдавать любые теоремы из первых шести книг Евклида. Так я выяснил, что означает доказать, и вернулся к изучению права.

Гулливер был полностью согласен, ответив: «Никто не может хорошо выступать, если не способен прежде определить для себя, о чем он говорит. Хорошее знание Евклида освободило бы мир от половины его бедствий, изгнав половину бессмыслицы, которая вводит его в заблуждение и причиняет мучения. Я часто думал, что “Начала” были бы одной из лучших книг для включения в каталог “Общества трактатов”²¹, если бы только они могли заставить людей прочитать ее. Изучение Евклида стало бы средством благодати». Линкольн, по словам Гулливера, засмеялся и согласился: «Я голосую за Евклида».

Как и потерпевший кораблекрушение Джон Ньютон, Линкольн использовал Евклида в качестве источника утешения в тяжелые периоды жизни. В 1850-х годах, после одного срока в Палате представителей, он отошел от политической деятельности и занялся разъездной юридической практикой. На одной из предыдущих работ в качестве землемера он изучил основы геометрии и теперь стремился восполнить пробелы. Его юридический партнер Уильям Херндон, которому часто приходилось делить комнату с Линкольном в маленьких сельских гостиницах, где они останавливались во время разъездов, вспоминал методы учебы Линкольна так: «…Я уже засыпал, а Линкольн, свесив длинные ноги с кровати, засиживался допоздна с зажженной свечой, погрузившись в Евклида».

Однажды утром Херндон застал в конторе Линкольна в состоянии какого-то душевного смятения.

Он сидел за столом, разложив перед собой чистые листы бумаги, большие тяжелые листы, циркуль, линейку, многочисленные карандаши, несколько бутылочек с чернилами разных цветов и множество канцелярских и пишущих принадлежностей. Похоже, он сражался с вычислениями какой-то величины, поскольку вокруг валялись листы бумаги, исписанные кучей цифр. Он был так поглощен своим занятием, что даже не посмотрел на меня, когда я вошел.

Лишь позднее Линкольн наконец выбрался из-за стола и сказал Херндону, что пытался квадрировать круг. Иными словами, он пытался построить квадрат с той же площадью, что и у заданного круга, причем построить в надлежащем евклидовом стиле – с помощью всего двух инструментов: циркуля и линейки. По словам Херндона, Линкольн просидел над этой задачей два дня подряд «почти до изнеможения».

Мне говорили, что²² так называемая квадратура круга практически невозможна, но тогда я об этом не знал. И сомневаюсь, что это знал Линкольн. Его попытка решить задачу закончилась неудачей; и мы в конторе, заподозрив, что он довольно чувствителен к этому, старались быть осмотрительными и о ней не упоминать.

Квадратура круга – это очень старая проблема, и я подозреваю, что Линкольн мог знать об ее устрашающей репутации; долгое время квадратура круга была метафорой для трудной или невыполнимой задачи. Данте упоминает о ней в «Раю»:

Как геометр, напрягший все старанья²³,
Чтобы измерить круг, схватить умом
Искомого не может основанья,
Таков был я…²⁴

В Греции, где все это начиналось, для случая, когда кто-то пытается решить задачу сложнее, чем требуется, есть типичный раздраженный комментарий: «Я не просил вас квадрировать круг!»

Квадрировать круг незачем, единственная мотивация – сложность и известность проблемы. Люди с менталитетом победителя пытались справиться с нею с Античности до 1882 года, когда Фердинанд фон Линдеманн доказал, что решения не существует (но даже тогда некоторые твердолобые упрямцы продолжали упорствовать… впрочем, найдутся такие и сейчас). Политический философ XVII века Томас Гоббс, чью уверенность в собственных умственных способностях нельзя полностью отразить приставкой «сверх», считал, что справился с задачей. По словам его биографа Джона Обри, Гоббс наткнулся на геометрию в зрелом возрасте и совершенно случайно.

