Kitobdan sitatalar «Большой роман о математике. История мира через призму математики»

Среди наиболее успешных разработок исчисления бесконечно малых величин можно выделить теорию меры, разработанную в начале XX в. французским математиком Анри Леоном Лебегом – одно из самых любопытных направлений. Возникает вопрос: можно ли с использованием бесконечно малых величин создать новые геометрические фигуры, которые нельзя нарисовать с помощью циркуля и линейки. Ответ: да, и эти новые фигуры будут созданы в течение нескольких лет в соответствии с законами классической геометрии. Возьмем, например, отрезок, размеченный от 0 до 10. По аналогии с Декартовой системой координат, эта разметка позволяет соотнести точку на отрезке с любым числом от 0 до 10. На этом отрезке можно отдельно выделить точки, имеющие конечное десятичное значение (например, 0,1 или 7,28), и числа с бесконечным числом цифр после запятой (например, число π или число золотого сечения φ). Что произойдет, если мы разделим отрезок по этому принципу? Другими словами, если мы выделим темным цветом точки первой категории и светлым цветом – второй, как будут выглядеть темная и светлая геометрические фигуры соответственно? Не так просто ответить на этот вопрос, потому что эти две категории чисел можно продолжать до бесконечности. Если взять даже самый малый диапазон чисел, то он всегда будет содержать как темные, так и светлые точки. Между двумя светлыми точками всегда есть по крайней мере одна темная, а между двумя темными точками всегда есть по крайней мере одна светлая. Две фигуры, таким образом, напоминают бесконечно тонкие нити, которые идеально связаны друг с другом.