Энциклопедия финансового риск-менеджмента

2.19. Основные арбитражные утверждения об американских опционах

Основное отличие американского опциона от соответствующего европейского опциона состоит в том, что американский опцион может быть исполнен в любое время, вплоть до даты его истечения. В силу этого цены американских опционов могут значительно отличаться от цен аналогичных европейских опционов.

Если спот-рынок базисных активов и рынок опционов на эти активы удовлетворяют условиям, приведенным в п. 2.17, то имеют место следующие утверждения:

1. Стоимость американского опциона не может быть ниже стоимости аналогичного европейского опциона, т. е. C ≥ с, P ≥ p.

Действительно, у держателя американского опциона всегда больше возможностей получить прибыль, чем у держателя аналогичного европейского опциона. Поэтому держатель американского опциона должен платить за опцион не меньше, чем держатель аналогичного европейского опциона.

2. Американский опцион колл на активы, не приносящие доходов, не следует исполнять досрочно, т. е. до даты его истечения.

Это, в частности, означает, что цена американского опциона колл на активы, не приносящие доходов, должна совпадать со стоимостью аналогичного европейского опциона.

Американский опцион пут даже на активы, не приносящие доходов, часто имеет смысл исполнить досрочно.

3. Если С и Р – стоимости американских опционов колл и пут соответственно на одни и те же активы с ценой исполнения Х, то при безрисковой процентной ставке, не зависящей от сроков инвестиции:

Пример 2.23. Стоимость 8-месячного американского опциона пут на акцию, по которой через 2 и 6 месяцев ожидаются дивиденды в размере 1 долл., равна 2 долл. Цена исполнения опциона 50 долл. Определим границы для стоимости аналогичного американского опциона колл, если текущая цена опциона 52 долл., а безрисковая процентная ставка для всех сроков равна 8 %.

Если же рыночная цена американского опциона колл окажется больше 6,60 долл. или меньше 2,05 долл., то должна существовать прибыльная арбитражная стратегия.

2.20. Основные стратегии с использованием европейских опционов

2.20.1. Простейшие стратегии

Простейшими стратегиями принято считать те, в которых наряду с покупкой или продажей некоторых активов занимается та или иная позиция по европейскому опциону на эти активы.

Если инвестор покупает некоторые активы и одновременно покупает европейский опцион пут на эти активы, то на момент истечения опциона Т прибыль инвестора составит:

Зависимость прибыли инвестора от спот-цены активов на момент истечения опциона показана на рис. 2.12.

Таким образом, при данной стратегии убытки инвестора ограничены, а прибыль может быть сколь угодно большой.

При покупке базисных активов и короткой позиции по европейскому опциону колл прибыль инвестора на момент истечения опциона оценивается следующим образом (рис. 2.13):

В данном случае убытки незначительны, но и возможная прибыль ограничена сверху.

Если инвестор произведет короткую продажу базисных активов, одновременно заняв длинную позицию по европейскому опциону колл на эти активы, то его прибыль на момент истечения опциона составит (рис. 2.14):

Аналогично можно определить прибыль инвестора при короткой продаже базисных активов и короткой позиции по европейскому опциону пут на эти активы. Зависимость прибыли от спот-цены активов на момент истечения опциона изображена на рис. 2.15.

2.20.2. Спреды опционов

Стратегии, в которых используются только европейские опционы одного и того же вида (и на одни и те же активы), называют спредами опционов (option spread).

Спред «быков» (bull spread) состоит из длинной позиции по европейскому опциону колл (или пут) с ценой исполнения X₁ и из короткой позиции по европейскому опциону колл (пут) с ценой исполнения Х₂, где Х₂ > Х₁, при одной и той же дате истечения этих опционов.

Если спред «быков» составлен из опционов колл, то прибыль инвестора на момент истечения опционов можно найти следующим образом:

Спред «быков» применяется при игре на повышение, когда инвестор считает, что цена базисных активов значительно вырастет к моменту истечения опционов.

Спред «медведей» (bear spread) состоит из короткой позиции по европейскому опциону колл (или пут) с ценой исполнения X₁ и из длинной позиции по европейскому опциону колл (пут) с ценой исполнения X₂, где X₂ > X₁, при одной и той же дате истечения этих опционов.