Оказавшись в библиотеке некоего джентльмена²⁵, он наткнулся на «Начала» Евклида, которые были открыты на теореме 47 книги I²⁶. Он прочитал формулировку. «Черт побери! – воскликнул он (время от времени Гоббс сквернословил для выразительности). – Это невозможно!» Тогда он прочел доказательство, оно отсылало его к какой-то другой теореме; ее он тоже прочитал. И так постепенно убедился в истинности утверждения. Это заставило его полюбить геометрию.

Гоббс постоянно публиковал очередные способы доказательства и враждовал с крупнейшими британскими математиками того времени. Однажды какой-то корреспондент указал ему на то, что одно из его построений не совсем верно, поскольку точки P и Q, которые он считал совпадающими, на самом деле находились на немного разном расстоянии от третьей точки R: 41 и 41,012 соответственно. Гоббс возразил²⁷, что его точки достаточно велики, чтобы покрыть столь ничтожную разницу. Так он и отошел в мир иной в глубокой уверенности, что квадрировал круг²⁸.

Один анонимный комментатор, рецензировавший учебник по геометрии в 1833 году, дал настолько точное описание типичного «квадратурщика», что под него подойдет как Гоббс, живший двумя веками ранее, так и нынешние интеллектуально ущербные личности, по-прежнему корпящие над этой задачей в XXI веке.

Все, что они знают о геометрии²⁹, – так это то, что в ней есть вещи, которые те, кто изучал ее дольше всего, давно признали невыполнимыми. Услышав, что авторитет знания слишком сильно влияет на умы людей, они предлагают уравновесить его авторитетом невежества; и если случится так, что человек, знакомый с предметом, найдет себе занятие получше, чем выслушивать, как они делятся скрытыми истинами, то он тут же именуется слепым фанатиком, душителем света истины и так далее.

В Линкольне мы находим более привлекательную личность: достаточно амбиций, чтобы попытаться, и достаточно смирения, чтобы признать поражение.

Что Линкольн позаимствовал у Евклида – так это идею, что при известной осторожности вы сможете возвести высокое прочное здание убеждений и согласия с помощью строгих дедуктивных шагов, этаж за этажом, на фундаменте аксиом, в которых никто не может усомниться, или, если хотите, истин, которые кажутся самоочевидными. Тот, кто не считает их таковыми, исключается из дискуссии. Я слышу отголоски Евклида в самом знаменитом выступлении Линкольна – Геттисбергской речи, где он говорит, что Соединенные Штаты убеждены в истинности утверждения, что все люди рождены равными. Слово утверждение (proposition)³⁰ – это термин, используемый Евклидом для высказываний, логически вытекающих из самоочевидных аксиом, которые просто нельзя рационально отрицать.

Линкольн не первый американец, искавший основы демократической политики в терминологии Евклида; раньше это делал любивший математику Томас Джефферсон. Линкольн отмечал в письме, прочитанном в Бостоне в 1859 году на торжественной церемонии в память о Джефферсоне, где он не смог присутствовать:

Можно с уверенностью утверждать³¹, что человек может убедить любого здравомыслящего ребенка в том, что простые утверждения Евклида истинны; но тем не менее в итоге он потерпит неудачу с тем, кто будет отрицать определения и аксиомы. Принципы Джефферсона – это определения и аксиомы свободного общества.

В юности Джефферсон изучал Евклида в колледже Вильгельма и Марии и с тех пор высоко ценил геометрию³². Уже будучи вице-президентом, Джефферсон нашел время, чтобы ответить на письмо учащегося из Вирджинии о предполагаемом плане академического обучения, где пишет: «Тригонометрия в известном смысле имеет наибольшую ценность для каждого человека, и едва ли найдется день, когда он не станет прибегать к ней для каких-нибудь надобностей повседневной жизни (хотя большую часть высшей математики он описывает так: “Всего лишь роскошь³³, действительно восхитительная роскошь; не для тех, кому приходится иметь занятие ради пропитания”)». В 1812 году, уйдя из политики, Джефферсон писал своему предшественнику на посту президента Джону Адамсу:

Я отказался от газет в обмен на Тацита и Фукидида, Ньютона и Евклида и чувствую себя гораздо счастливее³⁴.

