Математические головоломки

Тремя двойками

Всем, вероятно, известно, как следует написать три цифры, чтобы изобразить ими возможно большее число. Надо взять три девятки и расположить их так:

₉9⁹,

т. е. написать третью «сверхстепень» от 9.

Число это столь чудовищно велико, что никакие сравнения не помогают уяснить себе его грандиозность. Число электронов видимой Вселенной ничтожно по сравнению с ним. В моей «Занимательной арифметике» (гл. десятая) уже говорилось об этом. Возвращаюсь к этой задаче лишь потому, что хочу предложить здесь по ее образцу другую.

Тремя двойками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

РЕШЕНИЕ

Под свежим впечатлением трехъярусного расположения девяток вы, вероятно, готовы дать и двойкам такое же расположение:

₂2².

Однако на этот раз ожидаемого эффекта не получается. Написанное число невелико – меньше даже, чем 222. В самом деле: ведь мы написали всего лишь 2⁴, т. е. 16.

Подлинно наибольшее число из трех двоек – не 222 и не 22² (т. е. 484), а

2²² = 4 194 304.

Пример очень поучителен. Он показывает, что в математике опасно поступать по аналогии; она легко может повести к ошибочным заключениям.

Тремя тройками

ЗАДАЧА

Теперь, вероятно, вы осмотрительнее приступите к решению следующей задачи.

Тремя тройками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

РЕШЕНИЕ

Трехъярусное расположение и здесь не приводит к ожидаемому эффекту, так как

₃3³, т. е. 3²⁷, меньше чем 3³³.

Последнее расположение и дает ответ на вопрос задачи.

Тремя четверками

ЗАДАЧА

Тремя четверками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

4⁴⁴,

РЕШЕНИЕ

Если в данном случае вы поступите по образцу двух предыдущих задач, т. е. дадите ответ

4⁴⁴,

то ошибетесь, потому что на этот раз трехъярусное расположение

как раз дает большее число. В самом деле, 4⁴ = 256, а 4²⁵⁶ больше чем 4⁴⁴.

Тремя одинаковыми цифрами

Попытаемся углубиться в это озадачивающее явление и установить, почему одни цифры порождают числовые исполины при трехъярусном расположении, другие – нет. Рассмотрим общий случай.

Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, изобразить возможно большее число.

Обозначим цифру буквой а. Расположению

2²², 3³³, 4⁴⁴

соответствует написание

а^10а+а, т. е. а^11а.

Расположение же трехъярусное представится в общем виде так:

_aa^a.

Определим, при каком значении а последнее расположение изображает большее число, нежели первое. Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то бóльшая величина отвечает большему показателю. Когда же

а^а > 11а?

Разделим обе части неравенства на а. Получим:

а^а–1 > 11.

Легко видеть, что а^а–1 больше 11 только при условии, что а больше 3, потому что

4^4–1 > 11,

между тем как степени

3² и 2¹

меньше 11.

Теперь понятны те неожиданности, с которыми мы сталкивались при решении предыдущих задач: для двоек и троек надо было брать одно расположение, для четверок и бóльших чисел – другое.

Четырьмя единицами

ЗАДАЧА

Четырьмя единицами, не употребляя никаких знаков математических действий, написать возможно большее число.

РЕШЕНИЕ

Естественно приходящее на ум число – 1111 – не отвечает требованию задачи, так как степень

11¹¹

во много раз больше. Вычислять это число десятикратным умножением на 11 едва ли у кого хватит терпения. Но можно оценить его величину гораздо быстрее с помощью логарифмических таблиц.

Число это превышает 285 миллиардов и, следовательно, больше числа 1111 в 25 с лишним млн раз.

Четырьмя двойками

ЗАДАЧА

Сделаем следующий шаг в развитии задач рассматриваемого рода и поставим наш вопрос для четырех двоек.

При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число?

РЕШЕНИЕ

Возможны 8 комбинаций:

Какое же из этих чисел наибольшее?

Займемся сначала верхним рядом, т. е. числами в двухъярусном расположении.

Первое – 2222, – очевидно, меньше трех прочих.

Чтобы сравнить следующие два —

222² и 22²²,

преобразуем второе из них:

22²² = 22^2-11 = (22²)¹¹ = 484¹¹.

Последнее число больше, нежели 222², так как и основание, и показатель у степени 484¹¹ больше, чем у степени 222².