Зависимость прибыли от спот-цены активов при спреде «медведей» показана на рис. 2.17.

Спред «медведей» применяется при игре на понижение.

Спред «бабочка» (butterfly spread) состоит из длинных позиций по европейским опционам колл (или пут) с ценой исполнения Х₁ и Х₃, где X₁ < X₃, и двух коротких позиций по европейскому опциону колл (пут) с ценой исполнения (все опционы имеют одну и ту же дату истечения).

Зависимость прибыли от спот-цены активов при спреде «бабочка» изображена на рис. 2.18.

Спред «бабочка» применяется, когда инвестор считает, что в момент истечения опционов спот-цена активов будет близкой к X₂.

Стратегии, в которых используются европейские опционы одного и того же вида при одной и той же цене исполнения, но с разными датами истечения, называют календарными спредами (calendar spread).

Например, рассмотрим календарный спред, состоящий из короткой позиции по европейскому опциону колл с датой истечения T₁ и длинной позиции по европейскому опциону колл с датой истечения T₂, где T₂ > T₁.

Прибыль инвестора от данной стратегии на момент времени Т₁ может быть найдена следующим образом:

2.20.3. Комбинации опционов

Стратегии, в которых используются европейские опционы разных видов на одни и те же активы при одной и той же дате истечения, называют комбинациями опционов.

Стратегия стрэдл (straddle) состоит из длинных позиций по европейским опционам колл и пут с одной ценой исполнения X.

Зависимость прибыли инвестора на момент истечения опционов от спот-цены активов в этот момент изображена на рис. 2.20.

Стратегия стрэдл применяется, когда инвестор ожидает, что спот-цена активов может значительно отклониться от цены исполнения опционов, но не знает, в какую сторону произойдет это отклонение.

Стратегия стрип (strip) состоит из длинных позиций по одному европейскому опциону колл и двум европейским опционам пут с одной и той же ценой исполнения X, в то время как стратегия стрэп (strap) состоит из длинных позиций по двум европейским опционам колл и одному европейскому опциону пут (рис. 2.21 и 2.22).

Стратегия стрип (стрэп) применяется, когда инвестор считает, что спот-цена активов значительно отклонится от цены исполнения опционов, причем более вероятным является понижение (повышение) этой цены.

Каков бы ни был прогноз инвестора о будущей спот-цене активов, занимая те или иные позиции на спот-рынке активов и на рынке европейских опционов, он может построить стратегию под свой прогноз.

2.21. Простейшая модель оценки производных финансовых инструментов «европейского типа»

Финансовый инструмент называется инструментом «европейского типа» (European-style), производным от некоторых базисных активов, если существует функция F(z), такая что в определенный будущий момент времени Т стоимость финансового инструмента равна F(S_T), где S_T – стоимость базисных активов в момент времени Т.

В этом случае функция F(z) называется платежной функцией производного финансового инструмента. Например, для европейских опционов колл и пут платежные функции имеют вид:

Предположим, что базисные активы обладают постоянной дивидендной доходностью q, а их стоимость определяется следующей одноэтапной биномиальной моделью:

Иными словами, в начальный момент времени стоимость базисных активов известна и равна S, а к моменту Т она может подняться до Su с вероятностью π или упасть до Sd с вероятностью 1 – π.

Нетрудно заметить, что при отсутствии прибыльных арбитражных возможностей на спот-рынке базисных активов должно выполняться неравенство

Рассмотрим финансовый инструмент «европейского типа», производный от рассматриваемых базисных активов, платежная функция которого F(z).

В начальный момент времени t сформируем инвестиционный портфель, состоящий из покупки базисных активов и короткой продажи х производных финансовых инструментов на эти активы. Начальные затраты на данный портфель составят

где П – начальная стоимость одного производного инструмента.

то, что бы ни случилось на рынке, доход инвестора будет один и тот же, т. е. стратегия окажется безрисковой. Так как по условию прибыльные арбитражные возможности отсутствуют, то доходность инвестиционного портфеля должна совпадать с безрисковой процентной ставкой, т. е.

при х, определяемом соотношением (2.41).