Здесь мы видим реальную разницу между двумя президентами-геометрами. Для Джефферсона Евклид был частью классического образования, необходимого для культурного джентльмена наряду с греческими историками и учеными эпохи Просвещения. Однако с Линкольном – самоучкой, выросшим на ферме, – ситуация обстояла иначе. Вот как преподобный Гулливер описывает Линкольна, вспоминающего свое детство:

Припоминаю, как уходил в свою маленькую спальню после того, как слышал вечерние разговоры соседей с моим отцом, и немалую часть ночи расхаживал взад и вперед, пытаясь понять точный смысл некоторых, на мой взгляд, мрачных фраз. Когда я преследовал какую-то идею, я не мог заснуть, хотя часто пытался, пока не ловил ее; а когда я считал, что поймал, то не удовлетворялся этим, а повторял ее снова и снова, пока не выражал на языке, достаточно ясном, как мне казалось, для любого знакомого мне мальчишки. Это была своего рода страсть, и она осталась со мной, поскольку мне всегда нелегко справиться с какой-то мыслью, пока я не ограничу ее с севера, юга, запада и востока. Возможно, этим объясняются те характерные особенности, которые вы наблюдаете в моих выступлениях.

Это не геометрия, но это взгляды геометра. Вы не оставляете вещи понятыми наполовину, а точно формулируете свои мысли и следите за ходом своих рассуждений точно так же, как Гоббс с изумлением следил за Евклидом. Линкольн считал такого рода систематическое самовосприятие единственным выходом из сумятицы и темноты.

Для Линкольна, в отличие от Джефферсона³⁵, стиль Евклида – вовсе не то, что пристойно джентльмену или профессору с академическим образованием, поскольку Линкольн не был ни тем ни другим. Это бревенчатая хижина разума, построенная вручную. Если построить ее правильно, она выдержит любые испытания. И она может принадлежать кому угодно в стране, задуманной Линкольном.

ЗАСТЫВШАЯ ФОРМАЛИСТИКА

Представление Линкольна о геометрии для американских масс, как и многие другие его хорошие идеи, было реализовано лишь частично. К середине XIX века геометрия переместилась из колледжей в старшие классы школ, однако в типичном курсе Евклид стал чем-то вроде музейного экспоната: его доказательства следовало запомнить, воспроизвести и в какой-то степени оценить. О том, как кто-то их придумал, не было и речи. Сам создатель доказательств практически исчез: один писатель того времени заметил, что «многие молодые люди³⁶ читают шесть книг “Начал”, прежде чем случайно узнают, что Евклид – это не название предмета, а имя человека, который о нем написал». Таков парадокс образования: то, чем мы больше всего восхищаемся, мы укладываем в коробочку и засовываем ее в ящик.

Честно говоря, об историческом Евклиде сказать почти нечего, поскольку нам о нем практически ничего и не известно. Он жил и работал в большом городе Александрия в Северной Африке примерно за 300 лет до нашей эры. И это все, что мы знаем. Его «Начала» – это собрание знаний по геометрии греческих математиков того времени; на десерт в конце книги добавлены основы теории чисел. Значительная часть материала была известна математикам еще до Евклида, но радикально новым и революционным шагом стала организация этого массива знаний. Из небольшого количества аксиом, в которых почти невозможно сомневаться³⁷, шаг за шагом выводится весь аппарат теорем о треугольниках, прямых, углах и окружностях. До Евклида – если это и правда был Евклид, а не целый коллектив геометров из Александрии, творивший под этим псевдонимом, – такую структуру было невозможно представить. Зато впоследствии она стала моделью для всего замечательного в знании и мышлении.