Сравним теперь 22²² с четвертым числом первой строки – с 2²²². Заменим 22²² бóльшим числом 32²² и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2²²². В самом деле,

32²² = (2⁵)²² = 2¹¹⁰

– степень меньшая, нежели 2²²².

Итак, наибольшее число верхней строки – 2²²². Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел – сейчас полученное и следующие четыре:

Последнее число, равное всего 2¹⁶, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 22⁴ и меньшее, чем 32⁴ или 2²⁰, меньше каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей

222, 484 и 2^{20 + 2} (= 2^{10 · 2} · 2² ≈ 10⁶ · 4)

последний – явно наибольший.

Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково:

Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством

2¹⁰ ≈ 1000.

В самом деле,

Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.

Глава вторая
Язык алгебры

Искусство составлять уравнения

Язык алгебры – уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», – писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический, Ньютон показал на примерах. Вот один из них.

Чтобы определить первоначальный капитал купца, остается только решить последнее уравнение.

Решение уравнений – зачастую дело нетрудное; составление уравнений по данным задачи затрудняет больше. Вы видели сейчас, что искусство составлять уравнения действительно сводится к умению переводить «с родного языка на алгебраический». Но язык алгебры весьма немногословен; поэтому перевести на него удается без труда далеко не каждый оборот родной речи. Переводы попадаются различные по трудности, как убедится читатель из ряда приведенных далее примеров на составление уравнений первой степени.

Жизнь Диофанта

ЗАДАЧА

История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи. Мы приведем эту надпись.

РЕШЕНИЕ

Решив уравнение и найдя, что x = 84, узнаем следующие черты биографии Диофанта; он женился 21-го года, стал отцом на 38-м году, потерял сына на 80-м году и умер 84-х лет.

Лошадь и мул

ЗАДАЧА

Вот еще несложная старинная задача, легко переводимая с родного языка на язык алгебры.

«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей».

Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько нес мул?»

РЕШЕНИЕ

Мы привели задачу к системе уравнений с двумя неизвестными:

Решив ее, находим: х = 5, y = 7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

Четверо братьев

ЗАДАЧА

У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

РЕШЕНИЕ

Расчленяем последнее уравнение на три отдельных:

откуда

Подставив эти значения в первое уравнение, получаем:

откуда х = 8. Далее находим: y = 12, z = 5, t = 20. Итак, у братьев было:

8 руб., 12 руб., 5 руб., 20 руб.

Птицы у реки

ЗАДАЧА

У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной – 30 локтей, другой – 20 локтей; расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно.

Рис. 1

На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

РЕШЕНИЕ

Из схематического чертежа (рис. 2), пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем:

AB² = 30² + x², AC² = 20² + (50 – x)².

Рис. 2

Но АВ = АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому

30² + x² = 20² + (50 – x)².

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем уравнение первой степени

100x = 2000,

откуда х = 20.

Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

Прогулка

ЗАДАЧА

– Зайдите ко мне завтра днем, – сказал старый доктор своему знакомому.

– Благодарю вас. Я выйду в три часа. Может быть, и вы надумаете прогуляться, так выходите в то же время, встретимся на полпути.

– Вы забываете, что я старик, шагаю в час всего только 3 км, а вы, молодой человек, проходите при самом медленном шаге 4 км в час. Не грешно бы дать мне небольшую льготу.

– Справедливо. Так как я прохожу больше вас на 1 км в час, то, чтобы уравнять нас, дам вам этот километр, т. е. выйду на четверть часа раньше. Достаточно?

– Очень любезно с вашей стороны, – поспешил согласиться старик.

Молодой человек так и сделал: вышел из дому в три четверти третьего и шел со скоростью 4 км в час. А доктор вышел ровно в три и делал по 3 км в час. Когда они встретились, старик повернул обратно и направился домой вместе с молодым другом.

Только возвратившись к себе домой, сообразил молодой человек, что из-за льготной четверти часа ему пришлось в общем итоге пройти не вдвое, а вчетверо больше, чем доктору.

Как далеко от дома доктора до дома его молодого знакомого?

РЕШЕНИЕ

Обозначим расстояние между домами через х (км).

Молодой человек всего прошел 2х, а доктор вчетверо меньше, т. е.. До встречи доктор прошел половину пройденного им пути, т. е., а молодой человек – остальное, т. е.. Свою часть пути доктор прошел в  часа, а молодой человек – в  часа, причем мы знаем, что он был в пути на  часа дольше, чем доктор.

Имеем уравнение

откуда x = 2,4 км.

От дома молодого человека до дома доктора 2,4 км.