Выразив х из равенства (2.41) и подставив его в соотношение (2.42), получим:

Из неравенства (2.40) следует, что 0 < π^* < 1. Кроме того, выполняется равенство

Это означает, что ожидаемая доходность инвестиции в базисные рискованные активы совпадает с безрисковой процентной ставкой, если в исходной одноэтапной биномиальной модели вероятность подъема цены активов равна π^*. Следовательно, π можно интерпретировать как вероятность подъема цены базисных активов в мире, нейтральном к риску (Иными словами, когда инвесторы не требуют премии за риск при вложении в рискованные активы, ожидаемая доходность которых не отличается от гарантированной (безрисковой) нормы доходности.) (risk-neutral world). В этом случае равенство (2.43) можно переписать в следующем виде:

Пример 2.24. Текущий обменный курс фунта стерлингов – 1,6 долл. США за один фунт. Инвестор считает, что через 4 месяца обменный курс может подняться до 1,64 долл. или упасть до 1,56 долл. Оценим стоимость 4-месячных европейских опционов колл и пут на 1000 фунтов стерлингов при цене исполнения 1,6, считая, что безрисковые процентные ставки на 4 месяца в США и в Англии равны 6 и 5 % соответственно.

Иностранную валюту можно рассматривать как актив с постоянной дивидендной доходностью, равной безрисковой процентной ставке в стране, где действует эта валюта.

Следовательно, в нашем примере:

Вероятность подъема обменного курса в мире, нейтральном к риску, находится следующим образом:

2.22. Биномиальная модель для оценки стоимости производных финансовых инструментов

Будем считать, что базисные активы обладают постоянной дивидендной доходностью, равной q, а их стоимость на временнбм промежутке [t₀, Т] определяется геометрическим броуновским движением, заданным условиями:

Временной промежуток [t, T] разобьем на n равных частей точками

и построим n-этапную биномиальную модель со следующими параметрами (см. п. 1.27.2):

Биномиальная модель изображена на рис. 2.23. Можно доказать, что при возрастании числа этапов в биномиальной модели случайный процесс, определяемый этой моделью, будет на временном промежутке [t, T] стремиться к геометрическому броуновскому движению, заданному условиями (2.45) и (2.46).

Рассмотрим теперь финансовый инструмент «европейского типа», производный от рассматриваемых базисных активов, стоимость которого в момент времени Т определяется платежной функцией F(z). Обозначим через n_k(i), k = 0, 1, 2…., n, i = 0, 1, 2…., k, стоимость производного финансового инструмента в момент времени t + kh_n при условии, что до этого момента времени цена базисных активов поднималась i раз. Тогда П₀(0) – это искомая стоимость производного инструмента в момент времени t, и

Из соотношения (2.43) следует, что

Так как значения П_п(1) известны при всех 1 = 0, 1, 2…., п, то равенство (2.47) позволяет последовательно найти:

т. е. в конце концов найти искомую начальную стоимость производного финансового инструмента.

Кроме того, с помощью равенства (2.47) нетрудно показать, что

Пример 2.25. Рассмотрим 3-месячный европейский опцион пут на акцию с постоянной дивидендной доходностью q = 8 % при цене исполнения 51 долл., когда цена акции 52 долл., безрисковая процентная ставка (для всех сроков) – 12 %, а волатильность цены акции оценивается в 30 %.

В данном случае

Для оценки стоимости опциона построим трехэтапную биномиальную модель (рис. 2.24) с параметрами:

Нетрудно определить значение стоимости европейского опциона пут через 3 месяца (соответствующие значения указаны на рис. 2.24):

Чтобы найти значение стоимости опциона через 2 месяца, вычислим вероятность одного подъема цены акции в мире, нейтральном к риску:

и воспользуемся формулой (2.47). Получим, что

Биномиальную модель, изображенную на рис. 2.23, можно использовать и для оценки стоимости американских опционов на активы, обладающие постоянной дивидендной доходностью, цена которых определяется условиями (2.45) и (2.46).

В самом деле, обозначим через C_k(i), k = 0, 1, 2….. n, i = 0, 1, 2….. k стоимость американского опциона колл в момент времени t + kh_n при условии, что он не исполнялся до этого момента времени, а цена базисных активов поднималась i раз. Тогда

Так как значение C_n(i) нам известно, то, последовательно применяя формулу (2.49), можно получить оценку стоимости американского опциона колл C = C₀(0). Точно так же можно найти оценку стоимости и американского опциона пут.