Конечно, существует и другой способ преподавать геометрию, который делает упор на изобретательность и пытается поместить учащегося в кресло Евклидова пилота, чтобы тот мог самостоятельно создавать определения и смотреть, что из них получится. Один из таких учебников, «Изобретательная геометрия», исходит из предпосылки, что «единственное настоящее образование – это самообразование». Не смотрите на конструкции других людей, советует книга, «по крайней мере пока не откроете собственную конструкцию», – и вы не будете беспокоиться и сравнивать себя с другими учениками: все занимаются в собственном темпе, и вы с большей вероятностью усвоите материал, если вам нравится им заниматься. Сама книга – всего лишь последовательность из 446 головоломок и задач. Одни достаточно просты: «Можете ли вы нарисовать три угла двумя прямыми линиями? А четыре угла двумя прямыми линиями?» У других, как предупреждают авторы, на самом деле не может быть решения, и вы оказываетесь в положении настоящего ученого³⁸. А третьи, как и самый первый из вопросов, и вовсе не имеют четкого «правильного ответа»: «Поставьте куб³⁹ на стол гранью к себе и скажите, что вы считаете толщиной, что – шириной, а что – длиной»⁴⁰. В целом это всего лишь своего рода «ориентированный на ребенка» исследовательский подход, который высмеивают традиционалисты, считая несоответствующим современному образованию. Книга вышла в 1860 году.

Несколько лет назад в математической библиотеке Висконсинского университета появилась огромная коллекция старых учебников, по которым учились школьники штата последние сто или около того лет⁴¹, но в итоге от них отказались в пользу более новых вариантов. Глядя на эти потрепанные книги, понимаешь: все споры об образовании уже разворачивались не раз. Все, что мы считаем новым и странным (например, книги наподобие «Изобретательной геометрии», где учеников просят самостоятельно придумывать доказательства; математические книги, делающие задачи «актуальными», связывая их с повседневной жизнью школьников; книги по математике, способствующие продвижению общественных движений), на самом деле старо, в свое время тоже считалось странным и, несомненно, снова станет новым и странным в будущем.

1.Когда южноамериканские шаманы: страница 10 в работе Benny Shanon’s, “Ayahuasca Visualizations: A Structural Typology,” Journal of Consciousness Studies 9, no. 2 (2002): 3–30, просто на случай, если вы подумали, что я говорю о собственном опыте.

2.Игра слов: Hell’s Angles звучит похоже на Hells Angels. «Ангелы ада» – один из крупнейших в мире клубов байкеров. Прим. пер.

3.Название песни можно перевести примерно так: «Круто быть нормальным», то есть не бунтарем, а законопослушным, обычным, скучным человеком. Прим. пер.

4.Можете попробовать пройти с ребенком: Jillian E. Lauer and Stella F. Lourenco, “Spatial Processing in Infancy Predicts Both Spatial and Mathematical Aptitude in Childhood,” Psychological Science 27, no. 10 (2016): 1291–98.

5.Все парни имели степени: Margalit Fox, “Katherine Johnson Dies at 101; Mathematician Broke Barriers at NASA,” New York Times, Feb. 24, 2020, из интервью 2010 года в Fayetteville (NC) Observer.

6.Перевод Т. Стамовой. Прим. ред.

7.Покоя не давал: цитируется, например, в работе Newton P. Stallknecht, “On Poetry and Geometric Truth.” The Kenyon Review 18, no. 1 (1956): 2.

8.Так я часто: John Newton, An Authentic Narrative of Some Remarkable and Interesting Particulars in the Life of John Newton, 4th ed. (Printed for J. Johnson, 1775), 75–82.

9.Вордсворт был большим поклонником: Thomas De Quincey, The Works of Thomas De Quincey, vol. 3–4 (Cambridge, MA: Houghton, Mifflin, and Co.; The Riverside Press, 1881), 325.

10.Вордсворт в математике не преуспевал: смотрите письмо от 26 июня 1791 года от сестры поэта Дороти Вордсворт к Джейн Поллард (Letters of the Wordsworth Family From 1787 to 1855, ed. William Knight, vol. 1 (Cambridge: Ginn and Company, 1907), 28), в котором говорится, что Вордсворт не смог получить стипендию в Кембридже, поскольку не смог заставить себя изучать математику. «Он читает на итальянском, испанском, французском, греческом, латинском и английском, но никогда не открывал ни одной математической книги».

11.Именно он, по мнению некоторых: Joan Baum, “On the Importance of Mathematics to Wordsworth,” Modern Language Quarterly 46, no. 4 (1985): 392.

12.Гамильтон с ранней юности был очарован: письмо Гамильтона кузену Артуру от 4 сентября 1822 года воспроизводится в книге Robert Perceval Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, vol. 1 (Dublin: Hodges Figgis, 1882), 111.