Пример 2.26. В условиях примера 2.24 оценим стоимость опциона, считая его американским.

Биномиальная модель и все расчеты приведены на рис. 2.26.

Например:

и, если за два месяца цена базисных активов опускалась два раза, американский опцион пут выгодно исполнить досрочно.

Таким образом, стоимость американского опциона пут оказалась равной 2,60, что больше стоимости аналогичного европейского опциона (см. пример 2.25).

На основе биномиальной модели можно оценивать стоимости фьючерсных опционов, т. е. опционов на фьючерсные контракты.

По условиям фьючерсного опциона колл (пут) его держатель в момент исполнения опциона получает длинную (короткую) позицию по базисному фьючерсному контракту и денежную сумму в размере Ф_т-Х (X- Ф_т), где Ф_т – фьючерсная цена активов, лежащих в основе фьючерсного контракта, а X – цена исполнения опциона.

Так как стоимости той или иной позиции в момент заключения фьючерсного контракта равны нулю, то выигрыш держателя фьючерсного опциона колл (пут) на момент его исполнения составляет

Во многих случаях можно считать, что фьючерсный опцион является обычным опционом на активы, которые удовлетворяют следующим условиям:

1) дивидендная доходность активов равна безрисковой процентной ставке;

2) волатильность цены активов совпадает с волатильностью цены тех активов, которые положены в основу базисного фьючерсного контракта;

3) начальная цена активов равна фьючерсной цене в рассматриваемый момент времени t.

2.23. Формулы Блэка-Шоулза

Рассмотрим европейские опционы на активы с постоянной дивидендной доходностью, цена которых определяется геометрическим броуновским движением:

Будем считать, что финансовые рынки удовлетворяют следующим условиям:

• рынки являются совершенными (см. п. 2.2);

• существует безрисковая процентная ставка, одинаковая для всех сроков и не меняющаяся с течением времени;

• отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.

Временнóй промежуток [t, T] (Т – дата истечения опционов) разобьем на n равных частей точками

Тогда стоимость европейских опционов колл и пут можно оценить с помощью соотношения (2.44), которое в данном случае принимает вид:

При n → ∞ случайный процесс, определяемый биномиальной моделью, стремится к геометрическому броуновскому движению. Переходя к пределу при n → ∞ в формулах (2.50) и (2.51), получим формулы Блэка-Шоулза:

Важнейшие частные случаи формул Блэка-Шоулза

1. Европейские опционы колл и пут на бездивидендную акцию

Пример 2.27. Найдем стоимости 6-месячных европейских опционов колл и пут на бездивидендную акцию с ценой исполнения 40 долл., когда текущая цена акции 42 долл., волатильность цены акции составляет 20 %, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 10 %.

В данном случае

2. Европейский опцион колл и пут на иностранную валюту

Пример 2.28. Найдем стоимости 9-месячных европейских опционов колл и пут на 1000 канадских долларов при цене исполнения 0,75 долл., когда текущий обменный курс – 0,75 долл. за один канадский доллар, безрисковые процентные ставки в США и в Канаде равны 7 и 9 % соответственно (при непрерывном начислении), а волатильность обменного курса составляет 4 %.

3. Европейские фьючерсные опционы колл и пут

Пример 2.29. Найдем стоимость 8-месячного фьючерсного опциона колл на акцию при цене исполнения 70 долл., когда текущая фьючерсная цена акции 66 долл., безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 7 %, а волатильность цены базисной акции оценивается в 49,20 %.

4. Европейские опционы колл и пут на активы с известными доходами. Стоимости европейских опционов на активы с известными доходами можно оценивать приближенно с помощью следующих формул:

Пример 2.30. Найдем стоимость 8-месячного европейского опциона колл на акцию, по которой через 3 и 6 месяцев ожидаются дивиденды в размере 2 долл. (каждый раз), если цена исполнения опциона 100 долл., текущая цена акции 100 долл., волатильность цены акции оценивается в 30 %, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении для всех сроков равна 8 %.

В данном случае

Свойства стоимостей европейских опционов в модели Блэка-Шоулза

1. Стоимости европейских опционов, найденные по формулам Блэка-Шоулза (2.52) и (2.53), удовлетворяют паритету цен:

Пример 2.31. В примере 2.27 было найдено, что с = 4,74 долл., р = 0,79 долл., т. е. с-p = 3,95 долл. С другой стороны,

В табл. 2.2 показано, как увеличение того или иного показателя (при неизменных значениях остальных) влияет на стоимость европейского опциона.

Из последнего утверждения следует, что, какова бы ни была рыночная стоимость европейского опциона на активы с постоянной дивидендной доходностью, всегда существует и притом единственное значение а, при котором стоимость опциона, найденная по формуле Блэка-Шоулза, совпадает с его рыночной ценой. Это значение а называется предполагаемой волатильностью (implied volatility) базисных активов.

Если известна рыночная цена европейского опциона колл (пут), то для отыскания предполагаемой волатильности базисных активов необходимо решить уравнение:

Пример 2.32. Рыночная цена трехмесячного европейского опциона колл на бездивидендную акцию с ценой исполнения 20 долл. равна 1,88 долл. Найдем предполагаемую волатильность базисной акции, если текущая цена акции 21 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 10 %.

Найти решение уравнения (2.56) можно, например, методом проб и ошибок.

Таким образом, предполагаемая волатильность базисной акции находится между 0,23 и 0,24. Можно считать, что предполагаемая волатильность равна 0,235, или 23,50 %.

Волатильность тех или иных активов можно оценивать на основе исторических данных (см. п. 1.22). Однако не всегда можно таким образом получить хорошую оценку волатильности. Тогда в качестве оценки волатильности можно рассматривать предполагаемую волатильность активов, определяемую на основе рынка опционов на эти активы.

2.24. Дельта-хеджирование

Если финансовый институт продает на внебиржевом рынке тот или иной опцион, то он подвергается рыночному риску, так как за опцион он получает фиксированную сумму– премию за опцион, а его доход (убыток) зависит от спот-цены базисных активов на момент исполнения опциона. Например, в случае продажи европейского опциона колл прибыль финансового института на момент исполнения этого опциона оценивается следующим образом:

Зависимость прибыли от спот-цены активов изображена на рис. 2.27.

Таким образом, продавая опцион, финансовый институт может понести очень большие убытки и поэтому заинтересован в снижении этого рыночного риска.

Финансовый институт может полностью исключить какой бы то ни было рыночный риск, купив аналогичный биржевой опцион. Однако часто опцион создается специально, исходя из запросов конкретного клиента, и купить такой опцион на бирже не удается. Именно в таком случае может использоваться дельта-хеджирование рыночного риска.

Рассмотрим финансовый инструмент, производный от некоторых базисных активов. Стоимость этого инструмента в текущий момент времени t зависит от спот-цены активов в данный момент времени и от многих других факторов.

Коэффициентом дельта (Δ, delta) финансового инструмента, производного от данных базисных активов, называется частная производная стоимости этого инструмента по спот-цене базисных активов:

Основное свойство коэффициента дельта

Если спот-цена базисных активов мгновенно изменяется на величину δS, а все остальные факторы, влияющие на стоимость производного финансового инструмента, останутся неизменными, то приращение стоимости этого инструмента ΔП можно приближенно оценить следующим образом:

При этом чем меньше δS (по абсолютной величине), тем меньше погрешность равенства (2.57).

Имеют место следующие утверждения:

1. Коэффициент дельта базисных активов всегда равен 1.

2. Коэффициент дельта фьючерсного контракта на активы с постоянной дивидендной доходностью можно найти по формуле:

3. Коэффициенты дельта европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью q определяются равенствами:

Пример 2.33. Рассмотрим 5-месячный европейский опцион пут на бездивидендную акцию с ценой исполнения 100 долл., когда текущая спот-цена акции равна 100 долл., волатильность акции оценивается в 40 %, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 8 %.

Из приближенного равенства (2.57) следует, что если цена базисной акции мгновенно вырастет на 1 долл., то цена опциона пут на эту акцию уменьшится на 0,397 долл. (точное значение снижения стоимости опциона составляет 0,392 долл.).