13.Гамильтон с честью вышел: по крайней мере, так утверждает Роберт Персеваль Грейвс в очерке о Гамильтоне в журнале Dublin University Magazine 19 (1842): 95, написанном еще при жизни Гамильтона, и то же самое он повторяет на с. 78 своей книги Life of Sir William Rowan Hamilton (указанной выше). История появляется практически во всех более поздних биографиях Гамильтона, и все они, насколько я могу судить, опираются в качестве источника на Грейвса. В письмах Гамильтон описывает встречу с Колберном в 1820 году и тот факт, что он «видел», как тот производит вычисления, однако я не нашел никаких писем, которые касались бы соревнования; Колберн в своих мемуарах, указанных ниже, также не упоминает о таком состязании и даже вообще о встрече с Гамильтоном, хотя весьма гордо говорит о других вундеркиндах, с которыми встречался и которых превзошел. А имело ли место вообще это соревнование?

14.Лондонский хирург удалил его: Zerah Colburn, A Memoir of Zerah Colburn: Written by Himself. Containing an Account of the First Discovery of His Remarkable Powers; His Travels in America and Residence in Europe; a History of the Various Plans Devised for His Patronage; His Return to this Country, and the Causes which Led Him to His Present Profession; with His Peculiar Methods of Calculation (Springfield, MA: G. and C. Merriam, 1833), 72.

15.Колберн слабо понимает причины того: Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, 78–79.

16.Полночную прогулку: письмо Гамильтона Элизе Гамильтон от 16 сентября 1827 года цитируется по книге Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, 261.

17.На званом обеде: Tom Taylor, The Life of Benjamin Robert Haydon, vol. 1 (London: Longman, Brown, Green, and Longmans, 1853), 385.

18.К 1922 году, когда Миллей это написала, Евклид фактически уже не был один: неевклидовы геометрии (по-своему столь же прекрасные без одежды) были уже не только известны, но и осознавались (благодаря Эйнштейну) как истинная геометрия пространства-времени, как мы увидим в главе 3. Меня заинтересовало, знала ли об этом Миллей и намеренно ли использовала анахроничный образ, однако мои друзья-литературоведы сказали, что она вряд ли была в курсе последних достижений в математической физике.

19.По словам Линкольна, в основе: “Mr. Lincoln’s Early Life: How He Educated Himself,” New York Times, Sep. 4, 1864: 5. Конечно, цитата из Линкольна взята из воспоминаний Гулливера и не может считаться точным воспроизведением его слов.

20.В оригинале demonstrate, demonstration – именно эти слова используются при описании действий Евклида в английских текстах. Прим. пер.

21.«Американское общество трактатов» (American Tract Society) – некоммерческая организация, которая была основана в 1825 году и занимается публикацией и распространением христианской литературы. Прим. пер.

22.Мне говорили, что: воспоминания Херндона цитируются по работе Jesse William Weik, The Real Lincoln; a Portrait (Boston: Houghton Mifflin, 1922), 240. Я узнал эту историю из замечательной книги Дэйва Ричесона: Tales of Impossibility (Princeton: Princeton University Press, 2019), в которой есть все, что вы хотите знать о квадратуре круга, трисекции угла и так далее.

23.Как геометр: перевод мой. Перевод misurar lo cerchio как квадрировать круг убедительно оправдан в работе R. B. Herzman and G. W. Towsley, “Squaring the Circle: Paradiso 33 and the Poetics of Geometry,” Traditio 49 (1994): 95–125.

24.«Божественная комедия», «Рай», песнь тридцать третья. Перевод М. Лозинского. Прим. пер.

25.Оказавшись в библиотеке некоего джентльмена: John Aubrey, ‘Brief Lives,’ Chiefly of Contemporaries, Set down by John Aubrey, between the Years 1669 & 1696, ed. Andrew Clark, vol. 1 (Oxford: Oxford University Press, 2016), 332; https://www.gutenberg.org/files/47787/47787-h/47787-h.htm.

26.Это теорема Пифагора. Прим. пер.

27.Гоббс возразил: F. Cajori, “Controversies in Mathematics Between Hobbes, Wallis, and Barrow,” Mathematics Teacher 22, No. 3 (March 1929): 150.