4. Коэффициенты дельта американских опционов можно найти приближенно на основе n-этапной биномиальной модели:

5. Коэффициент дельта портфеля финансовых инструментов, производных от одних и тех же базисных активов, является линейной комбинацией коэффициентов дельта этих финансовых инструментов.

Пример 2.34. Рассмотрим портфель, состоящий из покупки 10 000 английских фунтов стерлингов: из короткой позиции по 9-месячному фьючерному контракту на 5000 фунтов стерлингов и из длинной позиции по 6-месячному европейскому опциону пут на 2000 фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,60 долл. Найдем коэффициент дельта портфеля, когда текущий обменный курс равен 1,62 долл. за один фунт, волатильность обменного курса оценивается в 15 %, а безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении в США и Англии равны 10 и 13 % соответственно.

Найдем коэффициент дельта фьючерсного контракта на один фунт стерлингов.

Вычислим коэффициент дельта опциона пут на один фунт стерлингов. Так как

то

Следовательно, коэффициент дельта рассматриваемого портфеля можно найти следующим образом:

Из приближенного равенства (2.57), в частности, следует, что при падении обменного курса на 0,01 долл. стоимость всего портфеля снизится на 41,96 долл.

Портфель финансовых инструментов, производных от одних и тех же базисных активов, называют дельта-нейтральным (delta-neutral), если коэффициент дельта этого портфеля равен 0.

Если инвестор занимает некоторую позицию по производному финансовому инструменту, то, занимая соответствующую позицию по какому-то другому финансовому инструменту на те же базисные активы, он может образовывать дельта-нейтральный портфель, т. е. дельта-нейтрализовать свою первоначальную позицию.

Пример 2.35. Финансовый институт продал 6-месячный европейский опцион пут на 2000 фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,60 долл., когда текущий обменный курс равен 1,62 долл. за один фунт, волатильность обменного курса оценивается в 15 %, а безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении в США и в Англии равны 10 и 13 % соответственно.

Выясним, сколько фунтов стерлингов следует купить (или продать), чтобы дельта-нейтрализовать базисную позицию.

Коэффициент дельта европейского опциона пут равен -0,4573 (см. пример 2.34). Обозначим через х количество фунтов стерлингов, покупаемых для дельта-нейтрализации. Тогда

откуда найдем, что х = -914,6. Таким образом, для дельта-нейтрализации базисной позиции требуется произвести короткую продажу 914,6 фунтов стерлингов.

Предположим, что инвестор занимает определенную позицию по финансовому инструменту, производному от данных базисных активов. Дельта-хеджирование риска, связанного с изменением цены базисных активов на рынке, сводится к следующему:

1) выбирается некоторый биржевой инструмент, производный от тех же базисных активов;

2) покупая или продавая выбранный инструмент, базисная позиция дельта-нейтрализуется;

3) инвестиционный портфель периодически «ребалансируется», т. е. при помощи операций с выбранным инструментом восставливается дельтанейтральность этого портфеля, утрачиваемая из-за изменения цены базисных активов и течения времени.

По существу, при дельта-хеджировании искусственным образом воспроизводится позиция, противоположная базисной, т. е. строится синтетический финансовый инструмент.

Пример 2.36. Финансовый институт продал 5-недельный европейский опцион колл на 100 000 бездивидендных акций с ценой исполнения 50 долл., когда текущая цена акции равна 49 долл., волатильность акции составляет 20 %, а безрисковая процентная ставка равна 5 %.

Для хеджирования своей позиции финансовый институт решает использовать операции с базисной акцией и ребалансировать свою позицию еженедельно. В табл. 2.3 приведены сценарий изменения цены базисной акции и расчет издержек финансового института на дельта-хеджирование.

В момент исполнения опциона финансовый институт обязан продать 100 000 акций по цене исполнения опциона 50 долл.

Следовательно, чистые затраты финансового института составят 5 127 183 – 5 000 000 = 127 183 долл., а приведенные чистые затраты

Премия за опцион составляет 87 889 долл. Таким образом, чистые приведенные издержки финансового института (без учета комиссионных) равны

Отметим, что при отсутствии хеджирования чистые приведенные издержки составили бы