28.Долгая и, откровенно говоря, смешная история войны Гоббса с его терпеливыми математическими критиками изложена в главе 7 книги Амира Александра «Бесконечно малые».

29.Все, что они знают о геометрии: рецензия на Geometry without Axioms, в Quarterly Journal of Education XIII (1833): 105.

30.Слово «утверждение» (proposition): источник этой идеи – A. Kucharski, “Euclid as Founding Father,” Nautilus, Oct. 13, 2016; http://dev.nautil.us/issue/41/selection/euclid-as-founding-father.

31.Можно с уверенностью утверждать: Abraham Lincoln, The Collected Works of Abraham Lincoln, ed. Roy P. Basler et al., vol. 3 (New Brunswick, NJ: Rutgers University Press, 1953), 375; http://name.umdl.umich.edu/lincoln3.

32.Хотя оборот «Мы считаем эти истины самоочевидными» не принадлежит Джефферсону; в его проекте Декларации было написано: «Мы считаем эти истины священными и неоспоримыми». Именно Бенджамин Франклин вычеркнул эти слова и заменил их на «самоочевидные», сделав документ чуть менее библейским и чуть более евклидовым.

33.Всего лишь роскошь: Thomas Jefferson, The Essential Jefferson, ed. Jean M. Yarbrough (Indianapolis: Hackett Publishing, 2006), 193.

34.Я отказался от газет: Thomas Jefferson, The Papers of Thomas Jefferson, Retirement Series, ed. J. Jefferson Looney, vol. 4 (Princeton: Princeton University Press, 2008), 429; https://press.princeton.edu/books/ebook/9780691184623/the-papers-of-thomas-jefferson-retirement-series-volume-4.

35.Для Линкольна, в отличие от Джефферсона: о разнице между концепциями геометрии у Линкольна и Джефферсона смотрите: Drew R. McCoy, “An ‘Old-Fashioned’ Nationalism: Lincoln, Jefferson, and the Classical Tradition,” Journal of the Abraham Lincoln Association 23, no. 1 (2002): 55–67.

36.Многие молодые люди: тот же автор и та же рецензия, что уже цитировалась в связи с квадратурой круга: Quarterly Journal of Education, vol. XIII (1833): 105. Этот анонимный автор весьма часто цитируется!

37.За исключением одной, но этот спорный постулат о параллельных прямых и начавшийся с него двухтысячелетний путь к неевклидовой геометрии обсуждается во многих других местах и здесь будет лишь упомянут.

38.– Голубчики, – сказал Федор Симеонович озабоченно, разобравшись в почерках. – Это же проблема Бен Бецалеля. Калиостро же доказал, что она не имеет решения.
  – Мы сами знаем, что она не имеет решения, – сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. – Мы хотим знать, как ее решать.
  – Как-то странно ты рассуждаешь, Кристо… Как же искать решение, когда его нет? Бессмыслица какая-то…
  – Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица – искать решение, если оно и так есть. Речь идет о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос…
  Стругацкие А. и Б. «Понедельник начинается в субботу». Прим. науч. ред.

39.Поставьте куб: William George Spencer, Inventional Geometry: A Series of Problems, Intended to Familiarize the Pupil with Geometrical Conceptions, and to Exercise His Inventive Faculty (New York: D. Appleton, 1877), 16. Британское издание появилось в 1860 году.

40.Это действительно плохо поставленный вопрос: при такой расстановке очевидно, что назвать шириной, высотой и глубиной. Видимо, тут имеется тонкое различие в описании «с точки зрения куба», у которого нет выделенных длины, ширины и толщины, потому что они равны, и со стороны внешнего наблюдателя, который использует естественные для него координаты в трехмерном пространстве. Прим. науч. ред.

41.В одной из книг по арифметике, последний раз использованной в 1930 году, я нашел пометку карандашом: «Смотри страницу 170»; на 170-й странице было другое указание: «Смотри страницу 36», где я увидел новую команду, и т. д., пока не добрался до последней страницы, где было написано: «Ты дурак!» Десятилетний мальчик разыграл меня с того света.